2009西安交通大学高等代数考研真题

西安交通大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题

科目代码：818 科目名称：高等代数

一 （20分）计算行列式：

000

00

0000

00000n D αβαβαβαβαβαβαβαβ

+++=+

+

二 （20分）已知12(0,1,0),(3,2,2)T T αα==-，是线性方程组

1231231

2321341x x x x x x ax bx cx d -+=-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩

的两个解，求此方程组的全部解．

三 （20）当t 取什么值时，下面二次型是正定的：

222123123121323(,,)42106f x x x x x x tx x x x x x =+++++

四（15分）设3阶实对称矩阵A 有特征值1231,1λλλ=-==，A 的属于特征值-1的特征向量1(0,1,1)T ξ=，矩阵32B A A E =-+，其中E 为3阶单位阵（下同），问：

（1） 1ξ是否为B 的特征向量？求B 的所有特征值和特征向量；

（2） 求矩阵B ．

五（15分）设，1200000,,,,00,,,00a c x W a a b c R W y x y z R c b z z ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥=∈=∈⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭

（1） 求12W W +；

（2） 记12W W W =+，试求空间3W 使得33()M R W W =⊕（其中3()M R 为实数域

上3阶矩阵全体），并说明理由．

六（15分）设向量组12,,,r ααα线性无关，而12,,,,,r αααβγ线性相关．证明：

要么β与γ中至少有一个可被12,,,r ααα线性表出，要么12,,,,r αααβ与12,,,,r αααγ等价．

七（15分）设A 为(1)n n ⨯+阶常数矩阵，X 为(1)n n +⨯阶未知数矩阵．试证明矩阵方程AX E =有解的充要条件为()r A n =．

八（10）若12,αα是数域F 上的二维线性空间2()V F 的基，σ和τ是2()V F 上的线性变换，且满足

112212121212,,(),()σαβσαβτααββτααββ==+=+-=-

试证：στ=．

九（10）设A 和B 是两个n 阶实正交矩阵，并且det()det()A B =-．证明

()r A B n +<．

十（10分）证明A 可与一个对角矩阵相似的充要条件是：对于A 的任意特征值i λ，方程组

2()0i E A X λ-=与()0i E A X λ-=

是同解的，其中11(,,,)n n X x x x =．需要更多试题请/exam.taoba -//maths :http

高等代数试题分数分布：

行列式：20分（1）；

线性方程组：35分（2）；

矩阵：15分（1）；

二次型：20分（1）；

线性空间：15分（1）；

欧几里得空间：10分（1）

线性变换：35分（3）