分式方程与无理方程(非常规)

分式方程与无理方程（非常规）

例1、求方程x+2-x ＝4＋2的实数解 例2、解方程x a -+b x -=b a -（a ＞b ） 例3、解方程x x 1-

＋x

1-1=x 例4、解方程1-x +24-y +39-z =2

1

（x+y+z ） 例5、解方程x -5+x +2=5+2

例6、求方程的整数解2x +y 2=32 例7、已知实数x 1，x 2，•••x n 满足

1+2

11

x x =

1

+2

22

x x =•••=

1

+2

n n x x ，

x 1+x 2+•••x n +

11x +21x +•••+n x 1=3

10

。 求x 1 例8、已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且a+b 1=b+c 1=c+d 1=d+a

1

=x ， 试求x 的值

例9、已知关于x 的方程（a 2

-1）(1-x x )2-(2a+7)( 1

-x x

)+1=0有实数根 （1）求a 的取值范围

（2）若原方程的两个实数根为x 1,x 2,且1-11x x +1-22x x =11

3

，求a 的值

练习： 1、方程 x -

x 4=x

x 3的实数根的个数为 个 2、如果a+b-21-a -42-b =33-c -

2

1

c-5，则a+b+c 的值为 3、若方程p x -=x 有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是

4、若实数x ，y ，z 满足x+

y 1=4，y+z 1=1，z+x 1=3

7

，则xyz 的值为 5、满足x y +x y-x 2003-y 2003+xy 2003=2003的正整数对的个数

是

6、已知

a 1-a =1，那么代数式a

1

+a 的值为 7、对于x 的哪些实数值，等式12-+x x +1-2-x x =2成立？

8、解方程16+16x

+x

x +16=

416x

分式方程与无理方程

解分式方程与无理方程时，主要用到的技巧有观察法、配方法、换元法、数形结合法、韦达定理法、方程的不等式解法等。解题时，要注意从方法技巧的角度去提高分析问题、解决问题的能力。

例1、求方程x+2-x ＝4＋2的实数解

解：显然x ≥2，观察方程两边，取⎩⎨⎧2

=2-4

=x x 得x=4

令y=2-x ，则原方程变形为y 2

＋y ―(2＋2)=0，此方程有两个异号

的实根，从而有唯一的非负根。 经检验知，x=4是原方程的实数解.

例2、解方程x a -+b x -=b a -（a ＞b ） 解：显然有b ≤x ≤a ，

观察知，x 1=a ，x 2=b 是原方程的解. 当b ＜x ＜a 时，有x a -≥0，b x -≥0

以x a -、b x -为直角边作直角三角形，则斜边为b a - 由三角形任意两边之和大于第三边得，x a -+b x - ＞b a - 所以除x 1=a ，x 2=b 外，原方程再无实数解 经检验知，x 1=a ，x 2=b 是原方程的解

说明：观察法解方程的缺点是有时会减根，因此在用观察法初步得出方程

的解之后，还要全面考虑，找到方程的全部解。

例3、解方程x x 1-

＋x

1-1=x 解：显然x ≥1.方程两边乘以2后，移项配方，有 0=2x ―2x x 1-

―2x

1-1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1+1-2-1-x x )x x (＋⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡1+1

-⋅

2-1-x x x )x ( =（x x 1-

-1）2+（1-x -x

1）2

由非负数的性质，得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧1=

1-1=1

-x x x

x ，

平方得，x 2

-x-1=0，取不小于1的根，得x=

2

5

+1 经检验知，x=2

5

+1是原方程的解.

例4、解方程1-x +24-y +39-z =

2

1

（x+y+z ） 解：配方得，（1-x -1）2+（4-y -2）2+（9-z -3）2

=0

由非负数的性质得，⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧3=9-2=4-1=1-z y x ，得⎪⎩⎪

⎨⎧18=8=2=z y x

经检验知， ⎪⎩

⎪

⎨⎧18=8=2

=z y x 是原方程的解.

例5、解方程x -5+x +2=5+2 解：平方得，x -5•x +2=10

∴x -5、x +2是二次方程t 2

-(5+2)t+10=0的两个根，

∴⎪⎩⎪⎨⎧2=+25=-5x x 或⎪⎩⎪⎨⎧5

=+22

=-5x x ∴x=0 或x=3 经检验知，它们是原方程的解

例6、求方程的整数解2x +y 2=32 ① 解：由2x ≤32，得0≤x ≤8 ②

又由①有y 2=32-2x ，平方后移项，得8x 2=16+2x-y ∵16+2x-y 为整数，∴x 2为整数，设x=2b 2

（b 为整数），代入②得，

0≤2b 2≤8，∴b 2

只能取0，1，4

当b 2

=0时，x 1=0,代入①，得y 1=16

当b 2

=1时，x 2=2,代入①，得y 2=4

当b 2

=4时，x 3=8,代入①，得y 3=0 经检验知，它们是原方程的解

例7、已知实数x 1，x 2，•••x n 满足

1+2

11

x x =

1

+2

22

x x =•••=

1

+2

n n x x ，

x 1+x 2+•••x n +

11x +21x +•••+n x 1=3

10 求x 1 解：∵

1+2

11

x x =

1

+2

22

x x =•••=

1

+2

n n x x ，

∴12

11+x x =22

21+x x =•••=n

n x x 1+2

∴x 1+11x =x 2+21x =•••=x n +n x 1

又∵x 1+x 2+•••x n +

11x +21x +•••+n x 1=3

10

∴n(x 1+

11x )=310 ∴nx 12-3

10x 1+n=0

∵x 1为实数，∴△=（-310）2-4n 2≥0， 解得n ≤3

5

，又∵n ≥1 ∴取n=1 ∴x 1+

11x =310 解得x 1=3或3

1