2020江西八校联考数学试卷(理科数学)
江西省八校协作体2023-2024学年高一下学期第二次联考数学试卷(含解析)
江西省八校协作体2023-2024学年高一下学期第二次联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．下列命题为真命题的是( )A.小于90︒的角都是锐角B.钝角一定是第二象限角C.第二象限角大于第一象限角D.若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角2．已知向量(1,2)a =- ，(,2)b x =，且a b ⊥ ，则x =( )A.-4B.2C.4D.83．已知，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．已知函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为( )A.1π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.1π()2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.π()2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D.π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5．已知O 为ABC △的重心，且AO mAB nAC =+，则m n +的值为( )6．已知函数ππ()cos 2||32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，要得到函数()sin 2g x x =的图象，只需将函数()f x 的图象( )(1i)2z -=7．下列函数中同时具有性质:①最小正周期是π，②图象关于点5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，③在π,63π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数的是( )A.πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C.πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭8．已知向量a = ，(cos ,sin )b θθ=，则下列说法错误的是( )A.存在π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得a b⊥ B.存在π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得//a bC.对于任意π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(1,2]a b ⋅∈D.对于任意π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，||a b -∈ 9．关于函数sin ,sin cos ,()cos ,sin cos ,x x x f x x x x ≤⎧=⎨>⎩下列说法正确的是( )A.该函数是以π为最小正周期的周期函数B.当且仅当ππ()x k k =+∈Z 时，该函数取得最小值-1C.该函数的图象关于5π2π()4x k k =+∈Z 对称D.当且仅当π2π2π()2k x k k <<+∈Z 时，0()f x <≤二、多项选择题10．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列对三角形解的个数的判断正确的是( )A.7a =，14b =，30A =︒有两解B.30a =，25b =，150A =︒有一解C.a ==60A =︒无解D.6a =，9b =，45A =︒有两解11．如图所示，在ABC △中，点D 在边BC 上，且2CD DB =，点E 在AD 上，且3AD AE =，则( )A.1233AD AC AB=+B.13CE AD AC=-C.2899CE AB AC=+ D.2899CE AB AC=- 三、填空题12．已知向量(1,1)a = ，则||a =________.13．已知πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭________.四、双空题14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222cos sin cos sin sin A B C A B =++，c =1=，则C =________；ABC △的面积为________.五、解答题15．已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =45A =︒，30B =︒解这个三角形.16．已知向量(1,0)a = ，(2,1)b =-.（1）求2a b -；（2）设a ，b的夹角为θ，求cos θ的值；（3）若向量ka b + 与a kb +互相平行，求k 的值.17．已知函数()f x =（1）求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）已知()f α=2α的值.18．已知向量(2cos ,1)m x ω=- ，(sin cos ,2)n x x ωω=-，其中0ω>，函数()3f x m n =⋅+ ，若函数()f x （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数(f x 原来的2倍，得到函数()g x 的图象，当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域.19．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量()m a =，(cos ,sin )n A B =，且//m n .（1）求角A 的大小；（2）若a =ABC 周长的取值范围.参考答案1．答案：B解析：090︒<︒ ，但不是锐角，A ∴是假命题；钝角的范围是π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，是第二象限角，B 是真命题；是第二象限角，30︒是第一象限角，，C ∴是假命题；当πθ=时，cos 1θ=-，πθ=不是第二或第三象限的角，D ∴是假命题.故选B.2．答案：C解析：因为(1,2)a =- ，(,2)b x =，a b ⊥ ，40x ∴-=，4x =.故选C.3．答案：A 解析：由题意22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2z ++====+-+-，对应点为，在第一象限.故选A.4．答案：D解析：由函数的图象得2A =，π=，则，()2sin(2)f x x ϕ∴=+，，则πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则，得π2π()6k k ϕ=+∈Z ，ϕ=.故选D.5．答案：B解析：O 为ABC △的重心，111()333AO AB AC AB AC ∴=+=+ ，1133m n ∴+=+=故选B.6．答案：C解析：因为函数ππ()cos 2||32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，所以ππ()3k k ϕ-=∈Z ，因为||ϕ<=()cos 2f x x =.要得到函数π()sin 2cos 22g x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()cos 2f x x =0︒ 210-︒21030-︒<︒(1,1)411πππ3126T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭2ω=ππ2sin 2266f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ππ2π()32k k ϕ+=+∈Z ||ϕ< π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7．答案：C解析：对于A 项，2π4π12T ==，故A 错误；对于B 项，ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，πππ2,622x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，函数sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 错误；对于C 项，2ππ2T ==；当x =5πππcos cos 0632y ⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则其图象关于点5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；当x ∈ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，π2[0,π]3x +∈，函数在区间[0,π]上单调递减，则函数在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，故C 正确；对于D 项，当5ππcos cos(π)166y ⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭，其图象关于直线5π12x =-对称，故D 错误；故选C.8．答案：A解析：对A ，，若a b ⊥ ，则，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时无解，故A 错误；对B ，若//a b ，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以θ=π2sin 3b θ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭ ，因为θ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以ππ5,π336θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则π1sin ,132θ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以π2sin (1,2]3a b θ⎛⎫⋅=+∈ ⎪⎝⎭ ，故C 正确；对D ，π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则，所以πcos 6θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则||a b -∈，故D 正确.故选A.9．答案：CD解析：由图象知，函数()f x 的最小正周期为2π，在π2π()x k k =+∈Z 和cos y x =πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x =πsin 2sin 3a b θθθ⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭ π2sin 03θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭θcos 0θθ-=||a b -== πππ,663θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭1,12⎛⎤⎥⎝⎦3π2π()2x k k =+∈Z 时，该函数都取得最小值-1，故AB 错误；由图象知，函数图象关于直线5π2π4x k =+()k ∈Z 对称，在2π2π()2πk x k k <<+∈Z 时，0()f x <≤正确.故选CD.10．答案：BC 解析：选项A 中14sin 30sin 17B ︒==，有一解，A 错误；选项B 中90A >︒，a b >，有一解，B 正确；选项C 中sin 1B ==>，无解，C 正确；选项D 中9sin 45sin 16B ︒==>，无解，D 错误.故选BC.11．答案：ABD解析：2CD DB = ，点E 在AD 上，3AD AE =，2212()3333AD AC CD AC CB AC AB AC AC AB ∴=+=+=+-=+ ，1122839999CE AE AC AD AC AC AB AC AB AC ∴=-=-=+-=-.故选ABD.解析：||a ==解析：因为πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππππcos sin 4424ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦解析：由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+即22sin sin sin sin sin A B C A B +-=-，由正弦定理得222a b c ab +-=-，由余弦定理得222cos 22a b c ab C ab ab +--===0πC <<，C ∴=法一:由余弦定理，得22222cos 1c b a ab C b b =+-=++，即220b b +-=，解得1b =(舍负).ABC∴△sinC ==A =A =B =1a b ==，1sin 2S ab C ∴==15．答案：见解析解析：180105C A B =︒--=︒，sin sin()C A B =+=sin b B ==sin 2sin a B A ==，sin sin a Cc A==+16．答案：（1）(5,2)-（2）（3）1k =±解析：（1）因为(1,0)a = ，(2,1)b =- ，所以2(5,2)a b-=-.（2）cos ||||a b a b θ⋅=== .（3）(2,1),(12,)ka b k a kb k k +=-+=- ，由题意可得，(2)210k k k -+-=，整理可得210k -=，解得1k =±.（2）77-解析：（1）222sin cos 2sin cos (sin cos )π()sin cos cos sin sin cos 4x x x x x x f x x x x x x x x +++⎛⎫===+=+ ⎪++⎝⎭.ππππ121243f ⎛⎫⎛⎫∴=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由()f α=π4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πππ1sin 2cos 2cos[2]12sin 12447L αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=--+=--⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦18．答案：（1）3ππ,π()88πk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z（2）解析：（1）由题意可得，()32cos (sin cos )23f x m n x x x ωωω=⋅+=--+，2π2sin cos 2cos 1sin 2cos 224x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，由题意知，2ππ2T ω==，得1ω=，则π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由ππ2π22π24k x k -≤-≤+∈Z ，解得πππ8k x k -≤≤∈Z ，()f x ∴的单调递增区间为3ππ,π()88πk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）将(f x π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到π()4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，π5π3π,4124x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，πsin 14x ⎛⎫∴≤+≤ ⎪⎝⎭，故函数()g x 的值域为.19．答案：（1）π3A =（2）解析：（1）//m n，sin cos 0a B A ∴=，由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=.又sin 0B ≠，tan A ∴=由于0πA <<，π3A ∴=.（2）法一:a = A =sin b B ==2sin B =，2sin c C =.2π3π2(sin sin )2sin sin 2sin 326b c B C C C C C C ⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=-+=+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎭，π3A =，2π0,3C ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，则ππ5π,666C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.πsin (,1]621C ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭.b c ∴+∈，则a b c ++∈.故ABC △周长的取值范围为.法二:由余弦定理得2222233()3()()4b c bc b c bc b c b c =+-=+-≥+-+，21()34b c ∴+≤，得b c +≤c a b c +>=∴+∈.a b c ∴++∈，故ABC △周长的取值范围为.。
2020届江西省八所重点中学高三5月联考数学(理)试题(解析版)
二、填空题
13．已知直线 ： ， ： ，且 ，则k的值______.
【答案】
【解析】根据两直线平行列关于 的方程，解出 的值，然后代入两直线方程进行验证是否满足 ，即可得出实数 的值.
【详解】
直线 ： ， ： ，且 ，
则 ，解得 或 .
2．已知集合 ，则集合A的子集个数为（）
A．4B．5C．6D．8
【答案】A
【解析】通过解一元二次不等式以及 ，可得集合A，根据集合A中元素的个数可得子集个数.
【详解】
由 ，得 ，
得 ，
所以 ，
因为 ，所以 或 ，
所以 ，所以集合A的子集个数为 .
故选：A
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了根据集合中元素个数计算子集个数，属于基础题.
【详解】
解：模拟程序的运行过程可知，该程序的功能是利用选择结构找出 的最小值并输给变量 ，再交换变量 ， ，计算并输出 的值；
当输入的 的值依次为 时，交换变量得 ，输出结果是 ，所以A错误；
当输入的 的值依次为 时，交换变量得 ，输出结果是 ，所以B错误；
当输入的 的值依次为 时，交换变量得 ，输出结果是 ，所以C正确；
【详解】
（1） 中，设 ， ， 边上的高为 ，
则
又 ， ，
当且仅当 时等号成立，
（2）沿 旋转 与 共面， ，P在半径为r一圆弧上运动，以 中点为原点，建立直角坐标系，
， ， ， ，
， ， ， ，
故答案为： ， .
【点睛】
本题考查三棱锥的体积的最大值、线段的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题.
江西省八所重点高中2020届高三5月联考数学(理)试题 含答案
C. 3 ）
II
D. 4
雾
艺
工
A
B
C
D
b J 5 5．非零向量;. 满足位＋趴＝ 了，句，且（；；一句；；＝0,；；, 的
夹角为（ ）
A. 30°
8. 45°
C. 60°
D. 90°
6.执行如图所示的程序框图，正确的是(
A.若输入a, b,c的值依次为1,2,4,则输出的值为5
c.8.若输入a,b,c的值依次为2,3,5，则输出的值为7 若输入a, b,c的值依次为3,4,5，则输出的值为15
相切与原点，所以根据 y = ax 与 y = tan x 的图像的关系，可得 a ≤ 1 ；
方法
2：令
g(x)
=
ax
−
tan
x
，则
f
(x)
=
x
⋅
g(x),
g′(x)
=
a
−
1 cos2
x
当 a ≤ 1, x ∈ − π , π 时， g′(x) ≤ 0, g(x)单调递减，而 g(0) = 0
2 2
n +1 an
=
1
，得
an+1 n +1
−
an n
= 1 =1 − 1 ， n(n +1) n n +1
∴ an = n
an n
−
an−1 n −1
+
an−1 − n −1
an−2 n−2
+
…+
a2 2
−
a1 1
+ a1
由（1）（2）解得= ： x
4= a, r 3
2022年江西省八校高考数学第一次联考试卷(理科)+答案解析(附后)
2022年江西省八校高考数学第一次联考试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数z满足，则的虚部为( )A. 1B. iC.D.3. 函数与均单调递减的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D.4. 江西某中学为测试高三学生的数学水平，组织学生参加了联考，共有1000名学生参加，已知该校上次测试中，成绩满分150分服从正态分布，已知120分及以上的人数为160人，假设这次考试成绩和上次分布相同，那么通过以上信息推测这次数学成绩优异的人数为成绩140分以上者为优异( )，，A. 20B. 25C. 30D. 405. 已知实数x，y满足，求的最小值( )A. B. C. D.6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示网格纸上小正方形的边长为，则该“阳马”最长的棱长为( )A. 5B.C.D.7. 若圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是( )A. 3B. 4C. 5D. 88. ，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法错误的是( )A. B. 在上单调递减C. 关于直线对称D. 的最小值为19. 设，是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使为坐标原点，且，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.10. 在平行四边形ABCD中，，现沿着AC将平面ADC折起，E，F 分别为AC和BD的中点，那么当四棱锥的外接球球心不在锥体内部时，EF的最大值为( )A. 1B.C.D.11.设椭圆的左、右焦点分别为，，直线l过且与C交于A，B两点，则内切圆半径的最大值为( )A. B. C. D. 112. 已知函数的三个零点分别为，，，其中，则的取值范围为( )A. B. C. D.13. 若为常数的展开式中第三项为常数项，则该常数项为______.14. 已知，其中，，为的一个零点，且恒成立，则满足条件的整数取值集合为______.15. 校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有______种用数字作答16. 在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，点P是其外接圆O上的任意一点，若，则的最大值为______.17. 已知数列满足：，，，数列的前n项和满足：求数列和的通项公式；求数列的前n项和18. 2022年2月1日是春节，百节年为首，春节是中华民族最隆重的传统佳节，它不仅集中体现了中华民族的思想信仰、理想愿望、生活娱乐和文化心理，而且还是祈福攮灾、饮食和娛乐活动的狂欢式展示．为调查某地从外地工作回来过年的市民以下称为“返赣人员”人数情况，现对某一区域的居民进行抽样调查，并按年龄单位：岁分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中年龄在内的人数为请根据样本数据补充完成列联表，并判断是否有的把握认为是否是从外地回来过年与性别相关；据了解，该地区今年返赣人员占现从该社区居民中随机抽取3人进行调查，记X为这3人中今年是返赣人员的人数，求X的分布列与数学期望．参考公式：，其中参考数据：19. 在中，已知，，，D为线段AB的中点，是由绕直线AO旋转而成，记二面角的大小为当平面平面AOB时，求的值；当时，求二面角的余弦值.20. 已知A是抛物线C：上一点，是x轴上的点，以A为圆心且过点B的圆与y轴分别交于点E、F，且当圆A与x轴相切时，A到抛物线焦点的距离为求抛物线C的标准方程；设线段BE、BF长度分别为、，求的取值范围．21. 已知函数求在点处的切线方程；若方程有两个实数根，，且，证明：22. 在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线的方程是，将向上平移1个单位得到曲线求曲线的极坐标方程；若曲线的切线交曲线于不同两点M，N，切点为T，求的取值范围．23. 已知函数当时，求不等式的解集；若，，求a的取值范围，答案和解析1.【答案】B【解析】解：，，，故选：利用交集运算求解即可．本题考查了交集及其运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：，，，的虚部为故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，结合共轭复数和虚部的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数和虚部的定义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：与均单调递减，，，函数与均单调递减的一个充分不必要条件是故选：根据函数的性质求出，是减函数的充要条件，再根据集合的包含关系判断即可．本题考查了常见函数的性质，考查函数的单调性问题，考查充分必要条件以及集合的包含关系，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：成绩满分150分服从正态分布，又分及以上的人数为160人，分及以下的人数也为160人，，由此可知，，即，，故140分及以上的人数为故选：根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．本题主要考查正态分布的对称性，考查计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示：因为，设，则，平移目标函数，当过点A时，z取得最小值，由，解得，所以z的最小值为，此时取得最小值为故选：画出不等式组表示的平面区域，由，求出的最小值，即可得出答案．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合与转化思想，是基础题．6.【答案】D【解析】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中平面ABCD，，，，，，该几何体最长棱的棱长为：故选：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键．7.【答案】B【解析】解：圆上存在两点关于直线对称，直线经过圆心，即，即，，，当且仅当，即，时，等号成立，故最小值为故选：根据已知条件，结合圆的对称性，以及基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的应用，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：因为，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，所以，所以，则，A正确；，，则，显然B错误；由为偶函数，图象关于对称可知的图象关于对称，C正确；由基本不等式得，，当且仅当时取等号，此时函数取得最小值1，D正确．故选：由已知结合函数奇偶性定义先求出，然后结合单调性及对称性，及基本不等式分别检验各选项即可判断．本题主要考查了利用函数奇偶性求解函数解析式，还考查了函数单调性，对称性的应用及利用基本不等式求解函数的最值，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：，，，，，中，，由双曲线的定义得，，，，，故选：利用向量的加减法可得，故有，可得，由条件可得，由求出离心率．本题考查双曲线的定义和双曲线的简单性质的应用，其中，判断是直角三角形是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：平行四边形ABCD中，，与都是边长为的正三角形，当折起平面ADC时，四棱锥的外接球球心是过的中心平面ADC的垂线与过的中心平面ABC的垂线的交点，，F分别为AC与BD的中点，由对称性可知球心在EF或其延长线上，四棱锥的处接球球心不在锥体内部，若球心与点F重合，连接BE，DE，AF，CF，根据题设可知，，，，，根据勾股定理有，，，，排除故选：由题意可知，当折起平面ADC时，四棱锥的外接球球心在EF或其延长线上，当外接球球心与点F重合时，求出EF的值，再利用排除法求解．本题考查了球的内接多面体和四棱锥的性质，是较难题．11.【答案】C【解析】解：设，，因为的面积，所以，即，所以，设直线AB的方程为，联立，得，所以，，所以，令，则，当且仅当时，等号成立，所以故选：由，结合椭圆的定义，推出，设出直线AB的方程，将其与椭圆方程联立，求出的最大值，即可．本题考查直线与椭圆的位置关系，三角形的面积与内切圆半径之间的关系，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：，显然，令，，即，令，，则，，，令，，要想除1外再有两个零点，则在上不单调，则，解得：或，当时，在恒成立，则在单调递增，不可能有两个零点，舍去；当时，设即的两根为a，b，且，则有，故，令，解得或，令，解得，所以在，上单调递增，在上单调递减，因为，所以，又因为，若，则，因为，所以，所以，因为，所以，故检验：当时，，，此时在上单调递增，又，即，此时为临界情况，，综上，的取值范围为故选：对函数进行整理，构造，结合零点个数及单调性求出，求出且，利用基本不等式得到，从而得到答案．本题考查了利用函数的零点求参数的取值范围和基本不等式的应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．13.【答案】24【解析】解：由已知得，令得，所以该常数项为故答案为：利用通项表示出展开式的第三项，令x的指数为0，求出k的值，即可获解．本题考查二项式展开式通项的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：为的一个零点，且恒成立，，①，，，②，，①+②可得，，，，或，解得或，当时，，，，，解得，，，当时，，，，，解得，，，故满足条件的整数取值集合为故答案为：结合的零点，最值列出不等式，再分类讨论，即可求解．本题主要考查正弦图象的性质，考查分类讨论的思想，属于难题．15.【答案】528【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：①，若三辆汽车互不相邻，有种情况，又由车头朝向不限，则有种情况，此时有种停车方法；②，若三辆汽车中有2辆相邻，种情况，车头朝向有种情况，此时有种停车方法；③，若三辆汽车全部相邻，有种情况，又由车头必须同向，有2种情况，此时有种停车方法；则一共有种停车方法；故答案为：528，根据题意，分3种情况讨论：①，若三辆汽车互不相邻，②，若三辆汽车中有2辆相邻，③，若三辆汽车全部相邻，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】【解析】解：以BC的中点为原点，以所在方向为x轴的正方向，所在的方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，则：，，，可得外接圆的圆心为：，半径为：，所以圆O的方程为：，设，则：，，，所以：故答案为：以BC的中点为原点，以所在方向为x轴的正方向，所在的方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，可求坐标，，，进而可求圆O的方程为：，设，则可求，，的坐标，进而运算即可得解．本题主要考查了平面向量的运算，把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决，属于中档题．17.【答案】解：因为，所以是等差数列，设其公差为d ，则，解得，所以，当时，，所以，当时，，所以，即，所以，所以…，…，两式相减得，…，故【解析】由等差中项的性质知，是等差数列，先求得公差d，再得其通项公式；利用，可证数列是等比数列，进而得解；根据错位相减法，即可得解．本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式，利用求通项公式，错位相减法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：由频率分布直方图可知年龄在上的占比为，根据已知人数为10计算可得总人数为80，列联表如下：返赣人员本地人员合计男251540女103040合计354580，有的把握认为是否是从外地回来过年与性别相关．由题意可得，X的取值可为0，1，2，3，，，，，故分布列为：X0123P故【解析】根据已知条件，结合频率与频数的关系，可补充列联表，再结合独立性检验公式，即可求解．由题意可得，X的取值可为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．19.【答案】解：如图，在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为H，平面平面AOB，平面平面，又，平面AOB，则平面又由平面COD，，又，BH和OA相交，平面又平面AOB，从而，即；在平面BOC中，过O作，以O为原点建立如图所示的空间坐标系，则，，，求得：，设平面OCD的一个法向量为，由，得，令，得，又平面OBD的一个法向量为，二面角的余弦值为【解析】在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为H，证明平面COD，可得，再由，BH和OA相交，可得平面AOB，从而证明；在平面BOC中，过O作，以O为原点建立如图所示的空间坐标系，求出平面OCD 的一个法向量，由图直接得到平面BOD的一个法向量，然后利用两平面法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值．本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何问题，平面与平面垂直的性质，考查利用空间向量求二面角的平面角，属于中档题．20.【答案】解：当轴时，圆A与x轴相切，由题意可知此时点A的横坐标为1，到抛物线焦点的距离为，到抛物线准线的距离为，故准线与y轴之间的距离为，解得：，抛物线C的标准方程为；设A的坐标，由垂径定理可知，设，，，，当时，则；当时，则，，，此时综上所述，【解析】由题意圆A与x轴相切，A到抛物线焦点的距离为，得到A到抛物线准线的距离为，从而求出p及抛物线方程；设A的坐标，由垂径定理可知EF，设，，求得，，，分、讨论可得答案．本题考查了抛物线的定义及性质、分类讨论思想及利用基本不等式求最值，属于中档题．21.【答案】解：，则，由点斜式可得切线方程为；证明：由知在点处的切线方程为，设，构造函数，则，在上单调递减，在上单调递增，又，在上单调递减，在上单调递增，，即，当且仅当时取等号，方程的根，又，由在R上单调递减，所以，另一方面，在点处的切线方程为，设，构造函数，则，，在上单调递减，在上单调递增，又，在上单调递减，在上单调递增，，即，当且仅当时取等号，方程的根为，又，在R上单调递增，，，即得证．【解析】求导，求出切线斜率及切点，利用点斜式方程即可求得切线方程；利用切线放缩思想求证即可．本题考查导数的综合运用，考查导数的几何意义及利用导数证明不等式，考查逻辑推理能力及运算能力，综合性强，难度大．22.【答案】解：曲线的方程是，即，化为，将向上平移1个单位得到曲线：，展开为则曲线的极坐标方程为，即设，切线的参数方程为：为参数，代入的方程化为：，，，，，当时，；当或时，的取值范围是【解析】曲线的方程是，即，利用，即可化为直角坐标方程：再向上平移1个单位得到曲线：，展开利用即可得到曲线的极坐标方程．设，切线的参数方程为：为参数，代入的方程化为：，利用及其三角函数的单调性即可得出．本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、直线参数方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】解：函数，当时，，不等式的解集为R；由，得，两边平方得，解得；不等式的解集为；当，时，，则，解得；当，时，，解得；当，时，；当且仅当时取等号，则，又，解得；综上，a的取值范围是【解析】根据时，求不等式的解集即可；讨论、和时，结合化简函数，求出不等式时a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合题．。
2020年江西省赣州市等八校联考中考数学模拟试卷
中考数学模拟试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.下列学习用具中，不考虑尺具上的刻度文字，不是轴对称图形的是（）A. B.C. D.2.将抛物线y=-（x+1）2向左平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是（）A. （-2，0）B. （0，0）C. （-1，-1）D. （-2，-1）3.将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（）A. cm2B. cm2C. cm2D. （）n cm24.已知甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同，且乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米/小时，依据题意列方程正确的是（）A. B. C. D.5.如图，在平面直角坐标系中，OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（6，4），若直线经过定点（1，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线的表达式（）A. y=x-1B. y=x-C. y=x-1D. y=3x-36.等腰三角形ABC中，AB=CB=5，AC=8，P为AC边上一动点，PQ⊥AC，PQ与△ABC的腰交于点Q，连结CQ，设AP为x，△CPQ面积为y，则y关于x的函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.分解因式：a2b+4ab+4b=______．8.如图，五边形ABCD内接于⊙O，若AC=AD，∠B+∠E=230°，则∠ACD的度数是______．9.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是______．10.如图，菱形ABCD的周长为24cm，∠A=120°，E是BC边的中点，P是BD上的动点，则PE+PC的最小值是______．11.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（-1，2），与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2-4ac＜0；②a+b+c＜0；③c-a=2；④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为______个．12.观察下列等式：（1）第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…用含有n的代数式表示第n个等式：a n=______=______（n为正整数）；（2）按一定规律排列的一列数依次为，1，，，，，…，按此规律，这列数中的第100个数是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）13.解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得______；（Ⅱ）解不等式②，得______；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为______．四、解答题（本大题共10小题，共78.0分）14.先化简：（-x+1）÷，然后从-1≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值．15.如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．（1）求证：△AEF≌△DCE；（2）若CD=1，求BE的长．16.规定：每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形．在8×10的正方形网格中画出符合要求的格点四边形（设每个小正方形的边长为1）．（1）在图甲中画出一个以AB为边的平行四边形ABCD，且它的面积为16；（2）在图乙中画出一个以AB为对角线的菱形AEBF，且它的周长为整数．17.已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝7，求m的值．18.某校随机抽取部分学生，就“学习习惯”进行调查，将“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”（选项为：很少、有时、常常、总是）的调查数据进行了整理，绘制成部分统计图如下：请根据图中信息，解答下列问题（1）该调查的样本容量为______，a=______%，b=______%，“常常”对应扇形的圆心角为______°；（2）请你补全条形统计图；（3）若该校共有3200名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有多少名？19.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（-3，2）、B（2，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．20.如图，海面上甲、乙两船分别从A，B两处同时出发，由西向东行驶，甲船的速度为24nmile /h，乙船的速度为15nmile /h，出发时，测得乙船在甲船北偏东50°方向，且AB=10nmile，经过20分钟后，甲、乙两船分别到达C，D两处．（参考值：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）（1）求两条航线间的距离；（2）若两船保持原来的速度和航向，还需要多少时间才能使两船的距离最短？（精确到0.01）21.如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从B，A两点出发，分别沿BA，AC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）如图①，当t为何值时，AP=3AQ；（2）如图②，当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）如图③，作QD∥AB交BC于点D，连接PD，当t为何值时，△BDP与△PDQ 相似？22.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG=EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：△KGD∽△KEG；②若cos C=，AK=，求BF的长．23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）请直接写出A、B、C三点的坐标：A______B______C______（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动的时间为t（秒），①当t为何值时，BP=BQ？②是否存在某一时刻t，使△BPQ是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、不是轴对称图形，故正确；B、是轴对称图形，故错误；C、是轴对称图形，故错误；D、是轴对称图形，故错误．故选A．根据轴对称图形的概念求解．本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2.【答案】A【解析】解：y=-（x+1）2，其顶点坐标为（-1，0）．向左平移1个单位后的顶点坐标为（-2，0），故选：A．根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的得到坐标．此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．3.【答案】B【解析】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n-1）=．故选：B．根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和．考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．4.【答案】D【解析】解：设甲车的速度为x千米/小时，则乙车的速度为（x+15）千米/小时，由题意得：=，故选：D．首先根据甲车的速度为x千米/小时，表示出乙车的速度为（x+15）千米/小时，再根据关键是语句“甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同”列出方程即可．此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，表示出甲乙两车的速度，再根据关键是语句列出方程即可．此题用到的公式是：路程÷速度=时间．5.【答案】C【解析】解：∵点B的坐标为（6，4），∴平行四边形的中心坐标为（3，2），设直线l的函数解析式为y=kx+b，则，解得，所以直线l的解析式为y=x-1．故选：C．根据过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，先求出平行四边形中心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，熟练掌握过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：过B作BD⊥AC于D，则AD=CD=4，∴由勾股定理可得，BD=3，如图所示，当Q在AB上时，由PQ∥BD，可得=，∴PQ=AP=x，又∵CP=AC-AP=8-x，∴△CPQ面积y=PQ×CP=×x×（8-x）=-x2+3x（0≤x＜4）；如图所示，当Q在BC上时，CP=8-x，由PQ∥BD，可得PQ=CP=（8-x），∴△CPQ面积y=PQ×CP=×（8-x）（8-x）=x2-6x+24（4≤x≤8），∴当0≤x＜4时，函数图象是开口向下的抛物线；当4≤x≤8时，函数图象是开口向上的抛物线．故选：C．过B作BD⊥AC于D，则AD=CD=4，由勾股定理可得BD=3，再分两种情况进行讨论：当Q在AB上时，求得△CPQ面积y=PQ×CP=-x2+3x（0≤x＜4）；当Q在BC上时，求得△CPQ面积y=PQ×CP=x2-6x+24（4≤x≤8），据此判断函数图象即可．本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时注意：二次函数的图象为抛物线，开口方向由二次项的系数符号决定，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．7.【答案】b（a+2）2【解析】解：原式=b（a2+4a+4）=b（a+2）2，故答案为：b（a+2）2原式提取b，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8.【答案】65°【解析】解：连接OC，OD，CE，DB．在圆内接四边形ABCE中，有∠ABC+∠AEC=180°；由圆周角定理知，∠AOC=2∠AEC，∴∠ABC+∠AOC=180°，同理∠AED+∠AOD=180°两式相加有：230°+∠AOC+∠AOD=360°，即∠AOC+∠AOD=260°，∴∠COD=360°-（∠AOC+∠AOD）=100°=2∠CAD，∴∠CAD=50°．∵AC=AD，∴∠ACD=，故答案为：65°依据圆周角定理，依据圆内接四边形的对角互补即可求解．本题考查圆内接四边形问题，关键是利用了圆内接四边形的性质：对角互补，圆周角定理求解．9.【答案】20【解析】解：根据题意得=30%，解得n=20，所以这个不透明的盒子里大约有20个除颜色外其他完全相同的小球．故答案为20．根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．10.【答案】3【解析】解：∵菱形ABCD的周长为24cm，∴，∵∠A=120°，∴∠ABC=60°，方法一：如图，连接AC，连接AE交BD于点P，连接PE，∵菱形ABCD的对角线互相垂直平分，∴点A和点C关于BD对称，∴PA=PC，此时PE+PC=PE+PA=AE，根据两点之间线段最短，∴PE+PC的最小值即为AE的长，∵∠ABC=60°，AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∵AB=6，∴BE=3，∴AE==3．所以PE+PC的最小值是3．故答案为：3．方法二：如图，作点E关于直线BD的对称点E'，连接CE'交BD于点P，则CE'的长即为PE+PC的最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴BD是∠ABC的平分线，∴E'在AB上，由图形对称的性质可知：，∵，∵∠ABC=60°，∴△BEE′是等边三角形，∴△BCE'是直角三角形，∴，故PE+PC的最小值是．故答案为：．根据菱形ABCD的周长为24cm，∠A=120°，可得菱形边长为4cm，方法一：如图，连接AC，连接AE交BD于点P，连接PE，根据两点之间线段最短，PE+PC的最小值即为AE的长，证明△ABC是等边三角形，进而可求AE的长；方法二：作点E关于直线BD 的对称点E'，连接CE'交BD于点P，则CE'的长即为PE+PC的最小值，根据菱形性质可得△BEE′是等边三角形，△BCE'是直角三角形，进而可求CE′的长．本题考查了轴对称-最短路线问题、等边三角形的判定与性质、菱形的性质，解决本题的关键是轴对称的性质．11.【答案】3【解析】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（-1，2），∴抛物线的对称轴为直线x=-1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（-1，2），∴a-b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1，∴b=2a，∴a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；∵当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确．综上所述，共有3个正确结论，故答案为：3．由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-=-1得b=2a，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．本题考查了二次函数的图象与系数的关系，关键是掌握以下性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点12.【答案】；【解析】解：（1），故答案为；；（2）通过观察可发现可得第n个数为，所以当n=100时，．故答案为（1）根据题目中的规律即可得到结论；（2）根据按一定规律排列的一列数依次为，1，，，，，…，可得第n个数为，据此可得第100个数．本题考查了数字变化类问题，解决问题的关键是找出变化规律，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．13.【答案】x＜3；x≥-2；-2≤x＜3【解析】解：（Ⅰ）解不等式①，得：x＜3；（Ⅱ）解不等式②，得：x≥-2；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：（Ⅳ）原不等式组的解集为：-2≤x＜3，故答案为：x＜3、x≥-2、-2≤x＜3．求出每个不等式的解集，根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．本题考查了一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集的应用，关键是求出不等式组的解集．14.【答案】解：原式=（-）÷=×=，当x=1时，原式==3．【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．15.【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠1+∠2=90°，∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△AEF和△DCE中，，∴△AEF≌△DCE（AAS）；（2）解：由（1）知△AEF≌△DCE，∴AE=DC=1，在矩形ABCD中，AB=CD=1，在R△ABE中，AB2+AE2=BE2，即12+12=BE2，∴BE=．【解析】（1）根据矩形的性质和已知条件可证明△AEF≌△DCE；（2）由（1）可知AE=DC，在Rt△ABE中由勾股定理可求得BE的长．本题主要考查矩形的性质和全等三角形的判定和性质，在（1）中证得三角形全等是解题的关键，在（2）中注意勾股定理的应用．16.【答案】解：（1）平行四边形ABCD如图所示．（2）菱形AEBF如图所示．【解析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；（2）构造边长为5的菱形即可．本题考查则有-应用与设计，勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是学会利用扇形结合的思想解决问题．17.【答案】（1）证明：∵x2-（m-3）x-m=0，∴=[-（m-3）]2-4×1×（-m）=m2-2m+9=（m-1）2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：∵x2-（m-3）x-m=0，方程的两实根为x1、x2，且x12+x22-x1x2=7，∴，∴（m-3）2-3×（-m）=7，解得，m1=1，m2=2，即m的值是1或2．【解析】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想解答．（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的的值大于0即可；（2）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．18.【答案】（1）200；12 ；36；108；（2）200×30%=60（名）．（3）∵3200×36%=1152（名）∴“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有1152名．【解析】解：（1）∵44÷22%=200（名）∴该调查的样本容量为200；a=24÷200=12%，b=72÷200=36%，“常常”对应扇形的圆心角为：360°×30%=108°．故答案为：200、12、36、108；（2）见答案；（3）见答案．【分析】（1）首先用“有时”对错题进行整理、分析、改正的学生的人数除以22%，求出该调查的样本容量为多少；然后分别用很少、总是“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数除以样本容量，求出a、b的值各是多少；最后根据“常常”对应的人数的百分比是30%，求出“常常”对应扇形的圆心角为多少即可．（2）求出常常“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数，补全条形统计图即可．（3）用该校学生的人数乘“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生占的百分率即可．此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．19.【答案】解：（1）把A（-3，2）代入得m=-6∴反比例函数的解析式为，又∵B（2，n）在反比例图象上，得n=-3，∴B（2，-3）把A（-3，2）和B（2，-3）代入y=kx+b，∴，∴一次函数的解析式为y=-x-1；（2）当y=0时，y=-x-1得x=-1，∴y=-x-1与x轴的交点坐标是C（-1，0），S△AOB=S△AOC+S△BOC==；（3）当x＜-3或0＜x＜2时，一次函数值大于反比例函数值．【解析】（1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据B在函数图象上，可得B点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式；（2）根据一次函数的纵坐标为0，可得点C的坐标，根据三角形的和差，可得答案；（3）根据观察图象，一次函数图象在上的区域，可得答案．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法是求反比例函数解析式、一次函数解析式的关键．20.【答案】解：（1）过点A作AE⊥DB，交DB的延长线于E，在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，∠EAB=50°，AB=10，∴AE=AB•cos50°=10×0.643=6.43（nmile），答：两条航线间的距离为6.43（nmile）；（2）当甲乙两船的位置垂直时，两船之间的距离最短，过C作CF⊥BD于F．∵BE=AB•sin50°=7.66，AC=24×=8，BD=15×=5，∴DF=BD+BE-AC=4.66，设还需要t小时才能使两船的距离最短，则有：24t-15t=4.66，解得t=0.52（h），答：还需要0.52h才能使两船的距离最短．【解析】（1）过点A作AE⊥DB，交DB的延长线于E，解直角三角形即可解决问题；（2）当甲乙两船的位置垂直时，两船之间的距离最短，过C作CF⊥BD于F．设还需要t小时才能使两船的距离最短，构建方程即可解决问题；本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．21.【答案】解：（1）由题意知，AQ=2t，BP=t，∵△ABC是边长为6cm的等边三角形，∴∠A=60°，AB=6，∴AP=AB-BP=6-t，∵AP=3AQ，∴6-t=3×2t，∴t=，即：t=秒时，AP=3AQ；（2）由（1）知，∠A=60°，AQ=2t，AP=6-t，∵△APQ为直角三角形，①当∠APQ=90°时，AQ=2AP，∴2t=2（6-t），∴t=3秒，②当∠AQP=90°时，AP=2AQ，∴6-t=2×2t，∴t=秒，即：t=3秒或秒时，△APQ是直角三角形；（3）由题意知，AQ=2t，BP=t，∴AP=6-t，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠C=60°，∵QD∥AB，∴∠PDQ=∠BPD，∠QDB=∠A=60°，∴△CDQ是等边三角形，∴CD=CQ，∴BD=AQ=2t，∵△BDP与△PDQ相似，∴①当△BPD∽△PDQ时，∴∠B=∠DPQ=60°，∴∠APQ=∠BDP，∵∠A=∠B，∴△APQ∽△BDP，∴，∴，∴t=秒，②当△BPQ∽△QDP时，∴∠B=∠DQP=60°，∵DQ∥AB，∴∠APQ=∠DQP=60°，∵∠A=60°，∴△APQ是等边三角形，∴AP=AQ，∴6-t=2t，∴t=2秒，即：t=秒或2秒时，△BDP与△PDQ相似．【解析】（1）先表示出AQ=2t，AP=6-t，利用AP=3AQ建立方程求解即可得出结论；（2）分两种情况，利用含30度角的直角三角形的性质（30度角所对的直角边是斜边的一半）建立方程求解即可得出结论；（3）先表示出BD=2t，再分两种情况：①当△BPD∽△PDQ时，判断出∠APQ=∠BDP，进而判断出△APQ∽△BDP，得出比例式建立方程求解；②当△BPQ∽△QDP时，得出∠B=∠DQP=60°，进而判断出△APQ是等边三角形，得出AP=AQ建立方程求解即可得出结论．此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．22.【答案】解：（1）如图，连接OG．∵EG=EK，∴∠KGE=∠GKE=∠AKH，又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，∴∠KGE+∠OGA=90°，∴EF是⊙O的切线．（2）①∵AC∥EF，∴∠E=∠C，又∠C=∠AGD，∴∠E=∠AGD，又∠DKG=∠GKE，∴△KGD∽△KEG；②连接OG，∵，AK=，设，∴CH=4k，AC=5k，则AH=3k∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5k，∴HK=CK-CH=k．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即，解得k=1，∴CH=4，AC=5，则AH=3，设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC=R，OH=R-3k，CH=4k，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（R-3）2+42=R2，∴，在Rt△OGF中，，∴，∴．（1）连接OG，由EG=EK知∠KGE=∠GKE=∠AKH，结合OA=OG知∠OGA=∠OAG，【解析】根据CD⊥AB得∠AKH+∠OAG=90°，从而得出∠KGE+∠OGA=90°，据此即可得证；（2）①由AC∥EF知∠E=∠C=∠AGD，结合∠DKG=∠CKE即可证得△KGD∽△KGE；②连接OG，由设CH=4k，AC=5k，可得AH=3k，CK=AC=5k，HK=CK-CH=k．利用AH2+HK2=AK2得k=1，即可知CH=4，AC=5，AH=3，再设⊙O半径为R，由OH2+CH2=OC2可求得，根据知，从而得出答案．本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、平行线的性质，圆周角定理、相似三角形的判定与性质及切线的判定等知识点．23.【答案】（-2，0）（4，0）（0，-3）【解析】解：（1）由y=x2-x-3得到：y=（x-4）（x-2）或y=（x-1）2-，所以A（-2，0），B（4，0），令x=0，则y=-3，所以C（0，-3）；综上所述，A（-2，0），B（4，0），C（0，-3）；故答案是：（-2，0），（4，0），（0，-3）；（2）①∵A（-2，0），B（4，0），∴AB=6，由BP=BQ得到：6-3t=t，解得t=；②∵B（4，0），C（0，-3），∴OB=4，OC=3，∴BC==5．i）如图1，当∠BPQ=90°时，△BPQ∽△BOC，则=，即=，解得t=；ii）如图2，当∠BQP=90°时，△BPQ∽△BCO，则=，即=，解得t=综上所述，t的值是：或．（1）根据抛物线解析式求得A、B、C三点的坐标；（2）①根据点A、B的坐标得到AB=6，结合点P、Q的运动速度和已知条件列出关于t的方程6-3t=t，通过解方程求得t的值；②需要分类讨论：∠BPQ=90°或∠BQP=90°，由相似三角形的判定与性质得到关于t的方程，通过解方程求得相应的t的值．本题主要考查了一次函数的应用，相似三角形的性质以及二次函数等知识点的综合应用，弄清相关线段的大小和比例关系是解题的关键．。
2023届江西省上饶中学新八校高三上学期第一次联考数学(理)试题(解析版)
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
6.防疫工作，人人有责，某单位选派了甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者到A、B、C三处核酸点参加志愿工作，若每个核酸点至少去1名志愿者，则甲、乙两人派到同一处核酸点参加志愿者工作的概率为（）
故选：B.
11.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E为线段BC上的动点，则下列结论不正确的是（）
[选修4—5：不等式选讲]
23.已知函数 ， ．
（1）当 时，求不等式 解集；
（2）设 ，且当 ， ，求 的取值范围．
江西省新八校
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2023届高三第一次联考理科数学试题
考试时间：120分钟分值：150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【详解】复数 ，
∴ ，则复数 的虚部为1，
故选：A.
3.下列说法正确的是（）
A.“ ， ”的否定形式是“ ， ”
B.若函数 为奇函数，则 .
C.两个非零向量 ， ， 是 的充分不必要条件
江西省八校高三数学下学期联考试卷(理)人教版
江西省 联 合 考 试高三数学试卷（理）（.4）一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{}R y R x y x y x M ∈∈=+=,,0|),(，{}R y R x y x y x N ∈∈=+=,,0|),(22，则有（ ）A.M N M =B.N N M =C.M N M =D.φ=N M 2.若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b 等于（ ） A.3 B.1- C.21-D.2 3.做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在A 、B 、C 、D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本，若在B 单位抽取20份问卷，则在D 单位抽取的问卷份数是（ ） A.30份 B.35份 C. 40份 D.65份 4.如图，已知四边形ABCD 在映射)2,1(),(:y x y x f +→作用下的象集为四边形1111D C B A ，若四边形1111D C B A 的面积是12，则四边形ABCD 的面积是（ ）A. 9B.6C. 36D.125. “⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--=)1(2)1(11)(2x a x x x x f 是定义在),0(+∞上的连续函数”是“直线0)(2=+-y x a a 和直线0=-ay x 互相垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 设)2,1(-=OA ，)1,(-=a OB ，)0,(b OC -=，0,0>>b a ,O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则ba 21+的最小值是（ ） A. 2B. 4C. 6D. 87.若三个数c a ,1,成等差数列，且22,1,c a 又成等比数列，则nn ca c a )(lim 22++∞→等于（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不存在8.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数是（ ）A. 12B.28C.36D.48 9.设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面,αβ截球O 的两个截面圆的半径分别为1和3,二面角l αβ--的平面角为150, 则球O 的表面积为（ ）A.π4B.π16C.π28D.π11210.已知定义域为R 的函数)(x f 对任意实数x 、y 满足y x f y x f y x f cos )(2)()(=-++，且1)2(,0)0(==πf f .给出下列结论：①21)4(=πf ②)(x f 为奇函数 ③)(x f 为周期函数 ④),0()(π在x f 内单调递减其中正确的结论序号是（ ）A. ②③ B .②④ C. ①③ D. ①④11.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右准线分别为1l 、2l ，且分别交x 轴于C 、D 两点，从1l 上一点A 发出一条光线经过椭圆的左焦点F 被x 轴反射后与2l 交于点B ，若AF BF ⊥，且75ABD ∠=︒，则椭圆的离心率等于（ ）A.624-B.31-C.622- D.312-12．函数()f x 定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数②存在D b a ⊆],[使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称)(x f y =为“成功函数”，若函数)1,0)((log )(≠>+=a a t a x f x a 是“成功函数”，则t 的取值范围为（ ） A.()+∞,0B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41, C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0二、填空题（每小题4分，共16分）13.在n xx )1(2-的展开式中，常数项为15，则n 的值为14.空间一条直线1l 与一个正四棱柱的各个面所成的角都为α，而另一条直线2l 与这个正四棱柱的各条棱所成的角都为β，则=+βα22sin sin15.设实数b a 、满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-104230123a b a b a ,则2249b a +的最大值是16.设函数)1lg()(2--+=a ax x x f ，给出下列四个命题：A.)(x f 有最小值；B.当0=a 时，)(x f 的值域是R ；C.当0>a 时，)(x f 在区间[)+∞,2上有反函数；抚州一中 赣州一中 吉安一中 九江一中 萍乡中学 新余一中 宜春中学 上饶县中D.若)(x f 在区间[)+∞,2上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a . 其中正确的命题是三、解答题（共74分） 17.（本小题满分12分） 已知函数2()sin2cos 24x xf x =+ （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角A B C 、、的分别是a b c 、、，若2cos a c b C （－）cosB ＝，求()f A 的取值范围.18．（本小题满分12分）某次国际象棋友谊赛在中国队和乌克兰队之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往战况，每局中国队赢的概率为21，乌克兰队赢的概率为31，且每局比赛输赢互不影响.若中国队第n 局的得分记为n a ，令12n n S a a a =++⋅⋅⋅+.（1）求43=S 的概率；（2）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛不再继续，否则，继续进行.设随机变量ξ表示此次比赛共进行的局数，求ξ的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图，斜三棱柱111C B A ABC -，已知侧面C C BB 11与底面ABC 垂直且90=∠BCA ， 601=∠BC B ，21==BB BC ，若二面角C B B A --1为 30，（1）证明⊥AC 平面C C BB 11； （2）求1AB 与平面C C BB 11所成角的正切值；（3）在平面B B AA 11内找一点P ，使三棱锥C BB P 1-为正三棱锥，并求点P 到平面C BB 1距离. 20．（本小题满分12分）已知0>a ，)1ln(12)(2+++-=x x ax x f ，l 是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线． （１）求切线l 的方程； （2）若切线l 与曲线)(x f y=有且只有一个公共点，求a 的值．21.（本小题满分12分）如图,过抛物线y x 42=的对称轴上任一点P ),0(m )0(>m 作直线与抛物线交于B A ,两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.(1)设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明)(QB QA QP λ-⊥；B1B(2)设直线AB 的方程是0122=+-y x ,过B A ,两点的圆C 与 抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程. 22．（本小题满分14分） 设数列}{n a ，}{n b 满足211=a ，n n a n na )1(21+=+且221)1ln(n n n a a b ++=，*N n ∈． （１）求数列}{n a 的通项公式； （２）对一切*N n ∈，证明nn n b a a <+22成立；（３）记数列}{2n a ,}{n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，证明：42<-n n A B ．高三数学答案（理科）及评分标准一、选择题：（每题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ADCBADCBDACD二、填空题（每题4分，共16分）13． 6 14． 1 15． 25 16． B 、C三、解答题（本大题共6题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17题．（ 12分）解析：(1) ()2sin(122cos1)4x f x x =++-sin cos 122x x=++2sin(1)24x π=++()4f x T π∴=的最小正周期为 . （5分）(2) ()2cos cos a c B b C -=由得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=()2sin cos sin sin A B B C A ∴=+= （8分） sin 0A ≠ 1cos 2B ∴=＝>3B π=， 23A C π∴+=()21)24f A A π=++又，203A π∴<<，742412A πππ∴<+<， （10分） 又∵7sinsin 412ππ<，2sin(12)24A π∴<≤+，()221f A ∴<≤. （12分） 18题．（ 12分）解：（1）43=S ，即前3局中国队1胜2平或2胜1负。
江西省2020八校第二次联考试卷数学(理)参考答案
由图可知， f (x) 的对称轴是 x k , k Z ； 4
所以 x 是 f (x) 图象的一条对称轴， A 正确； f (x) 的最小正周期是 ，所以 B 错误；
2
2
f
(x)
是偶函数，没有对称中心，C
错误；由图可知，
f
(x)
1 2
sin
2x
在区间
π 4
，π 2
上是单调减
函数，D 错误.故选 A.
当 x 1, 时， y 0 ，函数单调递增，
所以 x 0 时，函数的最小值 f 1 1， 作出函数 y f x 与 y 2a 的图象，
观察他们的交点情况，可知， 1 2a 1 1 或 2a 1时，即 1 a e 1 或 a 1 时有且只有 2 个
e
2
2e
2
零点满足题意，故选 B.
，则
AE
x
AC
y
AD
1 4
AC
3 4
AD
,所以
y x
an1
2 3
an
2an an1
3
，
所
以
an1 2a an an1
3(n
2)
，又因为
a1
1, a2
2,
所以数列 an+1
an 是首项为
1，
公比为
3
的等比数列.即
an+1
an
=3n1
，所以
从而可得 c 2 ，设△ ABF2 的内切圆的半径为 r ，由面积相等可得
12 2
2 2 2= 1 (2 2
23
23
2) r ，解得 r 1.故选 D.
10. 【解析】由 f (x) 2a 0 ，得 f x 2a ， y xex 1
江西省宜春市八校2023届高三第一次联考数学(理)试题(含解析)
江西省宜春市八校2023届高三第一次联考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．25B．24C．55．若π13πtan sin123α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πtan4α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．39-B．35-C．396．2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17排甲､乙等5名志愿者去A，B，C三个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人A ．62B ．20239．已知函数()f x 满足()()1ln f x x f x x'+1⎛⎫1⎛⎫二、填空题14．已知函数()3sin 4cos f x x x =+，且对任意实数x 都有()(2)(R)f x f x αα=-∈sin 2α的值为__________．15．已知一组数据x ，x ，x ，…，x 的平均数为x ，方差为2s .若31x +，3x +(1)若BE ＝B 1E ，证明：CC 1⊥(2)若112BE B E =，求二面角19．已知椭圆C :(22221x y a b+=(1)求椭圆C 的方程；参考答案：326x y --的几何意义是曲线上的点到直线3260x y --=的距离的两倍，双曲线的渐近线3y x =与3所以曲线在第一、三象限上的点到在12F PF △中，由余弦定理得4c 可得()22422cos3c m n mn mn =-+-即得2222544487916c a a a =+⨯=279c =，所以，(PC PB PA PB OA ⋅=-⋅=- ()1OP OA OB OA OB =⋅+-⋅-，因为()22OA OB OPOA OB +-=+因为四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，11BC B C ==因为1AA BD ⊥，1AA ，AC ⊂则131,,33E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以51,3AE ⎛= ⎝ 易知平面11ACC A 的一个法向量为则100AC m AE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3305333y z x y ⎧+=⎪⎨++⎪⎩21．(1)(23)3n n a =-+，1,2,3,n =(2)证明见解析【分析】（1）由题意可得13n a +-=比为23-的等比数列，由等比数列的通项公式即可求出。
2020-2021学年江西省八校(新余一中等)高二(下)第四次联考数学试卷(理科)(附答案详解)
2020-2021学年江西省八校（新余一中、宜春中学等）高二（下）第四次联考数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知A={x|log2(x+2)<1}，B={x|x2−2x−3≤0}，则A∪B=()A. (−2,3]B. [−2,3]C. [−1,0)D. (−∞,3]2.设a=log20.4，b=0.42，c=20.4，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. a<c<bC. b<a<cD. b<c<a3.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为1112，则判断框中填写的内容可以是()A. n<5B. n<6C. n≤6D. n<94.屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代.某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为2.4m，内环弧长为0.6m，径长(外环半径与内环半径之差)为0.9m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为()A. 1.20m2B. 1.25m2C. 1.35m2D. 1.40m25.从4名男同学和3名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出2名同学中恰好有1男1女同学的概率是()A. 27B. 47C. 17D. 376. 函数f(x)=(e −x −e x )sin2x 的部分图象可能是( )A.B.C.D.7. 已知实数x ，y 满足{x ≤2x +y ≥2x +2y ≤4，则√x 2+y 2的最大值为( )A. 2B. √5C. 4D. 58. 非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ，a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π6，|b ⃗ |=4，则c⃗ 在a ⃗ 上的投影为( )A. 2B. 2√3C. 3D. 49. 已知{a n }为无穷等比数列，且公比0<q <1，记S n 为{a n }的前n 项和，则下面结论正确的是( )A. a 3<a 2B. a 1×a 2>0C. {a n }是递减数列D. S n 存在最小值10. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2(如图)，过F 2的直线交E 于P ，Q 两点，且PF 1⊥x 轴，|PF 2|=13|F 2Q|，则E 的离心率为( )A. √33B. 12C. √22D. √3211. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，且f(x)的图象关于点(x 0,0)对称，则|x 0|的最小值为( )A. 2π3 B. π6 C. π3 D. 5π612. 如图，已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，侧棱长为2，点P ，Q 分别在半圆弧Ĉ1C ，A ̂1A(均不含端点)上，且C 1，P ，Q ，C 在球O 上，则下列命题：①当点Q 在Â1A 的三等分点处，球O 的表面积为(11−3√3)π； ②当点P 在Ĉ1C 的中点处，过C 1，P ，Q 三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形；③当点P 在Ĉ1C 的中点处，三棱锥C 1−PQC 的体积为定值． 其中真命题的个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 0二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是______ ．0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 14109577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 517914. 设函数f(x)={5x −m,x <12x,x ≥1，若f(f(45))=8，则m = ______ ． 15. 已知(x +3)6=a 0+a 1(x +1)+⋯+a 5(x +1)5+a 6(x +1)6，则a 5= ______ ． 16. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点F 2的直线l 交该双曲线的右支于M ，N 两点(M 点位于第一象限)，△MF 1F 2的内切圆半径为R 1，△NF 1F 2的内切圆半径为R 2，且满足R1R 2=3，则直线l 的斜率______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，BD=√7，∠BAD=2π．3(Ⅰ)求边AB的长；(Ⅱ)若∠CBD=π，BC=BD，求△ABC的面积．318.已知公比大于1的等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=14，a3=8．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，求}的前n项和T n．数列{1dn19.如图，四棱锥E−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AB⊥BC，CD//AB，面ABE⊥面ABCD，且AB=AE=BE=2BC=2CD=4，点M在棱AE上．(1)证明：当MA=2EM时，直线CE//平面BDM；(2)当AE⊥平面MBC时，求二面角E−BD−M的余弦值．20. 在某运动会上，有甲队女排与乙队女排以“五局三胜”制进行比赛，其中甲队是“慢热”型队伍，根据以往的经验，首场比赛甲队获胜的概率为P ，决胜局(第五局)甲队获胜的概率为23，其余各局甲队获胜的概率均为12． (1)求甲队以3：2获胜的概率；(2)现已知甲队以3：0获胜的概率是112，若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求甲队得分的分布列及数学期望．21. 已知抛物线E ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，以F 为圆心的圆与l 相切，与抛物线E 相交于M ，N 两点，且|MN|=4． (1)求抛物线E 的方程；(2)不与坐标轴垂直的直线与抛物线E 交于A ，B 两点，与x 轴交于P 点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于Q 点，若|AB|=2|PQ|，求P 点的坐标．22.已知函数f(x)=2xlna−(x+a)lnx．(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的零点个数．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A={x|log2(x+2)<1}，B={x|x2−2x−3≤0}，∴A=(−2,0)，B=[−1,3]∴则A∪B=(−2,3]，故选：A．先解出A，B，再进行并集运算．考查集合交并补，以及不等式，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵log20.4<log21=0，∴a<0，∵0.42=0.16，∴b=0.16，∵20.4>20=1，∴c>1，∴a<b<c，故选：A．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．3.【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2；满足条件，S=12，n=4；满足条件，S=12+14=34，n=6；满足条件，S=12+14+16=1112，n=8；由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为1112；故判断框中填写的内容可以是n≤6．故选：C．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=8时，S=1112，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值，由此得出判断框中填写的内容是什么．本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的S值是解题的关键，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：设小扇形的半径为r，则大扇形的半径为r+0.6，所以r+0.9r =2.40.6，r=0.3，所以扇环面积为12×2.4×(0.3+0.9)−12×0.6×0.3=1.35，所以扇环内需要进行工艺制作的面积估计值为1.35m2．故选：C．求出小扇形的半径，计算扇环的面积即可．本题考查了扇环的面积计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：从4名男同学和3名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n=C72=21，选出2名同学中恰好有1男1女同学包含的基本事件个数m=C41C31=12，则选出2名同学中恰好有1男1女同学的概率是P=mn =1221=47．故选：B．基本事件总数n=C72=21，选出2名同学中恰好有1男1女同学包含的基本事件个数m=C41C31=12，由此能求出选出2名同学中恰好有1男1女同学的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．6.【答案】C【解析】解：f(−x)=(e x −e −x )sin(−2x)=(e −x −e x )sin2x =f(x)，即f(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，B ，当0<x <π2时，sin2x >0，e −x −e x <0，即此时f(x)<0，排除D ， 故选：C ．判断函数的奇偶性和对称性，判断当当0<x <π2时，f(x)<0，利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及排除法是解决本题的关键，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由约束条件作出可行域如图，√x 2+y 2的几何意义为可行域内动点到坐标原点的距离， 联立{x =2x +2y =4，解得A(2,1)，由图可知，√x 2+y 2的最大值为√22+12=√5． 故选：B ．由约束条件作出可行域，再由√x 2+y 2的几何意义，即可行域内动点到坐标原点的距离求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．8.【答案】B【解析】解：非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ，a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π6，|b ⃗ |=4，可得|a⃗ ||b ⃗ |cos π6=|a ⃗ ||c ⃗ |cos <a ⃗ ,c ⃗ >， 所以|c ⃗ |cos <a ⃗ ,c ⃗ >=4×√32=2√3，所以c⃗在a⃗上的投影为2√3．故选：B．利用向量的数量积的等式，化简求解推出c⃗在a⃗上的投影．本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．9.【答案】B【解析】解：例如数列{a n}以−2为首项，以12为公比的等比数列，a2=−1，a3=−12，A，C，D显然错误；a1⋅a2=a12q>0一定成立，B正确；故选：B．利用反例：数列{a n}以−2为首项，以12为公比的等比数列，分别检验各选项即可判断．本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：过Q作QH垂直x轴，交x轴于H，由题意可得，P(−c,b2a )，PF1=b2a，△PF1F2∽△QHF2，∴|PF2||F2Q|=|PF1||QH|=|F1F2||F2H|=13，∴|QH|=b213a ，|HF2|=2c13，所以点Q(15c13,−b213a)，又点Q在椭圆上，∴(15c13)2a +(−b213a)2b=1，即225c2+b2=169a2，又b2=a2−c2，∴224c2=168a2，∴e=ca =√32，故选：D．利用题中的条件解出PF1的长度，过Q作QH垂直x轴，交x轴于H，利用三角形相似，可以表示出点Q的坐标，将Q点坐标代入椭圆方程，即可解出．本题考查了椭圆的性质，离心率，学生的数学运算能力，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象，可得A=2，3 4⋅2πω=11π6−π3，∴ω=1．集合五点法作图，1×π3+φ=π2，∴φ=π6，f(x)=2sin(x+π6).根据f(x)的图象关于点(x0,0)对称，可得x0+π6=kπ，k∈Z，则|x0|的最小值为π6，此时，k=0，故选：B．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式，结合在正弦函数的零点，求得|x0|的最小值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的零点，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：如图1，取CC1的中点EDD1的中点F，AA1的中点G，根据题意，球心O在线段EF上，设∠EFQ=θ，θ∈[0,π2)，则由余弦定理|FQ|2=2−2cosθ，设OE=x，则|OC|=x2+1，|OQ|2=|OF|2+|FQ|2=(1−x)2+2−2cosθ，因为|OQ|2=|OC|2=R2(R为球O的半径)，所以x=1−cosθ∈[0,1)，所以R2=|OC|2=x2+1∈[1,2)，所以球O的表面积为S=4πR2∈[4π,8π)，故C错误；当点Q在Â1A的三等分点处，θ=π6，则x=1−cosθ=1−√32，所以R2=|OC|2=(1−√32)2+1=114−√3，所以球O的表面积为S=4πR2=4π(114−√3)=(11−4√3)π，故A错误；对于B：取DD1中点F，当点Q在FA⏜上是，连接AF，在平面ADD1A1中过点Q作AF的平行线，与线段DD1，AD分别交于M，N，延长C1P与BC相交，连接交点与点N交AB于S，此时，当点P在Ĉ1C中点处，过点C1，P，Q三点的平面截正四棱柱所得的截面为五边形C1MNSP，故B错误；对于D：当点P在Ĉ1C的中点处，三棱锥C1−PQC的体积为V Q−PCC1=V A−PCC1=13×12×2×1×1=13，为定值，故D正确．故选：C．对于C：取CC1的中点E，DD1的中点F，AA1的中点G，根据题意得球心O在线段EF上，设∠FGQ=θ，θ∈[0,π2)，设OE=x，根据|OQ|2=|OC|2=R2(R为球O的半径)，得x=1−cosθ∈[0,1)，进而可得R2=|OC|2=x2+1∈[1,2)，即可判断C是否正确；对于A ：当点Q 在A ̂1A 的三等分点处，θ=π6，进而根据上述运算，即可判断A 是否正确；对于B ：当点Q 在FA⏜上时，可知其截面为五边形，即可判断B 是否正确； 对于D ：根据等体积法求解即可．本题考查空间几何体的外接球，直棱柱的截面图形，几何体的体积等，解题中需要空间想象能力，属于中档题．13.【答案】11【解析】解：利用随机数表，从第一行第3列开始，由左至右一次读取，即47开始读取，在编号范围内的提取出来，可得36，33，26，16，11， 则选出来的第5个零件编号是11． 故答案为：11．根据用随机数表法抽取样本数据的方法，抽取对应的数据即可． 本题考查了利用随机数表法抽取样本数据的应用问题，是基础题．14.【答案】1【解析】解：根据题意，函数f(x)={5x −m,x <12x ,x ≥1，则f(45)=5×45−m =4−m ，当m ≤3时，4−m ≥1，f(f(45))=f(4−m)=24−m =8，解可得m =1，符合题意， 当m >3时，4−m <1，f(f(45))=f(4−m)=5(4−m)−m =20−6m =8，解可得m =2，不符合题意， 综合可得：m =1， 故答案为：1根据题意，求出f(45)的表达式，分m ≤3与m >3两种情况讨论，求出m 的值，综合可得答案．本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数解析式的求法，属于基础题．15.【答案】12【解析】解：因为(x +3)6=[2+(x +1)]6=a 0+a 1(x +1)+⋯+a 5(x +1)5+a 6(x +1)6，二项展开式的通项公式为T r+1=C 6r 26−r (x +1)r ， 当r =5时，T 6=C 65×2⋅(x +1)5， 所以a 5=2C 65=12．故答案为：12．将(x +3)6变形为[2+(x +1)]6，然后利用二项展开式的通项公式公式求解即可． 本题考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式的应用，解题的关键是在于将(x +3)6变形为[2+(x +1)]6，属于基础题．16.【答案】√3【解析】解：设△MF 1F 2的内切圆为圆O 1，与三边的切点分别为A ，B ，C ， 如图所示，设MA =MC =m ，AF 1=BF 1=n ，BF 2=CF 2=t ， 由双曲线的定义可得{(m +n)−(m +t)=2a n +t =2c ， 所以n =a +c ，由此可知，在△MF 1F 2中，O 1B ⊥x 轴于点B ，同理可得O 2B ⊥x 轴于点B ， 所以O 1O 2⊥x 轴，过圆心O 2作CO 1的垂线，垂足为D ，因为∠O 2O 1D +∠BF 2C =180°，∠BF 2C +∠CF 2x =180°， 所以∠O 2O 1D 与直线l 的倾斜角相等，因为R1R 2=3，不妨设R 1=3，R 2=1，则O 2O 1=3+1=4，O 1D =3−1=2， 在Rt △O 2O 1D 中，O 2D =√42−22=2√3， 所以tan∠O 2O 1D =O 2DO 1D =2√32=√3，故直线l 的斜率为√3．故答案为：√3．设MA=MC=m，AF1=BF1=n，BF2=CF2=t，利用双曲线的定义可得n=a+c，作出图形，结合图形分析，可知∠O2O1D与直线l的倾斜角相等，利用直角三角形中的边角关系，求出tan∠O2O1D，即可得到直线l的斜率．本题考查了直线与双曲线的位置关系，直线与圆的位置关系的综合应用，直线的斜率与倾斜角的关系的应用，解题的关键是将直线的倾斜角转化为∠O2O1D进行求解，考查了数形结合法的运用，逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)在△ABD中，AD=1，BD=√7，∠BAD=2π3，由余弦定理BD2=AD2+AB2−2AD⋅AB⋅cos∠BAD，可得7=1+AB2−2×1×AB×(−12)，整理可得AB2+AB−6=0，解得AB=2，(负值舍去)．(Ⅱ)因为∠CBD=π3，BC=BD，所以在△ABD中，由正弦定理BDsin∠BAD =ADsin∠ABD，所以sin∠ABD=ADBD⋅sin∠BAD=1√7×√32=√2114，因为∠ABD∈(0,π3)，所以cos∠ABD=√1−sin2∠ABD=√1−21196=5√714，所以sin∠ABC=sin(∠ABD+∠DBC)=sin∠ABDcosπ3+cos∠ABDsinπ3=√2114×12+5√7 14×√32=3√2114，所以S△ABC=12AB⋅BC⋅sin∠ABC=12×2×√7×3√2114=3√32．【解析】(Ⅰ)由已知利用余弦定理可得AB2+AB−6=0，解方程可得AB的值．(Ⅱ)由已知利用正弦定理可求sin∠ABD的值，结合∠ABD∈(0,π3)，利用同角三角函数基本关系式可求cos∠ABD的值，利用两角和的正弦公式可求sin∠ABC的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意，设等比数列{a n }的公比为q(q >1)，则{a 1(1−q 3)1−q =14a 1q 2=8，化简整理，得3q 2−4q −4=0， 解得q =2，或q =−23(舍去)． ∴a 1=8q 2=2，∴a n =2n ，n ∈N ∗． (2)由题意及(1)，可知d n =a n+1−a n n+1=2nn+1，∴1d n=n+12n ，∴T n =22+322+423+⋅⋅⋅+n2n−1+n+12n，12T n=222+323+424+⋅⋅⋅+n2n +n+12n+1， 两式相减，可得12T n =1+12+12+12+⋅⋅⋅+12−n+12=1+122(1−12n−1)1−12−n +12n+1 =1+12(1−12n−1)−n +12n+1=32−n+32n+1，∴T n =3−n+32n．【解析】(1)先设等比数列{a n }的公比为q(q >1)，然后根据已知条件列出关于首项a 1与公比q 的方程组，解出a 1与q 的值，即可计算出等比数列{a n }的通项公式；(2)根据题意及等差数列的定义计算出公差d n 的不等式，进一步计算出数列{1d n}的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前n 项和T n ．本题主要考查等比数列基本量的运算，以及数列求前n 项和．考查了方程思想，转化与化归思想，综合法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．19.【答案】解：(1)证明：连接BD 与AC 交于点N ，连接MN ，∵AB//CD ，AB =2CD =4， ∴△CND∽△ANB ，∴CD AB =CN AN =12， ∵EMMA =12， ∴EMMA =CNAN ， ∴MN//EC ，又MN ⊂面BDM ，CE ⊄面BDM ， ∴CE//面BDM ； (2)∵AE ⊥平面MBC ， ∴AE ⊥BM ，∴M 是AE 的中点，取AB 的中点O ，则OE ⊥平面ABCD ，以OD ，OA ，OE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图，则B(0,−2,0),E(0,0,2√3),D(2,0,0),A(0,2,0),M(0,1,√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2√3),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,√3)，设平面EBD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0m ⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2√3z =0，则可取m⃗⃗⃗ =(√3,−√3,1)，同理可得平面BDM 的一个法向量为n ⃗ =(1,−1,√3)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√3+√3+√3√7⋅√5=3√10535， ∴二面角E −BD −M 的余弦值为3√10535．【解析】(1)根据比例关系可得EM MA =CNAN ，进而得到MN//EC ，由此即可得证； (2)建立空间直角坐标系，求出平面EBD 及平面BDM 的法向量，再利用向量的夹角公式即可得解．本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)记甲以3：2获胜为事件A ，P(A)=P ×C 31×12×(12)2×23+(1−P)×C 32(12)2×12×23=14．(2)∵甲以3：0获胜的概率为112， ∴p ×(12)2=112，解得p =13，记甲的得分为X ，则X 的取值为0，1，2，3，P(X =3)=13×12×12+23×12×12×12+13×12×12×12×2=14， P(X =2)=P(A)=14， P(X =1)=23×C 31×(12)3×13+13C 32(12)3×13=18，P(X =0)=23×12×12+23×C 21(12)3+13×(12)3=38，所以X 的分布列为：∴E(X)=0×38+1×18+2×14+3×14=118．【解析】(1)由概率公式直接计算即可；(2)甲的得分取值分别为0，1，2，3，分别计算出对应的概率，即可解出． 本题考查了统计与概率，分布列，数学期望，属于基础题．21.【答案】解：(1)抛物线E ：y 2=2px(p >0)的焦点为F(p2,0)，准线为l ：x =−p2， 以F 为圆心的圆与l 相切，可得圆F 的方程为(x −p2)2+y 2=p 2， 与抛物线y 2=2px 联立，可得x 2+px −34p 2=0， 解得x =p2(−32p 舍去)，可设M(p2,p)，N(p2,−p)，则|MN|=2p =4， 解得p =2，则抛物线的方程为y 2=4x ；(2)设AB 的方程为x =my +n ，可得P(n,0)， 由{y 2=4xx =my +n，可得y 2−4my −4n =0，设A，B的纵坐标分别为y1，y2，则△=16m2+16n>0，y1+y2=4m，y1y2=−4n，则|AB|=√1+m2⋅|y1−y2|=√1+m2⋅√(y1+y2)2−4y1y2=√1+m2⋅√16m2+16n，又AB的中点为(n+2m2,2m)，线段AB的垂直平分线的方程为y−2m=−m(x−n−2m2)，则Q(n+2m2+2,0)，|PQ|=2m2+2，由|AB|=2|PQ|，可得2⋅√16m2+16n=4(m2+1)，化为m2+n=m2+1，解得n=1，即P(1,0)．【解析】(1)由抛物线的焦点和准线方程，可得圆F的方程，联立抛物线的方程，求得M，N的坐标和|MN|，解得p，可得抛物线的方程；(2)设AB的方程为x=my+n，可得P的坐标，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式可得|AB|，求得线段AB的垂直平分线方程，可得Q的坐标，求得|PQ|，解方程可得n，进而得到P的坐标．本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)当a=e时，f(x)=2x−(x+e)lnx，导数为f′(x)=2−lnx−x+ex=1−lnx−ex，可得曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为1−ln1−e=1−e，切点为(1,2)，则方程为y−2=(1−e)(x−1)，即为y=(1−e)x+1+e．(2)显然a>0，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2lna−lnx−x+ax ，令g(x)=f′(x)=2lna−lnx−x+ax，则g′(x)=−1x+ax2，当0<x<a时，g′(x)>0，当x>a时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减，则g(x)有最大值且g(x)max=g(a)=lna−2．当lna−2≤0，即0<a≤e2时，g(a)≤0，于是g(x)≤0，即f′(x)≤0，f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(a)=0，则f(x)只有一个零点．当lna−2>0，即a>e2时，g(a)>0，g(1)=2lna−1−a，令ℎ(a)=2lna−1−a(a>e2)，则ℎ′(a)=2a −1=2−aa<0，所以ℎ(a)在(e2,+∞).上单调递减，ℎ(a)<4−1−e2=3−e2<0，即g(1)<0．又g(a)>0，g(x)在(0,a)上单调递增，所以存在x1∈(1,a)，使得g(x1)=0，当0<x<x1时，g(x)<0，当x1<x<a时，g(x)>0，即当0<x<x1时，f′(x)<0，当x<x<a时，f′(x)>0．另一方面，g(a2)=2lna−lna2−a2+aa2=−a2+aa2<0，又g(a)>0且g(x)在(a,+∞)上单调递减，所以存在x2∈(a,a2)，使得g(x2)=0，当a<x<x2时，g(x)>0，当x>x2时，g(x)<0，即当a<x<x2时，f′(x)>0，当x>x2时，f′(x)<0，因此，当0<x<x1时，f′(x)<0，当x1<x<x2时，f′(x)>0，当x>x2时，f′(x)<0，即f(x)在(0,x1)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增，在(x2,+∞)上单调递减．由于f(a)=0，且x1<a<x2，所以f(x)在(x1,x2)上有唯一零点，且f(x1)<0，f(x2)>0，又f(1)=2lna>0，所以f(x)在(1,x1)上有唯一零点，即f(x)在(0,x1)上有唯一零点，又f(a2)=2a2lna−(a2+a)lna2=−2alna<0，所以f(x)在(x2,a2)上有唯一零点，即f(x)在(x2,+∞)上有唯一零点，故当a>e2时，函数f(x)有三个零点．综上，当0<a≤e2时，函数f(x)有一个零点；当a>e2时，函数f(x)有三个零点．【解析】(1)求导数，可得切线的斜率，求出切点坐标，可得切线方程；(2)对f(x)求导，g(x)=f′(x)，再对g(x)求导，利用导数求出g(x)的单调性，进而可得g(x)的最大值，对a分类讨论，判断f′(x)的符号，从而可得f(x)的单调性，利用零点存在定理即可求得函数的零点个数．本题考查曲线在某点处的切线方程，函数零点个数的判断，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．。
江西省赣州市八校2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题(wd无答案)
江西省赣州市八校2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题一、单选题(★★) 1. 已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）A．B．C．D．(★) 2. 已知向量满足，则（）A．4B．3C．2D．0(★★) 3. 等比数列的各项均为正数，且，则（）A．B．C．D．(★★★) 4. 《九章算数》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积为3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A．1升B．升C．升D．升(★★) 5. 在中，若，则的形状是（）A．锐角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形(★) 6. 已知等比数列中，，则的值为（）A．2B．4C．8D．16(★★) 7. 已知正项等比数列中，，与的等差中项为9，则（）A．729B．332C．181D．96(★) 8. 在中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，且，则角 B 的大小是（）A．45°B．60°C．90°D．135°(★★) 9. 在中，若，则角等于（）A．B．C．或D．或(★★) 10. 如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则A．B．C．D．(★★) 11. 已知，点满足且，则等于（）A．B．1C．D．(★★★★) 12. 已知的内角、、满足，面积满足，记、、分别为、、所对的边，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 已知向量，若，则 m= ____ .(★★★) 14. 等差数列中，，，则满足不等式的正整数的最大值是 ______ .(★★★)15. 已知在中，内角所对的边分别为，且，，则 ________________ .(★★★★) 16. 数列满足，，实数为常数，①数列有可能为常数列；② 时，数列为等差数列；③若，则；④ 时，数列递减；则以上判断正确的有 ______ （填写序号即可）三、解答题(★★) 17. 已知 A(1，1)， B(3，－1)， C( a， b)．（1）若 A， B， C三点共线，求 a， b的关系式；（2）若＝2 ，求点 C的坐标．(★★) 18. 已知向量．(1)求与的夹角的余弦值；(2)若向量与垂直，求的值．(★★★) 19. 已知向量，且.（1）求及；（2）若，求的最大值和最小值.(★★★) 20. 已知数列与，若且对任意正整数满足数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和(★★) 21. 在中，分别为内角所对的边，．（1）求；（2）若，且其外接圆的半径，求的面积．(★★★) 22. 已知数列中，；（1）求，；（2）求证：是等比数列，并求的通项公式；（3）数列满足，数列的前 n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.。