等差数列前n项和(第二课时)

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等差数列前n项和的性质课件(第2课时)

寻找等差数列前 n 项和与通项之间的关系，在比值上能否相互转化.
(1)
65 12
(2)
8 13
[(1)
法
一
：
a5 b5
＝
2a5 2b5
＝
a1＋a9 b1＋b9
＝
92a1＋a9 92b1＋b9
＝
S9 T9
＝
7×9＋9＋3 2＝6152．法二：设 Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt，则 a5＝S5－S4＝185t－120t＝65t，b5＝T5－T4＝40t－28t＝12t，
法四：设数列{an}的公差为 d，由于 Sn＝na1＋nn－2 1d，则Snn＝a1＋d2(n－1)． ∴数列Snn是等差数列，其公差为d2． ∴1S01000－S1100＝(100－10)×d2，且1S11100－1S01000＝(110－100)×d2．代入已知数值，消去 d，可得 S110＝－110．
15 [由“片段和”的性质，S2，S4－S2，S6－S4 成等差数列，也就是 4，5，S6－9 成等差数列，∴4＋(S6－9)＝2×5 解得 S6＝15．]
知识点 2 等差数列奇偶项和的性质 (1)设两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，则abnn＝ S2n－1． T2n－1 (2)若等差数列{an}的项数为 2n，则 S2n＝n(an＋an＋1)， S 偶－S 奇＝nd，SS奇偶＝aan＋n 1．
类型 2 比值问题【例 2】 (1)已知等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，且TSnn＝7nn＋＋32，则ab55＝________． (2)已知 Sn，Tn 分别是等差数列{an}，{bn}的前 n 项和，且abnn＝ 2nn＋＋21，则TS1111＝________．

等差数列前n项和公式(二)

第四章数列
4.2.4 等差数列前n项和公式（二）
(1 + )
，Sn＝na1
2
1.通项公式：an＝a1＋（n－1）d，前n项和公式：sn＝
＋
(−பைடு நூலகம்)
d.
2
2.等差数列的通项公式和前n项和公式中共含有五个量：a1，an，n，d，
Sn，知道其中的三个量，可以通过解方程（组）求出另外的两个量.
3.已知数列{an}的前n项和公式是Sn＝n2＋n，求数列的通项公式.
当n≥2时，Sn－1＝（n－1）2＋（n－1）＝n2－n.
∴an＝Sn－Sn－1＝（n2＋n）－（n2－n）＝2n.
同时当n＝1时，a1＝S1＝2.∴当n∈N*时，an＝2n
亲爱的同学们，下节课见！
3
2
21
2
a2＝，a6＝ .∴S7＝
(1 +7 )·7
( + )·7
＝ 2 6 ＝
2
2
3 21
(2+ 2 )×7
2
＝42
2.要使等差数列32，29，26，…的前n项的和Sn取最大值，求n的值.
an＝a1＋（n－1）·d＝32＋（n－1）·（－3）＝35－3n≥0.
35
3
∴n≤ ∴当n＝11时，Sn取最大值
(1 + )·
(18+6)×
∵Sn＝
.∴48＝
.∴n＝4.
2
2
又∵an＝a1＋（n－1）·d.∴6＝18＋3d.∴d＝－4
3.计算100以内能被3整除的所有自然数的和.
(3+99)×33
3＋6＋9＋…＋99＝
＝1683
2
解答题

高中数学第二章数列 2.3 等差数列的前n项和第2课时等差数列的前n项和(习题课)达标检测(

等差数列的前n 项和A 级基础巩固一、选择题1．一个等差数列共有2n ＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为()A ．30B ．31C ．32D ．33解析：中间项为a n ＋1.S 奇＝（a 1＋a 2n ＋1）2·(n ＋1)＝(n ＋1)a n ＋1＝512. S 偶＝a 2＋a 2n 2·n ＝n ·a n ＋1＝480. 所以a n ＋1＝S 奇－S 偶＝512－480＝32.答案：C2．(多选)设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 7<S 8，S 8＝S 9>S 10，则下列结论正确的是()A ．d <0B ．a 9＝0C ．S 11>S 7D ．S 8、S 9均为S n 的最大值解析：由S 7<S 8得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7<a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8，即a 8>0，又因为S 8＝S 9，所以a 1＋a 2＋…＋a 8＝a 1＋a 2＋…＋a 8＋a 9，所以a 9＝0，故B 项正确．同理由S 9>S 10，得a 10<0，因为d ＝a 10－a 9<0，故A 项正确．对C ，S 11>S 7，即a 8＋a 9＋a 10＋a 11>0，可得2(a 9＋a 10)>0，由结论a 9＝0，a 10<0，显然C 项是错误的．因为S 7<S 8，S 8＝S 9>S 10，所以S 8与S 9均为S n 的最大值，故D 项正确．答案：ABD3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12为()A.310B.13C.18D.19解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9，构成一个新的等差数列，令S 3＝1，S 6－S 3＝3－1＝2，所以S 9－S 6＝3，S 12－S 9＝4.所以S 12＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)＝1＋2＋3＋4＝10.所以S 6S 12＝310. 答案：A4．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于()A ．15B ．35C ．66D ．100解析：易得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2. |a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0则2n －5>0，所以n ≥3.所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2)＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.答案：C5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝()A ．9B ．8C ．7D ．6解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，d ＝2.所以a n ＝－15＋2n .由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤152. 又n 为正整数，所以当S n 取最小值时，n ＝7.答案：C二、填空题6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝________．解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)．因为S 3＝9，S 6－S 3＝27，所以S 9－S 6＝45，所以a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.答案：457．(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________．答案：48．若等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 2∶a 3＝5∶2，则S 3∶S 5＝________．解析：S 3S 5＝3（a 1＋a 3）5（a 1＋a 5）＝3a 25a 3＝35×52＝32. 答案：3∶2三、解答题9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的X 围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解：(1)因为a 3＝12，所以a 1＝12－2d ，因为S 12＞0，S 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d ＞0，13a 1＋78d ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0，所以－247＜d ＜－3. (2)因为S 12＞0，S 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7＞0，a 7＜0，所以a 6＞0.又由(1)知d ＜0.所以数列前6项为正，从第7项起为负．所以数列前6项和最大．10．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．解：法一设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，①100a 1＋100×992d ＝10，② ①×10－②，整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100. 所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150 ＝110×1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110. 法二数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100为等差数列，设公差为d ′，则10S 10＋10×92×d ′＝S 100＝10，因为S 10＝100，代入上式得d ′＝－22，所以S 110－S 100＝S 10＋(11－1)×d ′＝100＋10×(－22)＝－120，所以S 110＝－120＋S 100＝－110.法三设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn . 因为S 10＝100，S 100＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－11100，b ＝11110，所以S n ＝－11100n 2＋11110n ，所以S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110. B 级能力提升1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝0，a 5＝5，则()A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n 答案：A2．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003· a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是________．解析：由条件可知数列单调递减，故知 a 2 003＞0，a 2 004＜0，故S 4 006＝4 006（a 1＋a 4 006）2＝2 003·(a 2 003＋a 2 004)＞0， S 4 007＝4 007（a 1＋a 4 007）2＝4 007×a 2 004＜0，故使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是4 006. 答案：4 0063．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数．因为S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52. 因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ，于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋⎦⎥⎤…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13(110－3n －110)＝n 10（10－3n ）.。

人教新课标版数学高二必修五2.3.2等差数列的前n项和(二)

等差数列的前n 项和(二)等差数列的内容内涵丰富，通项公式与前n 项和公式是其核心内容，我们对其进行合理整合、变形，可以得到诸多的性质，它们的应用使解题变得轻松愉悦，与常规方法相比较，过程要简捷得多.【性质1】已知等差数列{a n }，m 、p 、q ∈N *，若存在实数λ使λλ++=1qp m (λ≠-1), 则λλ++=1q p m a a a .证明：由等差数列{a n }的通项公式a n =dn +a 1-d 的几何意义：点(p,a p )、(m,a m )、(q,a q )共线，由斜率公式得mq a a pm a a m q p m --=--，因为λλ++=1qp m ，所以λ=--q m m p . 所以λ(a m -a q )=a p -a m .所以(1+λ)a m =a p +λa q ，即λλ++=1q p m a a a .评析：特别地,当λ=1时，2a m =a p +a q ，我们不妨将性质1称为等差数列的定比分点公式.【性质2】等差数列{a n }，n i ，m i ∈N *，i=1,2,3,…,k,若∑∑===ki ik i i mn 11.则∑∑===ki m ki ma a11.证明：设等差数列{a n }的公差为d .根据a n i =a mi +(n i -m i )d ，i=1,2,3,…,k,则∑∑∑∑∑======-+=k i mi k i k i k i i i mi ki nia d m n a a11111)(.所以∑∑===ki mi k i ni a a 11推论：等差数列{a n }，n i ，m ∈N *，i=1,2,3,…,k,若∑==k i i n km 1.则∑==ki n m i a ka 1.评析：本性质实质上是等差中项性质的推广.【性质3】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d .n ，m ∈N *, 则d n m n S m S n m )(21-=-.证明:因为mn mS nS n S m S nm n m -=- =mnd n n na m d m m ma n ]2)1([]2)1([11-+--+=mndn mn mna d m mn mna 2)1(2)1(11----+=d mn mnmn mn n m 222+--=d mnmn n m 222- =d mn n m mn 2)(-=d n m )(21- 所以d n m n S m S n m )(21-=-.评析：实质上数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是公差为2d 的等差数列.【性质4】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d .n ，m ∈N *,则S m+n =S m +S n +mnd . 证明：因为S m+n =S n +(a n +1+a n +2+…+a n +m ) =S n +(a 1+nd )+(a 2+nd )+…+(a m +nd ) =S n +(a 1+a 2+…+a m )+m nd=S m +S n +m nd ，所以S m+n =S m +S n +mnd .【性质5】等差数列{a n }前n 项和为S n ，若m=p+q(m 、p 、q ∈N *且p≠q),则有qp S S m S qp m --=. 证明：设等差数列{a n }的公差为d . 因为S p -S q =p a 1+21p(p-1)d -q a 1-21 q(q-1)d =(p-q)［a 1+21(p+q-1)d ］，所以d q p a q p S S qp )1(211-++=--.又因为d m a m S m )1(211-+=且m=p+q ，所以有qp S S m S qp m --=. 推论：等差数列{a n }前n 项和为S n ，若m+t=p+q(m 、t 、p 、q ∈N *且m≠t,p≠q),则qp S S t m S S q p t m --=--.【性质6】等差数列{a n }前n 项和为S n . (1)当n =2k(k ∈N *)时，S 2k =k(a k +a k+1); (2)当n =2k-1(k ∈N *)时，S 2k-1=k a k .。

4。2.2等差数列的前n项和

4.2.2.1等差数列的前n 项和要点一等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝11()(1)22n n a a n n na d +-=+ 【重点总结】(1)等差数列前n 项和公式的推导：设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，倒序得S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 2＋a 1.相加得2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)．由等差数列性质，得2S n ＝n(a 1＋a n )，∴S n ＝n (a 1＋a n )2.我们不妨将上面的推导方法称为倒序相加求和法. 今后，某些数列求和常常会用到这种方法．(2)在求等差数列前n 项和时，若已知a 1和a n 及项数n ，则使用S n ＝n (a 1＋a n )2；若已知首项a 1和公差d 及项数n ，则采用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 来求．要点二等差数列前n 项和的主要性质 1．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等差数列．2．若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d ，①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝1n n aa+；②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝n a ，S 奇S 偶＝1n n -.S 2n －1＝（2n -1）a n . 【重点总结】关于奇数项的和与偶数项的和的问题，要根据项数来分析，当项数为奇数或偶数时，S 奇与S偶的关系是不相同的．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和．( ) (2)数列{a n }为等差数列，S n 为前n 项和，则S 2，S 4，S 6成等差数列．( ) (3)在等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)a n .( ) (4)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1.( ) 【答案】（1）√（2）×（3）√（4）×2．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 9＝10，则S 9等于( ) A ．45 B ．52 C ．108 D ．54 【答案】D【解析】S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×122＝54.故选D.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则S 12＝( ) A ．28 B ．32 C ．36 D ．40 【答案】C【解析】∵数列{a n }为等差数列， ∴S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，∴2(S 8－S 4)＝S 4＋S 12－S 8，解得：S 12＝36.4．已知数列{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4，那么数列{a n }的前11项和等于________. 【答案】22【解析】∵数列{a n }为等差数列，∴a 3＋a 9＝a 1＋a 11＝4.∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝112×4＝22.题型一等差数列前n 项和的基本运算【例1】在等差数列{a n }中，(1)已知a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)已知a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .(3)已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .【解析】(1)由题意得，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ⎝⎛⎭⎫56－322＝－5，解得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.∴n ＝15，d ＝－16.(2)由已知得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5. ∴a 8＝39，d ＝5.(3)∵a n ＝11，d ＝2，S n ＝35，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(n －1)×2＝11na 1＋n (n －1)2×2＝35解得n ＝5，a 1＝3或n ＝7，a 1＝－1. 【方法归纳】a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中可知三求二，一般通过通项公式和前n 项和公式联立方程组求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．【跟踪训练】在等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S m ＝－15，求m 及a m ；(2)a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10. (3)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.【解析】(1)∵S m ＝m ×32＋m (m －1)2×⎝⎛⎭⎫－12＝－15，整理得m 2－7m －60＝0解得m ＝12或m ＝－5(舍去)∴a m ＝a 12＝32＋(12－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－4. (2)⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，a 6＝a 1＋5d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝3.∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(3)S 17＝17×(a 1＋a 17)2＝17×(a 3＋a 15)2＝17×402＝340.题型二等差数列前n 项和性质的应用【例2】(1)等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 【答案】C【解析】利用等差数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列．所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即30＋(S 9－100)＝2(100－30)，解得S 9＝210.(2)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.【答案】53【解析】由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. (3)已知等差数列{a n }前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝________. 【答案】14【解析】 S n －S n －4＝a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝80， S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40.两式相加得4(a 1＋a n )＝120，∴a 1＋a n ＝30，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝15n ＝210，∴n ＝14.【笔记小结】(1)中S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等差数列． (2)中a 5b 5＝qa 5qb 5＝S 9T 9.(3)中S n －S n －4为末4项和，S 4为前4项和，倒序相加可得 4(a 1＋a n )．【方法归纳】等差数列前n 项和的常用性质(1)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…是等差数列．(2)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，公差为数列{a n }的公差的12.(3)涉及两个等差数列的前n 项和之比时，一般利用公式a m b n ＝2n －12m －1·S 2m －1T 2n －1进行转化，再利用其他知识解决问题．(4)用公式S n ＝n (a 1＋a n )2时常与等差数列的性质a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…相结合．【跟踪训练2】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14等于( ) A ．18 B ．17 C ．16 D ．15 【答案】A【解析】设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.故选A.(2)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对于任意的自然数n ，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10＝( )A.1941B.1737C.715D.2041 【答案】A【解析】a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10＝a 9b 3＋b 9＋a 3b 2＋b 10＝a 9＋a 3b 2＋b 10＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝S 11T 11＝22－344－3＝1941.故选A.(3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.【解析】(3)方法一：因为S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列，设公差为d ，前10项的和为：10×100＋10×92d ＝10，所以d ＝－22，所以前11项的和S 110＝11×100＋11×102d ＝11×100＋11×102×(－22)＝－110.方法二：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n n ＝d 2(n －1)＋a 1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 成等差数列．所以S 100100－S 1010100－10＝S 110110－S 100100110－100，即10100－10010100－10＝S 110110－1010010，所以S 110＝－110.方法三：设等差数列{a n }的公差为d ，S 110＝a 1＋a 2＋…＋a 10＋a 11＋a 12＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋[(a 1＋10d )＋(a 2＋10d )＋…＋(a 100＋10d )]＝S 10＋S 100＋100×10d ，又S 100－10S 10＝100×992d －100×92d ＝10－10×100，即100d ＝－22，所以S 110＝－110. 题型三求数列{|a n |}的前n 项和【例3】在等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求数列{|a n |}的前n 项和．【解析】等差数列{a n }的公差 d ＝a 17－a 117－1＝－12－(－60)16＝3，∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－60＋3(n －1)＝3n －63，令a n <0，即3n －63<0，则n <21.∴等差数列{a n }的前20项是负数，第20项以后的项是非负数，设S n 和S ′n 分别表示数列{a n }和{|a n |}的前n 项和．当n ≤20时，S ′n ＝－S n ＝－⎣⎡⎦⎤－60n ＋3n (n －1)2＝－32n 2＋1232n ；当n >20时，S ′n ＝－S 20＋(S n －S 20)＝S n －2S 20＝－60n ＋3n (n －1)2－2×⎝⎛⎭⎫－60×20＋20×192×3＝32n 2－1232n ＋1 260， ∴数列{|a n |}的前n 项和为S ′n ＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n ，n ≤20，32n 2－1232n ＋1 260，n >20.【方法归纳】已知{a n }为等差数列，求数列{|a n |}的前n 项和的步骤第一步，解不等式a n ≥0(或a n ≤0)寻找{a n }的正负项分界点．第二步，求和：①若a n 各项均为正数(或均为负数)，则{|a n |}各项的和等于{a n }的各项的和(或其相反数)；②若a 1>0，d <0(或a 1<0，d >0)，这时数列{a n }只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．【跟踪训练3】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .【解析】a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n － ⎣⎡⎦⎤－32(n －1)2＋2052(n －1)＝－3n ＋104.∵n ＝1也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋104(n ∈N *)．由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤34.7. 即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0.①当n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n ；②当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 35＋a 36＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2S 34－S n ＝2⎝⎛⎭⎫－32×342＋2052×34－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n ＝32n 2－2052n ＋3 502. 故T n ＝⎩⎨⎧－32n 2＋2052n ，n ≤34且n ∈N *，32n 2－2052n ＋3 502，n ≥35且n ∈N *.【易错辨析】混淆等差数列的性质致误【例4】已知等差数列{a n }的前n 项之和记为S n ，S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________. 【答案】120【解析】由题意知⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝1030a 1＋30×292d ＝70得⎩⎨⎧a 1＝25，d ＝215.所以S 40＝40×25＋40×392×215＝120.【易错警示】 1. 出错原因将等差数列中S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列误认为S m ，S 2m ，S 3m 成等差数列. 2. 纠错心得本题可用等差数列的性质：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列求解；还可以由S 10＝10，S 30＝70联立方程组解得a 1和d ，再求S 40.一、单选题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为18，若21S =，13n n a a -+=，则n 的值为（）A ．9B ．18C ．27D ．36【答案】B 【分析】由已知得()121124n n n a a a a a a -+++=+=，得12n a a +=，再由等差数列求和公式可求得答案. 【解析】解：∵等差数列{}n a 的前n 项和为18，21S =，13n n a a -+=，∵121a a +=， ∵()121124n n n a a a a a a -+++=+=，解得12n a a +=，又()1182n n n a a S +==，∵2182n ⨯=，∵18n =.故选：B.2．已知在等比数列{}n a 中，3544a a a =，等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且74b a =，则13S =（） A ．26 B ．52 C ．78 D ．104【答案】B 【分析】利用等比中项的性质可求得4a 的值，即为7b 的值，再利用等差数列的求和公式可求得13S 的值. 【解析】因为在等比数列{}n a 中，3544a a a =，可得2444a a =，40a ≠，解得44a =，又因为数列{}n b 是等差数列，744b a ==，则()13113711313134522S b b b =⨯+==⨯=.故选：B.3．已知数列{}n a 的各项均不为零，1a a =，它的前n 项和为n S ．且n a1n a +（*N n ∈）成等比数列，记1231111n nT S S S S =+++⋅⋅⋅+，则（） A ．当1a =时，202240442023T < B ．当1a =时，202240442023T > C ．当3a =时，202210111012T > D ．当3a =时，202210111012T <【答案】C 【分析】结合等比性质处理得22n n a a +-=，再分1a =和3a =分类讨论，1a =时较为简单，结合裂项法直接求解，当3a =时，放缩后再采用裂项即可求解.【解析】由n a1n a +成等比数列可得，12n n n S a a +=⋅①，也即1122n n n S a a +++=⋅②，②-①得()1122n n n n a a a a +++=-，因为0n a ≠，所以，22n n a a +-=，即数列的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，当1a a =时，1122a a a =⋅，即22a =，对A 、B ，当1a =时，12341,2,3,4,n a a a a a n =====，此时数列为等差数列，前n 项和为()12n n n S +=，()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，故12311111111112121223+11n n T S S S S n n n ⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=-+-+-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，当2022n =时，2022140442120232023T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故A 、B 错误；对C 、D ，当3a =时，1352021202113,5,7,3+220232a a a a -====⨯=， 2420222,4,,2022a a a ===,当n 为偶数时，232n n nS +=，当n 为奇数时，()()()2213132122n n n n n S n +++++=-+=，所以()()12,2n n n S n N *++≤∈,()()121121212n S n n n n ⎛⎫≥=- ⎪++++⎝⎭, 此时202212320221111T S S S S =+++⋅⋅⋅+ 111111110112123342023202410121012⎛⎫>-+-++-=-= ⎪⎝⎭，故C 正确，D 错误. 故选：C4．数列{}n a 中，12a =，且112n n n n n a a a a --+=+-（2n ≥），则数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2021项和为（） A ．20211010B ．20211011C ．20191010D ．40402021【答案】B 【分析】由已知可得221(1)(1)n n a a n ----=，从而得221(1)(1)(1)2n a a n n ---=+-+⋅⋅⋅+，再由12a =得2(1)(1)2n n n a +-=，所以212112(1)(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭，然后利用裂项相消求和法可求得结果【解析】因为112n n n n na a a a --+=+-（2n ≥），所以22112()n n n n a a a a n -----=，整理得，221(1)(1)n n a a n ----=，所以221(1)(1)(1)2n a a n n ---=+-+⋅⋅⋅+，因为12a =，所以2(1)(1)2n n n a +-=，所以212112(1)(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭，所以数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2021项和为2021111111202121212232021202220221011S ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B5．有一个三人报数游戏：首先甲报数字1，然后乙报两个数字2、3，接下来丙报三个数字4、5、6，然后轮到甲报四个数字7、8、9、10，依次循环，则甲报出的第2028个数字为（） A ．5986 B ．5987 C ．5988 D ．以上都不对【答案】C 【分析】首先分析出甲第n 次报数的个数，得到甲第n 次报完数后总共报数的个数，计算出甲是第0n 次报数中会报到第2020个数字，再计算当甲第0n 次报数时，3人总的报数次数m ，再推算出此时报数的最后一个数m S ，再推出甲报出的第2028个数字. 【解析】由题可得甲第n *()n N ∈次报数的个数为32n -，则甲第n 次报完数后总共报数的个数为[1(32)](31)22n n n n n T +--==，再代入正整数n ，使2020,n T n ≥的最小值为37，得372035T =，而甲第37次报时，3人总共报数为3631109⨯+=次，当甲第109次报完数3人总的报数个数为109(1091)12310959952m S +=++++==，即甲报出的第2035个数字为5995，所以甲报出的第2028个数字为5988. 故选：C.6．已知数列{}n a 满足()112nn n a a n +=-+，*n N ∈，则10S =（）A ．32B ．50C ．72D ．90【答案】B 【分析】由递推关系式，求得12a a +，34a a +，56a a +，78a a +，910a a +，然后相加可得10S ．【解析】由已知212a a =-+，122a a +=，436a a =-+，346a a +=，同理5610a a +=，7814a a +=，91018a a +=，所以102610141850S =++++=．故选：B ．7．庑殿是古代传统建筑中的一种屋顶形式，其可近似看作由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成，如图所示.若在等腰梯形与等腰三角形侧面中需铺瓦6层，等腰梯形中下一层铺的瓦数比上一层铺的瓦数多2,等腰三角形中下一层铺的瓦数是上一层铺的瓦数的2倍.两个等腰梯形与两个等腰三角形侧面同一层全部铺上瓦，其瓦数视作同一层的总瓦数.若顶层需铺瓦82块，整个屋顶需铺瓦666块，则最底层需铺瓦块数为（）A ．82B ．114C ．164D ．228【答案】C 【分析】由题意得等腰梯形中铺的瓦数自上而下构成一个公差为2的等差数列{}n a ，等腰三角形中铺的瓦数自上而下构成一个公比为2的等比数列{}n b ，故得到()()11611282,1265262666,212a b b a ⎧+=⎪⎪⎡⎤-⨯⎨⎢⎥+⨯+=⎪-⎢⎥⎪⎣⎦⎩，进而可求得两个数列的通项公式，再分别求每个数列的第6项，()()56622502164a b +=+=可得到最终结果.【解析】由题意等腰梯形中铺的瓦数自上而下构成一个公差为2的等差数列{}n a ，等腰三角形中铺的瓦数自上而下构成一个公比为2的等比数列{}n b ，由条件可知，()()11611282,1265262666,212a b b a ⎧+=⎪⎪⎡⎤-⨯⎨⎢⎥+⨯+=⎪-⎢⎥⎪⎣⎦⎩解之得1140,1ab ==，所以()14021238,2n n n a n n b -=+-=+=，所以()()56622502164a b +=+=，故最底层需铺瓦块数为164，故选：C.8．设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，已知数列{}n b 的等差数列，且2n n na nb a +=，33a =，4511b b +=，则n n S T +=（） A ．22n n - B ．22n n -C ．22n n +D ．22n n +【答案】D 【分析】设等差数列{}n b 的公差为d ，进而根据等差数列的通项公式计算得121b d =⎧⎨=⎩，故1n b n =+，n a n =，再根据等差数列前n 项和公式求解即可。

等差数列的前n项和公式课件(第二课时)-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

若 a1＞0，d＜0，则 Sn 必有最_大___值，其 n 可用不等式组aann≥＋1≤0，0 来确定；若 a1＜0，d＞0，则 Sn 必有最_小___值，其 n 可用不等式组aann≤＋1≥0，0 来确定．
(2) 二次函数法
在等差数列{an}中，由于 Sn＝na1＋n(n2－1) d＝d2 n2＋a1－d2 n，则可用求二次函数最值的方法来求前 n 项和 Sn 的最值，其中，n 的值可由 n∈N*及二次函数图
Sn
13n
1 2
n(n
1) (2)
n2 14n
(n 7)2 49
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法2: 由S3=S11, 得d=－2<0 则Sn的图象如下图所示
Sn
3 7 11 n
∴图象的对称轴为 n 3 11 7 2
故当n=7时, Sn取最大值49.
1.已知等差数列{an}中, a1=13且S3=S11, 求n取何值时, Sn取最大值.
解法3: 由S3=S11, 得d=－2<0
∴an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
an an1
0
0
,
得
n n
15 2 13 2
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法4: 由S3=S11, 得
a4+a5+a6+……+a11=0
而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∵n N*,∴1 n 30. ∴集合M的元素是由1至59共30个奇数组成.
∴这些元素的和为30(1 59) 900. 2
课本P24
*5.已知数列{an }的通项公式为an

高二第一学期数学选择性必修二导学案(等差数列的前n项和公式第2课时)教师版

4.2.2 等差数列的前n项和公式（第二课时）【学习目标】（1）能熟练处理与等差数列的相关量之间的关系；（2）用函数的思想解决数列的最大（小）项、和的最大（小）值问题；（3）会利用等差数列的性质灵活解决与之相关的问题.【知识复习】1、等差数列的通项公式：a n=a1+(n−1)d2、等差数列前n项和的公式：S n=n(a1+a n)2S n=na1+n(n−1)2d【例题精讲】例1(课本例8)（实际应用）某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位. 问第1排应安排多少个座位.跟踪训练11、某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天道商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元。

你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？2、虎甲虫以爬行速度闻名，下表记录了一只虎甲虫连续爬行n s（n=1,2,…,100）时爬行的距离.（1）你能建立一个数列模型，近似地表示这只虎甲虫连续爬行的距离与时间之间的关系吗？（2）利用建立的模型计算，这只虎甲虫连续爬行1 min能爬多远（精确到0.01m）？它连续爬行10m 需要多长时间（精确到0.1s ）?例2（研究等差数列前n 项和公式的性质）探究：如果数列{a n }的前n 项和为S n =pn 2+qn +r ，其中p,q,r 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？证：当n≥2时，a n =S n -S n-1=pn 2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r=2pn-p+q 当n=1时，a 1=S 1=p+q+r当r ≠0时，a 1不满足a n =2pn-p+q ，此时数列不是等差数列. 当且仅当r =0时，a 1满足a n =2pn-p+q ，此时该数列是等差数列.故只有当r=0时该数列才是等差数列, 其中首项a 1=p+q, 公差d=2p(p≠0).跟踪训练2-1已知数列{a n }的n 项和为S n =14n 2+23n +3 ,求数列{a n }的通项公式.解：当n ≥2时，a n =S n −S n−1=14n 2+23n +3−[14(n −1)2+23(n −1)+3]=12n +512当n =1时，a 1=S 1=14+23+3=4712，不满足上式故数列{a n }的通项公式为a n ={4712,n =112n +512,n ≥2证明：∵S n =na 1+n (n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d2)n∴S n n =d 2n +(a 1−d2) ∴S n n −S n−1n −1=d 2n +(a 1−d 2)−[d 2(n −1)+(a 1−d 2)]=d2故{Snn }是公差为d2的等差数列.跟踪训练2-2 已知S n是等差数列{a n}的前n项和.}是等差数列；（1）证明：{S nn}的前n项和，若S4=12,S8=40，求T n.（2）设T n为数列{S nn证明：∵S m=a1+a2+⋯+a m∴S2m−S m=a m+1+a m+2+⋯+a2m=(a1+a2+⋯+a m)+m2d S3m−S2m=a2m+1+a2m+2+⋯+a3m=(a m+1+a m+2+⋯+a2m)+m2d ∴(S2m−S m)−S m=(S3m−S2m)−(S2m−S m)=m2d∴S m,S2m−S m,S3m−S2m构成等差数列，公差为m2d.跟踪训练2-31.已知等差数列{a n}的n项和为S n,且S10＝310,S20＝1220，求S30.解：∵数列{a n}为等差数列，∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，即2×(1 220－310)＝310＋S30－1 220，∴S30＝2 730.证明：a mb n=2a m 2b n=a 1+a 2m−1b 1+b 2n−1=(2m−1)(a 1+a 2m−1)212m−1(2n−1)(b 1+b 2n−1)212n−1=(2n−1)S 2m−1(2m−1)T 2n−1跟踪训练2-41.已知{a n },{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ,T n ，且S n T n=2n+2n+3，则a 5b 5＝__53__.2、设等差数列{b n }的前n 项和为T n . 若a n b n=5n+2n+3，则 S5T5=__176__；证明： S 2n =2n (a 1+a 2n )2=n (a 1+a 2n )=n (a n +a n+1)，S 偶−S 奇=(a 2−a 1)+(a 4−a 3)+⋯+(a 2n −a 2n−1)=ndS 偶S 奇=n (a 2+a 2n )2n (a 1+a 2n−1)2=a 2+a 2n a 1+a 2n−1=2a n+12a n =a n+1a n.跟踪训练2-51.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d =______.解：由条件{S 奇+S 偶=354S 偶S 奇=3227) ，解得{S 偶=192S 奇=162)∴ 由S 偶−S 奇=6d 得 d =5证明：S 2n+1=(2n+1)(a 1+a 2n+1)2=(2n+1)2a n+12=(2n +1)a n+1S 奇−S 偶=a 1+(a 3−a 2)+(a 5−a 4)+⋯+(a 2n+1−a 2n )=a 1+nd =a n+1S 偶S 奇=n (a 2+a 2n )2(n +1)(a 1+a 2n+1)2=n (a 2+a 2n )(n +1)(a 1+a 2n+1)=n n +1.跟踪训练2-61、项数为奇数的等差数列{a n }，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．解：设等差数列{a n }共有(2n ＋1)项，则奇数项有(n ＋1)项，偶数项有n 项，中间项是第(n ＋1)项，即a n ＋1，∴S 奇S 偶＝12(a 1＋a 2n ＋1)(n ＋1)12(a 2＋a 2n )n ＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n ＝4433＝43，解得n ＝3.∵S 奇＝(n ＋1)a n ＋1＝44，∴a n ＋1＝11.∴这个数列的中间项为11，共有2n ＋1＝7(项)．例3（课本例9）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=10，公差d =−2，则S n 是否存在最大值？若存在，求S n 的最大值及取得最大值时n 的值；若不存在，请说明理由.【总结】求等差数列{a n }的前n 项和S n 的最值的方法 1.前n 项和公式法利用S n =An 2+Bn 进行配方，求二次函数的最值，此时n 应取最接近−B 2A的正整数值；2.通项公式法利用等差数列的增减性及a n 的符号变化(1)当a 1>0,d <0时，数列前面有若干项为正, 此时所有正项的和为S n 的最大值. 此时由a n ≥0且a n+1≤0求n 的值；(2)当a 1<0,d >0时，数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为S n 的最小值. 此时由a n ≤0 且a n+1≥ 0求n 的值；注意：当数列的项中有数值为0时，n应有两解.跟踪训练31、已知等差数列-4.2，-3.7，-3.2，…的前n项和为S n，S n是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值.，前n项和为S n. 求S n取得最小值时n的值.2、已知数列{a n}的通项公式为a n=n−22n−15【课后作业】（1）《把关题》第6-7页；（2）《把关题》第8-9页.【板书设计】一、选择题1.已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为( ) A.11或12 B.12 C.13D.12或13答案 D 解析 ∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2， ∴数列{a n }为等差数列.又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋25n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋6254.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 最大.2.若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和最大时，n 的值为( ) A.6 B.7 C.8D.9答案 B 解析因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎨⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，所以⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3（k ＋1）≤0，即193≤k ≤223. 因为k ∈N *，所以k ＝7.故满足条件的n 的值为7.3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？( ) A.4日 B.3日 C.5日D.6日答案 A 解析由题意，可知良马第n 日行程记为a n ，则数列{a n }是首项为97，公差为15的等差数列，驽马第n 日行程记为b n ，则数列{b n }是首项为92，公差为－1的等差数列，则a n ＝97＋15(n －1)＝15n ＋82，b n ＝92－(n －1)＝93－n .因为数列{a n }的前n 项和为n （97＋15n ＋82）2＝n （179＋15n ）2，数列{b n }的前n 项和为n （92＋93－n ）2＝n （185－n ）2，∴n （179＋15n ）2＋n （185－n ）2＝840，整理得14n 2＋364n －1 680＝0，即n 2＋26n －120＝0，解得n ＝4(n ＝－30舍去)，即4日相逢.4.若在数列{a n }中，a n ＝43－3n ，则当S n 取最大值时，n ＝( ) A.13 B.14 C.15D.14或15答案 B 解析 ∵数列{a n }中，a n ＝43－3n ，∴a 1＝40，∴S n ＝n （40＋43－3n ）2是关于n 的二次函数，函数图象是开口向下的抛物线上的一些横坐标为正整数的点，对称轴为n ＝836，又n 为正整数，与836最接近的一个正整数为14，故S n 取得最大值时，n ＝14.故选B.5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 1＝( ) A.35 B.32 C.23D.38答案 A 解析由题意可知，九个儿子的年龄成公差d ＝－3的等差数列，且九项之和为207.故S 9＝9a 1＋9×82d ＝9a 1－108＝207，解得a 1＝35. 二、填空题6.在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，则公差d 的取值范围是________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78解析由题意，当且仅当n ＝8时，S n 有最大值，可知⎩⎨⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎨⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78. 7.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，数列{a n }的前n 项和最大.答案 8解析 ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0. ∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 8>0，a 9<0. 故前8项的和最大.8.已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝40，则a 3·a 8的最大值为________. 答案 16解析 ∵正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝10（a 3＋a 8）2＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3>0，a 8>0，a 3＋a 8＝40×210＝8，∴a 3·a 8＝a 3(8－a 3)＝－a 23＋8a 3＝－(a 3－4)2＋16≤16.当且仅当a 3＝4时取等号. 三、解答题9.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大？并说明理由. 解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d .∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎨⎧12a 1＋66d ＞0，13a 1＋78d ＜0，即⎩⎨⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0，∴－247＜d ＜－3.即d 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－247，－3.(2)∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎨⎧a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＜0，∴⎩⎨⎧a 6＋a 7＞0，a 7＜0，∴a 6＞0，又由(1)知d ＜0. ∴数列前6项为正，从第7项起为负.∴数列前6项和最大.10.流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感.据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人.到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8 670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数.解设第n 天新患者人数最多，则从第n ＋1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n 天流感病毒感染者总人数构成一个首项为20，公差为50的等差数列的n 项和，S n ＝20n ＋n （n －1）2×50＝25n 2－5n (1≤n ≤30，n ∈N )，而后30－n 天的流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20＋(n －1)×50－30＝50n －60，公差为－30，项数为30－n 的等差数列.其和T n ＝(30－n )·(50n －60)＋（30－n ）（29－n ）2×(－30)＝－65n 2＋2 445n －14 850.依题设构建方程有S n ＋T n ＝8 670，即25n 2－5n ＋(－65n 2＋2 445n －14 850)＝8 670.化简，得n 2－61n ＋588＝0，解得n ＝12或n ＝49(舍去)，第12天的新患者人数为20＋(12－1)×50＝570(人).故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，这一天的新患者人数为570人.11.《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈.头节高五寸①，头圈一尺三②，逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈.爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺； ③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺) 问：此民谣提出的问题的答案是( ) A.61.395尺 B.61.905尺 C.72.705尺D.73.995尺答案 A 解析设从地面往上，每节竹长为a 1，a 2，a 3，…，a 30，∵每节竹节间的长相差0.03尺，∴{a n }是以a 1＝0.5为首项，以d ′＝0.03为公差的等差数列.由题意知竹节上一圈比下一圈细0.013尺，设从地面往上，每圈周长为b 1，b 2，b 3，…，b 30，可得{b n }是以b 1＝1.3为首项，d ＝－0.013为公差的等差数列.∴一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程S 30＝(a 1＋a 2＋…＋a 30)＋(b 1＋b 2＋…＋b 30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫30×0.5＋30×292×0.03＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤30×1.3＋30×292×（－0.013）＝61.395，故选A. 12.已知{a n }是等差数列，首项为a 1，其公差d <0，前n 项和为S n ，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和为T n .(1)若a 1＝－4d ，则当n ＝________时，T n 有最大值；(2)若当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则a 1d 的取值范围是________.答案 8或9 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－52解析易知S n n ＝d 2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2，若a 1＝－4d ，则S n n ＝d 2n －92d ，由⎩⎪⎨⎪⎧S n n ≥0，S n ＋1n ＋1≤0，解得8≤n ≤9. 即n ＝8或9时，T n 有最大值；若当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则⎩⎪⎨⎪⎧S 66＝a 1＋52d >0，S 77＝a 1＋3d <0，d <0，解得－3<a 1d <－52. 13.某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m ，最远一根电线杆距离电站1 550 m ，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工.若该汽车往返运输总行程为17 500 m ，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？解由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{a n }，则a n ＝1 550×2＝3 100，d ＝50×3×2＝300，S n ＝17 500.由等差数列的通项公式及前n 项和公式，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（n －1）×300＝3 100， ①na 1＋n （n －1）2×300＝17 500. ② 由①得a 1＝3 400－300n .代入②得n (3 400－300n )＋150n (n －1)－17 500＝0，整理得3n 2－65n ＋350＝0，解得n ＝10或n ＝353(舍去)，所以a 1＝3 400－300×10＝400.故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30(根)，最近的一趟往返行程400 m ，第一根电线杆距离电站12×400－100＝100(m).所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m.14.(多选题)首项为正数，公差不为0的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，现有下列四个命题，其中正确的命题有( )A.若S 10＝0，则S 2＋S 8＝0B.若S 4＝S 12，则使S n >0的n 的最大值为15C.若S 15>0，S 16<0，则{S n }中S 8最大D.若S 7<S 8，则S 8<S 9答案 BC 解析对于A ，若S 10＝0，则S 10＝（a 1＋a 10）·102＝0，则a 1＋a 10＝0，即2a 1＋9d ＝0，则S 2＋S 8＝(2a 1＋d )＋(8a 1＋28d )＝10a 1＋29d ≠0，A 不正确；对于B ，若S 4＝S 12，则S 12－S 4＝0，即a 5＋a 6＋…＋a 11＋a 12＝4(a 8＋a 9)＝0，由于a 1>0，则a 8>0，a 9<0，则有S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8>0，S 16＝16（a 1＋a 16）2＝16（a 8＋a 9）2＝0，故使S n >0的n 的最大值为15，B 正确；对于C ，若S 15>0，S 16<0，则S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8>0， S 16＝16（a 1＋a 16）2＝8(a 8＋a 9)<0，则有a 8>0，a 9<0，故{S n }中S 8最大，故C 正确；对于D ，若S 7<S 8，即a 8＝S 8－S 7>0，而S 9－S 8＝a 9，不能确定其符号，D 错误.。

高中数学选择性必修二 4 2 2第二课时等差数列前n项和的性质及应用(习题课)(含答案)

4．2.2 第二课时等差数列前n 项和的性质及应用(习题课)[A 级基础巩固]1．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选B ∵S 奇S 偶＝n ＋1n ，∴165150＝n ＋1n .∴n ＝10，故选B. 2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选B 等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB ―→＝a 1OA ―→＋a 200OC ―→，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200等于( )A ．100B ．101C ．200D ．201解析：选A 由A ，B ，C 三点共线得a 1＋a 200＝1，∴S 200＝2002(a 1＋a 200)＝100. 4．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于( )A ．15B ．35C ．66D ．100 解析：选C 易得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2. |a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n ＞0则2n －5＞0，∴n ≥3.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.5．设数列{a n }是等差数列，若a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：选C ∵a 1＋a 3＋a 5＝105＝3a 3，∴a 3＝35，∵a 2＋a 4＋a 6＝99＝3a 4，∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝41－2n ，令a n ＞0，∴41－2n ＞0，∴n ＜412， ∴n ≤20.6．已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________. 解析：∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5. 答案：57．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k ＝________.解析：∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2)， ∴a n ＝2n －10.由5＜2k －10＜8，得7.5＜k ＜9，又k ∈N *，∴k ＝8.答案：88．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0知a 1＋a 406>0，即S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.答案：4059．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？解：(1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .(2)法一：由a 1＝9，d ＝－2，得S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．法二：由(1)知a 1＝9，d ＝－2＜0，∴{a n }是递减数列．令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112. ∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n ＞0，n ≥6时，a n ＜0.∴当n ＝5时，S n 取得最大值．10．若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .解：∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n .当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4) ＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n )＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n＝2×(13＋1)×42－(15n －2n 2) ＝2n 2－15n ＋56.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n －2n 2(n ≤4)，2n 2－15n ＋56(n ≥5). [B 级综合运用]11．(多选)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d .已知a 3＝12，S 12>0，a 7<0，则( )A ．a 6>0B ．－247<d <－3 C ．S n <0时，n 的最小值为13D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 中最小项为第7项解析：选ABCD 依题意得a 3＝a 1＋2d ＝12，a 1＝12－2d ，S 12＝a 1＋a 122×12＝6(a 6＋a 7)．而a 7<0，所以a 6>0，a 1>0，d <0，A 选项正确．且⎩⎪⎨⎪⎧ a 7＝a 1＋6d ＝12＋4d <0，a 6＝a 1＋5d ＝12＋3d >0，a 6＋a 7＝2a 1＋11d ＝24＋7d >0.解得－247<d <－3，B 选项正确．由于S 13＝a 1＋a 132×13＝13a 7<0，而S 12>0，所以S n <0时，n 的最小值为13.由上述分析可知，n ∈[1,6]时，a n >0，n ≥7时，a n <0；当n ∈[1,12]时，S n >0，当n ≥13时，S n <0.所以当n ∈[7,12]时，a n <0，S n >0，S n a n<0，且当n ∈[7,12]时，|a n |为递增数列，S n 为正数且为递减数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 中最小项为第7项．故选A 、B 、C 、D.12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S m ＝m (a 1＋a m )2＝0，得a 1＝－2，所以a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，解得m ＝5，故选C.13．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28.(1)则数列{a n }的通项公式为a n ＝________；(2)若b n ＝S n n ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，则c ＝________. 解析：(1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14，又∵a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4， ∴a n ＝4n －3.(2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又∵{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c，解得c ＝－12(c ＝0舍去)．答案：(1)4n －3 (2)－1214．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧ －32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.[C 级拓展探究]15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2.(1)求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项；(3){S n }有多少项大于零？解：(1)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝12n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋13n .图象如图．(2)S n ＝－n 2＋13n ＝－⎝⎛⎭⎫n －1322＋1694，n ∈N *， ∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最大；当1≤n ≤6时，{S n }单调递增；当n ≥7时，{S n }单调递减．{S n }有最大值，最大项是S 6，S 7，S 6＝S 7＝42.(3)由图象得{S n } 中有12项大于零．。

4.2.2等差数列的前n项和公式(第二课时)课件(人教版)

n n1
290 ,解得n 261
10，∴an
29.
∴该数列的项数为210 1 19，数列中间一项是29.
例8 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2 排起后一排都比前一排多2个座位. 问第1排应安排多少个座位.
解：由题意可知,该报告厅各排的座位数构成一个等差数列{an }.
和之比为 32∶27，则该数列的公差为________．
解 1：设该等差数列的首项为 a1，公差为 d，由题意可得 12a1＋12×2 11d＝354， 6(a61a＋1＋d)6＋×265×2×52×d2d＝3227，解得 d＝5.
解 2：由已知条件，得SS奇偶＋ ∶SS偶奇＝＝3325∶4，27，解得SS偶奇＝＝119622，. 又 S 偶－S 奇＝6d，∴ d＝192－6 162 ＝5.
练习：项数是偶数的等差数列{an}的公差为2, 所有奇数项之和是15, 所有
偶数项之和为25,则这个数列的项数是__1_0__.
析 : 设项数为2n项, S偶 S奇 nd,25 15 2n, n 5.
练习：等差数列{an }的前12项和是354, 其中偶数项之和与奇数项之和
的比是32 : 27,则该数列的通项公式an __5_n__－__3______.
4.2.2 等差数列的前n项和公式 (第二课时)
等差数列的判定方法 ①定义法：an1 an d (n N * ) {an}为等差数列
②等差中项法：an1 an1 2an (n 2) {an}为等差数列
③通项法：an pn q( p, q为常数) {an}为等差数列
④前n项和公式法：Sn An2 Bn( A, B为常数) {an}为等差数列

2019-2020年人教A版高中数学必修五第二章第3节《等差数列前n项数和》(第2课时)教案

2019-2020年人教A版高中数学必修五第二章第3节《等差数列前n项数和》（第2课时）教案一、教学目标：1、进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究。

2、通过等差数列前n项和的公式应用，体会数学的逻辑性3、通过有关内容在实际生活中的应用，引导学生要善于观察生活二、教学重点难点：教学重点：等差数列前n项和公式的性质.教学难点：等差数列前n项和公式的性质及函数与方程的思路.三. 教法、学法本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.学生的学法突出探究、发现与交流.五.教学过程教学过程设计为六个教学环节：（如下图）前，那么这个数列一探究点1. 已知数列{a n }的前n 项和S n 求a n例1 已知数列{a n }的前n 项和为 S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 与S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1)，可知，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n－[(n －1)2＋12(n －1)]＝2n －12①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12.由此可见：数列{a n }是以32为首项，公差为2的等差数列．探究点二等差数列前n 项和的最值思考1 将等差数列前n 项和 S n ＝na 1＋n n －2d 变形为S n 关于n的函数后，该函数是怎样的函数？为什么？答由于S n ＝na 1＋nn －2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，所以当d ≠0时，S n 为关于n 的二次函数，且常数项为0. 思考2 类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值？何时有最小值？答由二次函数的性质可以得出：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．另外，数列作为特殊的函数，则有(1)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值．(2)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值；特别地，若a 1>0，d >0，则S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则S 1是{S n }的最大值．例2 已知等差数列5,427，347，…的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值．解由题意知，等差数列5,427，347，…的公差为－57，所以S n ＝5n ＋n n －2(－57)＝－514(n －152)2＋1 12556. 于是，当n 取与152最接近的整数即7或8时，S n 取最大值．另解：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－57＝－57n ＋407.a n ＝－57n ＋407≤0，解得n ≥8，即a 8＝0，a 9<0.所以和是从第9项开始减小，而第8项为0，所以前7项或前8项和最大．反思与感悟：在－1)2＋12(n －1)+1]＝2n －12.当n ＝1时代入a n ＝2n －12得a 1＝23≠25. ∴a n ＝{)2(212)1(25≥-=n n n .2 在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最小值．解方法一 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12，d ＝2.∴a 1<a 2<…<a 6<a 7＝0<a 8<a 9<….∴当n ＝6或n ＝7时， S n 取到最小值．易求S 6＝S 7＝－42，∴(S n )min ＝－42.方法二 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12. ∴S n ＝na 1＋a n 2＝n 2－13n ＝⎝⎛⎭⎫n －1322－1694.∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最小，且(S n )min ＝－42.列，该数列的。

高中数学选择性必修修二第二课时等差数列前n项和的最值及应用

第二课时等差数列前n 项和的最值及应用课标要求素养要求能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.通过利用等差数列的前n 项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.新知探究公元前二千多年的巴比伦人就提出了等差数列问题，“十兄弟分银子”就是其中之一.有100两银子要分给10个兄弟，按年龄的不同分给不同的数量，老大要比老二多，老二要比老三多，依次类推，都相差一级，每一级相差数都一样，但不知是多少，只知道老八分到的银子是6两.问题每一级的差额是多少？提示设十兄弟所分得的银子从多到少依次为a 1，a 2，…，a 10，易知其为等差数列，且a 8＝6，由⎩⎪⎨⎪⎧S10＝10a1＋12×9×10d ＝100，a8＝a1＋7d ＝6，解得a 1＝865，d ＝－85.故每一级的差额是85两.1.前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－d 2n . 2.等差数列前n 项和的最值d 的符号决定S n 有最大值还是最小值 (1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧an≥0，an ＋1≤0确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧an≤0，an ＋1≥0确定.(2)因为S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值，且n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值.拓展深化[微判断]1.若等差数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ≠0)，则其最大值或最小值一定在n ＝－B2A 取得.(×)提示只有当－B2A 是正整数时才成立.2.若等差数列{a n }的公差d >0，则{a n }的前n 项和一定有最小值.(√)3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S p ＝S q (p ，q ∈N *)，则S n 在n ＝12(p ＋q )处取得最大值或最小值.(×)提示当12(p ＋q )是正整数，即p ＋q 是偶数时结论才成立. [微训练]1.等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－3n ，则其最小值为________.解析由S n ＝n 2－3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －322－94，可知当n ＝1或2时，S n 的最小值为－2.答案－22.设a n ＝14－3n ，则数列{a n }的前n 项和S n 有最________(填“大”或“小”)值为________.解析由于a 1＝11>0，d ＝－3<0，所以S n 有最大值.由⎩⎨⎧an ＝14－3n≥0，an ＋1＝14－3（n ＋1）≤0，得n ＝4，则其最大值为S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝11＋8＋5＋2＝26.答案大26[微思考]1.在等差数列{a n}中，若a1＞0，d＞0或a1＜0，d＜0时，S n能否取得最值？提示当a1＞0，d＞0时，S n的最小值为a1，无最大值；当a1＜0，d＜0时，S n的最大值为a1，无最小值.2.若数列{a n}的通项公式为a n＝2n－37，则当n为何值时S n取得最小值？提示∵a n＝2n－37，a n＋1－a n＝2＞0，∴{a n}为递增数列.由a n＝2n－37≥0，得n≥18.5.∴a18＜0，a19＞0，∴S18最小，即当n＝18时，S n取得最小值.题型一等差数列前n项和最值问题的判断【例1】(多选题)在等差数列{a n}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为S n(n∈N*)，则下列命题正确的是( )A.若S3＝S11，则必有S14＝0B.若S3＝S11，则S7是{S n}中的最大项C.若S7>S8，则必有S8>S9D.若S7>S8，则必有S6>S9解析根据等差数列的性质，若S3＝S11，则S11－S3＝4(a7＋a8)＝0，则a7＋a8＝0，S14＝14（a1＋a14）2＝7(a7＋a8)＝0；根据S n的图象，当S3＝S11时，对称轴是3＋112＝7，且d<0，那么S7是最大值；若S7>S8，则a8<0，且d<0，所以a9<0，所以S9－S8<0，即S8>S9；S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，即S6>S9，所以ABCD都正确.答案ABCD规律方法一般地，在等差数列{a n}中，若a1>0，且S p＝S q(p≠q)，则①若p＋q为偶数，则当n＝p＋q2时，S n最大；②若p＋q为奇数，则当n＝p＋q－12或n＝p＋q＋12时，S n最大.【训练1】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 15>0，S 16<0，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn an 的前15项中最大的项是( ) A.第1项 B.第8项 C.第9项 D.第15项解析 S 15＝15（a1＋a15）2＝15a 8>0，S 16＝16（a1＋a16）2＝8(a 8＋a 9)<0，故a 8>0，a 9<0，公差d <0，所以数列{a n }是递减数列，所以a 1，…，a 8均为正，a 9，…，a n 均为负，且S 1，…，S 15均为正，S 16，…，S n 均为负，则S1a1>0，S2a2>0，…，S8a8>0，S9a9<0，S10a10<0，…，S15a15<0. 又S 8>S 7>…>S 1>0，a 1>a 2>…>a 8>0，所以S8a8>S7a7>…>S1a1>0，所以最大的项是S8a8，即第8项. 答案 B题型二等差数列前n 项和最值的计算【例2】设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 2＋a 5＝1，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 的前n 项和. (1)求S n ；(2)求T n 及T n 的最小值. 解 (1)设数列{a n }的公差为d .依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a1＋d ＋a1＋4d ＝1，15a1＋15×142d ＝75，解得⎩⎨⎧a1＝－2，d ＝1， ∴S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n （n －1）2＝n2－5n2.(2)法一由(1)知S n ＝n2－5n 2，∴Sn n ＝n －52.设b n ＝Sn n ＝n －52，则b n ＋1－b n ＝（n ＋1）－52－n －52＝12，∴数列{b n }是公差为12的等差数列，首项b 1＝S11＝a 1＝－2. 又T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 的前n 项和，∴T n ＝－2n ＋n （n －1）2×12＝n2－9n 4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922－8116. ∴当n ＝4或n ＝5时，(T n )min ＝－5.法二易知b n ＝n －52，由⎩⎨⎧bn≤0，bn ＋1≥0，解得4≤n ≤5.故T n 的最小值为T 4＝T 5＝－5.规律方法求等差数列前n 项和的最值的方法有：(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解；(2)通项公式法，求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 即可.【训练2】已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？解 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n . (2)法一 ∵a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值.法二由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列. 令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112. ∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0. ∴当n ＝5时，S n 取得最大值.题型三等差数列求和的实际应用【例3】7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件.(1)问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.问该款服装在社会上流行几天？解 (1)设7月n 日售出的服装件数为a n (n ∈N *，1≤n ≤31)，最多售出a k 件.由题意知⎩⎨⎧ak ＝3＋3（k －1），ak －2（31－k ）＝3，解得⎩⎨⎧k ＝13，ak ＝39，∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件. (2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，∵a n ＝⎩⎨⎧3n ，1≤n≤13，65－2n ，14≤n≤31，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧（3＋3n ）n 2，1≤n≤13，273＋（51－n ）（n －13），14≤n≤31. ∵S 13＝273>200，∴当1≤n ≤13时，由S n >200，得12≤n ≤13，当14≤n ≤31时，日销售量连续下降，由a n <20，得23≤n ≤31，∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日).规律方法应用等差数列解决实际问题的一般思路：【训练3】某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数； (2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？解 (1)由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a 1＝40，公差d ＝40的等差数列{a n }，所以9月10日的新感染者人数为a 10＝40＋(10－1)×40＝400.从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390.(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为 S 10＝10×（40＋400）2＝2 200，9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b 1＝390，公差d 1＝－10的等差数列{b n }，又b 20＝390－10×19＝200，所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为 T 20＝20×（390＋200）2＝5 900，所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有 2 200＋5 900＝8 100(人).一、素养落地1.通过学习等差数列前n 项和最值的求法，提升数学运算素养，通过学习利用等差数列前n 项和解决实际问题，提升数学建模素养.2.求等差数列前n 项和最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观. (2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧a n≥0，an ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎪⎨⎪⎧an≤0，an ＋1≥0时，S n 取得最小值.3.解决与等差数列有关的实际应用题时，要抓住其反映等差数列的特征，仔细审题，用心联想.要明确该问题是求a n 还是求S n ？要特别注意弄清项数是多少. 二、素养训练1.设a n ＝2n －9，则当数列{a n }的前n 项和取得最小值时，n 的值为( ) A.4 B.5 C.4或5D.5或6解析由⎩⎨⎧an≤0，an ＋1≥0，解得72≤n ≤92，故n ＝4.答案 A2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 7＝S 12，则( ) A.S 9最大B.S 10最大C.S 9与S 10相等且最大D.以上都不对解析由于不能明确公差的符号，所以S 9与S 10相等可能是最大值也可能是最小值. 答案 D3.若在数列{a n }中，a n ＝43－3n ，则当S n 取最大值时，n ＝( ) A.13 B.14 C.15D.14或15解析 ∵数列{a n }中，a n ＝43－3n ，∴a 1＝40，∴S n ＝n （40＋43－3n ）2是关于n 的二次函数，函数图象是开口向下的抛物线上的一些横坐标为正整数的点，对称轴为n ＝836，又n 为正整数，与836最接近的一个正整数为14，故S n 取得最大值时，n ＝14.故选B. 答案 B4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 1＝( ) A.35 B.32 C.23D.38解析由题意可知，九个儿子的年龄成公差d ＝－3的等差数列，且九项之和为207.故S 9＝9a 1＋9×82d ＝9a 1－108＝207，解得a 1＝35. 答案 A5.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25. 由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线.基础达标一、选择题1.已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为( ) A.11或12 B.12 C.13D.12或13解析 ∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2， ∴数列{a n }为等差数列. 又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋25n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋6254.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 最大. 答案 D2.若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和最大时，n 的值为( )A.6B.7C.8D.9解析因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎨⎧ak≥0，ak ＋1≤0，所以⎩⎨⎧22－3k≥0，22－3（k ＋1）≤0，即193≤k ≤223.因为k ∈N *，所以k ＝7.故满足条件的n 的值为7. 答案 B3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？( ) A.4日 B.3日 C.5日D.6日解析由题意，可知良马第n 日行程记为a n ，则数列{a n }是首项为97，公差为15的等差数列，驽马第n 日行程记为b n ，则数列{b n }是首项为92，公差为－1的等差数列，则a n ＝97＋15(n －1)＝15n ＋82，b n ＝92－(n －1)＝93－n . 因为数列{a n }的前n 项和为n （97＋15n ＋82）2＝n （179＋15n ）2，数列{b n }的前n 项和为n （92＋93－n ）2＝n （185－n ）2，∴n （179＋15n ）2＋n （185－n ）2＝840，整理得14n 2＋364n －1 680＝0，即n 2＋26n －120＝0，解得n ＝4(n ＝－30舍去)，即4日相逢. 答案 A4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.若S 12>0，S 13<0，则数列{|a n |}的最小项是( ) A.第6项 B.第7项 C.第12项D.第13项解析由题意S 12>0，S 13<0及S 12＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)，S 13＝13a 7，得a 6＋a 7>0，a 7<0，所以a 6>0，a 6>|a 7|，且公差d <0，所以|a 7|最小.答案 B5.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11，其中正确命题的序号是( )A.②③B.①②C.①③D.①④解析 ∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，①正确.又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，②正确.S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，③不正确.{S n }中最大项为S 6，④不正确.故正确的是①②.答案 B二、填空题6.已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d ＞0，则使得前n 项和S n 取得最小值的正整数n 的值是________.解析由|a 5|＝|a 9|且d ＞0得a 5＜0，a 9＞0，且a 5＋a 9＝0，∴2a 1＋12d ＝0，∴a 1＋6d ＝0，即a 7＝0，故S 6＝S 7且最小.答案 6或77.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，数列{a n }的前n 项和最大.解析 ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 8>0，a 9<0.故前8项的和最大.答案 88.已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝40，则a 3·a 8的最大值为________. 解析 ∵正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝10（a3＋a8）2＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧a3>0，a8>0，a3＋a8＝40×210＝8，∴a 3·a 8＝a 3(8－a 3)＝－a 23＋8a 3＝－(a 3－4)2＋16≤16.当且仅当a 3＝4时取等号.答案 16三、解答题9.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由.解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d .∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎨⎧12a1＋66d ＞0，13a1＋78d ＜0，即⎩⎨⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0，∴－247＜d ＜－3.即d 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－247，－3. (2)∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎨⎧a1＋a12＞0，a1＋a13＜0，∴⎩⎨⎧a6＋a7＞0，a7＜0，∴a 6＞0，又由(1)知d ＜0.∴数列前6项为正，从第7项起为负.∴数列前6项和最大.10.某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了多少钱？解因为购买设备时已付150万元，所以欠款为1 000万元，依据题意，知其后应分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{a n }，且a 1＝50＋1 000×1%＝60，a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，…，a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×1%＝60－0.5(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)，所以数列{a n }是以60为首项，－0.5为公差的等差数列，所以a 10＝60－9×0.5＝55.5，S 20＝20[60＋（60－19×0.5）]2＝1 105. 所以全部按期付清后，买这40套机器设备实际共花费了1 105＋150＝1 255(万元). 故分期付款的第10个月应付55.5万元，全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了1 255万元.能力提升11.《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈.头节高五寸①，头圈一尺三②，逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈.爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是( )A.61.395尺B.61.905尺C.72.705尺D.73.995尺解析设从地面往上，每节竹长为a 1，a 2，a 3，…，a 30，∵每节竹节间的长相差0.03尺，∴{a n }是以a 1＝0.5为首项，以d ′＝0.03为公差的等差数列.由题意知竹节上一圈比下一圈细0.013尺，设从地面往上，每圈周长为b 1，b 2，b 3，…，b 30，可得{b n }是以b 1＝1.3为首项，d ＝－0.013为公差的等差数列.∴一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程S 30＝(a 1＋a 2＋…＋a 30)＋(b 1＋b 2＋…＋b 30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫30×0.5＋30×292×0.03＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤30×1.3＋30×292×（－0.013）＝61.395，故选A. 答案 A12.某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50m ，最远一根电线杆距离电站1550 m ，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工.若该汽车往返运输总行程为17 500m ，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？解由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{a n }，则a n ＝1 550×2＝3 100，d ＝50×3×2＝300，S n ＝17 500.由等差数列的通项公式及前n 项和公式，得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋（n －1）×300＝3 100， ①na1＋n （n －1）2×300＝17 500. ② 由①得a 1＝3 400－300n .代入②得n (3 400－300n )＋150n (n －1)－17 500＝0，整理得3n 2－65n ＋350＝0，解得n ＝10或n ＝353(舍去)，所以a 1＝3 400－300×10＝400.故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30(根)，最近的一趟往返行程400 m ，第一根电线杆距离电站12×400－100＝100(m).所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m.创新猜想13.(多选题)首项为正数，公差不为0的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，现有下列四个命题，其中正确的命题有( )A.若S 10＝0，则S 2＋S 8＝0B.若S 4＝S 12，则使S n >0的n 的最大值为15C.若S 15>0，S 16<0，则{S n }中S 8最大D.若S 7<S 8，则S 8<S 9解析对于A ，若S 10＝0，则S 10＝（a1＋a10）·102＝0，则a 1＋a 10＝0，即2a 1＋9d ＝0，则S 2＋S 8＝(2a 1＋d )＋(8a 1＋28d )＝10a 1＋29d ≠0，A 不正确；对于B ，若S 4＝S 12，则S 12－S 4＝0，即a 5＋a 6＋…＋a 11＋a 12＝4(a 8＋a 9)＝0，由于a 1>0，则a 8>0，a 9<0，则有S 15＝15（a1＋a15）2＝15a 8>0，S 16＝16（a1＋a16）2＝16（a8＋a9）2＝0，故使S n >0的n 的最大值为15，B 正确；对于C ，若S 15>0，S 16<0，则S 15＝15（a1＋a15）2＝15a 8>0， S 16＝16（a1＋a16）2＝8(a 8＋a 9)<0，则有a 8>0，a 9<0，故{S n }中S 8最大，故C 正确；对于D ，若S 7<S 8，即a 8＝S 8－S 7>0，而S 9－S 8＝a 9，不能确定其符号，D 错误. 答案 BC14.(多空题)已知{a n }是等差数列，首项为a 1，其公差d <0，前n 项和为S n ，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 的前n 项和为T n .(1)若a 1＝－4d ，则当n ＝________时，T n 有最大值；(2)若当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则a1d 的取值范围是________.解析易知Sn n ＝d 2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－d 2，若a 1＝－4d ，则Sn n ＝d 2n －92d ，由⎩⎪⎨⎪⎧Sn n ≥0，Sn ＋1n ＋1≤0，解得8≤n ≤9. 即n ＝8或9时，T n 有最大值；若当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则⎩⎪⎨⎪⎧S66＝a1＋52d>0，S77＝a1＋3d<0，d<0，解得－3<a1d <－52.答案 8或9 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－52。

人教数学必修五课件-23等差数列的前n项和二

1．(1)已知等差数列{an}的an＝24－3n，则前多少项和最大？
(2)已知等差数列{bn}的通项bn＝2n－17, 则前多少项和最小?
2. 数列{an}是首项为正数a1的等差数列,又 S9= S17.问数列的前几项和最大?
补充题:
3．首项为正数的等差数列{an},它的前3 项之和与前11项之和相等,问此数列前多少项之和最大?
结论：
等差数列前n项和的最值问题有两种方法：
结论：
等差数列前n项和的最值问题有两种方法： (1) 当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值.
可由an≥0，且an＋1 ≤0，求得n的值；
结论：
等差数列前n项和的最值问题有两种方法：
(1) 当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值. 可由an≥0，且an＋1 ≤0，求得n的值；当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值. 可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值.
*** 等差数列的前n项和 (二)
主讲老师：陈震
复习引入
等差数列的前n项和公式：
复习引入
等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an
)
复习引入
等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an
)
Sn
na1
n(n
1)d 2
练习
在等差数列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，
a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15 .
结论：
等差数列前n项和的最值问题有两种方法：
(1) 当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值. 可由an≥0，且an＋1 ≤0，求得n的值；当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值. 可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值.

选择性必修二第四章等差数列的前n项和公式(第二课)

例题解析
例8 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，问第1排应安排多少个座位。
解: 设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn。根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20=800.
解: (1)由已知可得
a1+2d=12 12a1+6×11d>0 13a1+13×6d<0
解得
(2)
∵ Sn
1 na1 2 n(n 1)d
n(12 2d ) 1 n(n 1)d
2
d n2 (12 5d )n
2
2
24 d 3 7
∴Sn图象的对称轴为
n 5 12 2d
由(1)知 24 d 3 7
由S20
20a1
20 (20 1) 2
800, 可得
a1 21
因此，第1排应安排21个座位。
例题解析
例9 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=10，公差d=-2，则Sn是否存在最大值?若存在，求Sn, 的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
分析: 由a>0和d<0，可以证明{an}是递减数列，且存在正整数k，使得当n>k时，an<0,Sn递减。这
由上得 6 5 12 13 2d 2
∴Sn有最大值.
13 即 6n
2
由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；
2．构建等差数列解决有关实际应用问题；
3. 在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.

高中数学第二章数列 2.3 等差数列的前n项和第2课时等差数列前n项和的性质及应用课后课时精

第2课时等差数列前n 项和的性质及应用A 级：基础巩固练一、选择题1．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 9＝9S 3，则{a n }的通项公式可能是( ) A ．a n ＝4n －2 B ．a n ＝4n －1 C ．a n ＝4n ＋1 D ．a n ＝4n ＋2 答案 A解析设等差数列{a n }的公差为d ，则由S 9＝9S 3得9a 1＋36d ＝9(3a 1＋3d )，化简得d ＝2a 1，若a n ＝4n －2，则d ＝4，a 1＝2，适合题意，B ，C ，D 均不适合，故选A.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝－6，S 18－S 15＝18，则S 18等于( ) A ．36 B ．18 C ．72 D ．9 答案 A解析由S 3，S 6－S 3，…，S 18－S 15成等差数列，可知：S 18＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋…＋(S 18－S 15)＝6×－6＋182＝36.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m >1，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 答案 C解析因为a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，所以a m －1＋a m ＋1＝a 2m .根据等差数列的性质得2a m ＝a 2m ，显然a m ≠0，所以a m ＝2.又因为S 2m －1＝38，所以S 2m －1＝2m －1a 1＋a 2m －12＝(2m －1)a m .将a m ＝2代入可得(2m －1)×2＝38，解得m ＝10.故选C.4．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( ) A ．若d <0，则数列{S n }有最大项 B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0 D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列答案 C解析设{a n }的首项为a 1，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .由二次函数性质知S n有最大值时，则d <0，故A 、B 正确；因为{S n }为递增数列，则d >0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，显然{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故C 错误；对任意n ∈N *，S n 均大于0时，a 1>0，d >0，{S n }必是递增数列，D 正确．二、填空题5．已知四个数成等差数列，S 4＝32，a 2∶a 3＝1∶3，则公差d ＝________. 答案 8解析设首项为a 1，公差为d ，则由a 2∶a 3＝1∶3得a 1＋d a 1＋2d ＝13，∴d ＝－2a 1，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－8a 1＝32，∴a 1＝－4，d ＝8. 6．在等差数列{a n }中，a n ＝4n －52，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn (n ∈N *)，其中a ，b 均为常数，则ab ＝________.答案－1解析 ∵a n ＝4n －52，∴a 1＝32.设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a n ＋1－a n ＝4.∴an 2＋bn＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝32n ＋nn －12×4＝2n 2－12n .∴a ＝2，b ＝－12，故ab ＝－1.7．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，S n ＝155，则n ＝________. 答案 10解析 (a 1＋a 2＋a 3)＋(a n ＋a n －1＋a n －2) ＝3(a 1＋a n )＝15＋78，∴a 1＋a n ＝31. 又S n ＝n a 1＋a n2＝155，∴31n2＝155⇒n ＝10.三、解答题8．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．解 (1)设{a n }的首项，公差分别为a 1，d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15，解得a 1＝－9，d ＝3， ∴a n ＝3n －12. (2)S n ＝n a 1＋a n2＝12(3n 2－21n ) ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478，∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值为－18.9．已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7，n ∈N *.(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n . 解 (1)证明：因为f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7 ＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8，所以a n ＝3n －8，因为a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3，所以数列{a n }为等差数列． (2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|，所以当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n b 1＋b n 2＝n [5＋8－3n ]2＝13n －3n 22，当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8)＝7＋n －2[1＋3n －8]2＝3n 2－13n ＋282.所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧13n －3n 22，1≤n ≤2，n ∈N *，3n 2－13n ＋282，n ≥3，n ∈N *.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0，且满足：(a n ＋2)2＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *. (1)求a 1及通项公式a n ；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)对于(a n ＋2)2＝4S n ＋4n ＋1， ①n ＝1时，(a 1＋2)2＝4a 1＋5，a 21＝1，而a n >0，则a 1＝1.又(a n ＋1＋2)2＝4S n ＋1＋4(n ＋1)＋1， ② 由②－①可得(a n ＋1＋2)2－(a n ＋2)2＝4a n ＋1＋4，a 2n ＋1＝(a n ＋2)2，而a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2.∴{a n }是等差数列，即a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)∵b n ＝(－1)n·(2n －1)，∴T n ＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)n(2n －1)，当n 为偶数时，T n ＝＝n ；当n 为奇数时，T n ＝－(2n －1)＝－n .综上所述，T n ＝(－1)n·n .B 级：能力提升练1．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )A ．12B ．16C ．9D ．16或9 答案 C解析 a n ＝120＋5(n －1)＝5n ＋115，由a n <180，得n <13且n ∈N *，由n 边形内角和定理得，(n －2)×180＝n ×120＋n n －12×5，解得n ＝16或n ＝9.∵n <13，∴n ＝9.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在直线y ＝12x ＋112上．数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，b 3＝11，且其前9项和为153.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设＝32a n －112b n －1，数列{}的前n 项和为T n ，求使不等式T n >k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值．解 (1)由已知得S n n ＝12n ＋112，∴S n ＝12n 2＋112n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋112n －12(n －1)2－112(n －1)＝n ＋5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝6也符合上式， ∴a n ＝n ＋5(n ∈N *)．由b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)知{b n }是等差数列．由{b n }的前9项和为153，可得9b 1＋b 92＝9b 5＝153，得b 5＝17，又∵b 3＝11，∴{b n }的公差d ＝b 5－b 32＝3.∵b 3＝b 1＋2d ，∴b 1＝5.∴b n ＝3n ＋2. (2)＝32n －16n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1.∵n 增大时，T n 增大，∴{T n }是递增数列． ∴T n ≥T 1＝13.若T n >k57对一切n ∈N *都成立，只要T 1＝13>k57，∴k <19，则k max ＝18.。

4-2-2等差数列的前n项和公式(第二课时)课件(人教版)

bn 2m 1 T2n1
当m=n时，公式变化？反之如何证明？
性质2（. 1）若等差数列的项数为2n，则
S2n n
an an1
， S偶
S奇
nd，
S偶 S奇
an1 . an
（2）若等差数列的项数为2n 1，则
S2n1
2n 1 an1， S偶 S奇 an1，
S偶 n . S奇 n 1
解:
当n=1时，a1
S1
12
1 2
1
3 2
当n≥2时，
an
Sn
Sn1
n2
1 2
n
[(n
1) 2
1 2
(n 1)]
2n
1 2
①
当n=1时也满足①式.
数列{an}的通项公式为an
2n
1 2
,
an an1 2.
由此可知,数列{an}是以
3 2
为首项，公差为2的等差数列.
变式训练
分
已知数列{an}的前n项和为Sn
为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为( )
A． 28
B．29
C．30
D．31
（1）若r=0，则这个数列一定是等差数列. an 2 pn (q p)
（2）若r≠0，则这个数列一定不是等差数列.
an
p q r 2 pn (q
p)
(n 1) (n 1)
Sn
na1
n(n 1) 2
d
d 2
n2
(a1
d )n 2
常数项为0 的关于n的
结论：数列是等差数列等价于 Sn An2 Bn
二次型函数
当A 0即d 0时, Sn是关于n的二次函数式,即Sn An2 Bn的图象是

《等差数列的前n项和》第2课时示范公开课教学课件【高中数学苏教版】

例3 数列｛an｝的前n项和Sn＝33n－n2，
初步应用
（1）法二：（结构特征法）由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，
所以｛an｝是等差数列，
（1）求｛an｝的通项公式；
（2）问｛an｝的前多少项和最大；
（3）设bn＝|an|，求数列｛bn｝的前n项和Sn′．
解得a1＝32，d＝－2，
所以Sn的最大值为30．
初步应用
例2 已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由．
法2：因为由a1＝10，d＝－2，
即5或6时，Sn最大，最大值为30．
初步应用
1．在等差数列中，求Sn的最小（大）值的方法：
（3）设bn＝|an|，求数列｛bn｝的前n项和Sn′．
所以当n≤17时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn
例3 数列｛an｝的前n项和Sn＝33n－n2，
初步应用
当n≥18时，
＝a1＋a2＋…＋a17－（a18＋a19＋…＋an）
故
（1）求｛an｝的通项公式；
（2）问｛an｝的前多少项和最大；
（3）设bn＝|an|，求数列｛bn｝的前n项和Sn′．
例3 数列｛an｝的前n项和Sn＝33n－n2，
初步应用
（1）法一：（公式法）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n．
故｛an｝的通项公式为an＝34－2n．
（1）求｛an｝的通项公式；
（2）问｛an｝的前多少项和最大；
（3）设bn＝|an|，求数列｛bn｝的前n项和Sn′．