离散化方法

常用边界条件举例
对称 ①
Tair ⑤
T、 oil
p
②
绝热
④
①
y
③
恒温层
x
①
T 0 x
(第二类边界条件)
②
T r
|rR p
Toil
Tw
（第三类边界条件）
③ T=C
(第一类边界条件)
④
T 0 x
（第二类边界条件）
⑤
f
(T
Tair
)
T y
（第三类边界条件）
常用边界条件举例
流动传热控制方程
T y
ST
控制方程的离散化
控制方程仅在极少数特殊情况下有解析解
u v 0 x y
u u u 1 p 2u 2u
t
u
x
v
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y
x
x2
y2
v t
u
v x
v
v y
1
p y
2v x2
2v y 2
沿x方向压力梯度为定值的平板定常层流
控制方程的离散化
控制方程仅在极少数特殊情况下有解析解
控制方程: 物理模型所用的数学表达式，控制物理量 的变化规律。
质量守恒方程:
r
(U
)
0
t
流动传热控制方程
动量守恒方程:
(u)
t
r
div(uU
)
div(gradu)
Su
p x
( )
t
r
div(U
)
div( grad )
Sv
p y
( w)
t
div(
r wU
)
div(gradw)
Sw
p z
能量守恒方程:
有限差分法 有限容积法
控制方程的离散化
有限差分法：
利用泰勒展开将控制方程中的所有导数项 表示成有限个节点值的代数组合，从而将 微分方程表示成差分方程。
f
(x)
f
(x0 )
f x
x x0
2 f 2x
x x0 2
2
o( x
x0 n )
f ( x x)
f (x)
f x x
2 f 2x
二、离散化方法
离散化方法
1 计算区域及其离散化 2 流动传热控制方程及其离散化
计算区域和边界
计算区域: 从实际问题抽象出来的物理数学模型中
所规定的物理量发生变化的主要区域。 线：直线 面：矩形、圆形、环形、扇形、环扇形 体：立方体、球体、圆柱体 边界：
物理量发生变化的最大界限，或者所研 究对象与外界的分界线。
最重要、最复杂的约束条件
对象与外界联系和相互作用的规律
往往影响数值计算的成败
边界条件
边界条件分类:
第一类边界条件
具有相对性
边界上给定待求变量的函数关系
第二类边界条件 边界上给定待求变量梯度的函数关系
第三类边界条件 边界上给定待求变量与其梯度之间的函数关系
常用边界条件举例
恒壁温边界条件 恒热流边界条件 绝热边界条件 入口出口边界条件 对称边界条件 周期性边界条件
计算区域和边界
突扩后台阶流动计算区域和边界：
计算区域和边界
埋地热油管道土壤传热计算区域和边界：
y
地表
o
大气
x
H0管道埋深
y
管道和防腐层等
向
热
力
影
土壤
响
区
H
x向热力 影响区2L
计算区域和边界
确定计算区域和边界的原则:
包含所研究问题的全部特征或近似全部的 特征。
取决于物理问题本身，不能随意取
x 2 2
o(xn )
截断误差及其阶数
控制方程的离散化
有限容积法： 将控制方程在离散的计算区域中的每个具
有有限容积的网格单元内进行积分，得到 每个有限容积内的变量平均值表达式。
f x2 f (x)dx x1
(cpT
t
)
div(
c
p
ur UT
)=div(
gradT
)
ST
流动传热控制方程
不可压缩流体流动方程组:
u v 0 x y
u t
u
u x
v
u y
1
p x
2u x2
2u y2
v t
u
v x
v
v y
1
p y
2v x2
2v y 2
导热方程:
(cpT )
t
=
x
T x
y
x
T x
0
两次不定积分 恒温边界条件
解析解
T x
c1
T
c1
x
c2
x 0,T T1; x l,T T2
T
T2
T1 l
x
T1
控制方程的离散化
一般情况下无法作上述化简
解决途径：离散化后再求解
控制方程离散化： 用离散的计算区域中的节点上的变量及其
导数值来代替控制方程中的连续函数。 方程离散化的两类基本方法：
有一定的灵活性 与所采用的物理模型或数值方法有关
计算区域离散化
计算区域的离散化: 对空间上连续的计算区域进行剖分，划
分成许多子区域。实质上就是用一组有限 个离散的点来代替原来的连续空间。
线区域的离散
面区域的离散
体区域的离散
计算区域离散化
计算区域离散化的基本步骤:
将计算区域边界线用若干个点划分为若干段 按照计算区域的形状连接这些点将计算区域划
2u = 1 p = C
y2 x
两次不定积分
u y
=
C
y
c1
u= C
y2 2
c1 y c2
平板边界条件 y 0,u 0; y h,u 0
解析解
u= C y2 h
2
控制方程的离散化
控制方程仅在极少数特殊情况下有解析解
(cpT
t
)
=
x
T x
y
T y
ST
沿x方向一维无源稳态导热
分为互不重叠的若干个子区域(网格) 确定物理量代表点(节点)在子区域中的位置
是否唯一的离散方式？
计算区域离散化
网格：
均分网格 非均分网格 网格的命名和步长
节点:
内部节点 边界节点 节点的编号和间距
边界条件
边界条件: 物理模型在边界上遵循的规律或具有的
特点，方程组的解在边界上应满足的条件。