2019年上海各区初三二模数学试卷23题专题汇编(教师版)
上海市各区2019届中考数学二模试卷精选汇编几何证明专题
几何证明专题宝山区、嘉定区23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图6，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上的一点（不与B 、C 重合），点N 在CD 边的延长线上，且满足︒=∠90MAN ，联结MN 、AC ，MN 与边AD 交于点E .（1）求证；AN AM =；（2）如果NAD CAD ∠=∠2，求证：AE AC AM ⋅=2.23.证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴AD AB =，︒=∠=∠=∠=∠90BCD ADC B BAD ……1分 ∴︒=∠+∠90MAD MAB ∵︒=∠90MAN∴︒=∠+∠90MAD NAD ∴NAD MAB ∠=∠………1分 ∵︒=∠+∠180ADC ADN ∴︒=∠90ADN ……1分 ∴ADN B ∠=∠……………………1分 ∴△ABM ≌△ADN ………………………1分 ∴AN AM = ……………………………1分（2）∵四边形ABCD 是正方形 ∴AC 平分BCD ∠和BAD ∠ ∴︒=∠=∠4521BCD BCA ，︒=∠=∠=∠4521BAD CAD BAC ……1分∵NAD CAD ∠=∠2 ∴︒=∠5.22NAD∵NAD MAB ∠=∠ ∴︒=∠5.22MAB ………1分 ∴︒=∠5.22MAC ∴︒=∠=∠5.22NAE MAC ∵AN AM =,︒=∠90MAN ∴︒=∠45ANE∴ANE ACM ∠=∠…………………1分 ∴△ACM ∽△ANE …………1分 ∴ANACAE AM =……1分图6图6∵AN AM =∴AE AC AM ⋅=2…………1分长宁区23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点G 、F ，且AGGF BEAD =．（1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵BC AD // ∴BG DG BE AD = （2分）∵AG GFBE AD =∴AGGF BG DG = （1分） ∴ CD AB // （2分） （2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分）∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGDBD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分）∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分） 崇明区23．（本题满分12分，第(1)、(2)小题满分各6分）如图，AM 是ABC △的中线，点D 是线段AM 上一点（不与点A 重合）．DE AB ∥交ACDEFGB第23题图EBC 于点K ，CE AM ∥，联结AE ．（1）求证：AB CMEK CK=； （2）求证：BD AE =．23．（本题满分12分，每小题6分） （1）证明：∵DE AB ∥∴ ABC EKC =∠∠ ……………………………………………………1分∵CE AM ∥∴ AMB ECK =∠∠ ……………………………………………………1分∴ABM EKC △∽△ ……………………………………………………1分 ∴AB BMEK CK=………………………………………………………1分 ∵ AM 是△ABC 的中线∴BM CM = ………………………………………………………1分∴AB CMEK CK=………………………………………………………1分 （2）证明：∵CE AM ∥ ∴DE CMEK CK =………………………………………………………2分 又∵AB CMEK CK=∴DE AB = ………………………………………………………2分 又∵DE AB ∥∴四边形ABDE 是平行四边形 …………………………………………1分 ∴BD AE = ………………………………………………………1分奉贤区23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图7，梯形ABCD ，DC ∥AB ，对角线AC 平分∠BCD ， 点E 在边CB 的延长线上，EA ⊥AC ，垂足为点A ．ACD B（1）求证：B是EC的中点；2，（2）分别延长CD、EA相交于点F，若EC=DCAC⋅求证：FC:=．ACAD:AF黄浦区23．（本题满分12分）如图，点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点.（1）求证：BE=BF；（2）当△BEF为等边三角形时，求证：∠D=2∠A.23. 证：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=AD=CD，∠A=∠C，——————————————————（2分）又E、F是边的中点，∴AE=CF，——————————————————————————（1分）∴△ABE≌△CBF———————————————————————（2分）∴BE=BF. ——————————————————————————（1分）（2）联结AC、BD，AC交BE、BD于点G、O. ——————————（1分）∵△BEF是等边三角形,∴EB=EF，又∵E、F是两边中点，∴AO =12AC =EF =BE .——————————————————————（1分） 又△ABD 中，BE 、AO 均为中线，则G 为△ABD 的重心， ∴1133OG AO BE GE ===, ∴AG =BG ，——————————————————————————（1分） 又∠AGE =∠BGO ，∴△AGE ≌△BGO ，———— ——————————————————（1分）∴AE =BO ，则AD =BD ，∴△ABD 是等边三角形，—— —————————————————（1分） 所以∠BAD =60°，则∠ADC =120°，即∠ADC =2∠BAD . ——— ——————————————————（1分）金山区23．（本题满分12分，每小题6分）如图7，已知AD 是△ABC 的中线， M 是AD 的中点， 过A 点作AE ∥BC ，CM 的延 长线与AE 相交于点E ，与AB 相交于点F ． （1）求证：四边形AEBD 是平行四边形； （2）如果AC =3AF ，求证四边形AEBD 是矩形．23．证明：（1）∵AE //BC ，∴∠AEM =∠DCM ，∠EAM =∠CDM ，……………………（1分）又∵AM=DM ，∴△AME ≌△DMC ，∴AE ＝CD ，…………………………（1分） ∵BD=CD ，∴AE =BD ．……………………………………………………（1分） ∵AE ∥BD ，∴四边形AEBD 是平行四边形．……………………………（2分）E AFM BD图7C（2）∵AE //BC ，∴A F A EF B B C=．…………………………………………………（1分） ∵AE=BD=CD ，∴12AF AE FB BC ==，∴AB=3AF ．……………………………（1分）∵AC=3AF ，∴AB=AC ，…………………………………………………………（1分）又∵AD 是△ABC 的中线，∴AD ⊥BC ，即∠ADB =90°．……………………（1分） ∴四边形AEBD 是矩形．……………………………………………………（1分）静安区23.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分） 已知：如图，在平行四边形ABCD 中， AC 、DB 交于点E ， 点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ． （1）求证：DBABBF EF =； （2）如果DF AD BD ⋅=22，求证：平行四边形ABCD 是矩形．23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 证明：（1）∵平行四边形ABCD ，∴AD //BC ，AB //DC∴∠BAD +∠ADC =180°，……………………………………（1分） 又∵∠BEF +∠DEF =180°, ∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ……（1分） ∵∠DEF =∠ADC ∴∠BAD =∠BEF ， …………………………（1分） ∵AB //DC ， ∴∠EBF =∠ADB …………………………（1分） ∴△ADB ∽△EBF ∴DBABBF EF = ………………………（2分） (2) ∵△ADB ∽△EBF ,∴BFBEBD AD =, ………………………（1分） 在平行四边形ABCD 中，BE =ED =BD 21∴221BD BE BD BF AD =⋅=⋅ C第23题图ABDEFCAB第23题图DE F∴BF AD BD ⋅=22, ………………………………………（1分） 又∵DF AD BD ⋅=22∴DF BF =,△DBF 是等腰三角形 …………………………（1分） ∵DE BE =∴FE ⊥BD , 即∠DEF =90° …………………………（1分） ∴∠ADC =∠DEF =90° …………………………（1分） ∴平行四边形ABCD 是矩形 …………………………（1分） 闵行区23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，已知在△ABC 中，∠BAC =2∠C ，∠BAC 的平分线AE 与∠ABC 的平分线BD 相交于点F ，FG ∥AC ，联结DG ． （1）求证：BF BC AB BD ⋅=⋅； （2）求证：四边形ADGF 是菱形．23．证明：（1）∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAC =2∠BAF =2∠EAC ．∵∠BAC =2∠C ，∴∠BAF =∠C =∠EAC ．…………………………（1分） 又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ．……………………………（1分） ∵∠ABF =∠C ，∠ABD =∠DBC ，∴ABF CBD ∆∆∽．…………………………………………………（1分） ∴AB BFBC BD=．………………………………………………………（1分） ∴BF BC AB BD ⋅=⋅．………………………………………………（1分） （2）∵FG ∥AC ，∴∠C =∠FGB ，∴∠FGB =∠FAB ．………………（1分）∵∠BAF =∠BGF ，∠ABD =∠GBD ，BF =BF ，∴ABF GBF ∆∆≌．∴AF =FG ，BA =BG ．…………………………（1分） ∵BA =BG ，∠ABD =∠GBD ，BD =BD ，∴ABD GBD ∆∆≌．∴∠BAD =∠BGD ．……………………………（1分） ∵∠BAD =2∠C ，∴∠BGD =2∠C ，∴∠GDC =∠C ，∴∠GDC =∠EAC ，∴AF ∥DG ．……………………………………（1分） 又∵FG ∥AC ，∴四边形ADGF 是平行四边形．……………………（1分） ∴AF =FG ．……………………………………………………………（1分） ∴四边形ADGF 是菱形．……………………………………………（1分）ABEGCFD（第23题图）普陀区23．（本题满分12分）已知：如图9，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ∥AB ，DE 与对角线AC 交于点F ，FG ∥AD ，且FG EF =.（1）求证：四边形ABED 是菱形； （2）联结AE ，又知AC ⊥ED ，求证：212AE EF ED =.23．证明：（1）∵ AD ∥BC ，DE ∥AB ，∴四边形ABED 是平行四边形． ····· （2分）∵FG ∥AD ，∴FG CFAD CA=． ··················· （1分） 同理 EF CFAB CA= ． ························ （1分） 得FG AD ＝EFAB∵FG EF =，∴AD AB =． ···················· （1分） ∴四边形ABED 是菱形． ····················· （1分） （2）联结BD ，与AE 交于点H ．∵四边形ABED 是菱形，∴12EH AE =，BD ⊥AE ． ········ （2分） 得90DHE ∠= ．同理90AFE ∠=．∴DHE AFE ∠∠＝． ······················· （1分） 又∵AED ∠是公共角，∴△DHE ∽△AFE ． ············ （1分） ∴EH DEEF AE=． ························· （1分） ∴212AE EF ED =． ······················ （1分） 青浦区AB C DEFG图923.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）如图7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点M ，点E 在边 BC 上，且 DAE DCB ∠=∠，联结AE ，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：2DM MF MB =⋅； （2）联结DE ，如果3BF FM =，求证：四边形ABED 是平行四边形.23．证明：（1）∵AD //BC ，∴∠=∠DAE AEB ， ·············· （1分）∵∠=∠DCB DAE ，∴∠=∠DCB AEB ， ········· （1分） ∴AE //DC ， ························ （1分） ∴=FM AMMD MC． ····················· （1分） ∵AD //BC ，∴=AM DMMC MB， ················ （1分） ∴=FM DMMD MB， ····················· （1分） 即2=⋅MD MF MB ．（2）设=FM a ，则=3BF a ，=4BM a ． ············· （1分）由2=⋅MD MF MB ，得24=⋅MD a a ，∴2=MD a ， ······················· （1分） ∴3==DF BF a ． ····················· （1分） ∵AD //BC ，∴1==AF DFEF BF， ················ （1分） ∴=AF EF ， ······················· （1分） ∴四边形ABED 是平行四边形. ················ （1分）松江区23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D =90°，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，F 是AB 的中点，联结AE 、EF ，且AE ⊥BE ．求证：（1）四边形BCEF 是菱形；（2）2BE AE AD BC ⋅=⋅.MFE DBA图7(第23题图)ACD EB23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分） 证明：(1) ∵BE 平分∠ABC ,∴∠ABE =∠CBE …………………………………………………1分 ∵AE ⊥BE ∴∠AEB =90° ∵F 是AB 的中点 ∴12EF BF AB ==………………………………………………1分 ∴∠FEB =∠FBE …………………………………………………1分 ∴∠FEB =∠CBE …………………………………………………1分 ∴EF ∥BC …………………………………………………1分 ∵AB ∥CD∴四边形BCEF 是平行四边形…………………………1分 ∵EF BF =∴四边形BCEF 是菱形……………………………………1分 (2) ∵四边形BCEF 是菱形, ∴BC =BF ∵12BF AB =∴AB =2BC ………………………………………………1分 ∵ AB ∥CD ∴ ∠DEA =∠EAB ∵ ∠D =∠AEB∴ △EDA ∽△AEB ………………………………………2分∴AD AEBE AB = …………………………………………1分 ∴ BE ·AE =AD ·AB∴ 2BE AE AD BC ⋅=⋅…………………………………1分 徐汇区23. 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB CD =，BD BC =，点E 在对角线BD 上，且(第23题图)FACD EB∠=∠.DCE DBC=；（1）求证：AD BE⊥，（2）延长CE交AB于点F，如果CF AB⋅=⋅.求证：4EF FC DE BD杨浦区23、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图7，在□ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF分别交边AB、CD于点E、F，过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，且∠AGE=∠CGN。
上海市各区2019届中考数学二模试卷精选汇编压轴题专题
3
（2）过点 O 作 OH⊥AB，垂足为点 H，则由（1）可得 AH=4，OH=3 ∵AC=x，∴ CH | x 4 | 在 Rt△HOC 中， CHO 90 ，AO=5， ∴ CO HO2 HC 2 32 | x 4 |2 x2 8x 25 ，
（1 分）
易知△CDA∽△BCA，又 AC BC2 AB2 x2 4 ，
则 AD CA 1 x2 4 x 1 17 （舍负）—————（2
AC CB
x2 4
x
2
分）
易知∠ACE<90°.
8
所以边 BC 的长为 2 或 1 17 .——————————————————（1 2
海C B 图9
C B
图 10
上
25.（1）证明：∵ AO 、 BO 是圆 O 的半径 ∴ AO BO …………1 分 ∴ OAB B …………1 分 ∵ AC ∥ OB ∴ BAC B …………1 分 ∴ OAB BAC ∴ AB 平分 OAC …………1 分
A
O
C B
升 （2）如果点 Q 在线段 AD 上（与点 A、D 不重合），设△APQ 的面积为 y，
求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域； （3）如果△QED 与△QAP 相似，求 BP 的长．
E
B
AQ P
海D CB
A
D C
上图9
备用图
25．解：（1）在⊙P 中，PA=PQ，∴∠PAQ ＝∠PQA，……………………………（1 分） ∵AD∥BC，∴∠PAQ ＝∠APB，∠PQA ＝∠QPC，∴∠APB ＝∠EPC，……（1 分） ∵梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B ＝∠C，…………………………（1 分） ∴△APB∽△ECP．…………………………………………………………（1 分）
上海市各区2019中考数学二模试卷精选汇编：选择题
选择题专题一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.下列说法中，正确的是（▲）（A ）0是正整数； （B ）1是素数； （C ）22是分数； （D ）722是有理数.2.关于x 的方程022=--mx x 根的情况是（▲）（A ）有两个不相等的实数根； （B ）有两个相等的实数根； （C ）没有实数根； （D ）无法确定．3. 将直线x y 2=向下平移2个单位，平移后的新直线一定不经过的象限是（▲） （A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ）第三象限； （D ）第四象限．4. 下列说法正确的是（▲）（A ）一组数据的中位数一定等于该组数据中的某个数据； （B ）一组数据的平均数和中位数一定不相等； （C ）一组数据的众数可以有几个；（D ）一组数据的方差一定大于这组数据的标准差. 5.对角线互相平分且相等的四边形一定是（▲）（A ）等腰梯形； （B ）矩形； （C ）菱形； （D ）正方形．6.已知圆1O 的半径长为cm 6，圆2O 的半径长为cm 4，圆心距cm O O 321=，那么圆1O 与圆2O 的位置关系是(▲)（A ）外离； （B ）外切； （C ）相交； （D ）内切.1. D2. A3. B4. C5. B6. C 长宁区一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．函数12-=x y 的图像不经过（ ▲ ）（A ） 第一象限； （B ） 第二象限； （C ） 第三象限； （D ） 第四象限．2．下列式子一定成立的是（ ▲ ）（A ） a a a 632=+； （B ）428x x x =÷；（C ） aa 121=； （D ）6321)(aa-=--． 3．下列二次根式中，2的同类二次根式是（ ▲ ） （A ）4； （B ）x 2； （C ）92； （D ）12． 4．已知一组数据2、x 、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（ ▲ ） （A ） 3.5； （B ） 4； （C ） 2； （D ）6.5．5．已知圆A 的半径长为4，圆B 的半径长为7，它们的圆心距为d ，要使这两圆没有公共点， 那么d 的值可以取（ ▲ ）（A ） 11； （B ） 6； （C ） 3； （D ）2．6．已知在四边形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =BD ， 下列四个命题中真命题是（ ▲ ）（A ） 若AB =CD ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （B ） 若∠DBC =∠ACB ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （C ） 若ODCOOB AO =，则四边形ABCD 一定是矩形； （D ） 若AC ⊥BD 且AO =OD ，则四边形ABCD 一定是正方形． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．C ． 崇明区一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．8的相反数是…………………………………………………………………………………（ ▲ ）(A)18； (B)8；(C)18-；(D)8-．2．下列计算正确的是 …………………………………………………………………………（ ▲ ）(A)=； (B)23a a a +=；(C)33(2)2a a =；(D)632a a a ÷=．3．今年3月12日，某学校开展植树活动，某植树小组20名同学的年龄情况如下表：那么这20名同学年龄的众数和中位数分别是……………………………………………（ ▲ ）(A)15,14；(B)15,15；(C)16,14；(D)16,15．4．某美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本相同的画册，第二次用240元在同一家商店买与上一次相同的画册，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本画册？设第一次买了x 本画册，列方程正确的是 ………………………（ ▲ ） (A)120240420x x -=+； (B)240120420x x -=+；(C)120240420x x -=-；(D)240120420x x-=-． 5．下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ……………………………（ ▲ ）(A) 等边三角形；(B) 平行四边形；(C) 菱形；(D) 正五边形．6．已知ABC △中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，DE BC ∥，点F 是BC 边上一点，联结AF 交DE 于点G ，那么下列结论中一定正确的是 ………………………………………（ ▲ ）(A)EG FGGD AG=； (B)EG AEGD AD=； (C)EG AGGD GF=； (D)EG CFGD BF=． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．D ； 2．B ； 3．B ； 4．A ； 5．C ； 6．D. 奉贤区1．下列二次根式中，与a 是同类二次根式的是（）（A ）2a ； （B ）a 2； （C ）a 4； （D ）a +4．2．某班要推选学生参加学校的“诗词达人”比赛，有7名学生报名参加班级选拔赛，他们的选拔赛成绩各不相同，现取其中前3名参加学校比赛．小红要判断自己能否参加学校比赛，在知道自己成绩的情况下，还需要知道这7名学生成绩的（）（A ）众数； （B ）中位数； （C ）平均数； （D ）方差．3．下列四个不等式组中，其中一个不等式组的解集在数轴上的正确表示如图1所示，这个不等式组是（）（A ）⎩⎨⎧->≥；，32x x （B ）⎩⎨⎧-<≤；，32x x （C ）⎩⎨⎧-<≥；，32x x （D ）⎩⎨⎧->≤.32x x ，4．如果将直线l 1：22-=x y 平移后得到直线l 2：x y 2=，那么下列平移过程正确的是（） （A ）将l 1向左平移2个单位； （B ）将l 1向右平移2个单位； （C ）将l 1向上平移2个单位； （D ）将l 1向下平移2个单位．图15.将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC 按如图2所 示的位置放置，如果∠CDE =40°,那么∠BAF 的大小为（） （A ）10°； （B ）15°； （C ）20°； （D ）25°.6.直线AB 、CD 相交于点O ，射线 OM 平分∠AOD ，点P 在射线OM 上（点P 与点O 不重 合），如果以点P 为圆心的圆与直线AB 相离，那么圆P 与直线CD 的位置关系是（） （A ）相离； （B ）相切； （C ）相交； （D ）不确定. 一、选择题：1、C ；2、B ；3、D ；4、C ；5、A ；6、A ； 黄浦区一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】 1．下列实数中，介于23与32之间的是（ ） （A（B（C ）227； （D ）π．2．下列方程中没有实数根的是（ ）（A ）210x x +-=；（B ）210x x ++=；（C ）210x -=；（D ）20x x +=．3．一个反比例函数与一个一次函数在同一坐标平面内的图像如图示，如果其中的反比例函数解析式为ky x=，那么该一次函数可能的解析式是（ ） （A ）y kx k =+； （B ）y kx k =-； （C ）y kx k =-+；（D ）y kx k =--．图24．一个民营企业10名员工的月平均工资如下表，则能较好反映这些员工月平均工资水平的是（ ）（工资单位：万元） （A ）平均数；（B ）中位数；（C ）众数；（D ）标准差．5．计算：AB BA +=（ ） （A ）AB ；（B ）BA ； （C ）0；（D ）0．6．下列命题中，假命题是（ ）（A ）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦； （B ）如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦； （C ）如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦； （D ）如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．一、选择题（本大题6小题，每小题4分，满分24分）1.A ；2.B ；3.B ；4.B ；5.C ；6.C . 金山区1．下列各数中，相反数等于本身的数是（▲） （A ）1-； （B ）0； （C ）1； （D ）2． 2．单项式32a b 的次数是（▲）（A ）2； （B ）3 （C ）4； （D ）5．3．如果将抛物线22y x =-向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（▲）（A ）()221y x =-+； （B ）()221y x =--； （C ）221y x =--； （D ）221y x =-+．4．如果一组数据1，2，x ，5，6的众数为6，则这组数据的中位数为（▲） （A ）1； （B ）2 （C ）5； （D ）6．5．如图1，□ABCD 中，E 是BC 的中点，设AB a =，AD b =， 那么向量AE 用向量a 、b 表示为（▲）（A ）12a b + ；（B ）12a b - ；（C ）12a b -+；（D ）12a b --．6．如图2，∠AOB=45°，OC 是∠AOB 的角平分线，PM ⊥OB ， 垂足为点M ，PN ∥OB ，PN 与OA 相交于点N ，那么PMPN的值等于（ ▲ ）（A ）12； （B）2； （C）2； （D）3．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．C ； 3．D ； 4．C ； 5．A ； 6．B ． 静安区一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．下列实数中，有理数是 （A ）2； （B ）21； （C ）34； （D ）4． 2．下列方程中，有实数根的是（A ）x x -=-1；（B ）01)2(2=-+x ； （C ）012=+x ；（D ）034=-+-x x ．3．如果b a >，0<m ，那么下列不等式中成立的是 (A) bm am >； (B) mbm a >； (C) m b m a +>+； (D) m b m a +->+-．4．如图，AB //CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分∠BEF ， 如果∠EFG =64°，那么∠EGD 的大小是(A) 122°； (B) 124°； (C) 120°； (D) 126°．图1N A BC图2PABEDC G 第4题图F5．已知两组数据：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5和a 1-1，a 2-1，a 3-1，a 4-1，a 5-1， 下列判断中错误的是(A) 平均数不相等，方差相等； (B) 中位数不相等，标准差相等； (C) 平均数相等，标准差不相等； (D) 中位数不相等，方差相等． 6．下列命题中，假命题是（A ）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（B ）有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形是菱形； （C ）一组邻边互相垂直，两组对边分别平行的四边形是矩形； （D ）有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形．闵行区一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．在下列各式中，二次单项式是 （A ）21x +；（B ）213xy ；（C ）2xy ；（D ）21()2-．2．下列运算结果正确的是 （A ）222()a b a b +=+； （B ）2323a a a +=；（C ）325a a a ⋅=； （D ）112(0)2a a a-=≠． 3．在平面直角坐标系中，反比例函数(0)ky k x=≠图像在每个象限内y 随着x 的增大而减小，那么它的图像的两个分支分别在 （A ）第一、三象限； （B ）第二、四象限； （C ）第一、二象限；（D ）第三、四象限．4．有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的 （A ）平均数；（B ）中位数；（C ）众数；（D ）方差．5．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是 （A ）当AB = BC 时，四边形ABCD 是菱形；（B ）当AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是菱形； （C ）当∠ABC = 90o时，四边形ABCD 是矩形；（D ）当AC = BD 时，四边形ABCD 是正方形．6．点A 在圆O 上，已知圆O 的半径是4，如果点A 到直线a 的距离是8，那么圆O 与直线a 的位置关系可能是（A ）相交； （B ）相离； （C ）相切或相交； （D ）相切或相离． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ；2．C ；3．A ；4．B ；5．D ；6．D ． 普陀区1. 下列计算中，错误的是 ························· （▲） （A ）120180=； （B ）422=-； （C ）2421=； （D ）3131=-．2.下列二次根式中，最简二次根式是 ···················· （▲） （A ）a 9； （B ）35a ； （C ）22b a +； （D ）21+a ． 3.如果关于x 的方程022=++c x x 没有实数根，那么c 在2、1、0、3-中取值是 · （▲） （A ）2； （B ）； （C ）0； （D ）3-．4.如图1，已知直线CD AB //，点E 、F 分别在AB 、CD 上，CFE ∠:EFB ∠3=:4，如果40B ∠=，那么BEF ∠＝ ······························· （▲） （A ）20； （B ）40； （C ）60； （D ）80．5. 自1993年起，联合国将每年的3月22日定为“世界水日”，宗旨是唤起公众的节水意识，加强水资源保护．某校在开展“节约每一滴水”的活动中，从初三年级随机选出20名学生统计出各自家庭一个月的节约用水量，有关数据整理如下表．这组数据的中位数和众数分别是 ······················ （▲） （A ）1.2，1.2； （B ）1.4，1.2； （C ）1.3，1.4； （D ）1.3，1.2．6. 如图2，已知两个全等的直角三角形纸片的直角边分别为a 、b )(b a ≠，将这两个三角形的一组等边重ABCDFE图1100.580.560.540.5图1合，拼合成一个无重叠的几何图形，其中轴对称图形有 ············ （▲） （A ）3个； （B ）4个； （C ）5个； （D ）6个．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(B)； 2．(C)； 3．(A)； 4．(C)； 5．(D)； 6．(B).青浦区一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂] 1．下列实数中，有理数是（ ▲ ） （A ；（B ）2.1；（C ）π；（D ）135．2．下列方程有实数根的是（ ▲ ）（A ）4+2=0x ； （B 1-； （C ）2+21=0x x -；（D ）111x x x =--． 3．已知反比例函数1y x=，下列结论正确的是（ ▲ ） （A ）图像经过点（-1，1）；（B ）图像在第一、三象限；（C ）y 随着x 的增大而减小； （D ）当1x >时，1y <． 4．用配方法解方程241=0x x -+，配方后所得的方程是（ ▲ ）（A ）2(2)=3x -； （B ）2(+2)=3x ； （C ）2(2)=3x --；（D ）2(+2)=3x -． 5． “a 是实数，20a ≥”这一事件是（ ▲ ）（A ）不可能事件； （B ）不确定事件； （C ）随机事件； （D ）必然事件． 6． 某校40名学生参加科普知识竞赛（竞赛分数都是整数），竞赛成绩的频数分布直方图如图1所示，成绩的中位数落在（ ▲ ） （A ）50.5~60.5分； （B ）60.5~70.5分； （C ）70.5~80.5分； （D ）80.5~90.5分．一、选择题：1．B ； 2．C ； 3．B ； 4．A ； 5．D ； 6．C ．图2CBA（第6题图）松江区一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1（A（B（C（D 2．下列运算正确的是（▲） （A ）532x x x =+；（B ）532x x x =⋅； （C ）235()x x =；（D ）623x x x ÷=．3．下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的为（▲） （A ）正三角形； （B ）等腰梯形；（C ）平行四边形； （D ）菱形．4．关于反比例函数2y x=，下列说法中错误的是（▲） （A ）它的图像是双曲线； （B ）它的图像在第一、三象限； （C ）y 的值随x 的值增大而减小；（D ）若点（a ，b ）在它的图像上，则点（b ，a ）也在它的图像上.5．将一组数据中的每一个数都加上1得到一组新的数据，那么下列四个统计量中，值保持不变的是（▲） （A ）方差；（B ）平均数；（C ）中位数；（D ）众数.6．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，⊙B 的半径为1，已知⊙A 与直线BC 相交，且与⊙B 没有公共点，那么⊙A 的半径可以是（▲） （A ）4； （B ）5； （C ）6；（D ）7.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B; 2．B; 3. D; 4. C; 5. A; 6. D; 徐汇区 一. 选择题1. 下列算式的运算结果正确的是（ ）A. 326m m m ⋅=B. 532m m m ÷=（0m ≠）C. 235()m m --=D. 422m m m -=2. 直线31y x =+不经过的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 如果关于x 的方程210x +=有实数根，那么k 的取值范围是（ ）A. 0k >B. 0k ≥C. 4k >D. 4k ≥4. 某射击选手10次射击成绩统计结果如下表，这10次成绩的众数、中位数分别是（ ）A. 8、8B. 8、8.5C. 8、9D. 8、105. 如果一个正多边形内角和等于1080°，那么这个正多边形的每一个外角等于（ ）A. 45°B. 60°C. 120°D. 135°6. 下列说法中，正确的个数共有（ ）（1）一个三角形只有一个外接圆（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等（4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个1. B2. D3. D4. B5. A6. C杨浦区一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个现象是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸上相应位置上】1、下列各数中是无理数的是 （ ）（A ） （B ）1. （C ）半径为1cm 的圆周长 （D ）2、下列运算正确的是 （ ）（A ）（B ） （C ） （D ） 3、若,则下列不等式中一定成立的是 （ ） （A ）x （B ） （C ） （D ）4、某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频率分布直方图如图1所示，其中阅读时间是8-10小时的组频数和组频率分别是（）（A）15和0.125 （B）15和0.25 （C）30和0.125 （D）30和0.255、下列图形是中心对称图形的是（）6、如图2，半径为1的圆O1和半径为3的圆O2相内切，如果半径为2的圆与圆O1和圆O2都相切，那么这样的圆的个数是（）（A） 1 （B）2 （C）3 （D）4CBADBC。
2019年上海各区初三二模数学试卷19--21题专题汇编(教师版)
2019年上海各区初三二模数学试卷19--21题专题汇编（教师版）静安区19．（本题满分10分）计算：12241)1-++-．20．（本题满分10分）解方程组：226,3100.x yx xy yì-=ïí+-=ïî21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）一个水库的水位在某段时间内持续上涨，表2记录了连续5小时内6个时间点的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度．（1）通过观察数据，请写出水位高度y与时间x的函数解析式（不需要写出定义域）；（2）据估计，这种上涨规律还会持续，并且当水位高度达到8米时，水库报警系统会自动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报．表219．（本题满分10分）计算：12241)1-++-．解：原式=1312+-·························································（8分）52．······················································································（2分）20．（本题满分10分）解方程组：226,3100.x yx xy y①②ì-=ïí+-=ïî解：由②得：(2)(5)0x y x y-+=． ···········································································（2分）原方程组可化为：620x yx y-=⎧⎨-=⎩和6+50x yx y-=⎧⎨=⎩．..........................................................（4分）解得：11126xy=⎧⎨=⎩和2251xy=⎧⎨=-⎩．∴原方程组的解是11126xy=⎧⎨=⎩和2251xy=⎧⎨=-⎩．······························································（4分）21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）设y与x之间的函数解析式为：(0)y kx b k=+≠． ································（1分）把（0，3）、（1，3.3）代入得：33.3bk b=⎧⎨=+⎩， ·····························································（2分）解得，0.33kb=⎧⎨=⎩． ···········································································································（1分）∴y与x之间的函数解析式为0.33y x=+． ·······························································（1分）（2）把y=8，代入0.33y x=+，·················································································（1分）得80.33x=+，解得503x=． ························································································（2分）所以，5035533-=（小时）． ··························································································（1分）答：再过353小时后系统会发出警报． ·········································································（1分）嘉定区19．（本题满分10分）计算：220)3(60tan21)21()2018(π-+︒+-+--．20．（本题满分10分）解方程：21224162+--+=-x x x x ． 21．（本题满分10分，第(1)小题5分、第(2)小题5分）如图4，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，点E 是边AC 的中点，11=BC ，12=AD ，四边形DFGH 是边长为4的正方形，其中点F 、G 、H 分别在AD 、AB 、BC 上．（1）求BD 的长度； （2）求EDC ∠cos 的值．19.解：原式332141-++-+=π……………8分3)32(2+=--+=ππ ……………2分20. 解：方程两边同乘以)2)(2(-+x x …………2分 得：)2()2(162--+=x x ……………1分 整理，得：01032=-+x x …………1分 解此方程得：51-=x ，22=x …………4分经检验51-=x 是原方程的解，22=x 是增根（舍去） ……………1分 ∴原方程的解是5-=x ……………1分21.解：（1）∵四边形DFGH 是边长为4正方形∴4==FD GF ,FG ∥BD ………1分∴AD AFBD GF =……………1分 ∵12=AD ∴8=AF ……………1分∴1284=BD……………1分 AG B HDF EC图4AG B HD F EC图4∴6=BD ……………1分 （2） ∵11=BC ，6=BD∴5=CD ……………1分在直角△ADC 中，222DC AD AC +=,又12=AD ∴13=AC ……………1分∵点E 是边AC 的中点，∴EC ED = ∴C EDC ∠=∠ ……1分 在直角△ADC 中， 135cos ==∠AC CD C ………1分 ∴135cos =∠EDC……………1分普陀区19．（本题满分10分）计算：312019212sin 60227(1)2-⎛⎫︒-+--- ⎪⎝⎭．20．（本题满分10分）解方程：242193x x x =--+．21．（本题满分10分）如图8，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 和AC 上，DE //BC ，13DE BC =，△ADE 的面积等于3．（1）求△ABC 的面积； （2）如果9BC =，且2cot 3B =，求AED ∠的正切值．A BCDE图819．解：原式=228(1)-+-- ······································································· （6分）=281++ ···················································································· （2分）=5. ··································································································· （2分）20．解：去分母得，242(3)(9)x x x =---. ··································································· （3分）整理得，2230x x +-=. ···················································································· （3分） 解得 1x =，3x =-． ······················································································· （2分） 经检验，3x =-是增根，舍去． ········································································ （1分） 所以，原方程的解是1x =． ··············································································· （1分）21．解：（1）∵DE //BC ，∴△ADE ∽△ABC ． ······························································································· （1分）∴2△△ADE ABC S DE S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭． ··································································································· （1分） 又∵13DE BC =，∴19△△ADE ABC S S =． ·············································································· （1分） ∵3△ADE S =，∴27△ABC S =． ··············································································· （1分） （2）过点A 作AH ⊥BC ，H 为垂足． ········································································· （1分）∵27△ABC S =，∴1272BC AH ⋅⋅=．∵9BC =，∴6AH =． ···························································································· （1分） ∵AH ⊥BC ，∴90AHB AHC ∠=∠=︒． 在Rt △ABH 中，90AHB ∠=︒，2cot 3B =，∴23BH AH =． ∴4BH =．·················································································································· （1分） ∴5CH =． ·················································································································· （1分） 在Rt △ACH 中，90AHC ∠=︒，∴6tan 5AH C HC ==．·········································· （1分） ∵DE //BC ，∴AED C ∠=∠．∴6tan 5AED ∠=． ······································································································ （1分） 即AED ∠的正切值65．徐汇区19．（本题满分10分）)(121-+-20．（本题满分10分）解方程组：22222021,.x xy y x xy y ⎧--=⎪⎨++=⎪⎩21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）如图，已知⊙O 的弦AB 长为8，延长AB 至C ，且BC =12AB ， tanC =12． 求：（1）⊙O 的半径；（2）点C 到直线AO 的距离．19．解：原式3=+-522=20．解：（1）由①得：(2)()0x y x y -+=由②得：1x y +=± 得：202000,,,1111x y x y x y x y x y x y x y x y -=-=+=+=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=+=-+=+=-⎩⎩⎩⎩分别12222233,1133x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩解得：、无解、无解 （第21题图）ABCDE第21题图∴12222233,1133x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩原方程组的解是： 21．解：（1）过点O 作OH ⊥AC 于点H ， ∵OH 过圆心，且AB =8，∴AH =BH =12AB=4 ∵BC =12AB ，∴BC =4，∴HC =8 ∵在Rt △OHC 中，1tan tan 2OH C C HC ==且∴142OH HC == ∵在Rt △OHA 中，222OH AH OA +=，∴42OA =（2）∵在Rt △OHA 中，4=90HA HO AHO ︒==∠且，∴A=AOH ∠∠=45︒ 过点C 作CG ⊥AO 的延长线于点G ， ∵在Rt △AGC 中，sin CGA AC=∴2sin 4512CG ︒== ∴62CG =C 到直线AO 的距离是2金山区19. 计算：()()()1212312283-++-++.20. 解方程：142212=---x x x .21. 已知：如图，在ABC Rt ∆中，ο90=∠ACB ，D 是边AB 的中点，CB CE =，5=CD ，53sin =∠ABC .求：（1）BC 的长． （2）E tan 的值．19.解：原式23122221++-++=； （8分）2322221-+-++=； （1分） 33+=. （1分）20. 解：4222-=-+x x x ； （4分）062=-+x x ； ()()023=-+x x ； （2分）解得：31-=x ，22=x ； （2分） 经检验：22=x 为增根舍去 （1分） 所以原方程的解为：3-=x . （1分）21. 解：（1） ∵在ABC Rt ∆中，ο90=∠ACB ，D 是边AB 的中点;∵AB CD 21=, （1分） ∵5=CD ; ∵10=AB ; （1分）∵53sin ==∠AB AC ABC ; 由10=AB 解得6=AC ; （1分）∵222AB AC BC =+ ∵861022=-=BC . （2分）（2）作BC EH ⊥垂足为H ； （1分）∵ο90=∠=∠EHB EHC ；∵D 是边AB 的中点； ∵AB CD BD 21==； ∵ABC DCB ∠=∠; ∵ο90=∠ACB ； ∵ACB EHC ∠=∠； ∵EHC ∆∽ACB ∆； （1分）∵ABECBC CH AC EH ==； 由8=BC ，CB CE =得8=CE ，CEB CBE ∠=∠；∵10886==CH EH 解得524=EH ,532=CH ；585328=-=BH ; （2分）∵3tan ==∠BHEHCBE ，即3=E tan . （1分）崇明19．（本题满分10分）先化简，再求值：2221(1)121a a a a a a +-÷+---+，其中2a =．20．（本题满分10分）解方程组224;20.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩21．（本题满分10分，每小题满分各5分）如图5，已知ABC △中，6AB =，30B ∠=︒，3tan 2ACB ∠=． （1）求边AC 的长；（2）将ABC △沿直线l 翻折后点B 与点A 重合， 直线l 分别与边AB 、BC 相交于点D 、E ，求BEEC的值．19．（本题满分10分） 解：原式=()()2211111(1)a a a a a +-⨯--+- …………………………………………………（2分） ABC图52111a a =--- ……………………………………………………………（2分） 11a =-. …………………………………………………………………（2分）把a =原式……………………………………………………………………（2分）1. ……………………………………………………………………（2分） 20．（本题满分10分）解：由②得：(2)()0x y x y +-= …………………………………………………（2分） 所以200x y x y +=-=或 …………………………………………………（2分）44200x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩所以或…………………………………………………（2分） 121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩所以原方程组的解为 ……………………………………（4分）21．（本题满分10分，每小题满分各5分）解：（1）过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ………………………………………………… (1分) ∵AB=6，30B ∠=︒，AH ⊥BC∴AH =3 ………………………………………………………………………(1分) ∵3tan 2ACB ∠=∴CH =2…………………………………………………………………………(1分) ∴AC ==(2分) （2）由翻折得：132BD AB ==，AE=BE ，90BDE ∠=︒ ∵cos BDB BE=3BE =∴BE =(1分)∴AE =…………………………………………………………………(1分)∴EH =………………………………………………………………… (1分)①②∴6BE EC == ……………………………………………… (2分)虹口区19．（本题满分10分） 先化简，再求值：35(2)242m m m m -÷+---，其中3m =．20．（本题满分10分）解方程组：22560,312.x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩21．（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题7分）如图，在锐角△ABC 中，小明进行了如下的尺规作图：①分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点P 、Q ；②作直线PQ 分别交边AB 、BC 于点E 、D ． （1）小明所求作的直线DE 是线段AB 的 ▲ ； （2）联结AD ，AD=7，sin ∠DAC 17=，BC =9，求AC 的长．19．解：原式=2345()222m m m m ---÷--（） 3222(3)(3)m m m m m --=⋅-+-（）12(+3)m =-当3m =时, 原式=4-20．解：由①得，60x y -=或+0x y =将它们与方程②分别组成方程组，得： C第21题图DBAEPQ60,312.x y x y -=⎧⎨-=⎩ +0,312.x y x y =⎧⎨-=⎩分别解这两个方程组，得原方程组的解为1124,4;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=-⎩．（代入消元法参照给分）21．解：（1）垂直平分线（或中垂线） （2）过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F∵DE 是线段AB 的垂直平分线 ∴AD =BD =7 ∴2CD BC BD =-=在Rt △ADF 中，1sin 717DF AD DAC =⋅∠=⨯=在Rt △ADF 中，2243AF AD DF =-=同理，3CF =∴53AC =黄浦区19．（本题满分10分）计算： ()()133tan 60cos3271301902-+--︒-︒.20．（本题满分10分）解方程：22161242x x x x +-=--+．21．（本题满分10分）如图4，已知O e 是ABC ∆的外接圆，圆心O 在ABC ∆的外部，4AB AC ==，43BC =，求O e 的半径.ABCO图419．解：原式311--，-----------------------------------------------------------------（6分）=232-+，----------------------------------------------------------------------------（2分）=3-+-------------------------------------------------------------------------------------（2分） 20. 解：去分母得()22162x x +-=-，---------------------------------------------------------------（3分）化简得 23100x x +-=，-----------------------------------------------------------------（3分）解得12x =，25x =-.----------------------------------------------------------------------------------（2分） 经检验12x =是增根，∴原方程的根是5x =-.-------------------------------------------------（2分） 21. 解：联结AO ，交BC 于点D ，联结BO . ----------------------------------------------------------（1分）∵AB=AC ，∴»»AB AC = ，------------------------------------------------------------------------------（1分）又AO 是半径，∴AO ⊥BC ，BD=CD . ---------------------------------------------------------------（2分）∵BC =，∴BD =，-------------------------------------------------------------------------------（1分）∴在Rt ABD ∆中，90ADB ∠=︒ ，∴222BD AD AB +=，---------------------------------------（1分）又AB =4，∴2AD =.----------------------------------------------------------------------------------------（1分） 设半径为r . 在 Rt BDO ∆中，∵222BD DO BO +=，-----------------------------------------------（1分）∴(()222+2r r -= ，-------------------------------------------------------------------------------（1分）∴4r = . --------------------------------------------------------------------------------------------------------（1分）∴O e 的半径为4 青浦19．（本题满分10分）计算：．20．（本题满分10分）解方程组：21.（本题满分10分，第（1）、（2）小题，每小题5分）如图7，在△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线分别交边BC 、AB 于点D 、E ，联结AD ． （1）如果∠CAD ∶∠DAB =1∶2，求∠CAD 的度数； （2）如果AC =1，，求∠CAD 的正弦值.19．解：原式=()121+2+1+9---． ························································· （8分）=10． ····················································································· （2分）20．解：由①得+30=x y 或20-=x y ． ························································· （2分）原方程组可化为302 1.，+=⎧⎨+=⎩x y x y 或202 1.，-=⎧⎨+=⎩x y x y ········································· （4分）解得原方程的解是113515，；⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y 222515，.⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ················································ （4分） 21．解：（1）∵DE 垂直平分AB ，∴DA = DB ， ············································································· （1分） ∴∠DAB =∠B ． ········································································ （1分） ∵∠CAD ∶∠DAB =1∶2， ∴∠B =2∠CAD ， ······································································ （1分） ∵∠C =90°，①② 22602 1.x xy y x y ⎧+-=⎨+=⎩；EDABC图7∴∠CAD +∠DAB +∠B =90°， ························································ （1分） ∴5∠CAD =90°， ∴∠CAD =18°． ········································································ （1分） （2）∵∠C =90°，AC =1，，∴BC =2． ··············································································· （1分） 设DB =x ，则DA =x ，CD =2-x ，∵∠C =90°，∴222+=AC CD AD ，∴()2212+-=x x ． ················· （1分）解得 54=x ， ········································································· （1分） ∴CD =34， ············································································· （1分） ∴334sin 554∠===CD CAD AD ． ·················································· （1分）宝山19．（本题满分10分）计算：202)3(30cot 21)2019(21π-+︒+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-．21．（本题满分10分）解方程：214162++-x x =22-+x x21．（本题满分10分，第(1)、第(2)小题满分各5分）如图已知：△ABC 中，AD 是边BC 上的高、E 是边AC 的中点， BC =11，AD =12，DFGH 为边长为4的正方形，其中点F 、G 、H 分别在AD 、AB 、BC 上．（1）求BD 的长度； （2）求cos ∠EDC 的值．1tan 2B ∠=。
【区级联考】上海市闵行区2019届九年级中考数学二模试卷(解析版)
2019年上海市闵行区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 下列各数中是无理数的是( )A.B. C. 237 D. 4p【答案】D【解析】【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项．【详解】A. =34是分数，为有理数，此选项错误；B.是有理数，此选项错误；C.237是分数，为有理数，此选项错误；D.4p 是无理数，此选项正确.故选D 【点睛】本题考查了无理数的概念：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．熟练掌握概念是解题的关键.2. 下列方程中，没有实数根方程是( )A.1= B. 210x x +-=C. 1122x x -=+D. x=-【答案】A【解析】【分析】根据根的判别式△=b 2-4ac ，逐一分析四个选项中方程根的判别式的符号，由此即可得出结论．【详解】A. 1=可变形为：220x +=△=b 2−4ac =0−8=-8<0，的1=没有实数根；B. △=b 2−4ac =1+4=5>0∴方程210x x +-=有两个不相等的实数根；C.1122x x -=+可变形为：2x-x=2+2为一元一次方程，有一个实数根；D. x =-可变形为：220x x --=△=b 2−4ac =1+8=9>0x =-有两个不相等的实数根.故选A【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ¹0)的根的判别式△=b 2−4ac :当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.3. 若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k ，b 的取值范围，从而求解．【详解】已知直线y =kx +b 经过第一、二、四象限，则得到k ＜0，b ＞0，那么直线y =bx +k 经过第一、三、四象限．即不经过第二象限．故选B ．【点睛】本题考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b 的关系．解答本题注意理解：直线y =kx +b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．k ＞0时，直线必经过一、三象限；k ＜0时，直线必经过二、四象限；b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交；b =0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交．4. 下列各统计量中，表示一组数据离散程度的量是（ ）A. 平均数B. 众数C. 方差D. 频数【答案】C【解析】【分析】根据平均数、众数、中位数反映一组数据的集中趋势，而方差、标准差反映一组数据的离散程度或波动大小进行选择．【详解】A. 平均数是表示一组数据集中趋势的量数，故本选项错误；B. 众数是表示在一组数据中，出现次数最多的数据，故本选项错误；C. 方差是表示一组数据离散程度的度量，故本选项正确；D. 频数表示某一项或某一组出现次数，是直观的数量，故本选项错误.故选C.【点睛】本题考查了离散程度的量，熟练掌握平均数，众数，方差，频数各自的含义是解题的关键.5. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不一定成立的是（ ）A. AD ＝BDB. BD ＝CDC. ∠BAD ＝∠CADD. ∠B ＝∠C【答案】A【解析】【分析】根据已知和公共边科证明△ADB ≌△ACD ，则这两个三角形的对应角、对应边相等，据此即可解答．【详解】∵AB ＝AC ，AD ＝AD ，AD ⊥BC ，∴Rt △ADB ≌Rt △ACD （HL ），∴BD ＝CD ，∠BAD ＝∠CAD ，∠B ＝∠C （全等三角形的对应角、对应边相等）故B 、C 、D 一定成立，A 不一定成立．故选A ．【点睛】本题考查直角三角形全等的判定和性质，解决问题时注意利用已知隐含的条件AD 是公共边．6. 在平面直角坐标系xOy 中，以点(3，4)为圆心，4为半径的圆一定A. 与x 轴和y 轴都相交B. 与x 轴和y 轴都相切C. 与x 轴相交、与y 轴相切D. 与x 轴相切、与y 轴相交．【答案】D【解析】【分析】根据点的坐标得到圆心到x 轴的距离是4，到Y 轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．【详解】圆心到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是3，4=4，3<4，∴圆与x 轴相切，与y 轴相交，的【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，正确写出与x ，y 轴的距离是解题的关键.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 计算：a 2•a 3=_____．【答案】a 5．【解析】【分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．【详解】a 2•a 3=a 2+3=a 5，故答案为a 5．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．8. 分解因式：3x 9x -=____.【答案】()()x x 3x 3+-【解析】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式x 后继续应用平方差公式分解即可：()()()22x 9x x x 9x x 3x 3-=-=+-．9. 已知函数f （x ）＝1x x +，那么f （﹣2）＝_____．【答案】2【解析】【分析】把x ＝﹣2代入函数解析式即可求解．【详解】解：当x ＝﹣2时，f （﹣2）＝22+1-- ＝2．故答案是：2．【点睛】本题考查知识点是求函数的值，只要把x 的取值代入函数解析式即可．10. x =的解为_____．【答案】3【解析】根据无理方程的解法，首先，两边平方解出x的值，然后验根，解答即可．【详解】解：两边平方得：2x+3＝x2∴x2﹣2x﹣3＝0，解方程得：x1＝3，x2＝﹣1，检验：当x1＝3时，方程的左边＝右边，所以x1＝3为原方程的解，当x2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2＝﹣1不是原方程的解．故答案为3．【点睛】此题考查无理方程的解，解题关键在于掌握运算法则11. 一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0根的判别式的值等于_____．【答案】41【解析】【分析】已知一元二次方程的根判别式为△＝b2﹣4ac，代入计算即可求解.【详解】依题意，一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4∴根的判别式为：△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41故答案为41【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式为△＝b2﹣4ac是解决问题的关键.12. 已知反比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣1），则k＝_____．【答案】-2【解析】【分析】直接把点（2，﹣1）代入反比例函数y＝kx即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝2x，解得k＝﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．13. 从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到A 的概率是______．【答案】113【解析】【分析】一副52张（没有大小王）的扑克牌中A 有4张，利用概率计算公式能求出抽到的这张牌是A 的概率．【详解】一副52张(没有大小王)的扑克牌中任意抽取一张，基本事件总数n =52，一副52张(没有大小王)的扑克牌中有4四张A ，抽到的这张牌是A 的基本事件个数m =4，∴抽到的这张牌是A 的概率p =m n =452=113故答案为113【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键.14. 一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩如表所示，那么这个射击运动员这次成绩的中位数是_____．成绩（环）678910次数25364【答案】8.5【解析】分析】先利用表格中数据得出数据个数，再利用中位数的定义求出答案即可．【详解】由表格中数据可得射击次数为20，中位数是第10个和第11个数据的平均数，故这个射击运动员这次成绩的中位数是：12×（8+9）＝8.5．故答案为8.5．【点睛】本题考查了中位数的求法，正确利用中位数的定义求解是解决问题的关键．15. 如图，在△ABC 中，点D 在边AC 上，且CD ＝2AD ．设AB a =uuu r r ，AC b =uuu r r ，那么BD uuu r ＝_____．（结果用向量a r 、b r的式子表示）【【答案】13b a -r r 【解析】【分析】首先由向量的知识，得到AD uuu v 和AB uuu v 的值，即可得到BD uuu v的值.【详解】∵在△ABC 中，点D 在边AC 上，且CD =2AD ，∴13AD AC =uuu v uuu v =13b v ，又∵AB a=uuu v v ∴BD uuu v =AD uuu v -AB uuu v =13b v -a v 故答案为13b a -v v 【点睛】本题考查了平面向量，找到向量关系是解题的关键.16. 如图，已知在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点D ．如果CD=4，AB=16，那么OC =_____．【答案】10【解析】【分析】根据垂径定理求出AD 的长，设半径OC=OA=r ，则OD=r-4，再根据勾股定理列出关于r 的方程，解出即可得出OC 的长．【详解】设半径OC=OA=r ，则OD=OC-CD=r-4Q 半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点D ，AB=16∴AD =12AB =8，在Rt △AOD 中,OD 2+AD 2=OA ）即（r-4）2+82=r 2解得：r=10故答案10.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.17. 如图，斜坡AB 的长为200米，其坡角为45°．现把它改成坡角为30°的斜坡AD ，那么BD ＝_____米．（结果保留根号）【答案】-【解析】【分析】根据坡角为45°，求出AC ，再根据∠ADC=30°，由三角函数的概念可求得DC 的长,即可得到BC 的长.【详解】∵在直角三角形ACB 中，斜边AB =200米，坡角为45°∴AC，在直角三角形ACD 中,∠ADC =30°，∴tan30°=AC DC∴DC= (米)；∴BD=DC-BC=(米)；故答案为-【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形的应用,关键是两个直角三角形有公共的直角边,先求出公共边是解决此类题目的基本出发点.18. 如图，在△ABC 中，AB = AC = 5，BC =，D 为边AC 上一点(点D 与点A 、C 不重合)．将△ABC 沿直线BD 翻折，使点A 落在点E 处，联结CE ．如果CE // AB ，那么AD ︰CD =______．为【答案】5 6．【解析】【分析】作AG⊥BC,作BH⊥CE交EC的延长线于H,延长BD和CE交于点F,根据勾股定理求出BG和CG的值；易证△BCH∽△ABG，得出对应边成比例即可求出BH和CH的值；根据折叠可知AB=BE=5，得出EH及CE的值；根据FH// AB可求出FC；最后根据FC// AB即可求出答案.【详解】如图，作AG⊥BC,作BH⊥CE交EC的延长线于H,延长BD和CE交于点F,Q AC=AB=5,\Q FH// AB\AÐBG=BCHÐQÐH=AGBÐ=90°\△BCH∽△ABG\BHAG=BCAB=CHBG\\BH=4,CH=2由折叠得，AB=BE=5\=3,CE=3-2=1 Q FH// AB\ÐF=ABDÐ=ÐEBD\EF=BE=5\FC=5+1=6 Q FC// AB\ADCD=ABFC=56故答案为56.【点睛】本题考查了折叠的性质及相似三角形的判定及性质，作合适的辅助线是解题的关键.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. 先化简，再求值：2214422x x xx x x x-¸-++++，其中x﹣1．1-．【解析】试题分析：试题解析：原式=2221 (2)2 x x xx x x+-´-++=122 x xx x--++=12 x+当1时，原式1=-.考点：分式的化简求值．20. 解不等式组：6244 2133x xx x->-ìïí³-ïî，，并把解集在数轴上表示出来．【答案】11x -<£；数轴表示见解析.【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，然后找出公共部分，并在数轴上表示即可.【详解】解：6x-2442133x x x >-ìïí³-ïî①② 由①得2x>-2解得1x >-．由②得2x ³3x-1解得1x £．所以，原不等式组的解集为11x -<£．在数轴画解集如下图：【点睛】本题考查了求不等式组的解集，熟练掌握不等式的求法是解题的关键.21. 如图，在△ABC 中，AB = AC ，BC = 10，5cos 13ABC Ð=，点D 是边BC 的中点，点E 在边AC 上，且23AE AC =，AD 与BE 相交于点F ．(1)求：边AB 的长.(2)求：EF BF 的值．【答案】(1)AB=13；(2)23.【解析】【分析】(1) 根据AB = AC，AD⊥BC得出BD的长；在Rt△ABD中，根据三角函数即可得出AB的长；(2) 过点E作EG // BC，交AD与点G，得出23EG AECD AC===EGBD，再根据EG // BC即可解出.【详解】解：(1)∵AB = AC，AD⊥BC，∴152BD CD BC===．在Rt△ABD中，5 cos13BDABCABÐ==．∴131351355AB BD==´=．∴AB=13．(2)过点E作EG // BC，交AD与点G．∵EG // BC，23 AEAC=，∴23 EG AECD AC==．∵BD = CD，∴23 EGBD=．又∵EG // BC，∴23 EF EGBF BD==．【点睛】本题考查了平行线段成比例，正确作出平行线是解题的关键.22. 甲骑自行车以10千米/时的速度沿公路行驶，3小时后，乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶，速度为25千米/时．设甲出发后x小时，甲离开出发地的路程为y1千米，乙离开出发地的路程为y2千米．试回答下列问题：(1)求y1、y2关于x的函数解析式；(2)在同一直角坐标系中，画出(1)中两个函数的图像；(3)当x为何值时，乙追上甲，此时他们离出发地的路程是多少千米？【答案】(1)110y x =；22575y x =-；(2)见解析；(3)x =5小时时，乙追上甲，此时他们离出发地的距离为50千米．【解析】【分析】(1) 由题意，可直接写出两个函数的解析式及定义域；(2) 根据(1)中的两个解析式，在同一直角坐标系中画出两函数的图像；(3)根据题意可得到102575x x =-解出x 的值即可得出结论.【详解】解：(1)由题意，得110y x =．22575y x =-．(2)画函数图像如下：(3)由题意，得102575x x =-．解得x=5．1010550x =´=(千米)．答：当x =5小时时，乙追上甲，此时他们离出发地的距离为50千米．【点睛】本题考查了一次函数的应用，找出等量关系是解题的关键.23. 如图，已知四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD = 2AC ．过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E ，AE 与BD 相交于点F ．过点C 作CG ⊥AC ，与AE 的延长线相交于点G ．(1)求证：△ACG ≌△DOA ；(2)求证：2DF BD DE AG ×=×．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1) 根据菱形的性质得到∠DAC =∠DCA ，∠AOD = 90°；根据垂直得出∠DCA +∠GCE = 90°，∠G +∠GCE = 90°从而得出∠G =∠DAC ；根据BD = 2AC ，BD = 2OD 得出AC = OD ；即可判断全等(2) 根据垂直易证△CDO ∽△FDE 得出OD DF DE CD ×=×；根据△ACG ≌△DOA 及12OD BD =即可得出结论.【详解】证明：(1)在菱形ABCD 中，AD = CD ，AC ⊥BD ，OB = OD ．∴∠DAC =∠DCA ，∠AOD = 90°．∵AE ⊥CD ，CG ⊥AC ，∴∠DCA +∠GCE = 90°，∠G +∠GCE = 90°．∴∠G =∠DCA ．∴∠G =∠DAC ．∵BD = 2AC ，BD = 2OD ，∴AC = OD ．在△ACG 和△DOA 中，∵∠ACG =∠AOD ，∠G =∠DAC ，AC = OD ，∴△ACG ≌△DOA ．(2)∵AE ⊥CD ，BD ⊥AC ，∴∠DOC =∠DEF = 90°．又∵∠CDO =∠FDE ，∴△CDO ∽△FDE ． ∴CD OD DF DE=．即得OD DF DE CD ×=×．∵△ACG ≌△DOA ，∴AG = AD = CD ．又∵12OD BD =，∴2DF BD DE AG ×=×．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质，熟练掌握性质和判定是解题的关键.24. 已知抛物线2y x b x c =-++经过点A(1，0)、B(3，0)，且与y 轴的公共点为点C ．(1)求抛物线的解析式，并求出点C 的坐标；(2)求∠ACB 的正切值；(3)点E 为线段AC 上一点，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为点F ．如果14EF BF =，求△BCE 的面积．【答案】(1)243y x x =-+-；C(0，-3)；(2)1tan 2ACB Ð=；(3)32.【解析】【分析】(1) 将A(1，0)、B(3，0)代入抛物线求出抛物线的解析式，令x=0即可得出点C 的坐标；(2) 连接AC 、BC ．过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D,根据题意可得出BC ；根据∠ADB =∠COB = 90°可得出BD ；在Rt △ACD 中即可得出tan ACB Ð的值.(3) 连接BE ．设EF = a. 由14EF BF =，得 BF = 4a ．根据三角函数值即可求出a 的值.从而求出△BCE的面积.【详解】解：(1)由题意，得309330a b a b +-=ìí+-=î解得14a b =-ìí=î所以，所求抛物线的解析式为243y x x =-+-．由x=0，得y=-3．∴点C 的坐标为(0，-3)．(2) 连接AC 、BC ．过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D ．∵B(3，0)，C(0，3)，∴OB = OC = 3．BC ==在Rt △BOC 和Rt △BDA 中，∠ADB =∠COB = 90°．∴cos BD OB ABD AB BC Ð===．∴BD =．即得 AD =，CD =．在Rt △ACD 中，∠ADC = 90°，∴1tan 2AD ACB CD Ð==．(3)连接BE ．设EF = a ．由14EF BF =，得 BF = 4a ．又∵1tan 2EF ACB CF Ð==，∴CF = 2a ．∴BC = BF +FC = 6a ．∴6a =．解得a =．即得 EF =．∴113222BCE S BC EF =×==V ．【点睛】本题考查了二次函数的综合，以及三角函数的求值，解题的关键是找到直角三角形得出所需线段的值.25. 如图，点P 为∠MAN 的内部一点．过点P 分别作PB ⊥AM 、PC ⊥AN ，垂足分别为点B 、C ．过点B 作BD ⊥CP ，与CP 的延长线相交于点D ．BE ⊥AP ，垂足为点E ．(1)求证：∠BPD =∠MAN ；(2)如果sin MAN Ð=AB =，BE=BD ，求BD 长；(3)如图2，设点Q 是线段BP 的中点．联结QC 、CE ，QC 交AP 于点F ．如果∠MAN= 45°，且BE//QC ，求PQFCEF S S D D 的值．【答案】(1)证明见解析；(2)BD=2；(3)23.【解析】的【分析】（1）根据垂直的定义得出∠PBA =∠PCA = 90°，根据四边形内角和为360°得∠BAC +∠BPC = 180°.根据平角∠BPD +∠BPC = 180°，等量代换得出∠BAC =∠BPD 即可得出结论.（2）根据BE ⊥AP ，∠D = 90°，BE = BD 可得∠BPD =∠BPE ，等量代换得∠BPE =∠BAC ；在Rt △ABP 中根据同角的余角相等得出∠BAC =∠ABE ，等角的正弦相等可求出AE 的值，根据勾股定理求出BD=BE=2（3）过点B 作BG ⊥AC ，垂足为点G ．过点Q 作QH // BD ．设BD = 2a ，PC = 2b ，则 CD = 2a + 2b ．可得出AC = 4a +2b.由BE // QC 易证△QCH ∽△PFC ，再根据△PQF 与△CEF 面积之比等于高之比即可求出.【详解】(1)证明：∵PB ⊥AM ，PC ⊥AN ，∴∠PBA =∠PCA = 90°．在四边形ABPC 中，∠BAC +∠PCA +∠BPC +∠PBA = 360°，∴∠BAC +∠BPC = 180°．又∵∠BPD +∠BPC = 180°，∴∠BAC =∠BPD ．即∠MAN =∠BPD.(2)解：由BE ⊥AP ，∠D = 90°，BE = BD ，得 ∠BPD =∠BPE ．即得 ∠BPE =∠BAC ．在Rt △ABP 中，由 ∠ABP = 90°，BE ⊥AP ，得∠APB =∠ABE ．即得∠BAC =∠ABE ．∴sin sin AE BAC ABE AB Ð=Ð==．又∵AB =，∴6AE ==．∴2BE ===．∴BD=2．(3)解：过点B 作BG ⊥AC ，垂足为点G ．过点Q 作QH // BD ．设BD = 2a ，PC = 2b ，则 CD = 2a + 2b ．在Rt △ABG 和Rt △BDP 中，由 ∠BAC =∠BPD = 45°，得BG = AG ，DP = BD ．∵QH//BD ，点Q 为BP 的中点．∴1PH PQ DH BQ==．即得 PH = a ．∴12QH BD a ==，CH = PH + PC = a + 2b ．又∵BD //AC ，CD ⊥AC ，BG ⊥AC ，∴BG = DC = 2a + 2b ．即得AC = 4a +2b ．由BE // QC ，BE ⊥AP ，得 ∠CQP =∠BEP = 90°．又由∠ACP = 90°，得 ∠QCH =∠PAC ．∴△ACP ∽△QCH ．∴PC AC QH HC=．即得2422b a b a a b+=+．解得a = b ．∴CH = 3a ．∴CQ ==．又∵∠QHC =∠PFC = 90°，∠QCH =∠PCF ，∴△QCH ∽△PFC ．∴HC QC CF PC=．即得3a FC =解得FC =．∴QF QC FC =-==．又∵BE // QC ，Q 是PB 的中点，∴1PF PQ EF BQ==．即得PE=EF ．于是，△PQF 与△CEF 面积之比等于高之比，即23PQFCEF S QF S FC D D ==．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、直角三角形以及三角函数的综合，作出合适的辅助线是解题的关键.。
2019年上海市静安区中考数学二模试卷（解析版）
2019年上海市静安区中考数学⼆模试卷（解析版）2019年上海市静安区中考数学⼆模试卷⼀、选择题：（本⼤题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有⼀个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列⼆次根式中，与是同类⼆次根式的是（）A．B．C．D．2．（4分）计算（1﹣a）（﹣1﹣a）的结果是（）A．a2﹣1B．1﹣a2C．a2﹣2a+1D．﹣a2+2a﹣13．（4分）函数y＝﹣（x＞0）的图象位于（）A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限4．（4分）如图，在同⼀平⾯内，将边长相等的正⽅形、正五边形的⼀边重合，那么∠1的⼤⼩是（）A．8°B．15°C．18°D．28°5．（4分）⼩明和⼩丽暑期参加⼯⼚社会实践活动，师傅将他们⼯作第⼀周每天⽣产的合格产品的个数整理成如表1两组数据．那么关于他们⼯作第⼀周每天⽣产的合格产品个数，下列说法中正确的是（）A．⼩明的平均数⼩于⼩丽的平均数B．两⼈的中位数相同C．两⼈的众数相同D．⼩明的⽅差⼩于⼩丽的⽅差6．（4分）下列说法中正确的是（）A．对⾓线相等的四边形是矩形B．对⾓线互相垂直的矩形是正⽅形C．顺次联结矩形各边中点所得四边形是正⽅形D．正多边形都是中⼼对称图形⼆、填空题：（本⼤题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．（4分）计算：a2?a4＝．8．（4分）如果有意义，那么x的取值范围是．9．（4分）⽅程：＝3的解为．10．（4分）如果关于x的⼆次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是．11．（4分）某商店三⽉份的利润是25000元，要使五⽉份的利润达到36000元，假设每⽉的利润增长率相同，那么这个相同的增长率是．12．（4分）已知正⽐例函数y＝﹣2x，那么y的值随x的值增⼤⽽．（填“增⼤”或“减⼩”）13．（4分）从0，1，2，3这四个数字中任取3个数，取得的3个数中不含2的概率是．14．（4分）为了解某校九年级男⽣1000⽶跑步的⽔平情况，从中随机抽取部分男⽣进⾏测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所⽰的不完整的统计图，那么扇形统计图中表⽰C等次的扇形所对的圆⼼⾓的度数为度．15．（4分）已知△ABC中，G是△ABC的重⼼，则＝．16．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，如果以点C为圆⼼的圆与斜边AB有且只有⼀个交点，那么⊙C的半径是．17．（4分）如图，在平⾏四边形ABCD中，点E、F是AB的三等分点，点G是AD的中点，联结EC、FG交于点M．已知＝，＝，那么向量＝．（⽤向量，表⽰）．18．（4分）如图，在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知A（2，0），B（0，6），M（0，2）．点Q在直线AB上，把△BMQ沿着直线MQ翻折，点B落在点P处，联结PQ．如果直线PQ与直线AB所构成的夹⾓为60°，那么点P的坐标是．三、解答题：（本⼤题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：4﹣+（﹣1）2++|1﹣|．20．（10分）解⽅程组：21．（10分）⼀个⽔库的⽔位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续5⼩时内6个时间点的⽔位⾼度，其中x表⽰时间，y 表⽰⽔位⾼度．（1）通过观察数据，请写出⽔位⾼度y与时间x的函数解析式（不需要写出定义域）；（2）据估计，这种上涨规律还会持续，并且当⽔位⾼度达到8⽶时，⽔库报警系统会⾃动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报．22．（10分）已知：如图5，在矩形ABCD中，过AC的中点M作EF⊥AC，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）如果CD2＝BF?BC，求∠BAF的度数．23．（12分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点E为弦AB的中点，AO的延长线交BC于点D，联结ED．过点B作BF⊥DE交AC于点F．（1）求证：∠BAD＝∠CBF；（2）如果OD＝DB．求证：AF＝BF．24．（12分）在平⾯直⾓坐标系xOy中（如图7），已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过原点，与x轴的另⼀个交点为A，顶点为P（﹣3，4）．（1）求这条抛物线表达式；（2）将该抛物线向右平移，平移后的新抛物线顶点为Q，它与y轴交点为B，联结PB、PQ．设点B的纵坐标为m，⽤含m的代数式表⽰∠BPQ的正切值；（3）联结AP，在（2）的条件下，射线PB平分∠APQ，求点B到直线AP的距离．25．（14分）已知：如图8，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝BC＝CD＝6．动点P 在射线BA上，以BP为半径的⊙P 交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、PC．设BP＝x，PC＝y．（1）求证：PE∥DC；（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）联结PD，当∠PDC＝∠B时，以D为圆⼼半径为R的⊙D与⊙P相交，求R的取值范围．2019年上海市静安区中考数学⼆模试卷参考答案与试题解析⼀、选择题：（本⼤题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有⼀个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列⼆次根式中，与是同类⼆次根式的是（）A．B．C．D．【分析】各项化简后，利⽤同类⼆次根式定义判断即可．【解答】解：与是同类⼆次根式的是，故选：C．【点评】此题考查了同类⼆次根式，熟练掌握同类⼆次根式的定义是解本题的关键．2．（4分）计算（1﹣a）（﹣1﹣a）的结果是（）A．a2﹣1B．1﹣a2C．a2﹣2a+1D．﹣a2+2a﹣1【分析】利⽤平⽅差公式计算即可求出值，【解答】解：原式＝（﹣a）2﹣12＝a2﹣1，故选：A．【点评】此题考查了平⽅差公式，熟练掌握平⽅差公式是解本题的关键．3．（4分）函数y＝﹣（x＞0）的图象位于（）A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据反⽐例函数中y＝，当k＜0，双曲线的两⽀分别位于第⼆、第四象限，在每⼀象限内y随x的增⼤⽽增⼤，进⽽得出答案．【解答】解：函数y＝﹣（x＞0）的图象位于第四象限．故选：D．【点评】此题主要考查了反⽐例函数的性质，正确记忆反⽐例函数图象分布的象限是解题关键．4．（4分）如图，在同⼀平⾯内，将边长相等的正⽅形、正五边形的⼀边重合，那么∠1的⼤⼩是（）A．8°B．15°C．18°D．28°【分析】∠1的度数是正五边形的内⾓与正⽅形的内⾓的度数的差，根据多边形的内⾓和定理求得⾓的度数即可得出结果．【解答】解：∵正五边形的内⾓的度数是×（5﹣2）×180°＝108°，⼜∵正⽅形的内⾓是90°，∴∠1＝108°﹣90°＝18°；故选：C．【点评】本题考查了多边形的内⾓和定理、正⽅形的性质，求得正五边形的内⾓的度数是关键．5．（4分）⼩明和⼩丽暑期参加⼯⼚社会实践活动，师傅将他们⼯作第⼀周每天⽣产的合格产品的个数整理成如表1两组数据．那么关于他们⼯作第⼀周每天⽣产的合格产品个数，下列说法中正确的是（）A．⼩明的平均数⼩于⼩丽的平均数B．两⼈的中位数相同C．两⼈的众数相同D．⼩明的⽅差⼩于⼩丽的⽅差【分析】根据众数、中位数、⽅差和平均数的计算公式分别进⾏解答即可得出答案．【解答】解：A、⼩明的平均数为（2+6+7+7+8）÷5＝6，⼩丽的平均数为（2+3+4+8+8）÷5＝5，故本选项错误；B、⼩明的中位数为7，⼩丽的中位数为4，故本选项错误；C、⼩明的众数为7，⼩丽的众数为8，故本选项错误；D、⼩明的⽅差为4.4，⼩丽的⽅差为6.4，⼩明的⽅差⼩于⼩丽的⽅差，故原题说法正确；故选：D．【点评】此题主要考查了众数、中位数、⽅差和平均数，熟练掌握定义和公式是解题的关键；⼀组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将⼀组数据按照从⼩到⼤（或从⼤到⼩）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；⼀般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则⽅差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了⼀组数据的波动⼤⼩，⽅差越⼤，波动性越⼤，反之也成⽴．6．（4分）下列说法中正确的是（）A．对⾓线相等的四边形是矩形B．对⾓线互相垂直的矩形是正⽅形C．顺次联结矩形各边中点所得四边形是正⽅形D．正多边形都是中⼼对称图形【分析】根据矩形的判定⽅法对A进⾏判断；根据正⽅形的判定⽅法对B进⾏判断；根据矩形的性质、三⾓形中位线定理以及菱形的判定⽅法对C进⾏判断；根据中⼼对称图形的定义对D进⾏判断．【解答】解：A对⾓线相等的平⾏四边形是矩形，所以A选项错误；B、对⾓线互相垂直的矩形是正⽅形，所以B选项正确；C、顺次联结矩形各边中点所得四边形是菱形，所以C选项错误；D、边数为偶数的正多边形都是中⼼对称图形，所以D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了命题与定理：判断⼀件事情的语句，叫做命题．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，⼀个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是⽤推理证实的，这样的真命题叫做定理．⼆、填空题：（本⼤题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．（4分）计算：a2?a4＝a6．【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进⾏运算即可．【解答】解：a2?a4＝a2+4＝a6．故答案为：a6．【点评】此题考查了同底数幂的乘法运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则．8．（4分）如果有意义，那么x的取值范围是x＞0．【分析】根据⼆次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：，解得：x＞0，故答案为：x＞0．【点评】本题考查⼆次根式，解题的关键是熟练运⽤⼆次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，本题属于基础题型．9．（4分）⽅程：＝3的解为10．【分析】将⽆理⽅程两边平⽅，转化为⼀元⼀次⽅程来解．【解答】解：两边平⽅得：x﹣1＝9，移项得：x＝10．故本题答案为：10．【点评】本题由于两边平⽅，可能产⽣增根，所以解答以后要验根．10．（4分）如果关于x的⼆次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是m＞4．【分析】关于x的⼆次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，就是对应的⼆次⽅程x2﹣4x+m＝0⽆实数根，由此可解．【解答】关于x的⼆次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，就是对应的⼆次⽅程x2﹣4x+m＝0⽆实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4m＝16﹣4m＜0，∴m＞4．故答案为：m＞4．【点评】本题考查⼆次三项式的因式分解问题，可转化为对应的⼆次⽅程的实数根的情况，属于⽐较简单的问题．11．（4分）某商店三⽉份的利润是25000元，要使五⽉份的利润达到36000元，假设每⽉的利润增长率相同，那么这个相同的增长率是20%．【分析】设每⽉的利润增长率为x，根据该商店三⽉份及五⽉份的利润，可得出关于x的⼀元⼆次⽅程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设每⽉的利润增长率为x，依题意，得：25000（1+x）＝36000，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．故答案为：20%．【点评】本题考查了⼀元⼆次⽅程的应⽤，找准等量关系，正确列出⼀元⼆次⽅程是解题的关键．12．（4分）已知正⽐例函数y＝﹣2x，那么y的值随x的值增⼤⽽减⼩．（填“增⼤”或“减⼩”）【分析】直接根据正⽐例函数的性质解答．【解答】解：因为正⽐例函数y＝﹣2x中的k＝﹣2＜0，所以y的值随x的值增⼤⽽减⼩．故答案是：减⼩．【点评】本题考查了正⽐例函数的性质：正⽐例函数y＝kx（k≠0）的图象为直线，当k ＞0时，图象经过第⼀、三象限，y值随x的增⼤⽽增⼤；当k＜0时，图象经过第⼆、四象限，y值随x的增⼤⽽减⼩．13．（4分）从0，1，2，3这四个数字中任取3个数，取得的3个数中不含2的概率是．【分析】利⽤列举法展⽰所有4种等可能的结果数，再确定取得的3个数中不含2的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：从0，1，2，3这四个数字中任取3个数有0、1、2；0、1、3；0、2、3；1、2、3四种等可能的结果数，所以取得的3个数中不含2的概率＝．故答案为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利⽤列表法或树状图法展⽰所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数⽬m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．14．（4分）为了解某校九年级男⽣1000⽶跑步的⽔平情况，从中随机抽取部分男⽣进⾏测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所⽰的不完整的统计图，那么扇形统计图中表⽰C等次的扇形所对的圆⼼⾓的度数为72度．【分析】根据A等次的⼈数和所占的百分⽐求出总⼈数，再⽤C等次的⼈数除以总⼈数求出所占的百分⽐，然后乘以360°即可得出答案．【解答】解：扇形统计图中表⽰C等次的扇形所对的圆⼼⾓的度数为：360°×＝72°，故答案为：72．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运⽤．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．15．（4分）已知△ABC中，G是△ABC的重⼼，则＝．【分析】设△ABC边AB上的⾼为h，根据三⾓形的重⼼到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍可得△ABG边AB上的⾼线为h，再根据三⾓形的⾯积公式计算即可得解．【解答】解：设△ABC边AB上的⾼为h，∵G是△ABC的重⼼，∴△ABG边AB上的⾼为h，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了三⾓形的重⼼，熟记三⾓形的重⼼到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键，本知识点在很多教材上已经不做要求．16．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，如果以点C为圆⼼的圆与斜边AB有且只有⼀个交点，那么⊙C的半径是．【分析】根据等腰直⾓三⾓形的性质和直线与圆的位置关系解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，∵以点C为圆⼼的圆与斜边AB有且只有⼀个交点，∴CD⊥AB，∴CD＝，即⊙C的半径是故答案为：．【点评】此题考查直线与圆的位置关系，关键是根据等腰直⾓三⾓形的性质和直线与圆的位置关系解答．17．（4分）如图，在平⾏四边形ABCD中，点E、F是AB的三等分点，点G是AD的中点，联结EC、FG交于点M．已知＝，＝，那么向量＝+．（⽤向量，表⽰）．【分析】如图，延长FG交CD的延长线于H．⾸先证明CM＝EC，求出即可解决问题．【解答】解：如图，延长FG交CD的延长线于H．∵四边形ABCD是平⾏四边形，∴AB∥CH，∴＝＝1，∴AF＝DH，设AE＝EF＝FB＝a，则AB＝CD＝3a，AF＝DH＝2a，CH＝5a，∵EF∥CH，∴＝＝，∴CM＝CE，∵＝+＝+，∴＝＝+，故答案为+．【点评】本题考查平⾯向量，平⾏四边形的性质，平⾏线分线段成⽐例定理等知识，解题的关键是学会添加常⽤辅助线，灵活运⽤平⾏线分线段成⽐例定理解决问题，属于中考常考题型．18．（4分）如图，在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知A（2，0），B（0，6），M（0，2）．点Q在直线AB上，把△BMQ沿着直线MQ翻折，点B落在点P处，联结PQ．如果直线PQ与直线AB所构成的夹⾓为60°，那么点P的坐标是（2，4）或（0，﹣2）或（﹣2，0）．【分析】先求出OA＝2，OB＝6，OM＝2，BM＝OB﹣OM＝4，tan∠BAO＝，得出∠BAO＝60°，AB＝2OA＝4，分∠PQB＝120°或∠PQB＝60°两种情况，（1）当∠PQB＝120°时，⼜分两种情况：①延长PQ交OB于点N，则∠BQN＝60°，QN⊥BM，由折叠得出BM＝MP＝4，求出BN＝NM＝BM＝2，由勾股定理得出NP＝＝2，ON＝OM+NM＝4，即可得出P点的坐标；②QM⊥OB，BM＝MP，OP＝PM﹣OM＝BM﹣OM＝4﹣2＝2，即可得出P点的坐标；（2）当∠PQB＝60°时，Q点与A点重合，AB＝AP＝4，OP＝AP﹣OA＝2，即可得出P点的坐标；综上情况即可P点的坐标．【解答】解：∵A（2，0），B（0，6），M（0，2），∴OA＝2，OB＝6，OM＝2，BM＝OB﹣OM＝4，∴tan∠BAO＝＝＝，∴∠BAO＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝4，∵直线PQ与直线AB所构成的夹⾓为60°，∴∠PQB＝120°或∠PQB＝60°，（1）当∠PQB＝120°时，分两种情况：①如图1所⽰：延长PQ交OB于点N，则∠BQN＝60°，∴∠QNB＝90°，即QN⊥BM，由折叠得：BM＝MP＝4，∠BQM＝∠PQM，∵∠PQB＝120°，∴∠BQM＝∠PQM＝120°，∴∠BQN＝∠MQN＝60°，∵QN⊥BM，∴BN＝NM＝BM＝2，在Rt△PNM中，NP＝＝＝2，ON＝OM+NM＝4，∴P点的坐标为：（2，4）；②如图2所⽰：QM⊥OB，BM＝MP，OP＝PM﹣OM＝BM﹣OM＝4﹣2＝2，∴P点的坐标为：（0，﹣2）；（2）当∠PQB＝60°时，如图3所⽰：Q点与A点重合，由折叠得：AB＝AP＝4，OP＝AP﹣OA＝4﹣2＝2，∴P点的坐标为：（﹣2，0）；综上所述：P点的坐标为：（2，4）或（0，﹣2）或（﹣2，0）．【点评】本题考查了翻折变换的性质、直⾓三⾓形的性质、勾股定理、三⾓函数、坐标等知识，熟练掌握翻折变换的性质、直⾓三⾓形的性质，并进⾏分类讨论是关键．三、解答题：（本⼤题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：4﹣+（﹣1）2++|1﹣|．【分析】将原式每⼀项分别化简为+（2+1﹣2）+（﹣）+﹣1，再进⾏计算即可．【解答】解：原式＝+（2+1﹣2）+（﹣）+﹣1＝+3﹣2+﹣+﹣1＝+﹣2．【点评】本题考查负指数幂的运算，分母有理化，绝对值运算．能够将每⼀项准确化简是正确计算的关键．20．（10分）解⽅程组：【分析】先将⼆次⽅程化为两个⼀次⽅程，则原⽅程组化为两个⼆元⼀次⽅程组，解⽅程组即可．【解答】解：由②得：（x﹣2y）（x+5y）＝0原⽅程组可化为：或解得：，．∴原⽅程组的解为，．【点评】本题考查了解⾼次⽅程组，将⾼次⽅程化为⼀次⽅程是解题的关键．21．（10分）⼀个⽔库的⽔位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续5⼩时内6个时间点的⽔位⾼度，其中x表⽰时间，y表⽰⽔位⾼度．（1）通过观察数据，请写出⽔位⾼度y与时间x的函数解析式（不需要写出定义域）；（2）据估计，这种上涨规律还会持续，并且当⽔位⾼度达到8⽶时，⽔库报警系统会⾃动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报．【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y与x之间的函数解析式；（2）将y＝8代⼊（1）中的函数解析式，求出x的值，再⽤x的值减去5即可解答本题．【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，，得，即y与x之间的函数解析式为y＝0.3x+3；（2）把y＝8，代⼊y＝0.3x+3，得8＝0.3x+3，解得，x＝，＝，答：再过⼩时后系统会发出警报．【点评】本题考查⼀次函数的应⽤，解答本题的关键是明确题意，利⽤⼀次函数的性质解答．22．（10分）已知：如图5，在矩形ABCD中，过AC的中点M作EF⊥AC，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）如果CD2＝BF?BC，求∠BAF的度数．【分析】（1）通过证明△AME≌△CMF得到ME＝MF．则可判断四边形AECF为平⾏四边形，然后利⽤对⾓线互相垂直得到结论；（2）利⽤CD2＝BF?BC和AB＝CD得到＝，根据相似三⾓形的判定⽅法得到△ABF∽△CBA，所以∠2＝∠3，⽽根据菱形的性质得∠1＝∠4，即∠1＝∠3＝∠4，从⽽可求出∠1的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠2，∵点M为AC的中点，∴AM＝CM．在△AME与△CMF中∴△AME≌△CMF（ASA），∴ME＝MF．∴四边形AECF为平⾏四边形，⼜∵EF⊥AC，∴平⾏四边形AECF为菱形；（2）解：∵CD2＝BF?BC，∴＝，⼜∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，∴＝⼜∵∠ABF＝∠CBA，∴△ABF∽△CBA，∴∠2＝∠3，∵四边形AECF为菱形，∴∠1＝∠4，即∠1＝∠3＝∠4，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠1+∠3+∠4＝90°，∴即∠1＝30°．【点评】本题考查了相似三⾓形的判定与性质：在判定两个三⾓形相似时，应注意利⽤图形中已有的公共⾓、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作⽤，寻找相似三⾓形的⼀般⽅法是通过作平⾏线构造相似三⾓形．也考查了菱形的判定与性质和矩形的性质．23．（12分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点E为弦AB的中点，AO的延长线交BC于点D，联结ED．过点B作BF⊥DE交AC于点F．（1）求证：∠BAD＝∠CBF；（2）如果OD＝DB．求证：AF＝BF．【分析】（1）由等腰三⾓形的性质得出∠ABC＝∠C，由垂径定理得出AD⊥BC，BD＝CD，证出DE是△ABC的中位线．得出DE∥AC，证出∠BFC＝90°，由⾓的互余关系即可得出结论；（2）连接OB．证出△ODB是等腰直⾓三⾓形，得出∠BOD＝45°．再由等腰三⾓形的性质得出∠OBA＝∠OAB．即可得出结论．【解答】（1）证明：如图1所⽰：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵直线AD经过圆⼼O，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵点E为弦AB的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥AC，∵BF⊥DE，∴∠BPD＝90°，∴∠BFC＝90°，∴∠CBF+∠ACB＝90°．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，。
2019年上海各区初三二模数学试卷24题专题汇编(教师版)
2019年上海各区初三二模数学试卷24题专题汇编（教师版）题型一：特殊四边形【思路点拨】按已知线段是边还是对角线分类，梯形可以按已知边分别为底分类 根据边平行或相等的条件列方程求解（2019崇明区）24．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图8，抛物线2y x bx c =++交x 轴于点(1,0)A 和点B ，交y 轴于点(0,3)C ． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上找出点P ，使PC PO =，求点P 的坐标；（3）将直线AC 沿x 轴的正方向平移，平移后的直线交y 轴于点M ，交抛物线于点N ． 当四边形ACMN 为等腰梯形时，求点M 、N 的坐标．24．（本题满分12分，每小题满分各4分）解：（1）∵抛物线2y x bx c =++ 过点A （1，0）、C （0，3）∴013b cc=++⎧⎨=⎩………………………………………………………………（2分）解得43b c =-⎧⎨=⎩ ……………………………………………………………（1分）∴抛物线的解析式为243y x x =-+ ………………………………………（1分） （2）过P 作PH OC ⊥，垂足为H∵PO ＝OC ，PH OC ⊥A B COyx备用图∴CH ＝OH 32= ………………………………………………………………（1分） ∴ 23432x x -+=……………………………………………………………（1分）∴1022x =±………………………………………………………………（1分） 103103(2,)-2222P P +或（2，）………………………………………………（1分） （3）连接NA 并延长交OC 于G∵四边形ACMN 为等腰梯形，且AC ∥MN∴∠ANM ＝∠CMN ，∠ANM ＝∠GAC ，∠GCA ＝∠CMN ∴∠GAC ＝∠GCA ，∴GA ＝GC 设GA ＝x ，则GC ＝x ，OG ＝3－x 在Rt △OGA 中，OA 2＋OG 2＝AG 2∴12＋(3－x)2＝x2，解得x ＝ 53∴OG ＝3－x ＝43，∴G （0，43）易得直线AG 的解析式为y ＝－43x ＋43令－43x ＋43＝x2－4x ＋3，解得x 1＝1（舍去），x 2＝53∴N （53，－89）………………………………………………………………（2分）∴CM ＝AN ＝(1－53)2＋(89)2＝109∴OM ＝OC ＋CM ＝3＋109＝379∴M （0，379）…………………………………………………………………（2分）∴存在M （0，379）、N （53，－89）使四边形ACMN 为等腰梯形A BC OyxM NG题型二：面积+三角比【思路点拨】求某个角的三角比时:① 所求角在直角三角形中，直接求 ② 所求角不在直角三角形中时，等角的转化或构造直角三角形（构造时一般要借助题目中的特殊度数，如30°、45°或60°） （2019奉贤区）24．（本题满分12分，每小题满分各4分） 如图9，已知平面直角坐标系，抛物线22y ax bx与轴交于点A (-2，0)和点B (4，0) ．（1）求这条抛物线的表达式和对称轴；（2）点C 在线段OB 上，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为点C ，交抛物线与点D ，E 是BD 中点，联结CE 并延长，与y 轴交于点F ．①当D 恰好是抛物线的顶点时，求点F 的坐标； ②联结BF ，当△DBC 的面积是△BCF 面积的32时，求点C 的坐标．24．解：（1）由题意得，抛物线22yaxbx经过点A (－2，0)和点B (4，0)，代入得4220,16420.a b a b 解得1,41.2a b············································ （2分）因此，这条抛物线的表达式是211242yx x .··································· （1分） 它的对称轴是直线1x. ······································································ （1分） （2）①由抛物线的表达式211242yx x ，得顶点D 的坐标是（1，94）. ···· （1分） ∴9,1,4134DCOC BC .∵D 是抛物线顶点，CD ⊥x 轴，E 是BD 中点，∴CE BE . ∴EBC ECB .∵ECBOCF ，∴EBC OCF . ·············································· （1分） xOy x 图8图9OABxy在Rt △DCB 中，90DCB，34cot 934BC EBCDC ． 在Rt △OFC 中，90FOC ，cot OCOCFOF． ∴143OF =，34OF．∴点F 的坐标是（0，34）． ································· （2分） ②∵12DBC S BC DC ∆=⋅⋅，12BCF S BC OF ∆=⋅⋅， ∴DBC BCF SDC S OF ． ··············· （1分）∵△DBC 的面积是△BCF 面积的32， ∴32DCOF． ···································· （1分） 由①得BDC OFC ，又90DCBFOC ，∴△DCB ∽△FOC ．∴DC CB OFOC=． ······················································· （1分） 又OB =4，∴342OC OC-=，∴85OC =．即点C 坐标是8(,0)5. ··························· （1分）（2019闵行区）24.（本题共3小题，每小题各4分，满分12分）已知抛物线c bx x ++-=2y 经过点()0,1A 、()03，B ，且与y 轴的公共点为点C . （1）求抛物线的解析式，并求出点C 的坐标；（2）求ACB ∠的正切值；（3）点E 为线段AC 上一点，过点E 作BC EF ⊥，垂足为点F ，如果41=BF EF ，求BCE ∆的面积（2019普陀区）24．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线243y x m =-+(0)m >与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 如图11所示，点C 在线段AB 的延长线上，且2AB BC =． （1）用含字母m 的代数式表示点C 的坐标；（2）抛物线21103y x bx =-++经过点A 、C ，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）题的条件下，位于第四象限的抛物线上，是否存在这样的点P ：使2PAB OBC S S =△△，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，试说明理由．图11xyO AB1124．解：（1） 过点C 作CH ⊥OB ，垂足为点H ．∵直线243y x m =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，∴点A 的坐标是()6,0m ，点B 的坐标是()0,4m . ······································ （2分） ∴6OA m =，4OB m =. ∵CH ⊥OB ，∴CH //OA ． ∴CH BH BCOA OB AB==． ·········································································· （1分） ∵2AB BC =，∴3CH m =，2BH m =.∴点C 的坐标是()3,6m m -. ································································· （1分） （2） ∵抛物线21103y x bx =-++经过点A 、点C ，可得 221(6)6100,31(3)3106.3m m b m m b m ⎧-⨯+⋅+=⎪⎪⎨⎪-⨯--⋅+=⎪⎩ ·················································· （2分）∵0m >，解得 1,13m b =⎧⎪⎨=⎪⎩. ·································································· （1分） ∴抛物线的表达式是2111033y x x =-++. ············································· （1分） （3）过点P 分别作PQ ⊥OA 、垂足为点Q ．设点P 的坐标为211(,10)33n n n -++．可得OQ n =，2111033PQ n n =--． ∵2PAB OBC S S =△△，2AB BC =．∴△PAB 与△OBC 等高，∴OP //AB . ··················································· （1分） ∴BAO POQ ∠=∠.∴tan tan BAO POQ ∠=∠.∴211102333n n n --=. ········································································· （1分）解得1n =，2n （舍去）． ········································· （1分）∴点P 的坐标是⎝⎭. ················································· （1分）题型三：相似【思路点拨】相似分类思路：①一般可以找到一组固定相等的角① 边分类-相等角的两边（利用的是两边对于成比例且夹角相等） ② 角分类-若上述比例式中的边没法表示时，可按角继续分类（2019松江）24、如图，抛物线c x ax y ++=42过点A （6，0）、B （3，23），与y 轴交于点C ，联结AB 并延长，交y 轴于点D.（1）求该抛物线的表达式； （2）求△ADC 的面积；（3）点P 在线段AC 上，如果△OAP 和△DCA 相似，求点P 的坐标.题型四：已知角等或特殊角求坐标【思路点拨】本题思路：1、 直接利用相等角的正余切值相等，或者直接利用相等角证相似2、 整角转化，整个角转化成其他的角等，再找正余切或相似3、 通过角度的和差或共享角找其他角等 （2019宝山）24、如图，已知对称轴为直线1-=x 的抛物线32++=bx ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中A （1，0）.（1）求点B 的坐标及此抛物线的表达式；（2）点D 为y 轴上一点，若直线BD 和直线BC 的夹角为15°，求线段CD 的长度；（3）设点P 为抛物线的对称轴1-=x 上的一个动点，当△BPC 为直角三角形时，求点P 的坐标.（2019嘉定区）24、在平面直角坐标系xOy 中，如图，抛物线n x mx y +-=22（n m 、是常数）经过点A （﹣2，3）、B（﹣3，0），与y轴的交点为点C.（1）求此抛物线的表达式；（2）点D为y轴上一点，若直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；（3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点P的坐标.（2019黄浦区）24．（本题满分12分）如图7，已知抛物线2y ax bx c =++经过原点()0,0O 、()2,0A ，直线2y x =经过抛物线的顶点B ，点C 是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结BC 、OC 、AB ，过点C 作CE △x 轴，分别交线段OB 、AB 于点E 、F .（1）求抛物线的表达式；（2）当BC CE =时，求证：BCE ∆△ABO ∆； （3）当CBA BOC ∠=∠时，求点C 的坐标.24. 解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过原点()0,0O 、()2,0A ，∴对称轴为1x =，∵直线2y x =经过抛物线的顶点B ，∴()1,2B .--------------------------------------------------------（1分） 设()212y a x =-+，--------------------------------------------------------------------------------------------（2分） ∵抛物线经过原点()0,0O ，∴2a =-，∴224y x x =-+.------------------------------------------（1分） （2）∵BC CE =，∴BEF CBE ∠=∠，------------------------------------------------------------（1分） ∵CE ∥x 轴，∴BEF BOA ∠=∠，-------------------------------------------------------------------（1分） ∵()1,2B ，()2,0A ，∴5OB AB ==，∴BOA BAO ∠=∠，-----------------------------（1分） ∴CBE BEF BOA BAO ∠=∠=∠=∠，∴BCE ∆∽ABO ∆，--------------------------------------（1分） （3）记CE 与y 轴交于点M ，过点B 作BN ⊥CE ，垂足为点N .设()2,24C m m m -+. ∵BEF BOC ECO ∠=∠+∠，BFE CBA BCE ∠=∠+∠，又CBA BOC ∠=∠，BEF BFE ∠=∠，∴ECO BCE ∠=∠，-------------------------------------（1分） ∴tan tan ECO BCE ∠=∠.∵CE ∥x 轴，x 轴⊥y 轴，∴90OMC BNC ∠=∠=︒，∴OM BNCM CN=，-----------------（1分）OxyAB CEF图7∴22242241m m m m m m -++-=-，∴11m =（舍），232m =，∴33,22C ⎛⎫⎪⎝⎭.-------------------（2分）（2019徐汇区）24. （本题满分（12分），第（1）题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线c bx x y ++-=241与直线321-=x y 分别交于x 轴、y 轴上的C B 、两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为点A ，顶点为点D ，联结CD 交x 轴交于点E （1）求抛物线的表达式及点D 的坐标 （2）求DCB ∠的正切值（3）如图点F 在y 轴上，且,DCB DBA FBC ∠+∠=∠求点F 的坐标 解： （1）321-=x y ()()30,0,6-∴，C B 带入c bx x y ++-=241，解得3,2-==c b 32412-+-=∴x x y )1,4(D ∴（2）()()3,0,1,4-C D3-=∴x y DC ()03，E ∴21tan =∠∴OBC 作BC EM ⊥交BC 于点M556552,55355====∴BE BM BE EM 3,6==OC OB 53=∴BC55955653=-=∴CM31559553tan ===∠∴CM EM DCB（3）易知OBC DBO ∠==∠tan 21tan OEC DCB OBC DCB DBA FBC ∠=∠+∠=∠+∠=∠∴()()3,0,0,3-C E 45=∠∴FBC45=∠∴OEC设()t F ,0，当3->t 时，31+=t C F ，作BC N F ⊥1()35525521+==∴t FC N F ，()355+=t CN ()35553+-=∴t BN N F BN 1=∴ ()()355235553+=+-∴t t 解得2=t ()2,0F ∴当3-<t 时，即902=∠BF F31tan tan 21=∠=∠∴B OF BO F 6=OB 182=∴OF ()18,02-∴F综上：F 点坐标为()2,0或()18,0-（2019杨浦区）24（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分,第（3）小题4分）已知开口向下的抛物线222y ax ax =-+与y 轴交于点A ，顶点为B ，对称轴与x 轴交于点C ，点A 与点D 关于对称轴对称，直线BD 与x 轴交于点M ，直线AB 与直线OD 交于点N ， （1）求点D 的坐标（2）求点M 的坐标（用含a 的式子表示）（3）当点N 在第一象限，且∠OMB=∠ONA 时，求a 的值21)3()0,22()2()2,2()1(-=-a aa M D【题型五】其他（2019金山）22. 已知：抛物线c bx x y ++-=2，经过点()2,1--A ，xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234OxyO()10，B .（1）求抛物线的关系式及顶点P 的坐标.（2）若点B '与点B 关于x 轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m 个单位，平移后的抛物线经过点B '，设此时抛物线顶点为点P '. ①求B B P ''∠的大小.②把线段B P ''以点B '为旋转中心顺时针旋转120，点P '落在点M 处，设点N 在（1）中的抛物线上，当B MN '∆的面积等于36时，求点N 的坐标.24.解：（1）把点()2,1--A ，()10，B 代入c bx x y ++-=2得⎩⎨⎧=+--=-c c b 112解得⎩⎨⎧==1c 2b△抛物线的关系式为：122++-=x x y （2分） 得()212+--=x y ； （1分）△顶点坐标为()21，P . （1分） （2）①设抛物线平移后为()2121++--=m x y ，代入点()1,0-'B 得()2112+--=-m ，解得131+=m ，132+-=m （舍去）；△()2321++-=x y ，得顶点()2,3-'P （2分） 连结B P '，B P ''，作y H P ⊥'轴，垂足为H ，得3='H P ,1=HB ，213=+='B P△3tan ='='∠BHHP BH P , （1分） △60='∠BH P , △12060180=-=''∠B B P . （1分） ②△2='B B ,2='B P 即B P B B '=', △30=''∠=''∠B B P B P B ;△线段B P ''以点B '为旋转中心顺时针旋转120，点P '落在点M 处; △90='∠M B O ,P B M B ''=' △x B M //'轴，32=''='P B M B ;设B MN '∆在M B '边上的高为h ，得：362=⋅'='∆hM B S B MN ，解得6=h ； △设()7-，a N 或()5，a N 分别代入122++-=x x y 得1272++-=-a a 解得：4=a 或2-=a △()74-，N 或()72--，N ，1252++-=a a 方程无实数根舍去，△综上所述：当36='∆B MN S 时，点N 的坐标为()74-，N 或()72--，N . （2分+2分）（2019长宁区）24.（本题满分12分，每小题4分）如图6，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx x y ++=294经过原点，且与x 轴相交于点A ，点A 的横坐标为6，抛物线顶点为点B ． （1）求这条抛物线的表达式和顶点B 的坐标；（2）过点O 作AB OP //，在直线OP 上点取一点Q ，使得OBA QAB ∠=∠，求点Q 的坐标； （3）将该抛物线向左平移)0(>m m 个单位，所得新抛物线与y 轴负半轴相交于点C 且顶点仍然在第四象限，此时点A 移动到点D 的位置，4:3:=DB CB ，求m 的值．24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）解：（1） 点)0,0(O 、)0,6(A 在抛物线c bx x y ++=294上 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=0636940c b c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=038c b （ 2分）∴抛物线的解析式为x x y 38942-=，顶点B 的坐标是)4,3(- （ 2分） （2）∵)0,6(A ，)4,3(-B ∴34AB =k ，∵AB OP // ∴34OP =k ， 设点)4,3(k k Q ，因为 OAB OBA ∠>∠ ，所以 0>k（ 1分）图61 y1xO∵OP 平行于AB ， QA 不平行于 OB ∴四边形OQAP 为梯形又∵OBA QAB ∠=∠ ∴四边形OQAP 为等腰梯形 ∴OA QB = （1分）∴36)44(3322=++-k k ）（ ∴2511=k 或1-=k （舍去） （1分） ∴)2544,2533(Q （ 1分） （3）由（1）知4)3(94389422--=-=x x x y 设抛物线向左平移)0(>m m 个单位后的新抛物线表达式为4)3(942-+-=m x y 因为新抛物线与y 轴负半轴相交于点C 且顶点仍然在第四象限，设点C 的坐标为),0(c C所以30<<m ，04<<-c ，过点B 分别做作x 、y 轴垂线，垂足分别为点E 、F ∴43==BE BF BD BC︒=∠=∠90BED BFC ∴BCF ∆∽BDE ∆ ∴43==BD BC DE CF ∴433=-m CF ∴)3(43m CF -=∴ )3(4344m CF OC --=-= （2分） 又∵4)3(942-+-=m x y ∴ 2)3(944m OC --= （1分） ∴ 2)3(944)3(434m m --=--∴16211=m 或者 32=m （舍去） ∴ 1621=m （1分）（2019静安）24、在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 经过原点，与x 轴的另一个交点为A，顶点为P（﹣3，4）.（1）求这条抛物线表达式；（2）将该抛物线向右平移，平移后的新抛物线顶点为Q，它与y轴交点为B，联结PB、PQ，设点B的纵坐标为m，用含m的代数式表示∠BPQ的正切值；（3）联结AP，在（2）的条件下，射线PB平均∠APQ，求点B到直线AP的距离.。
(完整版)上海市2019年初三中考数学二模汇编_23题几何证明
上海市2019年中考二模数学汇编：23题几何证明 闵行 23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，已知四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD = 2AC ．过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E ，AE 与BD 相交于点F ．过点C 作CG ⊥AC ，与AE 的延长线相交于点G ． 求证：（1）△ACG ≌△DOA ；（2）2DF BD DE AG ⋅=⋅．宝山23．（本题满分12分，第(1)、第(2)小题满分各6分）如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，联结AP 并延长AP 交CD 于F 点， （1）求证：四边形AECF 为平行四边形；（2）如果PA=PC ，联结BP ，求证：△APB ≅△EPC ．ABCDOE GF（第23题图）A B CDOE H F第23题图23．（本题满分12分，每小题满分各6分）如图7，在直角梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AD BC ∥，对角线AC 、BD 相交于点O ． 过点D 作DE BC ⊥，交AC 于点F ． （1）联结OE ，若BE AOEC OF=，求证：OE CD ∥； （2）若AD CD =且BD CD ⊥，求证：AF DFAC OB=． 奉贤23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图8，正方形ABCD ，点E 在边AD 上，AF ⊥BE ，垂足为点F ，点G 在线段BF 上，BG=AF ．（1）求证：CG ⊥BE ；（2）如果点E 是AD 的中点，联结CF ，求证：CF=CB ． 金山22. 已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若DBC CAD ∠=∠.（1）求证：ABCD 是正方形.（2）E 是OB 上一点，CE DH ⊥，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：OF OE =.ABCDOE F图7ABCD FGE 图823．（本题满分12分）已知：如图10，在四边形ABCD 中，AD BC <，点E 在AD 的延长线上， ACE BCD ∠=∠，EC ED EA =⋅2． （1）求证：四边形ABCD 为梯形； （2）如果EC ABEA AC=，求证：AB ED BC =⋅2． 杨浦23. 已知：在ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点F 、G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的延长线相交于点H ，联结HA 、HC. 求证：（1）四边形FBGH 是菱形；（2）四边形ABCH 是正方形.长宁23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）图10A BCD E如图5，平行四边形ABCD 的对角线BD AC 、交于点O ，点E 在边CB 的延长线上，且︒=∠90EAC ，EC EB AE ⋅=2． （1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）延长AE DB 、交于点F ，若AC AF =，求证：BF AE =． 黄浦嘉定23.静安图5AB CDE FO松江徐汇答案 闵行23．证明：（1）在菱形ABCD 中，AD = CD ，AC ⊥BD ，OB = OD ．∴ ∠DAC =∠DCA ，∠AOD = 90°．……………………………（1分） ∵ AE ⊥CD ，CG ⊥AC ，∴ ∠DCA +∠GCE = 90°，∠G +∠GCE = 90°．∴ ∠G =∠DCA ．…………………………………………………（1分） ∴ ∠G =∠DAC ．…………………………………………………（1分） ∵ BD = 2AC ，BD = 2OD ，∴ AC = OD ． ……………………（1分） 在△ACG 和△DOA 中，∵ ∠ACG =∠AOD ，∠G =∠DAC ，AC = OD ，∴ △ACG ≌△DOA ． ……………………………………………（2分） （2）∵ AE ⊥CD ，BD ⊥AC ，∴ ∠DOC =∠DEF = 90°．…………（1分） 又∵ ∠CDO =∠FDE ，∴ △CDO ∽△FDE ．…………………（1分）∴ CD OD DF DE=．即得 OD DF DE CD ⋅=⋅． ……………………（2分） ∵ △ACG ≌△DOA ，∴ AG = AD = CD ． ……………………（1分）又∵ 12OD BD =，∴ 2DF BD DE AG ⋅=⋅．…………………（1分）宝山23.（1）证明：由折叠得到EC 垂直平分BP ， ………………1分 设EC 与BP 交于Q ，∴BQ=EQ ………………1分 ∵E 为AB 的中点， ∴AE =EB ， ………………1分 ∴EQ 为△ABP 的中位线，∴AF ∥EC ， ………………2分 ∵AE ∥FC ， ∴四边形AECF 为平行四边形； ………………1分 （2）∵AF ∥EC ，∴∠A PB =∠EQB =90° ………………1分由翻折性质∠E PC =∠EBC =90°，∠PEC =∠BEC ………………1分 ∵E 为直角△APB 斜边AB 的中点，且AP =EP ，∴△AEP 为等边三角形 , ∠BAP =∠AEP =60°， ………………1+1分︒=︒-︒=∠=∠60260180CEB CEP ………………1分 在△ABP 和△EPC 中， ∠BAP =∠CEP ，∠APB=∠E PC ，AP =EP ∴△ABP ≌△EPC （AAS ）， ………………1分 崇明23．（本题满分12分，每小题满分各6分） 证明(1)∵90ABD ∠=︒,BC DE ⊥∴//AB DE ………………………………………………………………（1分）∴AO BOOF OD=………………………………………………………………（2分） ∵BE AOEC OF =∴AO BEOF EC=……… ………………………………………………………（2分） ∴//OE CD …………………………………………………………………（1分） (2)∵BC AD //，//AB DE ，∴四边形ABED 为平行四边形 又∵90ABD ∠=︒∴四边形ABED 为矩形 ……………………………………………………（1分） ∴AD BE =，90ADE ∠=︒ 又∵CD BD ⊥∴90BDC BDE CDE ∠=∠+∠=︒︒=∠+∠=∠90BDE ADB ADE∴CDE ADB ∠=∠ …………………………………………………………（1分）AD CD =∴DCA DAC ∠=∠∴()A S A CDF ADO ..∆≅∆…………………………………………………（1分） ∴OD DF =DE AB // ∴AF BE AD AC BC BC==…………………………………………………………（1分） ∵BC AD //∴BODFBO OD BC AD ==…………………………………………………………（1分） ∴AF DFAC OB=…………………………………………………………………（1分） 奉贤22．证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =．90ABC． ············· （1分） ∵AF ⊥BE ，∴90FAB FBA ∠+∠=︒．∵90FBA CBG ∠+∠=︒，∴FAB CBG ∠=∠． ·········································· （1分） 又∵AF BG =，∴△AFB ≅△BGC ． ···························································· （2分） ∴AFB BGC ∠=∠． ····························································································· （1分） ∵90AFB ∠=︒，∴90BGC ∠=︒，即CG ⊥BE ． ··········································· （1分） （2）∵ABF EBA ∠=∠，90AFB BAE ∠=∠=︒，∴△AEB ∽△FAB ．∴AE AFAB BF=． ································································· （3分） ∵点E 是AD 的中点，AD AB =，∴12AE AB =．∴12AF BF =．·························· （1分） ∵AF BG =，∴12BG BF =，即FG BG =．·························································· （1分） ∵CG ⊥BE ，∴CF CB =． ···················································································· （1分）金山23.（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC AD //，DAC BAD ∠=∠2,DBC ABC ∠=∠2; （2分） ∴ 180=∠+∠ABC DAB ; （1分） ∵DBC CAD ∠=∠;∴ABC BAD ∠=∠, （1分） ∴ 1802=∠BAD ; ∴ 90=∠BAD ; （1分） ∴四边形ABCD 是正方形. （1分） （2）证明：∵四边形ABCD 是正方形；∴BD AC ⊥，BD AC =，AC CO 21=,BO DO 21=； （1分） ∴ 90=∠=∠DOC COB ，DO CO =； （1分） ∵CE DH ⊥，垂足为H ；∴ 90=∠DHE ， 90=∠+∠DEH EDH ； （1分） 又∵ 90=∠+∠DEH ECO ； ∴EDH ECO ∠=∠； （1分）∴ECO ∆≌FDO ∆； （1分） ∴OF OE =. （1分）普陀 23．证明：（1）∵ ACE BCD ∠=∠，∴DCE BCA ∠=∠． ······················································ （1分）∵EC ED EA =⋅2，∴ED ECEC EA=． ······································································· （1分） 又∵E ∠是公共角，∴△EDC ∽△ECA ． ····························································· （1分） ∴DCE CAE ∠=∠． ································································································· （1分） ∴BCA CAE ∠=∠．∴AD ∥BC ． ············································································································· （1分） ∵AD BC <，∴AB 与CD 不平行．∴四边形ABCD 是梯形． ··························································································· （1分）（2）∵△EDC ∽△ECA ．∴EC CDEA AC =． ∵EC AB EA AC=，∴AB DC =．·············································································· （1分） ∴四边形ABCD 是等腰梯形． ··············································································· （1分） ∴B DCB ∠=∠．··································································································· （1分） ∵AD ∥BC ．∴EDC DCB ∠=∠． ∴EDC B ∠=∠．∵ECD ACB ∠=∠，∴△EDC ∽△ABC ． ····················································· （1分） ∴ED DCAB BC=． ········································································································ （1分） ∴AB ED BC =⋅2． ····························································································· （1分） 杨浦23.（1）证明略 （2）证明略 长宁 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵EC EB AE ⋅=2 ∴AEEB EC AE =又 ∵CEA AEB ∠=∠ ∴AEB ∆∽CEA ∆ （2分） ∴EAC EBA ∠=∠∵︒=∠90EAC ∴︒=∠90EBA （1分） 又 ∵︒=∠+∠180CBA EBA ∴︒=∠90CBA （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形∴四边形ABCD 是矩形 （1分）（2）∵ AEB ∆∽CEA ∆ ∴ AC AB AE BE = 即 ACAE AB BE = ， ECA EAB ∠=∠ （2分）∵四边形ABCD 是矩形 ∴BD AC =又 ∵BD OB 21=， AC OC 21= ∴OC OB = ∴ECA OBC ∠=∠ 又 ∵OBC EBF ∠=∠ ECA EBA ∠=∠ ∴EAB EBF ∠=∠又∵F F ∠=∠ ∴EBF ∆∽BAF ∆（3分）∴ABBEAF BF =∴ACAEAF BF =（1分）∵AC AF =∴AE BF = （1分） 黄浦嘉定静安松江徐汇。
2019年上海各区初三二模数学试卷25题专题汇编(教师版)
2019年上海各区初三二模数学试卷25题专题汇编（教师版）题型一、等腰三角形的分类讨论思路点拨：出现概率较高题型，重点。
解决此类问题主要通过两个方面解决：1.一方面从边方面入手，将此三角形的三边用x y 或的表达式表示，根据腰相等建立方程求出线段长度（优点：方法简单，易理解；缺点：计算量偏大，易出错）；2.另一方面从角方面入手，利用等腰产生的底角相等转化出其他的角度关系或边长关系进而建立方程求出线段的长度（优点：计算量偏小，易计算，缺点：此方法对于孩子的分析能力要求较高，适合一部分程度较好的学生）。
25(2019崇明)、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=8，BC=12，cos C=53，点E 为AB 边上一点，且BE=2，点F 是BC 边上的一个动点（与点B 、点C 不重合），点G 在射线CD 上，且∠EFG=∠B ，设BF 的长为x ，CG 的长为y .（1）当点G 在线段DC 上时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当以点B 为圆心，BF 长为半径的⊙B 与以点C 为圆心，CG 长为半径的⊙C 相切时，求线段BF 的长；（3）当△CFG 为等腰三角形时，直接写出线段BF 的长.题型二、动点产生的相似综合 思路点拨：1.首先寻找题目中特殊的条件和不变的量，并找出由条件引发的一些相等角、相等线 段等特殊条件；（挖掘题目中的隐藏条件）2.然后注意分类讨论，先找到对应相等的角，再决定分类讨论情况：3.相似三角形的边如果能直接求出列等式最好，如果不能求出，注意转化相似（是否产生新的相似、等腰、平行四边形等更特殊的条件）.25(2019黄浦)．（本题满分14分）已知四边形ABCD 中，AD ⊙BC ，2ABC C ∠=∠，点E 是射线AD 上一点，点F 是射线DC 上一点，且满足BEF A ∠=∠.（1）如图8，当点E 在线段AD 上时，若AB=AD ，在线段AB 上截取AG=AE ，联结GE .求证：GE=DF ；（2）如图9，当点E 在线段AD 的延长线上时，若AB =3，AD =4，1cos 3A =，设AE x =，DF y =，求y 关于x 的函数关系式及其定义域；（3）记BE 与CD 交于点M ，在（2）的条件下，若⊙EMF 与⊙ABE 相似，求线段AE 的长.25.解：（1）∵AG AE =，∴1802AAGE ︒-∠∠=.∵AD ∥BC ，∴180A ABC ∠+∠=︒， ∵2ABC C ∠=∠，∴1802AC ︒-∠∠=，∴AGE C ∠=∠，---------------------------------（1分）∵AD ∥BC ，∴180D C ∠+∠=︒，又180BGE AGE ∠+∠=︒，∴BGE D ∠=∠.----------（1分） ∵BEF FED A GBE ∠+∠=∠+∠，∵BEF A ∠=∠，∴FED GBE ∠=∠ .--------------（1分） 又AB=AD ，AG=AE ，∴BG=ED ，∴GBE ∆≌DEF ∆，∴GE=DF . --------------------------（1分） （2）在射线AB 上截取AH=AE ，联结EH . ------------------------------------------------------------（1分）∵HBE A AEB ∠=∠+∠，DEF BEF AEB ∠=∠+∠，又BEF A ∠=∠，∴HBE DEF ∠=∠. ∵AD ∥BC ，∴EDC C ∠=∠，180A ABC ∠+∠=︒.∵AH=AE ，∴1802AH ︒-∠∠=， 又2ABC C ∠=∠，∴H C ∠=∠，∴H EDC ∠=∠，∴BHE ∆∽EDF ∆.-------------------（1分） ∴BH EH ED DF =.过点H 作HP ⊥AE ，垂足为点P .∵1cos 3A =，AE AH x ==， ∴13AP x =，223PH x =，23PE x =，∴233EH x =.-------------------------------------（1分） ∵AB =3，AD =4，AE x =，DF y =，∴23334xx x y -=-，∴()22383439x x y x x -=>-.（2分） （3）记EH 与BC 相交于点N .∵EMF ∆∽ABE ∆，BEF A ∠=∠，∴AEB EMF ∠=∠，或AEB EFM ∠=∠.-------------（1分） 若AEB EMF ∠=∠，又AEB EMF ∠<∠，矛盾，∴此情况不存在. -----------------------------（1分）若AEB EFM ∠=∠，∵BHE ∆∽EDF ∆，∴BEH EFM ∠=∠，∴AEB BEH ∠=∠.------（1分） ∵AD ∥BC ，∴AEB EBC ∠=∠，∴BEH EBC ∠=∠，∴3BN EN BH x ===-,D A BCEF 图9ABCE F G D图8∵AD ∥BC ，∴AB ENAH EH=，∴3x =，∴3x =.----------------------------------（2分） ∴线段AE的长为3.25(2019金山)、如图，在Rt △ABC 中，∠CC=90°，AC=16cm ，AB=20cm ，动点D 由点C 向点A 以每秒1cm 速度在边AC 上运动，动点E 由点C 向点B 以每秒34cm 速度在边BC 上运动，若点D 、点E 从点C 同时出发，运动t 秒（t > 0），联结DE. （1）求证：△DCE ∽△BCA ； （2）设经过点D 、C 、E 三点的圆为⊙P. ① 当⊙P 与边AB 相切时，求t 的值；② 在点D 、点E 运动过程中，若⊙P 与边AB 交于点F 、G （点F 在点G 左侧），联结CP 并延长CP 交边AB 于点M ，当△PFM 与△CDE 相似时，求t 的值.25（2019长宁）、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P在边AC上（点P与点A不重合），以点P为圆心，PA为半径作⊙P交边AB于另一点D，ED⊥DP，交边BC于点E.（1）求证：BE=DE；（2）若BE=x，AD=y，求y关于x的函数关系式并写出定义域；（3）延长ED交CA延长线于点F，联结BP，若△BDP与△DAF相似，求线段AD的长.题型三、动点产生的面积问题思路点拨：首先考虑底乘以高。
上海市各区2019届中考数学二模试卷精选汇编综合计算专题20190128186
综合计算宝山区、嘉定区21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90BAD ，AD AC =. （1）如果BAC ∠︒=∠-10BCA ，求D ∠的度数； （2）若10=AC ，31cot =∠D ，求梯形ABCD 的面积.21.解：（1）∵AD ∥BC∴CAD BCA ∠=∠ …………………1分 ∵BAC ∠︒=∠-10BCA∴BAC ∠︒=∠-10CAD …………………1分 ∵︒=∠90BAD∴BAC ∠︒=∠+90CAD∴︒=∠40CAD …………………1分 ∵AD AC =∴D ACD ∠=∠ …………………1分 ∵︒=∠+∠+∠180CAD D ACD∴︒=∠70D …………………1分(2) 过点C 作AD CH ⊥,垂足为点H ，在Rt △CHD 中，31cot =∠D ∴31cot ==∠CH HD D …………………………1分 设x HD =,则x CH 3=，∵AD AC =,10=AC ∴x AH -=10 在Rt △CHA 中，222AC CHAH =+ ∴22210)3()10(=+-x x∴2=x ，0=x （舍去）∴2=HD …………1分 ∴6=HC ，8=AH ，10=AD ………………1分 ∵︒=∠=∠90CHD BAD ∴AB ∥CH图4DCB A图4DCBAH∵AD ∥BC ∴四边形ABCH 是平行四边形 ∴8==AH BC ………1分 ∴梯形ABCD 的面积546)810(21)(21=⨯+=⨯+=CH BC AD S ………1分 长宁区21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，BC =24，135sin =∠ABC ． （1）求AB 的长；（2）若AD =6.5，求DCB ∠的余切值．21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E又∵AB =AC ∴BC BE 21= ∵BC =24 ∴ BE =12 （1分）在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ，135sin ==∠AB AE ABC（1分）设AE=5k,AB=13k ∵222BE AE AB += ∴1212==k BE ∴1=k ， ∴55==k AE ， 1313==k AB （2分） （2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F ∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∴ ︒=∠=∠90DFB AEB ∴ DF AE //∴BDABBF BE DF AE == 又 ∵ AE =5，BE =12，AB =13， ∴18,215==BF DF （4分） ∴BF BC CF -= 即61824=-=CF （1分） 在DCF Rt ∆中，︒=∠90DFC ，542156cot ===∠DF CF DCB （1分）崇明区ACDB第21题图21．（本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分）已知圆O 的直径12AB =，点C 是圆上一点，且30ABC ∠=︒，点P 是弦BC 上一动点， 过点P 作PD OP ⊥交圆O 于点D ． （1）如图1，当PD AB ∥时，求PD 的长； （2）如图2，当BP 平分OPD ∠时，求PC 的长．21．（本题满分10分，每小题5分）（1）解：联结OD∵直径12AB = ∴6OB OD == ……………………………………1分∵PD OP ⊥ ∴90DPO =︒∠∵PD AB ∥ ∴180DPO POB +=︒∠∠ ∴90POB =︒∠ ……1分 又∵30ABC =︒∠，6OB =∴30OP OB tan =︒=g………………………………………………1分 ∵在Rt POD △中，222PO PD OD += ……………………………1分∴2226PD +=∴PD =……………………………………………………………1分 （2）过点O 作OH BC ⊥，垂足为H ∵OH BC ⊥（第21题图1）ABOPCD （第21题图2）OABDPC∴90OHB OHP ==︒∠∠ ∵30ABC =︒∠，6OB =∴132OH OB ==，30BH OB cos =︒=g ……………………2分 ∵在⊙O 中，OH BC ⊥∴CH BH ==……………………………………………………1分 ∵BP 平分OPD ∠ ∴1452BPO DPO ==︒∠∠ ∴453PH OH cot =︒=g……………………………………………1分∴3PC CH PH =-=- ………………………………………1分奉贤区21.（本题满分10分，每小题满分各5分）已知：如图6，在△ABC 中，AB =13，AC=8，135cos =∠BAC ，BD ⊥AC ，垂足为点D ，E 是BD 的中点，联结AE 并延长，交边BC 于点F ． (1) 求EAD ∠的余切值； (2) 求BFCF的值． 21、（1）56； （2）58； 黄浦区21．（本题满分10分）如图，AH 是△ABC 的高，D 是边AB 上一点，CD 与AH 交于点E .已知AB =AC =6，cos B =23， AD ∶DB =1∶2.图6ABCD EF（1）求△ABC的面积；（2）求CE∶DE.21. 解：（1）由AB=AC=6，AH⊥BC，得BC=2BH.—————————————————————————（2分）在△ABH中，AB=6，cosB=23，∠AHB=90°，得BH=2643⨯=，AH226425-=2分）则BC=8，所以△ABC面积=1258852⨯=——————————————（1分）（2）过D作BC的平行线交AH于点F，———————————————（1分）由AD∶DB=1∶2，得AD∶AB=1∶3，则31CE CH BH ABDE DF DF AD====. ——————————————（4分）金山区21．（本题满分10分，每小题5分）如图5，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：AF=BE；（2）如果BE∶EC=2∶1，求∠CDF的余切值．AB CDFE图521．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，∴∠DAF=∠AEB，……………………………………………………………………（1分）∵AE=BC，DF⊥AE，∴AD=AE，∠ AFD=∠EBA=90°，………………………（2分）∴△ADF≌△EAB，∴AF=EB，………………………………………………………（2分）（2）设BE=2k，EC=k，则AD=BC=AE=3k，AF=BE=2k，…………………………（1分）∵∠ADC=90°，∠AFD=90°，∴∠CDF+∠ADF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠CDF=∠DAF…………………………………………………………………（2分）在Rt△ADF中，∠AFD=90°，DF=∴cot∠CDF=cot∠DAF=AFDF==．………………………………（2分）静安区21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）已知：如图，边长为1的正方形ABCD中，AC 、DB交于点H．DE平分∠ADB，交AC于点E．联结BE并延长，交边AD于点F．（1）求证：DC=EC；（2）求△EAF的面积．第21题图21．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）∵正方形ABCD ，∴DC=BC=BA=AD , ∠BAD =∠ADC =∠DCB =∠CBA =90°AH=DH=CH=BH , AC ⊥BD ,∴∠ADH =∠HDC =∠DCH =∠DAE = 45°． …………（2分） 又∵DE 平分∠AD B ∴∠ADE =∠EDH∵∠DAE +∠ADE =∠DEC , ∠EDH +∠HDC =∠EDC …………（1分） ∴∠EDC =∠DEC …………（1分） ∴DC =EC …………（1分） （2）∵正方形ABCD ，∴AD ∥BC , ∴△AFE ∽△CBE ∴2)(ECAE S S CEB AEF =∆∆ ………………………………（1分） ∵AB=BC=DC=EC =1，AC =2,∴AE =12- …………………………（1分）Rt △BHC 中， BH =22BC =22, ∴在△BEC 中，BH ⊥EC , 4222121=⨯⨯=∆BEC S ……………………（2分） ∴2)12(42-=∆AEF S , ∴4423)223(42-=-⨯=∆AEF S …………（1分） 闵行区21．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知一次函数24y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第一象限内作直角三角形ABC ，且∠BAC = 90o，1tan 2ABC ∠=．（1）求点C 的坐标；（2）在第一象限内有一点M （1，m ），且点M 与点C 位于直线AB 的同侧，使得ABC ABM S S ∆∆=2求点M 的坐标．第21题图（第21题图）21．解：（1）令0y =，则240x -+=，解得：2x =，∴点A 坐标是（2，0）．令0x =，则4y =，∴点B 坐标是（0，4）．………………………（1分） ∴22222425AB OA OB =+=+=．………………………………（1分） ∵90BAC ∠=o ，1tan 2ABC ∠=，∴5AC =． 过C 点作CD ⊥x 轴于点D ，易得OBA DAC ∆∆∽．…………………（1分） ∴2AD =，1CD =，∴点C 坐标是（4，1）．………………………（1分） （2）11255522ABC S AB AC ∆=⋅=⨯⨯=．………………………………（1分） ∵2ABM ABC S S ∆∆=，∴52ABM S ∆=．……………………………………（1分） ∵(1M ，)m ，∴点M 在直线1x =上；令直线1x =与线段AB 交于点E ，2ME m =-；……………………（1分） 分别过点A 、B 作直线1x =的垂线，垂足分别是点F 、G ，∴AF +BG = OA = 2；……………………………………………………（1分）∴111()222ABM BME AME S S S ME BG ME AF ME BG AF ∆∆=+=⋅+⋅=+1152222ME OA ME =⋅=⨯⨯=…………………（1分） ∴52ME =，522m -=，92m =，∴(1M ，92）．……………………（1分）普陀区21．（本题满分10分）如图7，在Rt △ABC 中，90C ∠=o ，点D 在边BC 上，DE ⊥AB ，点E 为垂足，7AB =，45DAB ∠=o ，3tan 4B =. （1）求DE 的长；（2）求CDA ∠的余弦值．ABCDE 图721．解：（1）∵DE ⊥AB ，∴︒=∠90DEA又∵45DAB ∠=o ，∴AE DE =． ················· （1分） 在Rt △DEB 中，︒=∠90DEB ，43tan =B ，∴43=BE DE ． ······· （1分）设x DE 3=，那么x AE 3=，x BE 4=．∵7AB =，∴743=+x x ，解得1=x ． ··············· （2分） ∴3=DE ． ·························· （1分） （2） 在Rt △ADE 中，由勾股定理，得23=AD ． ··········· （1分）同理得5=BD ． ························· （1分） 在Rt △ABC 中，由43tan =B ，可得54cos =B ．∴528=BC ． ···· （1分） ∴53=CD ． ·························· （1分）∴102cos ==∠AD CD CDA ． ··················· （1分）即CDA ∠青浦区21. (本题满分10分，第（1）、（2）小题，每小题5分）如图5，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC=3，BC =4，∠ABC 的平分线交边AC 于点D ，延长BD 至点E ，且BD=2DE ，联结AE ．（1）求线段CD 的长； （2）求△ADE 的面积.21．解：（1）过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ． ················ （1分）∵BD 平分∠ABC ，∠C =90°，∴DH = DC =x ， ························ （1分） 则AD =3-x ．∵∠C =90°，AC=3，BC =4，∴AB =5. ·············· （1分）ED A图5∵sin ∠==HD BCBAC AD AB， ∴435=-x x ，························ （1分） ∴43=x . ·························· （1分）（2）1141052233=⋅=⨯⨯=V ABD S AB DH . ·············· （1分）∵BD=2DE ， ∴2==V V ABD ADE S BD S DE， ···················· （3分） ∴1015323=⨯=V ADE S . ···················· （1分） 松江区21.（本题满分10分, 每小题各5分） 如图，已知△ABC 中，∠B =45°，1tan 2C =， BC =6.（1）求△ABC 面积；（2）AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交BC 于 点E. 求DE 的长．21.（本题满分10分, 每小题各5分） 解：（1）过点A 作AH ⊥BC 于点H …………1分 在Rt ABC ∆中，∠B =45°设AH =x ,则BH =x ………………………………1分 在Rt AHC ∆中，1tan 2AH C HC == ∴HC=2x ………………………………………………………1分(第21题图)DAC∵BC =6∴x+2x =6 得x =2∴AH =2…………………………………………………………1分 ∴162ABC S BC AH ∆=⋅⋅=……………………………………1分 (2)由（1）得AH =2，CH =4在Rt AHC ∆中，AC ==2分∵DE 垂直平分AC∴12CD AC = ED ⊥AC …………………………………………………1分在Rt EDC ∆中，1tan 2ED C CD ==……………………………1分∴DE =………………………………………………1分 徐汇区21. 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D .（1）求tan DAB ∠；（2）若⊙O 过A 、D 两点，且点O 在边AB 上，用尺规作图的方法确定点O 的位置并求出的⊙O 半径.（保留作图轨迹，不写作法）杨浦区21、（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）已知，如图5，在梯形ABCD中，DC//AB, AD=BC, BD平分∠ABC，∠A=600求：（1）求∠CDB的度数（2）当AD=2时，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积。
上海市各区2019届中考数学二模试卷精选汇编(8套,Word版,含答案)
所以 或 ，————————————（2分）
解得： 或 ，
所以点P的坐标为（5,8）， .————————————————（1分）
金山区
24．（本题满分12分，每小题4分）
平面直角坐标系xOy中（如图8），已知抛物线 经过点A（1,0）和B（3,0），
（2）当CB平分∠DCO时，求 的值．
黄浦区
24．（本题满分12分）
已知抛物线 经过点A（1,0）和B（0,3），其顶点为D.
（1）求此抛物线的表达式；
（2）求△ABD的面积；
（3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴
右侧，作PH⊥对称轴，垂足为H，若△DPH与△AOB相
似，求点P的坐标.
24.解：（1）由题意得： ，———————————————————（2分）
奉贤区
24．（本题满分12分，每小题满分各4分）
已知平面直角坐标系 （如图8），抛物线 与 轴交于点A、B（点A在点B左侧），与 轴交于点C，顶点为D，对称轴
为直线，过点C作直线的垂线，垂足为点E，联结DC、BC．
（1）当点C（0，3）时，
①求这条抛物线的表达式和顶点坐标；
②求证：∠DCE=∠BCE；
24.解：（1）∵直线 的经过点
∴ ……………………1分
∴ ………………………………1分
∵直线 的经过点
∴ ……………………1分
∴ …………………………………………1分
（2）由可知点 的坐标为
∵抛物线 经过点 、
∴
∴ ，
∴抛物线 的表达式为 …………………1分
∴抛物线 的顶点坐标为 ……………1分
【区级联考】上海市虹口区2019届九年级中考数学二模试卷(解析版)
2019年上海市虹口区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.计算(a3)2的结果是( )A. a5B. a6C. a8D. a9【答案】B【解析】试题分析：（a3）2=a6，故选B．考点：幂的乘方与积的乘方．=的解为（ ）2.3A. x＝4B. x＝7C. x＝8D. x＝10．【答案】D【解析】【分析】将等式两边同时平方得到一元一次方程x﹣1＝9，解方程并检验即可解题.【详解】将方程两边平方得x﹣1＝9解得：x＝10经检验：x＝10是原无理方程的解故选：D．【点睛】本题考查了无理方程及一元一次方程的解法，解本题的关键是注意解出方程之后一定要进行检验，确保式子有意义.3.已知一次函数y＝（3﹣a）x+3，如果y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为（ ）A. a＜3B. a＞3C. a＜﹣3D. a＞﹣3．【答案】A【解析】【分析】根据题意一次函数y随自变量x的增大而增大，即可得出3﹣a＞0，从而求得a的取值范围.【详解】∵一次函数y＝（3﹣a）x+3，函数值y随自变量x的增大而增大∴3﹣a＞0解得a＜3故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图像增减性问题，解决此类问题只要牢固掌握一次函数k>0，函数图像递增，k<0函数图像递减，反过来亦适用.4.下列事件中，必然事件是（ ）A. 体育中考中，小明考了满分B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C. 抛掷两枚正方体骰子，点数和大于1D. 四边形的外角和为180度．【答案】C【解析】【分析】必然事件：，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件随机事件：可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，【详解】A、在体育中考中，小明考了满分是随机事件；B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件；C、抛掷两枚正方体骰子，点数和大于1是必然事件；D、四边形的外角和为180度是不可能事件，故选：C．【点睛】本题考查了必然事件和随机事件的定义，解决本类题目的关键是掌握一定会发生的，和一定不会发生的都是必然事件.5.正六边形的半径与边心距之比为（ ）A. 1B. 1C. 2D. 2在【答案】D【解析】【分析】边心距：是指正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离,正六边形的边长就等于其外接圆的半径.它的边心倍..正多边形的边心距就是其内切圆的半径.【详解】∵正六边形的半径为R，∴边心距r，∴R：r＝12，故选：D．【点睛】本题主要考查了正多边形的半径与边心距之比，解决本题的关键是掌握边心距的求法.6.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tan B＝2，以AB的中点D为圆心，r为半径作⊙D，如果点B在⊙D内，点C在⊙D外，那么r可以取（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】已知等腰三角形ABC中tan B＝2，根据题意可求得△ABC中过顶点A的高AF的长度，进而求得AB的长度，以及得到；因为AF和CD均为中线，故交点为重心，通过重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，可求出CD，所以要满足B点在⊙D内，即满足r大于BD长度；要满足点C在⊙D外即r小于CD长度.【详解】如图，过点A作AF⊥BC于点F，连接CD交AF于点G，∵AB＝AC，BC＝4，∴BF ＝CF ＝2，∵tan B ＝2，∴2AFBF=，即AF ＝4，∴AB ∵D 为AB 的中点，∴BD G 是△ABC 的重心，∴GF ＝13AF ＝43，∴CG ，∴CD ＝32CG ，∵点B 在⊙D 内，点C 在⊙D 外，＜r ，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数求线段长度，三角形重心，点与圆的位置关系；解答本题的关键是发现BC 边上的高和CD 的交点是三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，即可求出CD 的长度.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：2﹣1＝_____．【答案】12．【解析】【分析】负整数指数幂：:任何不为零的数的 -n(n 为正整数)次幂等于这个数n 次幂的倒数.【详解】2﹣1＝111=22．故答案为12．【点睛】本题考查了负整数指数幂的运算，掌握运算法则即可解题.8.在数轴上，实数2_____侧．（填“左”、“右”）【答案】左【解析】【分析】2可得到2＜0，判断出2.【详解】根据题意可知：20∴2故填：左大小比较即可解题.9.不等式﹣2x ＞﹣4的正整数解为_____．【答案】x ＝1．【解析】【分析】将不等式两边同时除以-2，即可解题【详解】∵﹣2x ＞-4∴x ＜2∴正整数解为：x ＝1故答案为：x ＝1．【点睛】本题考查解不等式，掌握不等式的基本性质即可解题.10.如果关于x 的方程kx 2﹣6x +9＝0有两个相等的实数根，那么k 的值为_____．【答案】1．【解析】分析】根据题意方程有两个相等实根可知△=0，代入求值即可解题.【详解】∵关于x 的方程kx 2﹣6x +9＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣6）2﹣4k ×9＝0且k ≠0，解得：k ＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，本题解题关键是根据题意得到根的情况，代值到判别式即可解题.11.已知反比例函数的图象经过点()1,3A ，那么这个反比例函数的解析式是________．【答案】3y x=【解析】【分析】把(1,3)代入函数y=kx中可先求出k 的值,那么就可求出函数解析式.【详解】解:由题意知,k=1´3=3.则反比例函数的解析式为:y=3x故答案为:y=3x.【点睛】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式,此为近几年中考的热点问题,同学们要熟练掌握.12.如果将抛物线y ＝2x 2向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式为____．【答案】y ＝2（x +3）2．【解析】【分析】根据“左加右减”原则可知向左平移3各单位函数表达式变y ＝2（x +3）2.【详解】将抛物线y ＝2x 2向左平移3个单位，所得新抛物线的表达式为y ＝2（x +3）2，故答案为：y ＝2（x +3）2．【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，本题的解题关键是牢记“上加下减，左加右减”的原则.【为13.一个不透明的袋中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外其他都相同，摇匀后随机摸出一个球，如果摸到白球的概率为0.4，那么红球有____个．【答案】6．【解析】【分析】通过概率的求法：P（A）=满足条件的可能性/所有的可能性，代值44x+=0.4，即可求得红球数量.【详解】设红球有x个，根据题意得：44x+＝0.4解得：x＝6答：红球有6个；故答案为：6．【点睛】本题考查了概率的应用，掌握随机事件概率的求法即可解题.14.为了了解初三毕业班学生一分钟跳绳次数的情况，某校抽取了一部分初三毕业生进行一分钟跳绳次数的测试，将所得数据进行处理，共分成4组，频率分布表（不完整）如下表所示．如果次数在110次（含110次）以上为达标，那么估计该校初三毕业生一分钟跳绳次数的达标率约为__________．组别分组（含最小值，不含最大值）频数频率190～10030.06 2100～1101a3110～120240.48 4120～130b c【答案】92%【解析】【分析】根据第一组数据，频数÷频率=抽查的学生人数（样本容量），进而算出第四组的频数b，要求初三毕业生一分钟跳绳次数的达标率即为第三、四组频数和÷样本容量，即可求得答案.【详解】∵样本容量为：3÷0.06＝50，∴该校初三毕业生一分钟跳绳次数的达标率约为503150--×100%＝92%，故答案为：92%【点睛】本题考查了随机抽样调查中样本容量，频数以及频率的求法，牢固掌握即可解题.15.已知两圆外切，圆心距为7，其中一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径长为___．【答案】4．【解析】【分析】根据题意，两圆外切，故圆心距为两圆半径和，已知一个圆半径为3，可求得另一圆的半径.【详解】∵两圆外切，圆心距为7，若其中一个圆的半径为3∴另一个圆的半径＝7﹣3＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了圆与圆位置关系，本题的解题关键是掌握当两圆外切时圆心距为两圆半径之和，两圆内切时，圆心距为大圆半径-小圆半径.16.如图，AD ∥BC ，BC ＝2AD ，AC 与BD 相交于点O ，如果AO a =uuu v v ，OD b =uuu r r，那么用a r 、b r 表示向量ABuuu r 是___．【答案】a r -2b r【解析】【分析】根据题意可知△ADO ∽△CBO ，根据相似三角形对应边成比例可得12AD OD BC OB ==，即OD=13DB ，通过转化AB AD DB =+uuu vuuu v uuu v =3AO OD DO ++uuu r uuu ruuur =2a b -rr【详解】∵AD ∥BC ，∴△ADO ∽△CBO ，的∴12AD OD BC OB == ，∴AB AD DB =+uuu v uuu v uuu v ＝3AO OD DO++uuu r uuu r uuur ＝3a b b +-r r r＝2a b -rr，故答案为：2a b -r r．【点睛】本题考查了平面向量的相关计算，解决本题的关键是将要求的进行转化为与已知向量相关的两条线段.17.我们知道，四边形不具有稳定性，容易变形．一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把αcos 1的值叫做这个平行四边形的变形度．如图，矩形ABCD 的面积为5，如果变形后的平行四边形A 1B 1C 1D 1的面积为3，那么这个平行四边形的变形度为___．【答案】54．【解析】【分析】根据变形前后底边不变，可根据面积算的变形后的平行四边形的高.根据题意，变形度即为求∠B 1的余弦，及转化为求B 1D 的长度，利用勾股定理可求得B 1D ，最终求得1cos α.【详解】过A 1作A 1D ⊥B 1C 1，设矩形的长和宽分别为a ，b ，变形后的平行四边形的高为h ，∴ab ＝5，3＝ah ，∴b ＝5a ，h ＝3a，∴B 1D 4a=，∴14551()cos 4a a α=¸¸=故答案为：54．【点睛】本题考查了平行四边形与矩形的性质，勾股定理，三角函数的求法，解决本题的关键即为求变形后平行四边形的高，即可解题.18.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边AD 上且AE ＝4，点F 是边BC 上的一个动点，将四边形ABFE 沿EF 翻折，A 、B 的对应点A 1、B 1与点C 在同一直线上，A 1B 1与边AD 交于点G ，如果DG ＝3，那么BF 的长为____．【答案】8-.【解析】【分析】根据题意可得到△CDG ∽△A'EG ，利用对应边成比例可求得A'G 、B'G 的长，进而可求得CG'、CB'，再利用△CDG ∽△CFB'，根据比例关系''CB GDB F CD=代值求得B ’F 即BF 的长度.详解】∵△CDG ∽△EA'G ，A'E ＝4∴A'G ＝2∴B'G ＝4由勾股定理可知CG'＝则CB'＝-4由△CDG ∽△CFB'设BF ＝x''CB GDB F CD=36【解得x＝8-故答案为8-【点睛】本题考查了图形的三大变化之轴对称，解答本类题的关键是找到轴对称前后相等的边和角，可进一步得到全等三角形或相似三角形，进而解题.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.先化简，再求值：35(2)242mmm m-¸+---，m﹣3．【答案】【解析】【分析】根据题意将括号部分进行通分整理，再利用除法法则转化为乘法进行运算，进而约分化简即可，最后代值算的结果.【详解】解：原式＝(3)(3)(3) 2(2)2m m mm m--+-¸--＝(3)22(2)(3)(3) m mm m m---´-+-＝12(3)m-+当m﹣3时，原式＝12(3)m-+=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握相关的运算法则即可解题.20.解方程组：22560312x xy yx yì--=í-=î①②【答案】11244x y =ìí=î，2233x y =ìí=-î.【解析】【分析】将①式进行因式分解的（x ﹣6y ）（x+y ）=0，故将式子拆分为两个式子与②式组成两个二元一次方程组进行求解，求得的两组解即为原方程组的解.【详解】由①得，x ﹣6y ＝0或x+y ＝0，将它们与方程②分别组成方程组，得：60312x y x y -=ìí-=î或0312x y x y +=ìí-=î分别解这两个方程组，得原方程组的解为11244x y =ìí=î或2233x y =ìí=-î．【点睛】此题本质考查二元一次方程组的运算，解本题的关键是将①式化为两个二元一次方程进行计算即可.21.如图，在锐角△ABC 中，小明进行了如下的尺规作图：①分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点P 、Q ；②作直线PQ 分别交边AB 、BC 于点E 、D ．（1）小明所求作的直线DE 是线段AB 的 ；（2）联结AD ，AD ＝7，sin ∠DAC ＝17，BC ＝9，求AC 的长．【答案】（1）线段AB 的垂直平分线（或中垂线）；（2）AC ＝．【解析】【分析】（1）垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（2）根据题意垂直平分线定理可得AD＝BD，得到CD＝2，又因为已知sin∠DAC=17，故可过点D作AC垂线，求得DF=1，利用勾股定理可求得AF，CF，即可求出AC长.【详解】（1）小明所求作的直线DE是线段AB的垂直平分线（或中垂线）；故答案为线段AB的垂直平分线（或中垂线）；（2）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD＝7∴CD＝BC﹣BD＝2，在Rt△ADF中，∵sin∠DAC＝17 DFAD=，∴DF＝1，在Rt△ADF中，AF=，在Rt△CDF中，CF=，∴AC＝AF+CF＝=．【点睛】本题考查了垂直平分线的尺规作图方法，三角函数和勾股定理求线段长度，解本题的关键是充分利用中垂线，将已知条件与未知条件结合起来解题.22.甲、乙两组同时加工某种零件，甲组每小时加工80件，乙组加工的零件数量y（件）与时间x（小时）为一次函数关系，部分数据如下表所示．x（小时）246y（件）50150250（1）求y与x之间的函数关系式；（2）甲、乙两组同时生产，加工的零件合在一起装箱，每满340件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？【答案】（1）y＝50x﹣50；（2）经过3小时恰好装满第1箱．【解析】【分析】（1）根据已知条件乙组加工的零件数量y（件）与时间x（小时）为一次函数关系，利用待定系数法代入两对x、y值即可求函数解析式；（2）根据题意甲生产零件+乙生产零件=340件（1箱），时间相同，故设时间为x小时恰好装满第1箱可列式80x+50x﹣50＝340，解得的x即为所求.【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）把（2，50）（4，150）代入，得50=21504k bk b+ìí=+î解得5050kb=ìí=-î∴y与x之间的函数关系式为y＝50x﹣50；（2）设经过x小时恰好装满第1箱，根据题意得80x+50x﹣50＝340，∴x＝3，答：经过3小时恰好装满第1箱．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解本题的关键为乙装箱的数量可用时间表示，明确这个隐藏条件即可解题.23.如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，过点B作BE∥AC，联结OE交BC于点F，点F为BC的中点．（1）求证：四边形AOEB是平行四边形；（2）如果∠OBC＝∠E，求证：BO•OC＝AB•FC．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据BE∥AC，△COF∽△BEF，又因为F为BC的中点可得CF=BF，所以BE=OC=OA，结合BE∥AC，即可证得AOEB是平行四边形.（2）根据题意可证得△COB∽△CBA，即BO BCAB AC=，在依据AC＝2OC，BC＝2FC，可得BO FCAB OC=，即可证得BO•OC＝AB•FC 【详解】（1）∵BE∥AC，∴△COF∽△BEF∴OC CF BE BF=∵点F为BC的中点，∴CF＝BF，∴OC＝BE∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO∴AO＝BE∵BE∥AC，∴四边形AOEB是平行四边形（2）∵四边形AOEB是平行四边形，∴∠BAO＝∠E∵∠OBC＝∠E，∴∠BAO＝∠OBC∵∠ACB＝∠BCO，∴△COB∽△CBA∴BO BC AB AC=∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OC∵点F为BC的中点，∴BC＝2FC∴BO FC AB OC=即BO•OC ＝AB•FC.【点睛】本题考查了平行四边形性质与判定的综合应用，本题的关键是通过平行得到几组相似三角形来解题.24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +8与x 轴相交于点A （﹣2，0）和点B （4，0），与y 轴相交于点C ，顶点为点P ．点D （0，4）在OC 上，联结BC 、BD ．（1）求抛物线的表达式并直接写出点P 的坐标；（2）点E 为第一象限内抛物线上一点，如果△COE 与△BCD 的面积相等，求点E 的坐标；（3）点Q 在抛物线对称轴上，如果△BCD ∽△CPQ ，求点Q 的坐标．【答案】（1）点P 的坐标为（1，9）；（2）点E 的坐标为（2，8）；（3）点Q 的坐标为（1，11）或（1，10）．【解析】【分析】（1）通过待定系数法代入A 、B 坐标即可求得解析式；（2）根据解析式可求得点C 坐标（0，8），根据点E 为第一象限内抛物线上一点设点E （（x ，﹣x 2+2x+8）再根据S △COE ＝S △BCD ，可求得E 点坐标.（3）根据点B 、D 的坐标可得到∠BDC ＝135°，要满足△BCD ∽△CPQ ，∠CPQ=135°或者∠PCQ=135°，通过点C 、P 的坐标可得，∠PCM ＝45°，所以∠MCQ=90°，Q 在对称轴上，此情况不成立，所以要满足△BCD ∽△CPQ ，仅∠CPQ=135°，即Q 在P 点上方，可分两类讨论，CP PQ CD DB =或CP PQ BD DC=代值即可求出Q 点坐标.【详解】（1）将点A （﹣2，0），B （4，0）代入y ＝ax 2+bx+8，得：428016480a b a b -+=ìí++=î解得：12ab=-ìí=î，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8．∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴点P的坐标为（1，9）．（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+8＝8，∴点C的坐标为（0，8）．设点E的坐标为（x，﹣x2+2x+8）（0＜x＜4），∵S△COE＝S△BCD，∴12×8•x＝12×4×4，解得：x＝2，∴点E的坐标为（2，8）．（3）过点C作CM∥x轴，交抛物线对称轴于点M，如图所示．∵点B（4，0），点D（0，4），∴OB＝OD＝4，∴∠ODB＝45°，BD＝，∴∠BDC＝135°．∵点C（0，8），点P（1，9），∴点M的坐标为（1，8），∴CM＝PM＝1，∴∠CPM＝45°，CP，∴点Q在抛物线对称轴上且在点P的上方，∴∠CPQ＝∠CDB＝135°．∵△BCD∽△CPQ，∴CP PQCD DB=或CP PQBD DC=．①当CP PQCD DB==，解得：PQ＝2，∴点Q 的坐标为（1，11）；②当CP PQ BD DC =4PQ =，解得：PQ ＝1，∴点Q 的坐标为（1，10）．综上所述，点Q 的坐标为（1，11）或（1，10）．【点睛】本题前两问考查了二次函数常考的求解析式和点的坐标，最后一问考查了二次函数与相似三角形的结合，解答本类型题重点是发现成相似的两个三角形有什么特点，是否有隐藏条件已知角度的对应或者边的对应.25.如图，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝3，AB ＝4，点P 为射线BC 上一动点，以P 为圆心，BP 长为半径作⊙P ，交射线BC 于点Q ，联结BD 、AQ 相交于点G ，⊙P 与线段BD 、AQ 分别相交于点E 、F ．（1）如果BE ＝FQ ，求⊙P 的半径；（2）设BP ＝x ，FQ ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结PE 、PF ，如果四边形EGFP 是梯形，求BE 的长．【答案】（1）⊙P 的半径为32；（2）x 的取值范围为2506x <£；（3）BE ＝710或65．【解析】【分析】（1）由题意BE＝FQ可得∠BPE＝∠FPQ，进而可得∠EBP＝∠FQP.又AD∥BC，故∠ADB＝∠EBP，即∠FQP＝∠ADB，故两角的正切值相等即可求出半径.（2）要求y关于x的函数关系式即可通过过P点做垂线PM，将QM用含x的式子表示，利用QM＝PQcos∠AQB，而FQ=2QM，即y=D点相交时，x最大，可求出x的取值范围；（3）根据题意四边形EGFP是梯形，由于P点是动点所以产生两种情况，当GF∥EP时和GE∥FP时，故应进行分类讨论.①当GF∥EP时，可发现PE为△BGQ的中点，根据线段关系可求得BP的长度，因为△BGQ和△DGA相似，故有BG QGBD AQ=，可求得BG＝75，所以BE=12BG.②当GE∥FP时，过点P作PN⊥BG ，跟①同理，可求得BE＝2BN.【详解】（1）∵BE＝FQ，∴∠BPE＝∠FPQ，∵PE＝PB，∴∠EBP＝12（180°﹣∠EPB），同理∠FQP＝12（180°﹣∠FPQ），∴∠EBP＝∠FQP，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBP，∴∠FQP＝∠ADB，∴tan∠FQP＝tan∠ADB＝43，设⊙P的半径为r，则tan∠FQP＝42 ABBQ r=，∴44 32r =，解得：r＝32，∴⊙P的半径为32；（2）过点P 作PM ⊥FQ ，垂足为点M ，如图1所示：在Rt △ABQ 中，cos ∠AQB ＝BQ AQ ===在Rt △PQM 中，QM ＝PQcos ∠AQB ，∵PM ⊥FQ ，PF ＝PQ ，∴FQ ＝2QM∴y =当圆与D 点相交时，x 最大，作DH ⊥BC 于H ，如图2所示：则PD ＝PB ＝x ，DH ＝AB ＝4，BH ＝AD ＝3，则PH ＝BP ﹣BH ＝x ﹣3，在Rt △PDH 中，由勾股定理得：42+（x ﹣3）2＝x 2，解得：x ＝256，∴x 的取值范围为：0＜x ≤256；（3）设BP ＝x ，分两种情况：①EP ∥AQ 时，∴∠BEP＝∠BGQ，∵PB＝PE，∴∠PBE＝∠BEP，∴∠BGQ＝∠PBE，∴QG＝QB＝2x，同理：AG＝AD＝3，在Rt△ABQ中，由勾股定理得：42+（2x）2＝（3+2x）2，解得：x＝7 12，∴QG＝QB＝2x＝76，∵EP∥AQ，PB＝PQ，∴BE＝EG，∵AD∥BC，∴BG QG BD AQ=，即767 536 BG=+，解得：BG＝75，∴BE＝12BG＝710；②PF∥BD时，同①得：BG＝BQ＝2x，DG＝AD＝3，在Rt△ABD中，由勾股定理得：42+32＝（3+2x）2，解得：x＝1或x＝﹣4（舍去），∴BQ＝2，∴BP＝1，作PN⊥BG于N，则BE＝2BN，如图3所示：∵AD∥BC，∴∠PBN＝∠ADB，∴cos∠PBN＝cos∠ADB＝35，即BNBP＝35，∴BN＝3 5，∴BE＝2BN＝65；综上所述，BE=710或65．【点睛】本题考查了圆与函数，四边形的综合，已知条件较多，存在不确定的动点情况，难度较大，解决本类题目的关键因素有①找到动点问题的临界点或特殊位置来解题；②对已知条件充分把握和利用，准确进行分类讨论.。
2019学年上海市全区二模数学19-22题专题汇编-教师版
K12教育1对1辅导讲义学员姓名： 学科教师： 年 级：九年级 辅导科目：数学 授课日期时 间主 题 2019年二模19～22学习目标教学内容宝山19．（本题满分10分）计算：202)3(30cot 21)2019(21π-+︒+--+⎪⎭⎫⎝⎛-．20．（本题满分10分）解方程：214162++-x x =22-+x x21．（本题满分10分，第(1)、第(2)小题满分各5分）如图已知：△ABC 中，AD 是边BC 上的高、E 是边AC 的中点， BC =11，AD =12，DFGH 为边长为4的正方形，其中点F 、G 、H 分别在AD 、AB 、BC 上．（1）求BD 的长度； （2）求cos ∠EDC 的值．第21题图22．（本题满分10分，第(1)小题满分4分、第(2)小题满分6分）OCDBA 600 xy第22题图某乒乓球馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：① 金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；② 银卡售价150元/张， 每次凭卡另收10 元；暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用， 不限次数． 设打乒乓x 次时，所需总费用为y 元．（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y 与x 之间的函数关系式； （2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请根据函数图像，写出选择哪种消费方式更合算.答案19.202)3(30cot 21)2019(21π-+︒+--+⎪⎭⎫⎝⎛-=332114-++-+π ……………8分3)32(2+=--+=ππ ……………2分（其中主要得分点为：负指数、零指数、特殊角三角比、二次根式性质等）20. 2)2(216+=-+x x ……………3分 01032=-+x x ……………3分 51-=x , 22=x ……………2分经检验5-=x 是原方程的解，2=x 是增根（舍去） ……………2分 ②原方程的解是5-=x（其中主要得分点为：去分母、因式分解、化简、解方程、检验） 21. （1）②如图DFGH 为顶点在△ABD 边长的正方形②ADAFBD GF =……………3分 将AD =12，GF=DF =4代入得：BD =6， ……………2分 （2）②BC =11，BD =6，②CD=5 ……………1分21．（本题满分10分，每小题满分各5分）如图5，已知ABC △中，6AB =，30B ∠=︒，3tan 2ACB ∠=． （1）求边AC 的长；（2）将ABC △沿直线l 翻折后点B 与点A 重合， 直线l 分别与边AB 、BC 相交于点D 、E ，求BEEC的值．22．（本题满分10分，每小题满分各5分）崇明区在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖路面的铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图6是反映所铺设的彩色道砖路面的长度y （米）与施工时间x （时）之间关系的部分图像．请解答下列问题：（1）求乙队在26x ≤≤的时段内，y 与x 之间的函数关系式； （2）如果甲队施工速度不变，乙队在施工6小时 后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任 务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖路面 的长度为多少米？答案6 2 Ox (时)y (米) 3060 乙甲 50 图6ABC图5图6DCBAEF∴3EH = ………………………………………………………………… (1分)∴2343623BE EC ==-+ ……………………………………………… (2分)22．（本题满分10分，每小题满分各5分）解：（1）设乙队在2≤x ≤6的时段内y 与x 之间的函数关系式为:y =kx +b （k ≠0）， …………………………………………………………… (1分)由图6可知，函数图像过点（2，30）、（6，50），得：⎩⎨⎧=+=+506302b k b k ………………………………………………………… (1分)解得⎩⎨⎧==205b k ………………………………………………………………（2分）∴ y =5x ＋20． ………………………………………………………………（1分） （2）由图6可知，甲队施工速度是：60÷6=10（米/时）．…………………………（1分） 设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为z 米 …………………………（1分） 由题意得：6050.1012z z --= (2)解得： z =110． …………………………………………………………（1分） 答：甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为110米．奉贤19．（本题满分10分）先化简，再求值：22693111x x x x x x x -+--?--+，其中2x =．20．（本题满分10分） 解方程组：226,320.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩21．（本题满分10分，每小题5分）如图6，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ABC=90°，BC =2AB =8， 对角线AC 平分∠BCD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，交边AB 的延长线于点F ，联结CF ． （1）求腰DC 的长； （2）求∠BCF 的余弦值．22．（本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分）E -learning 即为在线学习，是一种新型的学习方式．某网站提供了A 、B 两种在线学习的收费方式．A 种：在线学习10小时（包括10小时）以内，收取费用5元，超过10小时时，在收取5元的基础上，超过部分每小时收费0.6元（不足1小时按1小时计）；B 种：每月的收费金额y （元）与在线学习时间是x （时）之间的函数关系如图7所示．（1）按照B 种方式收费，当5x ³时，求y 关于x 的函数关系式． （2）如果小明三月份在这个网站在线学习，他按照A 种方式 支付了20元，那么在线学习的时间最多是多少小时？如果 该月他按照B 种方式付费，那么他需要多付多少元？答案19．解原式2(3)11(1)(1)3x x x x x x x -+=---+-g························································· （6分） 33111x x x x x -=-=---． ································································ （2分） 当2x =时，33323121x ==+--． ········································· （2分） 20．解：将方程22320x xy y -+= 的左边因式分解，得20x y -=或0x y -=． （2分）原方程组可以化为6,20x y x y +=⎧⎨-=⎩或6,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩ ··········································· （2分）解这两个方程组得114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩ ··················································· （6分） 所以原方程组的解是114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 5 图751015202530 10 15 20 25 30 x (时)y (元) O解方程：22161242x x x x +-=--+．21．（本题满分10分）如图4，已知O e 是ABC ∆的外接圆，圆心O 在ABC ∆的外部，4AB AC ==，43BC =，求O e 的半径.22．（本题满分10分）A 、B 两地相距30千米，已知甲、乙两人分别骑自行车和摩托车从A 地出发前往B 地，途中乙因修车耽误了些时间，然后又继续赶路.图5中的线段OM 和折线OCDE 分别反映了甲、乙两人所行的路程y （千米）与时间x （分）的函数关系，根据图像提供的信息回答下列问题： （1）甲骑自行车的速度是 ▲ 千米/分钟； （2）两人第二次相遇时距离A 地 ▲ 千米； （3）线段DE 反映了乙修好车后所行的路程y （千米）与时间x （分）的函数关系.请求出线段DE 的表达式及其定义域.答案19．解：原式=33311332-+---，-----------------------------------------------------------------（6分）x （分）y (千米)O30 103050 12图5MCDE80ABCO图4解方程：21224162+--+=-x x x x ． 21．（本题满分10分，第(1)小题5分、第(2)小题5分）如图4，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，点E 是边AC 的中点，11=BC ，12=AD ，四边形DFGH 是边长为4的正方形，其中点F 、G 、H 分别在AD 、AB 、BC 上． （1）求BD 的长度； （2）求EDC ∠cos 的值．22．（本题满分10分，第(1)小题4分、第(2)小题6分）某乒乓球馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；② 银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元.暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数. 设打乒乓x 次时，所需总费用为y 元.（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y 与x 之间的函数关系式；（2）在同一个坐标系中，如果三种消费方式对应的函数图像如图5所示， 请根据函数图像，写出选择哪种消费方式更合算．答案19.解：原式332141-++-+=π……………8分3)32(2+=--+=ππ ……………2分20. 解：方程两边同乘以)2)(2(-+x x …………2分 得：)2()2(162--+=x x ……………1分 整理，得：01032=-+x x …………1分解此方程得：51-=x ，22=x …………4分经检验51-=x 是原方程的解，22=x 是增根（舍去） ……………1分 ∴原方程的解是5-=x ……………1分21.解：（1）∵四边形DFGH 是边长为4正方形∴4==FD GF ,FG ∥BD ………1分AG B HDF EC图4OCDBA 600xy 图5AGFEAB C DE第21题图21. 已知：如图，在ABC Rt ∆中，ο90=∠ACB ，D 是边AB 的中点，CB CE =，5=CD ，53sin =∠ABC .求：（1）BC 的长． （2）E tan 的值．22. 某演唱会购买门票的方式有两种．方式一：若单位赞助广告费10万元，则该单位所购门票的价格为每张0.02万元； 方式二：如图所示．设购买门票x 张，总费用为y 万元，方式一中：总费用=广告赞助费+门票费．（1）求方式一中y 与x 的函数关系式．（2）若甲、乙两个单位分别采用方式一、方式二购买本场演唱会门票共400张，且乙单位购买超过100张，两单位共花费27.2万元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？答案19.解：原式23122221++-++=； （8分）2322221-+-++=； （1分） 33+=. （1分）20. 解：4222-=-+x x x ； （4分）062=-+x x ； ()()023=-+x x ； （2分）解得：31-=x ，22=x ； （2分） 经检验：22=x 为增根舍去 （1分） 所以原方程的解为：3-=x . （1分）第22题图X （张）Y （万元）100 20016 10OAB22．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）已知：如图5，在矩形ABCD 中，过AC 的中点M 作EF ⊥AC ， 分别交AD 、BC 于点E 、F ． （1）求证：四边形AECF 是菱形； （2）如果2CD BF BC =⋅，求∠BAF 的度数．答案19．（本题满分10分）计算：12214(21)1232-+-++-+．解：原式=132232212+-+-+- ··········································· （8分） =53222-+． ································································· （2分）20．（本题满分10分）解方程组：226,3100.x y x xy y ①②ì-=ïí+-=ïî解：由②得：(2)(5)0x y x y -+=． ························································· （2分）原方程组可化为： 620x y x y -=⎧⎨-=⎩和 6+50x y x y -=⎧⎨=⎩．..........................................................（4分）解得：11126x y =⎧⎨=⎩和 2251x y =⎧⎨=-⎩ ．∴原方程组的解是11126x y =⎧⎨=⎩和 2251x y =⎧⎨=-⎩ ． ················································ （4分）21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 解：（1）设y 与x 之间的函数解析式为：(0)y kx b k =+≠． ························ （1分）把（0，3）、（1，3.3）代入得：33.3bk b=⎧⎨=+⎩， ·············································· （2分） 解得，0.33k b =⎧⎨=⎩ ． ················································································· （1分）∴y 与x 之间的函数解析式为0.33y x =+． ··············································· （1分） （2）把y =8，代入0.33y x =+， ····························································· （1分） 得80.33x =+，解得503x =． ··································································· （2分）所以，5035533-=（小时）． ···································································· （1分）图5CFEDA BM答：再过353小时后系统会发出警报． ······················································· （1分）22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 证明：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴AD //BC ， ∴∠1=∠2．..........................................（1分）∵点M 为AC 的中点，∴AM =CM ．在△AME 与△CMF 中，12AM CMAME CMF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩..............................................（1分） ∴△AME ≌△CMF ．..........................................（1分） ∴AE =CF ．∴四边形AECF 为平行四边形． ·································································· （1分） 又∵EF ⊥AC ，∴平行四边形AECF 为菱形． ····································································· （1分） （2）∵2CD BF BC =⋅，∴CD BC BF CD =．又∵四边形ABCD 为矩形，∴AB =CD ，∴AB BC BF AB =． ··········································································· （1分）又∵∠ABF =∠CBA ，∴△ABF ∽△CBA ． ·················································································· （1分） ∴∠2=∠3． ···························································································· （1分） ∵四边形AECF 为菱形，∴∠1=∠4，即∠1=∠3=∠4． ····································································· （1分） ∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠BAD =∠1+∠3+∠4=90°，∴即∠1=30°． ······················································································· （1分）闵行19．（本题满分10分）先化简，再求值：2214422x x x x x x x -÷-++++，其中21x =-．图5CF EDA B M 124320．（本题满分10分）解不等式组：62442133x x x x ->-⎧⎪⎨≥-⎪⎩，，并把解集在数轴上表示出来．21．（本题共2小题，每小题5分，满分10分）如图，在△ABC 中，AB = AC ，BC = 10，5cos 13ABC ∠=，点D 是边BC 的中点，点E 在边AC 上，且23AE AC =，AD 与BE 相交于点F ． 求：（1）边AB 的长；（2）EFBF的值．22．（本题共3小题，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各3分，满分10分）甲骑自行车以10千米/时的速度沿公路行驶，3小时后，乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶，速度为25千米/时．设甲出发后x 小时，甲离开出发地的路程为y 1千米，乙离开出发地的路程为y 2千米．试回答下列问题： （1）求y 1、y 2关于x 的函数解析式；（2）在同一直角坐标系中，画出（1）中两个函数的图像；（3）当x 为何值时，乙追上甲，此时他们离出发地的路程是多少千米？答案19．解：原式221(2)22x x x x x x -=÷-+++ ……………………………………………（2分）O xy（第22题图）11-10-1 -1-212（第20题图）ABC（第21题图）EDF20．（本题满分10分）解方程：242193x x x =--+．21．（本题满分10分）如图8，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 和AC 上，DE //BC ，13DE BC =，△ADE 的面积等于3． （1）求△ABC 的面积； （2）如果9BC =，且2cot 3B =，求AED ∠的正切值．22．（本题满分10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为20吨，但不超过60吨时，每吨的成本y （万元/吨）与生产数量x （吨）之间是一次函数关系，其图像如图9所示． （1）求出y 关于x 的函数解析式；（2）如果每吨的成本是4.8万元，求该产品的生产数量；（3）当生产这种产品的总成本是200万元时，求该产品的生产数量．答案19．解：原式=322338(1)2⨯-+--- ····················································· （6分） =233381-+-+ ······························································· （2分）ABC D E图8（吨）图9（万元/吨）5.66 20 6028由题意，得620,5.628.k b k b =+⎧⎨=+⎩···································································· （2分）解得 1,207.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ··············································································· （1分） ∴y 关于x 的函数解析式为1720y x =-+． ············································· （1分）（2）将 4.8y =代入解析式，得14.8720x =-+． ··········································· （1分）解得 44x =． ··················································································· （1分）所以，该产品的生产数量是44吨． （3）由题意，得1(7)20020x x -+=． ·························································· （1分） 解得 140x =，2100x =（不符合题意，舍去）． ····································· （2分） 所以，该产品的生产数量是40吨．青浦19．（本题满分10分）计算：2019211(1)12321----++-（-）．20．（本题满分10分）解方程组：①② 22602 1.x xy y x y ⎧+-=⎨+=⎩；21.（本题满分10分，第（1）、（2）小题，每小题5分）如图7，在△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线分别交边BC 、AB 于点D 、E ，联结AD ． （1）如果∠CAD ∶∠DAB =1∶2，求∠CAD 的度数； （2）如果AC =1，，求∠CAD 的正弦值.22．（本题满分10分）如图8，一座古塔AH 的高为33米，AH ⊥直线l ．某校九年级数学兴趣小组为了测得该古塔塔刹AB 的高，在直线l 上选取了点D ，在D 处测得点A 的仰角为26.6°，测得点B 的仰角为22.8°，求该古塔塔刹AB 的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.5， sin22.8°=0.39，cos22.8°=0.92，tan22.8°=0.42）答案19．解：原式=()121+2+1+9---． ························································· （8分）=10． ···················································································· （2分）20．解：由①得+30=x y 或20-=x y ． ························································· （2分）原方程组可化为302 1.，+=⎧⎨+=⎩x y x y 或202 1.，-=⎧⎨+=⎩x y x y ········································· （4分）解得原方程的解是113515，；⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y 222515，.⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ················································ （4分） 21．解：（1）∵DE 垂直平分AB ，∴DA = DB ， ············································································ （1分） ∴∠DAB =∠B ． ········································································ （1分） ∵∠CAD ∶∠DAB =1∶2，EDABC图7lABDH图8∴∠B =2∠CAD ， ······································································ （1分） ∵∠C =90°，∴∠CAD +∠DAB +∠B =90°， ······················································· （1分） ∴5∠CAD =90°， ∴∠CAD =18°． ········································································ （1分） （2）∵∠C =90°，AC =1，，∴BC =2． ··············································································· （1分） 设DB =x ，则DA =x ，CD =2-x ，∵∠C =90°，∴222+=AC CD AD ，∴()2212+-=x x ． ················ （1分）解得 54=x ， ········································································· （1分） ∴CD =34， ············································································ （1分） ∴334sin 554∠===CD CAD AD ． ·················································· （1分） 22．解：由题意，得∠ADH =26.6°，∠BDH =22.8°，AH =33． ································ （1分）在Rt △AHD 中，∵tan ∠=AH ADH HD ，∴33tan 26.6︒=HD ， ∴33660.5==HD ． ··········· （4分）在Rt △BHD 中， ∵tan ∠=BH BDH HD ，∴tan 22.866︒=BH，∴0.426627.7=⨯≈HB ．··· （4分） ∵=-AB AH BH ，∴3327.7 5.3=-=AB ． ···································· （1分）答：该古塔塔刹AB 的高约为5.3米．松江19．（本题满分10分） 计算：()()121227+3116+23---+20．（本题满分10分） 解方程组：2226691x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩1tan 2B ∠=②①。
2019年沪教版中考模拟上海市青浦区中考数学二模试卷 含解析
．
故答案为： ．
10．方程 的根是 ．
【解答】解： ，
，
，
，
经检验 是原方程的根，
．
故答案为： ．
11．如果关于 的方程 有两个相等的实数根，那么 1．
【解答】解： 关于 的方程 有两个相等的实数根，
△ ，即 ．
12．已知反比例函数 ，如果在这个函数图象所在的每一个象限内， 的值随着 的值增大而增大，那么 的取值范围是 ．
【解答】解：（1）由题意可得
，
解得 ， ，
抛物线的表达式
将 代入，得 ，
点 的坐标 ；
（2）连结 、 ，如图1．
，
直线 ，
将 代入， ，
，
、 关于点 对称， ，
，
，
；
（3）设对称轴直线 与 轴交于点 ，抛物线与 轴另一个交点为 ，则 ．
， ，
直线 ，
令 ，则 ，
直线 与 轴交点 ，
即直线 与 轴交于点 ，
添加一个数据3，方差发生变化，
故选： ．
5．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形
【解答】解： 、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
、矩形是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
、菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
（2）联结 、 ，求 的面积；
（3）点 在 轴上，且在直线 右侧，当 时，求点 的坐标．
25．已知：在 中， ， ， 是 的中点，以 为直径的 分别交 、 于点 、 ，点 位于点 下方，连接 交 于点 ．
（1）如图1，如果 ，求 的长；
（2）如图2，设 ， ，求 关于 的函数关系式及其定义域；
2019年沪教版中考模拟上海市闵行区中考数学二模试卷 含解析
2019年上海市闵行区中考数学二模试卷一、选择题1．下列各数中是无理数的是( ) A ．916B ．38-C ．237D ．4π2．下列方程中，没有实数根的方程是( ) A ．231x +=B ．210x x +-=C ．1122x x -=+ D ．2x x +=-3．已知直线y kx b =+经过第一、二、四象限，那么直线y bx k =+一定不经过( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．下列各统计量中，表示一组数据离散程度的量是( ) A ．平均数B ．众数C ．方差D ．频数5．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，则下列结论不一定成立的是()A ．AD BD =B ．BD CD =C ．BAD CAD ∠=∠ D ．B C ∠=∠6．在平面直角坐标系xOy 中，以点(3,4)为圆心，4为半径的圆一定( ) A ．与x 轴和y 轴都相交 B ．与x 轴和y 轴都相切 C ．与x 轴相交、与y 轴相切D ．与x 轴相切、与y 轴相交二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：23a a =g ． 8．分解因式：29x x -= ． 9．已知函数()1xf x x =+，那么(2)f -= ． 1023x x +=的解为 ．11．一元二次方程22340x x --=根的判别式的值等于 ． 12．已知反比例函数ky x=的图象经过点(2,1)-，则k = ． 13．从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到A 的概率是 ．14．一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩如表所示，那么这个射击运动员这次成绩的中位数是 ．成绩（环) 6 7 8 9 10 次数2 53 6415．如图，在ABC ∆中，点D 在边AC 上，且2CD AD =．设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r，那么BD =u u u r ．（结果用向量a r、b r 的式子表示）16．如图，已知在O e 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点D ．如果4CD =，16AB =，那么OC = ．17．如图，斜坡AB 的长为200米，其坡角为45︒．现把它改成坡角为30︒的斜坡AD ，那么BD = 米．（结果保留根号）18．如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，5BC =，D 为边AC 上一点（点D 与点A 、C 不重合）．将ABD ∆沿直线BD 翻折，使点A 落在点E 处，连接CE ．如果//CE AB ，那么:AD CD = ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．先化简，再求值：221 4422xx xx x x x-÷-++++，其中21x=-．20．解不等式组：62442133x xx x->-⎧⎪⎨-⎪⎩…并把解集在数轴上表示出来．21．如图，在ABC∆中，AB AC=，10BC=，5cos13ABC∠=，点D是边BC的中点，点E 在边AC上，且23AEAC=，AD与BE相交于点F．求：（1）边AB的长；（2）EFBF的值．22．甲骑自行车以10千米/时的速度沿公路行驶，3小时后，乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶，速度为25千米/时．设甲出发后x小时，甲离开出发地的路程为1y千米，乙离开出发地的路程为2y千米．试回答下列问题：（1）求1y、2y关于x的函数解析式；（2）在同一直角坐标系中，画出（1）中两个函数的图象；（3）当x为何值时，乙追上甲，此时他们离出发地的路程是多少千米？23．如图，已知四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，2BD AC =．过点A 作AE CD ⊥，垂足为点E ，AE 与BD 相交于点F ．过点C 作CG AC ⊥，与AE 的延长线相交于点G ．求证： （1）ACG DOA ∆≅∆； （2）2DF BD DE AG =g g ．24．已知抛物线2y x bx c =-++经过点(1,0)A 、(3,0)B ，且与y 轴的公共点为点C ． （1）求抛物线的解析式，并求出点C 的坐标； （2）求ACB ∠的正切值；（3）点E 为线段AC 上一点，过点E 作EF BC ⊥，垂足为点F ．如果14EF BF =，求BCE ∆的面积．25．如图1，点P 为MAN ∠的内部一点．过点P 分别作PB AM ⊥、PC AN ⊥，垂足分别为点B 、C ．过点B 作BD CP ⊥，与CP 的延长线相交于点D ．BE AP ⊥，垂足为点E ．（1）求证：BPD MAN∠=∠；（2）如果310 sin10MAN∠=，210AB=，BE BD=，求BD的长；（3）如图2，设点Q是线段BP的中点．联结QC、CE，QC交AP于点F．如果45MAN∠=︒，且//BE QC，求PQFCEFSS∆∆的值．2019年上海市闵行区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．下列各数中是无理数的是( )A B C ．237D ．4π【解答】解：（A ）原式34=，故A 不是无理数； （B ）原式2=-，故B 不是无理数； （C ）237是分数，故C 不是无理数； 故选：D ．2．下列方程中，没有实数根的方程是( )A 1=B ．210x x +-=C ．1122x x -=+ D x =-【解答】解：A ．原方程变形为231x +=，即22x =-，20-<Q ，所以方程没有实数根，故A 符合题意；B ．△224141(1)50b ac =-=-⨯⨯-=>，所以原方程有实数根，故B 正确，不符合题意；C ．原方程变形为222x x -=+，解得4x =，当4x =时，分式方程左边12==右边，因此4x =是原分式方程的根，故C 不符合题意；D ．原方程变形为22x x +=，即220x x --=，．△224(1)41(2)90b ac =-=--⨯⨯-=>，所以原方程有实数根，故D 不符合题意． 故选：A ．3．已知直线y kx b =+经过第一、二、四象限，那么直线y bx k =+一定不经过( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：Q 直线y kx b =+经过第一、二、四象限， 0k ∴<，0b >，∴直线y bx k =+一定不经过第二象限．故选：B ．4．下列各统计量中，表示一组数据离散程度的量是( ) A ．平均数B ．众数C ．方差D ．频数【解答】解：方差是表示一组数据离散程度的量， 故选：C ．5．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，则下列结论不一定成立的是()A ．AD BD =B ．BD CD =C ．BAD CAD ∠=∠ D ．B C ∠=∠【解答】解：AB AC =Q ，AD AD =，AD BC ⊥，Rt ADB Rt ACD(HL)∴∆≅∆，BD CD ∴=，BAD CAD ∠=∠，B C ∠=∠（全等三角形的对应角、对应边相等）故B 、C 、D 一定成立，A 不一定成立． 故选：A ．6．在平面直角坐标系xOy 中，以点(3,4)为圆心，4为半径的圆一定( ) A ．与x 轴和y 轴都相交 B ．与x 轴和y 轴都相切 C ．与x 轴相交、与y 轴相切 D ．与x 轴相切、与y 轴相交【解答】解：Q 点(3,4)，∴点到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是3，∴在平面直角坐标系xOy 中，以点(3,4)为圆心，4为半径的圆一定与x 轴相切，与y 轴相交， 故选：D ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：23a a =g 5a ． 【解答】解：23235a a a a +==g ． 故答案为：5a ．8．分解因式：29x x -= (9)x x - ． 【解答】解：原式9(9)x x x x x =-=-g g ，故答案为：(9)x x -． 9．已知函数()1xf x x =+，那么(2)f -= 2 ． 【解答】解：当2x =-时，2(2)221f --==-+． 故答案是：2．10x =的解为 3 ． 【解答】解：两边平方得：223x x += 2230x x ∴--=，解方程得：13x =，21x =-，检验：当13x =时，方程的左边=右边，所以13x =为原方程的解， 当21x =-时，原方程的左边≠右边，所以21x =-不是原方程的解． 故答案为3．11．一元二次方程22340x x --=根的判别式的值等于 41 ．【解答】解：依题意，一元二次方程22340x x --=，2a =，3b =-，4c =- ∴根的判别式为：△224(3)42(4)41b ac =-=--⨯⨯-=故答案为：4112．已知反比例函数ky x=的图象经过点(2,1)-，则k = 2- ． 【解答】解：Q 反比例函数ky x=的图象经过点(2,1)-， 12k ∴-=， 解得2k =-． 故答案为：2-．13．从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到A 的概率是13． 【解答】解：从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到A 的概率是：415213=． 故答案为：113． 14．一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩如表所示，那么这个射击运动员这次成绩的中位数是 8.5 ．成绩（环) 6 7 8 9 10 次数2 53 64【解答】解：由表格中数据可得射击次数为20，中位数是第10个和第11个数据的平均数， 故这个射击运动员这次成绩的中位数是：1(89)8.52⨯+=．故答案为：8.5．15．如图，在ABC ∆中，点D 在边AC 上，且2CD AD =．设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r，那么BD =u u u r 13b a -r r ．（结果用向量a r、b r 的式子表示）【解答】解：2CD AD =Q ，AC b =u u u r r，∴1133AD AC b ==u u u r u u u r r ，Q BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r， ∴13BD a b =-+u u u r r r ，故答案为：13b a -r r．16．如图，已知在O e 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点D ．如果4CD =，16AB =，那么OC = 10 ．【解答】解：Q 半径OC 垂直于弦AB ， 182AD AB ∴==，90ADO ∠=︒，设CO x =，则AO x =，4DO x =-，2228(4)x x =+-，解得：10x =， 10CO ∴=，故答案为：10．17．如图，斜坡AB 的长为200米，其坡角为45︒．现把它改成坡角为30︒的斜坡AD ，那么BD = 100(62)- 米．（结果保留根号）【解答】解：由题意可得：sin 451002()BC AC AB m ==︒=g ， 则tan 30ACDC︒=， 故100231006()tan 30ACDC m ==⨯=︒，则100(62)BD m =-． 故答案为：100(62)-．18．如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，25BC =，D 为边AC 上一点（点D 与点A 、C 不重合）．将ABD ∆沿直线BD 翻折，使点A 落在点E 处，连接CE ．如果//CE AB ，那么:AD CD = 5:6 ．【解答】解：如图，过A 作AG BC ⊥于G ，过B 作BH CE ⊥，交EC 的延长线于H ，延长BD 和CE 交于点F ， 5AC AB ==Q ，5BG CG ∴==，22225(5)5AG AB BG =-=-=//FH AB Q ，ABG BCH ∴∠=∠，90H AGB ∠=∠=︒Q ，BCH ABG ∴∆∆∽， ∴BH BC CH AG AB BG ==， ∴255255BHCH ==， 4BH ∴=，2CH =，由折叠得：5AB BE ==，2222543EH BE BH ∴=-=-=，321CE =-=，//FH AB Q ，F ABD EBD ∴∠=∠=∠，5EF BE ∴==，516FC ∴=+=，//FC AB Q ，∴56AD AB CD FC ==， 故答案为：5:6．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．先化简，再求值：2214422x x x x x x x -÷-++++，其中21x =-． 【解答】解：原式2221(2)2x x x x x x +-=-++g 122x x x x -=-++ 12x =+，当21x=-时，原式1212=-+121=+21=-．20．解不等式组：62442133x xx x->-⎧⎪⎨-⎪⎩…并把解集在数轴上表示出来．【解答】解：62442133x xx x->-⎧⎪⎨-⎪⎩①②…，由①得：22x>-，解得：1x>-，由②得：231x x-…，解得：1x„，所以，原不等式组的解集为：11x-<„．在数轴上表示为：21．如图，在ABC∆中，AB AC=，10BC=，5cos13ABC∠=，点D是边BC的中点，点E 在边AC上，且23AEAC=，AD与BE相交于点F．求：（1）边AB的长；（2）EFBF的值．【解答】解：（1）AB AC =Q ，点D 是边BC 的中点，AD BC ∴⊥，152BD DC BC ===， 在Rt ABD ∆中，5cos 13BD ABC AB ∠==， 13AB ∴=；（2）过点E 作//EH BC ，交AD 与点H ，//EH BC Q ，23AE AC =， ∴23EH AE CD AC ==， BD CD =Q ，∴23EH BD =， //EH BC Q ，∴23EF EH BF BD ==．22．甲骑自行车以10千米/时的速度沿公路行驶，3小时后，乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶，速度为25千米/时．设甲出发后x 小时，甲离开出发地的路程为1y 千米，乙离开出发地的路程为2y 千米．试回答下列问题：（1）求1y 、2y 关于x 的函数解析式；（2）在同一直角坐标系中，画出（1）中两个函数的图象；（3）当x 为何值时，乙追上甲，此时他们离出发地的路程是多少千米？【解答】解：（1）由题意，得110(0)y x x =…；225(3)y x =-，即22575(3)y x x =-…；（2）列表描点、连线，（3）由题意，当乙追上甲时，有12y y =，则102575x x =-，解得 5x =此时他们离出发地的路程是10550⨯=（千米），答：当5x =小时时，乙追上甲，此时他们离出发地的距离为50千米．23．如图，已知四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，2BD AC =．过点A 作AE CD ⊥，垂足为点E ，AE 与BD 相交于点F ．过点C 作CG AC ⊥，与AE 的延长线相交于点G ．求证：（1）ACG DOA ∆≅∆；（2）2DF BD DE AG =g g ．【解答】证明：（1）Q 在菱形ABCD 中，AD CD =，AC BD ⊥，OB OD =， DAC DCA ∴∠=∠，90AOD ∠=︒，AE CD ⊥Q ，CG AC ⊥，90DCA GCE ∴∠+∠=︒，90G GCE ∠+∠=︒，G DCA ∴∠=∠，G DAC ∴∠=∠，2BD AC =Q ，2BD OD =，AC OD ∴=，在ACG ∆和DOA ∆中，G DAO ACG AOD AC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACG DOA AAS ∴∆≅∆；（2）AE CD ⊥Q ，BD AC ⊥，90DOC DEF ∴∠=∠=︒，又CDO FDE ∠=∠Q ，CDO FDE ∴∆∆∽， ∴CD OD DF DE=，即得OD DF DE CD =g g ， ACG DOA ∆≅∆Q ，AG AD CD ∴==，又12OD BD =Q ， 2DF BD DE AG ∴=g g ．24．已知抛物线2y x bx c =-++经过点(1,0)A 、(3,0)B ，且与y 轴的公共点为点C ．（1）求抛物线的解析式，并求出点C 的坐标；（2）求ACB ∠的正切值；（3）点E 为线段AC 上一点，过点E 作EF BC ⊥，垂足为点F ．如果14EF BF =，求BCE ∆的面积．【解答】解：（1）由题意，得309330a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，解得：14a b =-⎧⎨=⎩， 故抛物线的表达式为：243y x x =-+-，则点C 的坐标为(0,3)-；（2）联结AC 、BC ．过点A 作AH BC ⊥，垂足为点H ．(3,0)B Q ，(0,3)C ，3OB OC ∴==，22(30)(03)32BC =-+-=，在Rt BOC ∆和Rt BHA ∆中，90AHB COB ∠=∠=︒．cos HB OB ABH AB BC ∴∠===，BH ∴=，则AH =，CH =，在Rt ACH ∆中，90AHC ∠=︒，1tan 2AH ACB CH ∴∠==； （3）联结BE ．设EF a =． 由14EF BF =得：得 4BF a =， 又1tan 2EF ACB CF ∠==Q ， 2CF a ∴=，6BC BF FC a ∴=+=，6a ∴=，解得：a =即：EF =113222BCE S CB EF ∆∴=⨯==． 25．如图1，点P 为MAN ∠的内部一点．过点P 分别作PB AM ⊥、PC AN ⊥，垂足分别为点B 、C ．过点B 作BD CP ⊥，与CP 的延长线相交于点D ．BE AP ⊥，垂足为点E ．（1）求证：BPD MAN ∠=∠；（2）如果sin MAN ∠=AB =，BE BD =，求BD 的长； （3）如图2，设点Q 是线段BP 的中点．联结QC 、CE ，QC 交AP 于点F ．如果45MAN ∠=︒，且//BE QC ，求PQFCEF S S ∆∆的值．【解答】（1）证明：PB AM ⊥Q ，PC AN ⊥， 90PBA PCA ∴∠=∠=︒，360BAC PCA BPC PBA ∠+∠+∠+∠=︒Q ， 180BAC BPC ∴∠+∠=︒，180BPD BPC ∠+∠=︒Q ，MAN BPD ∴∠=∠；（2）解：BE AP ⊥Q ，90D ∠=︒，BE BD =， BPD BPE ∴∠=∠．BPE BAC ∴∠=∠，在Rt ABP ∆中，由90ABP ∠=︒，BE AP ⊥， APB ABE ∴∠=∠，BAC ABE ∴∠=∠，310sin sin AE BAC ABE AB ∴∠=∠== 210AB =Q6AE ∴=， 222BE AB AE ∴=-=，2BD BE ∴==；（3）解：过点B 作BG AC ⊥，垂足为点G ．过点Q 作//QH BD ， 设2BD a =，2PC b =，45BPD MAN ∠=∠=︒Q ，2DP BD a ∴==，22CD a b ∴=+，在Rt ABG ∆和Rt BDP ∆中，45BAC BPD ∠=∠=︒， BG AG ∴=，DP BD =，//QH BD Q ，点Q 为BP 的中点， 12PH PD a ∴==．12QH BD a ==， 2CH PH PC a b ∴=+=+，//BD AC Q ，CD AC ⊥，BG AC ⊥， 22BG DC a b ∴==+．42AC a b ∴=+，//BE QC Q ，BE AP ⊥，90CFP BEP ∴∠=∠=︒，又90ACP ∠=︒， QCH PAC ∴∠=∠，ACP QCH ∴∆∆∽， ∴PC AC QH CH =，即2422b a b a a b+=+， 解得，a b =，3CH a ∴=．由勾股定理得，CQ ==， 90QHC PFC ∠=∠=︒Q ，QCH PCF ∠=∠， QCH PFC ∴∆∆∽， ∴HC QC CF CP=，即3a FC =，解得，FC =，QF QC FC ∴=-=， //BE QC Q ，Q 是PB 的中点，PE EF ∴=，PQF ∴∆与CEF ∆面积之比等于高之比， ∴23PQFCEF S QF S FC ∆∆==．。
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2019年上海各区初三二模数学试卷23题专题汇编（教师版）崇明23．（本题满分12分，每小题满分各6分）如图7，在直角梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AD BC ∥，对角线AC 、BD 相交于点O ． 过点D 作DE BC ⊥，交AC 于点F ． （1）联结OE ，若BE AOEC OF=，求证：OE CD ∥； （2）若AD CD =且BD CD ⊥，求证：AF DFAC OB=． 23．（本题满分12分，每小题满分各6分） 证明(1)∵90ABD ∠=︒,BC DE ⊥∴//AB DE ………………………………………………………………（1分） ∴AO BOOF OD=………………………………………………………………（2分） ∵BE AOEC OF =∴AO BEOF EC=……… ………………………………………………………（2分） ∴//OE CD …………………………………………………………………（1分） (2)∵BC AD //，//AB DE ，∴四边形ABED 为平行四边形 又∵90ABD ∠=︒∴四边形ABED 为矩形 ……………………………………………………（1分） ∴AD BE =，90ADE ∠=︒ 又∵CD BD ⊥∴90BDC BDE CDE ∠=∠+∠=︒︒=∠+∠=∠90BDE ADB ADE∴CDE ADB ∠=∠ …………………………………………………………（1分）AD CD =∴DCA DAC ∠=∠∴()A S A CDF ADO ..∆≅∆…………………………………………………（1分） ∴OD DF =DE AB //ABCDOE F图7∴AF BE ADAC BC BC==…………………………………………………………（1分） ∵BC AD //∴BODFBO OD BC AD ==…………………………………………………………（1分） ∴AF DFAC OB=…………………………………………………………………（1分） 奉贤23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图8，正方形ABCD ，点E 在边AD 上，AF ⊥BE ，垂足为点F ，点G 在线段BF 上，BG=AF ．（1）求证：CG ⊥BE ；（2）如果点E 是AD 的中点，联结CF ，求证：CF=CB ．23.证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =．90ABC． ··········· （1分） ∵AF ⊥BE ，∴90FAB FBA ∠+∠=︒．∵90FBA CBG ∠+∠=︒，∴FAB CBG ∠=∠． ································ （1分） 又∵AF BG =，∴△AFB ≅△BGC ． ············································· （2分）∴AFB BGC ∠=∠． ······································································· （1分） ∵90AFB ∠=︒，∴90BGC ∠=︒，即CG ⊥BE ． ······························· （1分） （2）∵ABF EBA ∠=∠，90AFB BAE ∠=∠=︒，∴△AEB ∽△FAB ．∴AE AFAB BF=． ················································· （3分） ∵点E 是AD 的中点，AD AB =，∴12AE AB =．∴12AF BF =．··················· （1分） ∵AF BG =，∴12BG BF =，即FG BG =．············································ （1分） ∵CG ⊥BE ，∴CF CB =． ······························································· （1分）ABCD FG E 图8闵行（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，已知四边形ABCD 是菱形，对角线BD AC 、相交于点O ，AC BD 2=，过点A 作CD AE ⊥，垂足为点E ，AE 与BD 相交于点F ，过点C 作AC CG ⊥，与AE 的延长线相交于点G . 求证：（1）DOA ACG ∆∆≌;（2）AG DE BD DF ⋅=⋅223．证明：（1）在菱形ABCD 中，AD = CD ，AC ⊥BD ，OB = OD ．∴ ∠DAC =∠DCA ，∠AOD = 90°．……………………………（1分） ∵ AE ⊥CD ，CG ⊥AC ，∴ ∠DCA +∠GCE = 90°，∠G +∠GCE = 90°．∴ ∠G =∠DCA ．…………………………………………………（1分） ∴ ∠G =∠DAC ．…………………………………………………（1分） ∵ BD = 2AC ，BD = 2OD ，∴ AC = OD ． ……………………（1分） 在△ACG 和△DOA 中，∵ ∠ACG =∠AOD ，∠G =∠DAC ，AC = OD ，∴ △ACG ≌△DOA ． ……………………………………………（2分） （2）∵ AE ⊥CD ，BD ⊥AC ，∴ ∠DOC =∠DEF = 90°．…………（1分） 又∵ ∠CDO =∠FDE ，∴ △CDO ∽△FDE ．…………………（1分）∴ CD OD DF DE=．即得 OD DF DE CD ⋅=⋅． ……………………（2分） ∵ △ACG ≌△DOA ，∴ AG = AD = CD ． ……………………（1分）又∵ 12OD BD =，∴ 2DF BD DE AG ⋅=⋅．…………………（1分）嘉定23．（本题满分12分，第(1)小题6分、第(2)小题6分）如图6，在矩形ABCD 中，点E 是边AB 的中点，△EBC 沿直线EC 翻折，使B 点落在矩形ABCD 内部的点P 处，联结AP 并延长AP 交CD 于点F ，联结BP 交CE 于点Q ． （1）求证：四边形AECF 是平行四边形； （2）如果PE PA =，求证：△APB ≌△EPC ．23.（1）证明：由翻折得:EC 垂直平分BP ………………1分∴EQ BQ = ………………1分 ∵点E 为AB 的中点，∴EB AE = ………………1分 ∴EQ 是△ABP 的中位线，∴EC ∥AF ，……………1分 ∵四边形ABCD 是矩形∴AE ∥FC ………………1分 ∴四边形AECF 是平行四边形. ………………1分（2）∵AE ∥FC ，∴EQB APB ∠=∠ ………………1分由翻折得: ︒=∠90EQB ,︒=∠90EPC∴︒=∠=∠90EPC APB ………………1分 由翻折得:EB PE =,BEC PEC ∠=∠∵PE PA =,EB AE = ∴AE PE PA ==∴△AEP 是等边三角形，∴︒=∠=∠60AEP PAB …………1分 ∵︒=∠+∠+∠180BEC PEC AEP∴︒=∠60PEC ………………1分AB DCF PEQ图6∴PEC PAB ∠=∠ ………………1分 ∵PE PA =,∴△APB ≌△EPC ………………1分 黄埔23．（本题满分12分）如图6，已知四边形ABCD ，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，DO =BO ，过点C 作CE ∥AC ，交BD 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，且满足DCE ACB ∠=∠. （1）求证：四边形ABCD 是矩形； （2）求证：DE ADEF CD=.23. 证明：（1）∵AD ∥BC ，∴AD DOBC BO=， ∵DO =BO ，∴AD BC =，--------------------（2分）∴四边形ABCD 是平行四边形. ------------------------------------------------------------------------（1分） ∵CE ⊥AC ，∴90ACD DCE ∠+∠=︒，∵DCE ACB ∠=∠，∴90ACB ACD ∠+∠=︒，即90BCD ∠=︒，------------------------（2分） ∴四边形ABCD 是矩形. --------------------------------------------------------------------------------------（1分）（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD =，90ADC ∠=︒---------------------------------------（2分）∵AD ∥BC ，∴DE EFBD FC=.--------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴DE EFAC FC =，------------------------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴DE AC EF FC=，∵90ADC ACF ∠=∠=︒， ∴cot AC ADDAC FC CD∠==，----------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴DE AD EF CD =.--------------------------------------------------------------------------------------------------（1分）ABC DEF图6OA B CDO E H F 第23题图金山22. 已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若DBC CAD ∠=∠.（1）求证：ABCD 是正方形.（2）E 是OB 上一点，CE DH ⊥，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：OF OE =.23.（1）证明：∥四边形ABCD 是菱形，∥BC AD //，DAC BAD ∠=∠2,DBC ABC ∠=∠2; （2分） ∥180=∠+∠ABC DAB ; （1分） ∥DBC CAD ∠=∠;∥ABC BAD ∠=∠, （1分） ∥1802=∠BAD ; ∥90=∠BAD ; （1分） ∥四边形ABCD 是正方形. （1分） （2）证明：∥四边形ABCD 是正方形；∥BD AC ⊥，BD AC =，AC CO 21=,BO DO 21=； （1分） ∥90=∠=∠DOC COB ，DO CO =； （1分） ∥CE DH ⊥，垂足为H ；∥90=∠DHE ，90=∠+∠DEH EDH ； （1分） 又∥90=∠+∠DEH ECO ；∥EDH ECO ∠=∠； （1分） ∥ECO ∆≌FDO ∆； （1分） ∥OF OE =. （1分）普陀23．（本题满分12分）已知：如图10，在四边形ABCD 中，AD BC <，点E 在AD 的延长线上， ACE BCD ∠=∠，EC ED EA =⋅2． （1）求证：四边形ABCD 为梯形； （2）如果EC ABEA AC=，求证：AB ED BC =⋅2．23．证明：（1）∵ ACE BCD ∠=∠，∴DCE BCA ∠=∠． ········································· （1分）∵EC ED EA =⋅2，∴ED ECEC EA=． ······················································ （1分） 又∵E ∠是公共角，∴△EDC ∽△ECA ． ·············································· （1分） ∴DCE CAE ∠=∠． ········································································· （1分） ∴BCA CAE ∠=∠．∴AD ∥BC ． ·················································································· （1分） ∵AD BC <，∴AB 与CD 不平行．∴四边形ABCD 是梯形． ····································································· （1分） （2）∵△EDC ∽△ECA ．∴EC CDEA AC =． ∵EC AB EA AC=，∴AB DC =．··························································· （1分） ∴四边形ABCD 是等腰梯形． ···························································· （1分） ∴B DCB ∠=∠． ··········································································· （1分） ∵AD ∥BC ．∴EDC DCB ∠=∠．图10A BCD E∴EDC B ∠=∠．∵ECD ACB ∠=∠，∴△EDC ∽△ABC ． ········································ （1分） ∴ED DCAB BC=． ··············································································· （1分） ∴AB ED BC =⋅2． ······································································ （1分） 徐汇22. （本题满分（12分），第（1）题满分6分，第（2）小题满分6分） 如图，已知梯形ABCD 中，E AC AB BC AD ,,=∥是边BC 上的点，且CAD AED ∠=∠,DE 交AC 于点F(1) 求证：DAF ABE ∽△△(2) 当EC AE FC AC ⋅=⋅时，求证：BE AD = 23. ：（1）BC AD // ACB CAD ∠=∠∴ AC AB = ACB B ∠=∠∴ 又CAD AED ∠=∠CAD AED ACB B ∠=∠=∠=∠∴ 又CED AED BAE B ∠+∠=∠+∠ CED BAE ∠=∠∴又BC AD // CED ADF ∠=∠∴ ADF BAE ∠=∠∴ CAD ABE ∠=∠ ABE ∆∴相似于DAF ∆（2）由（1）知ABE ∆∴相似于DAF ∆AF BE AD AB =∴AFADBE AB =∴ BC AD // FC AF EC AD =∴FCECAF AD =∴ FC ECBE AB =∴ 由（1）知:CED BAE CED B ∠=∠∠=∠,ABE ∆∴相似于ECF ∆ FC BE EC AB =∴ FCEC BE AB =∴ EC AE FC AC ⋅=⋅ FCECAE AC =∴AEAC BE AB =∴ 又AC AB = AE BE =∴ BAE B ∠=∠∴又AED B ∠=∠ AED BAE ∠=∠∴DE AB //∴ 又BC AD //∴四边形ABED 是平行四边形 BE AD =∴杨浦1、 （本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图，在ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，点F 、G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的延长线相交于H ，联结HA 、HC 求证：（1）四边形FBGH 是菱形 （2）四边形ABCH 是正方形23．证明（1）：∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴F 、G 分别是AG 、CF 的中点， ∵点D 是AB 的中点，∴DF //BG ，即FH //BG ． ........................ （2分）同理： GH // BF ． ........................................................................... （1分） ∴四边形FBGH 是平行四边形． .................................................. （1分） ∵AB =BC ，∴∠BAC =∠ACB .∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴AF =CG .∴△ABF ≌△CBG . ∴BF =BG. .................................................... （1分） ∴平行四边形FBGH 是菱形. ....................................................... （1分）证明（2）联结BH ，交FG 于点O ，∵四边形FBGH 是平行四边形，∴OB =OH ，OF =OG ． ............ （2分） ∵AF =CG ，∴OA =OC ． ................................................................. （1分） ∴四边形ABCH 是平行四边形． .................................................. （1分） ∵∠ABC =90°，∴平行四边形ABCH 是矩形. .......................... （1分）∵AB =BC ，∴矩形ABCH 是正方形. （1分）长宁23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图5，平行四边形ABCD 的对角线BD AC 、交于点O ，点E 在边CB 的延长线上，且︒=∠90EAC ，EC EB AE ⋅=2． （1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）延长AE DB 、交于点F ，若AC AF =，求证：BF AE =．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵EC EB AE ⋅=2 ∴AEEB EC AE =又 ∵CEA AEB ∠=∠ ∴AEB ∆∽CEA ∆ （2分） ∴EAC EBA ∠=∠∵︒=∠90EAC ∴︒=∠90EBA （1分） 又 ∵︒=∠+∠180CBA EBA ∴︒=∠90CBA （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形∴四边形ABCD 是矩形 （1分）（2）∵ AEB ∆∽CEA ∆ ∴ AC AB AE BE = 即 ACAE AB BE = ， ECA EAB ∠=∠ （2分）∵四边形ABCD 是矩形 ∴BD AC =又 ∵BD OB 21=， AC OC 21= ∴OC OB = ∴ECA OBC ∠=∠ 又 ∵OBC EBF ∠=∠ ECA EBA ∠=∠ ∴EAB EBF ∠=∠又∵F F ∠=∠ ∴EBF ∆∽BAF ∆ （3分）∴AB BE AF BF = ∴ACAEAF BF =（1分） ∵AC AF = ∴AE BF = （1分）图5AB CDE FO宝山23．（本题满分12分，第(1)、第(2)小题满分各6分）如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，联结AP 并延长AP 交CD 于F 点， （1）求证：四边形AECF 为平行四边形；（2）如果P A=PC ，联结BP ，求证：∥APB ≅∥EPC ．第23题图23.（1）证明：由折叠得到EC 垂直平分BP ， ………………1分 设EC 与BP 交于Q ，∥BQ=EQ ………………1分 ∥E 为AB 的中点， ∥AE =EB ， ………………1分 ∥EQ 为∥ABP 的中位线，∥AF ∥EC ， ………………2分 ∥AE ∥FC ， ∥四边形AECF 为平行四边形； ………………1分 （2）∥AF ∥EC ，∥∥A PB =∥EQB =90° ………………1分由翻折性质∥E PC =∥EBC =90°，∥PEC =∥BEC ………………1分 ∥E 为直角∥APB 斜边AB 的中点，且AP =EP ，∥∥AEP 为等边三角形 , ∥BAP =∥AEP =60°， ………………1+1分︒=︒-︒=∠=∠60260180CEB CEP ………………1分 在∥ABP 和∥EPC 中， ∥BAP =∥CEP ，∥APB=∥E PC ，AP =EP ∥∥ABP ∥∥EPC （AAS ）， ………………1分松江23.（本题满分12分，每小题各6分）如图，已知□ABCD 中，AB=AC ，CO ⊥AD ，垂足为点O ，延长CO 、BA 交于点E ，联结DE ． （1）求证：四边形ACDE 是菱形；（2）联结OB ，交AC 于点F ，如果OF=OC ，求证：22AB BF BO =⋅．23．证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB ∥DC ，AB=DC ………………………………………………………………（1分） ∵AB=AC ，∴AC=DC ……………………………………………………………（1分） ∵CO ⊥AD ，∴AO=DO …………………………………………………………（1分） ∵EO AOCO DO=，∴EO=CO ………………………………………………………（1分） ∴四边形ACDE 是平行四边形……………………………………………………（1分） ∵AC=DC ，∴四边形ACDE 是菱形……………………………………………（1分） （2）∵ OF=OC ，∴∠OFC=∠OCF ……………………………………………（1分） ∵AE=AC ，∴∠OCF=∠BEO∵∠OFC=∠BF A ，∴∠BF A=∠BEO …………………………………………（1分） ∵∠ABF=∠OBE …………………………………………………………………（1分） ∴△BF A ∽△BEO ，∴AB BFBO BE=………………………………………………（1分） ∴AB ·BE=BF ·BO ，∵AE=AC=AB ，∴BE=2AB ………………………………（1分） ∴22AB BF BO =⋅………………………………………………………………（1分）（第23题图）OECBA静安22．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）已知：如图5，在矩形ABCD 中，过AC 的中点M 作EF ⊥AC ， 分别交AD 、BC 于点E 、F ． （1）求证：四边形AECF 是菱形； （2）如果2CD BF BC =⋅，求∠BAF 的度数．22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 证明：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴AD //BC ， ∴∠1=∠2．..........................................（1分）∵点M 为AC 的中点，∴AM =CM ．在△AME 与△CMF 中，12AM CM AME CMF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩..............................................（1分） ∴△AME ≌△CMF ．..........................................（1分） ∴AE =CF ．∴四边形AECF 为平行四边形． ·································································· （1分） 又∵EF ⊥AC ，∴平行四边形AECF 为菱形． ····································································· （1分） （2）∵2CD BF BC =⋅，∴CD BC BF CD =．又∵四边形ABCD 为矩形，∴AB =CD ，∴AB BC BF AB =． ··········································································· （1分）又∵∠ABF =∠CBA ，∴△ABF ∽△CBA ． ·················································································· （1分） ∴∠2=∠3． ···························································································· （1分） ∵四边形AECF 为菱形，∴∠1=∠4，即∠1=∠3=∠4． ····································································· （1分） ∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠BAD =∠1+∠3+∠4=90°，∴即∠1=30°． ······················································································· （1分）图5CFEDA BM图5CF EDA B M 124323．（本题满分12分，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分4分）已知：如图6，△ABC 内接于⊙O ，AB ﹦AC ，点E 为弦AB 的中点，AO 的延长线交BC 于点D ，联结ED ．过点B 作BF ⊥DE 交AC 于点F ．（1）求证：∠BAD ﹦∠CBF ； （2）如果OD ﹦DB ．求证：AF =BF ．证明：（1）∵AB ﹦AC ， ∴AB AC =． ........................（1分）∵直线AD 经过圆心O ， ..................................................（1分） ∴AD ⊥BC ，BD=CD ． ....................................................（1分） ∵点E 为弦AB 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线． ∴DE ∥AC ． ......................................................................（1分） ∵BF ⊥DE ，∴∠1=90°， ∴∠2=90°．......................................................................（1分） ∴∠CBF ＋∠ACB ﹦90°．∵AB ﹦AC ，∴∠ABC ﹦∠ACB ， .....................................（1分）∴∠CBF ＋∠ABC ﹦90°．.................................................（1分）又∵AD ⊥BC ，∴∠BAD ＋∠ABC ﹦90°，∴∠BAD ﹦∠CBF ．.............................................................（1分）（2）联结OB ．∵AD ⊥BC ，OD ﹦DB ，∴△ODB 是等腰直角三角形．.......................................................................................................（1分）∴∠BOD ﹦45°． ∵OB=OA ，∴∠OBA ﹦∠OAB ．∵∠BOD ﹦∠OBA +∠OAB ，∴∠BAO=12∠BOD=22.5°． .....................................................................................................（1分）∵AB=AC ，且AD ⊥BC ， ∴∠BAC=2∠BAO=45°． ∵∠2=90°，即BF ⊥AC ，∴在△ABF 中，∠ABF =180904545--=，................................................................................（1分）图6BCDEF OA· 图6 B C DE F O A·12OE第23题图 C A B D F∴∠ABF =∠BAC ，∴AF =BF ．.........................................................................................................................................（1分） 虹口23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，过点B 作BE ∥AC ，联结OE 交BC 于点F ，点F 为BC 的中点．（1）求证：四边形AOEB 是平行四边形；（2）如果∠OBC =∠E ，求证：=BO OC AB FC ⋅⋅．23．（1）证明：∵BE ∥AC ∴OC CFBE BF=∵点F 为BC 的中点 ∴CF=BF ∴OC=BE ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AO=CO ∴AO=BE∵BE ∥AC ∴四边形AOEB 是平行四边形（2）证明：∵四边形AOEB 是平行四边形 ∴∠BAO =∠E ∵∠OBC =∠E ∴∠BAO =∠OBC∵∠ACB =∠BCO ∴△COB ∽△CBA ∴BO BC AB AC =∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AC =2OC ∵点F 为BC 的中点 ∴BC =2FC ∴BO FC AB OC= 即=BO OC AB FC⋅⋅青浦23.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）已知：如图9，在菱形ABCD 中，AB =AC ，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE =BF ，CE 与AF 相交于点G ． （1）求证：∠FGC =∠B ；（2）延长CE 与DA 的延长线交于点H ，求证：．23．证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =BC ． ··········································································· （1分）∵AB =AC ，∴AB =BC =AC ，∴∠B =∠BAC =60°． ··························· （1分） 在△EAC 与△FBA 中，∵EA =FB ，∠EAC =∠FBA ，AC =BA ， ∴△EAC ≌△FBA ， ································································ （1分） ∴∠ACE =∠BAF ，·································································· （1分） ∵∠BAF+∠F AC =60°，∴∠ACE +∠F AC =60°，∴∠FGC =60°， ······· （1分） ∴∠FGC =∠B ． ····································································· （1分） （2）∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B =∠D ，AB =DC ，AB //DC ， ················································ （1分） ∴∠BEC =∠HCD ， ································································· （1分） ∴△BEC ∽△DCH ， ······························································· （1分）∴=BE ECDC CH， ····································································· （1分） ∴⋅=⋅BE CH EC DC ．∵AB =AC ，∴CD =AC ， ··························································· （1分） ∵△EAC ≌△FBA ， ∴EC =F A ，∴⋅=⋅BE CH AF AC ． ························································· （1分）BE CH AF AC ⋅=⋅GF EDA BC图9。