第五节平面及其方程教案(最新整理)

重庆科创职业学院授课教案

课名：高等数学（上）教研窒：高等数学教研室

班级：编写时间：

课题：

第五节平面及其方程

教学目的及要求：

介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本书非常重要的一节，

本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的

表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。

教学重点：

1.平面方程的求法

2.两平面的夹角

教学难点：平面的几种表示及其应用

教学步骤及内容：

一、平面的点法式方程

1.平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。

平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。

2.平面的点法式方程

已知平面上的一点M 0 (x0 , y0 , z0 ) 和它的一个法线向量

n = {A, B, C}，对平面上的任一点M (x, y, z) ，有向量M 0M ⊥n，即

n ⋅

M

M = 0

代入坐标式，有：

A(x -x

0 ) +B( y -y

) +C(z -z

) = 0 （1）

此即平面的点法式方程。

旁批栏：

| A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1C 2 |

A 2 +

B 2 +

C 2 ⋅ A 2 + B 2 + C 2

1 1 1

2 2 2 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D

A 2 +

B 2 +

C 2

解：设平面为 Ax + By + Cz + D = 0 ，由平面过原点知 D = 0

由平面过点(6,-3, 2) 知

6 A - 3B + 2C = 0 ，

n ⊥ {4, -1, 2} ∴ 4 A - B + 2C = 0

⇒ A = B = - 2 C 3

旁批栏：

所求平面方程为2x + 2 y - 3z = 0

三、两平面的夹角：

定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。

设平面∏1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ， ∏2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

n

= { A , B , C }，

n

= { A , B , C } 按照两向量夹角余弦公式有：

1

cos =

1

1

1

2

2

2

2

几个常用的结论

设 平 面 1 和 平 面 2 的 法 向 量 依 次 为

n 2 = {A 2 , B 2 , C 2 }

n 1 = {A 1 , B 1 , C 1}和

1) 两平面垂直： A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1C 2 = 0

（法向量垂直）

A 2) 两平面平行： 1

A 2 =

B 1 B 2 =

C 1 C 2

（法向量平行）

3) 平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点 P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) ，平

面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0 ，则点到平面的距离为

d =

例 3：研究以下各组里两平面的位置关系：

(1) - x + 2 y - z +1 = 0,

y + 3z -1 = 0

(2) 2x - y + z -1 = 0,

- 4x + 2 y - 2z -1 = 0

(3) 2x - y - z +1 = 0,

- 4x + 2 y + 2z - 2 = 0

1 60

2 1 | -1⨯ 0 + 2 ⨯1 - 1⨯

3 | 1

解：(1) cos = = ，两平面相交，夹角

= arccos (-1)2 + 22 + (-1)2 ⋅ ； 12 + 32

60

旁批栏：

(2) = {2,-1,1} ， n =

{-4, 2,-2} ⇒ 2 = -1 =

- 4 2 1

，两平面平 - 2

行 ． M (1,1,0) ∈∏1

M (1,1,0) ∉∏2 ，所以两平面平行但不重合。

（3） - 4 = -1 = -1 2 2

两平面平行

M (1,1,0) ∈∏1 M (1,1,0) ∈∏2

所以两平面重合．

小结与思考：平面的方程三种常用表示法：点法式方程，一般方程，截距式方程。

两平面的夹角以及点到平面的距离公式。 作业：见作业本 7.5

n 2

“”

“”

At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!