终极整理——二阶CLL公式
二阶阶微分方程的解法及应用课件
参数法是一种求解二阶微分方程的方法，通 过引入参数，将微分方程转化为关于参数的 常微分方程。这种方法适用于具有特定形式 的一阶和二阶微分方程，特别是当微分方程 的解与某个参数有关时。通过求解关于参数 的常微分方程，我们可以找到微分方程的解
二阶阶微分方程的解法及应用课件
目 录
• 二阶阶微分方程的基本概念 • 二阶阶微分方程的解法 • 二阶阶微分方程的应用 • 二阶阶微分方程的数值解法 • 二阶阶微分方程的边界值问题
01 二阶阶微分方程的基本概 念
二阶阶微分方程的定义
二阶阶微分方程是包含两个未知函数 和它们的二阶导数的方程。
二阶阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y', y''...) = 0，其中 F 是一个给定的函 数，x 和 y 是未知函数及其导数。
供需模型
01
二阶微分方程可以用来描述商品价格随时间和供需关系的变化
。
投资回报
02
在金融领域，二阶微分方程可以用来预测股票价格的变化和投
资回报。
经济增长
03
在研究经济增长时，二阶微分方程可以用来描述人均收入随时
间的变化。
在工程中的应用
控制系统
在自动化和控制工程中，二阶微分方程被用来描述系 统的动态响应和稳定性。
一维边界值问题
一维边界值问题是指求解一个关于一个自变量的二阶微分方程，同时给出该自变 量在两个特定点的取值条件。
一维边界值问题通常用于描述一个物理系统在一维空间中的行为，例如弦的振动 、波的传播等。解决这类问题通常需要使用打靶法、有限差分法等数值方法。
多维边界值问题
多维边界值问题是指求解一个关于多个自变量的二阶微分方 程组，同时给出这些自变量在多维空间中的边界条件。
2021年二阶线性微分方程的解法
二阶常系数线性微分方程欧阳光明（2021.03.07）一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y (2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理 1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得=0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如,0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= (21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rx e y =满足方程(2).将rx e y =求导,得把y y y ''',,代入方程(2),得因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r (3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解. 我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数.特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形.(1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根. 2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221pr r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程(2), 得 整理,得由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解x r xe y 12=.那么,方程(2)的通解为即 x r e x C C y 1)(21+=. (3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, 方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααtan cos sin 12常数,所以方程(2)的通解为综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dt S d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为通解为 t e t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是t e t C S -+=)4(2,对其求导得 将初始条件20-='=t S 代入上式,得所求特解为例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解.定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如)()(21x f x f qy y p y +=+'+''(4)而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法)()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式.方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*代入方程(1)并消去x e λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (5) 以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解)(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r .λ=-2是特征方程的单根, 令x e xb y 20-=*,代入原方程解得故所求特解为 x xe y 223--=* .例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解由于1=λ是特征方程的二重根,所以把它代入所给方程,并约去x e 得比较系数,得于是 x e xx y )216(2-=*所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=*3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数. 此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根,k 取0; 当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根,k 取1; 例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解. 解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原方程的特解形式为于是 x b x a y cos sin +-=*'将*''*'*y y y ,,代入原方程，得解得 54,52-=-=b a 原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解. 解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则**+=*21y y y 是原方程的一个特解. 由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为 代入原方程,得比较系数,得解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
二阶微分方程解法知识讲解
二阶微分方程解法第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程y ''+py '+qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程y ''+py '+qy =0得(r 2+pr +q )e rx =0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解.特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2422,1q p p r -±+-= 求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解.这是因为,函数x r e y 11=、x r ey 22=是方程的解, 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+''0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,所以xr xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为x r x r xe C e C y 1121+=.(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α-i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α-i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ),y 2=e (α-i β)x =e αx (cos βx -i sin βx ),y 1+y 2=2e αx cos βx , )(21cos 21y y x e x +=βα, y 1-y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y ix e x -=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解.可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解.因此方程的通解为y=eαx(C1cosβx+C2sinβx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y''+py'+qy=0的通解的步骤为:第一步写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0第二步求出特征方程的两个根r1、r2.第三步根据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解.例1 求微分方程y''-2y'-3y=0的通解.解所给微分方程的特征方程为r2-2r-3=0,即(r+1)(r-3)=0.其根r1=-1,r2=3是两个不相等的实根,因此所求通解为y=C1e-x+C2e3x.例2 求方程y''+2y'+y=0满足初始条件y|x=0=4、y'|x=0=-2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r+1)2=0.其根r1=r2=-1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e-x.将上式对x求导,得y'=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y'|x=0=-2代入上式,得C2=2.于是所求特解为x=(4+2x)e-x.例 3 求微分方程y''-2y'+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0.特征方程的根为r1=1+2i,r2=1-2i,是一对共轭复根,因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程:方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) +⋅⋅⋅+p n-1y'+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,⋅⋅⋅,p n-1,p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D,及微分算子的n次多项式:L(D)=D n+p1D n-1+p2 D n-2 +⋅⋅⋅+p n-1D+p n,则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n-1+p2 D n-2 +⋅⋅⋅+p n-1D+p n)y=0或L(D)y=0.注: D叫做微分算子D0y=y, D y=y', D2y=y'', D3y=y''',⋅⋅⋅,D n y=y(n).分析:令y=e rx,则L(D)y=L(D)e rx=(r n+p1r n-1+p2 r n-2 +⋅⋅⋅+p n-1r+p n)e rx=L(r)e rx.因此如果r是多项式L(r)的根,则y=e rx是微分方程L(D)y=0的解.n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:L(r)=r n+p1r n-1+p2 r n-2 +⋅⋅⋅+p n-1r+p n=0称为微分方程L(D)y=0的特征方程.特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项:Ce rx;一对单复根r1,2=α±iβ对应于两项:eαx(C1cosβx+C2sinβx);k重实根r对应于k项:e rx(C1+C2x+⋅⋅⋅+C k x k-1);一对k重复根r1,2=α±iβ对应于2k项:eαx[(C1+C2x+⋅⋅⋅+C k x k-1)cosβx+( D1+D2x+⋅⋅⋅+D k x k-1)sinβx].例4 求方程y (4)-2y '''+5y ''=0 的通解.解 这里的特征方程为r 4-2r 3+5r 2=0, 即r 2(r 2-2r +5)=0,它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=1±2i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ).例5 求方程y (4)+β 4y =0的通解, 其中β>0.解 这里的特征方程为r 4+β 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±-=β.因此所给微分方程的通解为 )2sin 2cos (212x C x C e y x βββ+=)2sin 2cos (432 x C x C e x βββ++-.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程y ''+py '+qy =f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p 、q 是常数.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y =Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y =y *(x )之和:y =Y (x )+ y *(x ).当f (x )为两种特殊形式时, 方程的特解的求法:一、 f (x )=P m (x )e λx 型当f (x )=P m (x )e λx 时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y *=Q (x )e λx , 将其代入方程, 得等式Q ''(x )+(2λ+p )Q '(x )+(λ2+p λ+q )Q (x )=P m (x ).(1)如果λ不是特征方程r2+pr+q=0 的根,则λ2+pλ+q≠0.要使上式成立,Q(x)应设为m 次多项式:Q m(x)=b0x m+b1x m-1+⋅⋅⋅+b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,⋅⋅⋅,b m,并得所求特解y*=Q m(x)eλx.(2)如果λ是特征方程r2+pr+q=0 的单根,则λ2+pλ+q=0,但2λ+p≠0,要使等式Q''(x)+(2λ+p)Q'(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=P m(x).成立,Q(x)应设为m+1 次多项式:Q(x)=xQ m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1+⋅⋅⋅+b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,⋅⋅⋅,b m,并得所求特解y*=xQ m(x)eλx.(3)如果λ是特征方程r2+pr+q=0的二重根,则λ2+pλ+q=0, 2λ+p=0,要使等式Q''(x)+(2λ+p)Q'(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=P m(x).成立,Q(x)应设为m+2次多项式:Q(x)=x2Q m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1+⋅⋅⋅+b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,⋅⋅⋅,b m,并得所求特解y*=x2Q m(x)eλx.综上所述,我们有如下结论:如果f(x)=P m(x)eλx,则二阶常系数非齐次线性微分方程y''+py'+qy=f(x)有形如y*=x k Q m(x)eλx的特解,其中Q m(x)是与P m(x)同次的多项式,而k按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1 求微分方程y''-2y'-3y=3x+1的一个特解.解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=3x +1, λ=0).与所给方程对应的齐次方程为y ''-2y '-3y =0,它的特征方程为r 2-2r -3=0.由于这里λ=0不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=b 0x +b 1.把它代入所给方程, 得-3b 0x -2b 0-3b 1=3x +1,比较两端x 同次幂的系数, 得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b , -3b 0=3, -2b 0-3b 1=1. 由此求得b 0=-1, 311=b . 于是求得所给方程的一个特解为 31*+-=x y . 例2 求微分方程y ''-5y '+6y =xe 2x 的通解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=x , λ=2).与所给方程对应的齐次方程为y ''-5y '+6y =0,它的特征方程为r 2-5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2, r 2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于λ=2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程, 得-2b 0x +2b 0-b 1=x .比较两端x 同次幂的系数, 得⎩⎨⎧=-=-0212100b b b , -2b 0=1, 2b 0-b 1=0. 由此求得210-=b , b 1=-1. 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*--=. 从而所给方程的通解为 x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=. 提示:y *=x (b 0x +b 1)e 2x =(b 0x 2+b 1x )e 2x ,[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]'=[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x ,[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]''=[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x .y *''-5y *'+6y *=[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]''-5[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]'+6[(b 0x 2+b 1x )e 2x ] =[2b 0+2(2b 0x +b 1)⋅2+(b 0x 2+b 1x )⋅22]e 2x -5[(2b 0x +b 1)+(b 0x 2+b 1x )⋅2]e 2x +6(b 0x 2+b 1x )e 2x =[2b 0+4(2b 0x +b 1)-5(2b 0x +b 1)]e 2x =[-2b 0x +2b 0-b 1]e 2x .方程y ''+py '+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解形式应用欧拉公式可得e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ] ]2)(2)([ ie e x P e ex P e x i x i n x i xi l x ωωωωλ---++= x i n l x i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()([21)]()([21ωλωλ-+++-= x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=, 其中)(21)(i P P x P n l -=, )(21)(i P P x P nl +=. 而m =max{l , n }. 设方程y ''+py '+qy =P (x )e (λ+i ω)x 的特解为y 1*=x k Q m (x )e (λ+i ω)x , 则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解,其中k 按λ±i ω不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y ''+py '+qy =e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]的特解为 x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ-++= )sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ-++==x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ].综上所述, 我们有如下结论:如果f (x )=e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ], 则二阶常系数非齐次线性微分方程 y ''+py '+qy =f (x )的特解可设为y *=x k e λx [R (1)m (x )cos ωx +R (2)m (x )sin ωx ],其中R (1)m (x )、R (2)m (x )是m 次多项式, m =max{l , n }, 而k 按λ+i ω (或λ-i ω)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.例3 求微分方程y ''+y =x cos2x 的一个特解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f (x )属于e λx [P l (x )cos ωx +P n (x )sin ωx ]型(其中λ=0, ω=2, P l (x )=x , P n (x )=0）. 与所给方程对应的齐次方程为y ''+y =0,它的特征方程为r 2+1=0.由于这里λ+i ω=2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .把它代入所给方程, 得(-3ax -3b +4c )cos2x -(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x .比较两端同类项的系数, 得 31-=a , b =0, c =0, 94=d . 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+-=.精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢11 提示:y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *'=a cos2x -2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x ,=(2cx +a +2d )cos2x +(-2ax -2b +c )sin2x ,y *''=2c cos2x -2(2cx +a +2d )sin2x -2a sin2x +2(-2ax -2b +c )cos2x =(-4ax -4b +4c )cos2x +(-4cx -4a -4d )sin2x .y *''+ y *=(-3ax -3b +4c )cos2x +(-3cx -4a -3d )sin2x .由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+-=-0340304313d a c c b a , 得31-=a , b =0, c =0, 94=d .。
数学二阶公式
数学二阶公式二阶公式是高中数学学科中重要的一部分，也是数学中的基本公式之一。
在学习二阶公式之前，我们需要了解什么是一次函数。
一次函数是指函数中未知数的最高次数为1的函数。
例如 y = 2x + 3 就是一个一次函数。
而二阶公式又叫作二次函数，是指函数中未知数的最高次数为2的函数。
例如y = x² + 2x + 1 就是一个二次函数。
二阶公式的一般形式为：y = ax² + bx + c （a、b、c为常数，a ≠ 0）。
其中，a控制着二次函数的开口方向和大小，如果a>0，则开口向上；如果a<0，则开口向下。
b控制着二次函数与y轴的截距，而c则是二次函数与x轴的交点的纵坐标，也被称为二次函数的常数项。
根据二阶公式的一般形式，我们可以推导出二次函数的顶点坐标和对称轴的方程式。
顶点坐标：( -b/2a, c - b²/4a)对称轴的方程式：x = -b/2a其中，顶点坐标就是二次函数的最高点或最低点，具有重要的意义。
对称轴则是二次函数的最高点和最低点的中垂线，对称轴方程式的作用就是确定二次函数的对称轴位置和方向。
在实际运用中，二阶公式有着广泛的应用。
例如在物理学中，落体运动的高度和速度可以用二次函数来进行计算；在经济学中，销售额和成本之间的关系也可以用二次函数来描述。
因此，学好二阶公式对我们日后的职业生涯和实际生活都有很大的帮助。
在学习二阶公式时，我们需要注意掌握解二次方程和画出二次函数的技巧。
同时，还需要了解二次函数在几何意义上的应用，以便更好地理解和应用二阶公式。
总之，二阶公式是数学中的重要基础知识，也是数学学习的重要环节之一。
只有充分掌握和应用二阶公式，才能更好地理解和应用数学知识，为将来的学习和工作打下坚实的基础。
高数二下册涉及公式
多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuF v uG F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。
高中物理二级推论二级公式总结
高中物理二级推论“二级推论”是在一些常见的物理情景中，由基本规律和基本公式导出的推论，又叫“二级公式”。
由于这些情景和这些推论在做题时出现率高，或推导繁杂，因此，熟记这些“二级推论”，在做填空题或选择题时，就可直接使用。
在做计算题时，虽必须一步步列方程，一般不能直接引用“二级推论”，但只要记得“二级推论”，就能预知结果，可以简化计算和提高思维起点，也是有用的。
细心的学生，只要做的题多了，并注意总结和整理，就能熟悉和记住某些“二级推论”，做到“心中有数”，提高做题的效率和准确度。
运用“二级推论”，谨防“张冠李戴”，因此要特别注意熟悉每个“二级推论”的推导过程，记清楚它的适用条件，避免由于错用而造成不应有的损失。
下面列出一些“二级推论”，供做题时参考，并在自己做题的实践中，注意补充和修正。
一、静力学1．几个力平衡，则任一力是与其他所有力的合力平衡的力。
三个共点力平衡，任意两个力的合力与第三个力大小相等，方向相反。
2．两个力的合力：2121F F F F F +≤≤- 方向与大力相同3．拉密定理：三个力作用于物体上达到平衡时，则三个力应在同一平面内，其作用线必交于一点，且每一个力必和其它两力间夹角之正弦成正比，即γβαsin sin sin 321F FF == 4．两个分力F 1和F 2的合力为F ，若已知合力（或一个分力）的大小和方向，又知另一个分力（或合力）的方向，则第三个力与已知方向不知大小的那个力垂直时有最小值。
5．物体沿倾角为α的斜面匀速下滑时， μ= tan α 6．“二力杆”（轻质硬杆）平衡时二力必沿杆方向。
7．绳上的张力一定沿着绳子指向绳子收缩的方向。
8．支持力（压力）一定垂直支持面指向被支持（被压）的物体，压力N 不一定等于重力G 。
9．已知合力不变，其中一分力F 1大小不变，分析其大小，以及另一分力F 2。
用“三角形”或“平行四边形”法则二、运动学F 已知方向 F 2的最小值F 2的最小值F 2的最小值F 21．初速度为零的匀加速直线运动（或末速度为零的匀减速直线运动） 时间等分（T ）： ① 1T 内、2T 内、3T 内······位移比：S 1：S 2：S 3=12：22：32② 1T 末、2T 末、3T 末······速度比：V 1：V 2：V 3=1：2：3 ③ 第一个T 内、第二个T 内、第三个T 内···的位移之比：S Ⅰ：S Ⅱ：S Ⅲ=1：3：5④ΔS=aT 2 S n -S n-k = k aT 2 a=ΔS/T 2 a =（ S n -S n-k ）/k T 2位移等分（S 0）： ① 1S 0处、2 S 0处、3 S 0处···速度比：V 1：V 2：V 3：···V n =② 经过1S 0时、2 S 0时、3 S 0时···时间比： ③ 经过第一个1S 0、第二个2 S 0、第三个3 S 0···时间比2．匀变速直线运动中的平均速度3．匀变速直线运动中的中间时刻的速度中间位置的速度4．变速直线运动中的平均速度前一半时间v 1，后一半时间v 2。
终极整理——二阶CLL公式
终极整理——二阶CLL公式欢迎来到二阶CLL公式的终极整理！二阶CLL公式是古典逻辑的一个扩展，它可以表示更复杂的逻辑关系和推理规则。
这里将介绍二阶CLL公式的定义、语法、语义和常见的推理规则。
一、二阶CLL公式的定义1.二阶CLL公式由一组逻辑符号和变量组成。
2.逻辑符号包括命题逻辑的符号（如合取、析取、否定等）和量化符号（如全称量化、存在量化等）。
3.变量是用来代表对象或集合的符号。
二阶CLL公式可以包含一阶变量和二阶变量。
二、二阶CLL公式的语法1.基本公式：命题逻辑公式是基本公式。
2.一阶公式：一阶变量和基本公式在特定量化符号的作用下构成一阶公式。
3.二阶公式：二阶变量和一阶公式在特定量化符号的作用下构成二阶公式。
三、二阶CLL公式的语义1.命题逻辑的语义：命题逻辑公式的真值由命题变元和逻辑符号的真值确定。
2.一阶逻辑的语义：一阶公式的真值由一阶变元、一阶量化符号的约束和命题逻辑的语义确定。
3.二阶逻辑的语义：二阶公式的真值由二阶变元、一阶变元、二阶量化符号的约束和一阶逻辑的语义确定。
四、常见的二阶CLL推理规则1.合取推理：如果一个二阶公式和它的一个全称量化后件是可满足的，则可以推出这个全称量化前件的合取形式也是可满足的。
2.析取推理：如果一个二阶公式和它的一个存在量化后件是不可满足的，则可以推出这个存在量化前件的析取形式也是不可满足的。
3.全称推理：如果一个二阶公式的一个全称量化前件是可满足的，则可以推出这个全称量化后件的任意实例也是可满足的。
4.存在推理：如果一个二阶公式的一个存在量化前件是不可满足的，则可以推出这个存在量化后件的任意实例也是不可满足的。
综上所述，这篇文章对二阶CLL公式进行了归纳总结。
我们介绍了二阶CLL公式的定义、语法、语义和常见的推理规则。
希望这篇终极整理能够对您理解和应用二阶CLL公式有所帮助！。
二阶常微分方程的级数解法及本征值问题
m 0,1, 2, ； ( ) A cos m B sin m
记常数 k 2 2 ，即 k 2 2 ，(3)式可改写为：
d 2 R 1 dR m2 R 0 ，相应地作变量代换： x ，可以化为： 2 d2 d
本章习题
P237：1,3 题
10
E F ln （1） 0 ， Z ( z ) C ； R m m E F
m0 m 1, 2,3,
（2） 0 ， Z ( z ) Ce
z
De
z
d 2R dR 令 ，则方程(4)可化为 2 m 2 R 0 ，称为 m 阶贝塞 2 d d
2
塞尔方程，具体求解后面将具体介绍。 （b）柱坐标系中亥姆霍兹方程的分离变量
1 u 1 2u 2u 2 2 2 k 2v2 0 z
柱坐标系与球坐标系中的讨论类似，令 v( , , z ) R( ) ( ) Z ( z ) ，引入两个常数
d 2 R 1 dR m 2 y ' m2 ， m 阶贝塞尔方程。 （ R y 1 0 " 1 2 R 0 ） dx 2 x dx x2 x x
7
第(2)式是偏微分方程，称为亥姆霍兹方程。 同样地，对于输运方程 ut a 2 u 0 同样作分离变量代换，可以得到：
d 2 R 1 dR m 2 1 R 0 d2 d 2
即： 2
d 2R dR 2 m 2 R 0 ，称为 m 阶贝塞尔方程。 2 d d
2
连带勒让德方程隐含 1 ( 0, )的自然边界条件构成本征值问题， 决定 l 只 能取整数值。 第（2）式即 r 2
2025高考数学核心二级结论速记指南
2025高考数学核心二级结论速记指南目录二级结论背记01集合 51.德摩根公式 52.容斥定理之集合中元素个数 5二级结论背记02复数 5 1.复数的模 5二级结论背记03平面向量 51.爪子定理 52.爪平面向量的系数和(等和线)(等值线) 53.极化恒等式 64.奔驰定理 7(1)奔驰定理的证明 7(2)奔驰定理的推论及四心问题 8二级结论背记04不等式与基本不等式 81.基本不等式链 82.权方和不等式的二维形式 93.糖水不等式定理 94.糖水不等式的倒数形式: 95.对数型糖水不等式 9二级结论背记05三角函数与三角恒等变换 91.常见三角不等式 92.半角公式 93.万能公式 104.和差化积与积化和差公式 10二级结论背记06解三角形 101.常见三角恒等式 102.常见平面几何结论 103.三角形中常见不等式 104.内切圆半径 105.海伦-秦九韶公式 106.海伦-秦九韶公式推广 117.三倍角公式 118.射影定理 119.角平分线定理 1110.张角定理 1111.倍角定理 1112.中线长定理 1213.三角恒等式 12二级结论背记07函数的基本性质 121.周期性(差为常数有周期) 122.对称性(和为常数有对称轴) 13(1)轴对称 13(2)点对称 133.周期性对称性综合问题 134.奇偶性对称性综合问题 135.与指数函数相关的奇函数和偶函数 136.与对数函数相关的奇函数和偶函数 137.奇函数+常函数 13二级结论背记08导数 141.几个常用极限 142.两个重要的极限 143.函数极限的四则运算法则 144.常用的近似计算公式 145.二阶导的定义 146.函数极值的第二判定定理 157.曲线的凹凸性 158.曲线的拐点 159.利用曲线的切线进行放缩证明不等式 1510.利用曲线的相切曲线进行放缩证明不等式 1611.恒成立问题常见类型 1712.能成立(有解)问题常见类型 1713.端点效应的类型 1714.洛必达法则： 1715.常见的指对放缩 1816.常见的三角函数放缩 1817.其他放缩 1818.放缩程度综合 1819.常见函数的泰勒展开式 1920.常见函数的泰勒展开式的结论 1921.极值点偏移的含义 2022.极值点偏移问题的一般题设形式 2123.极值点偏移的判定定理 2124.对数平均不等式 2225.拉格朗日(Lagrange)中值定理 23二级结论背记09数列 241.等差数列任意前n项和的关系 242.等比数列任意前n项和的关系 243.数列不动点 245.通项公式的构造 24二级结论背记10立体几何 251.内切球体积 252.三垂线法求二面角 253.垂面法求二面角 254.射影面积法求二面角 255.三余弦定理 266.三射线定理 267.空间两点间的距离公式 268.点Q到直线l距离 269.异面直线间的距离 2610.点B到平面α的距离 2611.异面直线上两点距离公式 2612.欧拉定理(欧拉公式) 2713.球的组合体 27二级结论背记11解析几何(直线与圆+圆锥曲线) 271.点关于线对称的一般性结论 272.直径端点圆的方程 273.解析几何中的切线方程 274.解析结合中的切点弦方程 285.相切的条件 286.斜率关系 287.常见不等式 288.椭球体积 289.纵坐标之和 2810.渐近线围成的四边形面积 2811.帕斯卡定理 2812.斜率定值 2913.椭圆和双曲线的结论汇总 2914.补充结论1 3115.抛物线的结论 3216.补充结论2 32二级结论背记12排列组合、二项式定理、概率统计 331.二项式系数的性质 332.二项式系数和 333.单条件排列 344.分配问题 345.“错位问题”及其推广 356.不定方程的解的个数 358.方差的性质 359.方差与期望的关系 3610.正态分布密度函数 36二级结论背记01集合1.德摩根公式C U A ∩B =C U A ∪C U BC U A ∪B =C U A ∩C U B2.容斥定理之集合中元素个数card A ∪B =card A +card B -card A ∩B card A ∪B ∪C =card A +card B +card C -card A ∩B -card A ∩C -card B ∩C +card A ∩B ∩C二级结论背记02复数1.复数的模已知z 1=a +bi (a ,b ∈R )，z 2=c +di (c ,d ∈R )且(c 2+d 2≠0)，则z 1z 2 =z 1 z 2 =a 2+b 2c 2+d2(c 2+d 2≠0)，z 1⋅z 2 =z 1 ⋅z 2 =a 2+b 2⋅c 2+d 2二级结论背记03平面向量1.爪子定理形如AD =xAB +yAC “爪”字型图及性质：(1)已知AB ,AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD ，必存在x ,y ，使得AD =xAB +yAC 。
高等数学2公式大全
高等数学2公式大全泰勒展开式泰勒展开式又叫幂级数展开法f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……实用幂级数：e^x = 1+x+x²/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… (-∞<x<∞)ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。
(-∞<x<∞)cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)arcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) +1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……+(2k+1)!!*x^(2k+1)/(2k!!*(2k+1))+……(|x|<1) !!表示双阶乘[4] arccos x = π/2 -(x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……)(|x|<1)arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(x^(2k-1))/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)arcsinh x =x - x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) -1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……(|x|<1)arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。
变分法二阶条件
共十八页
共十八页
共十八页
共十八页共十八页共十Fra bibliotek页共十八页
共十八页
共十八页
预习 公式 (yùxí)
共十八页
共十八页
共十八页
共十八页
内容(nèiróng)总结
第四章：二阶条件。第一节：王莹——二阶条件。第三节：郭丛文——勒 让德必要条件(bìyào tiáo jiàn)。第四节：胡春阳——一阶变分和二阶变分。预习 公式
第四章：二阶条件(tiáojiàn)
共十八页
小组 成员介绍 (xiǎozǔ)
• 第一节：王莹——二阶条件 • 第二节：郑汉良、王泽中
——凹性/凸性充分条件(chōnɡ fēn tiáo
jiàn)
• 第三节：郭丛文——勒让德必要条件 • 第四节：胡春阳——一阶变分和二阶变分
共十八页
共十八页
共十八页
二阶微分方程
3 2 y 满 足 初 始 条 件y1的 特 解 .
解 令 y p( x ), 代入原式，得
dp 3 2 p y dy 2
即
2 pdp 3 y 2dy
两边积分，得
p2 y 3 C1
x3
由初始条件y
3 2
x3
1, y
1得C1 0, 所以 p2 y 3 .
二、二阶常系数线性微分方程
定义１ 方程
y py qy f ( x)
(5)
叫做二阶常系数线性微分方程，其中 p 、q 是常数．
当f x 0时, 方程(5)叫做二阶常系数线性微分方程．
当f ( x) T 0时, 方程(5)叫做二阶常系数线性非齐次微分方程.
下面来讨论二阶常系数线性微分方程的解法．
这是关于 p 的一阶线性非齐次微分方程．因为
x ln x x x xe e dx e dx e ,
1 dx ln x , x
所以
y p x(e x C1 ),
x
从而所求微分方程的通解为
C1 2 y ( x 1)e x C2 . 2
关键在于求出方程的两个线性无关的特解 y1 和 y2 ． rx 而当 r 为常数时，指数函数 y e 和它的各阶导数 都只相差一个常数因子．因此，我们可以设想二阶常系数齐次 方程式的特解也是一个指数函数 y e rx ，只要求出 r ,便可得 到方程(6)的解．
14
将 y e 和它的一、二阶导数 y re rx , y r 2e rx 代 , 入方程(6)，得到 er x (r 2 pr q) 0
y ex (C1 cos x C2 sinx )