2.3等差数列前N项和的公式
等差数列的前n项和(3)
称为数列{an}的前n
项和，记作Sn，那么Sn－1表示什么？ an，Sn，Sn－1三者之间有什么关系？
S n S n 1 an S1
2013-8-19
( n 2) ( n 1)
利用数列前n项和Sn，求通项公式 第一步：当n＞1时，an＝Sn－Sn－1； 第二步：检验n＝1时，a1＝S1是否适合上式， 若适合，则数列{an}的通项公式是an＝Sn－Sn－1； 若不适合，则数列{an}的通项公式是
9＋17 由 S17＝S9 知图象对称轴 n＝ ＝13， 2 ∴当 n＝13 时，取得最大值 169.
2013-8-19
2. 若数列{an}的前n项和是Sn＝pn2＋qn， 那么数列{an}是等差数列吗？ 若Sn＝pn2＋qn＋r呢？ {an}是等差数列
Sn＝pn2＋qn.
2013-8-19
Sn 3. 若数列{an}为等差数列，那么数列 { } n
2013-8-19
【正解】
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1
＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n； 当 n＝1 时，a1＝S1＝1.
1，n＝1 ∴an＝ 2n，n≥2
.
∵a2－a1＝4－1＝3≠2， ∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数， ∴{an}不是等差数列.
3 2 123 ＝2n － 2 n＋1 260.10 分
2013-8-19
∴数列{|an|}的前 n 项和 3 2 123 －2n ＋ 2 nn≤20 Sn′＝ 3n2－123n＋1 260n>20 2 2
.12 分
• [题后感悟] 本题为非常规等差数列求和．解 题的关键首先是确定数列{an}的前20项为负数， 其次是当n>20时，用Sn－S20表示从a21到an这些 非负的项的和．本题是此类问题的一个典型例 题，类似问题都可以这样处理．
高中数学：2.3等差数列的前n项和公式(2)
2.3 等差数列的前n 项和公式(2) 课前预习 ● 温故知新 学前温习1.等差数列的前n 项和公式设等差数列{n a }的公差为d ，其前n 项和Sn= 或Sn= .2.等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系 新课感知1.在等差数列{n a }中，若1a ＞0，d ＜0，则Sn 是否存在最大值？若存在，如何求？2. 已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，求证：12186126,,S S S S S --也成等差数列。
由此推广，你能得到什么结论？ 课堂学习 ● 互动探究 知识精讲1.等差数列的前n 项和有如下的性质．(1)若{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也为等差数列．(2)等差数列{a n }中，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 仍为等差数列．(3)等差数列{a n }中，若S m ＝S p (m≠p)，则S m ＋p ＝0. (4)在等差数列{a n }中，①若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n(a 1＋a 2n )＝n(a n ＋a n ＋1)(a n ，a n ＋1为中间两项)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.②若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1. (5)若数列{n a }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则a n b n ＝n n --2121S T.2.求等差数列的前n 项和S n 的最值有两种方法： (1)利用二次函数的最值特征求解．S n ＝n 1a ＋nn －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n＝d 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a 1d 2－d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a 1d 2.由二次函数的对称性及n∈N *知，当n 取最接近12－a 1d 的正整数时，S n 取到最大值(或最小值)，值得注意的是最接近12－a 1d 的正整数有时有1个，有时有2个． (2)根据项的正负来定．若1a >0，d<0，则数列前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值 若1a <0，d>0，则数列前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值 课堂点拨1、在等差数列{ a n }中， 125a =，179s s =，求n s 的最大值．解析：方法一：由S 17＝S 9，得25×17＋172(17－1)d ＝25×9＋92(9－1)d ， 解得d ＝－2，∴S n ＝25n ＋n2(n －1)(－2)＝－(n －13)2＋169， 由二次函数性质得当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二：先求出d ＝－2(同方法一)， ∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2n －1≥0a n ＋1＝25－2n<0，得⎩⎪⎨⎪⎧n≤1312n>1212.∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法三：先求出d ＝－2(同方法一)，1,..S S a a a a a a a a a a a a a d a a a ⋯<>∴><1791011171017111612151314131413140020000Q ，由＝得＋＋＋＝， 而＋＝＋＝＋＝ ＋故＋＝＝－，，，故n ＝13时，Sn 有最大值169.方法四：先求出d ＝－2(同方法一)得S n 的图象如图所示，由S 17＝S 9知图象对称轴n ＝9＋172＝13， ∴当n ＝13时，取得最大值169.【点拨】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法： （1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； （2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；（3）利用等差数列的前n 项和Sn=An 2+Bn （A 、B 为常数）为二次函数，根据二次函数的性质求最值.2、已知数列{n a }为等差数列，其前12项和354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为32∶27，求这个数列的通项公式．解析：方法一：由等差数列的性质可知奇数项a 1，a 3，a 5，…，a 11与偶数项a 2，a 4，a 6，…，a 12仍然成等差数列，设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则 S 偶＝a 2×6＋6×52×2d＝6a 1＋36d ， S 奇＝a 1×6＋6×52×2d＝6a 1＋30d ， ⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d ＝354，6a 1＋36d 6a 1＋30d ＝3227，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝5.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5n －3.方法二：设奇数项与偶数项的和分别为S 奇，S 偶， ∴⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＋S 奇＝354，S 偶S 奇＝3227，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162，∴d＝192－1626＝5， 又∵S 奇＝a 1＋a 11×62＝3(2a 1＋10d)＝162， ∴a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5n －3.【点拨】等差数列{n a }中，a 1，a 3，a 5，…是首项为a 1，公差为2d 的等差数列，a 2，a 4，a 6，…是首项为a 2，公差为2d 的等差数列．当项数为2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，方法2中运用到了这些，利用等差数列前n 项和公式列方程组求解或根据等差数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等差数列求解．3、两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，求a n b n . 解析： 方法一：设a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1＋(n －1)e. 取n ＝1，则a 1b 1＝S 1T 1＝12，所以b 1＝2a 1.所以S n T n ＝na 1＋n n －12d nb 1＋n n －12e ＝a 1＋n －12d b 1＋n －12e ＝a 1＋n 2d －d22a 1＋n 2e －e 2＝2n3n ＋1，故en 2＋(4a 1－e)n ＝32dn 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1－32d ＋d 2n ＋a 1－d 2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1－d2＝0，4a 1－e ＝3a 1－d ，e ＝32d.即⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2a 1，e ＝3a 1.所以a n b n ＝2n －13n －1.方法二：设S n ＝an 2＋bn ，T n ＝pn 2＋qn(a ，b ，p ，q 为常数)， 则S n T n ＝an ＋b pn ＋q ＝2n3n ＋1，所以3an 2＋(3b ＋a)n ＋b ＝2pn 2＋2qn ，从而⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝2p ，3b ＋a ＝2q ，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2q ，b ＝0，p ＝3q ，所以S n ＝2qn 2，T n ＝3qn 2＋qn.当n ＝1时，a 1b 1＝S 1T 1＝12；当n≥2时，a n b n ＝S n －S n －1T n －T n －1＝2n －13n －1方法三：1212112121()22()22n n n n n n n n n a a a a S n b b b b T ----+===+2(21)21=.3(21)131n n n n --=-+- 【点拨】由S n T n ＝7n ＋2n ＋3，设S n 与T n 时，如果设成S n ＝(7n ＋2)k ，T n ＝(n ＋3)k 则错误．从此 的性质方向讲是正确的．但要考虑到等差数列的前n 项和为关于n 的二次函数，所以应设为S n ＝(7n ＋2)kn ，T n ＝(n ＋3)kn. , 当堂达标1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．92、设{}n a 是公差为2的等差数列，若5097741=++++a a a a Λ， 则99963a a a a ++++Λ的值为 （ ） A. 78 B. 82 C. 148 D. 1823. 设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3163=S S ,则=126S S ( ) （A ）103 （B ） 31 （C ）8 （D ）914. 已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）A ．55B ．70C ．85D ．1005.等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－11，S 1010－S 88＝2，则S 11＝( )A ．－11B ． 11C ．10D 。
2.3.1(讲课)等差数列的前n项和公式
公差为d，求等差数列的前n项和Sn Sn=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an 倒 Sn=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an
Sn=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a1 两式左右分别相加，得
序 相 加
2Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+…+ (an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)
2Sn n(a1 an )
n(a1 an ) 公式1 S n 2
an a1 (n 1)d
n(n 1) 公式2 Sn na1 d 2
一、等差数列的前n项和的公式：
n(a1 an ) Sn 2
an a1 (n 1)d
n(n 1) Sn na1 d 2
问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，
… … … …
…
问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=？”
S=1 + 2+ 3+ … +98+99+100 S=100+99+98+ … + 3+ 2+ 1 ∴2S=(1+100) ×100=10100 ∴S=5050.
2.3等差数列的前n项和公式
2．3 等差数列的前n 项和(一)[学习目标]1．掌握等差数列前n 项和公式及其推导方法；2. 会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的有关的问题 [预习导引]1．数列前n 项和的概念把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做S n . 即S n =a 1＋a 2＋…＋a n 问题1：如何由数列的前n 项和n S 求出通项公式n a ？2．等差数列前n 项和公式问题2：如何快速计算1+2+…+n=?问题3：受上述算法的启示，如何推导等差数列前n 项和公式n S ，方法是什么？新知1：等差数列前n 项和1()2n n n a a S +=（常与性质“若m n k l +=+则m n k l a a a a +=+”使用） 问题4：将通项1(1)n a a n d =+-代入上式，你能得到怎样的前n 项和公式n S ？新知2：等差数列前n 项和21(1)A B 2n n n S na d n n -=+=+其中A ________,B __________==（常建立1,a d 的方程组或看成关于n 的函数）题型一 与前n 项和S n 有关的基本量的计算 例1 在等差数列{a n }中(1)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d . (2)已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .跟踪演练1在等差数列{a n }中(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10；(2)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.题型二 等差数列前n 项和的最值例2 已知等差数列5,427，347，…的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值．跟踪演练2 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的范围； (2)问前几项的和最大，并说明理由．题型三 利用S n 与a n 的关系求a n例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？跟踪演练3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ，求a n .当堂达标A 组1. 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）. A. 12 B. 24 C. 36 D. 482．在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）. A ．5880 B ．5684 C ．4877 D ．45663．一个五边形的内角度数成等差数列，且最小角是046，则最大角是（ ） A.0108 B. 0139 C. 0144 D. 01704．在小于100的正整数中共有 个数能被3除余2? 这些数的和是 。
2.3等差数列的前n项和公式(1)
2.3 等差数列的前n 项(1)课前预习学前温习1.等差数列的定义:2.等差数列的通项公式3.等差数列的常用性质（1）通项公式的推广：n a =m a + ，（n ， m∈N*）.（2）若{}n a 为等差数列，且k+l=m+n ，（k ，l ，m ，n∈N*），则 .（3）若{}n a 是等差数列，则a a a ++k k m k 2m ，，，…（k ，m∈N*）是公差为 的等差数列. 新课感知1.等差数列的前n 项和公式设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和Sn= 或Sn= .2．如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？课堂学习 ● 互动探究知识精讲1、等差数列前n 项和公式的推导：（1） 用“倒序相加法”进行求和。
],)1([...)2()(1111d n a d a d a a S n -+++++++=①],)1([...)2()(d n a d a d a a S n n n n n --++-+-+=②由①+②，得 2n S =1111n n n n a a a a a a a a ++++n 个（）+（）+（）+...+（）)(1n a a n +=由此得到等差数列}{n a 的前n 项和的公式2)(1n n a a n S +=（2）其他的推导途径 123...n n S a a a a =+++=1111()(2)...[(1)]a a d a d a n d +++++++-=1[2...(1)]na d d n d ++++-=1[12...(1)]na n d ++++-=1(1)2n n na d -+ 2. 等差数列前n 项和公式的理解2)(1n n a a n S +=或n S =1(1)2n n na d -+ （1）公式的结构特征：第一个公式反映了等差数列的任意的第k 项与倒数第k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质。
2.3.2等差数列的前n项和的性质
性质1
若数列an 是公差为d的等差数列，
2
则s n，s 2 n - s n，s3n - s 2 n ...是公差为n d的等差数列
c
（2）一个等差数列的前10项和为50，后10项和为60，则其前n 项和为 .
性质2
若数列a n 是公差为d的等差数列 s奇 s偶 s n 当项数为偶数时， n 2m时 s奇 am s 偶 - s 奇 md s 偶 am 1
性质3
当项数为奇数时， n 2m - 1时 s偶 （m 1）am s 奇 mam s奇 m s偶 m 1
s 偶 s 奇 sn (2m - 1)am
性质4
a n 和bn 的前n项和分别为Sn , Tn 若等差数列
S2 n1 an 则 T2 n1 bn
第二章 数列
2.3 等差数列前n项和的性质
知识回顾:
知识点 1 ：a n与sn的关系
a n 一般地，我们称 a1 a2 a3 ... an为数列
的前n项的和sn即有sn a1 a2 a3 ... an
s1 , n 1 注意：an sn sn 1 , n 1
二.等差数列的前n项和公式:
n(a1 an ) n(n 1) sn na1 d 2 2
注. 数列an 的前n项和s n pn qn( p, q是常数）
2
d 数列an 是等差数列，且 p 2
三.等差数列的前n项和的性质:
n(a1 an ) n(n 1) sn na1 d 2 2
性质5
a n 的前n项和分别为Sn 若等差数列
Sn 则 也是等差数列 n
n(a1 an ) 1.等差数列的前项和公式1：S n 2
数列的前n项和方法总结
数列的前n项和方法总结
数列是数学中常见的一种数值序列，求解数列的前n项和在许多数学和实际问题中都具有重要意义。
下面是关于数列的前n项和的几种常见方法总结：
1. 等差数列的前n项和：
若数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，那么数列的前n项和Sn = (n/2)(a1 + an)。
2. 等比数列的前n项和：
若数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比（r ≠ 0），那么数列的前n项和Sn = a1 * (1-r^n)/(1-r)。
3. 斐波那契数列的前n项和：
斐波那契数列是一种特殊的数列，前两项为1，后续项为前两项之和。
若n 为正整数，那么斐波那契数列的前n项和为Sn = F(n+2) - 1，其中F(n)表示第n项斐波那契数。
4. 平方数列的前n项和：
平方数列是一种特殊的数列，每一项都是某个正整数的平方。
若数列的通项公式为an = n^2，那么数列的前n项和Sn = (n(n+1)(2n+1))/6。
5. 等差子数列的前n项和：
若一个数列是等差数列的子数列，其公差与等差数列相同，那么子数列的前n项和等于原等差数列的前n项和减去首项之前的和。
以上是几种常见数列的前n项和的求解方法。
在实际应用中，根据数列的特点和通项公式选择适当的方法来计算数列的前n项和会更加高效和方便。
2.3等差数列前n项和
例2、已知一个等差数列 {a n }前10项的和是 310 , 前 20项的和是 1220 .由这些条件能确定这个 等差数 列的前 n项和的公式吗 ?
等差数列的前n项和计算公式
例3.已知数列{an}的前n项和为sn=n2+(1/2)n, 求这个数列的通项公式，这个数列是等差数 列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？
公式1 S n = n(a1 + an ) 2
2Sn=n(a1+an)
方法2：
+）
S n = a1 + (a1 + d ) + L + [a1 + n − 1)d ] （
S n = an + (an − d ) + L + [an − (n − 1)d ]
n(a1 + an ) 公式1 S n = 2
高 斯 的 故 事
高斯上小学时， 高斯上小学时，有一次数学老 师给同学们出了一道 题： 计算从1到 的自然数之和。 计算从 到100的自然数之和。那个老师认为，这些孩子算这道题目 的自然数之和 那个老师认为， 需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了。谁知， 需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了。谁知， 他刚坐下，马上就有一个学生举手说： 老师，我做完了。 他刚坐下，马上就有一个学生举手说：“老师，我做完了。”老师 大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯。老师走到他身边， 大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯。老师走到他身边，只见他 在笔记本上写着5050，老师看了，不由得暗自称赞。为了鼓励他， 在笔记本上写着 ，老师看了，不由得暗自称赞。为了鼓励他， 老师买了一本数学书送给他。 老师买了一本数学书送给他。
例4 已知等差数列 2 4 5,4 ,3 , ... 的前n项和为S n , 求使 7 7 得S n 最大的序号n的值.
2.3等差数列的前n项和(二)
2 数列{an}的通项公式为：an 2n 1 2 点评：
(n 1)
(n 1)
( n 1) S1 已知前 n项和 S n , 可求出通项公式： a n S n S n 1 ( n 1)
论 思 想
8
2 { a } ● 如果一个数列 n 的前n项和为 s n pn qn r 其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等 差数列吗？如果是，它的首项和公差是什么？
5 【解析】由题意知，等差数列的公差为 7
Sn 5n n(n 1) 5 5 15 1125 ( ) ( n ) 2 2 7 14 2 56
15 2
例 题 讲 解
于是，当n取与
最接近的整数即7或8时， S n 取最大值.
函数思想
还有其它 方法吗？
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例 题 讲 解 2 4 例4. 已知等差数列5， 4 ，3 ，的前 .... n项和为Sn , 7 7 求使得Sn最大的序号n的值.
11
1.等差数列的前n项和公式
n(n 1) Sn na1 d 2 ( n 1) S1 2. 已知前 n项和 S n , 可求出通项公式： a n
n(a1 an ) Sn 2
S n S n 1 ( n 1) 3.推导等差数列前n项和公式方法：
4.本节基本思想：
（1）若r≠0，则这个数列一定不是等差数列.
（2）若r＝0，则这个数列一定是等差数列. n ( n 1) d 2 d s n na1 d n ( a1 ) n 2 2 2
常数项为 0的关于n 的二次型 函数
2
结论：数列是等差数列等价于
2.3 等差数列前n项和
2.3 等差数列前n 项和4、等差数列的前n 项和公式：①22111()(1)1()2222n n n a a n n d S n a d n a d n A n B n +-==+=+-=+（其中A 、B 是常数，所以当0d ≠时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0） ②特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法：（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列；（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++⇔=+≥⇔=+； （3）数列{}n a 是等差数列n a kn b ⇔=+（其中b k ,是常数）； （4）数列{}n a 是等差数列2n S A n B n ⇔=+,（其中A 、B 是常数）。
6、等差数列的证明方法：定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列．7、提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：①一般可设通项1(1)n a a n d =+-②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++，…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8、等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d d S n a d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。
高二数学等差数列的前n项和2
主讲老师：
复习引入
等差数列的前n项和公式：
复习引入
等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
复习引入
等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
n(n 1)d
Sn na1
2
练习
在等差数列{an}中， 若a1＋a2＋…＋a5＝30，
(1) 满足an＞0，且an＋1＜0的n值；
(2) 由
Sn
na1
n(n 1) 2
d
d 2
n2
(a1
d )n, 2
利用二次函数的性质求n的值.
(3) 利用等差数列的性质求．
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课后作业
1. 阅读教材P.42到P.44； 2. 《习案》作业十四.
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这个数列一定是等差数列. 首项a1＝p＋q 公差d＝2p
结论:
n(n 1)d
Sn na1
2
可化成
Sn
d 2
n2
(a1
d 2
)n
当d≠0时，是一个常数项为零的二次式.
讲解范例:
例2. 已知数列{an}是等差数列，a1＝50， d＝－0.6. (1)从第几项开始有an＜0； (1)求此数列的前n项和的最大值.
Sn
1 4
n2
2 3
n
3,
求该数列的通项公式.
这个数列是等差数列吗?
探究:
一般地，如果一个数列{an}的前n项 和为Sn＝pn2＋qn＋r，其中p、q、r为常 数，且p≠0，那么这个数列一定是等差 数列吗?如果是，它的首项与公差分别 是多少?
2.3等差数列的前n项和公式(1)
3.公式的应用(知三求一)。
2.3.2等差数列的前n项和
复习
1、等差数列{an}的基本性质：
(1) a1+an=a2+an-1=a3+an-2=· · ·
(2) a、A、b成等差数列
A=（a+b)/2
(3)如果数列{an}的通项公式是 an=An+B (A、B是与n无关的常数），那么数列{an} 一定是等差数列。
Sn
50 （50 1) 50 100 (2) 2550 2
(3)a1 14.5, d 0.7, an 32.
32 14.5 n 1 26, S 26 0.7
26 (14 .5 32 ) an a (n 1604 .5 . 1)d 2
求集合 M m | m 7n, n N , 且m 100 的元素个数，并求这些元素的和. 100 2 解： 7 n 100 n 14
例3
所以集合M中的元素共有14个.
将它们从小到大列出，得
7
7
7, 2 7, 3 7, 4 7,
即
,
14 7,
例1:根据下列条件，求相应的等差数列
an
的
(1)a1 5, an 95, n 10;
S10
(2)a1 100 , d 2, n 50;
S50
10 (5 95) 500 . 2
n（a1 an ) Sn 2
n（n 1) S n na1 d 2
2、等差数列{an}的前n项和公式 n(n 1) n(a1 an ) sn na1 d sn 2 2
练习1、计算 提示： （1） 5+6+7+…+79+80 3230 n=76 （2） 1+3+5+„+（2n-1） n2 法二： （3）1-2+3-4+5-6+„+（2n-1）-2n -n
高中数学：第二章 2.3 等差数列的前n项和
等差数列的前n项和(1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？(3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？[新知初探]1．数列的前n项和对于数列{a n}，一般地称a1＋a2＋…＋a n为数列{a n}的前n项和，用S n表示，即S n＝a1＋a2＋…＋a n.2．等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式S n＝n(a1＋a n)2S n＝na1＋n(n－1)2d[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项a n所有项的和()(2)a n＝S n－S n－1(n≥2)化简后关于n与a n的函数式即为数列{a n}的通项公式()(3)在等差数列{a n}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝a n＋1()解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{a n}中，S n＝n2＋2.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又∵a1＝S1＝3，∴a1不满足a n＝S n－S n－1＝2n－1，故命题错误．(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.★答案★：(1)√(2)×(3)×预习课本P42～45，思考并完成以下问题2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n (n ＋1)2解析：选D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n (n －1)2×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n (n ＋1)2，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得4a 1＋4×32d ＝20， 即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.★答案★：12等差数列的前n 项和的有关计算[典例] 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－5， 解得n ＝15或n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝8(a1＋a8)2＝8(4＋a8)2＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，a n和S n，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q，常与求和公式S n＝n(a1＋a n)2结合使用．[活学活用]设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于() A．13B．35C．49 D．63解析：选D∵{a n}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，∴S9＝9(a2＋a8)2＝9×142＝63.已知S n求a n问题[典例]已知数列{a n}的前n项和S n＝－2n2＋n＋2.(1)求{a n}的通项公式；(2)判断{a n}是否为等差数列？[解](1)∵S n＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，S n－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴a n＝S n－S n－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4， 但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．(1)已知S n 求a n ，其方法是a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，这里常常因为忽略条件“n ≥2”而出错． (2)在书写{a n }的通项公式时，务必验证n ＝1是否满足a n (n ≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2表示．[活学活用]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2，则( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝－2n ＋1 C ．a n ＝－2n －1D ．a n ＝2n －1解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1.2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ＋2； (2)S n ＝3n －1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式， 所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *).等差数列的前n 项和性质[典例] (1)等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质： S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列． 所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )， 即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)， 解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.(3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. [★答案★] (1)C (2)10 (3)53等差数列的前n 项和常用的性质(1)等差数列的依次k 项之和，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k …组成公差为k 2d 的等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)⇔数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．(3)若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d ， ①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1；②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. [活学活用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选A 设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3， 所以S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ， 所以S nn＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.★答案★：75等差数列的前n 项和最值问题[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解] 由S 17＝S 9，得 25×17＋17×(17－1)2d ＝25×9＋9×(9－1)2d ， 解得d ＝－2， [法一 公式法] S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－(n －13)2＋169. 由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二 邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.求等差数列的前n 项和S n 的最值的解题策略(1)将S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n 配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．(2)邻项变号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n 使S n 取最大值．当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n 使S n 取最小值．[活学活用]已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：选C ∵S n 有最大值，∴d <0，则a 10>a 11，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．故选C.层级一 学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2B ．－32n 2－n 2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n (－1＋2－3n )2＝－32n 2＋n 2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7>0，S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8<0，故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________． 解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .★答案★：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________.解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. ★答案★：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1， 所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项． ★答案★：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1， 则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ， 又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，已知a 1＋a 3＝22，S 5＝45. (1)求a n ，S n ；(2)设数列{S n }中最大项为S k ，求k .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＝22，5a 3＝45， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 3＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.层级二 应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k 2，解得k ＝2 016.故选C.3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 1<0,2S 21＋S 25＝0，则S n 取最小值时，n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d >0，∴67a 11＝67(a 1＋10d )＝67a 1＋670d <0,67a 12＝67(a 1＋11d )＝67a 1＋737d >0，即a 11<0，a 12>0.故选A.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵a nb n ＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －12(2n －1)b 1＋b 2n －12(2n －1)＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.★答案★：4056．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为________． 解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4⇒2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.★答案★：77．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c (c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解：(1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14， 又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.。
2.3等差数列前n项和公式(2)
其中p、q、r为常数，且 p 0, 那么这个数列 an 一定是的等差数列吗？
解：根据上例解得 an
只有r 0时，数列an 才是等差数列 首项为： a1 p q, 公差为： d 2 p
( n 1) p q r 2 pn p q ( n1)
等差数列前n项和的性质一：
求使得 S n最大的序号 n的值。
解1：由已知可得， a1 5, d 可得S n 5n
n ( n 1) 5 ( ) 2 7
5 7 , 代入S n
na1
n ( n 1) 2
d
75n 5n 2 14
2 1125 5 即：S n 14 (n 15 ) 56 2
∴an= a1 +(n-1)d=-76+15(n-1)=15n-91
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
an =15n-91≤0 令 an+1 =15(n+1) -91≥0
1 1 ，解得 5 n 6 15 15
∴当n=6时，Sn取最小值，此时
n(n 1) Sn na1 d 6 (76) 15 15 231 2
等差数列平均分组，各组之和仍为等差数列。
如果a n 为等差数列，则S k , S 2 k S k , S 3k S 2 k 也成等差数列。
新的等差数列首项为 S k，公差为k d。
2
二、例题 例3.已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项 变式.在等差数列 an 中 ,已知第 1 项到第 10 项的和为 310 , 的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前 n 项 第 11 项到第 20 项的和为 910 , 求第 21 项到第 30 项的和 . 和的公式吗？ 解：依题意知，S10=310，S20=1220 得
(人教版)数学必修五：2.3《等差数列的前n项和》
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目录
等差数列的前n项和的定义 等差数列的前n项和的性质 等差数列的前n项和的应用
等差数列的前n项和的推导 等差数列的前n项和的特例
01
等差数列的前n项 和的定义
等差数列的定义
等差数列：数列中的每一项与前一项的差值相等 前n项和：数列中前n项的和 公式：Sn=n/2(1+n)其中Sn表示前n项和1表示首项n表示第n项 应用：等差数列的前n项和常用于计算数列的和如求数列的和、求数列的平均值等
等差数列的前n项和的公式：Sn=n/2(1+n)其中Sn表示等差数列 的前n项和1表示首项n表示第n项。
02
等差数列的前n项 和的推导
等差数列的通项公式
通项公式： n=1+(n-1)d
1为首项d为公差
通项公式的推导： 利用数学归纳法
通项公式的应用： 求解等差数列的 前n项和
等差数列的前n项和的推导过程
等差数列前n项和在实际生活中的应用
计算利息：等差数列的前n项和可 以用来计算贷款或存款的利息。
计算股票价格：等差数列的前n项 和可以用来计算股票的价格。
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计算工资：等差数列的前n项和可 以用来计算员工的工资。
计算保险费用：等差数列的前n项 和可以用来计算保险的费用。
等差数列前n项和的应用实例
04
等差数列的前n项 和的特例
等差数列前n项和的特例
特例1：当n=1时前n项和为1 特例2：当n=2时前n项和为21 特例3：当n=3时前n项和为31
特例4：当n=4时前n项和为41 特例5：当n=5时前n项和为51 特例6：当n=6时前n项和为61
等差数列的前n项和——Sn
3(a1 a10 ) 87即(a1 a10 ) 29.
S10
10(a1 a10 ) 2
5(a1
a10 )
529 145.
4. 在等差数列an中，
已知a2 a5 a12 a15 36, 求S16 .
解：a2 a5 a12 a15 36
eg:等差数列{an},a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2;若bn=an+1-an,求证{bn}是等差数列。
bn+1=an+2-an+1 bn+1-bn=d an+2-an+1-（an+1-an)=d an+2-2an+1+an=d
因为 an+2=2an+1-an+2 得 an+2-2an+1+an=2 所以 d=2,bn+1-bn=2
2Sn (a1 an ) (a2 an1) (an a1)
n(a1 an ).
Sn
n(a1 an ) . 2
倒序相加法
公式1 公式2
Sn
n（a1 2
an )
an a1 (n 1)d
Sn
na1
n（n 2
1)
d
当n=1时S1= a1
第3项与倒数第3项的和： 3＋98 =101，
······
第50项与倒数第50项的和：50＋51 =101，
高斯（1777---1855）， 德国 数学家、物理学家和天文学家. 他和牛顿、阿基米德，被誉为 有史以来的三大数学家.有“数 学王子”之称.
2.3等差数列前n项和公式的性质
2.2 等差数列前n 项和公式(二)[学习目标]1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式； 2．掌握等差数列前n 项和的3个性质，并能用性质解决有关问题． [预习导引]等差数列前n 项和的性质(1)S m ，S 2m ，S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则 S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .(2)等差数列{a n }的前m 项和S m =n ，前n 项和S n =m ，（m ≠n ）则S m+n =(3)在等差数列{a n }中，设奇数项的和记为S 奇，偶数项的和记为S 偶，则项数为2n+1时，1n S S a +=奇偶－，1S n S n+=奇偶；项 数 为2n 时，S S nd =偶奇－，1n nS aS a+=偶奇；题型一 等差数列前n 项和性质的应用例1等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m .跟踪演练1一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．例2等差数列{a n }的项数为奇数，奇数项的和为44，偶数项的和为33，求数列的中间项和项数。
跟踪演练2题型三 求数列{|a n |}的前n 项和例3若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .跟踪演练3已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 答案 B解析 由S 10＝10(a 1＋a 10)2，得a 1＋a 10＝S 105＝1205＝24.2．记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．7 答案 B解析 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝2a 1＋d ＝4，S 4＝4a 1＋6d ＝20解得d ＝3.法二 由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，所以20－4＝4＋4d ，解得d ＝3. 3．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 答案 190解析 S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 10＋a 10)2＝19a 10＝19×10＝190.4．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a 12；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d . 解 (1)∵S n ＝n ·32＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－12＝－15， 整理得n 2－7n －60＝0，解之得n ＝12或n ＝－5(舍去)， a 12＝32＋(12－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－4. (2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1－512)2＝－1 022，解之得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ， 解之得d ＝－171.两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．1．求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到． 2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意结论若m ＋n ＝p＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p 的应用.一、基础达标1．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( ) A ．18 B ．27 C ．36 D ．45 答案 C解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36.2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12 B ．2 C.14 D ．4 答案 A解析 由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.3．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( )A ．－9B ．－11C ．－13D ．－15 答案 D解析 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3， ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15. 4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析 数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.6．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为________． 答案n ＋1n解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2，∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ， ∴S 奇S 偶＝n ＋1n .7．已知等差数列{a n }的前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k . 解 设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得⎩⎨⎧ a ＋3a ＝2×4d ＝4－aka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2d ＝2k ＝50.(注：k ＝－51舍)∴a ＝2，k ＝50.8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，求a 9. 解 设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.二、能力提升9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 答案 C解析 因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得：2a m －a 2m ＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.10．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29 答案 B解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200. ∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．11．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________.答案 310解析 由等差数列的求和公式可得S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13，可得a 1＝2d 且d ≠0，所以S 6S 12＝6a 1＋15d12a 1＋66d ＝27d 90d ＝310. 12．解 法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧ 10a 1＋10×92d ＝100100a 1＋100×992d ＝10①②①×10－②，整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100.∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎪⎫1 099－109×11100＝－110.故此数列的前110项之和为－110.法二 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100为等差数列，设公差为d ′，则 10S 10＋10×92×d ′＝S 100＝10，又∵S 10＝100，代入上式得d ′＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)×d ′＝100＋10×(－22)＝－120，∴S 110＝－120＋S 100＝－110. 法三 设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn . ∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，∴⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110，∴S n ＝－11100n 2＋11110n ，∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.三、探究与创新13．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c ，求非零常数c .解 (1){a n }为等差数列，∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22， 又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根， 又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c ， ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0， ∴c ＝－12(c ＝0舍去).。
(完整版)数列前n项和的求法总结
数列前n 项和的求法总结核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。
当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。
一． 公式法（1） 等差数列前n 项和： S n=n(a 1+a n )2=na 1+n(n+1)2d（2） 等比数列前n 项和： q =1时， S n=na 1；q ≠1时， S n =a 1（1−q n ）1−q（3） 其他公式： S n=1+2+3+⋯+n =12n (n +1)S n =12+22+32+⋯+n 2=16n(n +1)(2n +1)S n =13+23+33+⋯+n 3=[12n (n +1)]2例题1：求数列 112，214，318，……，(n +12n )，…… 的前n 项和S n解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。
练习：二.倒序相加法如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
例题1：设等差数列{an }，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn =a1+a2+a3+...+an①倒序得：Sn =an+an-1+an-2+…+a1②①+②得：2Sn =(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn =n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。
2.3等差数列的前n项和
s偶
n
sn n a1 n 2
2
n 1
2 d d 2 n
d n a1 2
sn an bn, (其中公差为2a)
将等差数列的前n项和公式写成上 述形式,有利于求其前n项和的极值:
极大值 极小值
a1<0,d>0 无 有 sn
a1>0, d<0 有 无
sn
n
n a1<0, d>0,极小值 a1>0,d<0,极大值
裂项求和 有些数列求和的问题，可以对相应的数列的通 项公式加以变形，将其写成两项的差，这样整个数 列求和的各加数都按同样的方法裂成两项之差，其 中每项的被减数一定是后面某项的减数，从而经过 逐项相消仅剩下有限项，可得出前n项和公式。
1 1 1 sn ...... 如求和： 1 2 2 3 n (n 1)
（2）由等差数列的通项公式，得 14.5+(n1)0.7=32 n=26
( 1 4 . 35 2) 26 S2 6 6 0 4 . 5 2
3、凸 n 边形各内角成等差数列，公差为 10º ， 最小内角为 100º ，则n等于（ B ） （ A） 7 （ B） 8 （ C） 9 （ D） 8或 9
高斯算法的高明之处在于他发现这 100 个数可以分为50组，第一个数与最后一个数 一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三 个数与倒数第三个数一组， …，每组数的和 均相等，都等于 101， 50个 101就等于 5050了 . 高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速 准确得到了结果.
2.3 等差数列的 前n项和
【公式记忆】 用梯形面积公式记忆等差数列前 n 项 和公式，这里对图形进行了割、补两种处 理，对应着等差数列前n项和的两个公式.
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（1） 1+2+3+…+n= （2） 1+3+5+…+（2n-1）= （3）2+4+6…+2n=
Sn = n（n+1）/2 Sn = n2
Sn= n（n+1）
上面习题的答案在以后会经常用到。
1.将等差数列前n项和公式
Sn
na1
n(n 1)d 2
看作是一个关于n的函数,这个函数
有什么特S点n ？d2n2
等差数列的前n项和 的性质及应用
1
复习回顾
(1) 等差数列的通项公式: 已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有:
an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差数列的性质:
在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
借助几何图形之 直观性,使用熟悉的 几何方法:把“全等 三角形”倒置，与原 图补成平行四边形。
6
探究发现
问题1:图案中,第1层到第21层一共有多 少颗宝石？
1 2 3
21 20 19
获得算法：
s21
(121)21 2
21
1
7
问题3:
求:1+2+3+4+…+n=? 记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n
17
解:将题中的等差数列记为｛an｝,sn代表该数列
的前n项和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
设该数列前n 项和为54
n(n 1)
根据等差数列前n项和公式: sn na1
得 10 nn(n1)454
d 2
2
整 理 后 ,得 n 2 6 n2 70
解得 n1=9, n２=－3(舍去) 因此等差数列－10,－6,－2,2,．．．前9项的和是 54.
S120
120 (1120) 2
7
260
答:V形架上共放着 7 260支铅笔。
14
例2:在等差数列{an}中,
（1）a3= -2,a8=12，求S10
（2）a1=14.5,d=0.7，an=32，求Sn
解:（1）a1+a10 = a3+a8 = 10
S10
(a1
a10) 10 2
10 10 2
50
（2）由等差数列的通项公式,得
14.5+(n1)0.7=32 n=26
(14.5 32) 26
S26
2
604.5
15
例3: 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36. 求前16项的和?
分析:可以由等差数列性质,直接代入前n 项和公式
解: 由等差数列的性质可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=16/2 × 18=144 答:前16项的和为144。
由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当 知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均可以得出.
已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?
16
例4 等差数列-10,-6，-2， 2，…前多少项的和是54？
本题实质是反用公式,解一个 关于n 的一元二次函数，注意 得到的项数n 必须是正整数.
18
巩固练习
1、已知 a6+a9+a12+a15=192,求 S20
a6+a9+a12+a15=192, a6+a15=a9+a12= a1+a20
3
问题2:对于这个问题,德国著名数学家高斯10岁 时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）
假设1+2+3+ +100=x,
(1)
那么100+99+98+ +1=x.
(2)
由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,
100个101
所以 2x 101100, x=5050.
高斯
这个问题,可看成是求等差数列 1，2， 3，…，n，…的前100项的和。
(a1
d)n 2
令
A
d 2
,
B
a1
d 2
则
Sn=An2+Bn
12当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数
㈡【说明】
①推导等差数列的前n项和公式的 方法叫 倒序相加法 ;
②等差数列的前n项和公式类同 于 梯形的面积公式 ;
③ 是{一an个}为关等于差n数的列没有Sn=常an数2+项bn
,这 的
“ 二次函数 ”
即 Sn=n(a1+an)/2
9
由此得到等差数列的{an}前n项和的公式
Sn
n(a1 an ) 2
即:等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。
由等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d
上面的公式又可以写成
Sn
na1
n(n 1) 2
d
解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。
公式共涉及到5个量：a1, d, n, an, Sn.已知其中3个可求另2个
（ 注意 a 还可以是 0）
13
例1 如图,一个堆放铅笔的 V形架
的最下面一层放一支铅笔，往上 每一层都比它下面一层多一支， 最上面一层放120支。这个V形架 上共放着多少支铅笔？
解:由题意可知,这个V形架上共放着120层铅笔，
且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为
{an},其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前n项和 的公式，得
4
探究发现
问题1:图案中,第1层到第21层一共有多
少颗宝石？
这是求奇数个项和的问题,不能
简单模仿偶数个项求和的办法，
需 要 把 中 间ห้องสมุดไป่ตู้项 11 看 成 首 、 尾 两
项1和21的等差中项。
通过前后比较得出认识:高斯 “首尾配对” 的算法还得分奇、 偶个项的情况求和。
有无简单的方法？
5
探究发现
问题1:图案中,第1层到第21层一共有多 少颗宝石？
S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 +1
2S n(n 1), n(n 1)
S 2
8
下面将对等差数列的前n项和公式进行推导 设等差数列a1,a2,a3,…
它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1)
若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2)
由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
2
问题呈现
问题1
泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪 莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所 建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成 的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七 大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之 细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同 大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见 左图），奢靡之程度，可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？