2021届浙江省五校高三上学期第一次联考数学试题(解析版)

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先确定函数奇偶性，舍去A,B；再根据函数值确定选择项.
【详解】
为奇函数，舍去A,B；
因为当 时， ，所以舍去D,
故选：C
【点睛】
本题考查函数图象识别、奇函数判断，考查基本分析判断能力，属基础题.
7．已知数列 的前 项的和为 ，且 ，则（）
A． 为等比数列B． 为摆动数列
【详解】
当 时， 没有意义，即不满足 ，故①错误；
对于任意 ，存在实数 ，
此时函数定义域为 ，
且
即函数 为偶函数；故②正确；
对于任意 ，函数
当 时， （当且仅当 时取等号），此时函数 存在最小值；
当 时，
当 时，
，当且仅当 时取等号，此时当 时， 存在最小值
当 时，
因此 在 上单调递增
又
因此存在唯一 ，使得
∴ ，
（2） ，得 ，即 ， ，则 ，
而 ，由余弦定理知： ，有 ，所以 当且仅当 时等号成立，而在 中 ，
∵周长 ，
∴
【点睛】
本题考查了应用三角恒等变换化简三角函数求其单调区间，利用余弦定理、基本不等式以及三角形三边关系求周长范围.
19．已知四棱锥 的底面是矩形， 面 ， ， .
（1）作 于 ， 于 ，求证： 平面 ；
【答案】
【解析】利用指数函数、对数函数的单调性及其性质求不等式解集即可.
【详解】
有 ，所以 ，即 ，解得 ；
有 ，所以 ，解得 ；
故答案为： ； ；
【点睛】
本题考查了利用函数的单调性，结合一元二次不等式的解法解不等式，属于基础题.
12．函数 在区间 的图象如下图，则 的最小正周期为___________； ___________.
三、填空题
14．已知函数 （其中 是自然对数的底数），则 ___________；若 与 的图象有两个不同的公共点，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】根据自变量范围代入对应解析式，计算即得第一空；先转化为函数 与 交点，再结合导数确定函数 单调性，最后根据数形结合确定实数 的取值范围.
9．已知抛物线 ，过点 作抛物线的切线 、 ，切点分别为 、 ，则 、 两点到 轴距离之和的最小值为（）
A．3B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得到切线 、 的方程，联立求得 点坐标，结合已知 ，即可的 ，设直线 为 联立抛物线方程可求 ，即可求 、 两点到 轴距离之和的最小值.
【详解】
设 ，由抛物线 知： ，
21．已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线 与椭圆C交于A，B两个不同的点，M为AB中点， ，当△AOB（点O为坐标原点）的面积S最大时，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由已知条件求出 、 的值，代入椭圆方程即可.
（2） 将直线与椭圆方程联立，写出判别式 ，以及 ， ，再利用点到直线的距离求三角形的高，利用弦长公式求 ，再利用面积公式求 ，利用基本不等式即可求得取得最值的条件是 ，再根据中点坐标公式求出 ，由两点间距离公式即可将 表示出来，从而求得取值范围.
（1）求 的单调递增区间；
（2）若 ， ，求 周长的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】（1）利用正余弦的倍角公式化简函数式得 ，结合正弦型函数的单调性求 的单调递增区间即可；（2）由已知条件求 ，由余弦定理、基本不等式、三角形三边关系有 ，进而可求 周长的范围.
【详解】
（1） ，
∴ 在 上单调递增，
3．若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（）
A．9B．8C．7D．6
【答案】C
【解析】先作可行域，再根据目标函数表示直线，结合图象确定最大值取法，即得结果.
【详解】
先作可行域，如图，则直线 过点 时 取最大值，为
故选：C
【点睛】
本题考查利用线性规划求最值，烤箱数形结合思想方法，属基础题.
4．已知 ， ， ，则 在 方向上的投影为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由向量的坐标表示可得 ，利用数量积公式求向量夹角余弦值，进而可求 在 方向上的投影.
【详解】
由题意知： ，
∴ ，
故 在 方向上的投影： ，
故选：A
【点睛】
本题考查了向量数量积的坐标表示，由向量线性关系求向量的坐标，利用向量数量积的坐标表示求向量的夹角，进而求向量的投影.
（2）求二面角 的正切值.
【答案】（1）证明见解析；（2） ；
【解析】（1）由线线垂直证明线面垂直即可；（2）构建空间直角坐标系，利用空间向量求二面角正余弦值，进而求得其正切值.
【详解】
（1）四棱锥 的底面是矩形， 面 有： ， ，
由 ，即 面 ，又
∴ 面 ，又 面 ，则 ，又 且 ，
∴ 面 ，而 面 ，有 ，又 且 ，
【解析】设 ， ， ， ，利用 可以设 利用 即可求出点 的轨迹为单位圆， ， 的最小值是点 到直线 的距离，从而求得答案.
【详解】
设 ， ， ，
因为 ，
， ，
因为 与 的夹角为 ，所以 与 夹角为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 得：所 ，
所以 ，所以点 的轨迹为单位圆，
所以 的最小值是点 到直线 的距离.
2021届浙江省五校高三上学期第一次联考数学试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先求定义域得集合A，再根据补集与并集定义求结果.
【详解】
所以
故选：C
【点睛】
本题考查补集与并集运算、函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．“直线 与平面 内无数条直线垂直”是“直线 与平面 垂直”的（）
【详解】
设 ，故 上 单调减，
∴ ，而 ,
当且仅当 时等号成立；令 ，则 ，
即 在 上单调减，在 上单调增，
而 ， ，
所以 ，
综上，有
故答案为： .
【点睛】
本题考查了构造函数法求代数式的范围，利用基本不等式、导数研究函数最值，结合已知条件求目标式的范围.
四、解答题
18．已知 ， 中，角 ， ， 所对的边为 ， ， .
5．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先化切为弦，再根据两角和正弦公式以及正弦定理得 ，最后根据余弦定理求结果.
【详解】
故选：D
【点睛】
本题考查两角和正弦公式、正弦定理、余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．函数 的图象是下列图中的（）
20．已知数列 与 满足 ， 且 ， ，且 .
（1）设 ， ，求 ，并证明：数列 是等比数列；
（2）设 为 的前n项和，求 .
【答案】（1） ，证明见解析；（2） ；
【解析】（1）根据已知条件即递推关系可求 ，且 即可证 是等比数列；（2）结合（1）奇数项之差为等比数列，同理可得偶数项之差也为等比数列，进而可得 、 ，可知数列 前n项和即为 ；
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不必要也不充分条件
【答案】B
【解析】根据充分必要条件的定义即可判断.
【详解】
设命题 ：直线 与平面 内无数条直线垂直，
命题 ：直线 与平面 垂直，
则 ，但 ，所以 是 的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】
本题主要考查必要不充分条件的判断，涉及线面垂直的定义和性质，属于中档题.
∴ 面 .
（2）由题意，构建以 为原点，以 为 轴正方向的空间直角坐标系，则 是面 的一个法向量，则：
，若 ，有 ，
令 是面 的一个法向量，则：
，若 ，有 ，
，由图二面角 为锐角其余弦值为 ，
∴二面角 的正切值为 .
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定证垂直，通过空间向量求二面角的三角函数值，属于中档题.
【答案】
【解析】将 代入解析式，即可得 ，再结合 ，即可求得 的值，从而求出 的解析式，即可得周期和 的值.
【详解】
由图知 在 图象上，且为图象上升时与 轴的交点，
所以 ， ，解得： ，
因为 ，所以 ，所以 ，
令 ，得 ，所以 ，
所以 ， ，
故答案为： ；
【点睛】
本题主要考查了利用三角函数图象求解析式，考查了周期公式和诱导公式，属于中档题.
故选：
【点睛】
本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.
8．已知 ， ， ， ，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先根据二倍角余弦公式求 ，解得 ，最后根据两角差余弦公式得结果.
【详解】
或
因为 ，所以
故选：B
【点睛】
本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题.
∴切线 、 分别为： ， ，
联立 、 的方程，可得： ，而 ，
∴ ，若设直线 为 ，联立抛物线方程得： ，
∴ ，即 ，
而 ，
∴ ，故当 时 有最小值 ，
故选：B
【点睛】
本题考查了抛物线，利用准线上的动点与抛物线的切线的关系求得切点横坐标的数量关系，由切点到横轴的距离为切点纵坐标之和，结合已知方程所得函数式求最值.
过点 作 于点 ,交单位圆于点 ，
所以 ，
即 ，解得： ，
所以 ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了向量模的几何意义，运用坐标法可以使向量问题更简单，属于难题.