山东大学网络教育复变函数与拉氏变换(专科)期末考试试题及参考答案

合集下载

(完整版)《复变函数》考试试题与答案(十二)

《复变函数》考试试题（十二）一、判断题。

（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分）1．设复数111z x iy =+及222z x iy =+，若12x x =或12y y =，则称1z 与2z 是相等的复数。

（）2．函数()Re f z z =在复平面上处处可微。

（）3．22sin cos 1z z +=且sin 1,cos 1z z ≤≤。

（）4．设函数()f z 是有界区域D 内的非常数的解析函数，且在闭域D D D =+∂上连续，则存在0M >，使得对任意的z D ∈，有()f z M <。

（）5．若函数()f z 是非常的整函数，则()f z 必是有界函数。

（）二、填空题。

（每题2分）1．23456i i i i i ⋅⋅⋅⋅= _____________________。

2．设0z x iy =+≠，且arg ,arctan 22y z x ππππ-<≤-<<，当0,0x y <>时，arg arctan y x=+________________。

3．若已知222211()(1)(1)f z x iy x y x y =++-++，则其关于变量z 的表达式为__________。

4以z =________________为支点。

5．若ln 2z i π=，则z =_______________。

6．1z dz z==⎰________________。

7．级数2461z z z ++++L 的收敛半径为________________。

8．cos nz 在z n <（n 为正整数）内零点的个数为_______________。

9．若z a =为函数()f z 的一个本质奇点，且在点a 的充分小的邻域内不为零，则z a =是1()f z 的________________奇点。

10．设a 为函数()f z 的n 阶极点，则()Re ()z a f z s f z ='=_____________________。

复变函数_期末试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．下列复数中，位于第三象限的复数是（）A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（） 3．下列命题中，正确．．的是（） A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4．关于0limz zz zω→=+下列命题正确的是（） A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（）A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =7．在下列复数中，使得ze i =成立的是（） 8．已知31z i =+，则下列正确的是（） 9．积分||342z dz z =-⎰的值为（）A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于（） A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11．以下关于级数的命题不正确的是（）A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上，条件收敛12．0=z 是函数(1cos )ze z z -的（）A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13．1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为（）A. 0.1BC.12D. 12-14．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于（）A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π 15．已知()[()]F f t ω=F ，则下列命题正确的是（） A. 2[(2)]()j f t eF ωω-=⋅FB. 21()[(2)]j ef t F ωω-⋅=+FC. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jte f t F ω⋅=-F二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 16. 设121,1z i z =-=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________. 17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=，则映射在01z i =+处的旋转角为____________，伸缩率为____________. 20. 设函数2()sin f t t t =，则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到3－4i 的直线段，计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f ' 24．已知22(,)4u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)3f =。

【复变函数与积分变换期末复习题】含大题答案

复习题2一．单项选择题1．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A）),(y x u 在),(00y x 处连续（B）),(y x v 在),(00y x 处连续（C）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续2．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（）（A）3-（B）2-（C）1-（D）13．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件4．下列命题中，正确的是()（A）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x （B）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析5．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ()（A）iπ2-（B）0（C）iπ2（D）iπ46．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc2)1(cos ()（A）1sin -（B）1sin （C）1sin 2i π-（D）1sin 2i π7．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2()（A）i6561-（B）i 6561+-（C）i 6561--（D）i6561+8.复变函数1)(-=z e z f 在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）仅在零点不解析（D）处处解析9.使得22z z =成立的复数z 是（）（A）不存在的（B）唯一的（C）纯虚数（D）实数10．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A）i +-43（B）i +43（C）i -43（D）i --4311.ii 的主值为()（A）0（B）1（C）2πe（D）2eπ-12．ze 在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）有可导点，且在可导点集上解析（D）处处解析13．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是()（A）)(z f 在复平面上处处解析（B）)(z f 以π2为周期（C）2)(iziz e e z f --=（D）)(z f 是无界的14.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2()（A）i 6561-（B）i 6561+-（C）i 6561--（D）i 6561+15．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为()（A）2iπ（B）2i π-（C）0（D）(A)(B)(C)都有可能16．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz zzc c c 212sin ()（B）i π2-（B）0（C）iπ2（D）iπ417.设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()0sin F f t t ω=⎡⎤⎣⎦（）.A ．()()00j2F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦B.()()00j2F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦C.()()0012F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦D.()()0012F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦18．设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()()1F t f t -=⎡⎤⎣⎦（）.A ．()()F F ωω'- B.()()F F ωω'--C.()()j F F ωω'- D.()()j F F ωω'--19.积分=-⎰=231091z dz z z ()（A）0（B）i π2（C）10（D）5i π20．积分21sin z z zdz ==⎰()（A）0（B）61-（C）3i π-（D）iπ-21.复数ii+=1z 位于复平面第()象限.A ．一B ．二C ．三D ．四22.下列等式成立的是().A ．Lnz Lnz 77=；B ．)1arg()1(r =g A ；C ．112=i；D ．)z z Re(z z =。

复变函数-拉氏变换习题解答

π
πs
=
3 3 − e s s
−
πs
2
⎡ e − ( s − i)t +∞ e − ( s + i)t +∞ ⎤ π π −( s −i) −( s +i) |t = π |t = π ⎥ 3 3 −πs 1 ⎛ 2 2 ⎜ 1⎢ e e 2 2 + ⎢ + − ⎥= − e 2 + ⎜ 2⎜ s −i s+i − ( s + i) ⎥ s s 2 ⎢ − ( s − i) ⎝ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
− st ( t )⎤ ⎦ = ∫−∞ δ ( t ) ⋅ cos t ⋅ e dt − ∫0
+∞
+∞
sin te − st dt = cos t ⋅ e − st |t = 0 −
3．设 f (t ) 是以 2π 为周期的函数,且在一个周期内的表达式为
⎧sin t , 0 < t ≤ π ，求& [ f (t )]. f (t ) = ⎨ ⎩ 0, π < t < 2π
⎤ ⎡ be − bs 1 −bs 1 bs − bse − bs + 1 − e − bs − bs − 2 e −1 ⎥ = ⋅ ⎢− − bs s s s2 ⎦ 1− e ⎣
(
)
1 + bs b − 2 s s (1 − e −bs )
(2)已知 f (t ) 是周期 T = π 的周期函数,在一个周期内
0 2
π 2 +∞
3e − st −s
|
2
0
+
3e − st s
|
4 2
f (t )e − st dt = ∫ 3e − st dt + ∫π cos t ⋅ e − st dt

《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案

«复变函数与积分变换»期末试题（A）一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i-的幅角是（）；2.)1(iLn+-的主值是（）；3. 211)(zzf+=，=)0()5(f（）；4．0=z是4sinzzz-的（）极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zfs（）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为（）；（A）yxiuuzf+=')(；（B）yxiuuzf-=')(；（C）yxivuzf+=')(；（D）xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf（），则0d)(=⎰C zzf．（A）23-z；（B）2)1(3--zz；（C）2)2()1(3--zz；（D）2)2(3-z. 3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，则级数在（A）2-=z点条件收敛；（B）iz2=点绝对收敛；（C）iz+=1点绝对收敛；（D）iz21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数)(zf在z点可导，则)(zf在z点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a（2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数；（1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（Λ2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（i 432ln 21π+ ）；3.211)(z z f +=，=)0()5(f（ 0 ），4．0=z 是4sin z z z -的（一级）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题3分，共15分）1----5 B D C B D三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

复变函数—课后答案拉氏变换习题解答

( Re s > max{k , −k})
-1-
(6) & ⎡ ⎣ f ( t )⎤ ⎦=
∫
+∞
0
cosh kte− st dt = ∫
+∞
0
ekt + e− kt − st 1 e dt = 2 2
(∫
+∞
0
e− ( s − k )t dt + ∫ e − ( s + k ) t dt
0
+∞
)
⎛ − ( s − k ) t +∞ e − ( s + k )t +∞ ⎞ |0 + |0 ⎟ = 1 ⎛ 1 + 1 ⎞ = s 1⎜e = ⎜ ⎟ 2 ⎜ −( s − k ) − ( s + k ) ⎟ 2 ⎝ s − k s + k ⎠ s 2 − k 2 ⎝ ⎠
∫
+∞
0
f (t )e − st dt = ∫ 3e − st dt + ∫π cos t ⋅ e − st dt
0 2
π 2
+∞
=
+∞ e i t + e − i t 3 − st 2 3 3 − 1 +∞ e | + ∫π e − st dt = − e 2 + ∫π (e −( s −i)t + e −( s +i)t )dt t =0 s s 2 2 −s 2 2
⎧ 1, f (t ) = ⎨ ⎩− 1,
(4)由图易知, f (t ) 是周期为 2b 的周期函数,在一个周期内
0≤t <b b ≤ t < 2b
由公式 & [ f (t )] =

复变函数考试卷试题及答案

应用数理统计应用数理统计试题试题第 1 页共 4 页复变函数考试卷一、单项选择题（15分，每小题3分）分）1．设()2,00,0z z f z zz ì¹ï=íï=î，则()f z 的连续点集合为（的连续点集合为（）。

（A ）单连通区域）单连通区域（B ）多连通区域）多连通区域（C ）开集非区域）开集非区域（D ）闭集非闭区域）闭集非闭区域 2．设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，那么(,)u x y 与(,)v x y 在点()00,x y 可微是()f z 在点000z x i y =+可微的（可微的（）。

()()()()A B C D 充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分也非必要条件3．下列命题中，不正确的是（下列命题中，不正确的是（）。

()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.zz A f z f z B f z D z f z D C e i Dz e iwp w ¥¥=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆4．设c 是()1z i t =+，t 从1到2的线段，则arg d cz z ò（）。

()()()()()11444AB iC iD i ppp ++5．设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z ®=，那么()()Res ,0f z =（）。

()()()()2211A iB iCD p p --二、填空题（15分，每空3分）分） 1．()Ln 1i -的主值为的主值为。

2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。

复变函数期末考试复习题及答案详解

《复变函数》考试试题（一） 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数及积分变换期末考试卷及答案

一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（i 432ln 21π+ ）； 3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4sin z zz -的（一级）极点；5．zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）；（A ） y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ；（B ）2)1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ；（D ）2)2(3-z .3．如果级数∑∞=1n n nz c在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、z A 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、z C 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

《复变函数》考试试题与答案(一)(2021年整理精品文档)

《复变函数》考试试题与答案(一)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（《复变函数》考试试题与答案(一)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为《复变函数》考试试题与答案(一)的全部内容。

《复变函数》考试试题(一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f （z)在z 0解析. （）2。

有界整函数必在整个复平面为常数。

( ）3。

若}{n z 收敛,则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( ）4。

若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. （）5.若函数f （z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6。

若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。

（）7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z ）的可去奇点. ( )8。

若函数f （z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠。

（ )9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰C dz z f .（ )10。

若函数f(z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z ）在区域D 内恒等于常数.（)二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________.3。

函数z sin 的周期为___________.4。

2020-2021《复变函数与积分变换》期末课程考试试卷(含答案)

2020-2021《复变函数与积分变换》期末课程考试补考试卷考试时间：年月类型：闭卷时间：120分钟总分：100分专业：信工一、填空题（3'1030'⨯=）1、i +1的模和副角主值分别为___2____,______4π_____。

2、3i 副角主值是____2π________________。

3、设(32)(25)13,_____,______i x i y i x y ++-=-==4、f(z)=21(4)z z -的孤立奇点是 _-2_______,______2i_____,______-2i______。

5、2Re ,1(1)(1)zs z z ⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦ 2i π ， 6、(33)i e+=_______3(cos3sin 3)e i +。

7、⎰=22z dz z =_________________。

8、()311i -的解是_____)12sin 12(cos 26ππi -___,_____)127sin 127(cos26ππi +______,_____)1215sin 1215(cos 26ππi -_______。

９、⎰=231cos z dz z z =___12iπ_____。

１０、级数∑∞=12n n 的敛散性是发散（填：发散，条件收敛，绝对收敛）二、选择题（3186=⨯）１、下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数是（ C ）A.1+iB. .-1+i C 1-i D.-1-i２、设,11iiz +-=则 =z z （ C ）. (A) i ; (B) i -; (C) 1 ; (D) 1-C 、0,()aa =≠∞∞D 、0⋅∞=∞３、对于幂级数，下列说法正确的是（ A ） A 、在收敛圆内绝对收敛 B 、在收敛圆内条件收敛C 、在收敛圆周上处处收敛D 、在收敛圆周上处处发散４、级数∑∞=-0n n )i (的和为（ B ）A.0B.不存在C.iD.-i５、z=0是zzz f sin )(=的哪类孤立奇点( B ) A 、极点 B 、可去奇点 C 、本性奇点 D 、不能确定6、ϕϕsin cos 1+-（πϕ<<0）的三角形式是（A ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-22sin 22cos 2sin2ϕπϕπϕi B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+22sin 22cos 2sin 2ϕπϕπϕi C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-22sin 22cos 2sin2ϕπϕπϕi D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2cos 2sin 2sin 2ϕϕϕi三、解答题（共6题，共计５2分）１、（12分）计算积分z =1dz z(z-3)⎰ 和||221(1)z z dz z z =--⎰, （3）利用留数求积分⎰=-4|41z dz z z解：z =1dz z(z-3)⎰=01lim 2(33223z iz iππ→--=-分）（分）||221(1)z z dz z z =--⎰=||21z dz z =⎰+||21(1)z dz z =-⎰（3分）=4i π（2分）（3）解：孤立奇点分别为、i i --,,1,1，且为简单极点院系：专业班级：姓名：学号：装订线内不准答题装订线⎰=-4|41z dz z z=0 （4分）2、（８分）已知f(z)=u+iv 是解析函数，xy y x u +-=22，且满足0)0(=f 求f(z) 解：写出柯西黎曼方程 2分y x yvx u +=∂∂=∂∂2 2分 x y yu x v -=∂∂-=∂∂2 )2(2)(x y i y x z f -++='=iz z -22分f(z)= c iz z +-2221 又因为 0)0(=f ，f(z)=2221iz z -所以2分3、(８分) 将函数)(z f =2)1(1z z -在圆环0<z 10<z 11<-<和内展成洛朗级数。

《复变函数》期末试卷及答案(A卷)

20.计算积分 1i z 2dz . 0
17.判断数列 zn

2017 ni n 1
的收敛性.
若收敛，求出其极限.
18.求在映射 w z2 下， z 平面上的直线 z (2 i)t 被映射成 w 平面上的曲线的方程.
得分
评卷人复查人
三、证明题(本大题共 1 小题，每小题 15 分，共 15 分)
二
题分
30
20
得分
三
四
30
30
得分
评卷人复查人
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。）
1. Re(iz)
A. Re(iz)
B. Im(iz)
C. Im z
D. Im z
2.函数 f (z) z 2 在复平面上
21.试证明柯西不等式定理:设函数 f (z) 在圆 C : z z0 R 所围的区域内解析，且在
C 上连续，则
f
(n) (z0 )

Mn! Rn
(n 1,2,...)
其中 M 是 f (z) 在 C 上的最大值.
19.求 ez 在 z 0 处的泰勒展开式.
《复变函数》试卷第 3 页（共 4 页）
这是 w 平面上第一象限内的一条半直线。
19. 解：因为 (ez )(n) ez (n 0,1,2,...) ，其展开式中泰勒系数为
cn

f (n) (0) n!

1 n!
于是 ez 在 z 0 处的泰勒展开式为
ez zn 1 z zn zn

《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1]

一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（Λ2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4sin zzz -的（一级）极点； 5．zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）；（A ） y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ；（B ）2)1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ；（D ）2)2(3-z .3．如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、z A 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、z C 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案

«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准«复变函数与积分变换»期末试题（A ）一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f（ 0 ）；4．0=z 是 4sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ B ）；（A ） y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ；（B ）2)1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ；（D ）2)2(3-z .3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（ C ）（A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞ (B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a（2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数；（1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

复变函数期末练习题参考答案

复变函数期末练习题一、填空题 1.0||10()n z z dzz z -==-⎰ .(n 为自然数)2. 22sin cos z z += _________. 3. 函数sin z 的周期为___________. 4. 设21()1f z z =+，则()f z 的孤立奇点有__________. 5. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6. 若函数()f z 在整个平面上处处解析，则称它是__________.7. 若lim n n z ξ→∞=，则12 (i)nn z z z n→∞+++= ______________.8. Re (,0)zn e s z= ________，其中n 为自然数.9.sin zz的孤立奇点为________ . 10. 若0z 是()f z 的极点，则0lim ()z z f z →= 。

11. 设z i =-，则||z = ，arg z = ，z = 。

12. 设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.13. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .14. 若0z 是()f z 的m 阶零点且0m >，则0z 是)('z f 的_____零点. 15. 函数ze 的周期为__________.16. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 17. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.18. 41Res(,1)z z -= 。

19. 设21()1f z z =+，则()f z 的定义域为___________.20. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.21. 设1ze =-，则z = .22. 设11z i=-，则Re z = ，Im z = . 23. 函数211)(z z f +=的幂级数展开式为___ _______。

山东大学复变函数测试题及答案

复变函数测试题一、单项选择题（共10题，每小题2分，共20分）1.复数1682525z i =-的幅角主值为（）。

B A.arctan(1/2)B.-arctan(1/2)C.π-arctan(1/2)D.π+arctan(1/2)2.Re(z 2)=1所表示的平面曲线为()。

D A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线设w (1)Ln i =-，则Imz 等于()。

BA.4π- B.24,0,1,k k ππ-=±C.4π D.24,0,1,k k ππ+=±设函数0()z f z e d ξξξ=⎰，则()f z =()。

DA.1z z ze e ++ B.1z z ze e +- C.1z z ze e -+- D.1z z ze e -+下列哪个条件是级数0n n α∞=∑收敛的充分条件()。

CA.部分和()n s n →∞存在极限B.lim 0n n α→∞=C.||nn α∞=∑是收敛的D.收敛级数的各项有界下列哪些函数在复平面上不解析()。

AA.sin zB.coszC.chzD.ze -设()f z 在复平面上解析，且C 为不经过圆点的闭合曲线，则()Cf z dz z=⎰()。

DA.2(0)if πB.(0)f C.0D.2(0)if π或0若ω是方程31z =的一个非零复数根，则下列哪些也是此方程的根()。

BA.ωB.–ωC.–ω2D.i 9.能表示有界去心邻域的是()。

BA.1||2z a <-< B.0||2z a <-< C.0||z a <-<+∞ D.||2z a -<10.若()f z 在区域D 内满足()0f z '=，则()f z 在区域D 内必为()。

CA.0B.zC.常数D.ze二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.arg(1)i +=________________________。

山东大学网络教育复变函数与拉氏变换(专科)期末考试试题及参考答案

(完整版)《复变函数》考试试题与答案(十二)

复变函数_期末试卷及答案

【复变函数与积分变换期末复习题】含大题答案

复变函数-拉氏变换习题解答

《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案

复变函数—课后答案拉氏变换习题解答

复变函数考试卷试题及答案

复变函数期末考试复习题及答案详解

复变函数及积分变换期末考试卷及答案

《复变函数》考试试题与答案(一)(2021年整理精品文档)

2020-2021《复变函数与积分变换》期末课程考试试卷(含答案)

《复变函数》 期末试卷及答案(A卷)

《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1]

《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案

复变函数期末练习题参考答案

山东大学复变函数测试题及答案

《复变函数》期末试卷及答案(A卷)