高三数学一轮复习——直线与方程课时训练

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【课时作业】高三第一轮复习：第31讲直线的方程课时作业

第31讲《直线的方程》课时作业班级姓名座号1．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠12．直线x sin π7＋y cos π7＝0的倾斜角α是( )A ．－π7 B.π7 C.5π7 D.6π73.若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________． 4．直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是______．5．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(2,1)C ．(1，－2)D ．(1,2)6．已知函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，当x ＜0时，f (x )＞1，方程y ＝ax ＋1a 表示的直线是( )7.已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a >0，a 是常数)，当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，a 的值是( )A ．1B ．2 C. 2 D ．08．求过点M (－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程．9.直线l 过点P (1，4)，分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为坐标原点，当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程．10．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(－3，4)；(2)斜率为1 6.11．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上有一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．12.平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程为________．13.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则直线x sin A＋ay＋c＝0与直线bx－y sin B＋sin C＝0的位置关系是()A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直14.已知直线x＋a2y＋6＝0与直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，则a的值为()A．0或3或－1 B．0或3 C．3或－1 D．0或－115.已知l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0.求使l1∥l2的a的值．16.已知直线l1：x＋my＋6＝0，直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，问当m为何值时，l1与l2：(1)相交？(2)垂直？(3)平行？(4)重合？17.直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1，0)对称，则b＝________．18．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 19．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为．20．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为21313，则c＋2a的值为．21．已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为()A．－10 B．－2 C．0 D．822．若向量a＝(k＋2，1)与向量b＝(－b，1)共线，则直线y＝kx＋b必经过定点() A．(1，－2) B．(1，2) C．(－1，2) D．(－1，－2)23.已知点P(2，－1)，①求过点P且与原点距离为2的直线l的方程；②求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，并求最大距离．24.光线由点P(－1,3)射出，遇直线l：x＋y＋1＝0反射，反射光线经过点Q(4，－2)，求入射光线与反射光线所在的直线方程．25.已知点A的坐标为(－4,4)，直线l的方程为3x＋y－2＝0，求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线l关于点A的对称直线l′的方程．。

直线与方程经典例题与课时训练(含答案版)

直线与方程例题一、直线的倾斜角与斜率1．判定(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．( )(2)一个倾斜角α不能确信一条直线．( )(3)斜率公式与两点的顺序无关．( )【解析】(1)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．(2)正确．确信平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α.(3)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的顺序能够同时调换．【答案】(1)×(2)√(3)√2．斜率不存在的直线必然是( )A．过原点的直线B．垂直于x轴的直线C．垂直于y轴的直线D．垂直于过原点的直线【解析】只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．【答案】B3．假设过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，那么y等于()A．－3 2C．－1D．1【解析】k AB＝y＋34－2＝tan 45°＝1，即y＋32＝1，∴y＝－1.【答案】C4．如图11所示，直线l1，l2，l3的斜率别离为k1，k2，k3，那么k1，k2，k3之间的大小关系为________．图11【解析】设l1，l2，l3的倾斜角别离为α1，α2，α3，那么由图可知0<α3<α2<90°<α1<180°，因此tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k1<k3<k2.【答案】k1<k3<k25．已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，那么实数m的值为________．【解析】∵A、B、C三点在同一直线上，∴k AB＝k BC，∴2－(－1)0－(－3)＝4－2m－0，∴m＝2.【答案】26．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求y＋1x＋1的取值范围.【解】y＋1x＋1＝y－(－1)x－(－1)的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)，设直线NA，NB的斜率别离为k NA，k NB.∵k NA＝53，k NB＝－16，∴－16≤y＋1x＋1≤53.∴y＋1x＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53.2、直线的方程1．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点________．【解析】将直线方程变形为y －2＝a (x －3)，由直线方程的点斜式可知，直线的斜率为a ，过定点(3,2)．【答案】 (3,2)2．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过必然点，那么那个定点是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)D ．(－2,0)【解析】直线化为a (x ＋2)－x －y ＋1＝0. 由⎩⎨⎧x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3，因此直线过定点(－2,3)．【答案】 B3．方程y ＝ax ＋1a 表示的直线可能是图中的( )【解析】直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a ，在y 轴上的截距1a .当a >0时，斜率a >0，在y 轴上的截距1a >0，那么直线y ＝ax ＋1a 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a <0时，斜率a <0，在y 轴上的截距1a <0，那么直线y ＝ax ＋1a 过第二、三、四象限，仅有选项B 符合．【答案】 B4．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0【解析】 k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，因此所求方程为：y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0.【答案】 B3、直线的交点坐标和距离公式1．已知点A (－1,2)，点B (2,6)，那么线段AB 的长为__________．【解析】由两点间距离公式得|AB |＝(2＋1)2＋(6－2)2＝5. 【答案】 52．假设点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，那么|OP |的最小值是________. 【解析】 |OP |的最小值，即为点O 到直线x ＋y －4＝0的距离，d ＝|0＋0－4|1＋1＝2 2.【答案】 223．已知x ＋y －3＝0，那么(x －2)2＋(y ＋1)2的最小值为________．【解析】设P (x ，y )，A (2，－1)，那么点P 在直线x ＋y －3＝0上，且(x －2)2＋(y ＋1)2＝|P A |.|P A |的最小值为点A (2，－1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|2＋(－1)－3|12＋12＝ 2. 【答案】24．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，那么l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1D ．2【解析】法一：在l 1上取一点(1，－2)，那么点到直线l 2的距离为|1－2－1|12＋12＝ 2.法二：d ＝|1－(－1)|12＋12＝ 2. 【答案】 B5．点P (－3,4)关于直线4x －y －1＝0对称的点的坐标是________.【解析】设对称点坐标为(a ，b )，那么⎩⎪⎨⎪⎧b －4a ＋3·4＝－1，4×－3＋a 2－4＋b 2－1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝2，即所求对称点的坐标是(5,2)．【答案】 (5,2)直线与方程练习题1．直线x＋3y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为() A．30°B．60°C．150° D．120°解析：选C.∵直线的斜率k＝－33，∴tan α＝－33.又0≤α＜180°，∴α＝150°.2．如图中的直线l1、l2、l3的斜率别离为k1、k2、k3，那么()A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2解析：选D.直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，因此0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，应选D.3．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，那么a的值是() A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或1解析：选D.由题意得a＋2＝a＋2a，∴a＝－2或a＝1.4．过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π4的直线方程是() A．x＝2 B．y＝1C．x＝1 D．y＝2解析：选A.∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，那么倾斜角为34π.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x ＝2.5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象能够是( )解析：选A.把直线方程化为截距式l 1：x a ＋y －b ＝1，l 2：x b ＋y －a ＝1.假定l 1，判定a ，b ，确信l 2的位置，知A 项符合．6．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，那么x ＝________. 解析：因为k AB ＝7－54－3＝2，k AC ＝x －5－1－3＝－x －54. A ，B ，C 三点共线，因此k AB ＝k AC 即－x －54＝2，解得x ＝－3. 答案：－37．直线l 通过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点．那么直线l 的倾斜角的取值范围为________．解析：直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，那么tan α≤1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π8．已知直线l 的倾斜角α知足3sin α＝cos α，且它在x 轴上的截距为2，那么直线l 的方程是________．解析：∵k l ＝tan α＝sin αcos α＝13，且过点(2,0)， ∴直线方程为y ＝13(x －2)即x －3y －2＝0. 答案：x －3y －2＝09．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原先位置，那么l 的斜率为( ) A ．－13 B ．－3D ．3解析：选A.设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，由题意，平移后方程为A (x －3)＋B (y ＋1)＋C ＝0，即Ax ＋By ＋C ＋B －3A ＝0，它与直线l 重合，∴B －3A ＝0，∴－AB ＝－13，即直线l 的斜率为－13，应选A.10．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，那么直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D.因为AO ＝AB ，因此直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，因此k AB ＝－k OA ＝－3，因此直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)． 11．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要通过第一、第二、第四象限，那么a ，b ，c 应知足( )A ．ab ＞0，bc ＜0B ．ab ＞0，bc ＞0C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A.由于直线ax ＋by ＋c ＝0通过第一、二、四象限，因此直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－ab ＜0且－cb ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.12．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，那么a 的取值范围是________．解析：当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1＞1或－a a ＋1＜0即可，解得－1＜a ＜－12或a ＜－1或a ＞0.综上可知，实数a 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)。

2022高考数学一轮复习—直线与方程习题汇总含答案

两条直线的位置关系及距离公式命题范围：两条直线平行与垂直的条件，两点间的距离及点到直线的距离．[基础强化]一、选择题1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝02．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( ) A.12B.32C.14D.343．“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x －y －3＝0C ．x ＋2y －4＝0D ．x －2y ＝07．若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－2D ．－18．[2021·四川成都一中高三测试]三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠19．直线l 经过点M (2,1)，若点P (4,2)和Q (0，－4)到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为( )A ．3x －2y －4＝0B ．x ＝2或3x －2y －4＝0C ．x ＝2或x －2y ＝0D ．x ＝2或3x －2y －8＝0二、填空题10．若曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则A 到直线x ＋y －3＝0的距离为________．11．若直线ax ＋2y －6＝0与x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a ＝________.12．过点A (4，a )和B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则两点间的距离|AB |＝________.两条直线的位置关系及距离公式参考答案1．A 设所求的直线方程为x －2y ＋c ＝0，又(1,0)在直线l 上，∴1＋c ＝0，∴c ＝－1，故所求的直线方程为x －2y －1＝0.2．D ∵l 1与l 2垂直，∴3(a －1)＋a ＝0，得a ＝34. 3．A 由两条直线平行，∴a 3＝2a －1≠2a 7－a，得a ＝－2或a ＝3.∴a ＝3是两条直线平行的充分不必要条件．4．B 由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12， ∴x ＝k k －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．5．B 由点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3，得|1＋3×3＋C |12＋(3)2＝|4＋C |2＝3，得C ＝2或C ＝－10. ∴C ＝2是点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3的充分不必要条件．6．A 过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线就是过点P 且与OP 垂直的直线即y －1＝－2(x －2)，得2x ＋y －5＝0.7．C ∵l 1∥l 2，∴12＝－2n，∴n ＝－4， ∴l 2：2x －4y －6＝0可化为x －2y －3＝0 ∴|m ＋3|12＋(－2)2＝|m ＋3|5＝5，又m >0，∴m ＝2， ∴m ＋n ＝2－4＝－2.8．C 由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得x ＝1，y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10，故选C.9．B 解法一：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，符合题意．当直线l 的斜率存在时，依题意可设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0，因为P (4,2)和Q (0，－4)到直线l 的距离相等，所以|4k －2＋1－2k |＝|4＋1－2k |，解得k ＝32，则直线l 的方程为3x －2y －4＝0，故选B.解法二：由题意知，所求直线经过P (4,2)和Q (0，－4)的中点或与过P (4,2)和Q (0，－4)的直线平行．当所求直线经过P (4,2)和Q (0，－4)的中点(2，－1)时，所求直线方程为x ＝2；当所求直线与过P (4,2)和Q (0，－4)的直线平行时，由k PQ ＝－4－20－4＝32，得直线l 的方程为y －1＝32(x －2)，即3x －2y －4＝0，故选B. 10.2解析：由题意得A (0,1)，由点A (0,1)到直线x ＋y －3＝0的距离为|1－3|12＋12＝ 2. 11．2或－1解析：因为两直线平行，所以有a (a －1)－2＝0，且1a ＝a －12≠a 2－1－6，即a 2－a －2＝0，且a 2＋3a －4≠0，解得a ＝2或a ＝－1.12.2解析：由题意可知，k AB ＝b －a 5－4＝b －a ＝1，故|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.直线的倾斜角与斜率、直线的方程命题范围：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式和一般式．[基础强化]一、选择题1．直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率k 为( )A.23B.32C ．－23D ．－322．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A.π6B.π3C.23π D .56π 3．已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( ) A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝04．已知直线l 的倾斜角为α、斜率为k ，那么“α>π3”是“k >3”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0 D.3x ＋y ＋3＝06．经过点P (1,2)且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程为( )A ．2x －y ＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0或2x －y ＝0D ．x ＋y －3＝0或2x －y ＝07．[2021·衡阳一中高三测试]直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <08．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π)B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 9．已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤34，2B.⎝⎛⎦⎤－∞，34∪[2，＋∞) C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．[1,2]二、填空题10．若A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．11．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为________．12．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率为1，则m ＝________.直线的倾斜角与斜率、直线的方程参考答案1．C k ＝0－23－0＝－23. 2．D 由x ＋3y ＋1＝0，得y ＝－33x －33， ∴直线的斜率k ＝－33，其倾斜角为56π. 3．A 由点斜式得y －5＝－34(x ＋2)，即：3x ＋4y －14＝0. 4．B ∵当π2<α<π时，k <0，∴α>π3D ⇒/k >3；当k >3时，π3<α<π2，∴k >3⇒π3<α<π2， ∴α>π3是k >3的必要不充分条件． 5．D 由点斜式可知y ＝－3(x ＋1)，即：3x ＋y ＋3＝0.6．D 若直线过原点，则直线方程为y ＝2x ，若直线不过原点，设所求的直线方程为x ＋y ＝m ，又P (1,2)在直线上， ∴1＋2＝m ，∴m ＝3，即：x ＋y ＝3.7．A ax ＋by ＋c ＝0可化为y ＝－a b x －c b，又直线过一、二、四象限， ∴－a b <0且－c b>0，即ab >0，bc <0. 8．B 设直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，由题意得tan θ＝－sin α∈[－1,1]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π. 9．B 直线kx －y ＋1－k ＝0恒过P (1,1)，k P A ＝2，k PB ＝34，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，34∪[2，＋∞)．10．4解析：由题意得k AC ＝k BC ，∴5－36－4＝5－a 6－5，得a ＝4. 11．45°解析：y ′＝3x 2－2，当x ＝1时，y ′＝3－2＝1，∴k ＝1，其倾斜角为45°. 12．1解析：由题意得，4－m m ＋2＝1，得m ＝1.。

高中数学一轮复习课课练第一节直线的方程

第一节直线的方程课时作业练1.(2019江苏宿迁模拟)已知直线过点A(-2,0),B(-5,3),则该直线的倾斜角为. 答案π解析直线AB的斜率kAB =--=-1,令直线的倾斜角为α,α∈[0,π),则tan α=-1,所以α=π.2.(2018江苏南京模拟)在平面直角坐标系xOy中,若直线l:x-2y+m-1=0在y轴上的截距为,则实数m的值为.答案2解析由题意可知直线过点,,则-1+m-1=0,m=2.3.(2018江苏泰州中学高三月考)若直线(a2+2a)x-y+1=0的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是.答案(-2,0)解析由题意知该直线的斜率k=a2+2a<0,解得-2<a<0.4.过点M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为.答案4x+3y=0或x+y+1=0解析若直线过原点,则其斜率k=-,所以其方程为y=-x,即4x+3y=0.若直线不过原点,设其方程为+=1,即x+y=a,代入(3,-4),则a=3+(-4)=-1,所以直线的方程为x+y+1=0.5.(2018江苏溧水中学月考)已知直线l:y=ax+2和A(1,4),B(3,1)两点,当直线l与线段AB有公共点时,实数a的取值范围是.答案-,解析直线l过定点(0,2),由图可知,直线l经过点B时,a取得最小值-,经过点A时,a取得最大值2,故实数a的取值范围是-,.6.(2019江苏淮安模拟)已知直线l:x-2y+m=0上存在点M满足与点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率k MA 与kMB之积为-1,则实数m的取值范围是.答案[-2,2]解析设M(x,y),由已知得点M与点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率都存在,且-·=-1,整理得x2+y2=4,因为直线l上存在满足上述条件的点,所以-≤2,所以-2≤m≤2.7.已知A(3,0),B(0,4),直线AB上有一动点P(x,y),则xy的最大值是.答案3解析直线AB的方程为+=1,P(x,y)为直线AB上一动点,则x=3-y,∴xy=3y-y2=-(y-2)2+3≤3,当且仅当x=,y=2时“=”成立.8.过点P(2,1)作直线l与x、y轴的正半轴分别交于点A、B,当PA·PB=4时,直线l的方程为.答案x+y-3=0解析由题意知直线l的斜率存在且小于0,设直线l的方程为y-1=k(x-2),k<0,则A-,,B(0,1-2k ,∴PA·PB===4.解得k2=1,∵k<0,∴k=-1,此时直线l的方程为x+y-3=0.9.已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求:(1)BC边所在直线的方程;(2)BC边上的中线AD所在直线的方程.解析(1)直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点,由两点式得BC所在直线的方程为--=---,即x+2y-4=0.(2)设BC边的中点D的坐标为(m,n),则m=-=0,n==2.BC边上的中线AD过A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得AD所在直线的方程为-+=1,即2x-3y+6=0.10.一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,求此直线方程.解析由题意知直线的斜率存在且不为0.设直线方程为y-2=k(x+2),即kx-y+2k+2=0.该直线在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为2k+2,所以该直线与两坐标轴围成的三角形的两直角边长分别为|2k+2|,-.又该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1,所以 2k+2 ·-=1,即=1,即2(k+1)2=±k.当2(k+1)2=k,即2k2+3k+2=0时,方程无实数根;当2(k+1)2=-k,即2k2+5k+2=0时,解得k=-2或k=-.故所求的直线方程为y-2=-2(x+2)或y-2=-(x+2),即2x+y+2=0或x+2y-2=0.11.如图,射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°角和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点,当线段AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.解析由题意可得kOA =tan 45°=1,kOB=tan 180°-30° =-,所以射线lOA:y=x x≥0 ,lOB:y=-x x≥0 .设A(m,m),B(-n,n),则线段AB的中点C的坐标为-,.由点C在直线y=x上,且A、P、B三点共线得·,解得m=,所以A(,).又P(1,0),所以kAB =kAP=-=,所以lAB:y=(x-1),即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.12.(2018江苏溧水中学月考)在矩形ABCD中,AB = 2,BC = t,对于边BC(含端点)上任意一点P,在边CD(含端点)上总存在一点Q,使得·=4.如图,以A为原点,直线AB为x轴, AD为y轴,建立平面直角坐标系.(1)当BP=1时,求直线BQ的方程;(2)求实数t的取值范围.解析B(2,0),设P(2,y),Q(x,t),则=(2,y),=(x,t),=(x-2,t).(1)由·=4得2x+ty=4,从而·=2(x-2)+ty=0,所以AP⊥BQ,即kAP ·kBQ=-1,当BP=1时,易得kAP=,所以kBP=-2,结合B点的坐标可得直线BQ的方程为y=-2x+4.(2)因为点P在边BC上,点Q在边CD上,所以0≤y≤t,0≤x≤2.由题设及(1)知,对于任意的y∈[0,t],总存在x∈[0,2],使2x+ty=4成立,即有x=2-∈-,,所以-,⊆[0,2].从而2-≥0,又t>0,所以t的取值范围是(0,2].基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.若集合A=(-3,2),B={x|3x>1},则A∩ ∁RB)= .答案(-3,0]解析集合B= 0,+∞ ,则∁R B=(-∞,0],A∩ ∁RB)=(-3,0].2.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为.答案2解析由xy=1可得y=,所以x2+2y2=x2+≥2,当且仅当x2=时取等号.故x2+2y2的最小值为2.3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,a=2,b=,则B= .答案解析由题意可得B是锐角,由正弦定理可得sin B===,则B=.4.(2018江苏五校高三学情检测)若圆锥的底面半径为2,高为,则其侧面积为. 答案6π5.若等差数列{an }满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n= 时,{an}的前n项和最大.答案8解析因为{an }是等差数列,所以a7+a8+a9=3a8>0,a7+a10=a8+a9<0,即该等差数列的前8项是正数,从第9项开始为负数,所以(Sn )max=S8.6.已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ 0≤φ<π)的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是.答案解析由题意可得两个函数图象的交点坐标是,,所以sin=,0≤φ<π,解得φ=.7.(2019江苏泰州高三模拟)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3000+20x-0.1x2 0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是.答案150台解析设利润为f(x)(万元),则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000,令f x ≥0,结合0<x<240,x∈N*,解得150≤x<240,x∈N*,则生产者不亏本时的最低产量为150台.8.等边三角形ABC中,P在线段AB上,且=λ,若·=·,则实数λ的值是.答案1-解析设等边三角形ABC的边长为a,因为P在线段AB上,且=λ,所以λ∈[0,1].又·=·,且·=(- ·=λa2-a2,·=· -)=-λa2+λ2a2,所以λa2-a2=-λa2+λ2a2,即λ2-2λ+=0,解得λ=1-或λ=1+(舍去)..9.(2019江苏无锡高三模拟)如图,四边形ABCD是菱形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=2AF.(1)求证:AC⊥平面BDE;(2)求证:AC∥平面BEF.证明(1)因为DE⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DE⊥AC.因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.因为DE∩BD=D,DE⊂平面BDE,BD⊂平面BDE,所以AC⊥平面BDE.(2)如图,设AC∩BD=O,取BE的中点G,连接FG,OG,易得OG∥DE且OG=DE.因为AF∥DE,DE=2AF,所以AF∥OG且AF=OG,从而四边形AFGO是平行四边形,所以FG∥AO.因为FG⊂平面BEF,AO⊄平面BEF,所以AO∥平面BEF,即AC∥平面BEF.。

(江苏专版)高考数学一轮复习课时跟踪检测(四十三)直线与方程理(含解析)苏教版

（江苏专版）高考数学一轮复习课时跟踪检测（四十三）直线与方程理（含解析）苏教版课时跟踪检测（四十三）直线与方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·南通模拟)将直线y ＝2x 绕原点逆时针旋转π4，则所得直线的斜率为________．解析：设直线y ＝2x 的倾斜角是α，则tan α＝2，将直线y ＝2x 绕原点逆时针旋转π4，则倾斜角变为α＋π4，∴所得直线的斜率k ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3. 答案：－32．(2018·南通中学月考)过点P (－2,4)且斜率k ＝3的直线l 的方程为________．解析：由题意得，直线l 的方程为y －4＝3[x －(－2)]，即3x －y ＋10＝0. 答案：3x －y ＋10＝03．若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，所以k ＋6＞0且k ＋2＜0，所以－6＜k ＜－2. 答案：(－6，－2)4．(2018·南京名校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π5．(2019·无锡模拟)已知直线(a －2)y ＝(3a －1)x －1，若这条直线不经过第二象限，则实数a 的取值范围是________．解析：若a －2＝0，即a ＝2时，直线方程可化为x ＝15，此时直线不经过第二象限，满足条件；若a －2≠0，直线方程可化为y ＝3a －1a －2x －1a －2，此时若直线不经过第二象限，则3a －1a －2≥0，1a －2≥0，解得a ＞2. 综上，满足条件的实数a 的取值范围是[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)6．(2018·南京调研)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为________．解析：由f ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为a b ＝－1，故其倾斜角为3π4.答案：3π4二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·泰州模拟)倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是________．解析：由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0. 答案：3x ＋y ＋3＝02．(2018·泗阳中学检测)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段P Q 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________．解析：设P (x,1)，Q(7，y )，则x ＋72＝1，y ＋12＝－1，所以x ＝－5，y ＝－3，即P (－5,1)，Q(7，－3)，故直线l 的斜率k ＝－3－17＋5＝－13.答案：－133．(2019·苏州调研)已知θ∈R ，则直线x sin θ－3y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．解析：设直线的倾斜角为 α，则tan α＝33sin θ， ∵－1≤sin θ≤1，∴－33≤tan α≤33，又α∈[0，π)，∴0≤α≤π6或5π6≤α＜π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π4．已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1,0)的直线，k PB ＝0，k PA ＝1－00－－1＝1，所以实数k的取值范围是[0,1]．答案：[0,1]5．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：因为点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，所以y ＝4－x ，所以x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.答案：86．(2019·南京模拟)过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________________．解析：若直线的截距不为0，可设为x a ＋y a＝1，把P (2,3)代入，得2a ＋3a＝1，a ＝5，直线方程为x ＋y －5＝0.若直线的截距为0，可设为y ＝kx ，把P (2,3)代入，得3＝2k ，k ＝32，直线方程为3x －2y ＝0.综上，所求直线方程为x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0. 答案：x ＋y －5＝0或3x －2y ＝07．已知直线l ：y ＝kx ＋1与两点A (－1,5)，B (4，－2)，若直线l 与线段AB 相交，则实数k 的取值范围是______________．解析：易知直线l ：y ＝kx ＋1的方程恒过点P (0,1)，如图，∵k PA ＝－4，k PB ＝－34，∴实数k 的取值范围是(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞. 答案：(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞8．若直线l ：x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l ：x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)可知直线在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b .求直线在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值，即求a ＋b 的最小值．由直线经过点(1,2)得1a ＋2b＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2a b≥2b a ·2ab＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当b a ＝2a b 时取等号，所以a ＋b ≥3＋22，故直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值为3＋2 2.答案：3＋2 29．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，所以b ＝±1.所以直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．已知直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0. (1)求实数m 的取值范围；(2)若直线l 的斜率不存在，求实数m 的值； (3)若直线l 在x 轴上的截距为－3，求实数m 的值； (4)若直线l 的倾斜角是45°，求实数m 的值．解：(1)当x ，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m 2－2m －3＝0，解得m ＝－1或m ＝3；令2m 2＋m －1＝0，解得m ＝－1或m ＝12.所以实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． (2)由(1)易知，当m ＝12时，方程表示的直线的斜率不存在．(3)依题意，有2m －6m 2－2m －3＝－3，所以3m 2－4m －15＝0，所以m ＝3或m ＝－53，由(1)知所求m ＝－53.(4)因为直线l 的倾斜角是45°，所以斜率为1.由－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43或m ＝－1(舍去)．所以直线l 的倾斜角为45°时，m ＝43.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·无锡期末)过点(2,3)的直线l 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB (O 为坐标原点)面积最小时，直线l 的方程为________________．解析：设直线l 的斜率为k ，且k ＜0，所以直线l 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.令x ＝0，得y ＝3－2k ，所以B (0，3－2k )；令y ＝0，得x ＝2－3k，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫2－3k，0.则△AOB 的面积为S ＝12(3－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋6－9k －4k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2－9k·－4k ＝12，当且仅当－9k ＝－4k ，即k ＝－32时等号成立，所以直线l 的方程为3x ＋2y －12＝0.答案：3x ＋2y －12＝02．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－exe x＋12＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x ＞0，所以e x＋1e x ≥2e x·1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，所以e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1e x ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：123．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点 (－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2k k＜0且1＋2k ＞0，所以k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。

高三数学一轮同步训练直线的方程(2) Word版含答案

. 直线的方程（第二课时）
1.分别写出下列直线的斜率以及它们在轴、轴上的截距：
（）＋－＝；（）－＋.
．直线经过点(, －)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的一般式方程.
. 设直线的方程为＋(－)－＋＝(≠)，分别根据下列条件确定实数的值：
（）直线的斜率为－；
（）直线在轴和轴上截距之和等于.
. 已知点(－) , (, )，点是轴上的点，求当＋最小时点的坐标．
．已知直线＋＋＝（其中，不全为），
（）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；
（）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；
（）系数满足什么条件时只与轴相交；
（）系数满足什么条件时是轴所在直线；
（）已知点(，)为直线＋＋＝上一点，求证：这条直线的方程可以写成(－)＋(－)＝.
. 已知直线
（）当直线在两坐标轴上的截距相等时,求的值;
（）当直线不通过第一象限时,求的取值范围；
（）当取任意实数时，这样的直线具有什么共同的特点？
. 已知两直线和都过点(，)，求过两点(，)，(，)的直线方程.。

高考数学一轮复习课时作业9.1 直线的方程理苏教版-苏教版高三全册数学试题

第1讲直线的方程基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1. 如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为________．解析直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2. 答案 k 1<k 3<k 22．(2015·某某质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________．解析依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.答案－133．两条直线l 1：x a －yb ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是________(填序号)．答案 ①4．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析 ∵k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案 45．(2015·某某模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.解析令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k3，则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24.答案－246．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a －b ＝________.解析由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1.又因为tan α＝－ab ，所以－a b＝－1. 故a －b ＝0. 答案 07．(2014·某某模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值X 围是(－3,3)，则其斜率的取值X 围是________．解析设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴上的截距为－3，此时k ＝12，满足条件的直线l 的斜率X 围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 8．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析设所求直线的方程为x a ＋y b＝1. ∵A (－2,2)在此直线上， ∴－2a ＋2b＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．答案 x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 二、解答题9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解 (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k－3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，某某数a 的取值X 围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，显然相等．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知a 的取值X 围是(－∞，－1]．能力提升题组 (建议用时：25分钟)1．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值X 围是________．解析如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k PA ＝33，则直线PA 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 2．(2015·某某三校调研)一次函数y ＝－m nx ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是________．解析因为y ＝－m nx ＋1n经过第一、三、四象限，故－mn＞0，1n＜0，即m ＞0，n ＜0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn ＜0.答案 mn ＜03．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．解析直线方程可化为x2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12，由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.答案 124．直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正方向和y 轴的正方向于A ，B 两点．(1)当PA ·PB 最小时，求l 的方程； (2)当OA ＋OB 最小时，求l 的方程．解依题意，l 的斜率存在，且斜率为负．设l ：y －4＝k (x －1)(k <0)．令y ＝0，可得A ⎝⎛⎭⎪⎫1－4k，0；令x ＝0，可得B (0,4－k )．(1)PA ·PB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋16·1＋k 2 ＝－4k(1＋k 2)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k＋k ≥8.(注意k <0)∴当且仅当1k＝k 且k <0即k ＝－1时，PA ·PB 取最小值．这时l 的方程为x ＋y －5＝0.(2)OA ＋OB ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－4k ＋(4－k )＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k ≥9.∴当且仅当k ＝4k且k <0，即k ＝－2时，OA ＋OB 取最小值．这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.。

一轮复习课时训练§8.1：直线与方程

第八章§1：直线与方程(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间40钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB|的值为A ．6B ． 2C ．2D ．不能确定2．已知等差数列{a n }中，a 2＝2，S 4＝10，则过点P(3，a 3)，Q(4，a 4)的直线的方程为A ．y ＝x ＋3B ．y ＝－x ＋4C ．y ＝xD ．y ＝－x3．下列四个命题中属真命题的是A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k(x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程 (y －y1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示 D ．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示4．已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的关系如图所示，则A ．b>0，d<0，a<cB ．b>0，d<0，a>cC ．b<0，d>0，a>cD ．b<0，d>0，a<c5．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为A ．13B ．－13C ．－32D ．23二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．P(－1,3)在直线l 上的射影为Q(1，－1)，则直线l 的方程为________________．7．若点A(1,2)，B(a,0)，C(0，b)(a>0，b>0)共线，则a ＋b 的最小值为______．8．若直线l经过点P(a－2，－1)和Q(－a－2,1)且与斜率为3的直线垂直，则直线l的方程为____________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程．10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知三点A(5，－1)、B(1,1)、C(2，m)，分别求满足下列条件的m值．(1)若三点构成直角三角形ABC；(2)若A、B、C三点共线．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：由题意得k AB ＝b －a 5－4＝1，即b －a ＝1，所以|AB|＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.答案：B2．解析：设{a n }的公差为d ，则a 1＋d ＝2,4a 1＋6d ＝10，∴a 1＝d ＝1，∴a 3＝3，a 4＝4，则P(3,3)，Q(4,4)，则PQ 直线为y ＝x.答案：C3．解析：由直线方程各种形式的使用范围知A 、C 、D 三项错误；而实质上方程 (y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)是过点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的一般式方程．答案：B4．解析：由题中图象可知－1a >－1c >0，－b a<0，－d c>0，从而c<a<0，b<0，d>0. 答案：C5．解析：由直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，可设P(x 1，1)，Q(7，y 1)，再由线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，可得x 1＝－5，y 1＝－3.即直线l 上有两点P(－5,1)，Q(7，－3)，代入斜率公式可解得直线l 的斜率为k ＝1＋3－5－7＝－13.故选B 项．答案：B 二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：由题意可知，直线l 的斜率k ＝－－1－13＋1＝12，则所求直线方程为 y －(－1)＝12(x －1)，即x －2y －3＝0. 答案：x －2y －3＝07．解析：由三点共线得－b a ＝21－a ，∴1a ＋2b ＝1，a ＋b ＝(a ＋b)(1a ＋2b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2 2.当且仅当a ＝1＋2，b ＝2＋2时取等号．答案：3＋2 28．解析：由已知直线l 的斜率为k l ＝1－(－1)(－a －2)－(a －2)＝－1a ＝－13，∴a ＝3. ∴点P(1，－1)，Q(－5,1)，∴l 的直线方程为y ＋1＝－13(x －1)，即x ＋3y ＋2＝0. 答案：x ＋3y ＋2＝0三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)因为直线BC 经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 中点D 的坐标为(x ，y)，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2. BC 边的中线AD 过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y 2＝1，即2x －3y ＋6＝0. 10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)若角A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7；若角B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即－12·m －12－1＝－1，得m ＝3；若角C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋1－3·m －12－1＝－1，得m ＝±2，综上可知，m ＝－7，或m ＝3，或m ＝±2.(2)方法一：∵A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，∴k AB ＝－1－15－1＝－12，k AC ＝－1－m 5－2＝－1＋m 3，由k AB ＝k AC ，得－12＝－1＋m 3，即m ＝12. ∴当m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．方法二：∵A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，∴AB →＝(－4,2)，AC →＝(－3，m ＋1)，由AB →＝λAC →，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＝－3λ2＝λ(m ＋1)，得λ＝43，m ＝12， ∴当m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．法三：∵A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，∴|AB|＝25，|BC|＝m 2－2m ＋2，|AC|＝m 2＋2m ＋10.结合图形，由|BC|＋|AC|＝|AB|，即m 2－2m ＋2＋m 2＋2m ＋10＝25，m 2＋2m ＋10＝－m 2－2m ＋2＋25，两边平方，得5·m 2－2m ＋2＝3－m ，两边平方，得4m 2－4m ＋1＝0，∴m ＝12，经验证m ＝12符合题意，故m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．法四：点A(5，－1)与B(1,1)确定的直线方程为x ＋2y －3＝0，将C(2，m)的坐标代入得m ＝12，故m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．。

高考数学一轮复习第八章第一节直线与直线方程课时作业理含解析北师大版

高考数学一轮复习：第一节直线与直线方程授课提示：对应学生用书第353页 [A 组基础保分练]1．已知直线l 过点（0，0）和（3，1），则直线l 的斜率为（）A ．3B ．13C ．－13D ．－3 解析：由斜率公式可得，直线l 的斜率k ＝1－03－0＝13．答案：B2．（2021·泰安模拟）倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是（）A ．3x －y ＋1＝0B ．3x －y －3＝0C ．3x ＋y －3＝0D ．3x ＋y ＋3＝0解析：由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－3．又直线过点（－1，0），所以方程为y ＝－3（x ＋1），即3x ＋y ＋3＝0．答案：D3．（2021·广州质检）若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为（1，－1），则直线l 的斜率为（）A ．13B ．－13C ．－32D ．23解析：依题意，设点P （a ，1），Q （7，b ），则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13．答案：B4．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是（）解析：直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0分别化为l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx－a ，可知，l 1的斜率与l 2的截距相同，l 1的截距与l 2的斜率相同，据此可判断出：只有B 满足上述条件．答案：B5．（2021·济南调研）在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O （0，0），M （－1，3），点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为（）A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3（x ＋1），即3x －y ＋6＝0．答案：C6．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是（）A ．[－2，2]B ．（－∞，－2]∪[2，＋∞）C ．[－2，0）∪（0，2]D ．（－∞，＋∞）解析：令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2，0）∪（0，2]．答案：C7．过点M （3，－4），且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_________．解析：若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0．若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a ．则a ＝3＋（－4）＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0．答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝08．过点A （2，1），其倾斜角是直线l 1：3x ＋4y ＋5＝0的倾斜角的一半的直线l 的方程为_________．解析：设直线l 和l 1的倾斜角分别为α，β，则α＝β2∈⎣⎡⎭⎫0，π2，又tan β＝－34，则－34＝2tan α1－tan 2α，解得tan α＝3或tan α＝－13（舍去）．由点斜式得y －1＝3（x －2），即3x －y －5＝0．答案：3x －y －5＝09．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：（1）过定点A （－3，4）；（2）斜率为16．解析：（1）设直线l 的方程为y ＝k （x ＋3）＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3，3k ＋4，由已知，得（3k ＋4）×⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83．故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0．（2）设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，所以b ＝±1．所以直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0．10．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P （1，0）作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解析：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan （180°－30°）＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x ．设A （m ，m ），B （－3n ，n ），所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A （3，3）．又P （1，0），所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32（x －1），即直线AB 的方程为（3＋3）x －2y －3－3＝0．[B 组能力提升练]1．过点（－10，10）且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的4倍的直线的方程为（）A ．x －y ＝0B ．x ＋4y －30＝0C ．x ＋y ＝0或x ＋4y －30＝0D ．x ＋y ＝0或x －4y －30＝0解析：由题意，当直线经过原点时，直线的方程为x ＋y ＝0；当直线不经过原点时，设直线的方程为x 4a ＋y a ＝1，则－104a ＋10a ＝1，解得a ＝152，此时直线的方程为x 30＋2y 15＝1，即x ＋4y －30＝0．答案：C2．（2021·成都诊断）设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为（） A ．⎣⎡⎦⎤－1，－12 B ．[－1，0] C ．[0，1] D ．⎣⎡⎦⎤12，1解析：由题意知y ′＝2x ＋2，设P （x 0，y 0），则k ＝2x 0＋2．因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12．答案：A3．已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0（a ＞0，c ＞0）恒过点P （1，m ）且点Q （4，0）到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为（） A ．92 B ．94 C ．1 D ．9解析：因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0（a ＞0，c ＞0）恒过点P （1，m ），所以a ＋bm ＋c －2＝0，又点Q （4，0）到动直线l 的最大距离为3，所以（4－1）2＋（－m ）2＝3，解得m＝0，所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12（a ＋c ）·⎝⎛⎭⎫12a ＋2c ＝12⎝⎛⎭⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝⎛⎭⎫52＋2 c 2a ·2a c ＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号．答案：B4．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0（k ∈R ）交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为（）A ．x －2y ＋4＝0B ．x －2y ＋8＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－2＋4k k ，0，B （0，2＋4k ）．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋4k k ＜0，2＋4k ＞0，解得k ＞0．因为S ＝12|OA |·|OB |＝12⎪⎪⎪⎪2＋4k k ·|2＋4k |＝12·（2＋4k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎫16k ＋4k ＋16≥12×（2×8＋16）＝16，当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0．答案：B5．已知三角形的三个顶点A （－5，0），B （3，－3），C （0，2），则BC 边上中线所在的直线方程为_________．解析：BC 的中点坐标为M ⎝⎛⎭⎫32，－12，所以BC 边上中线AM 所在直线斜率为k ＝－12－032＋5＝－113，所以AM 所在直线方程为y ＝－113（x ＋5），即x ＋13y ＋5＝0．答案：x ＋13y ＋5＝06．已知直线l 过坐标原点，若直线l 与线段2x ＋y ＝8（2≤x ≤3）有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是_________．解析：设直线l 与线段2x ＋y ＝8（2≤x ≤3）的公共点为P （x ，y ），则点P （x ，y ）在线段AB 上移动，且A （2，4），B （3，2），设直线l 的斜率为k ，又k OA ＝2，k OB ＝23．如图所示，可知23≤k ≤2． ∴直线l 的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤23，2．答案：⎣⎡⎦⎤23，27．过点P （2，1）的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A ，B 两点，求使：（1）△AOB 面积最小时l 的方程；（2）|P A |·|PB |最小时l 的方程．解析：设直线l 的方程为y －1＝k （x －2）（k ＜0），则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B （0，1－2k ）．（1）S △AOB ＝12⎝⎛⎭⎫2－1k （1－2k ）＝12×⎣⎡⎦⎤4＋（－4k ）＋⎝⎛⎭⎫－1k ≥12×（4＋4）＝4．当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时取最小值，此时直线l 的方程为y －1＝－12（x －2），即x ＋2y －4＝0．（2）|P A |·|PB |＝ ⎝⎛⎭⎫1k 2＋1·4＋4k 2＝ 4k2＋4k 2＋8≥4，当且仅当4k2＝4k 2，即k ＝－1时取得最小值，此时直线l 的方程为y －1＝－（x －2），即x ＋y －3＝0．[C 组创新应用练]1．经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是（）A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0解析：因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0．答案：A 2．已知函数f （x ）＝a sin x －b cos x （a ≠0，b ≠0），若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c＝0的倾斜角为（）A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4解析：由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知函数f （x ）的图像关于x ＝π4对称，所以f （0）＝f ⎝⎛⎭⎫π2，所以a ＝－b ，由直线ax －by ＋c ＝0知其斜率k ＝a b ＝－1，所以直线的倾斜角为3π4．答案：D3．如图，在两条互相垂直的道路l 1，l 2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l 1的垂直距离为4米，到道路l 2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为米．解析：如图建立平面直角坐标系，设人行道所在直线方程为y －4＝k （x －3）（k ＜0），所以A ⎝⎛⎭⎫3－4k ，0，B （0，4－3k ），所以△ABO 的面积S ＝12（4－3k ）⎝⎛⎭⎫3－4k ＝12⎝⎛⎭⎫24－9k －16k ，因为k ＜0，所以－9k －16k ≥2（－9k ）⎝⎛⎭⎫－16k ＝24，当且仅当－9k ＝－16k ，即k ＝－43时取等号．此时，A （6，0），B （0，8），所以人行道的长度为62＋82＝10米．答案：10。

高三数学一轮复习课时作业13：§9.1 直线的方程

§9.1 直线的方程解密考纲：考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程常以选择题、填空题出现，或者在直线与圆锥曲线的位置关系中进行考查．一、选择题1．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A ．『0，π) B ．⎣⎡⎭⎫π4，π2C ．⎣⎡⎦⎤π4，3π4D ．⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π42．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 23．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2)D ．(－1，－2)4．如果AC <0，且BC <0，那么直线 Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限5．将直线l 沿x 轴的负方向平移a (a >0)个单位，再沿y 轴正方向平移a ＋1个单位得直线l ′，此时直线l ′与l 重合，则直线l ′的斜率为( ) A ．aa ＋1B ．－aa ＋1C ．a ＋1aD ．－a ＋1a6．设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线 ax ＋y ＋2 ＝ 0 与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫－43，52 C ．⎣⎡⎦⎤－52，43D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 二、填空题7．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为_____________________.8．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是_____________________. 9．若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为____________. 三、解答题10．过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．11．已知点A (3,4)，求满足下列条件的直线方程． (1)经过点A 且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．12．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l的方程．——★参考答案★——一、选择题1．C『解析』当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ. ∵cos θ∈『－1,1』且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1』∪『1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1』∪『1，＋∞)，又α∈『0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4. 由上知，倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选C ． 2．D『解析』直线l 1的斜率角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且a 2＞a 3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D ． 3．A『解析』因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)． 4．C『解析』直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率k ＝－A B ＜0，在y 轴上的截距为－CB ＞0，所以，直线不通过第三象限． 5．D『解析』设P (x ，y )是l 上任意一点，由题意知Q (x －a ，y ＋a ＋1)也在直线l 上，所以l 的斜率为k PQ ＝a ＋1－a，故选D ． 6．B『解析』直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ，∵k MA ＝3－(－2)－2－0＝－52，k MB ＝2－(－2)3－0＝－43，由图可知－a ＞－52且－a ＜43，∴a ∈⎝⎛⎭⎫－43，52.二、填空题7．x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0『解析』设所求直线的方程为x a ＋yb ＝1， ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1，①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程． 8．3『解析』 ∵直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，易知x ＞0，y ＞0时xy 才能取最大值， ∴1＝x 3＋y 4≥2|xy |12，∴|xy |≤3，∴(xy )max ＝3，当且仅当x 3＝y 4＝12，即当P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取最大值3. 9．16『解析』根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b ＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab ＞0，故a ＜0，b ＜0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16. 三、解答题10．解：设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上．由题意知⎩⎨⎧x ＋x B2＝3，y ＋yB2＝0，则点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，(6－x )＋(－y )＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝113，y ＝163，则k ＝163－0113－3＝8.故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 11．解：(1)设直线在x ，y 轴上的截距均为a . ①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)． ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋ya ＝1，又点(3,4)在直线上，∴3a ＋4a ＝1，∴a ＝7.∴直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0. 12．(1)证明：直线l 的方程是 k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，故无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)解：由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解之得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.即k 的取值范围是『0，＋∞)． (3)解：由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，等号成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。

高三数学一轮同步训练直线的方程(1) Word版含答案

. 直线的方程（第一课时）
．根据下列条件，分别写出直线的方程：
（）过点(, －), 斜率为)；（）过点(－, )，与轴垂直；
（）斜率为－，在轴上的截距为；（）斜率为，在轴上的截距为－；
（）过点(－, )，(, －)；（）过点(, )，(, －)
. 写出过点(, )，且分别满足下列条件的直线的方程：
（）倾斜角为º；（）垂直于轴；
（）过原点；（）与直线＋－＝的斜率相等；
（）与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小.
．已知菱形的两条对角线长分别为和，以菱形的中心为坐标原点，较长对角线所在的直线为轴，建立直角坐标系，求出菱形各边所在直线的方程.
. 请用两种不同的方法
．．．．．．．求过点（，－）且在坐标轴上截距相等的直线方程．
. 一根弹簧挂的物体时，长. 在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧伸长. 试写出弹簧的长度（）和所挂物体质量（）之间的关系.
. 直线＋＋＝（）在两坐标轴上的截距相等，则实数、、应满足什么条件？
[反思回顾]。

高三数学一轮复习9.1 直线的方程课时训练试题

卜人入州八九几市潮王学校永昌县第一高三数学一轮复习直线的方程课时训练一、选择题(每一小题7分，一共35分)1．直线l经过A(2,1)、B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是() A．[0，π) B.∪C. D.∪2．直线x cosα＋y＋2＝0的倾斜角的范围是()A.∪B.∪C. D.3．假设直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，那么实数m是() A．1B．2 C．－D．2或者－4．直线l1的方向向量为a＝(1,3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)．假设直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，那么直线l2的方程为()A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝05．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，那么直线的方程为() A．x＋2y－6＝0 B．2x＋y－6＝0C．x－2y＋7＝0 D．x－2y－7＝0二、填空题(每一小题6分，一共24分)6．两点A(0,1)，B(1,0)，假设直线y＝k(x＋1)与线段AB总有公一共点，那么k的取值范围是________．7．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，那么此直线的方程为________________．8．假设ab>0，且A(a,0)、B(0，b)、C(－2，－2)三点一共线，那么ab的最小值为________．9．假设直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________．三、解答题(一共41分)10．(13分)△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．11．(14分)直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足以下条件的直线l的方程：(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为.12．(14分)两点A(－1,2)，B(m,3)．(1)求直线AB的方程；(2)实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．答案(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即7x－y－11＝0，化为截距式方程为－＝1.11.解(1)设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，由，得(3k＋4)＝±6，解得k1＝－或者k2＝－.故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或者8x＋3y＋12＝0.(2)设直线l在y轴上的截距为b，那么直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，由，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或者x－6y－6＝0.12.解(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．(2)①当m＝－1时，α＝；②当m≠－1时，m＋1∈∪(0，]，∴k＝∈(－∞，－]∪，∴α∈∪.综合①②知，直线AB的倾斜角α∈.易错分析无视对m的分类讨论。

高考数学一轮复习课时训练：直线的方程北师大

A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．过点M(－3，2)，N(－2，3)的直线的斜率是()．A．1 B．2 C．－1 D.3 2解析由斜率公式得k＝3－2－2＋3＝1. 答案 A2．(2012·岳阳模拟)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y＝()．A．－1 B．－3 C．0 D．2解析由2y＋1－(－3)4－2＝2y＋42＝y＋2，得：y＋2＝tan 3π4＝－1.∴y＝－3. 答案 B3．过点A(0,2)且倾斜角的正弦值是35的直线方程为()．A．3x－5y＋10＝0B．3x－4y＋8＝0C．3x＋4y＋10＝0D．3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0解析设所求直线的倾斜角为α，则sin α＝35，∴tan α＝±34，∴所求直线方程为y＝±34x＋2，即为3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0. 答案 D4．(2011·佛山一检)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )．A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1 解析由题意得a ＋2＝a ＋2a ，解得a ＝－2或a ＝1. 答案 D5．(★)(2012.荆州二检)设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( )．A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 解析 (直接法或筛选法)当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． ∴tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.综上知，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.答案 C【点评】本题也可以用筛选法．取α＝π2，即cos θ＝0成立，排除B 、D ，再取α＝0，斜率tan α＝－1cos θ＝0不成立，排除A. 二、填空题(每小题4分，共12分)6．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________．解析 ∵k MN ＝m －4－2－m ＝1，∴m ＝1.答案 17．(2011·苏州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.解析令x ＝0，得y ＝k4；令y ＝0，得x ＝－k 3.则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24. 答案－248．(2012·合肥调研)过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析 (1)若直线过原点，则k ＝－43，∴y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.(2)若直线不过原点，设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a . ∴a ＝3＋(－4)＝－1，∴x ＋y ＋1＝0. 答案 x ＋y ＋1＝0或4x ＋3y ＝0 三、解答题(共23分)9．(11分)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程．解由题设知截距不为0，设直线方程为xa ＋y12－a＝1. 则－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.10．(12分)(2012·西安模拟)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴⎩⎨⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎨⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0. ∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是a ≤－1.B 级综合创新备选 (时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．若直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、三象限，则有( )． A ．ab ＞0，bc ＞0 B ．ab ＞0，bc ＜0 C ．ab ＜0，bc ＞0 D ．ab ＜0，bc ＜0解析数形结合可知－a b ＞0，－cb ＞0，即ab ＜0，bc ＜0. 答案 D2．(★)(2012·金华模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )． A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12解析 (数形结合法)由已知直线l 恒过定点P (2,1)，如右图．若l 与线AB 相交，则k P A ≤k ≤k PB ，∵k P A ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k ≤12.答案 D【点评】本题采用数形结合法，即通过图形观察过点P 的直线l 的斜率与直线P A 、PB 的斜率大小.二、填空题(每小题4分，共8分)3．(★)(2012·天津四校联考)不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0，恒过定点________．解析 (回顾检验法)把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0，整理得：(x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3. 答案 (－2,3)【点评】把所求出的点(－2，3)再代入原直线方程验证与m 无关.4．(2012·盐城一调)若A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)，(ab ≠0)三点共线，则1a ＋1b 的值为________．解析由题意知：b－a ＝－2－2－a ，整理得：2a ＋2b ＝－ab .∴1a ＋1b ＝－12. 答案－12三、解答题(共22分)5．(10分)(2012·龙岩调研)已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求： (1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．解 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117－y11＝1. 6．(12分)已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 为原点，是否存在使△ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出；若不存在，请说明理由．解存在．理由如下．设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )，△AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋(－4k )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4.当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.。

高考数学一轮总复习第八篇第1节直线与方程课时训练文(含解析)新人教版

第1节直线与方程知识点、方法题号倾斜角与斜率1、5、10直线的方程2、8、12两条直线的交点11、15 两条直线的平行与垂直6、9、14距离问题3、13对称问题4、7一、选择题1.已知两点A(-3,),B(,-1),则直线AB的斜率是( D )(A)(B)-(C)(D)-解析:斜率k==-,故选D.2.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是( D )(A)1 (B)-1(C)-2或-1 (D)-2或1解析:①当a=0时,y=2不合题意.②a≠0,x=0时,y=2+a.y=0时,x=,则=a+2,得a=1或a=-2.故选D.3.两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( D )(A)4 (B)(C)(D)解析:把3x+y-3=0转化为6x+2y-6=0,由两直线平行知m=2,则d==.故选D.4.(2014皖南八校联考)直线2x-y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( C )(A)x+2y-1=0 (B)2x+y-1=0(C)2x+y-5=0 (D)x+2y-5=0解析:由题意可知,直线2x-y+1=0与直线x=1的交点为(1,3),直线2x-y+1=0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补,因此它们的斜率互为相反数,直线2x-y+1=0的斜率为2,故所求直线的斜率为-2,所以所求直线的方程是y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.故选C.5.若直线l:y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是( B )(A),(B),(C),(D),解析:由题意,可作直线2x+3y-6=0的图象,如图所示,则直线与x轴、y轴交点分别为A(3,0),B(0,2),又直线l过定点(0,-),由题知直线l与线段AB相交(交点不含端点),从图中可以看出,直线l的倾斜角的取值范围为,.故选B.6.(2013泰安一模)过点A(2,3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为( A )(A)x-2y+4=0 (B)2x+y-7=0(C)x-2y+3=0 (D)x-2y+5=0解析:直线2x+y-5=0的斜率为k=-2,∴所求直线的斜率为k'=,∴方程为y-3=(x-2),即x-2y+4=0.7.如图所示,已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( A )(A)2(B)6 (C)3(D)2解析:由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0),则光线所经过的路程为|CD|=2.故选A.二、填空题8.过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为.解析:由题意知截距均不为零.设直线方程为+=1,由解得或故所求直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0.答案:x+y-3=0或x+2y-4=09.(2013湘潭质检)若过点A(-2,m),B(m,4)的直线与直线2x+y+2=0平行,则m的值为.解析:∵过点A,B的直线平行于直线2x+y+2=0,∴k AB==-2,解得m=-8.答案:-810.若过点P(1-a,1+a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是.解析:由直线PQ的倾斜角为钝角,可知其斜率k<0,即<0,化简得<0,∴-2<a<1.答案:(-2,1)11.已知k∈R,则直线kx+(1-k)y+3=0经过的定点坐标是.解析:令k=0,得y+3=0,令k=1,得x+3=0.解方程组得所以定点坐标为(-3,-3).答案:(-3,-3)12.(2013哈尔滨模拟)经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程为.解析:法一由题知直线在两坐标轴上的截距不为0,设直线方程为+=1,由题意有解得或∴直线方程为+y=1或+=1,即x+2y-2=0或2x+y+2=0.法二由题知直线l斜率存在且不为0,设直线l:y-2=k(x+2).当x=0时,y=2k+2,当y=0时,x=--2.则(2k+2)--2=1,解得k=-或k=-2.即直线l方程为2x+y+2=0或x+2y-2=0.答案:x+2y-2=0或2x+y+2=013.(2013成都模拟)分别过点A(1,3)和点B(2,4)的直线l1和l2互相平行且有最大距离,则l1的方程是.解析:由题意,l1,l2需与直线AB垂直才能符合题意,而k AB==1,∴=-1,∴直线l1的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.答案:x+y-4=0三、解答题14.已知两直线l1:x+ysin α-1=0和l2:2xsin α+y+1=0,试求α的值,使(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.解:(1)法一当sin α=0时,直线l1的斜率不存在,l2的斜率为0,显然l1不平行于l2.当sin α≠0时,=-,=-2sin α.要使l1∥l2,需-=-2sin α,即sin α=±,∴α=kπ±,k∈Z.故当α=kπ±,k∈Z时,l1∥l2.法二由l1∥l2,得∴sin α=±,∴α=kπ±,k∈Z.故当α=kπ±,k∈Z时,l1∥l2.(2)∵l1⊥l2,∴2sin α+sin α=0,即sin α=0.∴α=kπ,k∈Z.故当α=kπ,k∈Z时,l1⊥l2.15.设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0.(1)证明l1与l2相交;(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.证明:(1)假设l1与l2不相交,则l1∥l2即k1=k2,代入k1k2+2=0,得+2=0,这与k1为实数的事实相矛盾,从而k1≠k2,即l1与l2相交.(2)法一由方程组解得交点P的坐标为,,而2x2+y2=22+2===1.即P(x,y)在椭圆2x2+y2=1上.即l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.法二交点P的坐标(x,y)满足故知x≠0. 从而代入k1k2+2=0,得·+2=0,整理后,得2x2+y2=1.所以交点P在椭圆2x2+y2=1上.。

高三理科数学(重点班)一轮复习课时训练：第九篇第1节直线与方程Word版含解析

基础对点练(时间:30分钟)1.直线l:xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是( A )(A)(B)(C)-(D)-解析:设直线l的斜率为k,则k=-=.2.直线x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点,则a的值为( C )(A)3或-1 (B)0或3(C)0或-1 (D)-1或0或3解析:两直线无公共点,即两直线平行,所以解得a=0或a=-1.故选C.3.(2015新泰模拟)已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0.若l1⊥l2,则实数a的值是( C )(A)0 (B)2或-1 (C)0或-3 (D)-3解析:因为l1⊥l2,所以a+a(a+2)=0,则a=0或a=-3,故选C.4.(2016枣庄模拟)将直线l沿y轴的负方向平移a(a>0)个单位,再沿x轴正方向平移a+1个单位得直线l′,此时直线l′与l重合,则直线l′的斜率为( B )(A)(B)-(C)(D)-解析:设直线l:y=kx+b,l沿y轴负方向平移a个单位得l1:y=kx+b-a,再沿x轴正方向平移a+1个单位得l′:y=k(x-a-1)+b-a,即y=kx+b-ka-k-a,由l′与l重合得-a-ka-k=0,k=-.5.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2经过定点( B )(A)(0,4) (B)(0,2) (C)(-2,4) (D)(4,-2)解析:直线l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线l1与直线l2关于点(2,1)对称,故直线l2经过定点(0,2).故选B.6.不论m为何值时,直线l:(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过定点( D )(A) (1,- ) (B)(-2,0) (C)(2,3) (D)(9,-4)解析:直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5,化为(mx+2my-m)+(-x-y+5)=0,即直线l过x+2y-1=0与-x-y+5=0的交点,解方程组得7.(2015合肥一模)已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程是( B )(A)x-2y+1=0 (B)x-2y-1=0(C)x+y-1=0 (D)x+2y-1=0解析:因为l1与l2关于l对称,所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上,故l与l1的交点(1,0)在l2上.又易知(0,-2)为l1上一点,设它关于l的对称点为(x,y),则解得即(1,0),(-1,-1)为l2上两点,可得l2的方程为x-2y-1=0.8.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,且截距之和最小,则直线的方程为( B )(A)x+2y-6=0 (B)2x+y-6=0(C)x-2y+7=0 (D)x-2y-7=0解析:直线过P(1,4),代入后舍去选项A,D;又在两坐标轴上的截距均为正值,舍去选项C.故选B.9.已知平面内两点A(1,2),B(3,1)到直线l的距离分别是,-,则满足条件的直线l的条数为( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由题知满足题意的直线l在线段AB两侧各有1条;又因为|AB|=,所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB垂直的直线,故共3条.故选C.10.(2016哈尔滨模拟)经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程为.解析:设所求直线方程为+=1,由已知得解得或所以2x+y+2=0或x+2y-2=0为所求.答案:2x+y+2=0或x+2y-2=011.已知两直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.(1)l1⊥l2,且直线l1过点(-3,-1);(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.解:(1)因为l1⊥l2,所以a(a-1)-b=0.又因为直线l1过点(-3,-1),所以-3a+b+4=0.故a=2,b=2.(2)因为直线l2的斜率存在,l1∥l2,所以直线l1的斜率存在,k1=k2,即=1-a.又因为坐标原点到这两条直线的距离相等,所以l1、l2在y轴上的截距互为相反数,即=b.故a=2,b=-2或a=,b=2.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016哈尔滨模拟)函数y=asin x-bcos x的一条对称轴为x=,则直线l:ax-by+c=0的倾斜角为( D )(A)45°(B)60° (C)120°(D)135°解析:由函数y=f(x)=asin x-bcos x的一条对称轴为x=知,f(0)=f(),即-b=a,所以直线l的斜率为-1,所以倾斜角为135°.13.若m>0,n>0,点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点在直线x-y+2=0上,那么+的最小值等于.解析:设点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点为(x0,y0),则有解得x0=1-n,y0=1+m,又点(x0,y0)在直线x-y+2=0上,所以1-n-1-m+2=0,所以m+n=2,所以+=(+) (m+n)=++≥.答案:14.(2015淮安一调)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为.解析:设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M′(a,b),则反射光线所在直线过点M′,解得a=1,b=0.又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为=,即6x-y-6=0.答案:6x-y-6=015.已知直线l过点M(1,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点,求:(1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线l的方程;(2)当|MA|2+|MB|2取得最小值时,直线l的方程.解:(1)设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0).则直线l的方程为+=1,则+=1,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b) (+)=2++≥2+2=4,当且仅当“a=b=2”时取等号,此时直线l的方程为x+y-2=0.(2)设直线l的斜率为k,则k<0,直线l的方程为y-1=k(x-1),则A(1-,0),B(0,1-k),所以|MA|2+|MB|2=(1-1+)2+12+12+(1-1+k)2=2+k2+≥2+2=4,则当且仅当k2=,即k=-1时等号成立,则直线l的方程为y=-x+2.16. (2015东营模拟)设直线l的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R).(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;(2)若a>-1,直线l与x,y轴分别交于M,N两点,O为坐标原点,求△OMN面积取最小值时,直线l的方程.解:(1)当直线l经过坐标原点时,设直线在两坐标轴上的截距都为0,此时a+2=0,解得a=-2,此时直线l的方程为-x+y=0,即x-y=0;当直线l不经过坐标原点,即a≠-2且a≠-1时,由直线在两坐标轴上的截距相等可得=2+a,解得a=0,此时直线l的方程为x+y-2=0.所以直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.(2)由直线方程可得M(,0),N(0,2+a),因为a>-1,所以S△OMN=××(2+a)=×=[(a+1)++2]≥×[2+2]=2,当且仅当a+1=,即a=0时等号成立,此时直线l的方程为x+y-2=0.精彩5分钟1.(2014高考四川卷)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是.解题关键:两直线过定点,且两直线互相垂直.解析:易求定点A(0,0),B(1,3).当P与A和B均不重合时,不难验证PA⊥PB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,所以|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|=时,等号成立),当P 与A或B重合时,|PA|·|PB|=0,故|PA|·|PB|的最大值是5.答案:52.(2015黄山一模)已知点A在直线x+2y-1=0上,点B在直线x+2y+3=0上,线段AB的中点为P(x0,y0),且满足y0>x0+2,则的取值范围为.解题关键:利用点到直线的距离,确定x0,y0的关系,求的范围转化为关于x0的函数,求其范围.解析:因为直线x+2y-1=0与直线x+2y+3=0平行,所以=,可得x0+2y0+1=0,因为y0>x0+2,所以-(1+x0)>x0+2,解得x0<-.设=k,所以k==--,因为x0<-,所以0<-<,所以-<<-.答案:(-,-)。

高三数学一轮复习第8章第1课时直线及其方程课时训练文新人教版

【高考领航】2016高三数学一轮复习第8章第1课时直线及其方程课时训练文新人教版A 级基础演练1．(2015·云南高三检测)直线x ＝π3的倾斜角等于( )A ．0 B.π3C.π2D ．π解析：选C.直线x ＝π3，知倾斜角为π2.2．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3C ．－ 3D ．－33 解析：选A.设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.3．(2015·秦皇岛模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选D.由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6. 4．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析：选B.设倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1，1]．又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.5．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0，0)，A (1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D.因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．6．已知A (3，5)，B (4，7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝________．解析：因为k AB ＝7－54－3＝2，k AC ＝x －5－1－3＝－x －54.A ，B ，C 三点共线，所以k AB ＝k AC ，即－x －54＝2，解得x ＝－3.答案：－37．(2015·常州模拟)若ab ＜0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．解析：k PQ ＝－1b －00－1a＝ab ＜0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫π2，π.答案：⎝⎛⎭⎪⎫π2，π8．已知两点A (0，1)，B (1，0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则k 的取值范围是________．解析：y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1，0)的直线，k PB ＝0，k PA ＝1－00－（－1）＝1.∴k 的取值范围是[0，1]．答案：[0，1] 9．求直线的方程：(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.解析：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0＜α＜π)，k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.B 级能力突破1．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab >0，bc <0 B ．ab >0，bc >0 C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析：选A.由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－c b＞0，故ab ＞0，bc ＜0.2．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为( ) A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1解析：选A.将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.3．(2015·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by＋c ＝0的倾斜角为( ) A ．45° B ．60° C ．120°D ．135°解析：选D.由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为135°.4．求过点A (1，3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程为________．解析：设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1，3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.答案：4x ＋3y －13＝05．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点； ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线．解析：若x ，y 为整数，则x ＋y 也为整数，故直线x ＋y ＝2既不平行于坐标轴，也不经过任何整点，即①正确．直线y ＝2x －2过整点(1，0)，故②错误．若直线l 经过无穷多个整点，则一定过两个不同的整点．反之，若直线l 经过两个不同的整点M (m 1，n 1)，N (m 2，n 2)，其中m 1，m 2，n 1，n 2均为整数．当m 1＝m 2或n 1＝n 2时，直线l 的方程为x ＝m 1或y ＝n 1，显然过无穷多个整点．当m 1≠m 2且n 1≠n 2时，直线l 的方程为y －n 1＝n 1－n 2m 1－m 2(x －m 1)，则直线l 过点((k ＋1)m 1－km 2，(k ＋1)n 1－kn 2)，其中k ∈Z.这些点均为整点且有无穷多个，即直线l 总过无穷多个整点，故③正确．当x ，y 为整数时，y －x 还是整数，故直线y ＝x ＋12不经过任何整点，即当k ，b 为有理数时，并不能保证直线l ：y ＝kx ＋b 过无穷多个整点，故④错误．直线y ＝3x －3恰经过一个整点(1，0)，故⑤正确．答案：①③⑤6．已知直线l 过点M (1，1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程．解析：(1)设A (a ，0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋a b ＋b a≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.(2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0，B (0，1－k )，所以|MA |2＋|MB |2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k 2≥2＋2k 2·1k2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y－2＝0.。