三角函数最值的求法

综上，存在a 3 符合题意. 2
三 方法规律
Ⅰ>转化为三角函数的有界性
(1)可化为y Af (x )型，f为"sin"，或"cos"
如y a sin x b cos x (题1） y a sin 2 x b sin x cos x c cos2 x (题2，例2)
(2)可化为 sin( x ) f (y )型
如y a cos x b (例3) c sin x d
Ⅱ >转化为二次函数在闭区间上的最值
(1) y at 2 bt c(a 0)型 (t sin x ,或t sin x )
(题3，例4)
( 2) y A(sin x cosx ) B sin x cosx型
(例1)
Ⅲ> 用均值不等式求最值 (例1)
直线PM: y-2=k(x-2)的斜率k，故只需求此
直线的斜率k的最值即可.
由| 2 2k | 1得k 4 7
1 k 2
3
y max
4 3
7
y min
4 3
7
y 例3、求函数
2 cos x 2 sin x
的最值.
解法三 设 tan x t ,
2
y
2
源自文库
1 1
t t
2 2
2
1
2t t
y max
a5a 3 82
1 a
20 13
2(舍去）
2 若0 a 1,即0 a 2,则当cos x a 时，
2
2
y max
a2 4
5a 1 82
1 a
3 或a 4(舍去） 2
3 若 a 0,即a 0,则当cos x 0时， 2
y max
5a 1 82
1 a
12 5
0(舍去）
求三角函数的最值
• 威远龙会中学 孙建萍
一 点击双基
题1
( 04全国Ⅳ)函数
y
sin x
1 cos x 2
的最大值为
5 .2
y 题2 ( 03全国) 函数
2sin x (sin x cos x ) 的最大值为1__2.
题3 ( 05浙江) 已知k<-4则函数
y cos 2x k (cos x 1) 的最小值为(A).
上的最大值为1？
5a 8
3 2
在闭区间0,
2
若存在,求出对应a的值,若不存在,试说明理由
解: y sin 2 x a cos x 5 a 3
82
(cos x 1 )2 a2 5 a 1
2
48 2
当0 x 时，0 cos x 1.
2
1 若 a 1,即a 2,则当cos x 1时， 2
2
2t
3t 2 1 2 2t 2
即（3 2 y )t 2 2 yt (1 2t ) 0
(1) y 3 ,t 2
2
3
(2) y 3 ,由t R 知， 2
0， 3 y 2 8 y 3 0
以下同解法一.
例4 (05武汉)是否存在实数a ,使得函数
y sin 2 x a cos x
.
例2(05东北四市)设.
x
4
,
3
, f
(x ) 1 (sin 2 x 4
cos2 x
3) 2
3 sin 2 (x 2
) 4
求 y=f(x)的最大值和最小值.
y 例3、求函数
2 cos x 2 sin x
的最值.
解法一： 去分母，原式化为
sinx-ycosx=2-2y
即sin( x ) 2 2y
1 y 2
故| 2 2y | 1 1 y 2
解得 4 7 y 4 7 .
3
3
y max
4 3
7 y min
4 3
7
y 例3、求函数
2 cos x 的最值.
2 sin x
解法二：令x
1
cos
x
,
y
1
sin
x
,有x
2 1
y
2 1
1
它表示单位圆，则所给函数y的值就是经过
定点P(2,2)以及该圆上的动点M(cosx,sinx)
(A)1 (B)-1 (C) 2k+1 (D)-2k+1
y 题4 函数
x sin x在
2
,
最大值是(D)．
(A ) 1(B ) 3 1(C ) 3 2 (D )
2
2
22
二 典例剖析
例1 (05广西)若 0 x , 求函数 2
y (1 1 )(1 1 ) sin x cos x
的最小值.
Ⅳ> 用其他方法求最值 (1)利用单调性(题4) (2) 判别式(例3) (3) 图象法(例3)
四 跟踪训练
请同学们做课后练习! 谢谢！