同角三角函数基本关系式和诱导公式

同角三角函数基本关系式和诱导公式

编稿：李霞 审稿：孙永钊

【考纲要求】

1.理解并熟练应用同角三角函数的基本关系式：,1cos sin 22=+x x sin tan ,cos x x x =

tan cot 1x x =，掌握已知一个 角的三角函数值求其他三角函数值的方法.

2.能熟练运用诱导公式，运用任意角的三角函数值化简、求值与证明简单的三角恒等式.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、同角三角函数基本关系式

1．平方关系：222222sin cos 1;

sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α. 2．商数关系：sin cos tan ;cot cos sin ααα=α=αα

. 3．倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;

cos sec 1α⋅α=αα=α⋅α=

要点诠释： ①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.

②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如22

1sin cos =α+α， 221sec tan tan 45=α-α==

，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法

及方程思想的运用.

考点二、诱导公式 sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .πααπααπαα+=-+=-+= sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .αααααα-=--=-=- sin()sin ,

cos()cos ,tan()tan .

πααπααπαα-=-=--=-

sin()cos ,2cos()sin .2πααπαα-=-= sin()cos ,2cos()sin .2

π

ααπαα+=+=- 3sin()cos ,23cos()sin .2πααπαα-=--=- 3sin()cos ,23cos()sin .2πααπαα+=-+= 要点诠释：

（1）两类诱导公式的记忆，经常使用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”。

“奇变”是指所涉及的轴上角为2π的奇数倍时（包括4组：απ±2，απ±2

3）函数名称变为原来函数的余函数；其主要功能在于改变函数名称. “偶不变”是指所涉及的轴上角为

2π的偶数倍时（包括5组：απαπααπ-±-+2,,,2k ）, 函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题.

（2）诱导公式的引申：

sin()(1)sin ,

cos()(1)cos ,tan()tan .()

k k k k k k Z πααπααπαα+=-+=-+=∈

【典型例题】

类型一、同角三角函数基本关系式及诱导公式

例1. 已知4sin 5α=，(,)2

παπ∈，求cos α、tan α的值． 【答案】3cos 5α=-，4tan 3

α=-. 【解析】方法一：∵4sin 5α=，∴23cos 1sin 5αα=±-=±， ∵(,)2π

απ∈， ∴3cos 5α=-，sin 4tan cos 3ααα==-. 方法二：∵(,)2π

απ∈，∴cos 0α<，tan 0α< 由图形可以知道：3cos 5α=-，4tan 3

α=-. 【总结升华】①利用公式：22sin cos 1αα+=求解时，要注意角的范围，从而确定三角函数值的符

号；②三角赋值法多用于选择题和填空题，其理论基础源于“实数由符号和绝对值两部分组成”. 举一反三：

【变式1】已知1cos 4θ=，(,0)2

πθ∈-，求sin θ、tan θ.

【答案】sin θ=

tan θ=． 【解析】∵1cos 4θ=

，∴sin θ==， ∵(,0)2π

θ∈-，

∴sin 4θ=-

，sin tan cos ααα==【变式2】已知3(,

)2παπ∈，tan 2α=，求cos α. 【答案】43

. 类型二、三角函数式的求值、化简与证明

例2.

已知sin()πθ+=，求cos(3)cos(2)3cos()[cos()1]cos sin()cos 2

πθθπθπθθπθθ+-+----+

【解析】由题有1sin 3θ-=-=-，1sin 3θ∴=， 原式cos cos cos [cos 1]cos (cos )cos θθθθθθθ

-=+---+ 221122181cos 1cos 1cos sin θθθθ

=+===+-- 【总结升华】（1）三角函数式的值应先化简再代入求值；（2）应用诱导公式的重点是“函数名称”与“符号”的正确判断，常用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”.

举一反三：

【变式1】若33cos()25πα-=，求sin()cos(2)tan(2)()3tan()cos()2

f παπαπααπαπα+--=----. 【答案】45

± 【解析】由题有3sin 5α-=，34sin ,cos 55

αα∴=-∴=±， 原式sin cos()tan()sin cos tan 4cos 3tan sin 5tan()cos()2αααααααπαααα---===-=±--+ 例3.化简[]

[]sin()cos (1),sin (1)cos()k k k Z k k παπαπαπα---∈+++

【解析】（1）当2,k n n Z =∈时，