(完整版)22.3实际问题与一元二次方程(传播问题)
人教版九年级上册数学 22.3 实际问题与二次函数 第1课时 传播问题与一元二次方程教案
22．3 实际问题与二次函数 第1课时 几何图形的最大面积1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．二、合作探究 探究点：最大面积问题 【类型一】利用二次函数求最大面积小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，则另一边长为60－2x2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2·x ＝－x2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30.(2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，∵a＝－1＜0，∴S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S 最大值＝225平方米．方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件(2014·江苏淮安)用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y 平方米．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y 的最大值，与70比较大小，即可作出判断．解：(1)y ＝x (16－x )＝－x 2＋16x (0＜x ＜16)；(2)当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，解得x 1＝10，x 2＝6.所以当x ＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理得：x 2－16x ＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：y ＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64，当x ＝8时，y 有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，所以不能围成70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．【类型三】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．解：(1)M (12，0)，P (6，6)．(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2＋6＝0，解得，a ＝－16，所以这条抛物线的函数关系式为：y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16x2＋2x .(3)设OB ＝m 米，则点A 的坐标为(m ，－16m2＋2m )，所以AB ＝DC ＝－16m 2＋2m .根据抛物线的轴对称，可得OB ＝CM ＝m ，所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ，所以l ＝AB ＋AD ＋DC ＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16m 2＋2m ＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m－3)2＋15.所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.。
22.3.3实际问题与一元二次方程
∴此方程无实数解. ∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.
3.甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型 H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了 甲型H1N1流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个 传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人 患甲型H1N1流感？
22.3.2实际问题与一元二次方程
商品销售问题
问题：
1. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年片,一种贺年片平均 每天能售出500张,每张盈利0.3元.为了尽快减少库存,商场决定采取 适当的降价措施.调查表明:当销售价每降价0.1元时,其销售量就将 多售出100张.商场要想平均每天盈利达到120元,每张贺年片应降价 多少元? ①销售价在谁的基础上降价？销售量在谁的基础上多？
x 300 x 22500 0
2
解之,得
x1 x2 150 2900-x 2750
所以，每台冰箱的定价应为2750元
学以致用：
1.百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖 500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了 赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？ 分析：设商品单价为（50+x)元,则每个商品得利润 [（50+x) —40] （500 —10 x） 元，销售量为 个，
相等关系为： 总利润=每件商品的利润×件数 列方程为： （500 —10 x）·[（50+x) —40]=8000
解：设每个商品涨价x元，则销售价为（50+x)元，销售量为（500 —10 x）个， 2 则（500 —10 x）·[（50+x) —40]=8000，整理得 x 40x 300 0,
22.3-实际问题与一元二次方程-课件2
即 32 x20 x 540.
化简得：x2 52x 100 0, x1 50, x2 2
再往下的计算、格式书写与解法1相同。
第16页，共23页。
例4．某林场计划修一条长750m，断面为 等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2， 上口
宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
例. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面利 用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有 一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为
S米2，
（1）求S与x的关系式;（2）如果要围成面积为45米2的花 圃，AB的长是多少米？
【解析】(1)设宽AB为x米， 则BC为(24-3x)米，这时面积 S=x(24-3x)=-3x2+24x (2)由条件-3x2+24x=45 化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3 ∵0＜24-3x≤10得14/3≤x＜8 ∴x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米
这里a=1,b=－10,c=30,
b2 4ac (10)2 4130 20 0
∴此方程无解.
答：用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.
第4页，共23页。
3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙， 另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所 围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分 别为_______．
第1页，共23页。
上一节，我们学习了解决“流感传
播问题和平均增长(下降)率问题”， 现在，我们要学习解决“面积、体 积问题。
第2页，共23页。
例题解析
1.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠 墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应该
22.3实际问题与一元二次方程1(传播问题)
一元二次方程
概念
解法
应用
“一元”的； “二次”的； “整式”方程
1.直接开方法； 2.配方法； 3.公式法； 4.因式分解法。
1.会列一元二次 方程； 2.建立数学模型； 3.一般步骤。
复习回顾 列方程解应用题的一般步骤？
（1）审 清题意和题目中的已知数、未知数。
（2）设 未知数(单位名称); （3）列 出方程；
（4）解 这个方程，求出未知数的值；
（5）验 ①值是否是所列方程的解,
②值是否符合实际意义; （6）答 题完整（单位名称）。
2.若一人患流感每轮能传染5人， 6 则第一轮过后共有_____ 人患了流问题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人 患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
3. 参加中秋晚会的每两个人都握了一次手，所有 人共握手10次，设有X人参加聚会，则列方程为 （ ）
1.列一元二次方程解应用题的步骤，即
审、设、列、解、验、答
2.温馨提示： 在列一元二次方程解应用题时，由于 所得的根一般有两个，所以要检验这 两个根是否符合实际问题的要求．
作业 布置 第21页复习巩固
分析：（1）题目中的已知量和未知量分别是什么？ （2）若设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么 x 人；第一轮传染后， ①患流感的这个人在第一轮传染中传染了___ x+1 共有 人患了流感. ②在第二轮传染中，传染源是 x+1 人，这些人中每一个人又传 染了 x 人，那么第二轮传染了 (x+1)x 人，第二轮传染后， 共有 1+x+（1+x）x 人患流感. （3）题目中的等量关系是什么？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据题意得方程： 1+x+（1+x）x=121. 解方程得 x1=10 , x2=-12. 因为传染人数不可能为负数，所以x=-12不合题意舍去. 所以 x=10. 答：每轮传染中平均一个人传染了10人.
《实际问题与一元二次方程》(传播、增长率问题问题)课件
探究2：某种植物的主干长出若干数目的支干， 每个支干又长出同样数目的小分支，主干、 支干、小分支的总数是111.求每个支干长出 多少个小分支．设：每个支干长出x个小分支
每两人赠两次
1个人
赠送(x-1)人
共计 x(x-1)图书
探究一：循环问题
2、在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参
加这次聚会，则列出方程正确的是( B )
A．x(x－1)＝10
B. xx 1 10
C. x(x + 1)＝10
D. xx2 1 10
2
1个人
3、某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降 到80元，则平均每次降价的百分率为____2_0_%__．
小结
本节课我们学习了几种问题： 传播问题、增长率问题 解决问题的步骤： 审、设、列、解、答
探究一：循环问题
1、“山野风”文学社在学校举行的图书共享仪式上互
赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送
设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 则第一轮的传染源有 1 人，有 x 人被传染，
第二轮的传染源有 x+1 人，有 x(x+1) 人被传染.
1 x 传染源 1人
每人传染x人
传染了
传染后
结果
（x+1）人
传染源
每人传染x人
传染后
21.3 实际问题与一元二次方程(第3课时) 人教版数学九年级上册同步习题(含答案)
.
答：2 秒后△PBQ 的面积等于 8cm2． 3、解：（1）设每件衬衫应降价 元.
则依题意，得：（40- ）（20+2 ）=1200，
整理，得
，解得:
.
∴若商场平均每天赢利 1200 元，每件衬衫应降价 10 元或 20 元． （2）设每件衬衫降价 元时，商场平均每天赢利最多为 y，
则 y=（40- ）（20+2 ）=
◆典例分析
一辆汽车以 20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行 25m 后 停车． （1）从刹车到停车用了多少时间? （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少? （3）刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）? 分析:本题涉及到物理学中的运动知识,具体分析如下: （1）刚刹车时时速还是 20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为 0．因为刹车以后，其速度
∴ （20-4 ）=15,整理得：
,
解方程：得 =
,∴ ≈4.08（不合题意，舍去）， ≈0.9（s）.
∴刹车后汽车滑行到 15m 时约用了 0.9s.
◆课下作业
●拓展提高
1、为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的
人均约为
提高到
若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ）
Q
AP
B
3、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢
利
40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发
现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出 2 件．
（1）若商场平均每天赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
22.3实际问题与一元二次方程(销售问题)
2
x 30 0 .5
x 1 0 .5 = 2 7 5 0 .5
整理得： 2 x 1 1 x 5 = 0 解得：
x1 = 5 ， x 2 = 0 .5
答：当每间商铺的年租金定为15万元或10.5万元时，该公司的年收益为 275 万元.
解：设每件应涨价 x 元，依题意得
5 500 - 10 x =8000
x 40x 300= 0
x1 = 1 0 ， x2 = 30
当x=10时，进货量为： 5 0 0 -1 0 x = 5 0 0 -1 0 1 0 = 4 0 0（个） 当x=30时，进货量为： 500-10x= 500 -1 0 30 = 20 0（个）
40 - x 20 2 x =1200
整理得： 解得：
x 30x 200= 0
x1 = 1 0 ， x2 = 20
2
为了减少库存，则降价越大，售出越多，库存就越少.故应降价20元.
答：要盈利1200元的利润，每件应降价20元.
练习 2
某公司投资新建了一商场，共有商铺 30 间．据预测，当每间 的年租金定为 10 万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000 元，少租出商铺 1 间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用 1 万元，未租出的商铺每间每年交各种费用 5000 元． (1)当每间商铺的年租金定为 13 万元时，能租出多少间？ (2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益为 275 万元？ (收益＝租金－各种费用) 解：（1）5000元=0.5万元 少租的间数为：（13-10）÷0.5=6（间） 租出的间数为： 30-6=24（间） （2）设每间的年租金增加 x 万元，依题意得
22.3实际问题与一元二次方程
探究2
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生 产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技 术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是 3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元， 哪种药品成本的年平均下降率较大?
自学教材46页探究2，按要求回答下列问题，自学 后能讲解本问题。（6分钟） 1、药品成本年平均下降额与年平均下降率有什么 区别和联系？ 2、列方程求出乙种药品成本的年平均下降率。 3、思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降 额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗 ?应 怎样全面地比较对象的变化状况? 4、你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关 系是吗？
B.500(1+x)2=720 D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两 年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器 材投资上的平均增长率是x,则可列方程为
*3.美化城市，改善人们的居住环境 已成为城市建设的一项重要内容。某 城市近几年来通过拆迁旧房，植草， 栽树，修公园等措施，使城区绿地面 积不断增加（如图所示）。（1）根 据图中所提供的信息回答下列问题： 2001年底的绿地面积为 60 。 公顷，比2000年底增了 4 。 公顷；在1999年，2000年，2001年这 三年中，绿地面积增加最多的是 ____________年； 2000 （2）为满足城市发展的需要，计划 到2003年底使城区绿地面积达到72.6 公顷，试求2002年,2003年两年绿地 面积的年平均增长率。
则：(1)第一年的本息和为：2000+2000X(1-20%)x 整理为：2000+1600x;
人教版九年级上册数学全册教案21.3 实际问题与一元二次方程
6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2；n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.活动1创设情境1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．2．如图所示：(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm 的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm 的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．活动2自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动3变式练习如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．答案：路的宽度为5米．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．课堂总结．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n 次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．。
223实际问题与一元二次方程辅导资料(含答案)
22.3实际问题与一元二次方程【当堂检测】中的第 1、2题，【课时作业】中的第 1, 2, 11题.的答案.一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下:(1)审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系(2)设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设 (分直接与间接).(3) 列：是指列方程，根据等量关系列出方程列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关 系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性, 进一步提咼分析冋题、 解决问题的意识和能力。
在利用一元二次方程解决实际问题，特别要对方程的解注意检验, 根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性.主要学习下列两个内容:1.列一元二次方程解决实际问题。
一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤：审、设、 列、解、验、答六个步骤，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程 (组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键.主要设置了【典例引路】中的例 1、例2、例4.2. 一元二次方程根与系数的关系。
一般地，如果一元二次方程ax 2+ bx + c = 0 (a M0bc的两个根是和x 2 ,那么x 1 + x 2 = - — , x 1 ?x 2 = 一 .主要设置了 a a堂检测】中的第 4题，【课时作业】中的第 6、7题.【典例引路】中的例 3.【当知识点击点击一： 列方程解决实际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的 一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系, 从而正确地列出方程.概括来说就是实际问题数学模型一一数学问题的解 实际问题(4) 解：就是解所列方程，求出未知量的值(5) 验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义,不满足要求的应舍去.(6) 答：即写出答案，不要忘记单位名称程(组)解应用题的关键.针对练习1:某城市2006年底已有绿化面积 300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐方程正确的是( )贝y X 1+X 2= 根据以上(1)(2)(3 )你能否猜出:如果关于X 的一元二次方程 mx 2+ nx+p=0 (斤产0且m 、n 、p 为常数)的两根为 X 1、X 2, 那么X 1+X 2、X 1、X 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方年增加，到2008年底增加到363公顷.设绿化面积平均每年的增长率为 X ,由题意，所列A . 300(1 + x)=363 2300(1 +C . 300(1 + 2x)=363363(1 — X )2=300【解析】B设平均增长百分率为X ,由题意知基数为 300公顷,则到2004年底的绿化面积为：300+300x=300 (1+X )(公顷)；至^ 2008年底的绿化面积为:300 (1+X ) +300(1 + X )x=300 (1+X ) 2公顷，而到2008年底绿化面积为 363公顷，所以300(1 + x)2=363 .点击二：一元二次方程根与系数的关系元二次方程根与系数的关系。
22.3实际问题与一元二次方程(增长率问题)
a(1 x) b
2
练习:
雪融超市今年的营业额为280万元，计划后 年的营业额为403.2万元，求平均每年增长 的百分率？
练习卷第15题
设平均每年增长的百分率为x，依题意得：
280(1+x)2=403.2
探究:
政府要降低药品价格,某针剂单价由100元经过
两次降价,降至64元,设平均每次下降的百分率
问题:
某校去年对实验器材的投资为2万元, (1)若设该校今年在实验器材投资上的平均增长 率是x,则今年的投资总额是 2+2x 即=2(1+x) ； (2)该校明年在实验器材投资上的平均增长率也 是x,则明年的投资总额是 2(1+x)+2(1+x)x ， =2(1+x)(1+x)=2(1+x)2 即 ； 复习:1、因式分解：
(1)2+2x
(2)2(1+x)+2(1+x)x
2、解方程:
2 （1） 100(1 x) 64
复习:
3、2万元增长10%是 2+2×10%=2+0.2=2.2万元 。
4、列一元二次方程解应用题的步骤？
①审题， ②设未知数，
③找等量关系， ④列方程，
⑤解方程， ⑥检验，⑦写答.
3000(1+x)+ 2 3000(1+x) 3000(1+x)x
解:设这两个月的平均增长率为x,依题意有
3000(1+x)2=3630
归纳:
1、增长率问题：设基数为a，平均增长
率为x，则一次增长后的值为 a(1 x) ，
二次增长后的值为
a(1 x) ．
22.3.1实际问题与一元二次方程(一)
4.某种药剂原售价为4元, 经过两次降价, 现 在每瓶售价为2.56元,问平均每次降价百分 之几?
5.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本 降低19%，那么平均每年需降低百分之几?
6、已知两个连续奇数的积等于399,求这两个数.
7、某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现 每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每
(2)上网计算机总台数2001年12月31日至 2003年12月31日与2000年12月31日至2002 年12月31日相比,哪段时间年平均增长率较 大(参考下图)?
2000年1月至2003年12月我国上网计算机总台数
3200 2400 1600 800 0
892 350 2000年 1月1日 2000年 12月31日 2001年 2002年 2003年 年份 12月31日 12月31日 12月31日 1254 上网计算 机总台数 (万台) 3089 2083
x
结束寄语
• 运用方程（方程组）解答相关 的实际问题是一种重要的数学 思想——方程的思想. • 一元二次方程也是刻画现实世 界的有效数学模型.
8.截止到2000年12月31日,我国的上网计算机 总台数为892万台;截止到2002年12月31日,我 国的上网计算机总台数已达2083万台. （1）求2000年12月31日至2002年12月31日 我国 计算机上网台数的年平均增长率(精确 到 0.1%);
盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽
培条件,若每盆每增加1株,平均单株盈利就减 少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该
植多少株?
8.一个直角梯形的下底比上底大2cm，高比上底 小1cm，面积等于8cm2，求这个梯形的周长。 9.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干 又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支 的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 10.如图，利用一面墙（墙的长度不限）， 用20m长的篱笆，怎样围成一个面积 为50m2的矩形场地？ x 20-2x
一元二次方程与实际问题 文档
22.3 实际问题与一元二次方程一、传播问题1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一人传染了几个人？2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个分支？3、有一人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发短信，一个人向多少人发送？4、某课外活动小组有若干人，圣诞晚会上互送贺卡一张，全组人共送出贺卡72张，则此小组共有多少人？5、一棵树主干长出若干个支干，每个支干又长出支干2倍的小分枝，主干、支干、小分枝共有56个，求主干长出几个支干？二、增长率问题1、两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元。
哪种药品成本的年平均下降率较大？2、为了让河南的山更绿、水更清，2010年河南省委、省政府提出了确保到2012提实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知2010年我省森林覆盖率为60.05%，设从2010年起我省森林覆盖率的年平均增长率为x ，则可列方程为 .3、某厂今年3月份的产值为50万元，4月份和5月份的总产值是132万元，设平均每月增长率为x ，则可列出的方程是 .4、某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50%，现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量增长率的21，求新产品花生亩产量的增长率？ 5、某商品经过两次降价，零售价变为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？6、某农户的粮食产量平均每年的增长率为x ，第一年的产量为6万千克，那么三年的总产量为 .7、已知小芳家今年5月的用电量是120千瓦时，根据去年5月至7月用电量的增长趋势，预计今年7月的用电量将达到240千瓦时，若去年5月至6月用电量月增长诣6月至7月用电量增长率的1.5倍，则预计小芳家今年6月的用电量是多少千瓦时？三、与面积有关的问题1、要设计一本书的封面，封面长27cm ，宽21cm ；正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形。
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（1）审题，分析题意. 找出已知量和未知量，弄清它们之间的数量 关系； （2）设未知数. 一般采取直接设法，有的要间接设； （3）寻找数量关系，列出方程. 要注意方程两边 的数量相等，方 程两边的代数式的单位相同； （4）选择合适的方法解方程. （5）检验
因为一元二次方程的解有可能不符合题意，如：线段的长度不 能为负数，降低率不能大于100％．因此，解出方程的根后，一定 要进行检验 （6）写出答语.
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，依题意得：
1+x+x(1+x)=81 解得： x1=8 ， x2=-9 （不合题意，舍去）
第3轮感染后总电脑台数为：81+81×8=729 >700 答：每轮发送短信一个人要向8个人发送该短信；3轮感染后，被感染的电
脑会超过700台.
第二轮后共有 1 x x1 x 人患了流感．
列方程 1+x+x(1+x)=121
解方程，得 x1=_____1_0_____, x2=_____－__1_2______.
平均一个人传染了____1_0_____个人．
如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
三轮传染的总人数为： 121+121×10 =1331(人)
思考：四轮转染后，有多少人患流感？
1331+1331×10 =14641(人)
有一人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送 人数发送该短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上 获得同一条信息。则每轮发送短信一个人要向多少人发送 该短信？
解：设每轮发送短信一个人要向x个人发送该短信，依题意得：
1+x+x(1+x)=100 解得： x1=9 ， x2=-11 （不合题意，舍去）
探 究1
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患 了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人． 开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个
人，用代数式表示，第一轮后共有 x 1 人患了流感；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式示，
…… ……
小 分
……
小 分
小 分
支
支
支
x
x
支干
……
x
支干
答:每个支干长出9个小分支.
主
1干
（2009广东中考）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑 被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学 过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ 若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会 超过700台？
答：每轮发送短信一个人要向9个人发送该短信.
习题22.3 4.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样
数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少
小分支? 解:设每个支干长出x个小分支,依题意得：
x2
1+x+x2=91
小
分
解得,Βιβλιοθήκη 支x1=9, x2=－10(不合题意,舍去)