2.3等差数列前N项和的公式

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问题2:对于这个问题,德国著名数学家高斯10岁 时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）
假设1+2+3+ +100=x,
(1)
那么100+99+98+ +1=x.
(2)
由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,
100个101
所以 2x 101100, x=5050.
高斯
这个问题,可看成是求等差数列 1，2， 3，…，n，…的前100项的和。
知三求二 10
（1） 1+2+3+…+n= （2） 1+3+5+…+（2n-1）= （3）2+4+6…+2n=
Sn = n（n+1）/2 Sn = n2
Sn= n（n+1）
上面习题的答案在以后会经常用到。
1.将等差数列前n项和公式
Sn
na1
n(n 1)d 2
看作是一个关于n的函数,这个函数
有什么特S点n ？d2n2
（ 注意 a 还可以是 0）
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例1 如图,一个堆放铅笔的 V形架
的最下面一层放一支铅笔，往上 每一层都比它下面一层多一支， 最上面一层放120支。这个V形架 上共放着多少支铅笔？
解:由题意可知,这个V形架上共放着120层铅笔，
且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为
{an},其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前n项和 的公式，得
（2）由等差数列的通项公式,得
14.5+(n1)0.7=32 n=26
(14.5 32) 26
S26
2
604.5
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例3: 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36. 求前16项的和?
分析:可以由等差数列性质,直接代入前n 项和公式
解: 由等差数列的性质可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=16/2 × 18=144 答:前16项的和为144。
S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 +1
2S n(n 1), n(n 1)
S 2
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下面将对等差数列的前n项和公式进行推导 设等差数列a1,a2,a3,…
它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1)
若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2)
由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
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问题呈现
问题1
泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪 莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所 建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成 的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七 大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之 细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同 大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见 左图），奢靡之程度，可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
借助几何图形之 直观性,使用熟悉的 几何方法:把“全等 三角形”倒置，与原 图补成平行四边形。
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探究发现
问题1:图案中,第1层到第21层一共有多 少颗宝石？
1 2 3
21 20 19
获得算法：
s21
(121)21 2
21
1
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问题3:
求:1+2+3+4+…+n=? 记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n
即 Sn=n(a1+an)/2
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由此得到等差数列的{an}前n项和的公式
Sn
n(a1 an ) 2
即:等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。
由等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d
上面的公式又可以写成
Sn
na1
n(n 1) 2
d
解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。
公式共涉及到5个量：a1, d, n, an, Sn.已知其中3个可求另2个
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探究发现
问题1:图案中,第1层到第21层一共有多
少颗宝石？
这是求奇数个项和的问题,不能
简单模仿偶数个项求和的办法，
需 要 把 中 间 项 11 看 成 首 、 尾 两
项1和21的等差中项。
通过前后比较得出认识:高斯 “首尾配对” 的算法还得分奇、 偶个项的情况求和。
有无简单的方法？
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探究发现
问题1:图案中,第1层到第21层一共有多 少颗宝石？
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解:将题中的等差数列记为｛an｝,sn代表该数列
的前n项和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
设Байду номын сангаас数列前n 项和为54
n(n 1)
根据等差数列前n项和公式: sn na1
得 10 nn(n1)454
d 2
2
整 理 后 ,得 n 2 6 n2 70
解得 n1=9, n２=－3(舍去) 因此等差数列－10,－6,－2,2,．．．前9项的和是 54.
S120
120 (1120) 2
7
260
答:V形架上共放着 7 260支铅笔。
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例2:在等差数列{an}中,
（1）a3= -2,a8=12，求S10
（2）a1=14.5,d=0.7，an=32，求Sn
解:（1）a1+a10 = a3+a8 = 10
S10
(a1
a10) 10 2
10 10 2
50
(a1
d)n 2
令
A
d 2
,
B
a1
d 2
则
Sn=An2+Bn
12当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数
㈡【说明】
①推导等差数列的前n项和公式的 方法叫 倒序相加法 ;
②等差数列的前n项和公式类同 于 梯形的面积公式 ;
③ 是{一an个}为关等于差n数的列没有Sn=常an数2+项bn
,这 的
“ 二次函数 ”
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巩固练习
1、已知 a6+a9+a12+a15=192,求 S20
a6+a9+a12+a15=192, a6+a15=a9+a12= a1+a20
由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当 知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均可以得出.
已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?
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例4 等差数列-10,-6，-2， 2，…前多少项的和是54？
本题实质是反用公式,解一个 关于n 的一元二次函数，注意 得到的项数n 必须是正整数.
等差数列的前n项和 的性质及应用
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复习回顾
(1) 等差数列的通项公式: 已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有:
an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差数列的性质:
在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq