对麦克斯韦方程组的几点新认识

对麦克斯韦方程组的几点新认识
水悦
(安徽大学物理与材料科学学院，安徽合肥 230039)
摘要：经过上学期对《电动力学》和这学期《电磁场与电磁波》课程的学习，使我们认识到麦克斯韦方程组的重要性，麦克斯韦方程组是电磁理论的核心方程组，它是深刻理解好整个电磁理论的基础。

在原有学习的基础上，查阅大量资料，现从麦克斯韦方程组所蕴涵的物理简单美、对称美与统一美角度重新审视麦克斯韦方程组，并从审美的角度加深对它的理解。

最后，再结合上述分析简单探讨一下麦克斯韦方程组中所透露出的哲学思想，从学科相互渗透的角度进一步加深理解。

关键词：麦克斯韦方程组；简单美；对称美；统一美；哲学
1865年，麦克斯韦在英国皇家学会上宣读了其举世瞩目的论文——《电磁场的动力学理论》，在这篇论文中，他提出了伟大的麦克斯韦方程组。

这个方程的伟大之处体现在三个方面，首先，它对电磁理论做出了正确地描述，体现了科学的“真”。

其次，利用它可以造福人类，又有“善”的一面；同时，它被誉为“19世纪最美的方程”，有人甚至称之为“像诗一样美的方程组”，可见它还是“美”的。

因此，它是“真”、“善”、“美”的统一。

同时，将物理学与哲学相结合，我们还可以看到麦克斯韦方程组所蕴含着的哲学规律，这正是学科间的相互渗透，作为一名理科学生，也同样很值得我们仔细去思考、去品味。

1 麦克斯韦方程组的美
1.1 简单美
麦克斯韦方程组在历史上的建立过程非常复杂，但它的逻辑基础却很简单。

它是由麦克斯韦在3个基本电磁实验定律(库仑定律、毕奥一萨伐尔定律、法拉第电磁感应定律)的基础上，引出涡旋电场与位移电流的2个假设，并将这些定律与假设加以整合与推广而得到。

由库仑定律与毕奥一萨伐尔定律可以导出静态场的麦克斯韦方程组，而动态场的麦克斯韦方程组是在此基础上作了两个重大改进。

第一个改进是从法拉第电磁感应定律出发，可以得出处于变化磁场中的导体会产生感应电场，麦克斯韦进一步将它推广，认为只要有变化的磁场就会产生感应电场，并将它称为涡旋电场，涡旋电场的产生与是否存在导体无关，只不过有导体存在时，在涡旋电场的作用下会产生涡旋电流。

引入涡旋电场的概念后就可以得到动态场电场的旋度方程。

因此，从逻辑上看，涡旋电场既是法拉第电磁感应定律的一个引申和推广，它并不是一个独立的逻辑基础。

第二个改进是由麦克斯韦一个人完成的，他为了协调当时的磁场旋度方程与电荷守恒定律间的矛盾，天才地提出了位移电流的假设，认为位移电流也是产生磁场的源，于是就得到了动态场磁场的旋度方程。

因此，位移电流假设相当于一个定律，是与三大实验定律并列的一个定律。

综上所述，从麦克斯韦方程组建立过程来看，库仑定律、毕奥一萨伐尔定律、法拉第电磁感应定律、位移电流假设构成了麦克斯韦方程组简单的逻辑基础。

麦克斯韦方程组的数学形式也具有简单性，而且从麦克斯韦方程组的发展历史来看，它是逐渐变得简单的。

麦克斯韦方程最初给出的是20个方程与20个变量，如下式所示：
应该说，最初的这组麦克斯韦方程从数学形式上来讲并不简单，后来经O ．亥维塞与赫兹的归纳整理后，形成了现代常用的麦克斯韦方程组，其形式就简单得多：
再后来，随着爱因斯坦狭义相对论的建立，在引出电磁场张量的基础上，爱因斯坦将麦克斯韦方程组改写成具有协变的简单形式：
从整个麦克斯韦方程组的发展过程可以看出，一个物理方程，当其数学形式越来越简单时，每个方程所表示的物理内涵却越来越丰富，其内容也越来越深刻[1]。

概括性亦越高，同时抽象程度也越深。

1.2 对称美
麦克斯韦方程组的表达形式也比较对称，人们经常将它看成物理方程数学形式对称的典范，如MV劳厄称之为“美学上真正完美的对称形式”[2]。

但需要指出的是，真空中的麦克斯韦方程组才具有完全对称的数学形式，而介质中的麦克斯韦方程组并不完全对称，造成这种现象的原因是由于电场中存在自由电荷，而磁场中不存在自由磁荷(即不存在磁单极子)，倘若存在自由磁荷，那么由自由磁荷的定向移动形成自由磁流，这样一来，麦克斯韦方程就应改写成如下形式：
此时麦克斯韦方程就变得高度对称。

正是在这种对称性思想的指引下，许多物理学家坚信麦克斯韦方程的最终形式应该是这样的，虽然现在没有找到磁单极子，但并不表示它不存在，况且根据狄拉克的理论，磁单极子应该是存在的，所以，物理学家对磁单极子的寻找一直没有停止过。

当然也有人提出不同看法，他们认为物理世界所谓的对称性是相对的，而不对称是绝对的，世界上任何对称的
东西都存在自发破缺现象，所以没有找到磁单极子也是正常的。

1.3 统一美
首先，麦克斯韦方程组完成了电、磁、光的统一。

如果把4个一阶的偏微分方程，化为两个二阶的偏微分方程，在无介质自由空间，方程形式为：
将这两个方程与数理方程中的波动方程作类比可以发现，电场和磁场都满足波动方程，也就是说电场和磁场都是一种波。

麦克斯韦预言这种波就是电磁波，电场和磁场是电磁波的两个分量，这种波和其他的波一样，可以脱离源而辐射出去。

根据麦克斯韦方程组可以导出，电磁波在真空中的传播速度刚好等于光在真空中的传播速度，据此，麦克斯韦进一步预言光也是一种电磁波，并提出光的电磁理论。

后来赫兹证实了电磁波的存在，足见麦克斯韦电磁场理论的科学预见功能。

因此，麦克斯韦在19世纪60年代实现了物理学的一次大统一，即电、磁、光的大统一。

其次，麦克斯韦方程组引领了物理学追求统一的热潮。

这股热潮的发起者是爱因斯坦。

前文叙及，麦克斯韦方程组完成了电、磁、光的统一，但这种统一实质上仅仅是找到了电与磁的转换关系，还只能说是表层的，它们之间还必然还存在着深层次的内在统一性。

这种内在统一性由爱因斯的狭义相对论得已实现。

爱因斯坦在狭义相对论中，首先将电荷与电流密度统一成四维电流密度矢量，又将描述电场的标势与描述磁场的矢势统一成四维势矢量，在此基础上将电场与磁场
统一成一个四维二阶电磁场张量，有16个分量，写成矩阵形式为：
至此，爱因斯坦真正完成了电场与磁场的统一，也就是完成了电场力与磁场力的统一。

接下来，他想将当时已知的电磁力与万有引力进行统一，即建立统一场论。

虽然他用了三十年的时间仍没有成功，但他的这一思想却深深地影响了后来的物理学家，在爱因斯坦这种统一思想的指引下，经过许多物理学家的长期努力，终于取得了重大突破，20世纪60年代，A萨拉姆、S温伯格、S L格拉肖在“杨～米尔斯”规范场论的基础上完成了电磁相互作用与弱相互作用的统一(现
在称之为电弱统一理论)。

2 麦克斯韦方程组的哲学思想
物理学是自然科学中的一门实验学科，它是研究物质不同层次的结构、相互作用、运动基本规律和时间空间的一门科学，由于它所研究的对象是如此普遍和基本，这就必然涉及到哲学上一系列范畴：如物质、运动、时间、空间、规律性、因果性等，从而使物理学和哲学间的关系较其它任何一门学科都更为密切[3]。

哲学是社会意识的一种形式，是世界观和方法论的统一，是系统化、理论化的世界观，是以总体方式把握世界以及人和世界关系的理论体系。

哲学是研究自然、社会和思维发展普遍规律的学说，思维和存在的关系问题是哲学的最基本问题[4]。

物理学与哲学的关系十分密切。

恩格斯曾指出：“推动哲学家前进的，决不像他们所想象的那样，只是纯粹思想的力量，恰恰相反，真正推动他们前进的，主要是自然科学和工业的强大而日益迅速的进步。

现代唯物主义否定之否定，不单纯地恢复旧唯物主义，而是把两千年哲学和自然科学发展的全部思想内容以及这两千年的历史本身的全部思想内容加到旧唯物主义的永久性基础上，随着自然科学领域中每一个划时代的发现，唯物主义也必须改变自己的形式”。

哲学离不开科学的推动，科学离不开哲学的指导，这就是科学和哲学相互作用的辩证统一。

著名物理学家爱因斯坦认为哲学是全部科学研究之母；薛定谔认为哲学是科学的支柱，是科学研究必不可少的东西；波恩认为真正的科学是富有哲理性的，即只有在正确的哲学思想指导下，物理学才能得到发展。

总之，哲学与物理学的关系是共性和个性、普遍和特殊的辨证关系。

哲学以物理学为重要基础，物理学又离不开哲学，摆脱不了哲学的指导，二者相互作用、相互促进、相辅相成，推动着人们对自然规律认识的不断深化和发展。

2.1 麦克斯韦方程组的演绎和归纳
思维方法是人们正确认识世界的中介，是人们正确进行理性处理认识的方法。

归纳与演绎是人类思维最常见的推理方法。

归纳是从个别上升到一般的思维方法，它包含有完全归纳和不完全归纳法。

演绎是由一般性原则到个别性结论的方法，归纳和演绎是人们认识事物的两种相反的思维方法。

麦克斯韦方程思想实验具有“经验”的归纳意义，但却是在数学形式上进行的；另一方面，数学表达式并不是完全在演绎的方式下被运用，相反，对它们的归纳综合更具创造性。

对于电磁场，要用麦克斯韦方程组表达它们之间的关系。

麦克斯韦方程组不是通常的数学演绎关系，它不是可以用代入方法从一个方程推演出另一个方程，这些方程式各自有独立的实验意义而又相互依存，它们是同一个物理对象同时性的具有不相同的物理现象的本质，它们的共存性是在实验和思想实验中被发现和被归纳总结出来的，它们必须同时共存于同一个方程组之中，它以这种特殊的数学方式表达了一种物理存在。

这正是在对麦克斯韦方程组的哲学探讨中我们可以认识到，麦克斯韦方程组的演绎与归纳意义只有在探讨的方式下才能被正确地理解。

2.2 麦克斯韦方程组建立在物质性的基础上
物质是不依赖于人的意识而独立存在的。

电磁场不具有实物性，它也没有静止质量，但是电磁场同具有静止的实物一样，都是物质的一种特殊形式，是真实的客观存在的。

电场和磁场是基本的物理量，在实验中可以测量他们，而且场的这一思想已经成为人们认识微观物理或微观物质世界的重要范畴。

按高斯定理，可以得到磁场B 在空间任何一点的散度为零，即：·B=0。

从矢量分析可知，某一矢量的散度为零，则可以把该矢量写作另一个矢量的旋度，
即可以把B 写成为B=×A，A 就是电磁理论中从数学角度引入的电磁矢势，
用A 来描写磁场B 更加方便，或者说A 是B 的辅助量，B 才是基本量，是实在的。

换句话说：麦克斯韦方程组的建立是在电场和磁场两个基本量上，而电场和磁场又是实实在在的物质，所以说麦克斯韦方程组是建立在物质性的基础上[5]。

2.3 实践是检验麦克斯韦方程组的正确性的唯一标准
科学的正确是否离不开实验的检验，麦克斯韦建立的麦克斯韦方程组也同样离不开实验对它的检验。

麦克斯韦是在库仑、高斯、欧姆、安培、毕奥、萨伐尔、法拉第等人的一系列发现和实验成果的基础上，运用拉格朗日和哈密顿的数学方法，凭借物理学家大师独有的美感，引入“位移电流”的概念，建立了著名的麦克斯韦方程组。

麦克斯韦方程组最重要的特点是它揭示了电磁场的内部作用和运动。

变化的磁场产生电场，变化的电场产生磁场。

麦克斯斯韦首先从这方程组在理论上预言了电磁波的存在，并指出光波就是一种电磁波。

实际上，电磁波的存在、发现和应用是电磁场理论的必然结果。

在麦克斯韦电磁场理论发现20 年后，赫兹在实验中发现了电磁波，之后人们又发现电磁波与光波具有相同的性质，光波只是电磁波谱中很小的一部分，从而揭示了电、磁、光现象的统一性。

实践是检验真理的唯一标准，电磁波的发现有力地证明了麦克斯韦电磁场理论的正确性。

因此，人们只有通过以后实践才能直接地把指导实践的认识同实践产生的客观结果相比较对照，使麦克斯韦方程组获得现实的证据。

2.4 麦克斯韦方程组的对称性
对称性是人们在观察自然和认识自然的过程中所产生的一种信念或方法。

麦克斯韦方程组具有优美的对称性，反映了普遍情况下电荷电流激发电磁场以及电磁场内部矛盾运动的规律。

这一点在上述对麦克斯韦方程组的对称性问题中也已有详细论述。

3 结语
简单、对称、统一是物理学最重要的审美准则，麦克斯韦方程组是符合这些审美准则的典范。

毫无疑问，麦克斯韦方程组是美的，当然，它的美是抽象的，这如哲学的思想一样，我们只有懂得它所蕴含的物理意义以及进一步理解它所反映出的哲学问题，才能欣赏它的美。

或者，也可以反过来说，如果我们能够欣赏麦克斯韦方程中的美，也就懂得了它所蕴含的物理意义。

将物理学问与哲学问题相结合，将使我们打破学科间的界限，站在不同的角度对物理问题有更加深刻的理解，这点在我们平时学有余力的基础上是应该注重培养的一种能力。

参考文献：
[1] 邓纯江．论数学形式美的特征[J]．四川师范大学学报(自然科学版)，1998，21(1)：97—98．
[2] 许良．对称、守恒与最小作用：历史分析及哲学思考[J]．自然辩证法研究，1994，10(3)：48—51．
[3] 郭硕鸿电动力学 2006
[4] 薛晓舟张会现代物理学哲学问题 1996
[5]周剑民麦克斯韦方程组的文化阐释 2005。