第一章插值方法

插值计算目的在于：通过尽可能简便的方法，利用所给数据表加工出插值点x 上具有足够精度的插值结果y。——插值的过程是个数据加工的过程。
1. 问题的提出
7
拟合的基本思想
已知数据表
xi
x1
x2
…
xn
f(xi)
f(x1)
f(x2)
…
f(xn)
求一个经验函数 y=g(x) ，使
n
∑ error= ( g(xi )-f (xi ))2 = min
问题2：求做n次多项式pn(x)，使满足条件：
p
(k n
)
(
x
0
)
=
y (k ) 0
k = 0,1,⋯, n
y (k ) 0
(k
=
0,1,⋯, n)
为一组已给数据。
问题3：=问题1+问题2：即过给定点，也要求导数相同。
问题1
基本概念
10
问题1：设函数y=f(x)定义域为[a，b]，x0，x1，…，xn是[a，b] 上的n+1个互异点，且yi=f(xi)已知，要构造一个函数g(x)，使得 g(xi)=yi(i=0,1, … ,n)；
第一章 插值方法
1
拉格朗日插值公式 艾特金插值 牛顿插值 埃尔米特插值 分段插值 样条插值
历史
2
17世纪，西欧科学探索活动空前活跃，发生了诸如 Colombo发现“新大陆”等一系列重大事件，科学探 索的客观需要强烈的推动了插值方法的深入研究。
我国古代天文学家在制定历法的过程中层深入的研究 过插值方法，并取得了辉煌的成就。例如：中唐僧一 行草成《大衍历》（公元727年），导出了不等距节 点的插值公式；晚唐徐昂制成的《宣明历》（公元 822年），所使用的插值技术正式近代广泛运用的所 谓“有限差分方法”。
p(x, S) = ∫ x f (τ , S)dτ 0
f (τ , S)=
1
−
1
τ
−
µ
(
S
)
2
e 2 σ (S)
σ (S) 2π
µ
5.2 5.0 4.8 4.6 4.4
50
µ (S ), σ (S ), n 已知
5
µ(S)
µ of fatigue life for single detail µ of fatigue life for MSD
i =1
根据 g(x)的特性推测 f (x) 在非观测点处的特性
插值类型
代数插值： g( x) 为多项式函数集
8
有理插值： g( x) 为有理分式函数集
三角插值：g( x) 为三角函数集
g(x)=Pn(x)
令R[x]n+1表示所有的不高于n次的实系数多项式和零多项式构 成的集合，假设函数y=f(x)的已知值(xi，yi) (yi=f(xi)，i=0，1，…，n)， 寻找一个多项式Pn(x) ∈ R[x]n+1，满足：
几何意义：
g(x) ≈ f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
y = f (x) y = g(x)
问题1
基本概念
12
点x为插值点；
内插——用g(x)计算f(x)在x在插值区间内wenku.baidu.com插值点处的近似值 的插值过程；
外插——用g(x)计算f(x)在x在插值区间外的插值点处的近似值 的插值过程，也叫外推。
要求： 效率高 精度高 插值函数形式简单——多项式、有理分式
问题1 代数插值存在的唯一性
13
P n
(
x)
=
a 0
+
a 1
x
+
⋯
+
a n
x
n
Pn ( xi ) = yi , i = 0 , ... , n
P n
(
x0
)
=
a0
P( n
x1)
=
a0
+ a1x0 + a1x1
+ a2x02 + a2x12
+
⋯+
a n
x0n
+⋯+
a n
x1n
= =
f (x0) f (x1)
Pn(xi)=f(xi) (i=0，1，…，n)
(*)
无重合节点，即i ≠ j xi ≠ x j
三类典型问题
9
问题1：设函数y=f(x)定义域为[a，b]，x0，x1，…，xn是[a，b] 上的n+1个互异点，且yi=f(xi)已知，要构造一个函数g(x)，使得 g(xi)=yi(i=0,1, … ,n)。
方程组存在唯一解，因此满足插值条件(*) 的不超过n次的插值多项式是唯一存在的.
问题1
代数插值
15
Lagrange插值公式 Aitken插值公式 Newton插值公式
Lagrange插值公式
求 n 次多项式
依据(xi，yi)构造出插值函数g(x)，然后在任意点x计算g(x)作为 f(x)的近似值——插值；
几何意义：
g(x) ≈ f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
y = f (x) y = g(x)
问题1
基本概念
11
点x0，x1，…，xn为插值基点(插值节点)，简称基点(节点)； [min(x0，x1，…，xn)，max(x0，x1，…，xn )]为插值区间； f(x)为求插函数；g(x)为插值函数；r(x)为插值公式的余项； f(x)=g(x)+r(x)为(带余项的)插值公式。
µMSD (S )
60
70
80 90 100 110 120 130 140 150
stress level S
1. 问题的提出
6
插值的基本思想
已知数据表
xi
x1
x2
…
xn
f(xi)
f(x1)
f(x2)
…
f(xn)
求一个经验函数 y=g(x) ，使
g(xi )=f (xi ), i=1,2,⋯n
根据 g(x)的特性推测 f (x) 在非观测点处的特性
1. 问题的提出
实际问题 数学模型
3
数值问题
高效、可靠的 数值计算方法
包含非有 理函数或 未知函数
需要转化为数值问题，转化的基 本途径是利用函数逼近或离散化
代数问题 不需要转化，本身即为数值问题
1. 问题的提出
4
1. 问题的提出
∫ ( ) µMSD
S
=
+∞ 0
x⋅
fMSD (x,
S )dx
5.8
f MSD
(x,
S)
=
∂PMSD (x, ∂x
S)
5.6
P MSD
(
x,
S
)
=
1
−
P 0
(
x,
S
)
−
P 1
(
x,
S
)
5.4
n
P0 (x, S) = ∏ (1− pi (x, S))
i =1
∑ ∏( ) P1(x, S) =
n
pi1
(
x,
S
)
n
1−
p j (x, S)
i1=1
j =1 j ≠i1
⋮
Pn
(
x n
)
=
a n
+
a1xn
+
a2
x2 n
+⋯+ a xn nn
=
f(x ) n
问题1 代数插值存在的唯一性
14
方程组的系数矩阵是Vandermonde矩阵
1 x0
2
x0
⋯
n
x0
1 x1 ⋮⋮
∏ 2
x1 ⋮
⋯
n
x1 ⋮
= (xi − xj )
0≤ j<i≤n
≠0
1 xn
2
xn
⋯
n
xn
无重合节点，即i ≠ j xi ≠ x j