信道编码有限域和多项式

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无线通信工程—无线通信的信道编码总结

奇偶校验码汉明码 BCH码
信
卷积码
非系统卷积码
道编
正交码
码
系统卷积码
W-A码
正
m序列
交编
岩垂码
码
L序列
扩散码
RS码
线性分组码
概述
– 基本概念 – 基本性质 – 伴随式译码 – 纠错能力和码限
举例
– 循环码 – BCH码和RS码
线性分组码----概述
基本概念
– 生成矩阵和校验矩阵
满足 v mG 的G矩阵称为生成矩阵；
位发生一个错误，即 e (0, ,0,eni ,0, ,0) 时，有
ST

T
Hv

HeT

(hnri1
,
hr2 ni
,
, hn0i )T
这就是说，当 v 的第i位发生一个错误时，S T 等于H矩阵的第i列。反之，如果收到码字的伴随式 S T 等于H矩阵的第i列，我们就说
码字的第i位有错。
循环码的监督多项式或校验多项式。
线性分组码----循环码
循环码的伴随式译码
– 原理
设 s (sr1, sr2, s0 ) 对应的伴随多项式为
s(x) sr1xr1 sr2 xr2 s1x s0
则由 sT HrT HeT 知
k
sr1
h r k i r 1 ni

rnk 1,
i 1
将上式分别代入s(x)，得
k
s0 h0kirni r0 i 1
s(x) (rn1xn1 rn2xn2 r0 )g(x) (r(x))g(x) (e(x))g(x)
线性分组码----循环码

10信道编码简介

第二章信道编码简介2、1信道编码简介一、信道编码理论1948年，信息论的创始人Shannon 从理论上证明了信道编码定理又称为Shannon 第二定理。

它指出每个信道都有一定的信道容量C ，对于任意传输速率R 小于信道容量C ，存在有码率为R 、码长为n 的分组码和),,(00m k n 卷积码，若用最大似然译码，则随码长的增加其译码错误概率e p 可以任意小]1[。

)(R E n b e b e A p -≤ （2.1）)()()1(0R E n c R E n m c e c c c e A e A p -+-=≤ （2.2）式中，b A 和c A 为大于0的系数，)(R E b 和)(R E c 为正实函数，称为误差指数，它与R 、C 的关系]2[如图2.1所示。

由图可以看出：)(R E 随信道容量C 的增大而增加，随码率R 的增加而减小。

这个存在性定理告诉我们可以实现以接近信道容量的传输速率进行通信，但并没有给出逼近信道容量的码的具体编译码方法。

Shannon 在信道编码定理的证明中引用了三个基本条件：1、采用随机编译码方式；2、编译码的码长n 趋于无穷大；3、译码采用最佳的最大后验译码。

在高斯白噪声信道时，信道容量：)/](1[log 02s bit WN P W C S += （2.3）上式为著名的Shannon 公式，式中W 是信道所能提供的带宽，T E P S S /=是信号概率，S E 是信号能量，T 是分组码信号的持续时间即信号宽度，W P S /是单位频带的信号功率，0N 是单位频带的噪声功率，)/(0WN P S 是信噪比。

图2.1 )(R E 与R 的关系由上面几个公式及图2.1可知，为了满足一定误码率的要求，可用以下两类方法实现。

一是增加信道容量C ，从而使)(R E 增加，由式(1.3)可知，增加C 的方法可以采用诸如加大系统带宽或增加信噪比的方法达到。

当噪声功率0N 趋于0时，信道容量趋于无穷，即无干扰信道容量为无穷大；增加信道带宽W 并不能无限制的使信道容量增加。

信道编码定理

7
信道编码和译码
译码是由YN到UL的映射，将YN划分为M个不相交的
子集
Y1
Y2
x2
x1
YN
Y
C m
是Ym的补集
xM
Pem P( y | xm ) yYmC
YM
最大后验概率译码
所有消息等概
q元对称信道
最大似然译码
最小汉明
距离译码
8
信道编码和译码
例5.1.1 两个消息等概，x1=0000，x2=1111，通过二元对称信道，转移概率p
22
联合典型序列和信道编码定理
23
联合典型序列和信道编码定理
定义5.3.1 x和y是联合典型序列
x ( x 1 ,x 2 , ,x N ) X N ,y ( y 1 ,y 2 , ,y N ) Y N (1) x是典型序列，即对任意小的正数e，存在N使
|1lopg(x)H(X)|e
N
误比特率 Bit error rate
Pb
1 K
K
Pek
k 1
第k位出错的概率
5
信道编码和译码
最小错误概率准则
使 P e ( y ) P r { m ' m |y } 1 P r { m ' m |y } 最小
最大后验概率准则
P r{m '|y}m m axP r{m |y}
计算后验概率是困难的，针对具体信道（转移概率已知），采用最大似然准则
从XN中独立随机地选择2NR个序列作为码字，每个码字出
现的概率为
Y 3 { 1 1 0 0 ,1 0 0 1 ,1 0 1 0 ,0 0 1 1 ,0 1 0 1 ,0 1 1 0 }
9

第6章信道编码(2)

(2) 在划分陪集的以下阵列(称Slepian阵)中，若仅有j个
陪集：
第六章信道编码
H：
1
h1
h2 …
hn
a1H: a 1 a 1 h1 a 1 h2 … a 1 hn … … … … … aj-1H: aj-1 aj-1h1 aj-1h2 … aj-1hn
则G中的所有元素都在此阵列中，无一遗漏。若有一元素 b∈G不在该阵列中，则我们可再作陪集bH，若它与上述某一陪集重合，则b含于该陪集中，否则便得到第j+1个陪集，而这与仅有j个倍集的假设相矛盾。
元(单位元)记为 1。 (3) 加法和乘法间有如下分配律： a(b+c)=ab+ac (b+c)a=ba+ca
则称F是一个域。
第六章信道编码
例：有理数全体、实数全体、复数全体对加法、乘法都分别构成域，分别称有理数域、实数域和复数域。且这 3 个域中的元素个数有无限多个，所以称它们为无限域。例：0,1 两个元素按模2加和模 2 乘构成域。该域中只有
第六章信道编码
[定义] 设φ是集合A到A自身的映射，则称φ是A中的变换。A到A 的满射称为满变换，单射称为单变换，一一映射称为一一变换或置换。如果一种变换τ，它保持A中任一元素不变， a a ，对所

有a∈A，则这种变换τ称为恒等变换或恒等置换。显然，恒等变
换必为一一变换。 [定义] 设φ是集合A到B的映射，如果它满足条件 φ(a1°a2)=φ(a1) °φ(a2) a1 ，a2 ∈A，φ(a1)， φ(a2)∈B 则称φ是A到B的同态映射，集合A与B同态。如果同态映射φ又
第六章信道编码
6.2 多项式环与有限域
6.2.1 群的基本概念 6.2.2 环与域的基本概念 6.2.3 子群、循环群 6.2.4 有限域和有限域上的多项式

第7讲信道编码：汉明码译码电路、循环码生成多项式、生成矩阵

2 1 当且仅当S 当且仅当S2、S1、S0全为1时成立，因此：全为1时成立0 因此：，
S ⋅S ⋅S =1
1）对每一校正子设计一个这样的乘式，对每一校正子设计一个这样的乘式， S 2 ⋅ S1 ⋅ S0 = 1 保证其乘积为1 保证其乘积为1；
2 1 2）对于右表共设计7个乘式，0 对于右表共设计7个乘式，对应于7种对应于7 可能出现的错误图样；可能出现的错误图样； S 2 ⋅ S1 ⋅ S0 = 1
线性分组码的封闭性特征的证明：线性分组码的封闭性特征的证明：码组集合中任意两许用码组之和仍为一许用码组证明：为码中任意两许用码组，证明：设A1和 A2为码中任意两许用码组，则有 A1·HT = 0 A2·HT = 0 A1·HT + A2·HT = ( A1 + A2 ) ·HT = 0 ·H 即（ A1 + A2）必是该码中一许用码组由封闭性以及二元有限域的加法特性可知，由封闭性以及二元有限域的加法特性可知，两个码组之间的距离必是另一码组的重量，码的最小距离等于非零码的最小重量。必是另一码组的重量，码的最小距离等于非零码的最小重量。此即证明了为线性分组码的另一特征
进行纠错，即实现等式：进行纠错，即实现等式：由其监督矩阵可知，其监督位与信息位之间的偶监督关系：由其监督矩阵可知，其监督位与信息位之间的偶监督关系：
ˆ c = e+ y
u6 ⊕ u5 ⊕ u3 ⊕ c2 = S 2 ⇒ u6 ⊕ u5 ⊕ u4 ⊕ c1 = S1 u ⊕ u ⊕ u ⊕ c = S 4 3 0 0 5
S S = yH T = [ e + c ] H T = eH T + cH T = eH T 即： = eH T 这个线性方程组一共有2 个解，这个线性方程组一共有2k个解，即2k个错误图样

RS码简单介绍

RS码简单介绍一内容提要1 RS码的发展及用途. 2 编码原理. 3 背景知识. 4 举例说明 5 解码方法简介. 二关键词GFn伽罗瓦域. LSFR: 线性反馈移位寄存器. Generate polynomial:生成多项式. Primitive polynomial:本原多项式. 本原元a. 三内容. 一i.RS码是Reed-Solomon里德-所罗门码的简称属于前向纠错FEC方式.可归于BCH 码是非二进制的BCH码.当然也是循环码、线性分组码.它特别适合纠突发误码。

使用RS码的目的是通过增加冗余码来提高信道传输的可靠性显然码的利用率下降了。

而在信源编码中是尽可能去掉一些无用的信息以提高码的利用率。

所以从这方面讲信道编码使传输的可靠性与码的利用率成为相对的矛盾统一体。

II.RS码主要用在以下方面①无线通讯. ②移动通讯. ③存储系统CD及DVD等。

④光通讯. ⑤深空通讯二RSnk码也写成RSnk2t是非二进制码.它是由k个m-bits的输入数据流加上由k个m-bits的输入数据流生成的2t个m-bits的校验数据流而产生的n个m-bits数据流。

具有以下的特性①0 k n 2m 2.通常n2m-1. ②2tn-k.t表示纠错的最大能力。

③最小码距d02t1 在分组码中最小码距d0检错纠错的关系a.检e个错d0e1 b.纠正t个错d02t1. 如在数字电视数据流的信道编码中采用了204188.由上我们知道n204k188.2tn-k16.即信息位是188个字节校验位是16个字节。

共204个字节。

它的纠错能力是8个字节。

也就是说不论一个字节中发生一位误码或者全部八位误码它都可以纠错。

当然如果错误超过t8就不能纠错了。

这时只能发现错误最大能发现2t16个错误. 三RSnk码是一种多进制线性分组码.构成RSnk码是常用以下的方式Cx rxIxRx Rx rxIxmodGx GxX1Xa??x1rar2t. 其中a 是本原元。

信道编码中的有关基本概念

第二讲
信道编码中的有关基本概念
信道概述
• 回顾：编码是消息到信道波形或矢量的一种映射关系
• 从数学上看，信道实际上也是从发空间X 到收空间Y一个概率映射函数
发送波形集合 A
PA3 PA5 PA4 PA1 PA2
1 3 4 2 5
B C
接收波形集合
信道概述（续）
• 收发集合可以以符号集的多重形式表示，相当于多维空间。 • 发空间的维数n与收空间的维数m可以不等
截止速率R0（续）
• 其中R0(P)不仅与信道有关，还是编码符号概率律的函数，因此可以通过选择合适的P(x）使其最大，最大值记为R0。 • 至少存在一种(n,k)编码，使得 Pe2k-nR0(P)=2-n(R0-R)。其中R=k/n • 同时这也说明只要编码效率R小于R0，只要码长足够长，总存在编码使误字率小于任意值。 • 在上面的推导中主要用了三种定界方法。可以看出，每一种都可能比较宽松，因此有可能通过其它的定界方法得到更紧的界。
• 非时变信道
– 当各因子具有相同的转移概率形式时
有记忆信道
• 实际的连续信道通常会有符号间串扰（ISI），因此是有记忆的，但在一种较常见的特殊情况下，即在加性平稳白高斯噪声下的线性信道（y=Ax+n）时，可以等效于一个无记忆信道。
有记忆信道的无记忆化
• 对A作线性变换使正交化得：A=UTU，其中为A的特征值对矩阵。代入得 y= UTUx+n，令
– 例如当发送波形x(t)通过一个滤波器h(t)时，输出 y(t)=x(t)*h(t)，如果x(t)只在[0,T]内有值，而当h(t)有一定的宽度时，输出的非零长度变成了T+，也就是说当接收采样率等于或高于发送采样率时，接收的维数增加了。而如果接收时采用了较低的采样率，则有效维数就减低了。

信道编码

第6章信道编码教学内容：信道编码的概念、信道编码定理、线性分组码、循环码6.1信道编码的概念教学内容：1、信道编码的意义2、信道编码的分类3、信道编码的基本原理4、检错和纠错能力1、信道编码的意义由于实际信道存在噪声和干扰，使发送的码字与信道传输后所接收的码字之间存在差异，称这种差异为差错。

信道编码的目的是为了改善通信系统的传输质量。

基本思路是根据一定的规律在待发送的信息码中加入一些多余的码元，以保证传输过程的可靠性。

信道编码的任务就是构造出以最小冗余度代价换取最大抗干扰性能的“好码”。

2、信道编码的分类纠错编码的目的是引入冗余度，即在传输的信息码元后增加一些多余的码元（称为校验元，也叫监督元），以使受损或出错的信息仍能在接收端恢复。

一般来说，针对随机错误的编码方法与设备比较简单，成本较低，而效果较显著；而纠正突发错误的编码方法和设备较复杂，成本较高，效果不如前者显著。

因此，要根据错误的性质设计编码方案和选择差错控制的方式。

3、信道编码的基本原理可见，用纠（检）错控制差错的方法来提高通信系统的可靠性是以牺牲有效性的代价来换取的。

在通信系统中，差错控制方式一般可以分为检错重发、前向纠错、混合纠错检错和信息反馈等四种类型。

香农理论为通信差错控制奠定了理论基础。

香农的信道编码定理指出：对于一个给定的有干扰信道，如信道容量为C，只要发送端以低于C的速率R发送信息(R为编码器输入的二元码元速率)，则一定存在一种编码方法，使编码错误概率p随着码长n的增加，按指数下降到任意小的值。

这就是说，可以通过编码使通信过程实际上不发生错误，或者使错误控制在允许的数值之下。

4、检错和纠错能力举例：A、B两个消息a、没有检错和纠错能力：0、1b、检出一位错码的能力：00、11c、判决传输有错：000、111（大数法则）一般来说，引入监督码元越多，码的检错、纠错能力越强，但信道的传输效率下降也越多。

人们研究的目标是寻找一种编码方法使所加的监督码元最少，而检错、纠错能力又高且又便于实现。

无线网络中的信道编码综述

运营探讨无线网络中的信道编码综述周宇翔1，周华2南京210044；2.南京信息工程大学在无线网络中，由于没有有线通信信道，信息源和接收端之间的信息共享非常复杂，因此无线信道经常受到许多干扰的影响而导致信宿接收到错误的码字。

为了检测和纠正传输数据中的错误，信道编码技术应运而生。

信道编码能够在传输的数据中找出错误，并且往往有着一定的纠错能力，能够恢复出原始数据。

在噪声较大的无线网络中通常需要优异的编码码字，以保证较好的传输性能。

以此为基础的数据传输通常有两个过程，一个是利用映射或编码的方式将输入数据转换为信道输入序列，另一个是利用反向映射或解码以检索原始传输数据。

信道编码的类型有很多，常用的有线性分组码、卷积码、Turbo码以及LDPC码等。

通过对无线网络中的信道编码进行论述，信道编码；无线网络；线性分组码；卷积码；Turbo码；LDPCOverview of Channel Coding in Wireless NetworksZHOU Yuxiang1, ZHOU Hua. Changwang School of Honors, Nanjing University of Information Science & Technology, Nanjing. School of Electronics and Information Engineering, Nanjing University of Information Science and Technology,图1 码字传输原理在分组码中，信息序列被划分成固定长度的消息分组，每一个消息分组含有k 个信息比特，一共有个不同的消息。

在(n ,k )分组码中，这k 个消息比特按照一定的编码规则被编码成长为n （n ＞k ）的二进制序列c =(c 1,c 1,…,c n-1)，由编码器产生的n -k 个添加到每个输入消息中的比特称为冗余比特。

高级英语(考研方向) 信道编码

高级英语（考研方向）信道编码一、介绍信道编码是数字通信领域中的重要概念，是通过一定的编码规则将原始信息转换为编码信息，以提高信道传输的可靠性和传输速率。

在高级英语（考研方向）的学习中，信道编码是一个重要的基础知识。

本文将从信道编码的基本概念、常见的信道编码技术以及在高级英语考研中的应用等方面展开讨论。

二、基本概念1.1 信道编码的定义信道编码是指利用编码技术对数字信号进行处理，以提高信号传输的可靠性和抗干扰能力。

通过引入冗余信息，信道编码能够在一定程度上纠正或检测传输过程中产生的错误，提高信息传输的可靠性。

1.2 信道编码的作用在数字通信中，信号在传输过程中可能会受到各种干扰和噪声的影响，导致信号质量下降甚至出现错误。

信道编码通过增加冗余信息的方式，能够在一定程度上恢复或纠正传输中产生的错误，提高信号的可靠性。

1.3 信道编码的分类常见的信道编码方式包括奇偶校验码、循环冗余校验码（CRC）、汉明码、卷积码等。

每种编码方式都有其独特的特点和适用范围，可以根据具体的应用场景选择合适的编码方式。

三、常见的信道编码技术2.1 奇偶校验码奇偶校验码是最简单的一种信道编码方式，通过对数据位进行奇偶校验，来检测并纠正传输中的错误。

奇偶校验码适用于数据量较小、传输距离较短的场景。

2.2 循环冗余校验码（CRC）CRC是一种广泛应用于数据通信中的信道编码方式，通过生成多项式计算和校验来检测和纠正数据传输中的错误。

CRC能够有效地检测出多比特位的错误，并且计算简单高效。

2.3 汉明码汉明码是一种能够检测和纠正1位错误的奇偶校验码，能够有效应对单比特错误的情况。

汉明码在数据通信领域应用广泛，可以提供较好的纠错能力。

2.4 卷积码卷积码是一种复杂度较高但纠错能力较强的信道编码方式，能够有效地应对信道中的噪声和干扰。

在高速数据传输和无线通信领域，卷积码被广泛应用。

四、高级英语考研中的应用3.1 英语学习资源的信道编码在高级英语考研学习中，英语学习资源的信道编码能够提高学习资源的传输速率和可靠性。

信道编码定理

且p( x n )在 n 上取均匀分布。
第二节信道编码问题（2） ( f , g ), 在n 时，st
n n
n ( f n , g n )的误差
e( f n , g n ) n 0成立。
编码问题一就是求信道序列 C 的最大可达速率R1。编码问题二对给定 C 寻找一组专线：
0
1
2
1
1
第三节离散无记忆信道例：对于二元对称信道
0 1-p p p 1-p 0
1
1
如果信源分布X={ ,1- }，则 I ( X ; Y ) H (Y ) H (Y / X )
H (Y ) P( x) P( y / x) log 1 P( y / x) X Y 1 1 H (Y ) P( x)[ p log p log ] p p X

那么，在什么样的信源输出情况下，信道输出能等概分布呢？可以证明，输入等概分布时，输出也等概分布。
第三节离散无记忆信道
例：
1 3 P 1 6 1 3 1 6 1 6 1 3 1 6 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1 C log 4 H ( , , , ) 2 [ log 3 log 3 log 6 log 6] 0.817 3 3 6 6 3 3 6 6
1 2 1 P 6 1 3 1 3 1 2 1 6 1 6 1 3 1 2 和第三节离散无记忆信道
如果离散信道的转移矩阵如下
p p P r 1 ... p r 1 p r 1 p p r 1 ... p r 1 ... p r 1 p r 1 p
是可通过的：若

信道编码的基本概念以及汉明码编码错误图样

2）若信道中最多可以发生两位以内错误，消息A与消息B经过传输后发生一位或两位错误后的情况分别可能为： A(0110)→ { 1110，0010，0100，0111，1010，0000，0101，1100，1111，0011 } B(1000)→ { 0000，1100，1010，1001 ，0100，1110，1011，1010，1001，1101 } 每个误码集合中前4个码组为误码一位的码组，后6个位误码两位的码组若该种编码方法可以纠正t = 2个错误，即d < 2t + 1；观察发现两个误码集合存在交集，交集中的码组用相应的颜色标出；两个集合中黑色字体的码组都可以被正确的纠正，但对于其他颜色的码组，比如 1110，它在两个集合中都存在，此时接收端不知道该纠正为A还是B。因此当d < 2t + 1时不能完全正确的进行纠错
0100
110
1100
001
0101
101
1101
010
0110
011
1110
100
0111
000
1111
111
信道编码的基本概念以及汉明码编码错误图样
监督矩阵的推导
将监督关系式进行变换
u6 u5 u4 c2 0
u6
u5
u3
c1
0
1u61u51u40u31c20c10c00 1u61u50u41u30c21c10c00
X X ' ( x n 1 x 'n 1 ,x n 2 x 'n 2 ,,x 0 x '0 )
信道编码的基本概念以及汉明码编码错误图样
二、线性分组码
线性分组码的数学定义：信道编码可表示为由编码前的信息码元空间Uk到编码后的码字空间Cn的一个映射f，即： f： Uk → Cn 其中( n > k )

信息论与编码第6章信道编码

素(既约)多项式
若 p( x) f ( x), deg( p( x)) 1且p( x)在F[ x] 中只有因式 c和cp( x) 则称 p( x) 为域F上的不可约多项式。
的集合
余类环
多项式剩余类环 n n1 f ( x) an x an1x ... a1x a ai Fq 用 Fq [ x] 或者 GF (q)[ x] 表示所有这样多项式
纠错码的分类
根据监督码元与信息组之间的关系系统码信息码元是否发生变化非系统码代数码几何码算术码线性码非线性码分组码卷积码
构造编码的数学方法
根据监督码元和信息码元的关系
根据码的功能
按纠误的类型
检错码纠错码纠删码纠随机差错码纠突发差错码纠混合差错码二元码多元码等保护纠错码不等保护纠错码
3 3 2 2 3 2 3 2
x x , x x, x x 1, x 1, x ,
3 3 3 3
x x 1, x x, x 1, x , x 1, x,1, 0
2 2 2 2
4．有限域的性质和代数结构
1）有限域 Fq 的结构对 a Fq , a 0, 满足 na 0, 的最小正整数 n ，称为元素 a 的周期。定理6-6：在有限域 Fq中 (1) ( Fq , ) 是循环加群，它的非零元素的周期等于其域的特征； (2) ( Fq* , ) 是循环乘群，共有 (q 1) 个乘群的生成元。 a 乘群 ( Fq* , ) 的生成元 a 称有限域 Fq 的本原元，的阶为 q 1 ，即 a q 1 e ，且 F * a
q
本原元性质定理6-7
* F (1) q
的元素的阶都是 q 1 的因子， Fq* 的所 q 1 x e 0 的根。有元恰是 (2) 若 a 是 Fq 的本原元，则当且仅当(k , q 1) 1 k k a 时，也是本原元。非本原元 a 的阶是

多项式与有限域

循环码的数学概念
0001101 g(x)
100011000 1010001
0010111 (x+1)g(x)
0101110
1001011
1011100
1100101
1110010
0111001 0000000 0 g(x)
g(x) xg(x) x2g(x) x3g(x) x4g(x) x5g(x) x6g(x) (x+1)g(x) x(x+1)g(x) x2(x+1)g(x) x3(x+1)g(x) x4(x+1)g(x) x5(x+1)g(x) x6(x+1)g(x) (x3+x+1)g(x) 0*g(x)
在多终端线路的场合用来区分各个终端，对于点到点，用来区分命令和响应
0 N(S) P/F N(R) 信息帧 S: Supervisory frame 1 0 S P/F N(R) 监督帧 M P/F M U: Unnumbered frame 1 1 无编号帧 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 扩充方式 I:信息帧 0 N(S) P/F N(R)
Stop-and-Wait ARQ: Damaged Frame
Flash
Stop-and-Wait ARQ: Lost Frame
Stop-and-Wait ARQ: Lost ACK
Slide Windows
Sliding Window Example
Go-back n: 回退n帧协议： damaged frame
a11a12…a1k a21a22…a2k …… ar1ar2…ark
发送顺序

信道容量和编码

（2）伴随式与译码电路
设V(x)与R(x)分别是发送和接收的码多项式，E(x)为错误多项式，则 R(x)=V(x)+E(x) 用生成多项式g(x)除R(x)，得商式为q(x)，余式为S(x)，即： R(x)=q(x)g(x)+S(x) 式中的S(x)即为伴随式。
3. BCH码
BCH码是一类纠正多个随机错误的循环码，其定义如下所述。
9.1分组码 9.1.1分组码简介
1. 线性分组码（1）基本概念
对于（n, k）线性分组码，生成矩阵是一个k×n的矩阵。设输入的信息为m=[m1,m2,…,mk]，生成的码字为v=[v1,v2,…,vn]，则v=mG，其中G为生成矩阵。生成矩阵的各行向量为码字空间的基底，由于一个子空间的基底选择不是唯一的，所以生成矩阵G的选择也不是唯一的。对于生成码字中前k位与信息完全相同的码称为系统码。这样，对于系统码其生成矩阵可以表示为：
g(x)=xn-k+gn-k-1xn-k-1+…+g1x+1
则xg(x)，x2g(x)，…，xk-1g(x)都是码字，且这k个码字线性无关，称g(x)为码的生成多项式。它是2k个码字集合中唯一的一个次数为n-k次的多项式。用上述k个码字作为循环码的基底，并以该基底作为构成一个矩阵G(x)，即
3. 分组码参数的表示方法
（1）生成矩阵将信息进行(n, k)编码的处理过程可以由一个k×n的生成矩阵G来决定。特殊情况就是1×k的信息向量v编码成 1×n的码字vG。如果G具有[Ik, P]或[P, Ik]的形式，此处P 是一个k×（n-k）的矩阵，Ik是一个k×k的单位矩阵，那么就称生成矩阵G具有标准形式。在通信工具箱中的大部分函数在使用生成矩阵作为输入项时都是假定生成矩阵为标准形式。（2）校验矩阵在(n, k)线性分组码译码时，需要一个（n-k）×n的校验矩阵H，校验矩阵满足GHT=0（mod 2）。如果G=[ Ik, P]，那么H=[PT, In-k]，在通信工具箱中的大部分函数在使用校验矩阵作为输入项时都是假定校验矩阵为标准形式。

信道编码-有限域及多项式

以d级元素为根的所有一次因式的积叫
分园多项式 (定义4.4.3)
分园多项式是GF(2)上的多项式, 并且可以通过后面介绍的方法求得,亦即xn-1至少可分解为分园多项式的积
第二十页，编辑于星期五：二十三点五十七分。
五、有限域GF(q)的乘法结构
• 定理7* (定理4.4.5, p120): (求分园多项式)
第十二页，编辑于星期五：二十三点五十七分。
四、循环群
无限循环群：成为生成元， n m (nm) 有限循环群：h,kZ,且hk: h=k
设h>k,n=h-k, n= h-k =h-k = k-k= e 一定是 { 0 =e,, 2, ……, n-1}
例: Z/(8)
2.定理4 (定理4.3.1)：可换群G的任一n 级元素a 皆
第四章多项式与有限域
第一页，编辑于星期五：二十三点五十七分。
• 学习本章目的：对Xn-1进行因式分解(n=qm-1,q为素数) X15-1=(x+1)(x 4 + x 3+1)(x4+x3+x2 +x +1)(x2 +x +1)(x4+x +1)
• Xn-1?
循环：只有最高位和最低位
第二页，编辑于星期五：二十三点五十七分。
多项式f(x)= x5 +x3+x2 +1 （次数）
为了借用多项式的运算来定义矢量的运算
多项式的除法例：(x9+x8 +x7 +x2+x +1）/（x4+ x3 + x +1）
n次多项式域（群、环）与n维矢量域（群、环）在下列映射下同构：

信道编码有限域和多项式

无线通信工程—无线通信的信道编码总结

10信道编码简介

信道编码定理

第6章信道编码(2)

第7讲 信道编码：汉明码译码电路、循环码生成多项式、生成矩阵

RS码简单介绍

信道编码中的有关基本概念

信道编码

无线网络中的信道编码综述

高级英语(考研方向) 信道编码

信道编码定理

信道编码的基本概念以及汉明码编码错误图样

信息论与编码第6章信道编码

多项式与有限域

信道容量和编码

信道编码-有限域及多项式

第7讲信道编码：汉明码译码电路、循环码生成多项式、生成矩阵