第七章 数学物理定解问题习题 数学物理方法梁昆淼
数学物理方法(梁昆淼)chapt7
x0
x0
( x)
1 1 x at u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d 2 2a x at
x (t ) a
1 1 x at 1 at x u ( x, t ) [ ( x at ) (at x)] ( )d ( )d 2 2a 0 2a 0
n
xl
f (t )
u f (t ) (Ys ) x x l
ux
k
x l
ux
二齐
x l
f (t ) Ys
若为自由振动 f (t ) 0 例2 细杆导热问题
f (t )
xl
0
流出 流入
u f (t ) x x l u k f (t ) x x l
端点绝热 f (t ) 0
utt a2uxx 0在x0无意义
u1x ( x0 ) u2 x ( x0 )
例 均匀细杆长为 l ， x 0 固定，
（1）另一端受着沿杆方向的力 Q ，如果开始的一瞬间 t 0 突然停止力的作用，求杆纵振动的定解条件。
振动方向
t0
x0 xl
t 0 时， Q 沿杆长方向加于杆的另一 （2）处于静止状态中， 端，写出定解条件 力从 t 0 开始作用在 x l
x (t ) a
4
utt a uxx 0
2
(0 x , t 0)
半无界区间内的一维自由振动
u x0 f (t )
u t 0 ( x)
ut t 0 ( x)
非奇非 偶延拓
一非齐
(0 x )
数学物理方程及其定解问题
3.定解问题的整体性(除上述两种类型外的 数学物理方程)
4.定解问题的适定性
4
一. 无界弦的自由振动
1. 无界弦的自由振动 (1)无界弦的含义：无界弦不是指无限长的弦，是指所关 心的那一段弦远离两端，在所讨论的时间内，弦两端的影响来 不及传到这段弦上，因而认为弦的两端在无限远，就不必给弦 的两端提出边界条件。 定解问题 初值问题
x at, x at
得方程的通解
u f1 ( x at) f 2 ( x at)
通解的物理意义: f2 ( x at ) 正行波, f2 ( x at ) 反行波
6
⑵ 利用定解条件来确定函数 f1 ( x), f 2 ( x)
由初始条件得
u ( x, 0) f1 ( x) f 2 ( x) ( x) ut ( x, 0) af1 ( x) af 2 ( x) ( x)
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第七章 数学物理方程及其定解问题
1.数学物理方程的导出 2.定解条件 3.数学物理方程的分类 4.达朗贝尔公式 定解问题
1
3.数学物理方程的分类
15
三. 一般情况下的数学物理方程
一般情况下，无法像对无限长弦那样，先求通解，然后用定解条件 求特解。
定解问题的整体性
物理问题
数学问题
定解问题是一个整体
四 . 定解问题的适定性
如定解问题满足 (1) 有解 (2) 解是唯一的 (3) 解是稳定的 则称此定解问题是适定的。 因为定解问题来自实际。
数学物理方法期末复习
f
(x)
k 0
bk
sin
(k
1 )
2 l
x
bk
2 l
(k 1) x
l
f (x)sin
2 dx
0
l
12
(4)、边界条件为 f (0) 0, f (l) 0
根据边界条件 f (0) 0应将函数f(x)对区间(0,l)的端点 x=0作偶延拓。又根据边界条件f (l)=0 ，应将函数f(x) 对区间(0,l)的端点x=l作奇延拓，然后以4l为周期向整
ak
k 1
cos k x l
a0 ak
1 l
2 l
l
f (x)dx
0 l
f (x) cos
0
k x
l
dx
g(x) g(x)
4l f (0) f (l) 0
g(2l x) g(x)
f
(
x)
k 0
ak
cos
(2k
1)x 2l
ak
2 l
l 0
f (x)cos(2k 1)x dx 2l
z1 x1 iy1 z2 x2 iy2
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
(2)、乘法和除法
z1z2 (x1 iy1 )( x2 iy2 )
(x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1 )
z1
z1
z
* 2
z2
z2
z
* 2
(x1 iy1)(x2 iy2 )
x22
y
梁昆淼_数学物理方法第7章
T1
x
x+x
x
ds (dx) (dy ) dx
2 2
sin 2 tg 2 u x
x x
sin 1 tg1 u x
x
(Tu x ) x dx (Tu x ) x dxutt
T2 T1 T
T (u x
T (u x
x dx
2 2 2 2 2 2 x y z
令
2 2 2 2 2 2 x y z
2 2 2 2 2 2 x y z
记
u utt 2 t
2
u ut t
u xx
2u x 2
有时记
2 2 2 2 2 x y
2 2 2 3 2 2 2 x y z
（二）、数学物理方程的导出
1、弦的横振动
弦的横向位移为 u(x,t)
dm ds
T2 cos 2 T1 cos1 0
u u( x ,t )
1
M1
M2
T2
2
T2 sin 2 T1 sin 1 dmutt
0
x
a
则热流强度与杆端 u|x=a 和周围介质温度有差关系
qx
xa
u k n
u x a k x
xa
h(u xa )
(u Hu x ) xa
H k /h
x=0 处
0
x
a
x 0
qx
x 0
u u k x 0 k n ( x) u h(u x0 ) k x 0 x
dV
E / 0
数学物理方程(很好的学习教材)
数学物理方程(很好的学习教材)
二、数学物理方程的一般分类
一般分类 按自变量的个数，分为二元和多元方程； 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和 非线性微分方程； 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二 阶和高阶微分方程。
由能量守恒定律 c ρdx du=dQ =[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt =-qx(x,t)dxdt
于是有 c ρut = -qx 由热传导定律 q(x,t) = -k ux(x,t) 代入前面的式子，得到 c ρut = k uxx ut = a2 uxx
a2 = k/(cρ)
数学物理方程(很好的学习教材)
四、常见数学物理方程的定解条件
波动方程
方程形u式 tt ： a2u f 定解条初 件边始界条条件件：：包第含一 位初 第类 移始 二或 ”“ 类者 和或初者始第“三速
输运方程
方程形u式 t a： 2uf 定解条边 件初 界始 条条 件件 ：： 第物 一 第理 类 始 二量 或 时 类在 者 刻 或初 的 者值 第
三类线性边界条件
第一类边界条 u(x件 ,y,： z,t)边界x0,y0,z0 f(x0,y0,z0,t)
第二类边界条件： u n边界x0,y0,z0
f(x0,y0,z0,t)
第三类边界条 u件 H： u
n边界x0,y0,z0
f(x0,y0,z0,t)
初始条件
定解条件
边界条件
数学物理方程(很好的学习教材)
u u 2u u u 2
2
yy
y数学物理方程(很好y的学y习教材) y
yyu
yy
于是，方程化为：
第七章 数学物理定解问题习题 数学物理方法梁昆淼
第七章 数学物理定解问题1. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为5/1处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。
横向位移),(t x u 的初始条件为⎩⎨⎧≤<-≤≤==)5/()4/()(5)5/0(/5,0l x l l x l h l x l hx u u t 。
2.数学物理方程定解问题的适定性是指解的_存在性__，__唯一性__，__稳定性_。
3.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为3/l 处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。
横向位移),(t x u 的初始条件为.0)0,(u ; )3/( ,2/)(3)0,( )3/0( ,/3)0,(t =≤≤-=≤≤=x l x l l x l h x u l x l hx x u 和4. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为5/9处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。
横向位移),(t x u 的初始条件为、95,[0,]59(,)9()5,[,]49t hx l x l u x t h l x l x l l =⎧∈⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩。
5. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为3/2处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。
横向位移),(t x u 的初始条件为⎩⎨⎧≤<-≤≤==)3/2(/)(3)3/20(2/3,0l x l l x l h l x l hx u u t 。
6.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为6/l 处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。
横向位移),(t x u 的初始条件为 。
7. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端四分之一处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。
横向位移),(t x u 的初始条件为 0)0,(u ; )4/( ,3/)(4)0,( )4/0( ,/4)0,(t =≤≤-=≤≤=x l x l l x l h x u l x l hx x u 和。
数学物理方法第七章数学物理定解问题
本篇介绍物理学中常见的三类偏微分方程及有关的定解问 题和这些问题的几种常见解法。
二、边界问题----边界条件
对于具体的系统，要解出满足该系统所处条件下的方程， 必须考虑到系统周围的环境，不同系统，其周围环境不同， 即边界的区别。即使它们的满足同样的方程，但它们的解 不应该相同。因此，需要知道系统周围环境所处的状态。 体现边界状态的数学方程称为边界条件。 三、历史问题----初始条件 历史上的扰动对以后的状态会有很大的影响。比如：分 别用薄的物体和厚的物体敲击同一弦，研究其后的振动。虽 然，它们满足相同的数学方程，但初始情况不同，方程的解 不应该相同。要求解方程必须知道初始扰动的情况。体现历 史状态的数学方程称为初始条件。
描写微观粒子运动的 Schrodinger方程和 Dirac 方程
等等
第七章
数学物理定解问题
重点
1、从实际问题中建立数学物理方程的基本3、行波法研究一维波动方程解的方法和解的表示
形式、以及解的物理意义。
第七章 数学物理定解问题
一、数学物理方程
数学物理方程是从物理问题中导出的反映客观物理量在各 个地点、各个时刻之间相互制约关系的数学方程。换言之， 是物理过程的数学表达。如 牛顿定律、热传导定律、热量守 恒定律、电荷守恒定律、高斯定律、电磁感应定律、胡克定 律。
u
例1 弦在阻尼介质中振动，单位长 T1
度的弦所受的阻力为
a1
B
F=-Rut 推导弦的振动方程。
dsRu t
a2
T2
x x+dx
x
解：如图 选坐标系,以dx段为研究对象，弦无纵向振动
X 方向：T 2 cosα2 T1 cosα1=0
数学物理方法(梁昆淼)总复习
i 1 li n
复通
l
公式 2 if ( )
l
f ( z) dz z
2 if ( )
l
n f ( z) f ( z) d d z k 1 lk z
求路径积分
第一类情形：沿非闭合曲线的积分
在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析 F ( z) 和 G( z) 的；当 z 在上半平面或实轴上 时， 一致地趋于零
0
1 F ( x) cos mxdx F ( x)e imx dx 2 imz
i{F ( z)e 在上半平面所有奇点留数之和}
0
1 G ( x)sin mxdx G ( x)eimx dx 2i imz {G( z)e 在上半平面所有奇点留数之和}
2
utt a uxx 0
2
(0 x , t 0)
半无界区间内的自由振动问题
u x 0 0
u t 0 ( x)
ut t 0 ( x)
奇延拓
一齐
( x)
( x)
u t 0 ( x)
x0
x0
( x)
ut t 0 ( x)
本性奇点 0 z z0 R内的洛朗级数含有无限个 z z0的负幂项
f ( z)
k k a ( z z ) k 0
z z0
lim f ( z )
不存在
如何判断极点的阶
z z0
lim[( z z0 ) f ( z )] 非零有限值
m
梁昆淼-数学物理方法
xat
2d
2
2a xat
cos x cos at 2t
( x)
u0
x1
x2
x1 x2
2
u(x,t) t0 (x)
例：求定解问题
utt a2uxx 0
ut (x,t) t0 0
2u0
x x1 x2 x1
x1
x
x1
2
x2
2u0
x2 x x2 x1
x1
x2 2
x
x2
0
x x1, x x2
u(x,t) 1 [(x at) (x at)]
2
u(x,t) 1 [(x at) (x at)]
2
u0
x1
x2
t 0
t t1 t t2
（二）、端点反射
utt a2uxx 0
u(x,t) t0 (x) ut (x,t) t0 (x)
Hu0
0 2
例2：一根导热杆由两段构成，两段热传导系数、比热、密
度分别为kI, cI, I, kII, cII, II, 初始温度为u0, 然后保持两端
温度为零，写出热传导问题的定解方程。
解：
第一段
ut I
kI
cI I
uxx I
0
x1
x
x2
x3
uI t0 u0
at)
1 2
(x
at)
1 2a
xat
(
)d
C
x0
2
u 1 [(x at) (x at)] 1
Chap 7 数学物理定解问题-20140925
L
n
aij
i, j1
2 xix j
n i1
bi
xi
c,
则上述方程可表示为: Lu f . L 是线性算符, 从而有:
Lc1u1 c2u2 c1L u1 c2L u2 . 特别地,当 f = 0 时, 称方程
是齐次方程.
11
叠加原理 I 设 ui 满足线性方程 Lui fi (或满足线性定解条件), 则其线性
特别地，当 u 满足齐次方程（或齐次定解条件）时，U 也满足此齐次方程 （或齐次定解条件）。
微分方程中的叠加原理实际上是物理规律中的叠加原理的反 映。我们知道几个物理量同时存在时的效果常常等价于各个物理 量单独存在时效果的叠加。叠加原理又称为独立作用原理。叠加 原理是线性问题和非线性问题最本质的区别。在非线性的情况下， 方程 Lu ci fi . 特别地, 当 fi 0 (或边界条件为
i 1
i 1
齐次) 时, u 也满足此齐次方程.
叠加原理 II 设 ui 满足线性方程 Lui fi (或满足线性定解条件), 又假设
它们的线性组合 u ciui 满足这样的条件, 保证求导与求和的运算能够
i Hˆ , Hˆ
2
V.
t
2m
如果势能函数不显含时间，则上述方程可简化为：
H E .
定态 Schrödinger 方程
10
一般地, 二阶线性偏微分方程可写为
n
aij
i, j1
2u xix j
n
bi
i 1
u xi
cu
f
.
定义偏微分算符
i 1
理学梁昆淼数学物理方法PPT学习教案
u0
x1
x2
t 0
第24页/共52页
t t1 t t2
（二）、端点反射
utt a2uxx 0
u(x,t) t0 (x) ut (x,t) t0 (x)
u(x,t) x0 0
例：求一端固定弦的振动情况 （反射波定解问题）
(0 x )
O
x
(0 x )
(t 0)
u f1(x at) f2(x at) 代入初始条件
(t x ) a
x at 即t x a
u 1 [(x at) (x at)] 1
xat
( )d
2
2a xa t
1 [(x at) (at x)] 1
xat
( )d
2
2a 0
1
0
[ ( )]d
2a xa t
1
0 [ ( )]d 1
0
( )d
2a xa t
2a a tx
u(x,t) t0 (x) ut (x,t) t0 (x)
u(x,t) x0 0
(0 x ) (0 x ) (t 0)
u(x,t) x0 0
求解中有 f2(x) f1(x)
提示无限长杆u(x,t)是奇函数
(x 0)
提示无限长杆初始位移 (x)和初始 (x)是奇函数
第31页/共52页
(x)
(x 0)
(x) (x) (x 0)
(x)
(x 0)
(x) (x) (x 0)
称 为 沿
拓
u 1 [(x at) (x at)] 1
xat
( )d
2
2a xa t
u 1 [(x at) (x at)] 1
数学物理方法 7 数学物理方程的定解问题
q xdx
y
dy
负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反
( x, y, z ) dx
x
q q d x d y d z , dxdydz 同理沿y 和沿z方向净流入量 y z 单位时间内向V的净流入量 q dxdydz q dxdydz q dxdydz x y z u 单位时间内V内粒子数的增加量 dxdydz t
泊松方程
3 u 0
2019/2/26
拉普拉斯方程
18
例1 热传导
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。 数学建模： 所要研究的物理量： 温度
u( x, y, z, t )
设定： 温度不均匀: 用温度梯度u 表示；
传热的强弱即热流强度：用单位时间内通过单 位面积的热量 q 表示；
三、定解问题
特殊性，即个性。
泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。
2019/2/26 5
它反映了问题的共性。
5
具体问题求解的一般过程：
1、根据系统的内在规律列出泛定方程——客观规律． 2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件——求解所必须的已知条件．
6
3、求解方法 —— 行波法、分离变量法、积分变换法、格林 函数法和变分法
物理规律：采用傅里叶实验定律
傅里叶定律：
q k u
热传导系数
u ˆ n 沿曲面法向流出热量：qn k n
2019/2/26 19
处理方法：在温度不均匀的无源空间，划出任一封闭曲面S包 围的体积元V（如图）。 ①在S 上选取任一足够小的微面元dS，在此 面元范围内热流强度近似为常量。
T2 cos 2 T1 cos 1
数学物理方法-第七章 数学物理方程的定解问题-文档资料
u dxdydz t
二者相等得连续性方程
u (uv x ) 0 t x
q u dxdydz dxdydz x t
表示物质的总量守恒
3.流体力学与声学方程 A.连续介质性质： 当振动在液体和气体中传播时，液体和气体就成为传播振动 的连续介质。在其中取一个小的立方体，可以定义介质在此 的密度 ρ，速度 v 和压强 P。 振动引起密度的疏密变化。
d2y f m 2 m ytt m utt dt
T2 sin 2 T1 sin 1 ( dx)utt
小振动：
1 0, 2 0, cos1 1, cos 2 1.
sin 1 tan 1 u x
x
ux
x
sin 2 tan2 ux
不含时的解满足方程
( )u 0 u
此为拉普拉斯方程。即稳定的浓度分布和温度分布，其浓度和温度满足 拉普拉斯方程。
8.真空静电场 高斯定理
D dS dV
S V
D 0 E
V
1 E dV
0 V
dV
1 E
又 真空还有 最后： 9.薛定谔方程
p p0 (
) p0 (1 s) p0 (1 s) 0
p vt 0 s
1 vt p
0
p p0 (1 s)
0
p vt 0 s
0
st v 0
stt a 22 s 0
a2
系统的温度
能量守恒，满足连续性方程 傅立叶定律：
q ku
q 热流强度 ：单位时间通过单位面积的热量。
数学物理方法 第7章 定解问题
( t ) dt r ( t ) 1 p ( t ) dt ， r ( t dt ) r ( t ) r m ( t ) dt p ( t ) F ( t ) dt p ( t dt ) p ( t ) p
因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求 出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程
T sin 2 T 2 cos
2 2
T1 cos 1 0 u
2
T1 sin 1 F ( x , t ) ds ( ds )
t
2
其中 为单位长度弦的质量， ( x , t ) 为单位 F
长度的弦所受的横向外力，ds 为 B 段弦的长度。 因研究的弦振动为微小振动， 所谓微小振动是指 弦 上 质 点离 开平 衡 位置 的 最大 位移 远 小于 波 在 弦中传播的波长，
2
【讨论】
数学物理方程导出的主要步骤： (1)选取一个坐标系，选择适当物理量。 (2)建立一个理想模型，理想情况下物理量才具有较好 的数学性质，如“柔软的弦”表明 u ( x , t ) 具有连续的 偏导数。 (3)找出该物理过程所遵循的运动规律，取一微元为代 表，将物理规律应用于该微元，列出方程。 (4)作适当的近似，并化简最后得出描述该物理过程的 数学物理方程。 (5)所得方程的正确性必须由实验验证，数学上的演 绎、推导只表明理论的自恰
2 u u xx u yy 、 u u xx u yy u zz 。常数 a 具有速度
量纲，以后将看到 a 就是波速。
二、输运方程
1．扩散方程
u t D ( u ) 0 ，或 u t a u 0 （其中 a
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第七章 数学物理定解问题
1. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为5/1处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。
横向位移),(t x u 的初始条件为
⎩⎨⎧≤<-≤≤==)5/()4/()(5)5/0(/5,0l x l l x l h l x l hx u u t 。
2.数学物理方程定解问题的适定性是指解的_存在性__，__唯一性__，__稳定性_。
3.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为3/l 处
把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。
横向位移),(t x u 的初始条件为
.0)0,(u ; )3/( ,2/)(3)0,( )3/0( ,/3)0,(t =≤≤-=≤≤=x l x l l x l h x u l x l hx x u 和
4. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为5/9处
把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。
横向位移),(t x u 的初始条件为、
95,[0,]59(,)9()5,[,]49t hx l x l u x t h l x l x l l =⎧∈⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩。
5. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为3/2处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。
横向位移),(t x u 的初始条件为
⎩⎨⎧≤<-≤≤==)3/2(/)(3)3/20(2/3,0l x l l x l h l x l hx u u t 。
6.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为6/l 处
把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。
横向位移),(t x u 的初始条件为 。
7. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端四分之一
处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。
横向位移),(t x u 的初始条件为 0)0,(u ; )4/( ,3/)(4)0,( )4/0( ,/4)0,(t =≤≤-=≤≤=x l x l l x l h x u l x l hx x u 和。
8. 求解波动方程)(0
+∞<<-∞=-x u u xx tt 满足 初始条件 x x u x u t t t cos ,200====的定解问题。
(本小题 10 分) 解： 由达朗贝尔公式可得
)2()sin()sin()cos()()cos()()]sin()()sin()[(2
1)
2(cos |cos )]sin()()sin()[(2
1)2(sin |sin 2
1)4(cos 2
1)]()[(21222222分分分分t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x x d t x t x t x t x x d x d t x t x u t
x t x t x
t x t x t x t x t x t x t x -++----+++---+++=-+---+++=-+=+-++=⎰⎰⎰+-+-+-+=-=+-ξξξξξξξξξξξξξξ。