核心词解读四,几何直观-3

跨越断层，走出误区：

《数学课程标准》核心词的实践解读之四

上海市静安区教育学院曹培英

一、怎样理解几何直观

近年来，几何直观成了数学教育的热议话题之一，学者、教师纷纷撰文阐述，其中不乏深入的学理分析与经验总结。然而，不少教师反映，阅读之后总体感觉相关概念难以辨析，有些文章“越看越玄”。

那么，基于小学数学教学的实际，我们应该如何解读几何直观这一核心词？有必要从直观的本意说起。

1.直观与几何直观的本意

所谓直观，字面意义是“直接的观察”，通常指“通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识”，即人们在实践中对客观事物的直接的、生动的、具体的反映。

我们常常赋予直观可视的意思，但“直接接触”并不仅指视觉，各种感官及其协同活动都能获得直接的感性认识。

例如，年幼儿童坐翘翘板，他们能够发现，如果坐在对面的小朋友比自己重，那么他离中间近一点，而自己离中间远一点，能使翘翘板平衡。这实际上是通过动作在直观水平上获得了杠杆原理的感性认识。

又如，教师讲述猴王给小猴分桃的故事，通过语言，也能使学生初步感知商不变性质。

在教育心理学中，直观是相对于抽象、概括而言的。一般认为：在实际教学中，就直观的对象来分，可以把直观分为实物直观、模象直观和语言直观三种。三种直观都是直观教学的常规手段，上面“坐翘翘板”的实例，属于实物直观，“讲故事”是语言直观，平时大量使用的各种直观图形则为模象直观。

根据直观的本意，所谓几何直观，无非是指特殊的、数学的直观，即指借助于几何图形（空间形式）而获得的感性认识。虽说这里的感性认识过程离不开知识、经验的介入，但毕竟感知是其主要的心理活动。

如果将几何直观诠释为只是“感性认识”，则一切都十分平常。因为小学数学历来重视通过直观教学，使学生获得感性认识，其有效性的理论解释也早就为大家所熟知。

2.几何直观的引伸意义

当下有关几何直观的论文，大多引用了一些哲学、数学、心理学视角的论述。如：

西方哲学家通常认为，“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识。”

数学家克莱因指出，“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学的直观就是对概念、证明的直接把握。”1

数学家希尔伯特在他的名著《直观几何》一书的序言中写道：“在数学中，象在任何科学研究中那样，有两种倾向。一种是抽象的倾向，即从所研究的错综复杂的材料中提炼出其内在的逻辑关系，并根据这些关系把这些材料作系统的有

1M克莱因．古今数学思想（第四册）［M］．上海：上海科技出版社，1979：99．

条理的处理。另一种是直观的倾向，即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的的意义，也可以说领会它们的生动的形象”。2

数学和数学教育家弗莱登塔尔认为，“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”3

我国数学家徐利治教授认为，“直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。”4

心理学家认为，“直观是从感觉到的具体对象背后，发现抽象的能力”。

这些论述的共同点在于：直观、数学直观、几何直观，都不再停留在感性认识阶段，而是高阶思维、创新思维的结果，可以说是理性认识的升华，是认识的返璞归真。

3.几何直观的两种层次

为了研究、叙述的方便，更为了切合教学的实际，不妨对几何直观的层次或者说水平，加以区分：将处于感性认识阶段的、较低层次的几何直观，称之为“直观感知”，即观察认识了直观载体的外在现象或表面意义；将更高层次的几何直观，概括为“直观洞察”，即观察发现了直观载体的深层意义或内在本质。

作出这一区分有多方面的理论依据，其中最基本的依据是，直观对于数学具有双重意义。一方面，直观是数学抽象的基础与数学认知的有力支撑；另一方面，直观又是数学抽象的重要内涵与数学认识的深化。

无须违言，直观洞察层次的几何直观，在以往的小学数学教学中，较少得到关注，似乎难以举出确切的例证，这也是教师感觉费解、捉摸不透的原因之一。

下面将不断提供教学案例，说明直观洞察并非只是数学家的专利，小学生也能在他们的认知水平上涌现许多令人赞叹的直观洞察。

还必须指出，两种层次的几何直观之间并不存在截然划分的界线，它们之间常常具有连续性、渐进性，也就是说，存在许多介于两种层次之间的几何直观。有时，从直观感知到直观洞察，也会呈现跳跃性，即所谓的“豁然开朗”。

4.数学课程标准的陈述

《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”

这段话只有三句，第一句将几何直观的两种主要表现作了非常精炼的概括，后两句进一步阐述几何直观的优势，或者说它的作用（功能）。与其他核心词类似，回避了几何直观的明确界定，同时又是针对义务教育三个学段的共性统一加以阐述。

基于上述几何直观的层次区分，可以认为三句话其实都涵盖了两种层次的几何直观。例如，“直观地理解数学”既包括“直观感知”水平的初步理解，也包括“直观洞察”水平的本质理解，当然也包括介于两种层次之间的相对深入的直观理解。

2D希尔伯特，S康福森著，王联芳译．直观几何［M］．北京：人民教育出版社，1959：6．3弗莱登塔尔著，陈昌平等译．作为教育任务的数学［M］．上海：上海教育出版社，1995：43．

4徐利治．谈谈我的一些数学治学经验[J]．数学通报，2000(5)

显而易见，其他两句话也能如此解读。

5. 两种层次的几何直观的实例

立足教与学的实际，小学阶段的几何直观，以直观感知层次为主，逐步向相对深入的直观理解水平发展，同时兼有少量直观洞察层次的表现。

直观感知层次的实例如：

[案例1] 为了帮助低年级学生直观感知乘法交换律，理解一句乘法口诀可以算两道乘法题，常常采用如下图示(图1)。

○○○○→横着看，3个4，

○○○○↓竖着看，4个3，

○○○○所以：4×3＝3×4。

图1

为了增添趣味性，也可以把圆形换成“小精灵”，如图2。

类似的教学实例很多。

[案例2] 让每一小精灵手拿2只气球，计算一共有多少只气球，就成了一个有利于直观感知乘法结合律的插图，如图3。

每行有2×4只气球，3行有2×4×3只气球，

一共有4×3个精灵，一共有2×(4×3)只气球,

所以：2×4×3＝2×(4×3)。

[案例3]再增加2行小精灵,计算两组精灵一共有多少个，

就是一个可以导出乘法分配律的直观图，如图4。低年级小学生

都能观察感知：3个4加2个4等于5个4。这样的直观解释不仅

具体揭示了乘法与加法之间的联系，而且将这一联系归结为乘法运算的原始意义，因而在后续的数学学习与数学应用中，具有相当广泛的学习迁移价值。

低年级小学生能够发现这些图示所揭示的数学事实，但还没有要求他们用语言或字母概括一般的规律，所以说这时的认知还处在直观感知水平。

仔细回溯以往的教学，也能找出一些直观洞察层次或接近该层次的实例。

[案例4] 为了帮助高年级学生直观洞察两数之积一定时，两数之间的反比例关系，常常给出实例，如“面积12平方米的长方形，长a、宽b的米数取整数时”：

a (米) 1 2 3 4 6 12

b (米) 12 6 4 3 2 1

b (米)

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3 2 1

·

·

·

y＝x

·

·

·

图2

图4

图3