考研数学两个重要极限64页PPT
2.5两个重要极限
例5 求 lim e x 1 . x0 x
解 令u ex 1,则x ln(1 u),当x 0时, u 0, 有
ex 1
u
1
lim
lim
lim
1
x0 x
u0 ln(1 u) u0 1 ln(1 u)
u
练习
7.lim n
1+
1 n
n1
1
8.lim 1 2 x x x0
9.lim x
1 2
练习
1.lim tan x x0 x
1 cos x
2.lim x0
x2
x sin 2x 3.lim
x0 x sin 2 x
sin5( x a ) 4.lim
xa x a
5.lim x0
1 x
sin
x+x
sin
1 x
6.lim x
1 x
sin
x+x
sin
1 x
二 、lim(1 1 )x e
2
22
当0 x ,有 cos x sin x 1
2
x
由sin x,cos x的奇偶性知
当0 x ,有 cos x sin x 1
2
x
由夹逼定理得 lim sin x 1 x0 x
我们不难证得: lim x 1
x0 sin x
例1 求 lim sinax (a为 非 零 常 数)
x
x2
x2
例3 求 lim(1 1 )3x .
解
x
lim(1
x
x 1 )3x x
lxim(1
1 x
)
x
3
lxim(1
1-6 两个重要极限
n n2 1 n2 2
n2 n
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件 x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
单调数列
几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
二、两个重要极限
证:
当
x(0,
π 2
)
时，
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积
•
7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 12时31 分20.1 2.1000: 31Dece mber 10, 2020
•
8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月10日 星期四 12时31 分35秒 00:31:3 510 December 2020
•
9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。上午 12时31 分35秒 上午12 时31分 00:31:3 520.12. 10
x0 x
(2) lim sin 5x x0 sin 8x
(4) lim
x0
1
cos x2
x
arcsin x
(5) lim
x0
x
(3) lim tan x x0 x
(6) lim sin x x x
说明：1. 以下结论也可直接作为公式使用
lim tan u 1 u0 u lim arcsin u 1 u0 u
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/10/
2020 12:31:35 AM00:31:352020/12/10
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/10/
谢 谢 大 家 2020 12:31 AM12/10/2020 12:31 AM20.12.1020.12.10
24两个重要极限精品PPT课件
(x) 0 (x)
1
(0) 0
(2)
lim ( 1 1 ) ( x) e
( x)
(x)
(1 )
1
或 lim (1 ( x))( x) e ( x)0
lim ( 1 1 ) (x) e1
( x)
(x)
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
u
1 (x)
k
1
例7：求lim(1 3 )x
x
x
1
e . 解:原式
lim(1 Hale Waihona Puke 3)x 3
3
[lim(1
3
)
x 3
]3
3
x
x
x
x
1
例8 : 求 lim 1 2x x x0
解:
原式 lim
1 (2x)
(
1 2x
)(
2
)
x0
e . [lim
1 2x
] (
1 2x
)
-2
2
x0
例9：求 lim(1 1 )x2
0
解:
原式
lim sin 5x x0 5x
5 2
5 sin 5x lim
2 x0 5x
5 2
例2.
求
tan x lim .
x0 x
(0) 0
解: 原式 lim sin x 1 x0 x cos x
lim sin x lim 1 x0 x x0 cos x
1
考研高数总复习函数的极限(讲义)PPT课件
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
极限存在准则与两个重要极限资料
1
(1
1 )(1
2 )(1
n1 )
2! n
n! n n
n
xn
11
1 2!
1 n!
11
1 2
1 2n1
3
1 2n1
3,
{xn}是有界的; 单调上升有上界必有极限
lim n
xn
存在.
记为 lim(1 1)n e
n
n
(e 2.718281828459045) 无理数
12 23
n1 n
2 1 2, n
{ xn}是有上界的;
因此, 利用单调有界数列必收敛准则即得结论.
15
2.5 极限存在准则 两个重要极限
例 证明数列 xn 3 3 3
(n重根式)的极限存在.
证 (1) 显然 xn1 xn ,
{xn}是单调增加的; (2) x1 3 3, 假定 xk 3,
1.
8
2.5 极限存在准则 两个重要极限
0
例 lim x 0 lim
x
lim sin x 1 lim x 1
x0 x
x0 sin x
cos x 1.
x0 tan x x0 sin x
例
sin3 3 lim x0 3x
x
0
0
1 3
lxim0
sin
3
3
x
x
3
n
an
bn
cn ,求 lim n
xn .
解 法一 由于 a xn a n 3
1
以及 lima a, lim a n 3 lim a 3n a 1
第1-6讲 极限4(两个重要极限)
2
x
=
1
sin lim(
2 )2
2 x→0 x
2
=1 2
练一练
1. lim sin x = _____ ; x→0 x
1
3. lim x sin = ____ ;
x→0
x
2. lim sin x = _____ ; x→ x
1
4. lim x sin = ____ .
x→
x
第一个 重要极限
注 （1） 1 型
例1 求lim tan x x→0 x
解 lim tan x = lim( sin x 1 )
x→0 x
x→0 x cos x
= lim sin x lim 1 x→0 x x→0 cos x
= 11 = 1
例2 求 lim sin 2x x→0 x
解
sin 2x lim
= lim 2sin 2x = 2lim sin 2x
x→
x
lim 2 x
x→ x = e2
例6 求 lim(1 − 2 )3x
x→
x
解
= e lim(1 − 2 )3x
x→
x
lim (− 2 )3x x→ x
= e−6
1
例7 求 lim(1 + 2 x) x x→0
解
1
lim(1+2x) x
lim 2x 1
= e x→0
x
= e2
x→0
内容小结
两个重要极限
（2） lim (1+ 1 )Δ =e
x →(.)
Δ
∆即可表示自变量x, 也可表示x的函数.
(只要lim 1 = 0) x→(.)
1.4两个重要极限
x
于是
3 x lim (1 + ) = lim(1 + t ) t = lim[(1 + t ) t ]3= [lim(1 + t ) t ]3 = e 3 x →∞ t →0 t →0 t →0 x x 3 x 3 3 3 或 lim(1 + ) = [lim(1 + ) ] = e3 x →∞ x →∞ x x
π
ESC
一. 极限的四则运算法则 二.第一个重要 极限 第一个重要
x 1 2 cos 另一方面， x = 1 − 2 sin > 1 − x ，于是有 另一方面， 2 2 1 2 sin x 1 − x < cos x < <1． 2 x
2
1 2 由准则Ⅰ 因为 lim (1 − x ) = 1 ，由准则Ⅰ可得 x →0 2 sin x =1． lim x →0 x
n →∞
ESC
二.第一个重要 极限 第一个重要
sin x =1 1. lim x→0 x
(1.4.1)
证 因为 sin( − x) = − sin x = sin x ，所以 −x −x x 由正值趋于零的情形． 只讨论 x 由正值趋于零的情形． 作单位园O 作单位园O， 设圆心角 ∠AOB = x ,延长 OB交过 A点的切线于于 D ， 面积＜ 则 ∆AOB 面积＜扇形 AOB 面积＜ 面积． 面积＜ ∆AOD 面积．即 ESC
ESC
一. 极限的四则运算法则 二.第二个重要 极限 第二个重要
lim x 2. x→∞(1+ 1)x = e
表1
(1.4.7)
1 x x → ∞ 时 (1 + ) 之值的变化情况 x
两个重要极限
x0
x0 tan 2x 2
(3) lim
x sin
x
1 sin x lim x
x0 x sin x x0 1 sin x
11 0 11
x
高等数学 advanced math 两个重要极限 (Two important limits)
例4 求 lim sin(x2 9)
x3 x 3
解：lim sin(x2 9)
按前面所述的资金现值计算方法知
该股票筹得资金的现值为P(1-F),等于各年股利按普通 股成本K贴现的现值和，即
P（1
F）
D 1 K
D(1 G) (1 K )2
D(1 G)2 (1 K )3
高等数学 advanced math 两个重要极限 (Two important limits)
试利用数学方法计算股票筹资成本K
案例【圆的面积】
为了求圆面积，可以先作圆 的内接正四边形，其面积记
作A4 ；又作圆的内接正六边 形，其面积记作A6；如此循
环下去，当圆的内接正多边 形的边数不断增加时，其相 应的面积与圆的面积就越来
越接近,当边数n无限增大时 播放
，圆的内接正多边形的面积 就是圆的面积
高等数学 advanced math 两个重要极限 (Two important limits)
x3 x 3
lim
x3
s
in(x2 x2 9
9)
(
x
3)
sin(x2 9)
lim x3
x2 9
lim (x 3) x3
6
高等数学 advanced math 两个重要极限 (Two important limits)
两个重要极限(整理).pdf
两个重要极限（整理）.pdf第一个重要极限的公式：limsinx/x=1(x->0)当x→0时，sin/x 的极限等于1。
特别注意的是x→∞时，1/x是无穷小，根据无穷小的性质得到的极限是0。
第二个重要极限的公式：lim(1+1/x)^x=e（x→∞）当x→∞时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当x→0时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。
两个重要极限公式作用（1）sinx/x的极限，在中国国内的教学环境中，经常被歪解成等价无穷小。
而在国际的微积分教学中，依旧是中规中矩，没有像国内这么疯狂炒作等价无穷小代换。
sinx经过麦克劳林级数展开后，x是最低价的无穷小，sinx跟x只有在比值时，当x趋向于0时，极限才是1。
用我们一贯的，并不是十分妥当的说法，是“以直代曲”。
这一特性在计算、推导其他极限公式、导数公式、积分公式时，会反反复复地用到。
sinx、x、tanx也给夹挤定理提供了最原始的实例，也给复变函数中sinx/x的定积分提供形象理解。
（2）关于e的重要性，更是登峰造极。
表面上它起了两个作用：A、一个上升、有阶级数，跟一个下降的有阶级数，具有一个共同极限；B、破灭了我们原来的一些固有概念：大于1的数开无限次幂的.结果会越来越小，直到1为止；小于1的正数开无限次幂的结果会越来越大，直到1为止。
整体而言，e的重要极限，有这么几个意义：A、将代数函数、对数函数、三角函数，整合为一个整体理论，再结合复数理论，它们成为一个严密的互通互化互补的、相辅相成、交相印证的完整理论体系.B、使得整个微积分理论，包括微分方程理论，简洁明了。
没有了e^x这一函数，就没有了lnx，也就没有一切理论，所有的公式将十分复杂。
§3.4 两个重要的极限 数学分析(华师大 四版)课件 高教社ppt 华东师大教材配套课件
0sin lim 1x x x →=1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭*点击以上标题可直接前往对应内容)1(.cos 1sin 1xx x <<不等式中的三个表达式均是偶函数, 证πsin tan 0,2x x x x ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭因为所以命题1π0||12x <<时,()式仍成立.后退前进目录退出x 故当sin lim 1x xx →=001lim =1=lim =1cos x x x →→=因为，0lim 1,sin x xx →=所以0sin lim 1.x xx →=即πsin lim πx x x →-解π,t x =-令所以例1 求πsin lim .πx xx →-()sin sin πsin ,x t t =+=-则0sin lim 1.t t t→-==-例2.arctan lim 0x xx →求x x x arctan lim 0→arctan ,tan ,t x x t ==令解.cos 1lim 20xxx -→求例3解2202sin 2lim xx x →=.21=20cos 1lim x x x -→2022sin 21lim ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x t t t tan lim 0→=t t tt t cos lim sin lim 00→→⋅=1=则命题2e 11lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→xx x .e 11lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-→xx x 和证我们只需证明：();,2,1,1,111 =+<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n n x n n x f n 设两个分段函数分别为1lim 1exx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭().,2,1,1,111=+<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n x n n x g n显然有()().),1[,11∞+∈≤⎪⎭⎫⎝⎛+≤x x g x x f x因为(),e 111lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∞→+∞→nn x n x f (),e 11lim lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→+∞→n n x n x g 所以由函数极限的迫敛性，得到1x§4 两个重要的极限sin lim 1x x x →=.e 11lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→xx x 这就证明了())3(.e 1lim 1=+→t t t 注,1xt =若令由此可得在实际应用中，公式(2)与(3)具有相同作用..e 111111lim 11lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∞→-∞→y y x y y xx .0,→∞→t x 时则1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.1111111xy y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+所以时，因为当,+∞→-∞→y x解),3(由公式例4xx x 1)21(lim +→求()10lim 12xx x →+()2120=lim 12xx x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦2e .=例51lim(1)xx x →-求解()10lim 1xx x →-()110=lim 1xx x --→⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1e .-=,01,e 11lim 2→-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n nn ＝而.e 11lim 122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→n n n n n 所以由归结原则，.111lim 2nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→求例6解因为2111nn n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭1122211111---⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n nn n nn n n n .112122--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≥n n n n 11e,nn ⎛⎫<+→ ⎪⎝⎭.e 111lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→nn n n 再由迫敛性, 求得。
两个极限存在准则和两个重要的极限
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二、两个重要极限
1．重要极限Ⅰ： lim x 0
sin x 1 x
证：由于当 x 0 时，无论 x 0 或 x 0 时，
sin x x
的比值不变．于是在推导过程中，不妨假设
2
0 x
．做单位圆，如图 1-7 所示：
图 1-7
x ，切线
设圆心角 AOB x （弧度） ，显然， BC sin x ，
p` x
，其中 m 、 p 是正整数．
1 ( mp ) mx
解：因为
(1 mx ) (1 mx )
p x
1 [(1 mx )
1 mx mp
]
令 u mx ，当 x 0 时， u 0
lim(1 mx )
x 0 p` x
lim
x 0
1 [(1 mx )
lim(1
x
1 x ) e x
（3）
公式 （2）（3） 、 的证明过程繁杂、 冗长， 这里通过讨论只给出结论． 在公式（3）中，令 z
1 x
，得（3）式的另一种形式：
1 z
lim(1 z ) e
z 0
（4）
以 e 为底的对数被命名为自然对数，记为ln a ．
例 4：求 lim(1 ) x x
准则 I 推广至函数的极限即得准则 I 。 由准则 I ，可类似给出 x 时的情况，不再赘述．
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准则Ⅱ：单调有界数列必有极限．
准则Ⅱ有明显的几何意义：不妨设数列是单调增加数列，从数轴 上看，数列的一般项 a n 所对应的一无穷点列，只能向右方移动，要么趋 向右方无穷远处，要么无限趋近于某一定点，由于数列有界，动点不可 能趋向无穷远处，只能无限趋近于某一定点 A ，从而数列有极限 A
两个重要极限的证明
两个重要的极限1．证明：0sin lim 1x x x→= 证明：如图（a ）作单位圆。
当0<x<2π时，显然有ΔOAD 面积<扇形OAD 面积<ΔOAB 面积。
即111sin 222x x <<tgx ，sinx<x<tgx 。
除以sinx ，得到11sin cos x x x<< 或sin 1cos x x x >>。
（1） 由偶函数性质，上式对02x π-<<时也成立。
故（1）式对一切满足不等式0||2x π<<的x 都成立。
由0lim x →cosx=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得0lim x →sin 1x x=。
函数f(x)=sin x x的图象如图（b ）所示。
2．证明：1lim(1)n n n →∞+存在。
证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n 有 11(1)n n n b a n b b a++-<+-或11(1)()n n n b a n b b a ++-<+-，整理后得不等式1[(1)]n n a b n a nb +>+-。
（1） 令a=1+11n +，b=1+1n ，将它们代入（1）。
由于11(1)(1)(1)(1)11n a nb n n n n +-=++-+=+， 故有111(1)(1)1n n n n ++>++，这就是说1{(1)}n n+为递增数列。
再令a=1，b=1+12n代入（1）。
由于11(1)(1)(1)22n a nb n n n +-=+-+=，故有111(1)22n n >+，12(1)2n n >+。
不等式两端平方后有214(1)2n n >+，它对一切自然数n 成立。
联系数列的单调性，由此又推得数列1{(1)}n n +是有界的。
于是由单调有界定理知道极限1lim(1)n n n→∞+是存在的。
04 无穷小 两个重要极限
a n f ( x0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) , 且Q( x0 ) 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) f ( x0 ). x x0 lim Q( x ) Q( x 0 )
x x0 x x0
lim P ( x )
x x0
1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
一、 极限的四则运算法则
定理 （1）若lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
（ 2） （ 3）
其中B 0.
如果 lim f ( x ) 存在 , 而 c 为常数 , 则 推论1 lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
的图形的铅直渐近线 .
无穷小与无穷大的关系
定理5 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
1 设 lim f ( x ) . 当x x0时, 为无穷小. x x0 f ( x) 反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
商的极限存在，必须
1 a 0
解得
ab 2 a 1 ， b 3
，
.
例6
1 2 n 求 lim( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无限多个无穷小之和 ．
解
先变形再求极限.
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
2
, 而商的极限存在 . 解 x 1时, 分母的极限是零
则 lim( x 2 ax b) 1 a b 0.
2.10两个重要极限的推广
两个重要极限的推广第一重要极限：0sin lim =1.x x x→第二重要极限：11lim(1)=e lim(1)=e.x n x n x n→∞→∞++或两个重要极限的理论价值和应用价值极高.但由于太过具体，影响到两个重要极限的直接运用.较为遍使用的是两个重要极限的推广形式.第一重要极限的推广：第二重要极限的推广：()()1lim (1) e.()f x f x f x →∞+=()0sin ()lim 1()0.()f x f x f x f x →=≠，其中).(x f x 在推广中，将原来的替换成了函数()f x 而可以取.从而使得两个重要极限的运用更加广泛22,,e xx x −等函数，比如，1(),f x x =取则有101lim sin 1lim(1) e.x x x x x x→∞→=+=和()仍称为第一重要极限()仍称为第二重要极限1例 0sin(sin )lim .tan 5x x x→求解 0sin(sin )lim tan 5x x x →0sin(sin )=lim sin x x x →sin x x⋅cos 5sin 55x x x ⋅15⋅1.5=2例 lim(1).x x xλλ→∞+求，其中为常数解 =0λ如果，则lim(1)=lim1=1xx x x λ→∞→∞+；0λ≠如果，则1lim(1)=lim[(1)]x x x x x x λλλλ→∞→∞++=e ,λ所以综上得lim(1)=.x x x λλ→∞+e3例1lim().1n nnn→∞−+求解1lim()1nnnn→∞−+2lim(1)1nn n→∞=−+1lim(1)12nn n→∞=++−21121lim[(1)]12nnnn n+−−+→∞=++−2e.−=.熟练后，有些解题步骤可以简化总结本讲重要介绍两个重要极限的推广及其应用.。