含参二次不等式因式分解
含参数的一元二次不等式的解法
1 2a
综上：原不等式的解集为
1a
当 a＞0 时，{x|－a＜x＜2a}； 当 a＜0 时，{x|2a＜x＜－a}；
x 2ax a 0
当 a＝0 时，∅ .
x1 2a或x2 a
讨论：(1)当 2a a时，即 a＞0，则－a＜x＜2a， (2)当 2a＜ a时，即a 0, 则 2a＜x＜－a
1 m
1 m 1
x mx m 1 0
x1 m 或x2 m 1
m x m1 口诀：小于取中间
3判断根的大小，画二次 函数图像
[点评] 二次项系数不含参数的一元二次不等式的解法： (1)将二次项系数转化为正数； (2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省
去此步)； (3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了
ax2+bx+c<0 的解集
(a>0)﹛x|x1<x<x2 ﹜
Φ
无实根 R Φ
解一元二次不等式的步骤
1、把一元二次不等式化为标准形式，即不等式 的左边是二次函数的解析式，右边是0，二次项的系 数大于0；
3、画出对应二次函数的图像，写出不等式的解 集。
什么是含参不等式？
通俗的说：不等式中除了变量x或y,还有其他代 表常数的字母，这个字母就叫参数。所对应的 不等式就叫含参不等式。
2当a 0时，1 2 ax 2x 2 0
再讨论：①当
2
2
a 2
时，即 a
x1
2 a
或x2
2
1 此时原不等式的解
a
集
Hale Waihona Puke x2 ax
2
②当 2＜2时，即 0＜a＜1，此时原不等式的解 a
微专题06 含参数不等式问题的处理策略(解析版)
微专题06 含参数不等式问题的处理策略【方法技巧与总结】解含参不等式，常常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参不等式问题的一个难点。
解决此类问题利用函数与方程思想、数形结合思想及分类与整合思想。
【题型归纳目录】题型一：含参数一元二次不等式（因式分解型） 题型二：含参数一元二次不等式（不能因式分解型） 题型三：分式、根式含参数不等式问题 题型四：绝对值含参不等式问题 【典型例题】题型一：含参数一元二次不等式（因式分解型） 例1．（2022·全国·高一专题练习）解下列不等式： (1)22120(0)x ax a a --<<； (2)()10(01)a x x a a ⎭-->⎫⎪< <⎛⎝．【解析】（1）依题意22120(0)x ax a a --<<，()()430x a x a -+<，403a a <<-解得43a x a <<-，所以不等式22120(0)x ax a a --<<的解集为{}|43x a x a <<-. （2）依题意()10(01)a x x a a ⎭-->⎫⎪< <⎛⎝，()110,1x a x a a a⎛⎫--<<< ⎪⎝⎭， 解得1a x a<<， 所以不等式()10(01)a x x a a ⎭-->⎫⎪< <⎛⎝的解集为1|x a x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 例2．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）已知关于x 的不等式2320(R)ax x a ++>∈. (1)若2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，求实数,a b 的值； (2)求关于x 的不等式2321ax x ax -+>-的解集.【解析】（1）因为2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，所以方程2320ax x ++=的两个根为,1(1)b b <，由根与系数关系得:3121b ab a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得525a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2）22321(3)30(3)(1)0ax x ax ax a x ax x -+>-⇒-++>⇒-->， 当a =0，不等式为10x -<，不等式的解集为{}1x x <；当0a <时，不等式化为3()(1)0x x a --<，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当0a >时，方程2321ax x ax -+=-的两个根分别为：3,1a.当3a =时，两根相等，故不等式的解集为{|1}x x ≠； 当3a >时，31a <，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >； 当0<<3a 时，31a>，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >，.综上：当0a <时，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当a =0，不等式的解集为{}1x x <；当0<<3a 时，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >.当3a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠； 当3a >时，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >； 例3．（2022·全国·高一专题练习）设1a >，则关于x 的不等式1(1)()()0a x a x a---<的解集是_________. 【答案】()1,,a a⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】1a >时，10a -<，且1a a>， 则关于x 的不等式1(1)()()0a x a x a ---<可化为1()()0x a x a-->，解得1x a<或x a >， 所以不等式的解集为(-∞，1)(a a ⋃，)∞+．故答案为：()1,,a a⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭例4．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0． (1)当a ＝2时，解关于x 的不等式；(2)当a ＞0时，解关于x 的不等式．【解析】（1）当a ＝2时，不等式2x 2﹣x ﹣1＜0可化为：（2x +1）（x ﹣1）＜0， ∴不等式的解集为1{|1}2x x -＜＜；（2）不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0可化为：（x ﹣1）（ax +a ﹣1）＜0， 当a ＞0时，()1110x x a ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＜，()1110x x a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的根为：12111x x a==-，， ①当102a ＜＜时，111a -＜，∴不等式解集为1{|11}x x a-＜＜，②当12a =时，111a=-，不等式解集为∅， ③当12a ＞时，111a-＞，∴不等式解集为{x |11a -＜x ＜1}，综上，当102a ＜＜时，不等式解集为1{|11}x x a-＜＜，当a 12=时，不等式解集为∅， 当12a ＞时，不等式解集为{x |11a-＜x ＜1}．．题型二：含参数一元二次不等式（不能因式分解型）例5．（2022·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式2210ax x ++<． 【解析】（1）当0a =时，原不等式210x +<，解得12x <-，∴不等式解集为1(,)2-∞-；（2）当0a >时，44a ∆=-，2()21f x ax x =++开口向上，由图象得：①若01a <<时，440a ∆=->，f x （）的两个零点为1,211-±-=ax 1111----+-<a a 不等式0f x <（）的解集为1111(----+-a a ； ②若1a ≥时，0∆≤，不等式0f x <（）解集为∅； （3）当0a <时，440a ∆=->，f x （）的两个零点为1,211-±-=ax 1111-+----a a2()21f x ax x =++开口向下，由图象得不等式解集为1111(()-+-----∞⋃+∞a a； 综上可知，当0a <时不等式解集为1111()()-+-----∞⋃+∞a a； 当0a =时，不等式解集为1(,)2-∞-；当01a <<时，不等式解集为1111()----+-a a ； 当1a 时，不等式解集为∅． 例6．解关于x 的不等式： （1）2(1)10()ax a x a R -++<∈； （2）2(21)20()ax a x a R +--<∈； （3）2210()ax x a R -+<∈； （4）20(0)x x m x ++>【解析】解：（1）2(1)10ax a x -++<等价于(1)(1)0()ax x a R --<∈， 当0a =时，不等式的解集为(1,)+∞， 当0a >时，等价于1()(1)0x x a--<，即当01a <<时，不等式的解集为1(1,)a当1a =时，不等式的解集为空集， 当1a >时，不等式的解集为1(a ，1)，当0a <时，不等式等价于1()(1)0x x a -->，即不等式的解集为(-∞，1)(1a⋃，)+∞（2）2(21)20ax a x +--<等价于(2)(1)0()x ax a R +-<∈ 当0a =时，不等式的解集为(2,)-+∞，当0a >时，不等式等价于1()(2)0x x a -+<，不等式的解集为1(2,)a -当0a <时，不等式等价于1()(2)0x x a-+>，当102a -<<时，不等式的解集为(-∞，1)(2a⋃，)+∞，当12a =-时，不等式的解集为(-∞，2)(2--⋃，)+∞，当12a <-时，不等式的解集为(-∞，12)(a -⋃，)+∞，（3）2210()ax x a R -+<∈；当0a =时，不等式的解集为1(2，)+∞，当0a >时，且△440a =->时，即01a <<时，不等式的解集为244(2a --，244)2a+-， 当0a >是，且△440a =-时，即1a 时，不等式的解集为空集， 当0a <时，且△440a =->时，即0a <时，不等式的解集为(-∞，244244)(22a a--+-⋃，)+∞， （4）20(0)x x m x ++>， 当△140m =->时，即14m <时，20x x m ++=的根为1142m x ---=-（舍去）或1142m x -+-=，若当11402m -+->时，即0m <时，不等式的解集为[0，114]2m-+-，若当11402m -+-<时，即104m <<时，不等式的解集为空集若当11402m-+-=时，即0m =时，不等式的解集为空集当△140m =-<时，即14m >时，不等式的解集为空集， 当△140m =-=时，即14m =时，不等式的解集为空集， 综上所述当0m <时，不等式的解集为[0，114]2m-+-，当0m 时，不等式的解集为空集． 例7．解关于x 的不等式： （1）22(1)10()x a x a R -++<∈； （2）2(8)10()ax a x a R --+>∈．【解析】解：（1）△24(1)40a =+-=时，解得0a =或2-． 当0a =或2-时，不等式化为2(1)0x ±<，此时不等式的解集为∅．由△0>解得0a >或2a <-，此时不等式化为2[(1)2]x a a a -+-+ 2[(1)2]0x a a a -+++<， 解得221212a a a x a a a +-+<<+++，此时不等式的解集为： 22{|1212}x a a a x a a a +-+<<+++；△0<时，即20a -<<时，不等式的解集为∅． 综上可得：20a -时，不等式的解集为∅；当0a >或2a <-时，不等式的解集为22{|1212}x a a a x a a a +-+<<+++．（2）当0a =时，不等式化为810x +>，解得18x >-，此时不等式的解集为1{|}8x x >-．当0a ≠时，由△2(8)40a a =-->，解得16a >或4a <．∴当16a >或4a <且0a ≠时，不等式化为228206482064()()022a a a a a a a x x a a -+-+---+-->． 当16a >或04a <<时，不等式的解集为282064{|2a a a x x a -+-+>或282064}2a a a x a ---+<． 当0a <时，不等式的解集为228206482064{|}22a a a a a a x x a a ---+-+-+<<． 综上可得：当0a =时，不等式的解集为1{|}8x x >-．当16a >或04a <<时，不等式的解集为282064{2a a a xx a -+-+>或282064}2a a a x a---+<． 当0a <时，不等式的解集为228206482064{|}22a a a a a a x x a a ---+-+-+<<． 题型三：分式、根式含参数不等式问题例8．不等式222(0)a x x a a -<+>的解集是( ) A ．{|0}x x a < B ．{|0x x >或4}5x a <-C ．{|}2ax x a -<<D ．4{|5x a x a -<-或0}x a <【答案】A【解析】解：不等式222a x x a -<+可化为：222244a x x ax a -<++， 即2540x ax +>，(0)a > 解得：0x >或45x a <-，又由20x a +>，且220a x -得：12a x a -<．综上可得：0x a <．故不等式222(0)a x x a a -<+>的解集是{|0}x x a <， 故选：A ．例9．（2022秋•清河区校级期中）已知a R ∈，解不等式11xa x >+-． 【解析】解：原不等式化为(1)01ax a x -++>-①（1）当0a =时，原不等式为1011x x -<⇒>-． 在①中，分子中x 的系数含有字母a ，分类讨论就从这里引起．（2）当0a ≠时，原不等式化为1()01a a x a x +-<-． ② 对于不等式②，分子中的系数a 不能随意约去，因为根据不等式的性质，若给不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向要改变．当0a >时，原不等式等价于101a x a x +-<-． 由于11a a +>，可解得11a x a+<<．也可先确定两根1x ，212()x x x <， 然后直接写出解集．当0a <时，1()01a a x a x +-<-等价于101a x a x +->-． 由1111a a a +=+<可解得1a x a+<或1x >． 综上，当0a =时原不等式的解集为(1,)+∞． 当0a >时，解集为1(1,)a a + 当0a <时，解集为1(,)(1,)a a+-∞+∞．例10．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式(1)22a x x ->-（其中1a ≤） 【解析】()()()()411242220001222a x a x a x a x a a x x x x -------->⇔->⇔>⇔<----， 又由42122a a a a a ---=≤--及知 当01a <≤时，42,2a a ->-则集合4{|2}2a A x x a -=<<-； 当0a =时，原不等式解集A 为空集； 当0a <时，42,2a a -<-则集合4{|2}2a A x x a -=<<-；综上：当01a <≤时，4{|2}2a A x x a -=<<-； 当0a =时，A 为空集； 当0a <时，4{|2}2a A x x a -=<<-. 例11．（2022·上海交大附中高一阶段练习）已知关于x 的不等式250mx x m-<-的解集为S ，若5S ∈且6S ，则实数m 的取值范围为_____;【答案】(]5[,1)25,366；【解析】由题意，2250(5)()0mx mx x m x m-<⇔--<- 故5S ∈且6S ，可得(55)(25)0(65)(36)0m m m m --<⎧⎨--≥⎩由(55)(25)0m m --<可得，1m <或25m >；由(65)(36)0m m --≥可得，5366m ≤≤因此：(]5[,1)25,366m ∈ 故答案为：(]5[,1)25,366例12．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）解下列关于x 的不等式：（a 为实数） (1)220x x a ++< (2)102ax x ->-. 【解析】（1）原不等式对应的一元二次方程为：220x x a ++=， Δ44a =-，当1a ≥时，Δ440a =-≤，原不等式无解；当1a <时，对应一元二次方程的两个解为：11x a =-- 所以220x x a ++<的解为：1111a x a --<--综上所述，1a ≥时，原不等式无解，当1a <时，原不等式的解集为{1111}xa x a --<--∣； （2）原不等式等价于()()120ax x -->， 当0a =时，解集为(),2-∞；当0a <时，原不等式可化为()()120ax x -+-<，因为12a <，所以解集为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当102a <<时，12a >，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； 当12a =时，原不等式等价于()11202x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭， 所以2(2)0x ->，解集为{}2xx ≠∣； 当12a >时，12a <，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；综上所述，当0a =时，解集为(),2-∞；当0a <时，解集为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭；当102a <≤时，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当12a >时，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.例13．（2022·全国·高一课时练习）解不等式：01axx ≤+． 【解析】()0101axax x x ≤⇔+≤+且10x +≠． 当0a >时，()10ax x +≤且()1010x x x +≠⇔+≤且1010x x +≠⇔-<≤， 此时原不等式的解集为{}10x x -<≤； 当0a =时，原不等式的解集为{}1x x ≠-；当0a <时，()10ax x +≤且()1010x x x +≠⇔+≥且101x x +≠⇔<-或0x ≥， 此时原不等式的解集为{|1x x <-或}0x ≥．综上可知，当0a >时，原不等式的解集为{}10x x -<≤；当0a =时，原不等式的解集为{}1x x ≠-；当0a <时，原不等式的解集为{|1x x <-或}0x ≥． 题型四：绝对值含参不等式问题例14．（2022春•安平县校级期中）对于任意的实数x ，不等式|1|x kx +恒成立，则实数k 的取值范围是()A ．(,0)-∞B ．[1-，0]C ．[0，1]D ．[0，)+∞【解析】解：不等式|1|x kx +恒成立，|1|y x ∴=+的图象不能在y kx = 的图象的下方，如图所示：01k ∴；故选：C ．例15．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}24A x x =<<，{}2211B x x a =--≤，若A B B =，则实数a 的取值范围是______． 【答案】()2,3【解析】由2211x a --≤，得1a x a ≤≤+，∴{}1B x a x a =≤≤+． 由A B B =，得B A ⊆.显然B ≠∅，∴214a a >⎧⎨+<⎩，解得23a <<．故答案为：()2,3.例16．（2022·全国·高一专题练习）设集合A ＝{x ||x ﹣a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围为___． 【答案】2≤a ≤4【解析】由|x ﹣a |＜1，得﹣1＜x ﹣a ＜1，∴a ﹣1＜x ＜a +1，由A 是B 的真子集，得1115a a ->⎧⎨+<⎩，∴2＜a ＜4． 又当a ＝2时，A ＝{x |1＜x ＜3}， a ＝4时，A ＝{x |3＜x ＜5}， 均满足A 是B 的真子集， ∴2≤a ≤4． 故答案为：2≤a ≤4例17．（2022·全国·高一单元测试）若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有2、3，则b 的取值范围是______． 【答案】78b ≤≤【解析】由34x b -<可得434x b -<-<，也就是4433b bx -+<<， 因为解集中的整数只有2,3，所以44123433b b-+≤<<<≤， 所以71058b b ≤<⎧⎨<≤⎩，故78b ≤≤．填78b ≤≤．例18．（2022·上海·高一课时练习）解关于x 的不等式：()1x x a a R ->-∈.【解析】两边平方，得()()221x x a ->-，即()()()2111a x a a ->-+.当1a =时，不等式解集为∅；当1a >时，不等式解集为1,2a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； 当1a <时，不等式解集为1,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 例19．（2022·上海嘉定·高一期末）已知集合2{|23,}A x x x x R =+<∈，集合{|1,0,}B x x a a x R =-<>∈．若A B ⊆．求实数a 的取值范围．【解析】由223x x +<得2230x x +-<，解得31x -<<，即()3,1A =-． 又由1,0x a a -<>解得11a x a -<<+，即()1,1B a a =-+．因为A B ⊆，所以1311a a -≤-⎧⎨+≥⎩，解得4a ≥． 因此所求实数a 的取值范围是[)4,+∞．【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）若使不等式()2220x a x a +++≤成立的任意一个x 都满足不等式10x -≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．{}1a a >-B ．{}1a a ≥-C ．{}1a a <-D ．{}1a a ≤-【答案】B【解析】因为不等式10x -≤的解集为{}1x x ≤，由题意得不等式()2220x a x a +++≤的解集是{}1x x ≤的子集，不等式()2220x a x a +++≤，即()()20x x a ++≤， ①当2a =时，不等式的解集为{}2-，满足{}{}21x x -⊆≤；②当2a <时，不等式的解集为{}2x x a -≤≤-， 若{}{}21x x a x x -≤≤-⊆≤，则1a -≤，所以12a -≤<；③当2a >时，不等式的解集为{}2x a x -≤≤-，满足{}{}21x a x x x -≤≤-⊆≤；综上所述，实数a 的取值范围为{}1a a ≥-．故选：B ．2．（2022·四川德阳·高一期末）若关于x 的不等式101x ax ->+的解集为11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则a 的取值范围为（ ） A ．() 1? ∞+，B ．(0，1)C ．() 1?∞--，D ．(-1，0) 【答案】C 【解析】不等式101x ax ->+ 等价于()()110x ax -+>，设()()()11f x x ax =-+ ， 显然a =0不符合题意，若0a > ，()()111f x x x a a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x 是开口向上，零点分别为1和1a - 的抛物线， 对于()0f x > ，解集为1x a<- 或1x > ，不符合题意； 若0a < ，则()f x 是开口向下，零点分别为1和1a- 的抛物线， 对于()0f x > ，依题意解集为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11a ∴-< ，即(),1a ∞∈-- ， 故选：C.3．（2022·全国·高一课时练习）若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-【答案】C【解析】不等式()2330x m x m -++<，即()()30x x m --<， 当3m >时，不等式解集为()3,m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m <≤；当3m =时，不等式解集为∅，此时不符合题意；当3m <时，不等式解集为(),3m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m -≤<；故实数m 的取值范围为[)(]1,06,7-⋃．故选：C二、多选题4．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的值可能为（ ）A ．5-B ．3-C ．πD ．5【答案】ABD【解析】解不等式2280x x -->，得4x >或2x <-解方程22(27)70x k x k +++=，得127,2x x k =-=- （1）当72k >，即72k -<-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72k x -<<- 此时不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集为7,2k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，依题意，则54k -≤-<-，即45k <≤； （2）当72k <，即72k ->-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72x k -<<-，要使不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中只有一个整数， 则需满足：35k -<-≤，即53k -≤<；所以k 的取值范围为[5,3)(4,5]-.故选：ABD.5．（2022·全国·高一课时练习）已知a ∈R ，关于x 的不等式()10a x x a ->-的解集可能是（ ） A ．{}1x x a <<B ．{}1x x x a 或C ．{}1x x a x 或D ．∅ 【答案】BCD【解析】当0a <时，不等式等价于()()10x x a --<，解得1<<a x ；当0a =时，不等式的解集是∅；当01a <<时，不等式等价于()()10x x a -->，解得1x >或x a <；当1a =时，不等式的解集为{}1x x ≠；当1a >时，不等式等价于()()10x x a -->，解得x a >或1x <．故选:BCD ．三、填空题6．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}2280,R A x x x x =--≤∈ ，(){}2550,R B x x m x m x =-++≤∈ ，设全集为R ，若R B A ⊆，则实数m 的取值范围为______．【答案】()4,+∞ 【解析】解不等式2280x x --≤，得24x -≤≤，所以R {2A x x =<-或4}x > ，(){}()(){}2550,R 50B x x m x m x x x x m =-++≤∈=--≤ ， 因为R B A ⊆，当5m =时，{}5B =，满足题意；当5m >时，[]5,B m =，满足题意．当5m <时，[],5B m =，由R B A ⊆，得4m >，所以45m <<．综上，m 的取值范围为()4,+∞．故答案为：()4,+∞7．（2022·上海市控江中学高一期中）已知k 为正实数，关于x 的不等式()24(2)0kx k x --+<的解集为,A B A =⋂Z ，则当k 的值变化时，集合B 中的元素个数的最小值为______;【答案】6【解析】由方程240kx k --=，可解得44x k k=+≥，当且仅当2k =时，等号成立， 则42,A k k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即(]2,4A -⊂，由(]{}2,41,0,1,2,3,4-⋂=-Z ，则集合B 中的元素最少有6个， 故答案为：6.8．（2022·湖南·雅礼中学高一开学考试）不等式()()221110a x a x ----<的解集是全体实数，求实数a 的取值范围________． 【答案】315a -<≤ 【解析】根据题意，当210a -≠时，可得()()222Δ141010a a a ⎧=-+-<⎪⎨-<⎪⎩，解得315a -<<， 当1a =时，不等式()()221110a x a x ----<显然成立. 综上可得，315a -<≤， 故答案为：315a -<≤. 四、解答题9．（2022·全国·高一课时练习）在①A B A ⋃=，②A B ⋂≠∅，③R B A ⊆这三个条件中任选一个，补充在下面问题（3）中，若问题中的实数m 存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知一元二次不等式2320ax x -+>的解集{1A x x =<或}x b >，关于x 的不等式()20ax am b x bm -++<的解集为B （其中m ∈R ）．(1)求a 、b 的值；(2)求集合B ；(3)是否存在实数m ，使得______？【解析】（1）因为一元二次不等式2320ax x -+>的解集{1A x x =<或}x b >， 则关于x 的一元二次方程2320ax x -+=的两根分别为1、b ， 所以，32021a b a -+=⎧⎪⎨⨯=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩. （2）由（1）可得(){}()(){}222020B x x m x m x x x m =-++<=--<. 当2m =时，(){}220B x x =-<=∅；当2m <时，()(){}{}202B x x x m x m x =--<=<<；当2m >时，()(){}{}202B x x x m x x m =--<=<<.（3）若选①，{1A x x =<或}2x >，由A B A ⋃=，则B A ⊆，当2m =时，B A =∅⊆；当2m <时，{}2B x m x A =<<⊄，不合乎题意；当2m >时，{}2B x x m A =<<⊆，合乎题意.综上所述，2m ≥；选②，当2m =时，B =∅，此时A B =∅，不合乎题意；当2m <时，{}2B x m x =<<，若A B ⋂≠∅，则1m <，此时1m <；当2m >时，{}2B x x m =<<，此时A B ⋂≠∅.综上所述，1m <或2m >； 选③，{}12A x x =≤≤R .当2m =时，R B A =∅⊆；当2m <时，{}R 2B x m x A =<<⊆，则12m ≤<；当2m >时，{}2B x x m A =<<⊄R ，不合乎题意.综上所述，12m ≤≤.10．（2022·上海市杨浦高级中学高一期中）设集合{|12,},{|()(2)0,}A x x x B x x a x a x =-<<∈=--<∈R R ，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【解析】当0a >时，{|2}B x a x a =<<，当0a =时，B =∅，当0a <时，{|2}B x a x a =<<，由B A ⊆，而{|12,}A x x x =-<<∈R ，若0a >，有122a a ≥-⎧⎨≤⎩（等号不同时成立），则01a <≤； 若0a =，显然B =∅A ⊆成立；若0a <，有212a a ≥-⎧⎨≤⎩（等号不同时成立），则102a -≤<； 综上，112a -≤≤. 11．（2022·全国·高一课时练习）已知集合2{|12}{|40}A x x B x x ax =≤≤=-+≥，，若A B ⊆，求实数a 的取值范围．【解析】集合{|12}A x x =≤≤，2{|40}B x x ax =-+≥，若A B ⊆，B 一定非空，若2160a =-≤，得44a -≤≤，R B =，A B ⊆成立，若0>，即4a >或者4a ，设()24f x x ax =-+，(1)()11450f a a =-+=-≥，即5a ≤，对称轴02a <，所以4a ，(2)()2820f a =-≥，即4a ≤，对称轴22a ≥，不成立， 综上，(]4a ∞∈-，． 12．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期末（理））解关于x 的不等式()()21440ax a x a ---<∈R .【解析】①当0a =时，原不等式可化为40x --<，解得4x >-；②当0a >时，原不等式可化为()140x x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，解得14x a -<<； ③当0a <时，原不等式可化为()140x x a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭， <i>当14a <-，即104a -<<时，解得1x a <或4x >-； <ⅱ>当14a =-，即14a =-时，解得4x <-或4x >-； <ⅱ>当14a >-，即14a <-时，解得4x <-或1x a>. 综上所述，当14a <-时，不等式解集为14x x x a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或； 当14a =-时，不等式解集为{}4x x ≠-；当104a -<<时，不等式解集为14x x x a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或；当0a =时，不等式解集为{}4x x >-；当0a >时，不等式解集为14x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.13．（2022·全国·高一专题练习）当a ≤0时，解关于x 的不等式()21220ax a x +--≥．【解析】由()21220ax a x +--≥可得（ax ＋1）（x －2）≥0①当a ＝0时，原不等式即x －2≥0﹐解得x ≥2﹔②当a <0时，（ax ＋1）（x －2）≥0，方程（ax ＋1）（x －2）＝0的两根为11x a =-，22x = 当12a =-时，原不等式解为：x ＝2﹔ 当102a -<<时，12a ->，原不等式的解为；12x a ≤≤-， 当12a <-时，12a -<，原不等式的解为：12x a -≤≤，综上，当a ＝0时，原不等式的解集为{}2x x ≥； 当12a =-时，原不等式的解集为{}2x x =； 当102a -<<时，原不等式的解集为：12x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭； 当12a <-时，原不等式的解为：12x x a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．14．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式 220x x a ++>．【解析】方程220x x a ++=中()4441a a =-=-，①当10a -<即1a >时，不等式的解集是R ，②当10a -=，即1a =时，不等式的解集是{|1}x x ∈≠-R ，③当10a ->即1a <时，由220x x a ++=解得：121111x a x a =--=--，1a ∴<时，不等式的解集是{|11>-+-x x a 11}<--x a ，综上，1a >时，不等式的解集是R ，1a =时，不等式的解集是{|1}x x ∈≠-R ，1a <时，不等式的解集是{|11>-+-x x a 11}<--x a ，15．（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）已知关于x 不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >．(1)求实数a 、b 的值.(2)解关于x 不等式2ax -+(ac+b)x -bc>0.【解析】(1)因为不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且0,a > b >1． 由根与系数的关系得3121b ab a⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩ ，解得12a b =⎧⎨=⎩.(2)原不等式化为2(2)20x c x c -++<，即(2)()0x x c --<，①当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<；②当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<；③当2c =时，不等式的解集为∅．16．（2022·安徽宣城·高一期中）（1）已知不等式2320mx x +->的解集为{}2x n x <<，求m ，n 的值； （2）求关于x 的不等式()210x a x a +--> （其中a R ∈）的解集.【解析】（1）由题意4620m +-=，1m =-，不等式为2320x x -+->，即2320x x -+<，解得12x <<，所以1n =；（2）不等式2(1)0x a x a +-->可化为(1)()0x x a -+>，1a <-时，1x <或x a >-，1a =-时，1x ≠，1a >-时，x a <-或1x >．综上，1a ≤-时，不等式的解集为(,1)(,)a -∞-+∞，1a >-时，解集为(,)(1,)a -∞-+∞．。
解含参数的一元二次不等式的分类方法
４ ＜０的 解集是Ｒ 只须有｛ ，
即
１ ） １ ３ Ｏ 一５ ３ ｛（ ３＋６＋）。 得 … 一． ＋ （ ＜， ２ … ’ ２ ５ ＜＜ 解
综上得实数优的取值范围是一巽＜ ≤一３ ．
２ 根 据 平 方 项 系数 的 符 号 和 对 应 方 程 根 的大 小 综 ．
【 １ 解 不 等 式 ｚ ＋ （。 ） ＋口 ＞０ 例 】 ｎ ＋ａ ｘ 。 ． 分析 ： 先利 用 因式 分解 确定一 元 二次 方程 的两 根 ， 对 两 根 的 大 小进 行 分 类 讨 论 ． 解： 原不等式可化为 （ ＋口 （ ＋ａ） ． ）ｚ ＞Ｏ ① 当 一口 一 ， ｎ ＞ 即 ＜ ， ｎ １或 ｎ ０时 ， 不 即 ＞ ＜ 原 等式解集 为｛ ｚ Ｉ＞一口或 ｚ ＜一ｎ ） 。； ② 一口 一 ， 口 １ ａ 一 即 一 或 ＝０时 ， （Ｉ 当 ｎ ） 一１时 ， 不等 式解集 为 ｛ ｚＥＲ， ｚ 原 ｚｆ 且 ≠
合 分 类
１； ｝
（｜ 当 ａ ． ） ＝０时 ， 不等式 解集 为 ｛ ｚＥＲ， 原 ｌ 且 ≠
０． ｝
③当一。 一ｎ ， ｎ 即 ０ ＜ ｌ时， 不等式 ＜ 即 ＞口 ， ＜ａ 原 解 集 为 ｛ ｌ 一日 ｚ ＞ 或 ＜ 一口 ． ｝ 综上所述 ： ａ ， 当 ＜ａ 时 原不等式解 集为 ｛ ＞一ｎ ｚｌ 或 ＜ 一ｎ ） 。； 当口 一１ ， 时 原不 等式解集为 ｛ ｘ Ｉ ＥＲ， 且 ≠一１ ； ） 当ａ ＝０时 ， 原不等式解集为 ｛ Ｉ ＥＲ， ｚ ） ｚｘ 且 ≠０ ； 当ｏ ＜ ＜１ 原不等式解集为｛ ｉ＞－ａ 或 ｚ 时， ｘｘ － ２ ＜一口． ） ２ 根 据 对 应 方程 判 别 式 的 符号 分 类 ． 【 ２ 解不等式 ＋ａ ＋４ ． 例 】 ｘ ＜Ｏ 分析 ： 显然不等号 的左 边代 数式不 能 因式 分解 ， 所 以应该考察相应一元二次方程 ３ ＋口 ＋４ ０ 。 —０的根 的判 别式 的符号 ， 一步判断根 的情况． 进 解： 一元二 次方程 ｚ ＋ａ ＋４ ｘ ＝０的根 的判别式 △一
二次函数方程不等式的含参问题
二次含参模块已知单调区间求参问题............................................................................................................. - 2 - 含参二次函数在闭区间内最值问题........................................................................................... - 3 - 解含参一元二次不等式........................................................................................................... - 12 - 一元二次不等式恒成立问题................................................................................................... - 17 - 二次方程根的分布..................................................................................................................... - 27 -已知单调区间求参问题【例1】,对称轴为,判断,,的大小?【答案】【例2】,在上单调递增，上单调递减，则下列说法正确的是不确定【答案】B.【例3】在上单调，求的范围?【答案】∞，，.含参二次函数在闭区间内最值问题一、含参求最值........................................................................................................................... - 4 -（一）轴定区间定............................................................................................................... - 4 - （二）轴动区间定............................................................................................................... - 5 - （三）轴定区间动............................................................................................................... - 6 - （四）相关练习................................................................................................................... - 6 - 二、已知最值求参....................................................................................................................... - 8 -（一）已知最值求参——先斩后奏................................................................................... - 8 - （二）已知值域求参......................................................................................................... - 10 -一、含参求最值设()()002>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>-+≤-=22)(22)()(maxn m a b m f n m a b n f x f()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤-≤-<-=n a b n f n a b m a b f m abm f x f 2)(2)2(2)(min；（一）轴定区间定【例1】函数()()2220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。
含参数的一元二次不等式的解法
2、上述不等式所对应的一元二次方程的特征是什么？ 二次项前面没有参数、可因式分解
3、若将条件a>1去掉，该不等式如何求解？
分类讨论，比较两根a与1的大小关系
引导探究 变式训练：
1、解关于x的不等式 x2-ax - (a+1) >0
2、解关于x的不等式 ax2-(a+1)x+1>0
数学思想：分类讨论思想
当堂练习（10分钟）
基础题1.解关于x的不等式：x2 + 5ax + 6a2 > 0
2.解关于x的不等式：ax2 + (6a+1)x + 6 > 0
探究题： 已知常数 a R, 解关于x的不等式： ax2 2x a 0
当堂诊学（10分钟）
请同学们根据下面提供的答案自我订正：
思考：
{x x 5 或x 6}
2
R
{x 2 x 1}
3
2
1、解一元二次不等式时要考虑哪些要素？
2、若对于一个一元二次不等式中项的系数含有参数，
该如何解决呢？
解关于x的不等式x2-(a+1)x+a>0（a>1）
引导探究 解关于x的不等式x2-(a+1)x+a>0（a>1）
探究： 1、解一元二次不等式应考虑它的哪些要素？
当a <0时，解集为：{x︱x> －3a或x< －2a};
1：
当a =0时，解集为： {x︱x∈R且x≠0};
当a >0时，解集为：{x︱x> －2a或x< －3a}.
1.当a
0时，解集为x
6
分解因式与二次不等式的解法
分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++；（4）222456x xy y x y +--+-2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）1xy x y -+-．3．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．4.高次多项式的因式分解（试根法）例4分解因式：（1）x3-9x+8．练 习1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．分解因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆形状．4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．5. 分解因式：x 9+x 6+x 3-3一元二次不等式的解法例1画出一次函数y=2x+1的图象，观察函数图象，填空：当y=0时，x的取值范围是＿＿＿＿当y<0时，x的取值范围是＿＿＿＿当y>0时，x的取值范围是＿＿＿＿例2画出函数y=x2-x-6的图象，观察函数图象，填空：当y=0时，x的取值范围是＿＿＿＿当y<0时，x的取值范围是＿＿＿＿当y>0时，x的取值范围是＿＿＿＿例题：解下列关于x的不等式（1）x2-x-2>0 （2）-2x2+x+3>0 （3）x2-x-6<0 （4）x2-5x+6<0（5）x2-2x+3<0 （6）x2+x+2>0课堂练习：一、解下列不等式(1)、4x2-4x+1>0 (2)、-x2+2x+3>0(3)、-x2+2x-3>0 （4）、-x2-2x+3>0(5）x2-（a+a2）x+a3>0 (a>3)6.对任何实数x ，不等式（k≠0）都成立，求k的取值范围。
含参数的一元二次不等式的解法微课课件
原不等式解集为
xk4k28kxk
k28k
4
k 8
(3)当 (4)当
xk4k28kxk4k28k
k 8时,不等式解集为
x x 2
时,不等式解集为
(2)当
时8,不k等式0解集为
综上所述， (1)当
k0
时,不等式解集为
x x 0
(5)当
k 时 ,0不等式解集为
xk4k28kxk4k28k
a
（2）当 a0 时，有：
（a）当 （b）当 （c）当
1 1 a
即 a 1
时，原不等式的解集为：
{x | 1 x 1} a
1 1 即 a 1 时，原不等式的解集为：
a
1 1 即 0a1 时，原不等式的解集为： {x | 1 x 1}
a
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
01
a2x(a1)x10.
02
综上所述，
例3:解关于 的不等式：
人教版高中数学必修五第三章
含 参 数 的 一 解元 法二 次 不 等 式 的
授课人：广东省阳东广雅中学
杨学武
温故知新
a x 2 + b x + c > 0 或 a x 2 + b x + c < 0 (a > 0 )
根据二次函数的图
象以及不等号的方
向，写出不等式的
0
（2）求对应方程的根：
1 一．
因式分解求方程的根，
m m 0 时 ， 不 等 式 的 解 集 为 { x |x 2 或 x 2 }
m
课堂小结
对含参数的一元二次不 等式解法，其分类讨论 的依据
文章如何利用因式分解法解决二元二次不等式组
文章如何利用因式分解法解决二元二次不等式组在数学学科中，因式分解法是一种常见的解决二元二次不等式组的方法。
通过将不等式组中的二次项进行因式分解，可以得到更简洁的表达形式，进而分析不等式的解集。
本文将详细介绍如何利用因式分解法来解决二元二次不等式组的问题。
一、因式分解法简介因式分解法是一种将多项式分解成两个或多个较简单的因子乘积的方法。
在解决二元二次不等式组时，我们需要将其中的二次项分解为两个一次项的乘积，并通过比较各项系数来确定不等式的解集。
二、解决二元二次不等式组的具体步骤以下是解决二元二次不等式组的具体步骤：步骤一：观察等号右边的不等式组是否可以因式分解。
只有在能够因式分解的情况下，我们才能使用因式分解法解决不等式组。
步骤二：对二次项进行因式分解。
将二次项分解为两个一次项的乘积，并且注意保持不等号的方向不变。
例如，对于不等式组x^2 + y^2 < 9和xy < 0，我们可以将第一个不等式进行因式分解得到(x+3)(x-3)+y^2 < 0，而第二个不等式无法进行因式分解。
步骤三：比较各项系数。
根据因式分解后得到的形式，比较各项系数并进行分类讨论。
例如，对于上述的不等式组(x+3)(x-3)+y^2 < 0，我们可以依次比较x^2，x，y^2的系数，并进行分类讨论。
步骤四：确定不等式的解集。
根据比较各项系数的结果，确定不等式的解集。
例如，对于上述的不等式组(x+3)(x-3)+y^2 < 0，我们可以通过研究x^2的系数得知x的取值范围，通过研究y^2的系数得知y的取值范围，进而确定不等式组的解集。
三、实例分析为了更好地理解因式分解法解决二元二次不等式组的过程，我们来看一个具体的实例。
例题：解决不等式组x^2 + y^2 - 4xy < 0和x - y < 0。
解法：首先，我们对第一个不等式进行因式分解，得到(x-y)^2 +2xy - 4xy < 0。
含参数一元二次不等式的解法
含参数一元二次不等式的解法我们把只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是2的不等式, 称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是/ 或/ （其中/ 均为常数, / ）.解含参一元二次不等式的相关问题对于基础薄弱的同学来说是一个难点.为了帮助这些同学解决此类问题, 本文将相关解题方法进行简化、总结, 帮助同学们理解和学习.下面我们通过例举进行具体的分析说明.类型一解二次项前不带参数的一元二次不等式1.对应方程/ （其中/ 均为常数, / ）可以进行因式分解.方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程/ 可因式分解为/ （/ 为方程的实数根）的形式, 则分类讨论的关键在于通过比较两根/ 的大小, 确定参数讨论的界限, 进而解出/ 的取值范围.例1 解关于的不等式 .分析: 对应方程/ 可因式分解为/ 的形式, 讨论两根/ 的大小, 即可解出/ 的取值范围.解: 原不等式等价于/ , 所对应方程/ 的两根是/当/ 时, 不等式的解集为/ .当/ 时, 不等式的解集为/ .当/ 时, 不等式的解集为/ .2.对应方程/ （其中/ 均为常数, / ）不能进行因式分解.方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程/ 不能进行因式分解, 则分类讨论的关键在于判别式, 此时根据判别式确定参数讨论的界限, 解出/ 的取值范围.例2 解关于的不等式 .分析: 对应方程/ 不能进行因式分解, 此时根据判别式确定参数讨论的界限, 求出/ 的取值范围.解: 原不等式对应方程/ 的判别式为/（1）当/ , / 时, / 的两根为/ 或/ , 不等式的解集为/ .（2）当/ , / 时, / 的根为/ ,不等式的解集为 .1.当/ , / 时, 不等式的解集为/ .综上所述：当/ 时, 不等式的解集为.当/ 时, 不等式的解集为/ .当/ 时, 不等式的解集为/ .类型二解二次项前带参数的一元二次不等式1.对应方程/ （其中/ 均为常数, / ）可以进行因式分解.方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程/ 可因式分解为/ （/ 为方程的实数根）的形式，则分类讨论的关键仍然在于通过比较两根/ 的大小确定参数讨论的界限.另外，需要注意的问题是二次项前带参数与二次项前不带参数不同，参数的范围决定对应二次函数/ 的开口方向，影响对应一元二次不等式的解集.例3 解关于的不等式 .分析: 对应方程/ 可因式分解为/ 的形式, 讨论两根/ 的大小, 即可确定参数讨论的界限, 根据参数的不同取值范围, 求出不等式相应解集。
含参二次不等式的解法
含参二次不等式的解法一、含参二次不等式的基本形式对于含参二次不等式，一般形式为ax^2+bx + c>0（a≠0，a、b、c含有参数）或者ax^2+bx + c<0。
二、按二次项系数a的取值分类讨论1. 当a = 0时- 此时不等式化为一次不等式。
例如bx + c>0。
- 若b>0，则x>-(c)/(b)；若b<0，则x<-(c)/(b)；若b = 0，当c<0时，x∈R，当c≥slant0时，不等式无解。
2. 当a≠0时- 我们先考虑二次函数y = ax^2+bx + c的判别式Δ=b^2-4ac。
- 当a>0时- 若Δ>0，二次函数y = ax^2+bx + c与x轴有两个交点x_{1}=(-b-√(Δ))/(2a)，x_{2}=(-b +√(Δ))/(2a)，此时不等式ax^2+bx + c>0的解集为x<x_{1}或x>x_{2}；不等式ax^2+bx + c<0的解集为x_{1}<x<x_{2}。
- 若Δ = 0，二次函数y = ax^2+bx + c与x轴有一个交点x_{0}=-(b)/(2a)，不等式ax^2+bx + c>0的解集为x≠ x_{0}；不等式ax^2+bx + c<0无解。
- 若Δ<0，二次函数y = ax^2+bx + c的图象在x轴上方，不等式ax^2+bx + c>0的解集为R；不等式ax^2+bx + c<0无解。
- 当a<0时- 若Δ>0，二次函数y = ax^2+bx + c与x轴有两个交点x_{1}=(-b-√(Δ))/(2a)，x_{2}=(-b+√(Δ))/(2a)，此时不等式ax^2+bx + c>0的解集为x_{1}<x<x_{2}；不等式ax^2+bx + c<0的解集为x<x_{1}或x>x_{2}。
文章如何利用因式分解法解决一元二次不等式
文章如何利用因式分解法解决一元二次不等式一元二次不等式是数学中常见的问题，而因式分解法是解决一元二次不等式的一种有效方法。
本文将详细讨论如何利用因式分解法解决一元二次不等式，并通过一些示例来说明该方法的应用。
一、因式分解法简介因式分解法是将一元二次不等式的左边进行因式分解，然后根据不等式性质进行推导。
通过将一元二次不等式化简为多个一次不等式的乘积形式，可以更简单地确定解的范围，进而解决不等式。
二、通过因式分解法解决一元二次不等式的步骤下面我们将介绍具体的步骤来解决一元二次不等式。
1. 将一元二次不等式移项，使等式右边为零，得到关于 x 的一元二次不等式。
2. 将一元二次不等式利用二次平方差公式进行因式分解，将其转化为多个一次不等式的乘积形式。
3. 根据乘积为零的性质，将每个一次不等式设置为等于零，并求解得到每个一次不等式的解。
4. 综合得到每个一次不等式的解，确定一元二次不等式的解集。
三、通过示例解释因式分解法的应用接下来我们通过几个示例来说明因式分解法的应用。
示例一：解决不等式：x^2 - 9 > 0步骤一：将不等式移项，得到 x^2 - 9 > 0。
步骤二：利用差平方公式因式分解，得到 (x - 3)(x + 3) > 0。
步骤三：设置每个一次不等式等于零，得到 x - 3 > 0 和 x + 3 > 0。
步骤四：求解每个一次不等式，得到 x > 3 和 x > -3。
综合得到解集：解集为 x > 3。
示例二：解决不等式：2x^2 - 7x < 3步骤一：将不等式移项，得到 2x^2 - 7x - 3 < 0。
步骤二：利用因式分解法，将不等式因式分解为 (2x + 1)(x - 3) < 0。
步骤三：设置每个一次不等式等于零，得到 2x + 1 < 0 和 x - 3 < 0。
步骤四：求解每个一次不等式，得到 x < -1/2 和 x < 3。
(完整版)含参数的一元二次不等式的分类讨论
复习引入：一元一次的分类讨论：2(2)(31)2(2)0k x k x x +--+->、含参数的一元二次不等式——分类讨论1. 优先考虑十字相乘，若两根大小不确定，即分121212,,x x x x x x >=<三种情况．2. 若不能十字相乘，则考虑按判别式∆的正负分类，即分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，结合图像法求解。
3. 按二次项系数正负是否确定：当二次项系数含参数时，按2x 项的系数a 的符号分类，即分0,0,0a a a >=<三种情况．1.2(1)0x a x a -++< 2.22560x ax a -+> 3.223()0x a a x a -++> 4.2(1)0x a x a -++< 5.2(2)20x a x a +--< 6.21()10 x a x a -++< 7.22210 x x a -+-≥1.2210x mx m -++> 2.220x kx k +-≤ 3.240x ax ++> 4.2(2)0x a x a +-+>2560()x ax ax a a R -+>∈解关于的不等式1.2210ax x ++< 2.210.ax ax +-< 3.220ax x a -+<1.21)10ax a x -++<（ 2.21)10ax a x +-->（ 3.22(1)40 mx m x -++< 4.2(32)60 ax a x -++< 5.22(1)40 ax a x -++<综合提高题1. 集合{}{}2222(1)0,540A x x a x a a B x x x =-+++<=-+≥，且A B ⊆，求a 的范围2. 集合{}(){}22320,10A x x x B x x a x a =-+≤=-++≤，且A B ⊆，求a 的范围 3. 设全集U=R ，集合{}{}22(41)40,21A x x a a B x a x a =-++≤=≤≤+，且B A ⊆，求a 的范围4. 集合{}{}22540,220A x x x B x x ax a =-+≤=-++≤，且B A ⊆，求a 的范围含参数的一元二次不等式—恒成立和无解问题（数形结合） 1.220x x a ++>的解集为R ，求a 范围 2.220x x a ++≥的解集为R ，求a 范围 3.210x ax -+≥的解集为R ，求a 范围 4.()2140x k x +-+>的解集为R ，求a 范围5.2(1)10ax a x a +-+->恒成立，求a 范围 6.210ax ax -+>恒成立，求a 范围 7.23208kx kx ++<恒成立，求k 范围 8.22(2)0ax ax a +-+<恒成立，求k 范围 9. 2(3)10mx m x -+-<恒成立，求m 范围10. 2(2)(2)10a x a x -+-+≥恒成立，求a 范围11. 2(2)2(2)-40a x a x -+-<恒成立，求a 范围12. 22(1)(1)10a x a x ----<恒成立，求a 范围13. 22(1)(1)10t x t x -+-->恒成立，求t 范围14. 22(23)(3)10m m x m x -----<恒成立，求m 范围15. 2(1)1mx m x m x m --+-函数的图像在轴下方，求实数的取值范围。
含参数的一元二次不等式的解法
(x2 2x)m 2x2 4x 4
g(1) 0
g(1)
0
【3】若不等式 (m-2)x2+2(m-2)x-4<0 对于
x∈[-1,1]恒成立,则实数m 的取值范围是_______.
令 f (x) (m 2)x2 2(m 2)x 4,
m 2 0
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g(x) 2x2 9x, x [2,3],
则问题转化为 m≤g(x)min
gmin ( x) g(3) 9, m ≤ 9.
（1）变量分离法(分离参数)
【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将 不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不 等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归 为解关于参数的不等式的问题．
4
8
fmax( x) f (3) m 9 ≤ 0, o
m ≤ 9.
（2）转换求函数的最值
. 2
3x
.
例3. 关于x的不等式 2x2 9x m ≤ 0 在区间[ 2,
3]上恒成立,则实数m的取值范围是_m__≤__9__.
解：构造函数 f (x) 2x2 9x m, x [2,3],
(5)当
a 1 时，原不等式的解集为
x
1 a
x
1
例1 不等式ax2 +（a-1）x+ a-1＜0对所有实数x∈R 都成立，求a的取值范围.
分析：开口向下，且与x轴无交点 。 解：由题目条件知：
(1) a ＜ 0，且△ ＜ 0.
含参不等式专题
市场供需平衡
在分析市场供需平衡时，需要建 立含参不等式模型，以确定不同
价格和产量下的供需关系。
投资风险评估
在投资决策中，风险评估是关键 的一环。通过建立含参不等式模 型，可以评估不同投资方案的风
险水平，为决策提供依据。
04 含参不等式的扩展
高次含参不等式
总结词
高次含参不等式是指含有未知数的高次幂的不等式，这类不等式在数学中具有广泛的应 用。
详细描述
参数分离法是将含参不等式中的参数分离出来，单独处理的一种方法。通过将参数与未知数分离，可以将复杂的 不等式转化为简单的不等式，从而简化求解过程。这种方法需要观察不等式的特点，正确地将参数分离出来。
图像法
总结词
通过图像表示不等式的解集，直观地展示不等式的解。
详细描述
图像法是通过图像表示不等式的解集的一种方法。通过绘制不等式的图像，可以直观地展示不等式的 解集和参数对解集的影响。这种方法适用于一些简单的不等式和特定类型的不等式。在绘制图像时， 需要注意不等式的定义域和值域，以及参数的取值范围。
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总结词
通过代数手段，将含参不等式转化为不含参的不等式，再求解。
详细描述
代数法是一种常用的解含参不等式的方法，它通过代数手段，如合并同类项、因 式分解、配方等，将含参不等式转化为不含参的不等式，再利用不等式的性质和 求解方法求解。这种方法需要熟练掌握代数运算和不等式性质。
参数分离法
总结词
将含参不等式中的参数分离出来，单独处理，简化不等式的形式。
未来发展方向
深入研究参数范围的影响
01
未来可以进一步深入研究参数范围对不等式证明的影响，探索
二次方程的因式分解
二次方程的因式分解二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b和c是已知的实数，且a不等于0。
二次方程的因式分解是指将其等号两边进行因式分解的过程，使得方程能够表示为若干个因式相乘的形式。
对于一般的二次方程，我们可以采用以下步骤进行因式分解：1. 首先，将方程写成标准形式ax²+bx+c=0，其中a、b和c是实数，a不等于0。
2. 在进行因式分解之前，我们可以尝试使用一些特殊的情况，简化问题。
例如，如果二次方程的三个系数都是整数，我们可以尝试进行因式分解，看看是否存在整数解。
如果存在整数解，那么我们可以直接将解代入方程进行验证。
3. 如果方程没有整数解，我们可以尝试使用配方法进行因式分解。
配方法是指将二次方程中的一次项分解为两个部分，使得二次项与常数项的乘积等于一次项之和的平方。
具体的步骤如下：a) 首先，计算b的一半，即b/2，记作m。
b) 然后，计算m的平方，即m²。
c) 接下来，计算m²与c的差值，即m²-c，记作n。
d) 最后，根据二次项与常数项的乘积等于一次项之和的平方，我们得到(x+m)²=n。
将等式展开，我们可以得到x²+2mx+m²=n，即x²+2mx+n=0。
4. 现在我们已经将原方程转化为一个新的二次方程x²+2mx+n=0。
接下来，我们可以尝试使用因式分解的方法对该方程进行进一步处理。
5. 对于新的二次方程x²+2mx+n=0，我们可以将其分解为(x+p)(x+q)=0的形式，其中p和q是待定的实数。
6. 将上述等式展开，我们可以得到x²+(p+q)x+pq=0。
7. 将新方程中的二次项系数和常数项与原方程进行比较，我们可以得到以下两个方程组：a) p+q=2mb) pq=n8. 解方程组(a)和(b)，可以求得p和q的值。
9. 由于(x+p)(x+q)=0，根据乘法因子的性质，我们可以得到解为x=-p或x=-q。
含参二次不等式的解法步骤
含参二次不等式的解法步骤宝子们，今天咱们来唠唠含参二次不等式咋解哈。
含参二次不等式呢，就是二次不等式里有参数。
比如说ax² + bx + c > 0（这里的a、b、c有参数哦）。
咱先看二次项系数a的情况。
要是a = 0呢，这就不是二次不等式啦，变成一次不等式了，那解起来就很简单，像bx + c > 0，移项就能求出x的范围。
当a ≠ 0的时候呢，咱就可以用求根公式来找对应的二次函数的根啦。
对于二次函数y = ax²+bx + c，根的公式是x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)。
这里面因为有参数，所以根的情况就很复杂啦。
咱得讨论判别式Δ = b² - 4ac的大小。
要是Δ < 0呢，二次函数的图像和x轴没有交点或者只有一个切点。
如果a > 0呢，二次函数图像开口向上，那整个函数要么恒大于0（没有交点的时候），要么除了切点对应的x值外都大于0（一个切点的时候）。
要是a < 0呢，二次函数图像开口向下，那整个函数就恒小于0啦。
要是Δ = 0呢，二次函数和x轴就有一个交点。
当a > 0时，除了这个交点对应的x值，函数值都大于0；a < 0时，除了这个交点对应的x值，函数值都小于0。
要是Δ > 0呢，二次函数和x轴有两个交点。
咱把这两个交点求出来，设为x1和x2（x1 < x2）。
当a > 0时，不等式大于0的解就是x < x1或者x > x2；不等式小于0的解就是x1 < x < x2。
当a < 0时，大于0的解就是x1 < x < x2，小于0的解就是x < x1或者x > x2。
宝子们，解含参二次不等式就是要耐心地分析各种情况，就像玩游戏闯关一样，把各种参数的情况都考虑到，就能顺利求出答案啦。
加油哦，数学小天才们！。
含参二次不等式因式分解
含参二次不等式因式分解一、公式法必会的乘法公式【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 【公式2】3322))((b a b ab ab a +=+-+(立方和公式) 【公式3】3322))((b a b ab ab a -=++-(立方差公式) 【公式4】33322()33a b a b a b ab +=+++ 【公式5】33223()33a b a a b ab b -=-+- 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 38x + (2) 30.12527b -【例2】分解因式：(1)34381a b b - (2) 76a ab -二、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．1．分组后能提取公因式【例3】把2105ax ay by bx -+-分解因式．【例4】把2222()()ab cd a b cd ---分解因式． 2．分组后能直接运用公式 【例5】把22x y ax ay-++分解因式． 【例6】把2222428x xy y z ++-分解因式． 十字相乘法分解因式1．二次三项式（1）多项式c bx ax++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项． 例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． （2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab ba 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式．2．十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++= 大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a ca c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2axbx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行． 十字相乘法的要领是：“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，观察试验”。
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一、公式法 必会的乘法公式【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式) 【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式) 【公式4】33322()33a b a b a b ab +=+++ 【公式5】33223()33a b a a b ab b -=-+- 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 38x + (2) 30.12527b - 【例2】分解因式：(1) 34381a b b -(2) 76a ab -二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．1．分组后能提取公因式【例3】把2105ax ay by bx -+-分解因式． 【例4】把2222()()ab c d a b cd ---分解因式．2．分组后能直接运用公式【例5】把22x y ax ay -++分解因式． 【例6】把2222428x xy y z ++-分解因式．十字相乘法分解因式（1）多项式c bx ax ++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式．(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．十字相乘法的要领是：“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，观察试验”。
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．【例1】把下列各式因式分解：(1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ (3) 2524x x +- (4) 2215x x --(5) 226x xy y +- (6) 222()8()12x x x x +-++①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式 顺口溜：竖分常数交叉验， 横写因式不能乱例2、因式分解与系数的关系若多项式a 2+ka+16能分解成两个系数是整数的一次因式的积，则整数k 可取的值有( ) A.5个 B.6个 C.8个 D.4个分析：因为二次项系数为1，所以原式可分解为(a+m)(a+n)的形式，其中mn=16，k=m+n ，所以整数k 可取值的个数取决于式子mn=16的情况.(其中m 、n 为整数)因为16=2×8，16=(-2)×(-8) 16=4×4，16=(-4)×(-4) 16=1×16，16=(-1)×(-16) 所以k=±10，±8，±16 答案：B2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 【例2把下列各式因式分解：(1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．练习1：分解因式(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +-(4) 261110y y -- (5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+(7) 22712x xy y -+ (8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++ (10) 53251520x x y xy --练习2分解因式(1)91024+-x x ； (2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； (3)120)8(22)8(222++++a a a a ．4、90)242)(32(22+-+-+x x x x ．5 653856234++-+x x x x ．6 655222-+-+-y x y xy x ．7 ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．三、十字相乘与其它知识综合例1.分组分解后再用十字相乘把2x 2-8xy+8y 2-11x+22y+15分解因式 解：原式=(2x 2-8xy+8y 2)-(11x-22y)+15 =2(x-2y)2-11(x-2y)+15 =[(x-2y)-3][2(x-2y)-5] =(x-2y-3)(2x-4y-5)说明：分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项一组，一次项一组，常数项一组.本题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解.例2.换元法与十字相乘法把(x 2+x+1)(x 2+x+2)-6分解因式分析：观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把(x 2+x)看成一个“字母”，把这个式子展开，就可以得到关于(x 2+x)的一个二次三项式(或设x 2+x=u ，将原式化为(u+1)(u+2)-6=u 2+3u-4，则更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解.解：(x 2+x+1)(x 2+x+2)-6=[(x 2+x)+1][(x 2+x)+2]-6 =(x 2+x)2+3(x 2+x)-4 =(x 2+x+4)(x 2+x-1)说明：本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，若能分解一定要继续分解，例3、 把10x ²-27xy-28y ²-x+25y-3分解因式 分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式 解法一、10x ²-27xy-28y ²-x+25y-3 =10x ²-（27y+1）x -（28y ²-25y+3）4y -3 7y ╳ -1=10x ²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）2 -（7y – 1） 5 ╳ 4y - 3=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] =（2x -7y +1）（5x +4y -3）说明：在本题中先把28y ²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x ²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为：[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]解法二、10x ²-27xy-28y ²-x+25y-32 -7y 5 ╳ 4y=（2x -7y ）（5x +4y ）-（x -25y ）- 3 2 x -7y 1 5 x +4y ╳ -3=[（2x -7y ）+1] [（5x +4y ）-3] =（2x -7y+1）（5x +4y -3）说明:在本题中先把10x ²-27xy-28y ²用十字相乘法分解为（2x -7y ）（5x +4y ）,再把（2x -7y ）（5x +4y ）-（x -25y ）- 3用十字相乘法分解为[（2x -7y ）+1] [（5x +4y ）-3].(试比一下“分组分解”与“十字相乘”适用的题目的类型特点，从各项的次幂的次数及各项系数去分析)例4.因式分解与十字相乘法 已知(x 2+y 2)(x 2-1+y 2)=12 求：x 2+y 2的值解：(x 2+y 2)(x 2-1+y 2)=12 (x 2+y 2)[(x 2+y 2)-1]-12=0 (x 2+y 2)2-(x 2+y 2)-12=0 [(x 2+y 2)-4][(x 2+y 2)+3]=0 ∵x 2+y 2≥0例5 把下列各式分解因式： (1)91024+-x x ；(2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；(3)120)8(22)8(222++++a a a a ．点悟：(1)把2x 看作一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式； (2)提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式； (3)以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式．解：(1) )9)(1(9102224--=+-x x x x＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)． (2) )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+]2)(5)(7)[(2-+-++=y x y x y x＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2] ＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)． (3) 120)8(22)8(222++++a a a a)108)(128(22++++=a a a a )108)(6)(2(2++++=a a a a点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．例6 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．点悟：把x x 22+看作一个变量，利用换元法解之．解：设y x x =+22，则原式＝(y －3)(y －24)＋90162272+-=y y＝(y －18)(y －9))92)(182(22-+-+=x x x x ．点拨：本题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，)9)(18(162272--=+-y y y y 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．例7 分解因式653856234++-+x x x x ．点悟：可考虑换元法及变形降次来解之． 解：原式]38)1(5)1(6[222-+++=xx x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=xx x x x ，令y xx =+1，则 原式)5056(22-+=y y x)103)(52(2+-=y y x)1033)(522(2++-+=xx x x x )3103)(252(22+++-=x x x x)13)(3)(12)(2(++--=x x x x ．点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节．例8：解关于x 方程：x ²- 3ax + 2a ²–ab -b ²=0分析：2a ²–ab-b ²可以用十字相乘法进行因式分解解：x ²- 3ax + 2a ²–ab -b ²=0x ²- 3ax +（2a ²–ab - b ²）=01 -b2 ╳ +bx ²- 3ax +（2a+b ）（a-b ）=01 -（2a+b ） 1 ╳ -（a-b ）[x-（2a+b ）][ x-（a-b ）]=0所以 x1=2a+b x2=a-b例9 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．点悟：因为12624+++x x x 是四次多项式，有一个因式是42++ax x ，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是32++bx x （a 、b 是待定常数），故有=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax ．根据此恒等关系式，可求出a ，b 的值．解：设另一个多项式为32++bx x ，则12624+++x x x)3)(4(22++++=bx x ax x12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ，∵ 12624+++x x x 与12)43()43()(234++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有由①、③解得，a ＝－1，b ＝1， 代入②，等式成立．∴ a ＝－1，另一个因式为32++x x ．点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．练习3、1、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．2、若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 提高版练习1、把下列各式分解因式：(1)6724+-x x ； (2)36524--x x ； (3)422416654y y x x +-；(4)633687b b a a --； (5)234456a a a --； (6)422469374b a b a a +-． 练习2、(1)2224)3(x x --； (2)9)2(22--x x ； (3)2222)332()123(++-++x x x x ；(4)60)(17)(222++-+x x x x ；(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ；(6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．练习3．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．四、其它因式分解的方法1．配方法【例11】分解因式2616x x +-解：222222616233316(3)5x x x x x +-=+⨯⨯+--=+-(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．2．拆、添项法 【例12】分解因式3234x x -+分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．解： 323234(1)(33)x x x x -+=+-- 22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将23x -拆成224x y -，将多项式分成两组32()x x +和244x -+．一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； (2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解； (4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．A 组1．把下列各式分解因式： (1) 327a + (2) 38m - (3) 3278x -+(4) 3311864p q --(5) 3318125x y -(6)3331121627x y c + 2．把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2) 33n n x x y +-(3) 2323()a m n a b +-(4) 2232(2)y x x y -+3．把下列各式分解因式： (1) 232x x -+ (2) 23736x x ++(3)21126x x +-(4) 2627x x --(5) 2245m mn n --(6) 2()11()28a b a b -+-+4．把下列各式分解因式：(1) 5431016ax ax ax -+ (2) 2126n n n a a b a b +++- (3) 22(2)9x x --(4) 42718x x --(5) 2673x x --(6) 2282615x xy y +-(7) 27()5()2a b a b +-+-(8) 22(67)25x x --5．把下列各式分解因式： (1) 233ax ay xy y -+- (2) 328421x x x +-- (3) 251526x x xy y -+-(4) 224202536a ab b -+- (5) 22414xy x y +-- (6) 432224a b a b a b ab +--(7) 66321x y x --+ (8) 2(1)()x x y xy x +-+B 组1．把下列各式分解因式：(1) 2222()()ab c d cd a b -+-(2) 22484x mx mn n -+-(3) 464x + (4) 32113121x x x -+-(5) 3223428x xy x y y --+2．已知2,23a b ab +==，求代数式22222a b a b ab ++的值． 3．证明：当n 为大于2的整数时，5354n n n -+能被120整除． 4．已知0a b c ++=，求证：32230a a c b c abc b ++-+=．第二讲 因式分解答案A 组1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c -+-+-+++-+2．2222()(),()(),nx x y y xy x x x y x xy y +-+-++22222432()[()()],(1)(4321)a m n b m n b m n b y x x x x x +-++++--+++3．(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x --+++--+(9)(3),(5)(),(4)(7)x x m n m n a b a b -+-+-+-+4．322(2)(8),(3)(2),(3)(1)(23),(3)(3)(2)n ax x x a a b a b x x x x x x x --+--+-+-++2(23)(31),(2)(415),(772)(1),(21)(35)(675)x x x y x y a b a b x x x x -+-++++-+--+5．2()(3),(21)(21),(3)(52),(256)(256)x y a y x x x x y a b a b -++--+---+23333(12)(12),()(),(1)(1),()(1)x y x y ab a b a b x y x y x x y x y -++-+----+-++．B 组1．22()(),(42)(2),(48)(48),bc ad ac bd x m n x n x x x x +--+--+++ 2(1)(3)(7),(2)(2)x x x x y x y ----+． 2．2833．5354(2)(1)(1)(2)n n n n n n n n -+=--++ 4．322322()()a a c b c abc b a ab b a b c ++-+=-+++三、强化练习 1.把下列各式分解因式(1)x-x 2+42 (2)(3)a 2n +a 4n -2a 6n(4)(x-y)2+3(x 2-y 2)-4(x+y)2 (5)x 2-xy-2y 2-x-y2.已知：x 2+xy-2y 2=7,求：整数x 、y 的值3．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．答案与提示：1.(1)-(x-7)(x+6) (2)(3)-a 2n (a n +1)(a n -1)(2a 2n +1)(4)-2y(5x+3y)提示：可分别把(x-y)和(x+y)各看成一个“字母”，如设x-y=m ，x+y=n ，则原式化为m 2+3mn-4n 2(5)(x+y)(x-2y-1)提示：可参考“疑难精讲例3”2.提示：将已知条件的左边分解因式得： (x+2y)(x-y)=7 ∵x 、y 都为整数∴有3∵ ))((2233y xy x y x y x +-+=+]3))[((2xy y x y x -++=，又∵ 2=+y x ，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，∴ 26)]4(32[22=+-a ，解之得，a ＝－7．。