近世代数环同态的性质演示文稿
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近世代数课件-3-3_环的同态与同构
2020/4/27
18:19
一、环同态与同构的定义
注：
2020/4/27
一、环同态与同构的定义
2020/4/27
一、环同态与同构的定义
2020/4/27
一、环同态与同构的定义
2020/4/27
一、环同态与同构的定义
2020/4/27
二、同态的性质
近世代数
第三章 环
环是具有两种代数运算的代数系，它也是 近世代数的一个重要分支。
本章介绍环的一些初步理论。
2020/4/27
§3.3 环的同态与同构
对环进行比较，采用的主要工具是环同态和环同构，从 而可揭示出两个貌似不同的环之间的某些共同性质，这是 在环的研究中具有重要意义的基本观念和基本方法，同时 也是实践性很强的一种基本要求。
本节教学目的与要求： 了解环同态和同构的代数现象；了解环同态和同构的
代数传递性质和一些不能传递的代数性质；熟悉一些常用 的彼此同态和同构的实例。
领会代数性质的传递是重点，掌握其中的定理证明方 法是难点。
2020/4/27
§3.3 环的同态与同构
一.环同态与同构的定义 二.环同态的性质 三.同态象和同态核的定义
2020/4/27
三、同态像与同态核
2020/4/27
三、同态像与同态核
2020/4/27
作业：P83第1,4题
2020/4/27
2020/4/27
说明如下：
二、同态的性质
2020/4/27
二、同态的性质
注
2020/4/27
二、同态的性质
2020/4/27
三、同态像与同态核
2020/4/27
三、同态像与同态核
近世代数课件(全)--3-1-环的定义与性质
,则
n
n
(1) a( ai ) aai
i 1
i 1
n
n
(2) ( ai )a aia
i 1
i 1
n
m
nm
(3) ( ai )( bj ) aibj
i 1
j 1
i1 j1
(4) (ma)(nb) (mn)ab
2020/9/27
三、子环
定义4 若环 R 的非空子集 S 关于环 R 的加法与乘法也做成环，称 S 为 R 的子环
3.除环和域
定义 8 设 R 为有单位元 1R 的环,
a( 0) R ,如果存在 b R ,使得
,则称
a
为
ab ba 1R R 的可逆元,并称
b
为
a
的逆元.
•若a 可逆, 则 a 的逆元唯一, 且 a 的逆元也可逆.可逆元 a 的唯一的
逆元记作 a1 ,且 (a1 )1 a.
2020/9/27
两个消去律成立.即设 a, b, c R, b 0
,如果 ab cb 或 ba bc ,则 a c.
2020/9/27
2.整环 定义 7 一个交换的,有单位元 1R 且
1R 0 的无零因子环 R 称为整环.
例 6 整数环, 高斯整环 都是整环, 而偶数环为 无零因子环.
2020/9/27
2020/9/27
不是左零因子也不是右零因子的元素， 叫做正则元.
2020/9/27
例5
设 M M2(R),
A
1 0
1 0
,
B
1 1
1
1
都是 M 的非零元,而 AB 0 ,所以 A, B
分别为 M 的左右零因子.
近世代数课件(全)--1-2运算律,同态同构
2012-9-19
定义3
设
则称
是集合A的代数运算，若 a , b A, 都 有 a b=b a.
满足交换律.
定理2 如果 A 的代数运算 同时满足 交换律和结合律，那么 a 1 a 2 a n 中的元的次序可以任意掉换.
2012-9-19
定义4
是一个B×A到A的代数运算,⊕是一个A
n 0
0不在N中，矛盾。
( N , ) 与 (N , ) 不同构.
2012-9-19
作业： 证明： （1） { N ,}与 { N ,} （2） { Z , }与 { Z ,} （3）
{Q , }与 {Q ,}
不同构（普通乘法）.
不同构.
（其中 Q
不同构. 为非零有理数集）.
都是整数中
通常的加法“+”，现作
: ( A , ) ( A , )其 中 ( n ) n , n A
，那么
2012-9-19
是同构映射.
定理5 如果 ( A , , ) 和( A , , ) 同构，那么 (1) 满足结合律 也满足结合律 ； (2) (3)
的代数运算.若 , ⊕对于B的任何b，A的任何
a 1 , a 2 ,都有
a (b c ) ( a b ) ( a c )
则说 , ⊕适合第一分配律. 类似地可定义第二分配律. 如果⊕适合结合律 , , ⊕适合第一分配律,则
b B , a1 , a 2 , a n A, 都 有 a ( b1 b 2 b n ) ( a b1 ) ( a b 2 ) ( a b n )
大学课程近世代数-阿贝尔群和循环群、陪集与拉格朗日定理、同态同构学习讲义PPT18页
大学课程近世代数-阿贝尔群和循环群、 陪集与拉格朗日定理、同态同构学习讲
义
5.5 阿贝尔群和循环群
一. 阿贝尔群 定义 如果群<G，*>中的运算*是可交换的，则称该群为
阿贝尔群，或称交换群。 例 设<S,*>是有限的可交换独异点，且对任意的a,b,c∈S，等式
a*b=a*c 蕴含着 b = c，证明<S,*>是阿贝尔群。 分析 只要证明S中的每个元素都存在逆元，那么<S,*>就是 阿贝尔群。
证明见书Ｐ210
例：见书Ｐ210 例题１
作业P211 (３)(６)
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
a* h1≠a* h2(a∈G) ，所以|aiH|=|H|=m，i=1,2,…,k。
因此 n=|G|=
k aiH
=
k
aiH
=mk
i1
i1
推论1 推论2
任何质数阶的群不可能有非平凡子群。
设<G,*>是n阶有限群，那末对于任意的a∈G，a的 阶必是n的因子且必有an=e，这里e是群<G,*>中的 幺元。如果n为质数，则<G,*>必是循环群。
设任意的b∈S ……存在正整数i，j，使得bi = bj （ i<j） 即： bi * e= bi * bj－i由题意知bj－i就是幺元，则b的逆元 为……
定理3 设<G,*>是一个由元素a∈G生成的有限循环群。如果G
义
5.5 阿贝尔群和循环群
一. 阿贝尔群 定义 如果群<G，*>中的运算*是可交换的，则称该群为
阿贝尔群，或称交换群。 例 设<S,*>是有限的可交换独异点，且对任意的a,b,c∈S，等式
a*b=a*c 蕴含着 b = c，证明<S,*>是阿贝尔群。 分析 只要证明S中的每个元素都存在逆元，那么<S,*>就是 阿贝尔群。
证明见书Ｐ210
例：见书Ｐ210 例题１
作业P211 (３)(６)
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
a* h1≠a* h2(a∈G) ，所以|aiH|=|H|=m，i=1,2,…,k。
因此 n=|G|=
k aiH
=
k
aiH
=mk
i1
i1
推论1 推论2
任何质数阶的群不可能有非平凡子群。
设<G,*>是n阶有限群，那末对于任意的a∈G，a的 阶必是n的因子且必有an=e，这里e是群<G,*>中的 幺元。如果n为质数，则<G,*>必是循环群。
设任意的b∈S ……存在正整数i，j，使得bi = bj （ i<j） 即： bi * e= bi * bj－i由题意知bj－i就是幺元，则b的逆元 为……
定理3 设<G,*>是一个由元素a∈G生成的有限循环群。如果G
近世代数课件 第15节 布尔代数的理想和同态
近世 代数
布尔代数与布尔环的等价性
定义2 环(R, +,◦)称为布尔环，如果环R中每个元素 都是幂等元，即a ∈R，a◦a=a.
定理2 任一布尔代数都定义了一个有单位元素的 布尔环.
定理3 任一有单位元素的布尔环都定义了一个布尔 代数.
定理4(Stone) 布尔代数与具有单位元素的布尔环是 两种等价的代数结构.
定理3 布尔代数(B,∧,∨, , 0, 1) 的理想I为极大理 想 I为真理想且a∈B有a∈I 或 a∈I.
18/24
近世 代数
布尔代数的同态
定义1 设(B,∧,∨, , 0, 1)和(P, ∩,∪, ~, , I)是两个布尔
代数. 如果存在一个从B到P的满射f 使得x, y B有 f(x∧y) = f(x)∩f(y), f(x∨y) = f(x)∪f(y),
f(x) =~ f(x) 则称f 是B到P的一个满同态， 而称B与P 满同态.
21/24
近世 代数
布尔代数的同态
布尔代数满同态的定义还可以简化:
定义1 设(B,∧,∨, , 0, 1)和(P, ∩,∪, ~, , I)是两个布
尔代数. 如果存在一个从B到P的满射f 使得x, y B有 f(x∧y) = f(x)∩f(y), f(x) =~ f(x)
统, ∧和◦是二元运算. 若∧和∨运算满足：
(1) 交换律, 即a, b∈B a∧b = b∧a, a∨b = b∨a
(2) 分配律, 即a, b, c∈B
a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c),
a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c)
(3) 同一律, 即存在0, 1∈B, 使得a∈B有
a∧1 = a, a∨0 = a
近世代数课件-3-1环的定义
记住环的定义掌握环的相关概念和相应分类以及一些特环殊环的特殊性质并能熟练判定一个给定的代数系是否是环
近世代数
第三章 环
环是具有两种代数运算的代数系，它也是 近世代数的一个重要分支。
本章介绍环的一些初步理论。
2020/4/27
3.1 环的定义
本节教学目的与要求： 记住环的定义，掌握环的相关概念和相应分类以及一些特
2020/4/27
18:21
三、环的分类—分类性质
2020/4/27
18:21
三、环的分类—分类性质
2020/4/27
18:21
三、环的分类—分类性质
2020/4/27
18:21
四、环的特征
(环R的特征实质上是所有非零元在加法群中的阶的最小公倍数)
2020/4/27
18:21
四、环的特征
(即在有单位元的环R中，环的特征等于乘法单位元在加法群中的阶) (2) 当R 是至少含有两个元素的无零因子环时，n是素数。
殊环的特殊性质，并能熟练判定一个给定的代数系是否是环.
一. 环的定义及常见的环 二. 环的初步性质 三. 环的分类及其分类性质 四. 环的特征
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一、环的定义
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一、环的定义 注1：
注2：
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一、环的定义
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18:21
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作业：P75第4,9题。
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三、环的分类
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18:21
三、环的分类
2020/4/27
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近世代数
第三章 环
环是具有两种代数运算的代数系，它也是 近世代数的一个重要分支。
本章介绍环的一些初步理论。
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3.1 环的定义
本节教学目的与要求： 记住环的定义，掌握环的相关概念和相应分类以及一些特
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三、环的分类—分类性质
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三、环的分类—分类性质
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三、环的分类—分类性质
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四、环的特征
(环R的特征实质上是所有非零元在加法群中的阶的最小公倍数)
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四、环的特征
(即在有单位元的环R中，环的特征等于乘法单位元在加法群中的阶) (2) 当R 是至少含有两个元素的无零因子环时，n是素数。
殊环的特殊性质，并能熟练判定一个给定的代数系是否是环.
一. 环的定义及常见的环 二. 环的初步性质 三. 环的分类及其分类性质 四. 环的特征
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一、环的定义
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一、环的定义 注1：
注2：
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一、环的定义
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作业：P75第4,9题。
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三、环的分类
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三、环的分类
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最新大学课程近世代数-阿贝尔群和循环群陪集与拉格朗日定理同态同构学习讲义PPT课件
k
k
G [ai]R aiH
i1
i1
又因为，H中任意两个不同的元素h1，h2，必有
a* h1≠a* h2(a∈G) ，所以|aiH|=|H|=m，i=1,2,…,k。
因此 n=|G|=
k aiH
=
k
a i H =mk
i1
i1
推论1 推论2
任何质数阶的群不可能有非平凡子群。
设<G,*>是n阶有限群，那末对于任意的a∈G，a的 阶必是n的因子且必有an=e，这里e是群<G,*>中的 幺元。如果n为质数，则<G,*>必是循环群。
•
拉格朗日定理
设<H，*>是群 <G,*lt;a,b>|a∈G,b∈G且a-1 *b∈H}是G中的一个等价关系。
对于a∈G，若记 [a]R={x | x∈G且<a,x>∈R} 则 [a]R = aH 2) 如果G是有限集，|G|=n，|H|=m，则m|n.（即ｍ整除ｎ）
定理1 设<G,*>是一个群，<G,*>是阿贝尔群的充要条件是
对任意的a,b∈G，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。
证明 1）充分性 设对任意的a,b∈G，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 因为 a*(a*b)*b= (a*a)*(b*b) = (a*b)*(a*b) = a*(b*a)*b 所以 a-1 *(a *(a * b) * b) * b-1= a-1 *(a *(b * a) * b) * b-1 即 (a-1 *a) *(a * b) * (b * b-1)= (a-1 *a) *(b * a) * (b * b-1) 即得a * b = b * a，因此<G,*>是阿贝尔群。
环同态基本定理
11
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定理3.5.3 设 为环R到环R '的环同态, 则Ker 为 R 的理想. 证 对任意的a, b Ker , r R , 有
(a b) (a) (b) 0 0 0
(ra) (r ) (a) (r )0 0
20
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例6 由本节例2和例4知, 是Z到Z m的满同态, 且 Ker m, 则由环同态基本定理得
Z / m Zm
21
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例7
在本节例5中, 是 Q[ x ]到 Q[ 2] 的满同态且
Ker x 2 2
从而由环同态基本定理得
证 (1) 对任意的 f ( x) Q[ x] , 存在 q( x) Q[ x] ,
a, b Q ,使
f ( x) ( x 2 2)q( x) a bx
14
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则
f ( 2) ( 2 2)q( 2) a b 2 a b 2 Q[ 2]
r ' e ' r ' (e) (ee) (e) (e) r ' (e)
因为 R '无零因子, 所以消去律成立. 在上式两边消去 r ' 得 (e) e '.
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(3) 设 u 为 R 的任一单位, 则
e ' (e) (uu 1 ) (u) (u 1 ) e ' (e) (u 1u) (u 1 ) (u)
从而 为 Z 到 Z m 的满同态.
4：环同态PPT课件
.
11
设σ是R到R′上的同态映射，R′的零0′的逆映象 σ-1(0′)叫σ的核。
定理6.7.3同态映射σ的核N是R的一个理想.设a′ 是R′的任意元素,则a′的逆映象
σ-1(a′)={a∈R∣σ(a)=a′}是N的一个剩余类。
证明： 因为σ是R的加法群到R′的加法群上面的 一个同态映射,所以σ的核N=σ-1(0′)是R的一 个子群,且a′的逆映象σ-1（a′）是模N的一个 剩余类。现在再证N做成理想，即证：若 a∈N,х∈R,则aх∈N,χa∈N, 事实上σ(aχ)=σ(a)σ(χ)=0′σ(χ)=0′, 故aχ∈N,同样可证χa∈N。
.
23
事实上，根据定理6.7.8和定理6.7.9，R∕N是一 个域，必要而且只要R∕N是一个有壹的交换的单 纯环，又根据定理6.7.7，对于有壹的环R∕N（ 环R∕N有壹,则R∕N中至少有两个元素,因之N<R ）,其为单纯环,必要而且只要N是R的一个极大理 想.
规定σ（a）= a+N，则σ是R到R∕N上的一个同态 映射，其核为N。
R∕N叫做R对于N的剩余环，前面定理6.7.1中 （4），（5）所说的加法和乘法的同态性，其实是
说剩余环R∕N中的加法和乘法运算可由剩余类中 的任意元素来确定，剩余类的运算与其中元素的 特殊选择无关。剩余环R∕N有了这加法和乘法两 种运算，就与环R同态。
证明：取F的任意理想N≠（0），则有a∈N,a≠0, 于是有a-1∈F。因为N是F的理想,故aa-1∈N，
即1∈N，因此，对于任意的χ∈F，有χ=1χ∈N， 即FN。但自然NF，所以N=F。总之，F为单纯 环。
定理6.7.10 设R是有壹的交换环，N是R的理想。 于是，R∕N是一个域，必要而且只要N是一个极 大理想。
近世代数课件--1.5 同态(8-9)
a1
• 例3 2 : a 1 ( a 是 A 的任一元) • 固然是一个 A 到 A 的映射,但不是同态映 射.因为,对于任意 A 的 a 和 b 来说,
a 1, b 1
a b 1 ( 1) ( 1)
进一步的定义
• 定义2 • (1)单同态:
( a b ) ( a ) ( b )
• 换一种表示，假定在 之下的像，
x x
• 上面的等式即:
a b a b
5.2 同态映射与性质
定义与例子
• 定义1 一个 A 到 A 的映射 称为对于代数运算 和 的同态映射,假如, a , b A,都有:
由于是同态满射我们在里至少找得出三个元这种通过同态映射过渡的方法在证明具有一般性定理2假定都是集合的代数运算都是集合的代数运算并且存在一个对于代数运算来说同态对于代数运算来说也同态
§5 同态与同构（8－9节）
• • • • • 5.1 最初的思想 5.2 同态映射与性质 5.3 同态的代数系统 5.4 可单向传递的性质 5.5 同构的代数系统及其意义
x y z x y z
A 抽象地来看， 与A 这两个代数系统，没有任何区别（只 有命名上的不同而已）.
• 作业: • P23: 1 • P26:1,3
• 定义 A 和 A 是两个代数系统,如果存在 一个 A 到 A 的同态满射 f ,就称 A 和 A 同 态. • 记号: A A • 性质1 （1）反身性: A A （2）传递性: 注: 对称性不成立
5.4 可单向传递的性质
• 定理1 假定,对于代数运算 和 来说, A 到 A 同态.那么, （1）若 适合结合律, 也适合结合律； （2）若 适合交换律, 也适合交换律.
• 例3 2 : a 1 ( a 是 A 的任一元) • 固然是一个 A 到 A 的映射,但不是同态映 射.因为,对于任意 A 的 a 和 b 来说,
a 1, b 1
a b 1 ( 1) ( 1)
进一步的定义
• 定义2 • (1)单同态:
( a b ) ( a ) ( b )
• 换一种表示，假定在 之下的像，
x x
• 上面的等式即:
a b a b
5.2 同态映射与性质
定义与例子
• 定义1 一个 A 到 A 的映射 称为对于代数运算 和 的同态映射,假如, a , b A,都有:
由于是同态满射我们在里至少找得出三个元这种通过同态映射过渡的方法在证明具有一般性定理2假定都是集合的代数运算都是集合的代数运算并且存在一个对于代数运算来说同态对于代数运算来说也同态
§5 同态与同构（8－9节）
• • • • • 5.1 最初的思想 5.2 同态映射与性质 5.3 同态的代数系统 5.4 可单向传递的性质 5.5 同构的代数系统及其意义
x y z x y z
A 抽象地来看， 与A 这两个代数系统，没有任何区别（只 有命名上的不同而已）.
• 作业: • P23: 1 • P26:1,3
• 定义 A 和 A 是两个代数系统,如果存在 一个 A 到 A 的同态满射 f ,就称 A 和 A 同 态. • 记号: A A • 性质1 （1）反身性: A A （2）传递性: 注: 对称性不成立
5.4 可单向传递的性质
• 定理1 假定,对于代数运算 和 来说, A 到 A 同态.那么, （1）若 适合结合律, 也适合结合律； （2）若 适合交换律, 也适合交换律.
近世代数环的同态映射的定义
近世代数环的同态映射的定义（原创版）目录1.近世代数和环同态映射的概述2.环同态映射的定义3.环同态映射的基本性质4.环同态映射的应用举例5.总结正文一、近世代数和环同态映射的概述近世代数是代数学的一个重要分支，主要研究代数结构的性质和特征。
在近世代数中，环是一种重要的代数结构，其同态映射是研究环之间关系的一种工具。
二、环同态映射的定义环同态映射是指两个环之间的一种特殊的映射，满足环的运算规则。
设 R 和 S 是两个环，φ是 R 到 S 的映射，如果对 R 中的任意元素 a、b，都有φ(a+b)=φ(a)+φ(b) 和φ(ab)=φ(a)φ(b)，则称φ为 R 到 S 的环同态映射。
三、环同态映射的基本性质环同态映射具有以下基本性质：1.保持加法和乘法：对于环 R 中的任意元素 a、b，有φ(a+b)=φ(a)+φ(b)；2.保持乘法：对于环 R 中的任意元素 a、b，有φ(ab)=φ(a)φ(b)；3.线性：对于环 R 中的任意元素 a 和任意整数 n，有φ(na)=nφ(a)；4.保持单位元：对于环 R 中的单位元 e，有φ(e)=e；5.保持逆元：对于环 R 中的任意元素 a，如果有逆元 a"，则有φ(a")=φ(a)^-1。
四、环同态映射的应用举例环同态映射在近世代数中有广泛的应用，例如：1.环的同构：两个环之间存在一个满的、单的同态映射，称为环的同构。
环的同构是研究环之间关系的一种重要手段。
2.环的扩张：给定一个环 R，通过添加一些新元素和定义新的加法、乘法运算，可以得到一个新的环 S，使得 R 是 S 的一个子环，这种操作称为环的扩张。
环的扩张是研究环的性质和结构的一种方法。
五、总结环同态映射是近世代数中研究环之间关系的一种重要工具，具有丰富的基本性质和应用。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例1
设
R1
a 0
b c
a,b,c Z
,
R2
a 0
0 c
a,
c
Z
,
则 R1, R2关于矩阵的加法和乘法都构成环.令
a b a 0
R1 R2
: 0
c 0
c
易证 是由R1到R2的一个满同态，从而R1 ~ R2.
例2 若R是一个环，S为R的一个子环，则S到R的映射.
: s s(s S ) 是由环S到环R的一个单
为 R～R.
说明： • 环同态是环之间保持运算的映射. • 如果 为单映射, 则称 为单同态.
• 如果 为满映射, 则称 为满同态, 记作, : R R ', 并称R与 R '同态.
• 如果 既是单映射又是满映射, 则称 为同
构. 同构是环之间的一个等价关系, 且同构 的环之间有完全相同的代数性质.
则 a b a b a b b a b a b a
因此 ab ba ，故R 是交换环.
说明
（1） 设 为环R到R '的同态, 则 (an ) ((a))n.
证明 由群同态的定义知,
(an) (a a) (a) (a) ((a))n.
（2） 设 为环R到R '的同态, 称集合 ker() {a R (a) 0}
他们同态吗？
一 环 同 态 定 义
定义 1 设 是环 R,,• 到环 R ,,• 的映射.如果 a,b R. 满足:
a b a b, aba b
则称 是一个环同态映射.
如果 是满射(单射、双射),则称 为环同
态满射(环同态单射,环同构).
特别 是环同态满射时,则称R 与 R 同态,记
中: n n.
在例 3 中，显然Z 是整环. 所以Z 中没有零
因子,但在 Z6中,2 和 3、4 都是零因子.即 2 显然不是Z 中的零因子,但 2 2却是Z6 中的零
因子.这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子.
例 5 设R (a,b) a,b Z .在R中定义运算
a 1 , b 1 a 2 , b 2 a 1 a 2 , b 1 b 2 . a 1 ,b 1 a 2 ,b 2 a 1 a 2 ,b 1 b 2 .
O R a O R a O R a O R
因此 OR 是R中的零元.
② a R,a R 使 a a.
而 1 R a 1 R a a a ,
同理,
a 1 R a 1 R 1 R .
③
a
a
a
a
OR
O R
,
同理
,
aaLeabharlann O R,所以 aa.
④ a,b R, a,b R 使 a a,b b.
可以验证: R 是一个环.现作一个对应:
: R Z ,其中, a,b a .则 是一个环同态满 射.由于0,0是 R 中的零元,当 a 0 且 b 0 时. 有 a,00,b 0,0 R 中有 零因子.但显然 Z 中
没有零因子.这表明:零因子的象可能不是零因子.
由上可知,环同态满射不能保证传递全部的 代数性质，但我们有
定理 3.4.3 若R和 R 都是环,且R R,那么
不仅能传递所有的代数性质,而且 R 是整环(除环, 域)当且仅当 R 是整环(除环,域).
利用环同构的性质,可以得到下面一个有趣 的事实.
引理 设R,,是一个环,而 : R A是一个双
射,其中 A仅是一个集合.那么,可以给集合 A定义加
法和乘法,使得 成为R到 A的同构映射(即环同构).
二、环同态的性质
由上定义可知,一个环同态映射就是分别对 环的加法和乘法都满足“保运算”的性质.利用这 一点,可以自然地得到:
定理 3.4.1 设 R,,• 和 R, , • 都
是代数体系,如果 是 R 到 R 的满射且有 a,b R,.
a b a b, a • b a • b，
则当 R,,• 是环时, R, , • 也必是环.
（1） 环同态与群同态的区别所在。
（2） 扩环与子环之间在单位元变换性，零 因子和环的特殊性方面都具有“转变”的特点， 这是与群截然不同的地方。
（3）环同态映射（既使是环同态满射）也 有一些性质不能传递过去。
（4） 环同构的应用——挖补定理。
本讲的难点和重点： 本讲涉及的内容较多，变化性较大，有一些困难之处。 （1） 环与子环之间的性质“变异”问题。 （2）环同态的保性质问题。 （3）挖补定理中“S 视为R的子环”的不同意义。
近世代数环同态的性质演示文稿
上课啦！
The class is begin!
第 19 讲
第 三 章 环与域
§4 环的同态与同构
本讲的教学目的和要求： 本讲的内容出发点都是跟循群认的思略，
环——子环的定义——子环的实例——环同 态（尤其是环同态满射）——同态映射（满 射）所能传递的代数性质和不能传递的代数 性质。本讲中，要求能弄略和领会。
证明 任取a1, a2 A.定义:
a1 a2 xy，a1 a2 x y, 其中 x a1, y a2 所以 x y a1 a2 x y
xy a1 a2 x y
又已知 是双射，由a1, a2的任意性，得 R A.. 因R为环,所以 A也是环 .故 为同构映射.
利用上面的引理,我们来讨论环论中的“挖 补定理”.
定理 3.4.4( 挖补定理) 设S 是环R 的一个 子环,设BRS .又设S 也是环且S S ,而 B S .那么必存在另一个环R ,满足
同态.
定理 3.4.2 设 R ~ R 是环同态满射,那么
① 若OR 是 R 中的零元，则 OR 必是 R
的零元.
即
OR
O R
.
② 若 1R是 R的单位元，则 1R 必是R 的
单位元.
即
1R
1 R
.
③ 负元的象必是象的负元,即 a a.
④ 若R可交换，则R 也可交换.
证明
① a R, 因 是满射，所以a R使 a a.于是
为同态 的核.
例 3 一些常见的同态.
(1) 零同态: : R R', (a) 0, ker() R.
(2) 自然同态: 设I 是环R的理想,
:RR
aa
自然同态为满同态, 且ker() I.
(3) 恒等同构: : R R
aa
ker( ) {0}.
例 4 设 : Z Z6 是 环 同 态 满 射 , 其