2020年怀化市高三一模文科数学

NF
3
21．（本题满分 12 分）已知函数 f (x) ex ax2 ，其中常数 a R ． (Ⅰ)当 x (0,) 时，不等式 f (x) 0 恒成立，求实数 a 的取值范围； (Ⅱ)若 a 1，且 x [0,) 时，求证： f (x) x2 4x 14 ．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
2
18．（本题满分 12 分）在等比数列 an中， a4 2 ， a5 5 ． (Ⅰ)求数列 lg an前 8 项的和； (Ⅱ)若等差数列 bn满足 a2 b2 a4 b4 8 ，求数列 bn的通项公式．
19．（本题满分 12 分）已知四棱锥 P ABCD 中，PA 平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形，BAD 120 ，点 E ， F 分别为 BC 和 PA 的中点．
5 2
，………3
分
故数列 lg an的前八项的和为 8lg 2
8 (3 2
4)
lg
5 2
4(lg 2
lg 5)
4 .……………6
分
（2）由（1）得
a2
8 25
，………7
分
故由 a2 b2 8 知 b2 25 ，………8 分 .
又 a4 b4 8 ，所以 b4 6 .………9 分
故数列 bn的公差 d
19 2
，………1 0
分
所以 bn
25
(n
2)( 19) 2
19 2
n
44
……………1 2
分
19.解：（1）取线段 PD 中点 M ，连结线段 FM 和 EM .…………1 分
在△ PAD 中， FM
1 AD .………2 分 2
点 E 为 BC 中点，故 BE 1 AD ，所以 FM BE ，………3 分 2
3 2
( x0
p) 2
，……2
分
所以 SMOF
1 2
OF
y0
3p 8
( ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
p) 2
3
，所以
x0
8 p
p 2
，………3
点 E 、 F 、 G 、 H ，则四边形 EFGH 面积的最大值为
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须 作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60 分． 17．（本题满分 12 分）为了解某地中小学生的近视形成原因，教育部门委托医疗机构对该地所有中小学生的视力做 了一次普查. 现该地中小学生人数和普查得到的近视情况分别如图 1 和图 2 所示． (Ⅰ)求该地中小学生的平均近视率（保留两位有效 数字）； (Ⅱ)为调查中学生用眼卫生习惯，该地用分层抽样 的方法从所有初中生和高中生中确定 5 人进行问卷 调查，再从这 5 人中随机选取 2 人继续访谈，则此 2 人全部来自高中年级的概率是多少？
由 SMOF
1 2
OF
y0
1 2
p 2
3p
3 ，所以 p 2 ，………5 分
所以抛物线 C 的方程为 y2 4x .…………………6 分
法二、抛物线的焦点为 F ( p , 0) ，准线为 x 2
p 2
，设 M (x0，y0 ) ，则
MF
x0
p
，
2
………1 分
又因为 FM 与 x 轴正方向的夹角为 60 ，所以 y0 MF sin 60
．
x 0，
2
15.
x2
若椭圆
a2
y2 b2
1 (a
b 0) 的左焦点为 F1 ，点 P 在椭圆上，点 O 为坐标原点，且△ OPF1 为正三角形，则
椭圆的离心率为_________．
16.已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，垂直于棱 AA1 的截面分别与面对角线 A1D 、 A1B 、 C1B 、 C1D 相交于
因为 PA 平面 ABCD ，所以 PA BC .………9 分
由 AE PA A 知 BC 平面 PAE ，………10 分
因为 BC 平面 BCF ，………11 分
所以平面 BCF ⊥平面 PAE .…………12 分
20.（1）法一、抛物线的焦点为 F ( p , 0) ，准线为 x p ，
(Ⅰ)求证：直线 BF ∥平面 PED ； (Ⅱ)求证：平面 BCF ⊥平面 PAE ．
20．（本题满分 12 分）若抛物线 C ：y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ，O 是坐标原点，M 为抛物线上的一点，向量 FM 与 x 轴正方向的夹角为 60 ，且△ OFM 的面积为 3 ．
(Ⅰ)求抛物线 C 的方程； (Ⅱ)若抛物线 C 的准线与 x 轴交于点 A ，点 N 在抛物线 C 上，求当 NA 取得最大值时，直线 AN 的方程．
设 2 名初中生为 a1 、 a2 ，3 名高中生为 b1 、b2 、b2 ，则从这 5 人中随机选取 2 人的情况为：
(a1, a2 ) 、(a1,b1) 、(a1,b2 ) 、(a1,b3) 、(a2,b1) 、(a2,b2 ) 、(a2,b3) 、(b1,b2 ) 、(b1,b3) 、(b2,b3) ，
C． f (x) 的值域为 (1,)
B． f (x) 有极小值为 0，无极大值 D． y f (x) 的图象关于直线 x 1 对称
11．已知圆 C ： x2 y2 6x 8 0 和两点 A(t,0) ， B(t,0) (t 0) ，若圆 C 上存在点 P ，使得 AP BP 0 ，则
………9 分
共计 10 种情况，………10 分
其中全部来自高中年级的情况有 3 种，………11 分
故 2 人全部来自高中年级的概率是 3 ..……………12 分 10
18.（1）由题意得公比 q 5 ，………1 分 2
故 an
2 ( 5 )n4 ，………2 2
分
所以 lg an
lg 2
(n
4) lg
22.（本题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
已知曲线
C1
的参数方程为：
x
y
4 cos 3 sin
,
（
为参数），
C2
的参数方程为：
x
y
8cos 3sin
,
（
为参数）．
(Ⅰ)化 C1 、 C2 的参数方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(Ⅱ)若直线 l
的极坐标方程为： 2
都可领取其中一件礼品，则他们有且仅有 2 人领取的礼品种类相同的概率是
A． 1 4
B． 3 8
C． 5 8
D． 3 4
9. 将函数 g(x) 2 cos2 (x ) 1的图象向右平移 个单位长度，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的 2 倍，
4
4
得到函数 f (x) 的图象，则下列说法正确的是
所以四边形 BEMF 为平行四边形，………4 分 所以 EM // BF ，又 BF 平面 PED ，………5 分
所以直线 BF ∥平面 PED .……………6 分 （2）连结 AC ，由底面 ABCD 是菱形，且 BAD 120 ，故 ABC 为等边三角形.…7 分
又点 E 为 BC 中点，故 AE BC .………8 分
13. 1
14．－1
15． 3 1
1
16.
2
三、解答题（必做题第 17 题至第 21 题每小题 12 分，选做题第 22 题、23 题每小题 10 分， 共 70 分） 17.（1）该地近视的学生人数为 3200×0.1+3000×0.3+2000×0.5=2220（人），………2 分 该地中小学生总人数为 3200+3000+2000=8200（人），………3 分 故该地中小学生的平均近视率为 2200÷8200≈0.27，即平均近视率约为 27％. .………6 分 (2)由题意得，参与问卷调查的 5 名中学生中有 2 名初中生，3 名高中生. ………7 分
怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷
2020 年高三第一次模拟考试 文科数学
命题人：溆浦一中 朱良满
审题人：张理科、向重新、梁庄贵、陈秀伟、滕华
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分. 时量：120 分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
3
2
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A. 2 4
2
B.
4
C. 2 2
D. 2 2
4. 执行下面的程序框图，如果输入的 t [－1,3]，则输出的 s 属于
？
A. [－3,4]
B．[－5,2]
C．[－4,3]
D．[－3,3]
5.
若 Sn 为数列 an的前 n 项和，且 Sn
n ，则 n 1
1 a5
等于
A．5
B．6
C． 1
D．30
6
5
30
6. 已知向量 a （1，2）, a b 5，|a b | 2 5 ，则 | b |等于
A． 5
B． 2 5
C．5
D．25
7. 已知△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 若 a b 2c , 3c 5b , 则角 A 的值为
sin
cos
7 ，曲线 C1
上的点
P
对应的参数
2
，曲线 C2
上的点 Q
对应的参数 0 ，求 PQ 的中点 M 到直线 l 的距离．
23. (本题满分 10 分)选修 4—5：不等式选讲
已知函数 f (x) x a x 3 ．
(Ⅰ)若
a
3 ，且不等式
f
(x)
5
的解集为 x
|
3
x
7
，求
实数 t 的取值范围是
A. (1,3)
B. (2,4)
C. [1,3]
D. [2,4]
12.
若函数
f
(x) 在定义域 R 上可导，且
f (x) cos x ，则关于 x 的不等式
f
(x)
f
(
x)
3 sin(x ) 的解
3
6
集为
A． (， ] 3
B． (， ] 6
C． [
，
)
3
D． [
2
2
设 M (x0，y0 ) ，则
MF
x0
p
，………1
2
分
过点 M
作 x 轴的垂线，垂足为 K
，则 FK
x0
p. 2
………2
分
在
Rt
△
MFK
中, MFK
60 ，故
MF
2KF
，即
x0
p 2
2( x0
p) 2
，即
x0
3p 2
，………3
分
所以 y02 2 px0 3 p2 ，故 y0 3 p .………4 分
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号 和科目。
2. 考生作答时，选择题和非选择题均须做在答题卡上，在本试题卷上答题无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的 要求答题。
3. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 4. 本试题卷共 4 页，如缺页，考生须声明，否则后果自负。
，
)
6
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.
13.设实数 x 0 ，若 (x i)2 是纯虚数（其中 i 为虚数单位），则 x =
．
x y 1 0，
14.若 x, y 满足约束条件 2x y 1 0，则 z x y 的最小值为
A．函数 f (x) 的最小正周期为
B．当 x R 时，函数 f (x) 为奇函数
1
C． x 是函数 f (x) 的一条对称轴
D．函数
f
(x)
在区间
2π 3
,
5π 4
上的最小值为
3 2
10. 关于函数 f (x) x 1 ln x ，下列说法正确的是
A． f (x) 在 (1 ,) 单调递增 e
A.
6
B.
3
2
C.
3
5
D.
6
8.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代，人们用写“桃符”
的方式来祈福避祸，而现代的人们通过贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节前开展
商品促销活动，顾客凡购物金额满 50 元，则可以从春联和灯笼这两类礼品中任意免费领取一件，若有 3 名顾客
请把正确答案的代号填在答题卡上.
1. 若 A 0，1，2，3， B y | y 2x，x A，则 A B
A． 0，2
B． 0，1，2，3
C． 0，2，4，6
D． 0，1，2，3，4，6
2．设 x R ，则“ x 1 ”是“ x2 1 ”的
A. 充分不必要条件
B．必要不充分条件
3. 若 cos 1 ， ( ，0) ，则 tan 等于
a
的值；
2
2
(Ⅱ)如果对任意 x R ， f (x) 4 ，求 a 的取值范围．
4
2020 年高三第二次模拟考试（文科数学）答案
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 D A C A D C C D C B D B
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）