2020年中考数学二轮核心考点讲解第15讲非常规思维问题解析版

【中考数学二轮核心考点讲解】第15讲非常规思维问题一、轴对称/翻折的性质1. 关于某条直线对称的两个图形是全等形；2. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点连线段的垂直平分线；3. 对称轴上的任意一点与每一对对应点所连线段相等；4. 若对应线段或对应线段的延长线相交，则交点一定在对称轴上.二、梯形常见辅助线的作法三、圆幂定理四、正弦定理与余弦定理五、阿基米德折弦定理【例题1】（1）如图1，四边形ABCD是菱形，∠BAD=∠BCD=60°，当AC=12时，则△BCD的周长=______. （2）如图2，若四边形ABCD不是菱形，∠BAD=2∠ACB=2∠ACD=60°，AC=12，判断△BCD的周长是否发生变化，并说明理由。

（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=∠ACD=45°，AC=12，求△BCD的周长。

【归纳，本题重点巧用作轴对称/翻折的方法进行解题】【变式1】已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．（1）探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系；（2）已知：如图（2），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．图(1) 图(2)【解析】（1）DE2＝BD2+EC2；（2）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD＝DF，EF＝BE．∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．【例题2】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB＝90°，且BC＝2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1＝3，S3＝9，则S2的值为_____.【解析】∵S1＝3，S3＝9，∴AB＝，CD＝3，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB＝∠DCB，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴CE＝AD，AE＝CD＝3，∵∠ABC+∠DCB＝90°，∴∠AEB+∠ABC＝90°，∴∠BAE＝90°，∴BE＝＝2，∵BC＝2AD，∴BC＝2BE＝4，∴S2＝（4）2＝48，故选：D．【变式2-1】如图所示．梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B＝90°，AB＝p，CD＝q，E，F分别为AB，CD 的中点，求EF．【解析】过点F分别作FG∥AD，FH∥BC交AB于G，H，（如图）∴∠A ＝∠FGH ，∠B ＝∠FHG ， ∵∠B +∠A ＝90°，∴∠FGH +∠FHG ＝90°， ∴△FGH 是直角三角形，∵FG ∥AD ，FH ∥BC ，AB ∥CD ，∴四边形ADFG 、FHBC 都是平行四边形， 又∵E 、F 分别是两底的中点， ∴AE ＝EB ，BH ＝AG ， ∴GE ＝EH ，∴DF ＝AG ＝，FC ＝HB ＝，FG ＝AD ，FH ＝BC ， 在Rt △FGH 中，即EF 是Rt △FGH 斜边的中线， ∴EF ＝GH ＝（AB ﹣CD ）＝．【变式2-2】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3:8:3:3:::2AB BC CD DA ，求∠B 、∠D解：过A 作AE ∥DC ，设AB=3a （a ＞0）根据勾股定理逆定理可得∠BAE=90°，∠AEB=30°，可推出 ∠B=60°，∠D=150°【例题3】如图，P A 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线，如果PB ＝2，PC ＝4，则P A 的长为 ．【解析】∵P A 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线，PB ＝2，PC ＝4， ∴P A 2＝PB ×PC ， ∴P A ＝＝2． 故答案为：2．【变式3-1】如图，CD 是⊙O 的直径，以D 为圆心的圆与⊙O 交于A 、B 两点，AB 交CD 于点E ，CD 交⊙D 于P ，已知PC ＝6，PE ：ED ＝2：1，则AB 的长为（ ）A．B．C．D．【解析】延长PD交⊙D于F．设PE＝2x，DE＝x．根据相交弦定理，得：CE×ED＝AE×BE＝PE×EF，（6+2x）×x＝2x×4x，解得x＝1．所以AE＝BE＝2，所以AB＝4．故选：B．【变式3-2】九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：P A•PB＝PC•PD，小刚很想知道是如何证明的，可已证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD．聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程．小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O弦，P是AB上一点，AB＝10cm，P A＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过程．【解析】（1）圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知，如图1，⊙O的两弦AB、CD相交于E，求证：AP•BP＝CP•DP．证明如下：连结AC，BD，如图1，∵∠C＝∠B，∠A＝∠D，∴△APC∽△DPB，∴AP：DP＝CP：BP，∴AP•BP＝CP•DP；所以两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．（2）过P作直径CD，如图2，∵AB＝10，P A＝4，OP＝5，∴PB＝10﹣4＝6，PC＝OC+OP＝R+5，PD＝OD﹣OP＝R﹣5，由（1）中结论得，P A•PB＝PC•PD，∴4×6＝（R+5）×（R﹣5），解得R＝7（R＝﹣7舍去）．所以⊙O的半径R＝7cm．【例题4】问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC……（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；实践应用：（2）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为BE＝CE+AC．（3）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为AB上一点，连接DB，∠ACD＝45°，AE⊥CD于点E，△BDC的周长为4+2，BC＝2，请求出AC的长．【解析】（1）证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG，∵M是的中点，∴MA＝MC．在△MBA和△MGC中，，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB＝MG，又∵MD⊥BC，∴BD＝GD，∴DC＝GC+GD＝AB+BD；实践应用（2）如图3，依据阿基米德折弦定理可得：BE＝CE+AC；故答案为：BE＝CE+AC；（3）∵AB＝AC，∴A是的中点，∵AE⊥CD，根据阿基米德折弦定理得，CE＝BD+DE，∵△BCD的周长为4+2，∴BD+CD+BC＝4+2，∴BD+DE+CE+BC＝2CE+BC＝4+2，∵BC＝2，∴CE＝2，在Rt△ACE中，∠ACD＝45°，∴AE＝CE＝2，∴AC＝4．【变式4-1】我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得点E是AB的中点，即AE＝EB．⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．（1）当点C在弦AB的上方时（如图2），过点F作EF⊥AC于点E，求证：点E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB．（2）当点C在弦AB的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．（3）如图4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过⊙O 上一点P作PH⊥AC于点H，交AB于点M，当∠P AB＝45°时，求AH的长．【解析】（1）如图2，在AC上截取AG＝BC，连接F A，FG，FB，FC，∵点F是的中点，F A＝FB，在△F AG和△FBC中，，∴△F AG≌△FBC（SAS），∴FG＝FC，∵FE⊥AC，∴EG＝EC，∴AE＝AG+EG＝BC+CE；（2）结论AE＝EC+CB不成立，新结论为：CE＝BC+AE，理由：如图3，在CA上截取CG＝CB，连接F A，FB，FC，∵点F是的中点，∴F A＝FB，，∴∠FCG＝∠FCB，在△FCG和△FCB中，，∴△FCG≌△FCB（SAS），∴FG＝FB，∴F A＝FG，∵FE⊥AC，∴AE＝GE，∴CE＝CG+GE＝BC+AE；（3）如图3，在Rt△ABC中，AB＝2OA＝4，∠BAC＝30°，∴BC＝AB＝2，AC＝2，当点P在弦AB上方时，在CA上截取CG＝CB，连接P A，PB，PG，∵∠ACB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵∠P AB＝45°，∴∠PBA＝45°＝∠P AB，∴P A＝PB，∠PCG＝∠PCB，在△PCG和△PCB中，，∴△PCG≌△PCB（SAS），∴PG＝PB，∴P A＝PG，∵PH⊥AC，∴AH＝GH，∴AC＝AH+GH+CG＝2AH+BC，∴2＝2AH+2，∴AH＝﹣1，当点P在弦AB下方时，如图5，在AC上截取AG＝BC，连接P A，PB，PC，PG∵∠ACB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵∠P AB＝45°，∴∠PBA＝45°＝∠P AB，∴P A＝PB，在△P AG和△PBC中，，∴△P AG≌△PBC（SAS），∴PG＝PC，∵PH⊥AC，∴CH＝GH，∴AC＝AG+GH+CH＝BC+2CH，∴2＝2+2CH，∴CH＝﹣1，∴AH＝AC﹣CH＝2﹣（﹣1）＝+1，即：当∠P AB＝45°时，AH的长为﹣1或+1．【例题5】阅读下列材料，并完成相应的任务．托勒密定理：托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，求证：AB•CD+BC•AD＝AC•BD下面是该结论的证明过程：证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．∵∴∠ABE＝∠ACD∴△ABE∽△ACD∴∴AB•CD＝AC•BE∵∴∠ACB＝∠ADE（依据1）∵∠BAE＝∠CAD∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC即∠BAC＝∠EAD∴△ABC∽△AED（依据2）……任务：（1）请继续完成上面的证明过程，并回答上述过程中的“依据1”和“依据2”分别是什么．（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：．（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为的中点，求AC的长．【解析】（1）∴△ABC∽△AED∴AD•BC＝AC•ED∴AB•CD+AD•BC＝AC•（BE+ED）∴AB•CD+AD•BC＝AC•BD上述证明过程中的“依据1”是同弧所对的圆周角相等．“依据2”是两角分别相等的两个三角形相似．（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，则AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD，∵AB•CD+AD•BC＝AC•BD，∴AB2+AD2＝BD2，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：勾股定理，故答案为勾股定理．（3）连接BD，作CE⊥BD于E．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BAD＝60°，∴∠BCD＝120°，∵＝，∴CD＝CB，∴∠CDB＝30°，在Rt△CDE中，cos30°＝，∴DE＝CD，∴BD＝2DE＝CD，由托勒密定理：AC•BD＝AD•BC+CD•AB，∴AC•CD＝3CD+5CD，∴AC＝，答：AC的长为．【变式5-1】问题探究：（1）已知：如图①，△ABC中请你用尺规在BC边上找一点D，使得点A到点BC的距离最短．（2）托勒密（Ptolemy）定理指出，圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图②，P是正△ABC外接圆的劣弧BC上任一点（不与B、C重合），请你根据托勒密（Ptolemy）定理证明：P A ＝PB+PC问题解决：（3）如图③，某学校有一块两直角边长分别为30m、60m的直角三角形的草坪，现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在点P处，使P到A、B、C三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离（结果保留根号）；若不存在，请说明理由．【解析】（1）利用尺规作图，过点A作BC的垂线，交BC于D，则点D即为所求；（2）由托勒密定理得，P A•BC＝PB•AC+PC•AB，∵△ABC为正三角形，∴AB＝BC＝AC，∴P A•BC＝PB•BC+PC•BC，∴P A＝PB+PC；（3）以BC为边作正△BCD，使点D与点A在BC两侧，作△BCD的外接圆，连接AD交圆于P，连接PB，作DE⊥AC交AC的延长线于E，则点P即为所求，由（2）得，PD＝PB+PC，∴P到A、B、C三点的距离之和＝DA，且距离之和最小，∵CD＝BC＝30，∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝30°，∴DE＝CD＝15，由勾股定理得，CE＝＝15，则AD＝＝30，答：P到A、B、C三点的距离之和最小值为30m．【例题6】如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：∵sin A＝，sin B＝，∴c＝，c＝，∴＝根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．【解析】＝＝，理由为：过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在Rt△ABD中，sin B＝，即AD＝c sin B，在Rt△ADC中，sin C＝，即AD＝b sin C，∴c sin B＝b sin C，即＝，同理可得＝，则＝＝．【变式6-1】观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图（1）），则，即AD＝c sin B，AD＝b sin C，于是c sin B＝b sin C，即，同理有：，所以．即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．（1）如图（2），△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝；AC＝；（2）自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来，我国政府灵活应对，现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻．某次巡逻中，如图（3），我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政204船距钓鱼岛A的距离AB．（结果精确到0.01，）【解析】（1）由正玄定理得：∠A＝60°，AC＝20；故答案为：60°，20；（2）如图，依题意：BC＝40×0.5＝20（海里）∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE＝180°．∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°．∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°．∴∠A＝45°．在△ABC中，，即，解之得：AB＝10≈24.49海里．所以渔政204船距钓鱼岛A的距离约为24.49海里．【变式6-2】在△ABC中，cos A＝，cos B＝，cos C＝，我们称为余弦定理，请用余弦定理完成下面的问题．请用余弦定理完成下面的问题：（1）如图，已知△DEF，∠E＝60°，DE＝4，DF＝，求EF的长度；（2）通过合理的构造，试求cos105°．【解析】（1）由余弦定理，可得cos E＝，∵∠E＝60°，DE＝4，DF＝，∴＝，解得EF＝1或3；（2）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD⊥BC，AD＝1．∵在RT△ADC中，AD＝1．∴AC＝2，CD＝，∵在RT△ADB中，AD＝1，∴AB＝，BD＝1，∴在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝+1，∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，利用余弦定理可得cos105°＝＝＝．1. 如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于E，P是BA延长线上一点，连接PC交圆O于F，若PF＝7，FC＝13，P A：AE：EB＝2：4：1，则CD长为4．【解析】设BE为x，则P A＝2x，PB＝7x．根据割线定理，得P A•PB＝PF•PC，即2x•7x＝7×20，解得x＝．又CE2＝AE•BE＝4x2＝40，∴CE＝2，∴CD＝2CE＝4．2. 定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC．如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝60°．【解析】如图2，连接OA、OC、OE，∵AB＝8，BC＝6，BD＝1，∴AD＝7，BD+BC＝7，∴AD＝BD+BC，而ED⊥AB，∴点E为弧ABC的中点，即弧AE＝弧CE，∴∠AOE＝∠COE，∵∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，∴∠AOE＝∠COE＝120°，∴∠CAE＝∠COE＝60°．故答案为60°．3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC上一点，以CD为直径的圆与AB相切于点E，若CD＝3，tan∠AED＝，则AD的长为1．【解析】连接OE，CE，∵AB与圆O相切于点E，∴∠AED＝∠ACE，∴tan∠ACE＝tan∠AED＝，∵DC为圆O的直径，∴∠DEC＝90°，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ACE，∴＝＝，即AE＝2AD，设AD＝x，则AE＝2x，∵CD＝3，∴OD＝OC＝1.5，在Rt△AEO中，根据勾股定理得：OA2＝AE2+OE2，即（x+1.5）2＝（2x）2+1.52，整理得：x2﹣x＝0，即x（x﹣1）＝0，解得：x＝0（舍去）或x＝1，则AD＝1．故答案为：14. 已知：如图，直角梯形ABCD中AD∥BC，∠A＝90°，CD＝CB＝2AD．点Q是AB边中点，点P在CD边上运动，以点P为直角顶点作直角∠MPN，∠MPN的两边分别与AB边、CB边交于点M、N．（1）若点P与点D重合，点M在线段AQ上，如图（1）．求证：．（2）若点P是CD中点，点M在线段BQ上，如图（2）．线段MQ、CN、BC的数量关系是：，并证明你的猜想．【解析】（1）如图1，过点D作DE⊥BC于E，∵AD∥BC，∠A＝90°，∴四边形ABED是矩形，∴BE＝AD，设AD＝x，则CD＝CB＝2x，∵CD＝CB＝2AD＝2x，∴CE＝BE＝2x﹣x＝x，∴在Rt△CDE中，根据勾股定理得，DE＝＝＝x，∵∠MPN是直角，∴∠MDE+∠EDN＝90°，又∵∠ADM+∠MDE＝90°，∴∠DAM＝∠EDN，∴Rt△ADM∽Rt△EDN，∴＝，即＝，∴EN＝AM，∵点Q是AB边中点，∴AQ＝AB＝DE＝x，∴MQ＝AQ﹣AM＝x﹣AM，∴MQ﹣CN＝（x﹣AM）﹣（x﹣AM）＝x﹣AM﹣x+AM＝x，∵CB＝2x，∴x＝BC，∴MQ﹣CN＝BC；（2）如图2，连接PQ，过点D作DE⊥BC于E，过点P作PF⊥BC于F，设AD＝x，则CD＝CB＝2x，∵点P是CD中点，点Q是AB的中点，∴PQ∥AD，PQ＝（AD+CB）＝（x+2x）＝x，同（1）可求，DE＝x，∵点P是CD中点，∴PF∥DE，PF＝DE＝x，CF＝CE＝x，又∵∠QPM+∠MPN＝∠FPN+∠MPN，∴∠QPM＝∠FPN，∴△PQM∽△PFN，∴＝，即＝，∴FN＝MQ，∴CN＝CE﹣FN＝x﹣MQ，∵CB＝2x，∴x＝BC，∴MQ+CN＝BC．故答案为：MQ+CN＝BC．5. 已知：如图所示，E是等腰梯形一腰CD的中点，EF⊥AB，垂足为F，求证：S梯形ABCD＝AB•EF．【解析】证明：如图，连接AE交BC的延长线于G点，连接BE，∵AD∥CG，∴∠D＝∠ECG，在△ADE和△GCE中∴△ADE≌△GCE（ASA），∴AE＝GE，∴可得：S△ABG＝S梯形ABCD＝2S△ABE＝AB×FE．6. 如图，在⊙O中，AB＝AC，点D是上一动点（点D不与C、B重合），连接DA、DB、DC，∠BAC＝120°．（1）若AC＝4，求⊙O的半径；（2）写出DA、DB、DC之间的关系，并证明．【解析】（1）如图1，连接OC，OA，BC，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∴∠ADC＝∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，∵OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝4；（2）CD+BD＝AD，理由如下：延长DB到点E，使BE＝DC，连接AE，如图2∴∠ABE＝∠ACD，∵AB＝AC，BE＝CD，∵∴△ABE≌△ACD（SAS）∴AE＝AD，∵∠ADB＝∠ACB＝30°，∴∠ADE＝∠E＝30°，∴∠DAE＝120°，∴DE＝AD即：BD+CD＝AD．7. 如图：已知点A、B、C、D顺次在圆O上，AB＝BD，BM⊥AC，垂足为M．证明：AM＝DC+CM．【解析】证明：∵，∴∠BAM＝∠BDC，又AB＝BD，将△ABM绕点B旋转到△DBN，使∠BAM与∠BDC重合，如图，∴△ABM≌△DBN，∴AM＝DN，BM＝BN，∠AMB＝∠N，∵BM⊥AC，即∠AMB＝90°，∴∠N＝90°，在直角△BMC和直角△BNC中，，∴△BMC≌△BNC，∴CM＝CN，∴DN＝CD+CN，∴AM＝DC+CM．8. 小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD ⊥AB于点E，则AE＝BE．请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，P A，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥P A于点E，则AE＝PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；（3）如图3，P A．PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥P A于点E，则AE，PE 与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．【解析】证明：（1）如图1，连接AD，BD，∵C是劣弧AB的中点，∴∠CDA＝∠CDB，∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠DEB＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∠B+∠CDB＝90°，∴∠A＝∠B，∴△ADB为等腰三角形，∵CD⊥AB，∴AE＝BE；（2）如图2，延长DB、AP相交于点F，再连接AD，∵ADBP是圆内接四边形，∴∠PBF＝∠P AD，∵C是劣弧AB的中点，∴∠CDA＝∠CDF，∵CD⊥P A，∴△AFD为等腰三角形，∴∠F＝∠A，AE＝EF，∴∠PBF＝∠F，∴PB＝PF，∴AE＝PE+PB（3）AE＝PE﹣PB．连接AD，BD，AB，DB、AP相交于点F，∵弧AC＝弧BC，∴∠ADC＝∠BDC，∵CD⊥AP，∴∠DEA＝∠DEF，∠ADE＝∠FDE，∵DE＝DE，∴△DAE≌△DFE，∴AD＝DF，AE＝EF，∴∠DAF＝∠DF A，∴∠DF A＝∠PFB，∠PBD＝∠DAP，∴∠PFB＝∠PBF，∴PF＝PB，∴AE＝PE﹣PB．9. 阅读与思考：阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有10余种，多为希腊文手稿下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题：AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使AD＝DE，点F是上的一点，且＝，连接BF可得BF＝BE．（1）将上述问题中弦AB改为直径AB，如图1所示，试证明BF＝BE；（2）如图2所示，若直径AB＝10，EO＝OB，作直线l与⊙O相切于点F．过点B作BP⊥l于点P．求BP的长．【解析】（1）如图1所示，连接CE、BC，∵CD⊥AB，AD＝DE，∴AC＝CE，∴∠CAE＝∠CEA，又∵，∴CA＝CF，∠FBC＝∠EBC，∴CE＝CF，又∵∠A+∠F＝180°，∠CEA+∠CEB＝180°，∴∠CEB＝∠F，∴△CEB≌△CFB（AAS），∴BE＝BF；（2）如图2所示，连接AF，∵AB＝10，EO＝，∴EB＝7.5，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∵l与与⊙O相切于点F，∴∠OFP＝90°，∴∠AFO＝∠BFP，又∵OF＝OA，∴∠OAF＝∠OF A，∴∠OAF＝∠BFP，∵BP⊥l于点P，∴∠BPF＝90°，∴△AFB∽△FPB，∴，即，∴．10. 阅读下面的材料：如图（1），在以AB为直径的半圆O内有一点P，AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D．求证：AP•AC+BP•BD＝AB2．证明：连接AD、BC，过P作PM⊥AB，则∠ADB＝∠AMP＝90°，∴点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上．由割线定理得：AP•AC＝AM•AB，BP•BD＝BM•BA，所以，AP•AC+BP•BD＝AM•AB+BM•AB＝AB•（AM+BM）＝AB2．当点P在半圆周上时，也有AP•AC+BP•BD＝AP2+BP2＝AB2成立，那么：（1）如图（2）当点P在半圆周外时，结论AP•AC+BP•BD＝AB2是否成立？为什么？（2）如图（3）当点P在切线BE外侧时，你能得到什么结论？将你得到的结论写出来．【解析】（1）成立．证明：如图（2），∵∠PCM＝∠PDM＝90°，∴点C、D在以PM为直径的圆上，∴AC•AP＝AM•AD，BD•BP＝BM•BC，∴AC•AP+BD•BP＝AM•MD+BM•BC；∵AM•MD+BM•BC＝AB2，∴AP•AC+BP•BD＝AB2．（2）如图（3），过P作PM⊥AB，交AB的延长线于M，连接AD、BC，则C、M在以PB为直径的圆上；∴AP•AC＝AB•AM①，∵D、M在以P A为直径的圆上，∴BP•BD＝AB•BM②，由图象可知：AB＝AM﹣BM③由①②③可得：AP•AC﹣BP•BD＝AB•（AM﹣BM）＝AB2．11. 已知⊙O半径为R（1）如图1，过⊙O内一点P作弦AB，连接OP．求证：P A•PB＝R2﹣OP2．（2）如图2，过⊙O外一点P，作割线P AB，求证：P A•PB＝OP2﹣R2．【解析】证明：（1）过点P作直径CD，如图1，∵P A•PB＝PC•PD，而PC＝OC﹣OP＝R﹣OP，PD＝OD+OP＝R+OP，∴P A•PB＝（R﹣OP）（R+OP）＝R2﹣OP2；（2）直线OP交⊙O于C、D，如图2，∵PCD和P AB都为⊙O的割线，∴P A•PB＝PC•PD，而PC＝OC﹣OP＝OP﹣R，PD＝OD+OP＝OP+R，∴P A•PB＝（OP﹣R）（OP+R）＝OP2﹣R2．12. （1）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，试利用所学知识证明：S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．（2）在数学中人们把（1）的结论称之为正弦定理的三角形面积公式，它在数学中有着广泛的应用；请利用此结论证明正弦定理：＝＝．（3）探索应用：在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为∠BAC的内角平分线，试证明：+＝（可能用到的知识：sin60°＝sin120°）．【解析】（1）如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，AH＝b•sin C，∴S△ABC＝•BC•AH＝•a•b•sin C＝ab sin C，同法可证：S△ABC＝ac sin B＝bc sin A．∴S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．（2）∵S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．∴＝＝，∴＝＝，∴＝＝．（3）如图，∵∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，∴•AB•AC•sin120°＝AB•AD•sin60°+•AC•AD•sin60°，∵sin120°＝sin60°，∴AB•AC＝AB•AD+AC•AD，两边除以AB•AC•AD可得＝+．13. 已知：如图1，在锐角△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，sin∠B＝，则AD＝c sin∠B；在Rt△ACD中，sin∠C＝，则AD＝b sin∠C；所以，c sin∠B＝b sin∠C，即，，进一步即得正弦定理：（此定理适合任意锐角三角形）．参照利用正弦定理解答下题：如图2，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，求AB的长．【解析】在Rt△ACD中，sin∠C＝，则AD＝b sin∠C，故答案为：，b sin∠C；如图2，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，则∠A＝60°，∵，∴，即，解得，AB＝，即AB的长是．。