九年级数学上册第3章《对圆的进一步认识复习》知识梳理与要点回顾(青岛版)

对圆的进一步认识复习

知识梳理

1、圆的对称性

（1）确定一个圆有两要素，一是_________，二是_________。圆心确定_________，半径确定___________；圆既是______对称图形，又是中心对称图形，它的对称中心是_______，对称轴是________，有________条对称轴。

（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦_________；如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别________。

（3）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_________，同弧或等弧所对的圆周角是其所对的圆心角的______，半圆（或直径）所对的圆周角是________，________的圆周角所对的弦是直径。

（4）垂直于弦的直径________这条弦，并且平分弦所对的_________。

2、圆中的位置关系

（1）用d表示点到圆心（或点到直线，两圆圆心）的距离，r表示圆的半径，

①点在圆内⇔____________，点在圆上⇔_____________，点在圆外⇔______________；

②直线和圆相交⇔_________，直线和圆相切⇔_________，直线和圆相离⇔_________。

③若再用R表示另一个圆的半径，则两圆外离⇔___________，两圆外切⇔____________，两圆相交⇔____________，两圆内切⇔______________，两圆内含⇔____________。

（2）圆的切线__________于经过切点的半径，经过半径的外端且_______于这条半径的直线是圆的切线。

3、切线的判定方法

（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线（定义法）。

（2）到圆心的距离等于行径的直线是圆的切线。

（3）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

4、三角形的外接圆与内切圆

______________的三个点确定一个圆；三角形的外接圆是__________的交点，这个交点叫做___________；三角形的内切圆是____________的交点，这个交点叫做__________。

5、与圆有关的计算

（1）如果弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为r ，那么弧长l=____________。

（2）如果已知扇形圆心角度数为n ，半径为r ，那么扇形面积S=______________。

（3）如果已知扇形弧长为l ，半径为r ，那么扇形面积S=_______________。

要点回顾

考点一、垂径定理

例1：如图所示，⊙O 的半径OA ＝5cm ，弦AB ＝8cm ，点P 为弦AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离是________cm ．

解析：点P 在弦AB 上运动，圆心O 在弦AB 所在直线外，根据“直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”，故过点O 作OM ⊥AB 于M （如图1），OM 的长就是点P 到圆心O 的最短距离。

由垂径定理，得AM=MB=21AB=2

1×8=4（cm ） 所以在Rt ∆AOM 中，OM=2245-=3（cm ）

故点P 到圆心O 的最短距离是3cm.

考点二、与圆有关的位置关系

例2：（凉山州）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2cm 和3cm ，圆心距O 1O 2为5cm ，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是（ ）

A ．外离

B ．外切

C ．相交

D ．内切

考点：圆与圆的位置关系．

分析：由⊙O1与⊙O2的半径分别为2cm和3cm，且圆心距O1O2为5cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵⊙与⊙O2的半径分别为2cm和3cm，且圆心距O1O2为5cm，

又∵2+3=5，

∴两圆的位置关系是外切．

故选B．

点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．

考点三、切线的性质和判定

例3：如图2，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（）

A．20°B．30°C．40°D．50°

解析：连接OC，因为∠A=25°，所以∠DOC=50°

又因为DC切⊙O于点C，所以∠OCD=90°，

所以∠D=40°，故选C。

例4：如图3，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径。点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。

求证：CD为⊙O的切线。

证明：连接OC，

因为点C在⊙O上，所以OA=OC；

所以∠OCA=∠OAC；

因为CD⊥PA，所以∠CDA=90°；

所以∠CAD+∠DCA =90°；

因为AC平分∠PAE，所以∠DAC=∠CAO；

所以∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°.

即OC⊥CD.

又因为点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，

所以CD为⊙O的切线。

考点四、扇形与弧长的有关计算

例5：（攀枝花）一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（）

A．60°B．90°C．120°D．180°

考点：圆锥的计算．

分析：要求其圆心角，就要根据弧长公式计算，首先明确侧面展开图是个扇形，即圆的周长就是弧长．

解答：解：设底面圆的半径为r，则圆锥的母线长为2r，底面周长=2πr，

侧面展开图是个扇形，弧长=2πr=，所以n=180°．

故选D．

点评：本题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．

考点五、圆与其他知识的综合

例6：（衡阳压轴题）如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M经过原点O及点A、B．

（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；

（2）过点B作⊙M的切线l，求直线l的解析式；

（3）∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，求点N的坐标和线段OE

的长．

考点：圆的综合题．

专题：综合题．

分析：（1）根据圆周角定理∠AOB=90°得AB为⊙M的直径，则可得到线段AB的中点即点M的坐标，然后利用勾股定理计算出AB=10，则可确定⊙M的半径为5；