贵阳市2016年高三适应性检测考试(一)文科数学
2016.1数学(文科)试题参考答案最终版
2016年温州市高三第一次适应性测试数学（文科）试题参考答案 2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
9．1- ；2． 10．135;5 11．14；1．12．12；36． 13．28． 14．),4[+∞． 15．3 三、解答题 16．（本题15分）解：（Ⅰ）由已知得ααcos 3sin 22=，则02cos 3cos 22=-+αα…………… 3分所以21cos =α或2cos -=α（舍）…………………………………5分 又因为πα<<0所以 3πα=……………………………………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得)3cos(cos 4)(π-=x x x f)sin 23cos 21(cos 4x x x +=……………………9分x x x cos sin 32cos 22+= x x 2sin 32cos 1++=)62sin(21π++=x ………………………………11分由40π≤≤x 得32626πππ≤+≤x ……………………………………12分所以 当0=x 时，)(x f 取得最小值2)0(=f当6π=x 时，)(x f 取得最大值3)6(=πf ……………………14分所以函数)(x f 在]4,0[π上的值域为]3,2[……………………………15分17.（本题15分）解：（Ⅰ） 3212,3,4S S S 成等差数列.312246S S S +=∴……………………………………………2分 即)(24)(6321121a a a a a a +++=+………………………………4分 则 232a a =n n a q 22=∴=∴……………………………………6分 （Ⅱ） 当2,1=n 时，0<n a ，当3≥n 时，0>n a ………………………………7分 10,621==T T ……………………………………………………………………9分当3≥n 时，n n n T 2)52(23211043⋅-++⨯+⨯+=1542)52(2)72(2321202+⋅-+⋅-++⨯+⨯+=n n n n n T ………10分 两式相减，得1542)52()222(2810+⋅--+++++-=-n n n n T ………………11分1342)52(21)21(222+-⋅----⨯+-=n n n 12)27(34+⋅-+-=n n12)72(34+⋅-+=∴n n n T …………………………………………13分⎪⎩⎪⎨⎧⋅-+===∴+12)72(342,101,6n n n n n T ………………………15分 18．（本题15分）（Ⅰ）如图，由题意知⊥DE 平面ABC所以 DE AB ⊥，又DF AB ⊥所以 ⊥AB 平面DEF ，………………3分又⊂AB 平面ABD 所以平面⊥ABD 平面DEF …6分 （Ⅱ）解法一： 由DC DB DA ==知EC EB EA == 所以 E 是ABC ∆的外心又BC AB ⊥ 所以E 为AC 的中点 …………………………………9分 过E 作DF EH ⊥于H ，则由（Ⅰ）知⊥EH 平面DAB所以EBH ∠即为BE 与平面DAB 所成的角…………………………………12分由4=AC ，60=∠BAC 得2=DE ，3=EF所以 7=DF ，732=EH 所以721sin ==∠BE EH EBH …………………………………15分 解法二：如图建系，则)0,2,0(-A ，)2,0,0(D ，)0,1,3(-B所以)2,2,0(--=，)2,1,3(--= ……………………………………9分 设平面DAB 的法向量为),,(z y x n =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00得⎩⎨⎧=--=--023022z y x z y ，取)1,1,33(-= ………………12分 设与的夹角为θ 所以7213722||||cos ==⋅=n EB θ 所以BE 与平面DAB 所成的角的正弦值为721………………………………15分19．（本题15分） 解：（Ⅰ）设),(y x DB ∴=2 为AD 的中点…………1分 则)2,0(),0,(yB x A -…………………………3分)2,1(),2,(y y x -==∴………………4分 20(0)4y AB BF x x ⊥∴-=≠即24(0)y x x =≠……7分（Ⅱ）设直线l 的方程为b x y +=21，),4(),,4(222121y y Q y y P联立方程组08842122=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=b y y x y bx y …………………………………8分 则03264,08,82121>-=∆>==+b b y y y y ………………………………9分 则20<<b22121114,44y k y y y k ===2121212132)(4y y y y y y k k =+=+∴………………………11分 21212120,0y y y y y y ≥+∴>>则<01621≤y y 当且仅当21y y =时，取等号，但21y y ≠…………………13分 16021<<∴y y 221>+∴k k21k k +∴的取值范围为),2(+∞…………………………………………………15分第19题图20．（本题14分）解：（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=0,0,)(22x tx x x tx x x f ，………………………………………………………1分当0>t 时，)(x f 的单调增区间为)0,(),,2[-∞+∞t，单调减区间为]2,0[t ……………4分 当0=t 时，)(x f 的单调增区间为),(+∞-∞………………………………………………5分 当0<t 时，)(x f 的单调增区间为),0[+∞，]2,(t -∞，单调减区间为)0,2[t …………8分（Ⅱ）设⎩⎨⎧-∈-+-∈+-=-=]0,1[)1(]2,0[)1()()(22x xt x x xt x x x f x g]2,0[∈x 时，)2,0(21∈+t，2min 1(1)()()24t t g x g ++==-……………………9分 ]0,1[-∈x 时，min (1),(0)0()g t g g x t -=-=∴=-………………10分故只须)2,0(∈∃t ，使得：⎪⎩⎪⎨⎧>->+-at a t 4)1(2成立，即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-a a 041………………………13分 所以41-≤a …………………………………………………………………………………14分另解：设()()||||,(0,2)h t f x x x t x x x t =-=-+-∈……………………9分 只须max (),[1,2]h t a x ≥∈-对都成立。
2016年高考全国卷一文科数学试题及答案
2016年普通高等学校招生全国统一考试全国卷一文科数学一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合,，则（A ）｛1，3} (B ）{3,5｝ （C ）｛5,7｝ (D){1，7} （2）设的实部与虚部相等,其中a 为实数，则a=(A ）－3 (B)－2 (C ）2 (D ）3（3)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(A ） （B) (C ） （D ）（4)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，,，则b=（A ） （B ）(C ）2 (D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的l 距离为其短轴长的41，则该椭圆的离心率为 (A)31 (B ）21 （C ）32 (D ）43（6）若将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移41个周期后,所得图像对应的函数为 (A ）y =2sin(2x +4π） （B ）y =2sin （2x +3π) (C ）y =2sin （2x –4π) （D ）y =2sin （2x –3π)(7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径。
若该几何体的体积是328π,则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π（8）若a>b>0，0〈c<1，则(A)log a c<log b c （B）log c a<log c b （C）a c〈b c （D)c a〉c b（9）函数y=2x2–e｜x｜在[–2,2]的图像大致为(A）（B）（C）（D)（10）执行右面的程序框图,如果输入的n=1，则输出的值满足（A）（B）(C) (D ）（11）平面过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，, ,，则m ，n 所成角的正弦值为（A) (B) （C ） (D ）(12）若函数在单调递增，则a 的取值范围是（A ） （B ） （C ） （D ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分(13）设向量a =（x ，x +1)，b =(1，2)，且a b ，则x =（14）已知θ是第四象限角，且sin （θ+）=，则tan(θ–）= .（15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay —2=0相交于A ,B 两点，若32AB ，则圆C 的面积为（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
2016级高三一诊数学(文)答案
在 (０, 在 (１, ʑ 函数 f( x) １) 上单调递增 , ＋ ¥ ) 上单调递减������
易知 , 当bɤ０ 时 , 不合题意������ h( x) ＞０, ʑ b＞０ ������ １ x , ) 又h ᶄ( x) ＝ － b x e h ᶄ( １ ＝１－ b e ������ x ① 当bȡ
������������������８ 分 ������������������１ ０分
x x x ( ) (x－１) a x e －e a x－e ( 解: 由题意 , 知f ２ １． Ⅰ) ᶄ( x) ＝－ － ＋ a＝ ������ ２ x x x２ x 有a ȵ 当 a＜０, x＞０ 时 , x－e ＜０ ������
３ a b c． ３
ʑ２ b c c o s A＝ ȵA ＝
( Ⅱ) ȵ a＝ ３,
π , ʑ a＝２ ３ c o s A ＝ ３． ３
３ a b c． ３
������������������２ 分 ������������������４ 分 ������������������６ 分 ������������������８ 分 ������������������９ 分 ������������������１ ０分 ������������������１ ２分
１ x ( , 由题意, 当a＝ 不等式f( 时恒成立������ Ⅱ) １时, x) ＋( b x－ b＋ ) e－ xȡ ０在xɪ( １ ＋¥ ) x
x ) 整理 , 得l 上恒成立������ n x－ b( x－１ e ɤ０ 在 ( １, ＋ ¥) x ) 令 h( x) ＝ l n x－ b( x－１ e ������
－ － ^ ^＝ a b x＝２ １ ������ ５－０ ������ ２ˑ６ ３＝８ ������ ９ ������ y－ ^＝０ 故所求线性回归方程为 y ������ ２ x＋８ ������ ９ ������
2016年贵州省普通高等学校招生高考数学适应性试卷(文科)(附答案解析)
2016年贵州省普通高等学校招生高考数学适应性试卷（文科）一、选择题1. 已知全集U＝{−2, 0, 1, 2}，集合A＝{x|x2+x−2＝0}，则∁U A＝（）A.{−2, 1}B.{−2, 0}C.{0, 2}D.{0, 1}2. 设复数z满足(1+i)z＝2i，其中i为虚数单位，则z的共轭复数z¯=()A.−1+iB.−1−iC.1+iD.1−i3. 幂函数y=f(x)的图象经过点(3, √3)，则f(x)是()A.偶函数，且在(0, +∞)上是增函数B.偶函数，且在(0, +∞)上是减函数C.奇函数，且在(0, +∞)是减函数D.非奇非偶函数，且在(0, +∞)上是增函数4. 函数y＝a x+2−1(a>0且a≠1)的图象恒过的点是（）A.(0, 0)B.(0, −1)C.(−2, 0)D.(−2, −1)5. 已知α，β表示两个不同平面，a，b表示两条不同直线，对于下列两个命题：①若b⊂α，a⊄α，则“a // b”是“a // α”的充分不必要条件②若a⊂α，b⊂α，则“a // β”是“α // β且b // β”的充要条件．判断正确的是（）A.①，②是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题D.①，②都是假命题6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.9+√3 B.18+2√3 C.9√3+3 D.18√3+27. 按如下程序框图，若输出的结果为170，试判断框内应补充的条件为（）A.i>9B.i≥9C.i>11D.i≥118. 若单位向量e1→，e2→的夹角为π3，向量a→=e1→+λe2→(λ∈R)，且|a→|=√32，则λ＝（）A.−12B.√32−1 C.12D.√329. 一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计样本数据的中位数为( )A.1009B.11.52C.12D.1310. 若sin(π2+α)=−35，且α∈(π2, π)，则sin(π−2α)＝（）A.2425B.1225C.−1225D.−242511. 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为√3的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点M(11, 0)，则p=()A.2B.3C.6D.1212. 已知函数f(x)={1x−3,x∈(0,1]2x−1−1,x∈(1,2]且g(x)＝f(x)−mx在(0, 2]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（）A.(−94, −2]∪(0, 12]B.(−114, −2]∪(0, 12]C.(−94, −2]∪(0, 23] D.(−114, −2]∪(0, 23]二、填空题双曲线________．若x ，y 满足约束条件{x +y −2≥0x −2y +4≥02x −y −1≤0 ，则z =2x +y 的最小值为________．已知f(x)是奇函数，g(x)=2+f(x)f(x)，若g(2)＝3，则g(−2)＝________．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a 2+c 2＝ac +b 2，b =√3，且a ≥c ，则2a −c 的最小值是________√3 ． 三、解答题设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n −1(n ∈N ∗)． （1）求a 1，a 2及数列{a n ]的通项公式；（2）已知数列{b n }满足b n ＝log 3a 2n ，求{b n }的前n 项和T n ．为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：附：K2=a(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)(Ⅱ)为了宣传消防安全知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6名组成宣传小组．现从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求到校外宣传的同学中至少有1名是男生的概率．已知长方形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC ＝a ，得到一个四面体A −BCD ，如图所示．（1）试问：在折叠的过程中，直线AB 与CD 能否垂直？若能，求出相应的a 值；若不能，请说明理由．（2）求四面体A −BCD 体积的最大值．已知椭圆G:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)在y 轴上的一个顶点为M ，两个焦点分别是F 1，F 2，∠F 1MF 2＝120∘，△MF 1F 2的面积为√3． （1）求椭圆G 的方程；（2）过椭圆G 长轴上的点P(t, 0)的直线l 与圆O:x 2+y 2＝1相切于点Q （Q 与P 不重合），交椭圆G 于A ，B 两点，若|AQ|＝|BP|，求实数t 的值．设函数f(x)＝ln x +x 2−2ax +a 2，a ∈R ．（1）当a ＝0时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝3x +m 相切，求实数m 的值；（2）若函数f(x)在[1, 3]上存在单调递增区间，求a 的取值范围． [选修4-4：几何证明选讲]如图，圆内接四边形ABCD 的边BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上． （1）若EF // CD ，证明：EF 2＝FA ⋅FB ；（2）若EB ＝3EC ，EA ＝2ED ，求DCAB 的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈[0, π2]．(I)求C的参数方程；(II)若半圆C与圆D：(x−5)2+(y−√3)2＝m(m是常数，m>0)相切．试求切点的直角坐标．[4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝2|x+1|+|x−2|．（1）求f(x)的最小值m；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝m，求证：b 2a +c2b+a2c≥3．参考答案与试题解析2016年贵州省普通高等学校招生高考数学适应性试卷（文科）一、选择题1.【答案】C【考点】补集及其运算【解析】由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可．【解答】全集U＝{−2, 0, 1, 2}，集合A＝{x|x2+x−2＝0}＝{−2, 1}，则∁U A＝{0, 2}2.【答案】D【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】由(1+i)z＝2i，得z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i(1−i)2=1+i，∴z¯=1−i．3.【答案】D【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】设出幂函数的解析式，求出自变量的指数，从而求出函数的性质即可．【解答】解：设幂函数的解析式为：y=xα，将(3, √3)代入解析式得：3α=√3，解得α=12，∴y=x12=√x是非奇非偶函数，且在(0,+∞)上是增函数.故选D. 4.【答案】C【考点】指数函数的图象与性质【解析】由题意令x+2＝0，解得x的值，再代入函数解析式求出y的值，即得所求定点的坐标．【解答】令x+2＝0，解得x＝−2，所以当x＝−2时，函数y＝a0−1＝0，即函数y＝a x+2−1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(−2, 0)．5.【答案】B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】在①中，若b⊂α，a⊄α，则“a // b”⇒“a // α”，反之，“a // α”推不出“a // b”；在②中，“α // β”是“α // β且b // β”的充分不必要条件．【解答】由α，β表示两个不同平面，a，b表示两条不同直线，知：①若b⊂α，a⊄α，则“a // b”⇒“a // α”，反之，“a // α”推不出“a // b”，∴ “a // b”是“a // α”的充分不必要条件，故①是真命题．②若a⊂α，b⊂α，则“α // β”⇒“α // β且b // β”，反之，“α // β且b // β”，推不出“α // β”，∴ “α // β”是“α // β且b // β”的充分不必要条件，故②是假命题．6.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】利用三视图判断几何体为三棱柱，求其面积即可．【解答】三棱柱的表面积为5个面的面积之和，又因为底面是正三角形，边长为2，棱柱的高为：3．所以S＝2×12×2×√3+3×2×3＝18+2√3．7.【答案】B【考点】程序框图【解析】按照程序框图的流程写出前四次循环的结果，直到第三次按照已知条件需要输出，根据第四次循环的i 的值得到判断框中的条件． 【解答】经过第一次循环得到S ＝2，i ＝3经过第二次循环得到S ＝2+23＝10，i ＝5 经过第三次循环得到S ＝10+25＝42，i ＝7经过第四次循环得到S ＝42+27＝170，i ＝9此时，需要输出结果，此时的i 满足判断框中的条件 故判断框内应补充的条件为：i ≥9． 8.【答案】 A【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据向量的数量积的运算和向量的模的计算即可． 【解答】向量a →=e 1→+λe 2→(λ∈R)，且|a →|=√32， ∴ |a →|2＝|e 1→+λe 2→|2＝|e 1→|2+|λe 2→|2+2λe 1→⋅e 2→=1+λ2+λ=34，解得λ=−12， 9.【答案】A【考点】频率分布直方图众数、中位数、平均数【解析】根据频率分布直方图中，中位数的两边频率相等，由此求出中位数的值． 【解答】解：根据频率分布直方图，得： 0.02×4+0.08×4＝0.40<0.5， 设中位数为x ，即0.40+0.09×(x −10)=0.5， 解得x =1009，∴ 估计样本数据的中位数为1009．故选A .10. 【答案】 D【考点】运用诱导公式化简求值 二倍角的三角函数【解析】利用已知及诱导公式可求cos α，结合角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求sin α，利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可计算求值． 【解答】∵ sin (π2+α)＝cos α=−35，α∈(π2, π)，∴ $\sin\alpha = \sqrt{1 - cos^{2}1pha} = \sqrt{1 - ( - \frac{3}{5})^{2}} = \frac{4}{5}$， ∴ sin (π−2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×(−35)×45=−2425．11.【答案】 C【考点】抛物线的标准方程 椭圆的定义【解析】由题意可知：抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F(p2, 0)，直线AB 的斜率为√3，则垂直平分线的斜率为−√33，且与x 轴交于点M(11, 0)，则y =−√33(x −11)，则直线AB 的方程为y =√3(x −p2)，代入抛物线方程，由韦达定理可知：x 1+x 2=5p 3，根据中点坐标公式求得中点P 坐标，代入AB 的垂直平分线方程，即可求得p 的值．【解答】解：由题意可知：抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F(p2, 0)， 直线AB 的斜率为√3，则垂直平分线的斜率为−√33， 且与x 轴交于点M(11, 0)，则y =−√33(x −11)，设直线AB 的方程为：y =√3(x −p 2)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，AB 的中点为P(x 0, y 0)， {y =√3(x −p2)y 2=2px ，整理得：3x 2−5px +3p 24=0，由韦达定理可知：x 1+x 2=5p 3，由中点坐标公式可知：x 0=5p6，则y 0=√3p3， 由P 在垂直平分线上，则y 0=−√33(x 0−11)，即p =−(5p6−11)，解得：p =6. 故选C .12.【答案】A【考点】分段函数的应用【解析】由g(x)＝f(x)−mx＝0，即f(x)＝mx，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】函数f(x)={1x−3,x∈(0,1]2x−1−1,x∈(1,2]的图象如图所示．m∈(0, 12]时，y＝mx与图象两支有两个交点，m<0时，由0<x≤1，1x−3＝mx，即mx2+3x−1＝0，方程有两解时，{9+4m>00<−32m ≤1m+2≤0，∴−94<m≤−2，综上所述，(−94, −2]∪(0, 12]．二、填空题【答案】x2−y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于√22【考点】双曲线的离心率【解析】求得双曲线的a＝b＝1，求得顶点坐标，渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值．【解答】双曲线x2−y2＝1的a＝b＝1，可得顶点为(±1, 0)，渐近线方程为y＝±x，即有顶点到渐近线的距离为d=1+1=√22．【答案】2【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】由z=2x+y，得y=−2x+z作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当直线y=−2x+z过点A时，直线y=−2x+z的在y轴的截距最小，此时z最小，由{x+y−2=0x−2y+4=0，得{x=0y=2，即A(0, 2)，此时z=2×0+2=2，【答案】−1【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】求出f(2)的值，结合函数的奇偶性，从而求出g(−2)的值即可．【解答】∵g(2)=2+f(2)f(2)=3，解得：f(2)＝1，∵f(x)是奇函数，∴f(−x＝−f(x)，∴g(−2)=2+f(−2)f(−2)=2−f(2)−f(2)=−1，【答案】√3【考点】余弦定理【解析】使用余弦定理求出B，由正弦定理用A，C表示出a，c根据A的范围和正弦函数的性质得出2a−c的范围．【解答】在△ABC中，∵a2+c2＝ac+b2，∴cos B=a2+c2−b22ac=12，∴B=π3．∴A+C=2π3，由正弦定理得：asin A=csin C=bsin B=2．∴a＝2sin A，c＝2sin C＝2sin(2π3−A)=√3cos A+sin A，∴2a−c＝3sin A−√3cos A＝2√3sin(A−π6)．∵a≥c，∴π3≤A<2π3．∴当A=π3时，2a−c取得最小值2√3sinπ6=√3．三、解答题【答案】∵2S n＝3a n−1，2S n−1＝3a n−1−1(n≥2)，两式相减得：2a n＝3a n−3a n−1，即a n＝3a n−1，又∵2S1＝3a1−1，即a1＝1，∴数列{a n]是首项为1、公比为3的等比数列，∴其通项公式a n＝3n−1；由（1）可知b n＝log3a2n＝log332n−1＝2n−1，于是数列{b n}是首项为1、公差为2的等差数列，∴T n=n(a1+a n)2=n(1+2n−1)2=n2．【考点】数列递推式数列的求和【解析】（1）通过2S n＝3a n−1与2S n−1＝3a n−1−1(n≥2)作差，进而整理可知数列{a n]是首项为1、公比为3的等比数列，计算即得结论；（2）通过（1）及对数性质可知b n＝2n−1，从而数列{b n}是首项为1、公差为2的等差数列，利用等差数列的求和公式计算即得结论．【解答】∵2S n＝3a n−1，2S n−1＝3a n−1−1(n≥2)，两式相减得：2a n＝3a n−3a n−1，即a n＝3a n−1，又∵2S1＝3a1−1，即a1＝1，∴数列{a n]是首项为1、公比为3的等比数列，∴其通项公式a n＝3n−1；由（1）可知b n＝log3a2n＝log332n−1＝2n−1，于是数列{b n}是首项为1、公差为2的等差数列，∴T n=n(a1+a n)2=n(1+2n−1)2=n2．【答案】（1）因为$K^{2} = \frac{120{\times (15 \times 40 - 35)}^{2}}{45 \times 75 \times 50 \times 70}pprox2.057$，且2.057<2.706，所以没有90%的把握认为，消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关；（2）用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是645=215，则抽取女生为30×215=4人，抽取男生为15×215=2人；抽取的分别记为a、b、c、d、E、F（其中E、F为男生），从中任取2人，共有15种情况：ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，cE，cF，dE，dF，EF；其中至少有1名是男生的事件为aE，aF，bE，bF，cE，cF，dE，dF，EF，有9种；故所求的概率为P=915=35．【考点】独立性检验【解析】(Ⅰ)根据公式计算K2，对照数表即可得出概率结论；(Ⅱ)用分层抽样法求出抽取的男、女生数，利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．【解答】（1）因为$K^{2} = \frac{120{\times (15 \times 40 - 35)}^{2}}{45 \times 75 \times 50 \times 70}pprox2.057$，且2.057<2.706，所以没有90%的把握认为，消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关；（2）用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是645=215，则抽取女生为30×215=4人，抽取男生为15×215=2人；抽取的分别记为a、b、c、d、E、F（其中E、F为男生），从中任取2人，共有15种情况：ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，cE，cF，dE，dF，EF；其中至少有1名是男生的事件为aE，aF，bE，bF，cE，cF，dE，dF，EF，有9种；故所求的概率为P=915=35．【答案】直线AB与CD能垂直．∵AB⊥AD，AB⊥CD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，此时a=√16−9=√7，∴a=√7时，直线AB与CD能垂直；由题意可得，△BCD面积12×3×4=6为定值，当点A到平面BCD的距离最大，即当平面CBD⊥平面ABD时，四面体A−BCD体积最大．过点A在平面ABD内作AH⊥BD，垂足为H，则AH⊥平面BCD，AH就是该四面体的高．在△ABD中，AH=AB⋅ADBD=125，∴四面体A−BCD体积的体积最大值为13⋅S△BCD⋅AH=245．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】（1）利用AB⊥平面ACD，结结合勾股定理，即可得出结论；（2）将矩形折叠后得到三棱锥，四面体ABCD体积最大值为两个面互相垂直求三棱锥的底面积和高计算．【解答】直线AB与CD能垂直．∵AB⊥AD，AB⊥CD，AD∩CD＝D，∴ AB ⊥平面ACD ， ∴ AB ⊥AC ，此时a =√16−9=√7，∴ a =√7时，直线AB 与CD 能垂直；由题意可得，△BCD 面积12×3×4=6为定值，当点A 到平面BCD 的距离最大，即当平面CBD ⊥平面ABD 时，四面体A −BCD 体积最大．过点A 在平面ABD 内作AH ⊥BD ，垂足为H ，则AH ⊥平面BCD ，AH 就是该四面体的高． 在△ABD 中，AH =AB⋅AD BD=125，∴ 四面体A −BCD 体积的体积最大值为13⋅S △BCD ⋅AH =245．【答案】 由椭圆G:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)焦点在x 轴上，M 为椭圆的上顶点，则|MF 1|＝a ，由∠F 1MF 2＝120∘， ∴ c ＝a sin 60∘=√32a ，b ＝a cos 60∘=12a ，由△MF 1F 2的面积为S =12⋅(2c)⋅b =12⋅√3a ⋅12a =√3． 解得：a ＝2，则b ＝1， ∴ 椭圆的标准方程为：x 24+y 2=1；如图，由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，设为k ，则l:y ＝k(x −t)，则OQ 所在直线方程为y =−1k ， 由O 到直线l 的距离d =√k 2+1=1，解得：k 2=1t 2−1，联立{y =k(x −t)y =−1k x，解得：Q(k 2t1+k 2, −kt1+k 2)，∴ {y =k(x −t)x 24+y 2=1 ，得(1+4k 2)x 2−8k 2tx +4k 2t 2−4＝0， ∴ x 1+x 2=8k 2t1+4k 2，由题意可知，AB 中点与PQ 中点重合， 则4k 2t1+4k 2=k 2t1+k 2+t 2，即k 2=12．由k 2=1t 2−1，得t ＝±√3．∴ 实数t 的值为±√3．【考点】椭圆的标准方程 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】（1）由题意可知：焦点在x 轴上，M 为椭圆的上顶点，则|MF 1|＝a ，∠F 1MF 2＝120∘，则c ＝a sin 60∘=√32a ，b ＝a cos 60∘=12a ，根据三角形的面积公式可知：△MF 1F 2的面积为S =12⋅(2c)⋅b =12⋅√3a ⋅12a =√3．即可求得a 和b 的值，求得椭圆G 的方程；（2）由题意设出l:y ＝k(x −t)，得到OQ 所在直线方程，求出Q 的坐标，由直线和圆相切得到k 2=1t 2−1，再联立直线方程和椭圆方程，由|AQ|＝|BP|可得AB 中点与PQ 中点重合，由此列式求得k 值，代入k 2=1t 2−1，求得t 值．【解答】由椭圆G:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)焦点在x 轴上，M 为椭圆的上顶点，则|MF 1|＝a ， 由∠F 1MF 2＝120∘， ∴c ＝a sin 60∘=√32a ，b ＝a cos 60∘=12a ，由△MF 1F 2的面积为S =12⋅(2c)⋅b =12⋅√3a ⋅12a =√3． 解得：a ＝2，则b ＝1， ∴ 椭圆的标准方程为：x 24+y 2=1；如图，由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，设为k ， 则l:y ＝k(x −t)，则OQ 所在直线方程为y =−1k ， 由O 到直线l 的距离d =√k 2+1=1，解得：k 2=1t 2−1，联立{y=k(x−t)y=−1kx，解得：Q(k2t1+k2, −kt1+k2)，∴{y=k(x−t)x24+y2=1，得(1+4k2)x2−8k2tx+4k2t2−4＝0，∴x1+x2=8k2t1+4k2，由题意可知，AB中点与PQ中点重合，则4k2t1+4k2=k2t1+k2+t2，即k2=12．由k2=1t2−1，得t＝±√3．∴实数t的值为±√3．【答案】当a＝0时，f(x)＝ln x+x2，x∈(0, +∞)，f′(x)=1x+2x>0，令f′(x)＝3，解得：x＝1或x=12，代入f(x)得切点坐标为(1, 1)，或(12, 14−ln2)，将切点坐标代入直线y＝3x+m，解得：m＝−2或m=−54−ln2；f′(x)=1x+2x−2a=2x2−2ax+1x，x∈[1, 3]，设g(x)＝2x2−2ax+1，假设函数f(x)在[1, 3]上不存在单调递增区间，必有g(x)≤0，于是{g(1)=3−2a≤0g(3)=19−6a≤0，解得：a≥196，故要使函数f(x)在[1, 3]上存在单调递增区间，则a的范围是(−∞, 196)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】（1）将a＝0代入f(x)，求出f(x)的导数，得到f′(x)＝3，解得x的值，求出切点坐标，代入求出m的值即可；（2）假设函数f(x)在[1, 3]上不存在单调递增区间，必有g(x)≤0，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】当a＝0时，f(x)＝ln x+x2，x∈(0, +∞)，f′(x)=1x+2x>0，令f′(x)＝3，解得：x＝1或x=12，代入f(x)得切点坐标为(1, 1)，或(12, 14−ln2)，将切点坐标代入直线y＝3x+m，解得：m＝−2或m=−54−ln2；f′(x)=1x+2x−2a=2x2−2ax+1x，x∈[1, 3]，设g(x)＝2x2−2ax+1，假设函数f(x)在[1, 3]上不存在单调递增区间，必有g(x)≤0，于是{g(1)=3−2a≤0g(3)=19−6a≤0，解得：a≥196，故要使函数f(x)在[1, 3]上存在单调递增区间，则a的范围是(−∞, 196)．[选修4-4：几何证明选讲]【答案】因为四边形ABCD内接于圆，有∠B＝∠CDE，又EF // CD，所以∠CDE＝∠FEA．因此，∠B＝∠FEA．而∠F为公共角，所以△FAE∽△FEB，于是，FAFE=FEFB，即EF2＝FA⋅FB．由割线定理，ED⋅EA＝EC⋅EB，即ED⋅2ED＝EC⋅3EC所以EC2ED2=23，即ECED=√63．因为∠B＝∠CDE，∠CED时公共角，有△ECD∽△EAB．于是，DCAB=ECEA=EC2ED=√66．【考点】与圆有关的比例线段【解析】（1）求证出△FAE∽△FEB，从而有FAFE=FEFB，从而得出EF2＝FA⋅FB；（2）根据割线定理得出ECED=√63，证出△ECD∽△EAB，根据三角形内线段的对应关系求出DCAB的值．【解答】因为四边形ABCD 内接于圆，有∠B ＝∠CDE ， 又EF // CD ，所以∠CDE ＝∠FEA ． 因此，∠B ＝∠FEA ． 而∠F 为公共角，所以△FAE ∽△FEB ， 于是，FA FE=FE FB，即EF 2＝FA ⋅FB ．由割线定理，ED ⋅EA ＝EC ⋅EB ，即ED ⋅2ED ＝EC ⋅3EC 所以EC 2ED2=23，即ECED=√63． 因为∠B ＝∠CDE ，∠CED 时公共角，有△ECD ∽△EAB ． 于是，DCAB =ECEA =EC2ED =√66． [选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 【答案】（1）由半圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈[0, π2]，即ρ2＝4ρcos θ， 可得C的普通方程为(x −2)2+y 2＝4(0≤y ≤2)．可得C 的参数方程为 {x =2(1+cos t)y =2sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．（2）如图示：连接圆心AB ，则两圆切与P ，设P(x, y)， 在RT △ABC 中，AB =√9+3=2√3， ∴√3=2√3，解得y ＝1， ∴ AD =√3，则x ＝2+√3， ∴ P(2+√3, 1)． 【考点】圆的极坐标方程 【解析】（1）利用{ρ2=x 2+y 2x =ρcos θ即可得出直角坐标方程，利用cos 2t +sin 2t ＝1进而得出参数方程；（2）结合图象和圆的位置关系求出切点的坐标即可． 【解答】（1）由半圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈[0, π2]，即ρ2＝4ρcos θ， 可得C 的普通方程为(x −2)2+y 2＝4(0≤y ≤2)．可得C 的参数方程为 {x =2(1+cos t)y =2sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．（2）如图示：连接圆心AB ，则两圆切与P ，设P(x, y)， 在RT △ABC 中，AB =√9+3=2√3， ∴√3=2√3，解得y ＝1， ∴ AD =√3，则x ＝2+√3， ∴ P(2+√3, 1)． [4-5：不等式选讲]【答案】∵ 函数f(x)＝2|x +1|+|x −2|，当x <−1时，f(x)＝−2(x +1)−(x −2)＝−3x ∈(3, +∞)； 当−1≤x <2时，f(x)＝2(x +1)−(x −2)＝x +4∈[3, 6)； 当x ≥2时，f(x)＝2(x +1)+(x −2)＝3x ∈[6, +∞)； 综上，f(x)的最小值为m ＝3；a ，b ，c 均为正实数，且满足a +b +c ＝m ＝3， 又因为b 2a +c 2b+a 2c +(a +b +c)＝(b 2a +a)+(c 2b +b)+(a 2c +c)≥2(√b 2a ⋅a +√c 2b⋅b +√a 2c⋅c)＝2(a +b +c)，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，取“＝”， 所以，b 2a +c 2b +a 2c≥a +b +c ，即b 2a +c 2b +a 2c≥3．【考点】分段函数的应用基本不等式及其应用【解析】（1）讨论x的取值，脱去函数f(x)的绝对值，求出f(x)的最小值m；（2）根据a+b+c＝m＝3，利用基本不等式求出b 2a +c2b+a2c+(a+b+c)的最小值，即可证明结论成立．【解答】∵函数f(x)＝2|x+1|+|x−2|，当x<−1时，f(x)＝−2(x+1)−(x−2)＝−3x∈(3, +∞)；当−1≤x<2时，f(x)＝2(x+1)−(x−2)＝x+4∈[3, 6)；当x≥2时，f(x)＝2(x+1)+(x−2)＝3x∈[6, +∞)；综上，f(x)的最小值为m＝3；a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝m＝3，又因为b 2a +c2b+a2c+(a+b+c)＝(b2a+a)+(c2b+b)+(a2c+c)≥2(√b2a ⋅a+√c2b⋅b+√a2c⋅c)＝2(a+b+c)，当且仅当a＝b＝c＝1时，取“＝”，所以，b 2a +c2b+a2c≥a+b+c，即b 2a +c2b+a2c≥3．第21页共22页◎第22页共22页。
2016年普通高等学校招生全国统一考试I卷文科数学(含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)文 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=( ) A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=( ) A.-3B.-2C.2D.33.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13 B.12C.23D.564.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b=( )A.√2B.√3C.2D.35.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12C.23D.346.将函数y=2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为( ) A.y=2sin (2x +π4)B.y=2sin (2x +π3)C.y=2sin (2x -π4)D.y=2sin (2x -π3)7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π8.若a>b>0,0<c<1,则( ) A.log a c<log b cB.log c a<log c bC.a c <b cD.c a >c b9.函数y=2x 2-e |x|在[-2,2]的图象大致为( )10.执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y 的值满足( )A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x11.平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB 1A 1=n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.√32B.√22C.√33D.1312.若函数f(x)=x-13sin 2x+asin x 在(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1]B.[-1,13]C.[-13,13]D.[-1,-13]第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= .14.已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ-π4)= .15.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2√3,则圆C的面积为.16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=13,a n b n+1+b n+1=nb n.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求{b n}的前n项和.18.(本小题满分12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D 在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.(Ⅰ)证明:G是AB的中点;(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.19.(本小题满分12分)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)若n=19,求y与x的函数解析式;(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.;(Ⅰ)求|OH||ON|(Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (Ⅰ)证明:直线AB 与☉O 相切;(Ⅱ)点C,D 在☉O 上,且A,B,C,D 四点共圆,证明:AB ∥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acost ,y =1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ. (Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (Ⅰ)画出y=f(x)的图象; (Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.B ∵A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},∴A∩B={3,5},故选B.2.A ∵(1+2i)(a+i)=(a -2)+(2a+1)i, ∴a -2=2a+1,解得a=-3,故选A.3.C 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P=46=23,故选C.4.D 由余弦定理得5=22+b 2-2×2bcos A,∵cos A=23,∴3b 2-8b-3=0,∴b=3(b =-13舍去).故选5.B 如图,|OB|为椭圆中心到l 的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a·b2,所以e=c a =12.故选B.6.D 该函数的周期为π,将其图象向右平移π4个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin [2(x -π4)+π6]=2sin (2x -π3),故选D.7.A 由三视图知该几何体为球去掉了18所剩的几何体(如图),设球的半径为R,则78×43πR 3=28π3,故R=2,从而它的表面积S=78×4πR 2+34×πR 2=17π.故选A.8.B ∵0<c<1,∴当a>b>1时,log a c>log b c,A 项错误; ∵0<c<1,∴y=log c x 在(0,+∞)上单调递减,又a>b>0, ∴log c a<log c b,B 项正确;∵0<c<1,∴函数y=x c在(0,+∞)上单调递增, 又∵a>b>0,∴a c>b c,C 项错误;∵0<c<1,∴y=c x 在(0,+∞)上单调递减, 又∵a>b>0,∴c a<c b ,D 项错误.故选B.9.D 当x=2时,y=8-e 2∈(0,1),排除A,B;易知函数y=2x 2-e |x|为偶函数,当x∈[0,2]时,y=2x 2-e x ,求导得y'=4x-e x,当x=0时,y'<0,当x=2时,y'>0,所以存在x 0∈(0,2),使得y'=0,故选D.10.C 执行程序框图:当n=1时,x=0,y=1,此时02+12≥36不成立;当n=2时,x=12,y=2,此时(12)2+22≥36不成立;当n=3时,x=32,y=6,此时(32)2+62≥36成立,结束循环,输出x 的值为32,y 的值为6,满足y=4x,故选C.11.A 设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a.将正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1补成棱长为2a 的正方体,如图所示.正六边形EFGPQR 所在的平面即为平面α.点A 为这个大正方体的中心,直线GR 为m,直线EP 为n.显然m 与n 所成的角为60°.所以m,n 所成角的正弦值为√32.故选A.12.C f '(x)=1-23cos 2x+acos x=1-23(2cos 2x-1)+acos x=-43cos 2x+acos x+53, f(x)在R 上单调递增,则f '(x)≥0在R 上恒成立,令cos x=t,t∈[-1,1],则-43t 2+at+53≥0在[-1,1]上恒成立,即4t 2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,令g(t)=4t 2-3at-5,则{g (1)=4-3a -5≤0,g (-1)=4+3a -5≤0,解得-13≤a≤13,故选C.二、填空题 13.答案 -23解析 因为a ⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-23.14.答案-43 解析 解法一:∵sin (θ+π4)=√22×(sin θ+cos θ)=35, ∴sin θ+cos θ=3√25①, ∴2sin θcos θ=-725. ∵θ是第四象限角,∴sin θ<0,cos θ>0,∴sin θ-cos θ=-√1-2sinθcosθ=-4√25②, 由①②得sin θ=-√210,cos θ=7√210,∴tan θ=-17, ∴tan (θ-π4)=tanθ-11+tanθ=-43.解法二:∵(θ+π4)+(π4-θ)=π2,∴sin (θ+π4)=cos (π4-θ)=35,又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k ∈Z, ∴cos (θ+π4)=45,∴sin (π4-θ)=45, ∴tan (π4-θ)=sin(π4-θ)cos(π4-θ)=43, ∴tan (θ-π4)=-tan (π4-θ)=-43. 15.答案 4π解析 把圆C 的方程化为x 2+(y-a)2=2+a 2,则圆心为(0,a),半径r=√a 2+2.圆心到直线x-y+2a=0的距离d=√2.由r 2=d 2+(|AB |2)2,得a 2+2=a 22+3,解得a 2=2,则r 2=4,所以圆的面积S=πr 2=4π. 16.答案 216 000解析 设生产产品A x 件,生产产品B y 件,利润之和为z 元,则z=2 100x+900y.根据题意得{ 1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,即{ 3x +y ≤300,10x +3y ≤900,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,作出可行域(如图).由{10x +3y =900,5x +3y =600得{x =60,y =100. 当直线2 100x+900y-z=0过点A(60,100)时,z 取得最大值,z max =2 100×60+900×100=216 000. 故所求的最大值为216 000元.三、解答题17.解析 (Ⅰ)由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,得a 1=2,(3分) 所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n =3n-1.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)和a n b n+1+b n+1=nb n 得b n+1=bn 3,(7分) 因此{b n }是首项为1,公比为13的等比数列.(9分)记{b n }的前n 项和为S n ,则S n =1-(13)n1-13=32-12×3n -1.(12分)18.解析 (Ⅰ)证明:因为P 在平面ABC 内的正投影为D,所以AB ⊥PD.因为D 在平面PAB 内的正投影为E,所以AB ⊥DE.(2分)又PD∩DE=D,所以AB ⊥平面PED,故AB ⊥PG.又由已知可得,PA=PB,从而G 是AB 的中点.(4分)(Ⅱ)在平面PAB 内,过点E 作PB 的平行线交PA 于点F,F 即为E 在平面PAC 内的正投影.(5分)理由如下:由已知可得PB ⊥PA,PB ⊥PC,又EF ∥PB,所以EF ⊥PA,EF ⊥PC,又PA∩PC=P,因此EF ⊥平面PAC,即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.(7分)连结CG,因为P 在平面ABC 内的正投影为D,所以D 是正三角形ABC 的中心,由(Ⅰ)知,G 是AB的中点,所以D 在CG 上,故CD=23CG.(9分)由题设可得PC ⊥平面PAB,DE ⊥平面PAB,所以DE ∥PC,因此PE=23PG,DE=13PC. 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2√2.在等腰直角三角形EFP 中,可得EF=PF=2,(11分)所以四面体PDEF 的体积V=13×12×2×2×2=43.(12分)19.解析 (Ⅰ)当x≤19时,y=3 800;当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700,所以y 与x 的函数解析式为y={3 800, x ≤19,500x -5 700,x >19(x ∈N).(4分) (Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n 的最小值为19.(5分)(Ⅲ)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元,20台的费用为4 300元,10台的费用为4 800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元).(7分)若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元,10台的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).(10分)比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.(12分)20.解析 (Ⅰ)由已知得M(0,t),P (t 22p ,t).(1分)又N 为M 关于点P 的对称点,故N (t 2p ,t),ON 的方程为y=p t x,代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x=0,解得x1=0,x2=2t 2p.因此H(2t 2p,2t).(4分)所以N为OH的中点,即|OH||ON|=2.(6分)(Ⅱ)直线MH与C除H以外没有其他公共点.(7分) 理由如下:直线MH的方程为y-t=p2t x,即x=2tp(y-t).(9分)代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.(12分)21.解析(Ⅰ)f '(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).(i)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.(2分)(ii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a).①若a=-e2,则f '(x)=(x-1)(e x-e),所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.②若a>-e2,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时, f '(x)>0;当x∈(ln(-2a),1)时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.(4分)③若a<-e2,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时, f '(x)>0;当x∈(1,ln(-2a))时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))单调递减.(6分)(Ⅱ)(i)设a>0,则由(Ⅰ)知, f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a2(b-2)+a(b-1)2=a(b2-32b)>0,所以f(x)有两个零点.(8分)(ii)设a=0,则f(x)=(x-2)e x,所以f(x)只有一个零点.(9分)(iii)设a<0,若a≥-e 2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,+∞)单调递增,又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;(10分)若a<-e 2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增,又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.(11分)综上,a 的取值范围为(0,+∞).(12分)22.证明 (Ⅰ)设E 是AB 的中点,连结OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE ⊥AB,∠AOE=60°.(2分)在Rt △AOE 中,OE=12AO,即O 到直线AB 的距离等于☉O 半径,所以直线AB 与☉O 相切.(5分)(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O 不是A,B,C,D 四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D 四点所在圆的圆心,作直线OO'.(7分)由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又O'在线段AB 的垂直平分线上,所以OO'⊥AB. 同理可证,OO'⊥CD.所以AB ∥CD.(10分)23.解析 (Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程:x 2+(y-1)2=a 2.C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.(2分)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(4分)(Ⅱ)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组{ρ2-2ρsinθ+1-a 2=0,ρ=4cosθ.(6分) 若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,(8分)由已知tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上.所以a=1.(10分)24.解析(Ⅰ)f(x)={x-4,x≤-1,3x-2,-1<x≤32,-x+4,x>32,(4分)y=f(x)的图象如图所示.(6分)(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,(8分)故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}; f(x)<-1的解集为{x|x<13或x>5}.(9分)所以|f(x)|>1的解集为{x|x<13或1<x<3或x>5}.(10分)。
贵州省贵阳市修文中学2016届上学期高三文科数学第一周周测卷 Word版含答案[ 高考]
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修文中学2016届高三周测卷（一）数学(文科) 2015.8.29一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 已知集合{11}A x x =-≤≤，{02}B x x =≤≤，则AB =A. [1,0]-B. [1,2]-C. [0,1]D. (,1][2,)-∞+∞2. 设复数1z i =+（i 是虚数单位），则2z= A. 1i - B. 1i + C. 1i --D. 1i -+3.已知1,==a b ，且⊥a b ，则||+a b 为A.B. C. 2D.4. 已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,222a b c bc =+-，4bc =，则△ABC 的面积为A. 12B. 1C. D. 25. 2x <是2320x x -+<成立的A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知双曲线222211x y a a-=-(0)a >，则a 的值为 A. 12B. 2C. 13D. 37. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是 A. 6n = B. 6n < C. 6n ≤ D. 8n ≤8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为 A.323B. 64C.D.6439. 函数()2cos()(0)f x x ωϕω=+≠对任意x 都有()()44f x f x ππ+=-，则()4f π等于A. 2或0B. 2-或2C. 0D. 2-或010. 在平面直角坐标系中，若(,)P x y 满足44021005220x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≤≥，则2x y +的最大值是A. 2B. 8C. 14D. 1611. 已知抛物线:C x y 42=的焦点为F ，直线1)y x =-与C 交于,(A B A 在x 轴上方）两点. 若AF mFB =，则m 的值为A.B.32C. 2D. 312. 对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M 函数：(i) 对任意的[0,1]x ∈，恒有()0f x ≥；(ii) 当12120,0,1x x x x +≥≥≤时，总有1212()()()f x f x f x x ++≥成立.则下列三个函数中不．是M 函数的个数是 ① 2()f x x = ② 2()1f x x =+③ ()21xf x =- A. 0 B. 1 C. 2D. 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 函数1sin 2y x x =+([0,]2x π∈)的单调递增区间是__________. 14. 将高一9班参加社会实践编号为：1，2，3,…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 .15. 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且(1)0f = ，则不等式(2)0f x -≥的解集是 .16. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为3，则该半球的体积为 .三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.已知向量)21,cos 3(,)1,(sin -=-=x x ,函数2)()(-⋅+=a b a x f ．（1）求函数)(x f 的最小正周期T ;（2）已知c b a ,,分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边, 其中Ａ为锐角,4,32==c a ,且1)(=A f ,求Ａ，b 和ABC ∆的面积Ｓ．18. (本小题满分12分)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10⑴；⑵在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率.19. 如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（1）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；（2）求点C到平面ABD的距离．20.已知A （﹣2，0），B （2，0）为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，△APB 面积的最大值为2．（I ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若直线AP 的倾斜角为，且与椭圆在点B 处的切线交于点D ，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．21.已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x +=-∈（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2） 设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；22.(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）⑴ 以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；⑵ 已知(2,0),(0,2)A B -，圆C 上任意一点),(y x M ，求ABM ∆面积的最大值.修文中学2016届高三周测卷（一） 数学(文科)参考答案及评分参考一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. C2. A3. B4. C5. A6. B7. C 8. D 9. B 10. C 11. D 12. B简答与提示：1. 【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题.【试题解析】C{11}{02}{01}A B x x x x x x =-≤≤≤≤=≤≤，故选C.2. 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算，特别是复数的除法运算，对考生的运算求解能力有一定要求.【试题解析】A由i iz -=+=1122，故选A. 3. 【命题意图】本小题主要考查平面向量的的位置关系以及平面向量的数量积运算，另外本题也对考生的分析判断能力进行考查.【试题解析】B因为⊥a b ，所以=0⋅a b ，于是由22223+=+⋅+=a b a a b b ，于是可求得+=a b B.4. 【命题意图】本小题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积的求法，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】C由222a b c bc =+-，可得60=A ，则所求面积3sin 21==A bc S ，故选C.5. 【命题意图】本小题通过二次不等式的解法来考查充分必要条件，是一道经典题. 【试题解析】A 由2320x x -+<解得21<<x ，再根据已知条件易知选A.6. 【命题意图】本小题是一道简单题，考查双曲线离心率的表达式，以及双曲线的标准方程.【试题解析】B由双曲线的离心率为1c e a a===，则a =. 故选B. 7. 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析.【试题解析】C∵1111124612++=，因此应选择6n =时满足， 而8n =时不满足条件∴6n ≤，故选C.8. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式. 【试题解析】D 由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条侧棱两两垂直，长度都为4， ∴其体积为643，故选D. 9. 【命题意图】本小题结合函数的对成性来考查三角函数的图像与性质，不但要求考生对三角函数的图像与性质有着深刻的认识，更重要的是对基本抽象函数的表达有着充分的认知.【试题解析】B由()()44f x f x ππ+=-可知函数图像关于直线4π=x 对称，则在4π=x 处取得最值，所以2)4(±=πf ，故选B.10. 【命题意图】本小题主要考查二元一次不等式组所表示的可行域的获取以及目标函数的几何意义，是线性规划的一种简单应用，对学生的数形结合思想提出一定要求. 【试题解析】C 根据线性规划的方法可求得最优解为点)6,2(，此时2x y +的值等于14，故选C. 11. 【命题意图】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】D将⎪⎩⎪⎨⎧=-=xy x y 4)1(32联立，解得31,3==B A x x ， 因为所给直线经过抛物线的焦点F ，且其准线为1-=x ，所以A 点到准线的距离为4，B 点到准线的距离为34，据抛物线定义可有FB AF 3=，结合已知条件即可确定，故选D.12. 【命题意图】本小题通过函数的运算与不等式的比较，另外也可以利用函数在定义域内的变化率、函数图像的基本形式来获得答案，本题对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】B (i)在[0,1]上，三个函数都满足；(ii)12120,0,1x x x x ≥≥+≤；对于①，0222≥=+-+=+-+21212212121)()()]()([)(x x x x x x x f x f x x f ，满足；对于②，22212121212()[()()][()1][(1)(1)]f x x f x f x x x x x +-+=++-+++02<-=121x x ，不满足.对于③，)121()]()([)(21212121-+--=+-++x x x x x f x f x x f 21)-(20222≥--=+--=)12)(12(12212121x x x x x x ，满足；故选B.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. [0,]6π14. 1715. (,1][3,)-∞+∞16.3简答与提示： 13. 【命题意图】本小题主要考查辅助角公式的应用以及三角函数单调区间的求取，属于基本试题.【试题解析】∵1sin sin()23y x x x π=+=+，∴函数的增区间为5[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈，又[0,]2x π∈，∴增区间为[0,]6π. 14. 【命题意图】本小题主要考查系统抽样的基本概念，属于概念题，也是考生必须准备的简单题.【试题解析】根据系统抽样的概念，所取的4个样本的编号应成等差数列，故所求编号为17.15. 【命题意图】本小题主要考偶函数的性质以及函数图像的平移变换等，同时对考生的数形结合思想. 【试题解析】由已知21x -≥或21x -≤-，∴解集是(,1][3,)-∞+∞. 16. 【命题意图】本小题通过对球的内接几何体的特征考查三角函数的计算，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题.【试题解析】设所给半球的半径为R ，则棱锥的高R h =，底面正方形中有R DA CD BC AB 2====，所以其体积324323=R ，则3R =，于是所求半球的体积为ππ324323==R V .三、解答题17. .解: （Ⅰ）…………………………………………2分……………4分因为,所以…………………………………………6分（Ⅱ）因为，所以， ……………8分则，所以，即则…………………………………………10分从而………………………12分18. 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括方差的求法、基本事件概率的求取等内容. 本题主要考查学生的数据处理能力. 【试题解析】解：（1）两个班数据的平均值都为7，（2）甲班1到5号记作,,,,a b c d e ，乙班1到5号记作1,2,3,4,5，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为Ω={1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5}a a a a a b b b b b c c c c c d d d d d e e e e e Ω由25个基本事件组成，这25个是等可能的；将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作A ，则{1,1,1,1,2,4,5,1,4,5}A a b c d d d d e e e =，A 由10个基本事件组成，所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为102255=. 12分 19. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、空间几何体表面积的求法等. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【考点】：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）取CD的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，可证AD∥EF，又EF⊆平面EFB AD⊄平面EFB，可证AD∥平面EFB．（2）设点C到平面ABD的距离为h，由于可证AD⊥BD，可得，又三棱锥B﹣ACD的高BC=2，S△ACD=2，由=即可解得点C到平面ABD的距离．【解析】：（1）取CD的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，∵E，F分别为AC，DC的中点，∴EF为△ACD的中位线∴AD∥EF，EF⊆平面EFB，AD⊄平面EFB∴AD∥平面EFB．（2）设点C到平面ABD的距离为h，∵平面ADC⊥平面ABC，且BC⊥AC，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AD，而AD⊥DC•∴AD⊥平面BCD，即AD⊥BD•∴•∴三棱锥B﹣ACD的高BC=2，S△ACD=2，∴=∴可解得：h=2．【点评】：本题主要考查了直线与平面平行的判定，考查了点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．20.【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中最值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），F（c，0）．由题意知，解得即可得出．（II）以BD为直径的圆与直线PF相切．由题意可知，c=1，F（1，0），直线AP的方程为y=﹣x﹣2．则点D坐标为（2，﹣4），BD中点E的坐标为（2，﹣2），圆的半径r=2．直线AP的方程与椭圆的方程联立可得7x2+16x+4=0．可得点P的坐标．可得直线PF的方程为：4x﹣3y﹣4=0．利用点到直线的距离公式可得点E到直线PF的距离d．只要证明d=r．【解析】：解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），F（c，0）．由题意知，解得．故椭圆C的方程为．（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可知，c=1，F （1，0），直线AP 的方程为y=﹣x ﹣2． 则点D 坐标为（2，﹣4），BD 中点E 的坐标为（2，﹣2），圆的半径r=2．由得7x 2+16x+4=0．设点P 的坐标为（x 0，y 0），则．∵点F 坐标为（1，0），直线PF的斜率为，直线PF 的方程为：4x ﹣3y ﹣4=0． 点E 到直线PF 的距离d==2．∴d=r ．故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．【点评】： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、直线与圆相切的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21. 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， 当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x-'=-= ， 22. 23. 24. 25.所以()f x 在1x =处取得极小值1.（Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=+-， ①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>， 所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>，所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增.22【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：（1）圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）所以普通方程为4)4()3(22=++-y x .2分∴圆C 的极坐标方程：021sin 8cos 62=++-θρθρρ. 5分（2）点),(y x M 到直线AB 02=+-y x 的距离为2|9sin 2cos 2|+-=θθd7分ABM ∆的面积|9)4sin(22||9sin 2cos 2|||21+-=+-=⨯⨯=θπθθd AB S所以ABM ∆面积的最大值为229+ 10分。
2016年高考新课标1卷文科数学试题(解析版)
2016年高考数学新课标Ⅰ〔文〕试题及答案解析〔使用地区山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东〕一、选择题，本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【2016 新课标Ⅰ〔文〕】1．设集合A={1,3,5,7}，B={x |2≤x ≤5}，则A ∩B=( )A ．{1,3}B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7}【答案】B【解析】取A ，B 中共有的元素是{3,5}，故选B【2016 新课标Ⅰ〔文〕】2．设(1+2i )(a+i )的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=( )A ．-3B ．-2C ．2D ． 3【答案】A【解析】(1+2i )(a+i )= a -2+(1+2a )i ，依题a -2=1+2a ，解得a=-3，故选A【2016 新课标Ⅰ〔文〕】3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．56【答案】C【解析】设红、黄、白、紫4种颜色的花分别用1,2,3,4来表示，则所有基本领件有 (12,34)，(13,24)，(14,23)，(23,14)，(24,13)，(34,12)，共6个，其中1和4不在同一花坛的事件有4个， 其概率为P=4263=，故选C 【2016 新课标Ⅰ〔文〕】4．ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知22,cos 3a c A ===，则b=( )A ．B C ．2 D ．3【答案】D 【解析】由余弦定理得：5=4+b 2-4b ×23， 则3b 2-8b -3=0，解得b =3，故选D【2016 新课标Ⅰ〔文〕】5．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，假设椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．34【答案】B【解析】由直角三角形的面积关系得bc=124⨯12c e a ==，故选B【2016 新课标Ⅰ〔文〕】6．假设将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y =2sin(2x +4π) B ．y =2sin(2x +3π) C ．y =2sin(2x –4π) D ．y =2sin(2x –3π) 【答案】D【解析】对应的函数为y =2sin[ 2(x -14π⨯)+6π]，即y =2sin(2x –3π)，故选D【2016 新课标Ⅰ〔文〕】7283π， 则它的外表积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π【答案】A【解析】依图可知该几何体是球构成截去了八分之一，其体积34728383V R ππ=⨯=，解得R=2，外表积227342+21784S πππ=⨯⨯⨯=，故选B 【2016 新课标Ⅰ〔文〕】8．假设a >b >0，0<c <1，则( )A ．log a c <log b cB ．log c a <logc b C ．a c <b c D ．c a >c b【答案】B【解析】取特值a =1，b ，c ，可排除A ，C ，D ，故选B【2016 新课标Ⅰ〔文〕】9．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为( )【解析】当0≤x ≤2时，y'=4x –e x ，函数先减后增，且y'|x >0，最小值在(0,0.5)内.故选D【2016 新课标Ⅰ〔文〕】10则输出x ，y 的值满足( )CA ．y =2xB ．y =3xC ．y =4xD ．y =5x 【答案】C 【解析】运行程序，循环节内的n ，x ，y 依次为 (1,0,1)，(2,0.5,2)，(3,1.5,6)， 输出x ，y= 6， 故选C 【2016 新课标Ⅰ〔文〕】11．平面α过正方体ABCD -A 1B 1 α//平面CB 1D 1，α∩平面ABCD=m ，α∩平面ABB 1A 1则m ，n 所成角的正弦值为( )A B ．2 C D ．13【答案】A【解析】平面A 1B 1C 1D 1∩平面CB 1D 1= B 1D 1与m 平行，平面CDD 1C 1∩平面CB 1D 1= CD 1与n 平行，所以m ，n 所成角就是B 1D 1与CD 1所成角，而ΔCB 1D 1是等边三角形，则所成角是60°，故选A【2016 新课标Ⅰ〔文〕】12．假设函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(-∞,+∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[-1,1]B ．[-1,13] C ．[-,13] D ．[-1,-13] 【答案】C 【解析】2()sin cos sin 3f x x -x x a x =+，222'()1(cos sin )cos 3f x -x x a x ∴=-+， 依题f'(x )≥0恒成立，即a cos x ≥2cos213x -恒成立，而(a cos x )min =-|a |，21111cos21||[]33333x a a -≤-∴-≥-∈-，，解得，，故选C二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在横线上．【2016 新课标Ⅰ〔文〕】13．设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = . 【答案】23- 【解析】依题x +2(x +1)=0，解得x=23- 【2016 新课标Ⅰ〔文〕】14．已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ-π4)= . 【答案】43- 【解析】依题θ+π4是第一象限角，cos(θ+π4)=45，tan(θ-π4)=- tan(π4-θ) =- tan[π2-(θ+π4)]=- sin[π2-(θ+π4)]/cos[π2-(θ+π4)]=- cos(θ+π4)/ sin(θ+π4)=43- 【2016 新课标Ⅰ〔文〕】15．设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，假设|AB |=C 的面积为 .【答案】4π【解析】圆方程可化为x 2+ (y -a )2=a 2+2，圆心C 到直线距离dd 2+3=a 2+2， 解得a 2=2，所以圆半径为2，则圆面积为4π【2016 新课标Ⅰ〔文〕】16．某高科技企业生产产品A 和产品BA 需要甲材料，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料，乙材料，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.【答案】216000【解析】设生产A 、B 两种产品各x 件、y 件，利润之和是z ＝2100x +900y ，约束条件是 1.50.51500.390536000,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩，即3300103900536000,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩ 作出可行域四边形OABC ，如图.画出直线l 0：7x +3y =0，平移l 0到l ， 当l 经过点B 时z 最大，联立10x+3y=900与5x+3y=600 解得交点B (60,100)，所以 z max =126000+90000=216000.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.【2016 新课标Ⅰ〔文〕】17.〔此题总分值12分〕已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1=1，b 2=31，a n b n +1+b n +1=nb n . (Ⅰ)求{a n }的通项公式； (Ⅱ)求{b n }的前n 项和.【解析】(Ⅰ)依题a 1b 2+b 2=b 1，b 1=1，b 2=31，解得a 1=2 …2分 通项公式为 a n =2+3(n -1)=3n -1 …6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知3nb n +1=nb n ，b n +1=31b n ，所以{b n }是公比为31的等比数列.…9分 所以{b n }的前n 项和S n =111()313122313nn --=-⨯- …12分 【2016 新课标Ⅰ〔文〕】18.〔此题总分值12分〕如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A =6影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G . (Ⅰ)证明G 是AB 的中点；(Ⅱ)在答题卡第〔18〕题图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积． 【解析】(Ⅰ)证明：PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB ． 又DE ⊥平面P AB ，∴DE ⊥AB ．∴AB ⊥平面PDE ． 又PG ⊂平面PDE ，∴AB ⊥PG ．依题P A=PB ，∴G 是AB 的中点．…6分(Ⅱ)在平面P AB 内作EF ⊥P A 〔或EF // PB 〕垂足为F ，则F 是点E 在平面P AC 内的正投影. …7分理由如下：∵PC ⊥P A ，PC ⊥PB ，∴ PC ⊥平面P AB ． ∴EF ⊥PC作EF ⊥P A ，∴EF ⊥平面P AC ．即F 是点E 在平面P AC 内的正投影.…9分连接CG ，依题D 是正ΔABC 的重心，∴D 在中线CG 上，且CD =2DG ．易知DE// PC，PC=PB=P A= 6，∴DE=2，PE=223222 33PG=⨯=．则在等腰直角ΔPEF中，PF=EF=2，∴ΔPEF的面积S=2．所以四面体PDEF的体积1433V S DE=⨯=. …12分【2016 新课标Ⅰ〔文〕】19.〔本小题总分值12分〕某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用〔单位：元〕，n表示购机的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)假设n=19，求y与x的函数解析式；(Ⅱ)假设要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于，求n的最小值；(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【解析】(Ⅰ)当x≤19时，y=3800；当x>19时，y=3800+500(x-19)=500x-5700.所以y与x的函数解析式为3800,19(*)5005700,19xy x Nx x≤⎧=∈⎨->⎩…3分(Ⅱ)由柱状图知，需更换的易损零件数不大于18为0.46，不大于19为0.7，所以n的最小值为19. …6分(Ⅲ)假设每台机器都购买19个易损零件，则有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，所以100台机器购买易损零件费用的平均数为1100(3800×70+4300×20+4800×10)=4000. …9分假设每台机器都购买20个易损零件，则有90台的费用为4000，10台的费用为4500，所以100台机器购买易损零件费用的平均数为1100(4000×90+4500×10)=4050. …11分比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.…12分【2016 新课标Ⅰ〔文〕】20.〔本小题总分值12分〕在直角坐标系xoy中，直线l：y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.(Ⅰ)求OH ON； (Ⅱ)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 【解析】(Ⅰ)依题M (0, t )，P (22t p , t ). 所以N (2t p , t )，ON 的方程为p y x t=. 联立y 2=2px ，消去x 整理得y 2=2ty . 解得y 1=0，y 2=2t . …4分所以H (22t p ,2t ). 所以N 是OH 的中点，所以OH ON=2. …6分 (Ⅱ)直线MH 的方程为2p y t x t-=，联立y 2=2px ，消去x 整理得y 2-4ty +4t 2=0. 解得y 1=y 2=2t . 即直线MH 与C 只有一个交点H .所以除H 以外，直线MH 与C 没有其它公共点. …12分【2016 新课标Ⅰ〔文〕】21.〔本小题总分值12分〕已知函数f (x )=(x -2)e x +a (x -1)2.(Ⅰ)讨论f (x )的单调性； (Ⅱ)假设有两个零点，求a 的取值范围.【解析】(Ⅰ) f '(x )=(x -1)e x +a (2x -2)=(x -1)(e x +2a ). x ∈R …2分(1)当a ≥0时，在(-∞,1)上，f '(x )<0，f (x )单调递减；在(1,+∞)上，f '(x )>0，f (x )单调递增. …3分(2)当a <0时，令f '(x )=0，解得x =1或x =ln(-2a ).①假设a =2e -，ln(-2a ) =1，f '(x )≥0恒成立，所以f (x )在(-∞,+ ∞)上单调递增. ②假设a >2e -，ln(-2a )<1，在(ln(-2a ),1)上，f '(x )<0，f (x )单调递减； 在(-∞, ln(-2a ))与(1,+∞)上，f '(x )>0，f (x )单调递增.③假设a <2e -，ln(-2a )>1，在(1,ln(-2a ))上，f '(x )<0，f (x )单调递减； 在(-∞,1)与(ln(-2a ),+∞)上，f '(x )>0，f (x )单调递增.…7分(Ⅱ) (1)当a =0时，f (x )=(x -2)e x 只有一个零点，不合要求. …8分(2)当a >0时，由(Ⅰ)知f (x )在(-∞,1)上单调递减；在(1,+∞)上单调递增.最小值f (1)=-e <0，又f (2)= a >0，假设取b <0且b <ln2a ，e b <2a . 从而f (b )>223(2)(1)()022a b a b a b b -+-=->，所以f (x )有两个零点. …10分 (3)当a <0时，在(-∞,1]上，f (x )<0恒成立；假设a ≥2e -，由(Ⅰ)知f (x )在(1,+∞)上单调递增，不存在两个零点.假设a <2e -，f (x )在(1,ln(-2a ))上单调递减；在(ln(-2a ),+∞)上单调递增，也不存在两个零点.综上a 的取值范围是(0,1). …12分【2016 新课标Ⅰ〔文〕】22.〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲如图，ΔOAB是等腰三角形，∠AOB=120°. 以O为圆心，12OA为半径作圆.(Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切；(Ⅱ)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.证明：(Ⅰ)设E是AB的中点，连接OE，因为OA=OB，∠AOB =120°. 所以OE⊥AB，∠AOE=60°. …3分在Rt ΔAOE 中，OE=12OA. 即圆心O到直线AB的距离等打半径，所以直线AB与⊙O相切. …5分(Ⅱ)因为OD=12OA，所以O不是A,B,C,D四点共圆的圆心，故设其圆心为O'，则O'在AB的垂直平分线上.又O在AB的垂直平分线上，作直线O O'，所以O O'⊥AB.…8分同理可证O O'⊥CD.所以AB∥CD. …10分【2016 新课标Ⅰ〔文〕】23.〔本小题总分值10分〕选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为cos1sinx a ty a t=⎧⎨=+⎩〔t为参数，a>0〕.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.(Ⅰ)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，假设曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.【解析】(Ⅰ)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.所以C1是以(0,1)为圆心a为半径的圆. …3分将x=cos，y=sin代入可得C1的极坐标方程为2-2 sin+1-a2=0. …5分(Ⅱ)联立2-2 sin+1-a2=0与ρ=4cosθ消去ρ得16cos2-8sin cos+1-a2=0，由tanθ=2可得16cos2-8sin cos=0. 从而1-a2=0，解得a=1. …8分当a=1时，极点也是C1与C2的公共点，且在C3上，综上a=1. …10分【2016 新课标Ⅰ〔文〕】24.〔本小题总分值10分〕，选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)=| x+1| -|2x-3|.(Ⅰ)在答题卡第24题图中画出y=f(x)的图像；(Ⅱ)求不等式| f(x)|>1的解集.【解析】(Ⅰ)4,13 ()32,1234,2x xf x x xx x⎧⎪-<-⎪⎪=--≤<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩y =f (x )的图像如下图. …5分(Ⅱ)由f (x )的图像和表达式知，当f (x )=1时，解得x =1或x =3.当f (x )=-1时，解得x =13或x =5. …8分 结合f (x )的图像可得| f (x )|>1的解集为{x |x <13或1< x <3或x >5}. …10分2016年全国高考新课标1卷文科数学试题第Ⅰ卷一、选择题，本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={1,3,5,7}，B={x |2≤x ≤5}，则A ∩B=( )A ．{1,3}B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7}2．设(1+2i )(a+i )的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=( )A ．-3B ．-2C ．2D ． 33．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．564．ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知22,cos 3a c A ===， 则b=( )A ．BC ．2D ．35．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，假设椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．346．假设将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为 ( )A ．y =2sin(2x +4π)B ．y =2sin(2x +3π)C ．y =2sin(2x –4π)D ．y =2sin(2x –3π) 7．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个283π，则它的外表积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π8．假设a >b >0，0<c <1，则( )A ．log a c <log b cB ．log c a <log c bC ．a c <b cD ．c a >c b9．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为( )10．执行右面的程序框图，如果输入的x =0，y =1，n =1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y =2xB ．y =3xC ．y =4xD ．y =5x11．平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，α∩平面ABCD=m ，α∩平面ABB 1A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A．2 B．2 C．3 D ．13 12．假设函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(-∞,+∞)单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．[-1,1] B ．[-1,13] C ．[-13,13] D ．[-1,-13]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在横线上．13．设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = .14．已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ-π4)= . 15．设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，假设|AB|=则圆C 的面积为 .16．某高科技企业生产产品A 和产品BA 需要甲材料，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料，乙材料，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.17.〔此题总分值12分〕已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1=1，b 2=31，a n b n +1+b n +1=nb n . (Ⅰ)求{a n }的通项公式； (Ⅱ)求{b n }的前n 项和.B E G P DC A 18.〔此题总分值12分〕如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A =6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G .(Ⅰ)证明G 是AB 的中点；(Ⅱ)在答题卡第〔18〕题图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积．19.〔本小题总分值12分〕某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用〔单位：元〕，n 表示购机的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)假设n =19，求y 与x 的函数解析式；(Ⅱ)假设要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于，求n 的最小值；(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20.〔本小题总分值12分〕在直角坐标系xoy 中，直线l ：y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2=2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .(Ⅰ)求OH ON； (Ⅱ)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.21.〔本小题总分值12分〕已知函数f(x)=(x -2)e x+a(x -1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)假设有两个零点，求a的取值范围.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22.〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲如图，ΔOAB是等腰三角形，∠AOB=120°. 以O为圆心，12OA为半径作圆.(Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切；(Ⅱ)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.EG PFDC A23.〔本小题总分值10分〕选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩〔t 为参数，a >0〕.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.(Ⅰ)说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，假设曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .24.〔本小题总分值10分〕，选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )=| x +1| -|2x -3|.(Ⅰ)在答题卡第24题图中画出y =f (x )的图像；(Ⅱ)求不等式| f (x )|>1的解集.2016年全国高考新课标1卷文科数学试题参考答案一、选择题，本大题共12小题，每题5分，共60分．1B 2A 3C 4D 5B 6D 7A 8B 9D 10C 11A 12C二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．23- 14．43- 15．4π 16．216000 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.17．【解析】(Ⅰ)依题a 1b 2+b 2=b 1，b 1=1，b 2=31，解得a 1=2 …2分 通项公式为 a n =2+3(n -1)=3n -1 …6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知3nb n +1=nb n ，b n +1=31b n ，所以{b n }是公比为31的等比数列.…9分 所以{b n }的前n 项和S n =111()313122313n n --=-⨯- …12分18．【解析】(Ⅰ)证明：PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB ．又DE ⊥平面P AB ，∴DE ⊥AB ．∴AB ⊥平面PDE ． …3分又PG ⊂平面PDE ，∴AB ⊥PG ．依题P A=PB ，∴G 是AB 的中点．…6分(Ⅱ)在平面P AB 内作EF ⊥P A 〔或EF // PB 〕垂足为F ，则F 是点E 在平面P AC 内的正投影. …7分理由如下：∵PC ⊥P A ，PC ⊥PB ，∴ PC ⊥平面P AB ． ∴EF ⊥PC作EF ⊥P A ，∴EF ⊥平面P AC ．即F 是点E 在平面P AC 内的正投影.…9分连接CG ，依题D 是正ΔABC 的重心，∴D 在中线CG 上，且CD =2DG ．易知DE // PC ，PC=PB=P A = 6，∴DE =2，PE =2233PG =⨯=． 则在等腰直角ΔPEF 中，PF=EF=2，∴ΔPEF 的面积S=2．所以四面体PDEF 的体积1433V S DE =⨯=. …12分 19．【解析】(Ⅰ)当x ≤19时，y =3800；当x >19时，y =3800+500(x -19)=500x -5700. 所以y 与x 的函数解析式为3800,19(*)5005700,19x y x N x x ≤⎧=∈⎨->⎩ …3分 (Ⅱ)由柱状图知，需更换的易损零件数不大于18为0.46，不大于19为0.7，所以n 的最小值为19. …6分(Ⅲ)假设每台机器都购买19个易损零件，则有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，所以100台机器购买易损零件费用的 平均数为1100(3800×70+4300×20+4800×10)=4000. …9分 假设每台机器都购买20个易损零件，则有90台的费用为4000，10台的费用为4500，所以100台机器购买易损零件费用的 平均数为1100(4000×90+4500×10)=4050. …11分 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.…12分20．【解析】(Ⅰ)依题M (0, t )，P (22t p , t ). 所以N (2t p , t )，ON 的方程为p y x t=. 联立y 2=2px ，消去x 整理得y 2=2ty . 解得y 1=0，y 2=2t . …4分所以H (22t p ,2t ). 所以N 是OH 的中点，所以OH ON=2. …6分 (Ⅱ)直线MH 的方程为2p y t x t-=，联立y 2=2px ，消去x 整理得y 2-4ty +4t 2=0. 解得y 1=y 2=2t . 即直线MH 与C 只有一个交点H .所以除H 以外，直线MH 与C 没有其它公共点. …12分21．【解析】(Ⅰ) f '(x )=(x -1)e x +a (2x -2)=(x -1)(e x +2a ). x ∈R …2分(1)当a ≥0时，在(-∞,1)上，f '(x )<0，f (x )单调递减；在(1,+∞)上，f '(x )>0，f (x )单调递增. …3分(2)当a <0时，令f '(x )=0，解得x =1或x =ln(-2a ).①假设a =2e -，ln(-2a ) =1，f '(x )≥0恒成立，所以f (x )在(-∞,+ ∞)上单调递增. ②假设a >2e -，ln(-2a )<1，在(ln(-2a ),1)上，f '(x )<0，f (x )单调递减； 在(-∞, ln(-2a ))与(1,+∞)上，f '(x )>0，f (x )单调递增.③假设a <2e -，ln(-2a )>1，在(1,ln(-2a ))上，f '(x )<0，f (x )单调递减； 在(-∞,1)与(ln(-2a ),+∞)上，f '(x )>0，f (x )单调递增.…7分(Ⅱ) (1)当a =0时，f (x )=(x -2)e x 只有一个零点，不合要求. …8分(2)当a >0时，由(Ⅰ)知f (x )在(-∞,1)上单调递减；在(1,+∞)上单调递增.最小值f (1)=-e <0，又f (2)= a >0，假设取b <0且b <ln2a ，e b <2a . 从而f (b )>223(2)(1)()022a b a b a b b -+-=->，所以f (x )有两个零点. …10分 (3)当a <0时，在(-∞,1]上，f (x )<0恒成立；假设a ≥2e -，由(Ⅰ)知f (x )在(1,+∞)上单调递增，不存在两个零点.假设a <2e -，f (x )在(1,ln(-2a ))上单调递减；在(ln(-2a ),+∞)上单调递增，也不存在两个零点.综上a 的取值范围是(0,1). …12分。
贵州省贵阳市第一中学2016届高三数学上学期第二次月考试题文(扫描版)
贵州省贵阳市第一中学2016届高三数学上学期第二次月考试题文（扫描版）贵阳第一中学2016届高考适应性月考卷（二）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{|11}A x x =-<<，{|010}B x x =<<，{|01}A B x x =<< ，故选C ． 2．由已知得32i i a b-=+，所以32a b ==-，，故选A ． 3．由正弦定理得222a b c bc =++，所以1cos 2A =-，2π3A =，故选C ．4．由题意得21344a a a =+，可得1112a d ==，，所以4=7S ，故选B ．5．1ln 2p f ab ==；ln22a b a b q f ++⎛⎫== ⎪⎝⎭；11(()())ln 22r f a f b ab =+=，因为2a b +>()ln f x x =是递增函数，2a b f f +⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以q p r >=，故选C ． 6．由11119=1++++=122334455S，故选A ． 7．由图可知35ππ+4123T =，所以πT =，=2ω，()2sin(2)f x x ϕ=+过点5π212⎛⎫⎪⎝⎭，，π3ϕ=-，故选D ．8．由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯 形，如图1周长为42×(4=8+ 之和为3，故选B ．9．易得目标函数在点(12)a -，处取得最小值，所以221a -=，12a =，故选B ． 10．②③正确，故选A ．11．画出y =f (x )和y =a (0<a <1)的图象，如图2所示，由图可知y =f (x )和y =a (0<a <1)的图象选D ．图112．设左焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，则四边形1BF AF 是平行四边形，故1||||AF BF =，所以1||||=4=2AF AF a +，所以2a =，设(0)M b ，，则4455b ≥，故1b ≥，从而221ac -≥，203c <≤，0c <E的离心率的取值范围是0⎛ ⎝⎦，故选A.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．易知AB BC k k =，所以21a b +=，由基本不等式即可求得128a b+≥． 14．由sin 2cos αα+=平方解得tan 3α=，22tan 3tan 21tan 4ααα==--． 15．当2x ≤时， 64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[4,)+∞，只需1()3log (2)a f x x x =+>的值域包含于[4+)∞，，故1a >，1()3log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数a 的取值范围是(12]，.16．如图3，作圆1C 关于x 轴的对称圆221(2)(3)1C x y '-++=：， 则||||||||PM PN PM PN '+=+，由图可知当21C M P N C ''，，，， 在同一直线上时，||||||||PM PN PM PN '+=+取得最小值，即图212134C C '--=.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为124a a a ,,成等比数列，所以2111()(3)a d a a d +=+，整理得12d a ==， 所以1(1)2n a a n d n =+-=． …………………………………………………（6分）（Ⅱ）因为3122321212121n n n b b b ba =++++++++ ①， 所以1121121212121n n n b b ba ---=++++++ ②．①-②得1(2)21n n n n ba a n --=+≥，即12(21)22(2)n n nb n +=+=+≥，当1n =时，16b =适合上式，所以12(21)22n n n b +=+=+．………………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连接AC BD ，与交于O 点，连接PO ，PB PD =∵，PO BD ⊥∴， 又ABCD ∵是菱形，BD AC ⊥∴，而AC PO O = ，∴BD ⊥平面PAC ，BD ∴⊥PC ． ……………………………（6分） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BD ⊥平面PAC ，12sin452PAC PEC S S ==︒△△3=， 1111313322P BCE B PEC PEC V V S BO --===⨯⨯⨯= △． ………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，8500.01610n ==⨯，20.0045010y ==⨯， …………（2分）0.10.0040.0100.0160.0400.030x =----=，……………………………（3分）平均分约为550.16650.30750.40850.10950.0470.6X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……（5分）（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90)有5人，分别记为a b c d e ，，，，，分数在[90，100]有2人，分别记为F ，G ．图3从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有如下情形： ()()()()()()()()()()a b a c a d a e a F a G b c b d b e b F ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，()b G ，， ()()()()()()()()()()c d c e c F c G d e d F d G e F e G F G ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有21个等可能基本事件， ………………………………………（9分）其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有(a ，F )，(a ，G )，(b ，F )，(b ，G )，(c ，F )，(c ，G )，(d ，F )，(d ，G )，(e ，F )，(e ，G )，共10个， ……………（11分）所以抽取的2名同学来自不同组的概率1021P =． …………………（12分） 【分析】（Ⅰ）本题考查频率分布直方图和茎叶图的认识，从茎叶图中看出在[5060)，上有8人，在[90100]，上有2人，因此样本容量为8500.01610=⨯，从而20.0045010y ==⨯，而由频率分布直方图可求得0.030x =，平均分用区间中点乘以相应的频率相加即得； （Ⅱ）从（Ⅰ）的计算中可得到在[8090)，上有5人，在[90100]，上有2人，本题问题就是从7人中选2人，2人来自不同组的概率，这属于古典概型，可用列举法列出各种情形，也可用排列组合的知识求得结果． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题设知1()ln ()ln f x x g x x x==+，， 21()x g x x -'=∴，令()g x '=0得x =1， 当x ∈(01)，时，()g x '＜0，故(01)，是()g x 的单调递减区间； 当x ∈(1)+∞，时，()g x '＞0，故(1)+∞，是()g x 的单调递增区间，因此，x =1是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(1)1g =．………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）1ln g x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，设11()()2ln h x g x g x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，则22(1)()x h x x -'=-， 当1x =时，(1)0h =，即1()g x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当(01)(1)x ∈+∞ ，，时()0h x '<， 因此，()h x 在(0)+∞，内单调递减．当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭；当1()(1)0x h x h ><=时，，即1()g x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭． ………………………………………（8分） （Ⅲ）由（Ⅰ）知()g x 的最小值为1， 所以1()()g a g x a -<对任意0x >成立1()1g a a⇔-<， 即ln 1a <，从而得0e a <<． ……………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2222222222224242444,1,4,14()38443811c b b x y a a b a b c a a b a b ⎧⎧=+=⎪⎧=⎪⎪⎪⇒⇒⇒+=⎨⎨⎨-=+=⎪⎪⎪⎩+=⎩⎪⎩．………………………………………………………（5分）（Ⅱ）因为||||OA OB AB +=，得,OA OB ⊥…………………（6分）若直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，此时(2(2A B ，，不满足OA OB ⊥； ……………………………………（7分）若直线l 斜率存在时，不妨设直线l 的方程为(2)y k x =-，11()A x y ，，22()B x y ，， 联立212222222221228(2),,21(21)8880188,8421k y k x x x k k x k x k x y k x x k ⎧=-⎧+=⎪⎪⎪+⇒+-+-=⇒⎨⎨+=-⎪⎪=⎩⎪+⎩ ………（8分） 又2112121212222(2),4[2()+4]=,(2)21y k x k y y k x x x x y k x k =-⎧-⇒=-+⎨=-+⎩∵ 121200OA OB x x y y =⇒+= ∴，2248021k k -=+∴，22k =∴， ……………………（10分）||AB = ………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】 （Ⅰ）证明：连接BC ．23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为：2220x y y +-=，即22(1)1x y +-=，直线l 的普通方程是：4380x y +-=．………………………………………………（5分） （Ⅱ）曲线C 表示以点(01)P ，为圆心，半径为1的圆， 可得直线l 与x 轴的交点M 的坐标为(20)，，∴PM由此可得曲线C 上一动点N 到点M 1． ……………………（10分） 24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（Ⅰ）解：因为(2)||f x m x +=-，所以(2)0f x +≥等价于||x m ≤， 由||x m ≤有解，得0m ≥，且其解集为{|}x m x m -≤≤． 又(2)0f x +≥的解集为[11]-，，故m =1． ……………………………………（5分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知1a +12b +13c=1，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得- 11 -211123(23)923a b c a b ca b c⎛⎫++=++++=⎪⎝⎭≥．………………………………………（10分）。
2016年贵州省高考数学试卷(文科)(全国新课标ⅲ)
2016年贵州省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）B=（）1．（5分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁AA．{4，8} B．{0，2，6} C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10} 2．（5分）若z=4+3i，则=（）A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）若tanθ=，则cos2θ=（）A． B． C．D．7．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b8．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．69．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A．B．C． D．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．8111．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4π B．C．6π D．12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+3y﹣5的最小值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知直线l：x﹣y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|= ．16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知各项都为正数的数列{an }满足a1=1，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0．（1）求a2，a3；（2）求{an}的通项公式．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：yi =9.32，tiyi=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜＜x；（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c x．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年贵州省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．C．2．D．3．A4．D5．C．6．D．7．A8．B．9．D10．B．11．B12．解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，可得P（﹣c，±），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得kBH =kBM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，即A（﹣1，﹣1）．化目标函数z=2x+3y﹣5为．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣1）+3×（﹣1）﹣5=﹣10．故答案为：﹣10．14．解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ+（k∈Z），=，当k=0时，正数φmin故答案为：．15．解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==3，∴|AB|=2=2，∵直线l：x﹣y+6=0∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．16．解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）=f（﹣x）=e x﹣1+x，则f′（x）=e x﹣1+1，f′（1）=e0+1=2．∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）．即y=2x．故答案为：y=2x．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解答】解：（1）根据题意，an 2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0，当n=1时，有a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2=0，而a1=1，则有1﹣（2a2﹣1）﹣2a2=0，解可得a2=，当n=2时，有a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3=0，又由a2=，解可得a3=，故a2=，a3=；（2）根据题意，an 2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0，变形可得（an ﹣2an+1）（an+1）=0，即有an =2an+1或an=﹣1，又由数列{an}各项都为正数，则有an =2an+1，故数列{an }是首项为a1=1，公比为的等比数列，则an=1×（）n﹣1=n﹣1，故an=n﹣1．18．解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．．19．解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，∴BE=BC=AM=2，∴四边形ABEM是平行四边形，∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF∥PA，NF==2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，∵AM CG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC=MG=3，又∵ME=3，EC=CG=2，∴△MEG的高h=，∴S===2，△BCM∴四面体N﹣BCM的体积VN﹣BCM===．20．解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为 x=﹣，S△PQF =|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S△ABF =|FN||y1﹣y2|，∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．21．解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣x+1的导数为f′（x）=﹣1，由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1．即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）；（2）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜＜x，即为lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）可得f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）递减，可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x﹣1；设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）=0，即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立；（3）证明：设G（x）=1+（c﹣1）x﹣c x，G′（x）=c﹣1﹣c x lnc，可令G′（x）=0，可得c x=，由c＞1，x∈（0，1），可得1＜c x＜c，即1＜＜c，由（1）可得f（x）的增区间为（0，1），可得c x=恰有一解，设为x=x0是G（x）的最大值点，且0＜x＜1，由G（0）=G（1）=0，且G（x）在（0，x0）递增，在（x，1）递减，可得G（x0）=1+（c﹣1）x﹣c x0＞0成立，则c＞1，当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c x．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]的参数方程为（α为参数），23．解答】解：（1）曲线C1移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，：+y2=1；即有椭圆C1曲线C的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，2即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；即有C2（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．[选修4-5：不等式选讲]24．解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．。
贵州省黔东南州2016年高考第一次模拟考试文科数学试题含答案
秘密★启用前黔东南州2016年高考模拟考试试卷数学(文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.满分150分，考试时间120分钟.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3。
回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷(选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1.设全集{}123456U =，，，，，，{}12A =，,{}234B =，，，则()UA CB =( ）A 。
{}1256，，， B.{}1 C 。
{}2 D.{}1234，，， 2．若复数,215iiz -=则复数z 对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D . 第四象限3．某几何体三视图如右图所示，图中三个等腰直角三角形的直角边长都是2，该几何体的体积为 ( ) A ．43B. 83C.4D.163正视图俯视图 侧视图4、设曲线a x axy --=ln 2在点(1,0）处的切线方程为)1(2-=x y ，则=a （ ）A 。
0 B.21 C. 1 D 。
235．若实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ,则22y x z +=的最大值是( )AB．2CD .6．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序，则输出i 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边长分别为,,,c b a 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π8。