长方体的再认识-教师版

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六年级春季班第19讲：长方体的再认识-教师版-张于

沪教版六年级-长方体的再认识讲义

长方体的再认识知识精要一、长方体的再认识1、长方体的特征。

（1）长方体有6个面，8个顶点，12条棱。

（2）长方体的每个面都是长方形。

（3）长方体的12条棱可以分为三组，每组中四条棱的长度都相等。

（4）长方体的6个面可分为3组，每组中相对的两个面的形状和大小均相同。

2、长方体的直观图画法长方体的直观图有多种画法，通常我们采用斜二侧画法：水平放置的长方体直观图通常的画法的基本步骤：(4)(3)(2)(1)GHFCGHFCGHFCCDDDEEE3、长方体棱与棱的位置关系二、长方体中棱与平面的位置关系1、直线PQ 垂直于平面ABCD ，记作：直线ABCD PQ 平面⊥,读作：直线PQ 垂直于平面ABCD 。

2、检验直线与平面垂直的方法：（1）铅垂线法：只能用于检验直线与水平面是否垂直；（2）三角尺法：可以检验一般的直线与平面是否垂直；（3）合页型法：可以检验一般的直线与平面是否垂直；3、直线PQ 平行于平面ABCD ，记作：直线ABCD PQ 平面//,读作：直线PQ 平行于平面ABCD 。

4、检验直线与平面平行的方法：（1）铅垂线法：从被测直线的两个不同的点放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触地面。

如果从这两个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么说明被测直线平行于水平面。

（2）长方形纸片法：将长方形纸片的一边贴合于已知平面，另一边靠近被测直线，如果另一边能够紧贴被测直线，则说明被测直线平行于已知平面。

三、长方体中平面与平面的位置关系1、平面α垂直于平面β，记作：βα平面平面⊥,读作：平面α垂直于平面β。

2、检验平面与平面垂直的方法：（1）铅垂线法，（2）三角尺法；（3）合页型折纸法。

3、平面α平行于平面β，记作：βα平面平面//,读作：平面α平行于平面β。

4、检验平面与平面平行的方法：长方形纸片法：将长方形纸片的一边贴合于已知平面，按交叉的方向分两次放在两个平面之中，如果另一边能够紧贴被测平面，则说明被测平面平行于已知平面。

沪教版数学六年级下册第八章《长方体的再认识》复习教学设计

沪教版数学六年级下册第八章《长方体的再认识》复习教学设计一. 教材分析沪教版数学六年级下册第八章《长方体的再认识》复习教学内容主要包括长方体的特征、表面积和体积的计算方法以及长方体在实际生活中的应用。

本章内容是对长方体知识的系统复习和巩固，旨在帮助学生深化对长方体的认识，提高空间想象能力和解决问题的能力。

二. 学情分析六年级的学生已经学习过长方体的相关知识，对长方体的特征、表面积和体积的计算方法有一定的了解。

但在实际应用中，部分学生可能会遇到困难和问题。

因此，在复习教学中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行指导和帮助。

三. 教学目标1.知识与技能：通过对长方体的再认识，使学生掌握长方体的特征、表面积和体积的计算方法，提高空间想象能力和解决问题的能力。

2.过程与方法：通过复习教学，培养学生自主学习、合作学习的能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神和团队协作精神，使学生在数学学习中获得成就感。

四. 教学重难点1.教学重点：长方体的特征、表面积和体积的计算方法。

2.教学难点：长方体在实际生活中的应用，空间想象能力的培养。

五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生通过观察、操作、思考，发现长方体的特征和计算方法。

2.案例分析法：教师提供实际生活中的案例，引导学生运用长方体的知识解决问题。

3.小组合作学习法：学生分组讨论，共同完成任务，提高团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作长方体的特征、表面积和体积的计算方法的教学课件。

2.教学案例：收集实际生活中的长方体应用案例。

3.学习任务单：设计学习任务单，引导学生进行自主学习和合作学习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾长方体的特征、表面积和体积的计算方法，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师利用课件展示长方体的特征和计算方法，让学生直观地感受长方体的结构。

六年级春季班第19讲：长方体的再认识-教师版

长方体的再认识内容分析长方体的再认识是初中数学六年级下学期第4章的内容．通过本章的学习，同学们需要掌握长方体的表示方法、长方体直观图的画法，理清长方体中棱与棱的位置关系、棱与平面的位置关系、平面与平面的位置关系，并要学会如何检验直线与平面是否垂直、直线与平面是否平行、平面与平面是否垂直、平面与平面是否平行的方法．难点是相关的长方体的表面积和体积的计算．知识结构模块一：长方体的元素知识精讲1、长方体的元素长方体有六个面，八个顶点，十二条棱．2、长方体的元素特征（1）长方体的每个面都是长方形．（2）长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等．（3）长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小相同．3、正方体是特殊的长方体例题解析【例1】填空：（1）长方体有______个顶点；（2）长方体有______个面，每个面都是______，相对的两个面的面积______；（3）长方体共有______条棱，按棱的长短可分为______组，每组棱的长度相等，每组有______条棱．【难度】★【答案】见解析．【解析】（1）8；（2）6；长方形；相等；（3）十二；三；四．【总结】考查长方体的相关元素的概念．【例2】判断：（1）若长方体的十二条棱都相等，这个长方体就是正方体；（）（2）桌面所在的平面的大小就是桌面的大小；（）（3）长方体共有6个面；（）（4）长方体的六个面，至少有四个面的形状、大小相同；（）（5）平面就是水平面；（）（6）水平面是平面．（）【难度】★【答案】见解析．【解析】（1）正确；（2）错误：桌面所在的平面是无穷无尽的，但是桌面的面积是固定的；（3）正确；（4）错误，长方体至少有两个面形状大小相同；（5）错误：平面不一定是水平面（6）正确：水平面就是一个平面．【总结】考查长方体的元素，注意进行辨析．【例3】在长方体ABCD– EFGH中，与棱EF相等的棱是（）A．棱AB、棱CD、棱GH B．棱AB、棱AE、棱BFC．棱GH、棱EH、棱FG D．棱BC、棱CG、棱GF【难度】★【答案】A【解析】画图即可观察出，与一条棱相等的棱共有三条，分别是棱AB、棱CD、棱GH．【总结】考查长方体的棱的概念．【例4】用一根长为100厘米的塑料管和橡皮泥做一个棱长为5厘米，6厘米和7厘米的长方体架子，应该如何截取？材料够吗？【难度】★★【答案】够，还剩28cm材料剩余．【解析】由题意，若按照棱长分别为5cm、6cm、7cm来做的话，可以做一个长方体架子，用掉（5+6+7）×4=72cm材料，还有28cm材料剩余．【总结】考查长方体的总棱长的和的概念．【例5】棱长总和是24厘米的正方体，它的表面积为______，体积为______．【难度】★★【答案】24平方厘米；8立方厘米．【解析】由题意可知正方体的棱长为：24÷12=2cm，故表面积为：2×2×6=24平方厘米，体积为：2×2×2=8立方厘米．【总结】考查正方体的表面积与体积的计算．【例6】长方体的长、宽、高之比为2 : 1 : 1，棱长总和是80厘米，把这个长方体截成两正方体时，表面积增加了_____．【难度】★★【答案】50平方厘米．【解析】设长为2x，宽为x，高为x，则有：（2x+x+x）×4=80，解得：x=5，所以长方体的长为：5×2=10cm；宽为5×1=5cm；高为5×1=5cm，当长方体被截成两个正方体时，即增加了两个面，则增加的面积为：5×5×2=50平方厘米．【总结】考查正方体的表面积问题，注意切割后表面积的变化．【例7】要做一个棱长分别为3厘米、5厘米和7厘米的无盖的长方体纸盒，最少需要多大的纸？最多需要多大的纸？【难度】★★★【答案】最少107平方厘米，最多127平方厘米．【解析】要使得需要的纸最少：即使得无盖的那一面面积最大，此时需要：（3×5+3×7）×2+5×7=107平方厘米；要使得需要的纸最大：即使得无盖的那一面面积最小，此时需要：（3×7+5×7）×2+3×5=127平方厘米．【总结】考查长方体的表面积的运算，注意对无盖的理解．【例8】一根长为36分米的铁丝截开后刚好能够搭成一个长方体架子，这个长方体架子的长、宽、高的长度均为整数分米，且互不相等，求这个长方体的体积．【难度】★★★【答案】12立方分米或立方分米15或24立方分米．【解析】由题意可得，长宽高的和为36÷4=9，由题意有以下三种情况：①长、宽、高分别为：1、2、6，此时体积为：12立方分米 ②长、宽、高分别为：1、3、5，此时体积为：15立方分米 ③长、宽、高分别为：2、3、4，此时体积为：24立方分米【总结】考查长方体的体积，注意分类讨论．1、长方体的直观图画法：斜二侧画法水平放置的长方体直观图通常画法的基本步骤：第一步：画平行四边形ABCD ，使AB 等于长方体的长，AD 等于长方体宽的二分之一，45DAB ∠=︒．（如图1所示）第二步：过AB 分别画AB 的垂线AE 、BF ，过C 、D 分别画CD 的垂线CG 、DH ，使它们的长度都等于长方体的高．（如图2所示）模块二：长方体直观图的画法知识精讲第三步：顺次联结E 、F 、G 、H ．（如图3所示）第四步：将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示．（如图4所示）图4表示的长方体通常表示为ABCD -EFGH ．它的六个面通常表示为：平面ABCD 、平面ABFE 、平面BCGF 等．它的十二条棱通常分别表示为：棱AB 、棱AE 、棱EF 等．【例9】图中长方体正确表示为（） A ．长方体ABCD B ．长方体EFGH C ．长方体AB D ．长方体ABCD -EFGH 【难度】★ 【答案】D【解析】长方体的表示方法必须表示出每一个点，并且按照一定的顺序来表示．【总结】考查长方体的表示方法．【例10】要补全一个长方体的直观图，至少需要知道_____条棱，这几条棱应该分别是____________．【难度】★【答案】3；长、宽、高．【解析】知道长、宽、高，便能画出长方体的直观图．【总结】考查长方体的画法．例题解析ABCDABCDEFG HABCD EFGHABCD EFGH图1 图2 图3图4ABCDEFGH【例11】画一个棱长分别是2厘米、3厘米、4厘米的长方体．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】①画平行四边形ABCD ，使AB 等于4，AD 等于长方体宽的二分之一，即1.5，作45DAB ∠=︒（如图1所示）；②过AB 分别画AB 的垂线AE 、BF ，过C 、D 分别画CD 的垂线CG 、DH ，使它们的长度都等于长方体的高（如图2）；③顺次联结E 、F 、G 、H ，（如图3所示）；④将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示．（如图4）图4即为所求的长方体ABCD -EFGH ．【总结】考查长方体的斜二测画法，注意对画图语言的准确表示．【例12】画一个棱长总和为36厘米的正方体．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】由题可确定正方体棱长为36÷12=3cm ，根据斜二测画法要求即可．【总结】考查长方体的画法．ABCDABC D EFGHABCD EFGHABC D EFGH图1图2 图3图4【例13】补画下列各图，使它成为长方体（虚线部分表示被遮住的部分）．【难度】★★【答案】见解析．【解析】如下图所示：原图中给的三条线一定分别是长宽高，按照图示补全即可．（1）（2）（3）（4）【总结】考查长方体的画法，注意对所给的棱的准确分析．1、长方体中棱与棱的位置关系如图所示的长方体ABCD-EFGH中：棱EH与棱EF所在的直线在同一平面内，它们有唯一的公共点，我们称这两条棱相交．棱EF与棱AB所在的直线在同一平面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行．棱EH与棱AB所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面．空间两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面．模块三：长方体中棱与棱位置关系的认识知识精讲A BCDE FGH【例14】在如图所示的长方体中，哪些棱与棱AD 平行？哪些棱与AD 相交？哪些棱与AD异面？【难度】★ 【答案】见解析．【解析】与棱AD 平行的棱有：棱BC 、棱FG 、棱EH ；与棱AD 相交的棱有：棱AB 、棱AE 、棱DH 、棱DC ；与棱AD 异面的棱有：棱EF 、棱HG 、棱BF 、棱CG ．【总结】考查棱与棱的位置关系．【例15】在长方体中，每一条棱与______条棱平行，每一条棱与______条棱相交，每一条棱与______条棱异面，互相平行的棱有______对，互相异面的棱有______对，相交的棱有______对．【难度】★★【答案】3；4；4；18；48；24．【解析】①每一条棱与3条棱平行；②每条棱与4条棱相交；③每条棱与4条棱异面； ④每组互相平行的4条棱中，同一平面内互相平行的共有4对，异面平行的有2对；因此共有：（4+2）×3=18对棱平行；⑤与每一条棱异面的有4对，那么共有：12×4=48 对棱互相异面；⑥因为每条棱与4条棱相交，剔除重复的部分，所以相交的棱共有： 4×12÷2=24对．【总结】考查长方体中棱与棱之间的位置关系，这些都是不变的，可以要求学生记住．【例16】如图，在长方体ABCD —EFGH 中，填写下列各对线段所在直线的位置关系．（1）棱AD 与AG ：_________________；（2）棱DH 与EG ：_________________；（3）EG 与BD ：_________________；（4）棱DC 与DB ：_________________．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）相交；（2）异面；（3）异面；（4）相交．【总结】考查长方体中棱与棱之间的位置关系．例题解析ABCD EFGH ABCD EFGH【例17】垂直于同一直线的两条直线的位置关系是____________．【难度】★★【答案】平行或异面或垂直．【解析】在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；若没有强调同一平面，则垂直于同一直线的两直线可能异面，也可能垂直．【总结】考查直线的位置关系．【例18】如果两条直线在同一平面上的投影是两条平行线，那么这两条直线的位置关系是__________．【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】平行或异面，由于是投影，那么原两条直线未必在同一平面内，可能异面，只要满足投影平行即可，可以让学生自己拿着笔，打开手电筒演示一下．【总结】考查两直线的位置关系．1、长方体中棱与平面的位置关系如图1，直线PQ 垂直于平面ABCD ，记作：直线PQ 平面ABCD ，读作：直线PQ 垂直于平面ABCD ．如图2，直线PQ 平行于平面ABCD ，记作：直线PQ // 平面ABCD ，读作：直线PQ 平行于平面ABCD ．模块四：长方体中棱与平面位置关系的认识知识精讲ABCD PQ ABCDPQ 图1图2如图4所示的长方体ABCD -EFGH 中：棱EF 与面BCGF ，棱FG 与面ABFE ，棱BF 与面ABCD 都给我们以直线与平面垂直的形象．棱EF 与面ABCD ，棱BF 与面ADHE ，都给我们以直线与平面平行的形象． 2、检验直线与平面是否垂直的方法“铅垂线”法、“三角尺法”、“合页型折纸”法． 3、检验直线与平面是否平行的方法“铅垂线”法、“长方形纸片”法．【例19】教室里的日光灯与地面的位置关系是______，桌腿与桌面的位置关系是______．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】（1）平行；（2）垂直．【总结】考查直线与平面的位置关系．【例20】如图，在长方体ABCD -EFGH 中：（1）与棱DH 垂直的平面是___________________；（2）与棱BC 平行的平面是___________________；（3）与平面ADHE 垂直的棱是________________；（4）与平面EFGH 平行的棱是________________；【难度】★ 【答案】见解析．【解析】（1）平面ABCD 、平面EFGH ；（2）平面EFGH 、平面AEHD ；（3）棱AB 、棱EF 、棱HG 、棱DC ；（4）棱AB 、棱BC 、棱CD 、棱AD ．【总结】考查直线与平面的位置关系，注意进行辨析．例题解析ABCDEFGH【例21】铅垂线是垂直于____面的直线，用___________法可以检验课桌的边沿是否与地面平行，用__________法可以检验细棒是否与地面垂直．【难度】★【答案】见解析．【解析】地、铅垂线、铅垂线．【总结】考查直线与平面的位置关系．【例22】如图，用__________法可以检验细棒是否与斜面垂直．【难度】★★【答案】三角尺法．【解析】三角尺法．【总结】考查直线与平面的位置关系．【例23】在长方体中的每一条棱有______个平面和它垂直，每一个面有______条棱与它垂直，每一条棱有______个平面和它平行，每一个面有______条棱与它平行．【难度】★★【答案】见解析．【解析】2、4、2、4．【总结】考查直线与平面的位置关系．【例24】在长方体ABCD-EFGH中，AB = 3厘米，BF = 5厘米，与棱AB垂直的平面的面积之和是32平方厘米，求这个长方体的表面积．【难度】★★★【答案】81.2平方厘米．【解析】由题意，与棱AB垂直的平面即为左右两个侧面，面积和为32，则每个侧面面积为16，因为BF=5cm，可得：BC=3.2cm，所以长方体的表面积为：2×（3×3.2+3×5+3.2×5）=81.2平方厘米．【总结】考查直线与平面的位置关系，综合性较强，注意认真分析．αββα1、长方体中平面与平面的位置关系如下左图，平面α垂直于平面β，记作平面α⊥平面β，读作平面α垂直于平面β．如上右图，平面α平行于平面β，记作平面α//平面β，读作平面α平行于平面β．如图所示的长方体ABCD -EFGH 中：面EFGH ，面ABFE 与面BCGF 三个面中，任意两个都给我们以平面与平面垂直的形象．面ABCD 与面EFGH ，面BCGF 与面ADHE ，面ABFE 与面DCGH ，都给我们以平面与平面平行的形象． 2、检验平面与平面是否垂直的方法“铅垂线”法、 “合页型折纸”法、“三角尺”法． 3、检验平面与平面是否平行的方法“长方形纸片”法．【例25】如图，与平面ABFE 垂直的平面有____________，与平面BCGF 平行的平面有_____________．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】面BCGF 、面ADHE 、面ABCD 、面EFGH ；面ADHE ．【总结】考查平面与平面的位置关系．知识精讲例题解析模块五：长方体中平面与平面位置关系的认识ABCDEFGHABCDEFGHC A BDE F【例26】下列结论正确的是（）A ．在长方体中，与其中的一个面垂直的面有2个B ．在长方体中，与其中的一个面平行的面有4个C ．长方体有两个相对的面是正方形，那么这个长方体有6条棱的长度相等D ．长方体相邻的两个面互相垂直，相对的两个面互相平行【难度】★★ 【答案】D【解析】A 错误，有四个；B 错误，有1个；C 错误，还有一条高不能确定；D 正确【总结】考查平面与平面的位置关系．【例27】如图，与面ADHE 垂直的面有__________________________．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】面ABFE 、面ABCD 、面EFGH 、面DCGH ．【总结】考查直线与平面的位置关系．【例28】可以用________________检验教室的墙面与地面是否垂直．可以用________________检验衣橱里横向的两块隔板是否平行．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】铅垂线法或合页型折纸法、长方形纸片法．【总结】考查直线与平面的位置关系的检测方法．【例29】如图，是一个正方体的展开图，在原正方体中，与平面C 垂直的平面是________．（用图中的字母表示）【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】与已知面垂直的平面是与之相邻的四个平面：B 、D 、E 、F ．【总结】考查平面与平面的位置关系．A BCD EFGH【例30】如图，在长方体ABCD -EFGH 中，找出与平面BCHE 垂直的平面，并找出现成的合页型折纸，在图上用阴影部分表示．【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】由题意可知，与平面BCHE 垂直的平面分别是：平面ABFE 、平面DCGH ．【总结】考查平面与平面的位置关系，注意认真分析，综合性较强．【习题1】正方体的棱长扩大2倍后，体积增大到原来的______倍．【难度】★ 【答案】8．【解析】正方体的体积等于长×宽×高，所以棱长扩大两倍后，体积就扩大2×2×2=8倍．【总结】考查正方体的棱长与体积的关系．【习题2】在图中的长方体中：（1）从正面看，看不见的棱有___________；（2）与棱EH 相等的棱有_______________；（3）与平面ADHE 相对的平面有________；（4）位于水平位置的平面有_____________．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】（1）棱：AD 、DC 、BC 、EH 、GF 、HG 、HD 、GC ；（2）棱：AD 、GF 、BC ；（3）面BCGF ；（4）面ABCD 、面EFGH ．【总结】考查长方体的棱与面的位置关系．随堂检测ABCDEFGHABCDEFGHABCDEFGH 【习题3】在长方体中，若两条棱没有公共点，则这两条棱的位置关系是__________．【难度】★ 【答案】平行异面．【解析】两条棱没有公共点，则说明这两条棱要么平行，要么异面．【总结】考查长方体中棱与棱的位置关系．【习题4】下列说法正确的是（）A ．平静的水面是水平面，所以光滑的镜面也是水平面B ．长方体中棱与平面不是垂直就是平行C ．若两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线也平行D ．长方体中任何一条棱都与两个平面平行【难度】★★ 【答案】D【解析】A 、光滑的镜面不一定是水平面，与所放的位置有关；B 、棱可能正好在这个平面内；C 、这两条直线可能相交，只要它们都在平行于该平面的某个平面内；D 正确．【总结】考查对长方体的基本位置关系的认识．【习题5】如图所示的六面体中，AEFB 和DHGC 是相同的直角梯形，其余都是长方形，则：（1）其中有______条棱与平面ADHE 垂直；（2）其中有______条棱与平面AEFB 垂直；（3）其中有______条棱与平面ABCD 垂直；（4）其中有______条棱与平面BFGC 垂直．【难度】★★【答案】（1）4；（2）4；（3）2；（4）0．【解析】（1）AB 、DC 、HG 、EF ，共4条；（2）AD 、EH 、BC 、FG ，共4条；（3）AE 、DH ，共2条；（4）0条．【总结】考查立体图形中棱与棱的关系，注意进行辨析．14 5 32 1 5? 3 【习题6】一个正方体的每个面上都标有数字1、2、3、4、5、6，根据图中该正方体A 、B 、C 三种状态所显示的数字，可推出“?”处的数字是（）A ．1B ．2C ．4D ．6【难度】★★ 【答案】D ．【解析】第三个图5和3相邻，第二个图1和3相邻，因此4对面是3，1对面是6，5对面是2，6和3、5相邻，所以问号处是6，故选D ．【总结】考查对长方体的面的认识．【习题7】长方体的总棱长是72厘米，它的长 : 宽 = 2 : 1，宽 : 高 = 2 : 3，这个长方体的体积是______．【难度】★★ 【答案】3192cm ．【解析】因为长方体的总棱长为72厘米，故长+宽+高=72418÷=厘米，由题意知长：宽：高=4:2:3，设长宽高分别为423x x x 、、，则423182x x x x ++==，解得：，所以长、宽、高分别为8、4、6，所以体积是3846192cm ⨯⨯=．【总结】考查长方体的体积的计算．【习题8】把一块长是50厘米的长方体分成2 : 3两部分后，它的表面积增加了300平方厘米，则分成的两块长方体木块的体积分别为__________．【难度】★★★【答案】3330004500cm cm 、．【解析】把一块长是50厘米的长方体分成2 : 3两部分后，长分别为20厘米和30厘米．因为切割后表面积增加了300平方厘米，故原厂方体的长×宽为：23002150cm ÷=，故分成的两块长方体木块的体积分别为：3201503000cm ⨯=、3301504500cm ⨯=．【总结】本题综合性较强，一方面考查长方体的体积计算，另一方面要对增加的表面积进行准确理解．【习题9】小方制作了一个无盖的长方体木盒，木盒的棱长分别为3厘米、5厘米和8厘米，求这个木盒的表面积．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】当有盖时，表面积为：()2⨯⨯+⨯+⨯=，2353858158cm①当高是3厘米时，木盒的表面积为：2-⨯=；15858118cm②当高是5厘米时，木盒的表面积为：2-⨯=；15838134cm③当高是8厘米时，木盒的表面积为：215835143cm-⨯=．【总结】考查长方体的表面积计算，注意要分类讨论．【习题10】一个长方体的表面积是88平方厘米，这个长方体可以被分割为5个完全相同的正方体，求这个长方体的体积．【难度】★★★【答案】340cm．【解析】设正方形边长为x厘米，则由题意可得：22，解得：，+⨯⨯==x x x245882故这个长方体的体积为：3⨯⨯⨯=．222540cm【总结】本题综合性较强，主要考查长方体的表面积与体积的计算，注意认真分析题意．课后作业【作业1】长方体中经过同一顶点的面的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【难度】★【答案】C【解析】C【总结】考查长方体的基本认识．A BCDEF【作业2】如图，在一张长方形纸片ABCD对折后翻开所成的图形中：（1）与直线DF平行的直线是_____________；（2）与直线EF平行的直线是_____________；与直线EF相交的直线是______________；（3）与直线AE异面的直线是_____________；与直线BC异面的直线是______________．【难度】★【答案】见解析．【解析】（1）与直线DF平行的直线是AE；（2）与直线EF平行的直线是AD、BC，与直线EF相交的直线是AE、BE、DF、CF；（3）与直线AE异面的直线是BC、FC，与直线BC异面的直线是AE、DF．【总结】考查立体图形中直线间的位置关系．【作业3】在长方体中，若两条棱异面，则与这两条棱都相交的棱（）A．不一定存在B．有且只有一条C．可能有一条，也可能有两条D．不止两条【难度】★★【答案】B【解析】画图观察即可．【总结】考查长方体的棱与棱之间的位置关系．【作业4】补画长方体：【难度】★★【答案】见解析．【解析】如图所示：【总结】考查长方体的画法．A BCD EFGH【作业5】下列图形中，不能围成长方体的是（）A ．B ．C ．D ．【难度】★★ 【答案】B【解析】B 选项两个面重复了，围不成长方体．【总结】考查长方体的展开图，注意进行分析．【作业6】如图，桌面上放着一本打开的书，（1）与桌面垂直的平面有哪几个？（2）平面ABFE 与平面ABHG 是否垂直？【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）平面ABHG 、平面ABFE 、平面ABDC ；（2）不一定，当90HBF ∠=时，两面垂直．【总结】考查平面之间的位置关系．【作业7】将一个长、宽、高分别为2厘米、2.5厘米、3厘米的长方体切割成一个体积最大的正方体，则切割剩余部分的体积是______．【难度】★★ 【答案】37cm ．【解析】要切割成体积最大的正方体，则所切得的正方体的边长为2厘米，故切割剩余部分的体积是：332 2.5327cm ⨯⨯-=．【总结】考查长方体的切割问题，注意认真分析．【作业8】将两个长是5厘米、宽是4厘米、高是3厘米的长方体重叠放置，它的表面积是_________________．【难度】★★★【答案】222164158148cm cm cm 或或．AB CDOEFPNMGH【解析】表面积分别为： ()()2554553432164cm +⨯++⨯+⨯⨯=⎡⎤⎣⎦； ()()2445443532158cm +⨯++⨯+⨯⨯=⎡⎤⎣⎦； ()()2335334542148cm+⨯++⨯+⨯⨯=⎡⎤⎣⎦．【总结】考查长方体的表面积计算，注意进行分类讨论．【作业9】 12个棱长为1厘米的正方体叠在一起，成为一个长方体，求这个长方体的表面积．【难度】★★★【答案】222504038cm cm cm 或或．【解析】当以121⨯叠放时，表面积为：[]212112111250cm ⨯+⨯+⨯⨯=；当以62⨯叠放时，表面积为：()2626121240cm ⨯+⨯+⨯⨯=⎡⎤⎣⎦；当以43⨯叠放时，表面积为：()2434131238cm ⨯+⨯+⨯⨯=．【总结】考查长方体叠放及表面积的计算问题，注意进行分类讨论．【作业10】如图，把一块长是108厘米的长方体木块的棱AE 分成3 : 1的两段，分点为M ，过点M 按平行于面ABCD 的方向把长方体分成两块后，表面积增加了800平方厘米，这两块长方体的体积分别是多少？【难度】★★★【答案】331080036400cm cm 和．【解析】因为把长方体分成两块后，表面积增加了800平方厘米，所以原长方体的宽×高为：8002=400÷平方厘米．故大长方体的体积为：3108400324004⨯⨯=立方厘米，小长方体的体积为：1108400108004⨯⨯=立方厘米．【总结】考查长方体的分割及体积计算问题，注意进行认真分析．。

数学六年级(下)沪教版(长方体的再认识Ⅰ第一部分)教师版

数学学科教师辅导讲义第一步：画平行四边形ABCD ，使AB 等于长方体的长，AD 等于长方体宽的一半，45BAD ∠=︒（图①）；
、BC、FG.
【答案】④
厘米.
【例6】如图①所示，已知线段a、b、c，画一个长为a，宽为b，高为c的长方体直观图．
【解析】用斜二侧画长方体时要注意三点：(1)长方体直观图中宽是等于已知宽的二分之一；(2)长方体中三个面都是
【例6】如图所示，补画下面的图形，使它们成为长方体的直观图．
【分析】补画长方体时要想清楚补画的面是画长方形还是平行四边形，们先把一个面画完整，再画上其他面．
【解】补画的图形如图所示．
把下列长方体补画完整：
【答案】略. 【随堂练习】
．如图，画一个立方体，使它的棱长为a．
的立方体如图所示：
）平行；（4）异面
AB BC EF EG;（
2）,,,。

沪教版六年级数学长方体的再认识讲义+家教word版本

学科教师辅导讲义课题长方体的再认识1、认识长方体的面、棱、顶点以及长宽高(棱长)的含义。

教学目的2、掌握长方体直观图的画法。

3、掌握长方体中棱、面的位置关系，以及空间性质。

教学内容一、作业检查长方体知识梳理1•长方体的元素：8个顶点、12条棱，6个面长方体的表面积(6个面的面积之和)、体积(长x宽x高) 长方体的每个面都是长方形•长方体的十二条棱可以分成三组：每组中的四条棱的长度相等长方体的六个面可以分成三组，每组中的两个面的形状和大小都相同2. 长方体直观图的画法：斜二侧画法•①12条棱分三组，注意每组4条是互相平行、相等的；其中看不见的三条棱画成虚线,②把水平放置的两个面画成含45°角的平行四边形，③画长方体直观图时，宽要减半画。

3. 长方体中棱与棱的位置关系：(1) 如图所示的长方体AG中，棱EH与棱EF所在的直线在同一个面内，它们有唯一的公共点，我们称这两条棱相交.⑵棱EF与棱AB所在的直线在同一个面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行.(3)棱EH与棱AB所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面.定义：空间两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面.(1) 一般地，如果直线AB与直线CD在同一平面内，具有唯一公共点，那么称这两条直线的位置关系为相交，读作: 直线AB与直线CD相交.(2) 如果直线AB与直线CD在同一平面内，但没有公共点，那么称这两条直线的位置关系为平行，记作：AB//CD读作：直线AB与直线CD平行 .(3) 如果直线AB与直线CD既不平行，也不相交，那么称这两条直线的位置关系为异面，读作：直线AB与直线CD异面.4、长方体中棱与面的位置关系：(1) 如图所示的长方体AG中，棱(直线)EA垂直于面ABCD读作：棱(直线)EA垂直于平面ABCD(2) 如图所示的长方体AG中，棱(直线)EF平行于面ABCD读作：棱(直线)EF平行于平面ABCD5、长方体中面与面的位置关系：(1) 如图所示的长方体AG中，平面EFBA垂直于面ABCD读作平面EFBA垂直于平面ABCD(2) 如图所示的长方体AG中，平面EFGH平行于面ABCD读作：平面EFGH平行于平面ABCD三•强化练习1、长方体的每个面都是（），长方体的对边（），每个角都是（）。

沪教版数学六年级下册第八章《长方体的再认识》教学设计

沪教版数学六年级下册第八章《长方体的再认识》教学设计一. 教材分析《长方体的再认识》是沪教版数学六年级下册第八章的内容，本节内容是在学生已经掌握了长方体的特征的基础上进行教学的。

教材通过丰富的图片和实际例子，帮助学生进一步理解和掌握长方体的特征，提高学生的空间想象能力和抽象思维能力。

二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和抽象思维能力，他们对长方体已经有了一定的了解。

但是在具体操作和解决问题时，部分学生可能会存在一些困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习情况，进行有针对性的教学。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够进一步理解和掌握长方体的特征，提高空间想象能力和抽象思维能力。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，学生能够深化对长方体的认识，培养解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：学生能够积极参与数学学习，体验数学学习的乐趣，增强对数学的兴趣。

四. 教学重难点1.教学重点：学生能够进一步理解和掌握长方体的特征。

2.教学难点：学生能够在实际问题中灵活运用长方体的特征，解决问题的能力。

五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的图片和实际例子，激发学生的学习兴趣，提高学生的空间想象能力。

2.引导发现法：教师引导学生观察、操作、思考，发现长方体的特征，培养学生的抽象思维能力。

3.合作交流法：学生通过小组合作、交流，共同解决问题，提高学生的合作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.教具准备：长方体模型、图片、实物等。

2.学具准备：学生每人准备一个长方体模型。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示长方体的图片和生活实例，引导学生回顾长方体的特征，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过长方体模型和实物，引导学生观察和操作，让学生直观地感受长方体的特征。

同时，教师引导学生思考：长方体有哪些特征？这些特征是如何体现在实际物体中的？3.操练（10分钟）教师提出一些有关长方体的问题，让学生分组讨论和操作，共同解决问题。

数学六年级下沪教版长方体的再认识Ⅱ教师版

数学六年级〔下〕沪教版〔长方体的再认识Ⅱ〕教师版数学学科教师辅导讲义年级：预初科目：数学课时数：3课题长方体的再认识Ⅱ1.通过熟练掌握长方体的棱与面、面与面之间的位置关系，认识各种图形中的直线与平面、平面与平面之间的垂直与平行关系.教学目的2.结合长方体的总面积、体积和棱长等相关知识进行计算，学会按一定的要求进行补画长方体的局部图形.教学内容【知识梳理】1．通过掌握长方体中棱与面之间的关系有垂直和平行，从而认识各种图形中的直线与平面的垂直〔如图1所示：直线PQ 面ABCD〕与平行〔如图2所示：直线PQ∥面ABCD〕关系：图1 图22．通过掌握长方体中面与面之间的关系有垂直和平行，从而认识各种图形中的平面与平面的垂直〔如图3所示：平面平面〕与平行〔如图4所示：平面∥平面〕关系：图3图4【典型例题讲解】题型一：直线与平面、平面与平面的位置关系【例l】如下图，在长方体ABCD EFGH中，点M,M,P,Q分别是棱AB，CD，GH，EF的中点．(1)哪些棱与面MNPQ平行？1/7数学六年级〔下〕沪教版〔长方体的再认识Ⅱ〕教师版哪些棱与面MNPQ垂直？【分析】(1)可以使用长方形纸片、直角三角尺两次；(2)熟练掌握定义之后，也可以直接进行判读.【解析】(1)AD、DH、HE、AE、BC、CG、GF、BF与面MNPQ平行；AB、CD、GH、EF与面MNPQ垂直．【例2】如下图，一个物体是由三个长方体叠在一起组成的，与面A2B2C2D2平行的面有哪几个？与面A1B1C1D1垂直的面有哪几个?【分析】几个长方体叠合在一起后，判断面与面平行、面与面垂直的方法并没有发生改变，要注意不要重复表示或遗漏某一个平面．【解析】与面A2B2C2D2平行的面有面B1EFA1和面ABCD;与面A1B1C1D1垂直的面有面B2A2AB、面B2E1EC1CB、面E1F1FE、面A2F1FD1DA、面CC2D2D．【方法总结】解这种题时，一定要按平行或垂直的定义或检验平行或垂直的方法来判断，不可盲目判断，注意也不要漏写多写.【借题发挥】如图，在长方体ABCDEFGH中(1)与平面ABCD平行的棱有哪些？(2)与棱BC平行的平面有哪些？(3)与平面ADGF平行的棱有哪些？【答案】〔1〕棱EF、棱HG、棱HE、棱GF；2〕面ADHE、面EFGH、面ADGF；3〕棱HE、棱BC.2.如右图所示，在长方体ABCD EFGH中，分别与ACF的AC、CF、AF中一边平行的面各有哪些？【答案】分别与AC、CF、AF平行的面各有一个，它们分别是平面EFGH、平面AEHD、平面CDHG.题型二：按要求画图题【例3】如下图，补画长方体中与面ABCD平行的棱.2/7数学六年级〔下〕沪教版〔长方体的再认识Ⅱ〕教师版【分析】基于对长方体的认识，可以得出与面ABCD平行的棱有EF、FG、GH、HE，即为与面ABCD平行的面EFGH的4条边，所以在图中只要画出面EFGH即可.【答案】EFHG【借题发挥】平面ABCD线段DH垂直于平面ABCD〔如下列图〕画一个平面HGFE，经过H点，且和ABCD平面平行．【答案】EFG【注意】要把遮挡的局部用虚线表示出来.题型三：综合应用【例4】如果把图中的骰子看作是一个立方体，点数1的对面是6．点数2的对面是5．点数4的对面是点数3．那么与点数2垂直的面的点数和是多少？【分析】与点数2垂直的面分别是点数l、点数3、点数4扣点数6．然后求出点数和.【解析】l 3 4 6=14所以，与点数2垂直的面的和是l4.【例5】(1)如下图，写出互相平行的面，并说明检验的方法．(2)在平面BCGF和平面ADHE之间有两个长方形ABCD和EFGH，所以平面BCGF∥平面ADHE,你认为这句话对吗？为什么？3/7【分析】把面ADHE(长方形)和面ABFE(梯形AB∥EF)看作是长方形纸片交叉地放置两次，而且AB、AD与面ABCD紧贴，EF、EH与面EFGH说明面ABCD∥面EFGH．同样用长方形ABCD和平行四边形BCGF 紧贴，从而可以检验平面ABFE∥平面DCGH．虽然在平面BCGF和平面ADHE之间有两个长方形ABCD和EFGH．但它们不是交叉放置,所以不能检验平面BCGF与平面ADHE平行．【解析】平面ABCD∥平面EFGH．平面ABFE∥平面DCGH；不对，没有交叉放置．【方法总结】要严格按照检验两个面平行的方法去检验，注意方法中的“交叉〞二字．【例6】从一个棱长10厘米的长方体中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下的外表积是多少？【解析】(1)如果沿一条棱挖，外表积损失了两侧的两个小正方形 2 2 2 8〔平方厘米〕．就是600 8592(平方厘米)(2)如果沿着某一侧上平行于边挖，外表积增加了210 210 248〔平方厘米〕．总外表积为60032632〔平方厘米〕．(3)如果在某一侧面上斜着挖，外表增加了4个面，其面积为22210248(平方厘米)．总面积是60048=648(平方厘米)．(4)挖通两个对面，外表增加了421022272〔平方厘米〕．总面积为60072672〔平方厘米〕．所以综上所述，剩下的面积有四种情况，分别是592平方厘米、632平方厘米、648平方厘米、672平方厘米．【借题发挥】1.如图，在一个正方体的三个面上分别写上1、2、3．在与这三个面分别平行的面上依次写上4、5、6〔1的对面写4，依次类推〕．与写数字2的面垂直的面上的数字和是多少？1.【答案】与写数字2的面垂直的面上的数字和是14.一个长方体的长是20厘米、宽是10厘米、高是8厘米，从这块木头上切下一个最大的正方体后，剩下局部的外表积是多少平方厘米？【答案】752cm2〔最大的正方体的棱长为8厘米〕【随堂练习】看到图时，小明说，因为平面FGEH和平面ABCD之间有两个长方形：ADEH和BCGF，所以平面FGEH与平面ABCD 是平行的，你认为他说的对吗？为什么？4/72．图中点M、N、Q、P分别是长方体的四条高的中点，与平面MNQP平行的平面有哪些？为什么？3．如何检验文件柜的隔板与隔板相互平行？说出你所用的方法．【答案】1.不对，没有交叉放置．2．平面ABCD、平面EFGH.3．可以用“长方形纸片〞检验文件柜的隔板与隔板是否相互平行.把一长方形硬纸片放在两层隔板之间，按交叉的方向放两次，使纸片的一边都紧贴一块隔板，再观察它的对边，如果对边都能与另一块隔板紧贴，那么这两块隔板平行.【课堂总结】【课后作业】1．如图，在长方体ABCD EFGH中，(1)哪些平面与棱CG平行？(2)哪些平面与平面BDHF垂直？(3)哪些棱与平面DBFH平行？5/7(4)哪些棱与平面DBFH垂直？(5)四边形DBFH是什么四边形？2．(1)如图，把一张长方形纸片ABCD对折，EF为折痕，AB与平面CDEF平行吗？用现成的长方形纸片试试，验证一下你的结论．除了“长方形纸片〞，还有什么形状的“纸片〞也能用来检验直线和平面是否平行？为什么？读一读，想一想：这里介绍一种在平面上表达立体图形的又一个常用方法——“三视图〞法，即从三个方向〔前面、上面和左面〕看一个物体，然后描绘三张所看见的图形来表达这个立体的形状的方法．例如，长方体〔图8 20〕无论从前面、上面和左面，看到的都是长方形，所以它的三视图是图8 21．有一个规那么的立体图形，它的三视图如下列图822所示．想一想，这个立体是什么形状呢？【答案】1.〔1〕平面ABFE、平面ADHE、平面DBFH；〔2〕平面ABCD、平面EFGH；〔3〕棱AE、棱CG；〔4〕没有；〔5〕长方形.2.〔1〕平行；现成的长方形纸片是长方形ABFE；〔2〕梯形、平行四边形，因为它们都是至少有一组对边是平行的.3.圆柱.6/7数学六年级〔下〕沪教版〔长方体的再认识Ⅱ〕教师版7/7。

8.1长方体的再认识-教学设计

学科：数学年级：预初学校：泥城中学课题：§8.1长方体的元素执教老师：张婷婷教学目标1. 通过观察长方体的元素，了解长方体的顶点、棱、面等概念.2. 掌握长方体的三个基本特征，能制作长方体架子.3. 在小学阶段初步认识的基础上，进一步培养空间观察和想象能力.教学重点长方体的各个元素的特征、性质.教学难点确立空间思维能力，能看懂立体图形.教学过程一、情景引入：给出下列图形，让学生复习已学过的一些平面图形：答：正方形、长方形、平行四边形、圆形和三角形提问: 这是我们以前学过的哪些几何图形?事实上：正方形、长方形、平行四边形、圆形和三角形都是平面上的图形,我们把它们叫做平面图形。

你能说出这些立体图形的名称吗？答：圆柱，圆锥，球体，长方体。

二．新课探索：讨论：说出教室里的长方体。

如：粉笔盒，铅笔盒等。

展示上海图片，找出长方体的使用。

出示长方体模具。

数一数：长方体有几个顶点，几条棱，几个面？（点，线，面）八个顶点，六个面，十二条棱。

三．尝试发现：观察：观察长方体模型，六面体模型，课件的动态演示，讨论并归纳长方体以及长方体元素的特征。

1.长方体的每个面都是长方形。

2.长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等。

3.正方体的六个面可以分为三组，每组中相对的两个面的大小和形状都相等。

观察：根据课件观察长方体变化成为正方体的过程，思考长方体和正方体的关系。

正方体是特殊的长方体，它的六个面大小都相等，十二条棱也都相等。

练一练：判断：长方体的每个面都是长方形。

（√）长方体有十二条棱。

（√）六个面，十二条棱和八个顶点组成的图形都是长方体。

（×）长方体向对面的面积都相等。

（√）四．动手实践：操作：利用橡皮泥团和若干根吸管制作一个长为6厘米，宽为8厘米，高为4厘米的长方体架子。

提示：截取适当长度的吸管作为长方体的边，以用橡皮泥作为长方体的端点，运用长方体的三个特征搭建。

五．拓展研究：小小建筑师某建筑形状是一个长方体，近日要请一名工程师制造这个建筑的模型,模型的三条棱长分别是15分米,12分米,8分米.给你150分米长的。

第15课时长方体的再认识二(教师版)

第15课时长方体的再认识（2）知识精要1、元素：长方体有六个面、十二条棱、八个顶点2、特征：长方体的每个面都是长方形；长方体的十二条棱可以分成三组，每组中的四条棱的长度相等；长方体的六个面可以分成三组，每组中的两个面的形状和大小都相等。

3、长方体的画法：斜二侧画法。

4、长方体中棱与棱的位置关系：（1）、相交，（2）、平行，（ 3）、异面。

5、直线垂直于平面记作：直线P Q ⊥平面ABCD ；直线平行于平面记作：直线P Q ∥平面ABCD 。

6、计算公式之一：（三条棱长分别是a 、b 、c 的长方体）a) 棱长和 = 4()a b c ++ ； ② 体积 = abc ；③ 表面积 = 2()ab bc ac ++ ； ④ 无盖表面积 = S ab -、S bc -、S bc - 7、计算公式之二：（边长是a 正方体）① 棱长和= 12a ；②体积= 3a ；③表面积= 26a ；④无盖表面积 =25a 。

8、长方体不一定是正方体；正方体一定是长方体。

9、长方体中棱与棱的位置关系有3种，分别是平行、相交、异面。

10、长方体中棱与面的位置关系有2种，分别是：平行、垂直。

11、长方体中面与面的位置关系有2种，分别是：平行、垂直。

12、检验垂直或平行的方法：（1）、检验直线与平面垂直的方法：① 铅垂线法：将铅垂线靠近被测直线，如果铅垂线能够紧贴被测直线，说明直线垂直于水平面。

（可用于检验细棒是否垂直于水平面、黑板的边沿是否垂直于水平面）② 三角尺法：将两把三角尺的一条直角边分别紧贴已知平面并且位置交叉，将两把三角尺的另一条直角边分别靠近被测细棒，如果两条直角边都能够紧贴被测直线，说明直线垂直于已知平面。

（可用于检验细棒是否垂直于墙面）③ 合页型折纸法：将一张长方形的硬纸片对折，张开一个角度后直立于已知平面，用折痕靠近被测直线，如果折痕能够紧贴被测直线，说明直线垂直于已知平面。

（2）、检验平面与平面垂直的方法： ① 铅垂线法；② 三角尺法；③ 合页型折纸法。

小学教师教育随笔《长方体的认识》

长方体的认识
引导学生经历数学知识的“再创造”的过程。

组织并引导学生通过认真观察、思考、讨论、交流，探索长方体和正方体的特点，以实现知识的“再创造”，并在探索过程中感受发现的乐趣。

学习过程中，鼓励学生看、量、剪、比的独立思考，后在小组讨论和全班交流，学习方式多样，思维方式各具特点，使课堂教学生机勃勃。

鼓励学生经历研究图形的过程，在此过程中，要特别注意引导学生体验研究图形的方法。

开始时，要告诉学生从点、面、棱三个方面进行研究，既明确研究的方向，又帮助学生体会研究图形的角度。

不仅关注学生发现了什么，还要鼓励学生说一说是怎么发现的，帮助学生体会可以利用观察、数、测量、比较等多中方式研究图形。

在小组汇报后，组织学生将所发现的特点进行整理，帮助学生进行反思与总结。

通过这些活动，学生研究图形的经验将不断得到积累。

六年级春季班第19讲：长方体的再认识-教师版-张于

六年级同步长方体的再认识长方体的再认识是初中数学六年级下学期第 4 章的内容．通过本章的学习，同学们需要掌握长方体的表示方法、长方体直观图的画法，理清长方体中棱与棱的位置关系、棱与平面的位置关系、平面与平面的位置关系，并要学会如何检验直线与平面是否垂直、直线与平面是否平行、平面与平面是否垂直、平面与平面是否平行的方法．难点是相关的长方体的表面积和体积的计算．知识精讲1、长方体的元素长方体有六个面，八个顶点，十二条棱．2、长方体的元素特征（1）长方体的每个面都是长方形．2）长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等．3）长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小相同．3、正方体是特殊的长方体模块一：长方体的元素内容分析知识结构（1）长方体有_______ 个顶点；（2）长方体有________ 个面，每个面都是_________ ，相对的两个面的面积 _________ ；（3）长方体共有________ 条棱，按棱的长短可分为 _________ 组，每组棱的长度相等，每组有______ 条棱．难度】★答案】解析】例2】判断：（1）若长方体的十二条棱都相等，这个长方体就是正方体；（）（2）桌面所在的平面的大小就是桌面的大小；（）（3）长方体共有6 个面；（）（4）长方体的六个面，至少有四个面的形状、大小相同；（）（5）平面就是水平面；（）（6）水平面是平面．（）难度】★答案】解析】例3】在长方体ABCD –EFGH 中，与棱E F 相等的棱是（）A．棱AB、棱CD 、棱GHB．棱AB 、棱AE 、棱BFC．棱GH 、棱EH、棱FGD．棱BC 、棱CG、棱GF难度】★答案】解析】例4】用一根长为100 厘米的塑料管和橡皮泥做一个棱长为 5 厘米，6厘米和7 厘米的长方体架子，应该如何截取？材料够吗？难度】★★答案】解析】例5】棱长总和是24 厘米的正方体，它的表面积为_____________ ，体积为_____难度】★★ 答案】解析】例6】长方体的长、宽、高之比为2 : 1 : 1 ，棱长总和是80 厘米，把这个长方体截成两正方体时，表面积增加了____________________ ．难度】★★答案】解析】例7】要做一个棱长分别为3 厘米、5厘米和7 厘米的无盖的长方体纸盒，最少需要多大的纸？最多需要多大的纸？难度】★★★答案】解析】例8】一根长为36 分米的铁丝截开后刚好能够搭成一个长方体架子，这个长方体架子的长、宽、高的长度均为整数分米，且互不相等，求这个长方体的体积．难度】★★★答案】解析】4 / 17六年级同步5 / 171、长方体的直观图画法：斜二侧画法水平放置的长方体直观图通常画法的基本步骤：第一步：画平行四边形 ABCD ，使 AB 等于长方体的长， AD 等于长方体宽的二分之一，DAB 45 ．（如图 1 所示）第二步：过 AB 分别画 AB 的垂线 AE 、BF ，过 C 、D 分别画 CD 的垂线 CG 、DH ，使它们的长度都等于长方体的高．（如图 2 所示）第三步：顺次联结 E 、F 、G 、H ．（如图 3 所示）第四步：将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示．（如图 4 所示）面 ABFE 、平面 BCGF 等．它的十二条棱通常分别表示为：棱 AB 、棱 AE 、棱 EF 等．步同级年六模块二：长方体直观图的画法图 4 表示的长方体通常表示为ABCD - EFGH ．它的六个面通常表示为：平面 ABCD 、平例9】图中长方体正确表示为（）A ．长方体ABCD B．长方体EFGHC．长方体AB D．长方体ABCD - EFGH难度】★ 答案】解析】例10】要补全一个长方体的直观图，至少需要知道 __________ 条棱，这几条棱应该分别是难度】★答案】解析】例11】画一个棱长分别是2厘米、3厘米、4厘米的长方体．难度】★答案】解析】例12】画一个棱长总和为36 厘米的正方体．难度】★★答案】解析】例13】补画下列各图，使它成为长方体（虚线部分表示被遮住的部分）难度】★★答案】解析】6 / 171、长方体中棱与棱的位置关系如图所示的长方体ABCD- EFGH 中：棱EH 与棱EF 所在的直线在同一平面内，它们有唯一的公共点，我们称这两条棱相交．棱EF 与棱AB 所在的直线在同一平面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行．棱EH 与棱AB 所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面．空间两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面．例14 】在如图所示的长方体中，哪些棱与棱异面？难度】★答案】解析】AD 平行？哪些棱与AD 相交？哪些棱与AD例15】在长方体中，每一条棱与__________ 条棱平行，每一条棱与 ________ 条棱相交，每一条棱与 _____ 条棱异面，互相平行的棱有____________ 对，互相异面的棱有_________ 对，相交的棱有______ 对．难度】★★答案】解析】模块三：长方体中棱与棱位置关系的认识六年级同步例16】如图，在长方体ABCD —EFGH 中，填写下列各对线段所在直线的位置关系．（1）棱AD 与AG：____________________（2）棱DH 与EG：____________________（3）EG 与BD：__________________ ；（4）棱DC 与DB ： ____________________难度】★★ 答案】解析】例17 】垂直于同一直线的两条直线的位置关系是____________________ 难度】★★ 答案】解析】例18 】如果两条直线在同一平面上的投影是两条平行线，那么这两条直线的位置关系是难度】★★★答案】解析】六年级同步9 / 171、长方体中棱与平面的位置关系ABCD ，记作：直线 PQ 平面 ABCD ，读作：直线 PQ 垂直于平面 ABCD ．ABCD ，记作：直线 PQ // 平面 ABCD ，读作：直线 PQ 平行于平面 ABCD ．如图 4 所示的长方体 ABCD - EFGH 中：棱EF 与面 BCGF ，棱 FG 与面 ABFE ，棱BF 与面 ABCD 都给我们以直线与平面垂直的形象．棱 EF 与面 ABCD ，棱 BF 与面 ADHE ，都给我们以直线与平面平行的形象．2、检验直线与平面是否垂直的方法 “铅垂线”法、 “三角尺法” 、“合页型折纸”法．3、检验直线与平面是否平行的方法“铅垂线”法、 “长方形纸片”法．例 19】教室里的日光灯与地面的位置关系是难度】★答案】解析】 ______ ，桌腿与桌面的位置关系是 __________模块四：长方体中棱与平面位置关系的认识图1P Q8 / 17如图 1，直线 PQ 垂直于平面如图 2，直线 PQ 平行于平面例20】如图，在长方体ABCD- EFGH 中：（1）与棱DH 垂直的平面是 _______________________（2）与棱BC 平行的平面是 _______________________（3）与平面ADHE 垂直的棱是_____________________ ；（4）与平面EFGH 平行的棱是_____________________ ；难度】★ 答案】解析】例21】铅垂线是垂直于面的直线，用__________________ 法可以检验课桌的边沿是否与地面平行，用____________ 法可以检验细棒是否与地面垂直．难度】★答案】解析】例22】如图，用 ________ 法可以检验细棒是否与斜面垂直．难度】★★ 答案】解析】例23】在长方体中的每一条棱有________ 个平面和它垂直，每一个面有________________________________________ 条棱与它垂直，每一条棱有_________ 个平面和它平行，每一个面有__________ 条棱与它平行．难度】★★ 答案】解析】例24】在长方体ABCD - EFGH 中，AB = 3 厘米，BF = 5厘米，与棱AB垂直的平面的面积之和是32 平方厘米，求这个长方体的表面积．难度】★★★答案】解析】11 / 17如上右图，平面平行于平面，记作平面 // 平面，读作平面面 EFGH ，面 ABFE 与面 BCGF 三个面中，任意两个都给我们以平面与平面垂直的形象．面 ABCD 与面 EFGH ，面 BCGF 与面 ADHE ，面 ABFE 与面DCGH ，都给我们以平面与平面平行的形象． 2、检验平面与平面是否垂直的方法铅垂线”法、 “合页型折纸”法、 “三角尺”法．3、检验平面与平面是否平行的方法长方形纸片”法．例 25】如图，与平面 ABFE 垂直的平面有难度】★ 答案】解析】模块五：长方体中平面与平面位置关系的认识知识精讲长方体中平面与平面的位置关系如下左图，平面垂直于平面，记作平面平面，读作平面垂直于平面．如图所示的长方体 ABCD- EFGH 中：平行于平面．例题解析，与平面 BCGF 平行的平面有1、 C12 / 17例 26】下列结论正确的是（）A ．在长方体中，与其中的一个面垂直的面有 2 个B ．在长方体中，与其中的一个面平行的面有4 个C ．长方体有两个相对的面是正方形，那么这个长方体有D ．长方体相邻的两个面互相垂直，相对的两个面互相平行难度】★★ 答案】解析】例 27】如图，与面 ADHE 垂直的面有_______________________________________________________________ 难度】★★ 答案】解析】例 28】可以用 __________________ 检验教室的墙面与地面是否垂直．可以用 __________________ 检验衣橱里横向的两块隔板是否平行．难度】★★ 答案】解析】例 29】如图，是一个正方体的展开图，在原正方体中，与平面 C 垂直的平面是（用图中的字母表示）难度】★★★ 答案】解析】EAB CDF6 条棱的长度相等H G六年级同步例 30】如图，在长方体 ABCD- EFGH 中，找出与平面合页型折纸，在图上用阴影部分表示．难度】★★★ 答案】解析】习题 1】正方体的棱长扩大 2 倍后，体积增大到原来的_______________________________________________________________ 倍．难度】★ 答案】解析】习题 2】在图中的长方体中：（ 1）从正面看，看不见的棱有 _______________ （2）与棱 EH 相等的棱有 ___________________ （3）与平面 ADHE 相对的平面有 ____________ ；（ 4）位于水平位置的平面有 _________________ 难度】★ 答案】解析】习题 3】在长方体中，若两条棱没有公共点，则这两条棱的位置关系是难度】★ 答案】解析】12 / 17随堂检测BCHE 垂直的平面，并找出现成的C习题4】下列说法正确的是（）A．平静的水面是水平面，所以光滑的镜面也是水平面B．长方体中棱与平面不是垂直就是平行C．若两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线也平行D．长方体中任何一条棱都与两个平面平行难度】★★答案】解析】习题5】如图所示的六面体中，AEFB 和DHGC 是相同的直角梯形，其余都是长方形，则：（1）其中有 _______ 条棱与平面ADHE 垂直；（2）其中有 _______ 条棱与平面AEFB 垂直；（3）其中有 _______ 条棱与平面ABCD 垂直；（4）其中有 _______ 条棱与平面BFGC 垂直．难度】★★ 答案】解析】习题6】一个正方体的每个面上都标有数字1、2、3、4、5、6，根据图中该正方体A、B、A．1 B．2 C．4 D．6难度】★★答案】解析】六年级同步习题7】长方体的总棱长是72 厘米，它的长: 宽= 2 : 1，宽: 高= 2 : 3，这个长方体的体积是．难度】★★答案】解析】习题8】把一块长是50 厘米的长方体分成2 : 3 两部分后，它的表面积增加了300 平方厘米，则分成的两块长方体木块的体积分别为_________________难度】★★★ 答案】解析】习题9】小方制作了一个无盖的长方体木盒，木盒的棱长分别为3 厘米、5 厘米和8 厘米，求这个木盒的表面积．难度】★★★答案】解析】习题10】一个长方体的表面积是88平方厘米，这个长方体可以被分割为 5 个完全相同的正方体，求这个长方体的体积．难度】★★★答案】解析】14 / 17六年级同步作业 1】长方体中经过同一顶点的面的个数有(难度】★ 答案】解析】答案】解析】答案】解析】作业 4】补画长方体：课后作业答案】解析】 15 / 17A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个作业 2】如图，在一张长方形纸片 ABCD 对折后翻开所成的图形中：1) 与直线 DF 平行的直线是 2) 与直线 EF 平行的直线是与直线 EF 相交的直线是3)与直线 AE 异面的直线是与直线 BC 异面的直线是难度】★作业 3】在长方体中，若两条棱异面，则与这两条棱都相交的棱(A ．不一定存在B ．有且只有一条C ．可能有一条，也可能有两条D ．不止两条B步同级年六作业5】下列图形中，不能围成长方体的是（）难度】★★答案】解析】作业6】如图，桌面上放着一本打开的书，（1）与桌面垂直的平面有哪几个？（2）平面ABFE 与平面ABHG 是否垂直？难度】★★ 答案】解析】作业7】将一个长、宽、高分别为2 厘米、2.5厘米、3厘米的长方体切割成一个体积最大的正方体，则切割剩余部分的体积是_________________ ．难度】★★答案】解析】作业8】将两个长是5 厘米、宽是4厘米、高是3 厘米的长方体重叠放置，它的表面积是难度】★★★答案】解析】16 / 17六年级同步作业9】12 个棱长为1 厘米的正方体叠在一起，成为一个长方体，求这个长方体的表面积．难度】★★★ 答案】解析】作业10】如图，把一块长是108厘米的长方体木块的棱AE分成3 : 1的两段，分点为M，过点M 按平行于面ABCD 的方向把长方体分成两块后，表面积增加了800 平方厘米，这两块长方体的体积分别是多少？难度】★★★答案】解析】17 / 17。

沪教版数学六年级下册第八章《长方体的再认识》教学设计

教材通过大量的图片和生活实例，让学生进一步理解长方体的特征，提高学生的空间想象能力，并能运用长方体的特征解决实际问题。

二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，对于长方体的特征已经有了一定的了解。

但是，学生在应用长方体的特征解决实际问题时，还存在着一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要结合学生的实际情况，引导学生通过观察、操作、思考、交流等途径，进一步理解和掌握长方体的特征。

三. 教学目标1.让学生通过观察和操作，进一步理解长方体的特征。

2.培养学生空间想象能力和运用长方体的特征解决实际问题的能力。

3.培养学生合作学习的能力和语言表达能力。

四. 教学重难点1.长方体的特征。

2.如何运用长方体的特征解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和图片，引发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。

2.操作教学法：通过学生的动手操作，培养学生的空间想象能力。

3.问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和交流，进一步理解和掌握长方体的特征。

4.合作学习法：通过小组合作，培养学生的合作意识和团队精神。

六. 教学准备1.教具：长方体模型、正方体模型、多媒体教学设备。

2.学具：每个学生准备一个长方体模型。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的长方体物体，如牙膏盒、鞋盒等，引导学生回顾长方体的特征。

同时，教师提出问题：“你们认为长方体有哪些特征呢？”让学生进行思考和交流。

呈现（10分钟）教师通过多媒体展示长方体的三维图像，让学生直观地感受长方体的特征。

同时，教师引导学生观察长方体的六个面、十二条棱和八个顶点，并讲解长方体的名称和定义。

操练（10分钟）教师分发长方体模型给每个学生，让学生亲自操作长方体模型，观察和体验长方体的特征。

十八中附小刘娟《长方体再认识》教学设计

五年级数学“长方体的再认识”教学设计
北京市第十八中学附属实验小学教师姓名：刘娟
教学依据：
课标分析：
1、使学生能在观察操作等活动中，获得对简单几何体的直观经验，并在观察
操作活动中，感受长方体的基本特征。

2、通过观察、制作、想象三个递进的数学活动，作为理解长方体特征的学习
路径，“在制作中体验匹配关系，想象中构建匹配关系"从而凸显出长方体特征。

3、通过制作长方体过程中，感悟、理解面与面的匹配关系，从而完成二维与
三维的转换。

学情分析：
1.学生已经在低年级初步认识了长方体，能在生活中正确找到长方体。

2.学生在学习了平面图形的基础上，初次学习立体图形。

是完成由二维到
三维的转换。

3、学生往往对长方体显现特征描述清晰，隐性特征理解含混。

沪教版六年级数学长方体的再认识讲义家教

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容积的计算公式为：容积=长×宽× 高。
容积的单位是立方米，常用于描述物体的体积大小。
长方体容积的计算公式
定义：长方体容积是指长方体内部所占的空间大小计算公式：容积 = 长 × 宽 × 高单位：容积的单位是立方单位，如立方米、立方厘米等
应用：长方体容积的计算是日常生活中常见的需求，如计算容器能容纳多少液体等
解题思路：根据长方体体积的计算公式，体积=长×宽×高，代入题目中给出的数值进行计算。
计算过程：体积=8 厘米×6厘米×4厘米=192立方厘米。
答案：这个长方体的体积是192即长、宽、高的乘积。
长方体容积的定义
需要注意的是，长方体的容积是指其内部所能容纳的空间，不包括其外部的表面积。
计算长方体容积的实例
题目：一个长方体水槽，长5分米，宽4分米，高3分米，求这个水槽的容积是多少升？题目：一个长方体纸盒，长10厘米，宽6厘米，高5厘米，这个纸盒的容积是多少立方厘米？题目：一个长方体鱼缸，长40厘米，宽30厘米，高20厘米，这个鱼缸最多能装多少升水？题目：一个长方体冰箱，长5分米，宽4分米，高3分米，这个冰箱的容积是多少升？
长方体应用题的实例解析
体积计算：求长方体的体积，可以通过长、宽、高的乘积得出。表面积计算：求长方体的表面积，可以通过计算六个面的面积之和得出。截面形状：通过截取长方体的不同位置，可以得到不同的截面形状。实际应用：长方体在现实生活中有着广泛的应用，如包装箱、建筑材料等。
汇报人：XX
长方体应用题的类型
计算长方体的表面积计算长方体的体积长方体在生活中的应用长方体的组合与切割问题
长方体应用题的解题思路

数学六年级(下)沪教版(长方体的再认识Ⅰ)教师版

2
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数学六年级（下）沪教版（长方体的再认识Ⅰ）教师版
【解】设长方体的宽为 x 厘米，那么长就是( x 3 )厘米，高是 1 x 厘米．由题意，得 2
4

x

x

3

1 2
x

52
．
解方程，得 x 4 ．所以 x 3 4 3 7 ， 1 x 1 4 2 ．
题型三：图形的拼凑
【例 5】(1)把五个边长为 1 厘米的小正方体拼成一个长方体，则此长方体的棱长的和为多少？表面积为多少？ (2)把六个边长为 1 厘米的小正方体拼成一个长方体，则此长方体的棱长的和为多少？表面积是多少？
【解析】(1)五个小长方体只有一种拼法，拼成的长方体三条棱长分别是 5 厘米、1厘米、 l 厘米．所以棱长的和为
【典型例题讲解】题型一：有关长方体的面积、体积和棱长总和的综合计算. 【例 l】有一个长方体的架子，它的棱长和是 52 厘米，其中长比宽多 3 厘米，高是宽的 1 ，求这个长方体的体积．
2 【解析】本题的关键是求出长方体的长、宽、高各是多少厘米，可以设长方体的宽为 x 厘米，那么长就是( x 3 )厘米，高是 1 x 厘米，由棱长和是 52 厘米可列出方程，最后求得长方体的体积．
的棱有
4
条，宽度为

8

3 4

厘米的棱有
4
条，高度为

8

3 4

1 2

厘米的棱有
4
条．
【解】设棱长的总和为 L ，则
L

8
4

8

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长方体再认识ⅡB(教师)

学科教师辅导讲义年级：预初科目：数学课时数：3 课题长方体的再认识Ⅱ教学目的1．通过观察长方体中棱、面之间的位置关系，直观认识线面、面面的平行和垂直关系，并会用数学符号表示，知道一些简单的检验方法，形成初步的空间观念．2．体会数学与生活的密切联系，关心现实世界中的数学现象，激发学习数学的兴趣．教学内容【知识梳理】1. 平面与直线垂直：如图所示，直线PQ垂直于平面ABCD，记作：直线PQ⊥平面ABCD，读作：直线PQ垂直于平面ABCD．2. 直线与平面垂直的检验方法：（1）“铅垂线”检验：用一根细绳，一端系一重物，另一端用手提起，使重物悬空，静止后的这根细绳是垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线，用铅垂线可以检验细棒是否垂直于水平面，如果铅垂线能与细棒紧贴，那么细捧垂直于水平面．（2）“三角尺”检验：用三角尺可以检验细棒是否垂直于墙面．如果两把三角尺各有一条直角边紧贴墙面且位置相交，另一条直角边都能紧贴细棒，那么细棒垂直于墙面．（3）“合页型折纸”检验：将一张长方形的硬纸片对折，然后张开一个角度，我们把这个制作称为合页型折纸，如果将合页型折纸立于桌面，那么可以看到折痕垂直于桌面，若在桌面上立着一根细棒，折痕能紧贴细棒，那么细棒垂直于桌面．3. 直线与平面平行:如图所示，直线PQ平行于平面ABCD，记作：直线PQ//平面ABCD，读作：直线PQ平行于平面ABCD．4. 直线与平面平行的检验:（1）“铅垂线”检验：铅垂线检验黑板的边沿是否平行于地面．从黑板边沿的两个不同的点放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触地面．如果从这两个不同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么黑板的边沿与地面平行．类似地用铅垂线法可以检验直线与水平面平行．（2）“长方形纸片”检验：一边贴合在被检验平面内，观察另一边是否与被检验直线重合．若重合，则直线与平面平行．【注意】“长方形纸片”检验充分利用了长方形一组对边平行的性质，所以也可以用具有这一性质的平行四边形纸片或梯形纸片．5. 平面垂直于平面:如图所示，平面α垂直于平面β，记作：平面α⊥平面β，读作：平面α垂直于平面β．6. 平面与平面垂直的检验:（1）铅垂线检验；（2）合页型折纸检验；（3）三角尺检验．检验时要观察“铅垂线”、“折痕”、“三角尺的公共边”能否与另一个面紧贴，从而确定两个面的位置关系是否垂直．7. 平面与平面平行:如图所示，平面α平行于平面β，记作：平面α∥平面β，读作：平面α平行于平面β．8. 平面与平面平行的检验：“长方形纸片”检验：用长方形纸片可以检验两块硬纸板是否平行，把长方形纸片放在两块硬纸板之间，按交叉的方向放两次，使纸片的一边都紧贴一块硬纸板，再观察它的对边，如果对边都能与另一块硬纸板紧贴，那么这两块硬纸板平行．【典型例题讲解】题型一：直线与平面、平面与平面位置关系的理解及判断【例l 】如右图所示，在长方体ABCD EFGH -中，(1)写出所有与棱AB 垂直的面；(2)写出所有与平面EFGH 垂直的棱．【分析】与棱AB 垂直的面只有两个，分别过A 、B 两点的面AEHD 、面BFGC ,.与平面EFGH 垂直的棱即为图中的四条高AE 、BF 、CG 、DH .【解析】(1)平面AEHD 、平面BFGC ；(2)棱AE 、棱BF 、棱CG 、棱DH .【方法总结】理解平面与直线的垂直的概念，并应用概念在直观图中进行判断．【例2】一个正方体的边长是3厘米，求与底面平行的棱长和是多少？【分析】在正方体中与一个面平行的棱有4条，即为该面相对的面的四条边，由于这四条边的长都是3厘米，所以与底面平行的棱长和是412⨯=3厘米厘米．【解析】12厘米．【方法总结】理解直线与平面平行的概念，能在长方体等各种直观图中找出与平面平行的所有直线，之后可以进行相应的计算．【例3】如图所示，在一个正方体的三个面上分别写上123、、，在与这三个面相对的面上依次写上456、、（1的对面写上4，依次类推）．如果与一个面垂直的面上的数字之和是14，那么这个面上的数字是多少？【分析】首先要明确与一个面垂直的面有四个．其次通过分情况讨论得到最后的答案．（1）与1垂直的面有4个，分别是3和它的对面6、2和它的对面5，所以3625=l6+++．不对．（2）与2垂直的面有4个，分别是1和它的对面4、3和它的对面6，所以143+614++=．对．（3）类似可以求出与3垂直的四个面数字之和为12.所以只有与2垂直的面上数字之和为14．【解析】2.【方法总结】在熟练掌握长方体的各要素及其对应关系以及平面与平面垂直的概念的基础之上，先判断出与某一平面垂直的平面有哪些，之后可以进行相关的计算.【例4】举出三个平面与平面平行的生活实例．【解析】(1)桌面与地面平行；(2)教室的前后两个墙面平行；(3)书架的顶面与底面平行．【借题发挥】如右图所示回答下列问题：1.在长方体ABCD EFGH -中，已知4AB =厘米，5AE =厘米，2AD =厘米，那么与平面BCGF 垂直的棱长和是多少？【答案】与平面BCGF 垂直的棱有棱AB 、棱EF 、棱CD 和棱GH ，棱长和是44=16⨯（厘米）2.在长方体ABCD EFGH -中，已知6AB =厘米，4AE =厘米，2AD =厘米，求与棱EF 垂直的平面的面积和是多少？【答案】与棱EF 垂直的平面有平面ADHE 和平面BCGF ，所以与棱EF 垂直的平面的面积和2224=16⨯⨯（厘米）．3.在长方体ABCD EFGH -中，已知6AB =厘米，4AE =厘米，4AD =厘米，与面EFGH 平行的棱长和是多少？【答案】与面EFGH 平行的棱有棱AB 、棱BC 、棱CD 和棱DA ，由此可以算出棱长总和为()264=20⨯+（厘米）．所以与面EFGH 平行的棱长和是20厘米. 4.在长方体ABCD EFGH -中，已知4AB =厘米，6AE =厘米，4AD =厘米，与棱EF 平行的平面的面积和是多少？【答案】与棱EF 平行的面有面ABCD 和面CGHD ．然后算出这两个面的面积和244+64=40()⨯⨯厘米．所以与棱EF 平行的平面的面积和是40厘米2．5.在长方体ABCD EFGH -中，长、宽、高分别是6厘米、4厘米和3厘米，求与面ABCD 垂直的面的面积和是多少？【答案】与面ABCD 垂直的面有：面ADHE ，面ABFE ，面BCGF ，面DCGH ，与面ABCD 垂直的面的面积和是234+26 360⨯⨯⨯⨯=（厘米2）．题型二：直线与平面、平面与平面位置关系的检验【例5】细棒插入黄沙堆中，检验细棒是否垂直于地面常用的方法是( )．A．合页型折纸检验法 B．三角尺检验法C．铅垂线检验法 D．长方形纸片检验法【分析】由于细棒插在黄沙堆中，不方便用合页型折纸的折痕或三角尺的一边紧贴细棒，而铅垂线是用于检验直线与水平面的垂直关系，用于检验细棒与地面垂直最适合．【解析】C【方法总结】理解直线与平面垂直的三种检验方法：“铅垂线”检验、“三角尺”检验和“合页型折纸”检验，并能结合实际情况用适当的方法进行检验，即要灵活应用三种检验方法.【例6】如果检验单杠（如右图所示）是否与地面平行？请说明方法．【分析】如图所示，AB、CD相当于两条铅垂线，测量线段AB、CD的长，发现=，从而说明单杠平行于地面．AB CD找一张长方形硬纸片(充分大)，一边紧贴地面，发现另一边能够与单杠BD重合，说明单杠平行于地面．【解析】平行；用铅垂线检验或长方形纸片检验．【方法总结】先利用一定的几何性质来说明直线与平面的平行关系，之后要对直线与平面的平行关系进行检验，对于所讲的两种方法：“铅垂线”检验和“长方形纸片”检验，要根据具体情况灵活应用。

5年级秋季第5讲-立体图形的再认识(教师版)

第五讲立体图形的再认识例题1【提高】【精英】从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)【分析】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．例题2【提高】从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下图)，剩下部分的表面积之和是平方厘米．68766【分析】可以将这个图形看作一个八棱柱，表面积和为：87662616661787292⨯-⨯⨯+⨯+++++++=（）（）(平方厘米)．也可以这样想：由于截去后原来的长方体的表面少了3个66⨯的正方形，而新图形凹进去的部分恰好是3个66⨯的正方形，所以新图形的表面积与原图形的表面积相等，为()8786762292⨯+⨯+⨯⨯=(平方厘米)．【精英】如右图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口a的边长．【分析】原来正方体的表面积为：6⨯3a⨯3a=6⨯9a2（平方厘米），六个边长为a的小正方形的面积为（减少部分）：6⨯a⨯a=6a2（平方厘米）；挖成的每个长方体空洞增加的侧面积为：a⨯a⨯4⨯2=8a2（平方厘米）；根据题意可得：54a2-6a2+3⨯8a2=2592，解得a2=36（平方厘米），故a=6厘米．例题3【提高】选项中有4个立方体，其中是用左边图形折成的是( )．DCBA【分析】图中A、C、D项展开后的图形均为下图，只有B项展开后的图形与题中左边图形相符，所以答案为B．【精英】有n个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面．如果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原长方体的表面积减少144平方厘米，那么n为多少？【分析】由于堆成的长方体的底面就是原来正方体的底面，说明这个长方体是由这些正方体一字排开组成的，从这个长方体的顶部拿去一个正方体，减少的面积相当于侧面的四个正方形的面积，所以正方体每个面的面积是144436÷=(平方厘米)．所堆成的长方体的表面积，包含底面的2个正方形和侧面的4n个正方形，所以n=-⨯÷=．(3096362)14421例题4【提高】【精英】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？25块积木【分析】当小积木互相重合的面最多时表面积最小.设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个333⨯⨯的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.例题5【提高】【精英】现有一个棱长为1厘米的正方体，一个长宽为1厘米高为2厘米的长方体，三个长宽为1厘米高为3厘米的长方体．下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形．试利用下面三个图形把合并成的立体图形(如例)的样子画出来，并求出其表面积．例：侧前上侧面所看到的图形前面所看到的图形上面所看到的图形【分析】从前面看到的和从侧面看到的图形都只有3层，说明叠成的图形只有3层．从上面看到的图形中可以确定2个高为3厘米的长方体的位置，一个水平方向，一个竖直方向，再从前面和侧面的图形可以看出这两个长方体都在第1层；从而可以确定另一个高为3厘米的长方体及其它两个图形的位置，可得立体图形的形状如下图所示．从上面和下面看到的形状面积都为9平方厘米，共18平方厘米；从两个侧面看到的形状面积都为7平方厘米，共14平方厘米；从前面和后面看到的形状面积都为6平方厘米，共12平方厘米；隐藏着的面积有2平方厘米．一共有181412246+++=(平方厘米)．例题6【提高】【精英】如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型．把这个模型的表面(包括底面)都涂成红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体比有两面涂上红色的小正方体多______块．【分析】三面涂上红色的小正方体有：425428⨯+⨯=个，两面涂上红色的小正方体有：341416⨯+⨯=个，所以三面涂红色的比两面涂红色的多281612-=块．例题7【提高】把11块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体，已知每块砖的体积是3288cm ，则大长方体的表面积为多少？【分析】如果知道每块砖的长、宽、高即可求出所有的量，但我们只知道它们的乘积，但可以从图中发现隐含的数量关系．由图可知每块砖的长、宽、高的比值，两个长等于三个宽，所以长、宽之比为3:2，四个高等于一个长，所以长、高之比为4:1，长、宽、高之比为12:8:3，设砖的长为12单位，那么体积应该为1283288⨯⨯=个立方单位，所以一个单位长度就是1厘米，所以大长方体的长、宽、高分别为：24厘米，12厘米，11厘米，所以大长方体的表面积为：24121211112421368⨯+⨯+⨯⨯=（）平方厘米．【精英】一个正方体容器，容器内部边长为24厘米，存有若干水，水深17.2厘米，现将一些碎铁块放入容器中，铁块沉入水底，水面上升2.5厘米，如果将这些铁块铸成一个和容器等高的实心圆柱，重新放入池中，则水面升高几厘米？【分析】设铁块铸成和容器等高的实心圆柱放入池中水面升高x 厘米，则有水面升高后水的总体积=原来水的体积+铁块浸入水中的体积，22242417.2x S x ⨯=⨯+⨯铁块的底面积，其中22424 2.5S ⨯=⨯铁块的底面积，得到24 2.5S =⨯铁块的底面积，解得19.2x =，所以水面升高了19.217.22-=(厘米)．例题8【提高】如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视图和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？正视图俯视图侧视图【分析】本题还原的技巧在于反用“切片法”，根据俯视图，最底层必有这么11个，这是不能再少的；第二步，不妨先根据正视图，再在一侧加上7块；第三步，通过第二层以上的积木的调整使得图形符合侧视图的要求：所堆的立体的体积至少是11718+=．当然，这里的形状不唯一，如下面两图都符合条件．【精英】第9届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛于2004年5月10日在潮州举行，北京的选手们用N个大小相同的小正方体木块粘贴成了一个从正面看是2004，从左面看是9的模型(如图)．问：N最大为多少？N最小为多少?【分析】可以将2004这个模型分为5行，第一行有11个方块，第二行有7个方块，第三行有10个方块，第四行有6个方块，第五行有10个方块．因为从左边看是9的模型，所以第一行的宽度为3个方块，第二行的宽度为2个方块，第三行的宽度为3个方块，第四行的宽度为1个方块，第五行的宽度为3个方块，⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以N最大为113．1137210361103113++++=，所以N至少是44块．但是，仅用44块显然不能满足从左边看是9的模型．所1171061044以必须再加上一些木块以满足从左边看是9的模型．模型“9”有3列，右面一列5个方块已经满足，中间一列有3个方块，所以得加上3个；由于模型是粘贴出来而不是摆出来的，所以加上中间一列的3块并不能减少右边一列的方块．而左边一列有4个方块，这4个也得加上，加上左边一列的4块后，由于其中的上面3块是连续的，所以可以在右面一列去掉2块，仍然不会改变从正面看是2004的效果．4434249++-=，所以N最小为49．练习1图1是下面的表面展开图①甲正方体；②乙正方体；③丙正方体；④甲正方体或丙正方体．甲乙丙【分析】从展开图可以看出，每个面上至少有一块阴影，从而排除丙；又每个面上没有相邻的两块阴影，从而排除乙．故选甲答案为①．练习2一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形，现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？【分析】本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15:127:5:4=，为了方便起见.我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.因为754>>，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米（如图），第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求.练习3用6块右图所示(单位：cm)的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？123【分析】要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图⑴的拼接方式新的长方体长为5，宽为4，高为3，所以表面积为2(343334)266(cm )⨯+⨯+⨯⨯=；要使表面积最大需重叠的面积最小，如图⑵所示，长为18，宽为2，高为1，所以最大的表面积为2(18118212)2112(cm )⨯+⨯+⨯⨯=(1)练习4用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【分析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成．该图形的表面积等于(977)246++⨯=个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米．练习5有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个444⨯⨯的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【分析】要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来．在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有3(42)8-=(个)，用黑色的；在面上但不在边上的小正方体有2(42)624-⨯=(个)，其中30822-=个用黑色．这样，在表面的44696⨯⨯=个11⨯的正方形中，有22个是黑色，962274-=(个)是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米．练习6用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体图形，从上向下看这个立体图形，如下图a ，从正面看这个立体图形，如下图b ，则这个立体图形的表面积最多是________．a b【分析】根据题意，这个立体应当有2层，由于这个立体图形是码成的而不是粘成的，这就意味着，这个立体图形的每一个小正方体的下端必然有其他正方体支撑，所以这个立体图形的俯视图实际上可以看作该图形的“地基”．我们在此基础上构造立体图形，结合图b ，构筑“地基”以上的第二层的建筑，由视角分析，A 、B 、C 3个位置上都至少有一个正方体(如左下图)，在“地基”的基础上构筑第二层时，随着第二层小正方体数目的增多，由于每个小正方体与其他小正方体贴合的面最多有3个，那么裸露在外面的面至少也有3个，所以每增加一个小正方体，其表面积不会减少．那么当第二层的小正方体最多时，其表面积也最大．而小正方体最多的情况如右下图所示，CB A根据“三视图法”，该图形上、下面积为8216⨯=(平方厘米)，前、后面积为8216⨯=(平方厘米)，左、右面积为8216⨯=(平方厘米)(注意，左、右方向的面中，有4个从该图形以外的左、右方向无法观察到)，所以此立体的表面积为16161648++=平方厘米．练习7如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的．其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分．请问剩下的部分共有多少个小正方体？第8题【分析】对于这一类从立体图形中间挖掉一部分后再求体积（或小正方体数目）的题目一般可以采用“切片法”来做，所谓“切片法”，就是把整个立体图形切成一片一片的（或一层一层的），然后分别计算每一片或每一层的体积或小正方体数目，最后再把它们相加．采用切片法，俯视第一层到第五层的图形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部分．第1层第2层第3层第4层第5层从图中可以看出，第1、2、3、4、5层剩下的小正方体分别有22个、11个、11个、6个、22个，所以总共还剩下22111162272++++=（个）小正方体．练习8如图，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型(沿虚线折，沿实线粘)．这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少？【分析】多面体的面数，可以直接从侧面展开图中数出来，12个正方形加8个三角形，共20面．右上图是多面体上部的示意图共有9个顶点；同样，下部也是9个顶点，共18个顶点．棱数要分成三层来数，上层．从示意图数，有15条；下层也是15条；中间部分为6条．一共15×2+6=36(条)．总和为：20+18+36=74(个)．。