九年级数学上册第3章《对圆的进一步认识复习》知识梳理与要点回顾(青岛版)

对圆的进一步认识复习知识梳理1、圆的对称性（1）确定一个圆有两要素，一是_________，二是_________。

圆心确定_________，半径确定___________；圆既是______对称图形，又是中心对称图形，它的对称中心是_______，对称轴是________，有________条对称轴。

（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦_________；如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别________。

（3）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_________，同弧或等弧所对的圆周角是其所对的圆心角的______，半圆（或直径）所对的圆周角是________，________的圆周角所对的弦是直径。

（4）垂直于弦的直径________这条弦，并且平分弦所对的_________。

2、圆中的位置关系（1）用d表示点到圆心（或点到直线，两圆圆心）的距离，r表示圆的半径，①点在圆内⇔____________，点在圆上⇔_____________，点在圆外⇔______________；②直线和圆相交⇔_________，直线和圆相切⇔_________，直线和圆相离⇔_________。

③若再用R表示另一个圆的半径，则两圆外离⇔___________，两圆外切⇔____________，两圆相交⇔____________，两圆内切⇔______________，两圆内含⇔____________。

（2）圆的切线__________于经过切点的半径，经过半径的外端且_______于这条半径的直线是圆的切线。

3、切线的判定方法（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线（定义法）。

（2）到圆心的距离等于行径的直线是圆的切线。

（3）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

4、三角形的外接圆与内切圆______________的三个点确定一个圆；三角形的外接圆是__________的交点，这个交点叫做___________；三角形的内切圆是____________的交点，这个交点叫做__________。

5、与圆有关的计算（1）如果弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为r ，那么弧长l=____________。

（2）如果已知扇形圆心角度数为n ，半径为r ，那么扇形面积S=______________。

（3）如果已知扇形弧长为l ，半径为r ，那么扇形面积S=_______________。

要点回顾考点一、垂径定理例1：如图所示，⊙O 的半径OA ＝5cm ，弦AB ＝8cm ，点P 为弦AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离是________cm ．解析：点P 在弦AB 上运动，圆心O 在弦AB 所在直线外，根据“直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”，故过点O 作OM ⊥AB 于M （如图1），OM 的长就是点P 到圆心O 的最短距离。

由垂径定理，得AM=MB=21AB=21×8=4（cm ） 所以在Rt ∆AOM 中，OM=2245-=3（cm ）故点P 到圆心O 的最短距离是3cm.考点二、与圆有关的位置关系例2：（凉山州）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2cm 和3cm ，圆心距O 1O 2为5cm ，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切考点：圆与圆的位置关系．分析：由⊙O1与⊙O2的半径分别为2cm和3cm，且圆心距O1O2为5cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵⊙与⊙O2的半径分别为2cm和3cm，且圆心距O1O2为5cm，又∵2+3=5，∴两圆的位置关系是外切．故选B．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．考点三、切线的性质和判定例3：如图2，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°解析：连接OC，因为∠A=25°，所以∠DOC=50°又因为DC切⊙O于点C，所以∠OCD=90°，所以∠D=40°，故选C。

例4：如图3，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径。

点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。

求证：CD为⊙O的切线。

证明：连接OC，因为点C在⊙O上，所以OA=OC；所以∠OCA=∠OAC；因为CD⊥PA，所以∠CDA=90°；所以∠CAD+∠DCA =90°；因为AC平分∠PAE，所以∠DAC=∠CAO；所以∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°.即OC⊥CD.又因为点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，所以CD为⊙O的切线。

考点四、扇形与弧长的有关计算例5：（攀枝花）一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（）A．60°B．90°C．120°D．180°考点：圆锥的计算．分析：要求其圆心角，就要根据弧长公式计算，首先明确侧面展开图是个扇形，即圆的周长就是弧长．解答：解：设底面圆的半径为r，则圆锥的母线长为2r，底面周长=2πr，侧面展开图是个扇形，弧长=2πr=，所以n=180°．故选D．点评：本题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．考点五、圆与其他知识的综合例6：（衡阳压轴题）如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M经过原点O及点A、B．（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；（2）过点B作⊙M的切线l，求直线l的解析式；（3）∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，求点N的坐标和线段OE的长．考点：圆的综合题．专题：综合题．分析：（1）根据圆周角定理∠AOB=90°得AB为⊙M的直径，则可得到线段AB的中点即点M的坐标，然后利用勾股定理计算出AB=10，则可确定⊙M的半径为5；（2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，根据切线的性质得AB⊥BC，利用等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO，然后根据相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽Rt△BCO，所以=，可解得OC=，则C点坐标为（﹣，0），最后运用待定系数法确定l的解析式；（3）作ND⊥x轴，连结AE，易得△NOD为等腰直角三角形，所以ND=OD，ON=ND，再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB，则ND：OB=AD：AO，即ND：6=（8﹣ND）：8，解得ND=，所以OD=，ON=，即可确定N点坐标；由于△ADN∽△AOB，利用ND：OB=AN：AB，可求得AN=，则BN=10﹣=，然后利用圆周角定理得∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，所以△BON∽△EAN，再利用相似比可求出ME，最后由OE=ON+NE计算即可．解答：解：（1）∵∠AOB=90°，∴AB为⊙M的直径，∵A（8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6，∴AB==10，∴⊙M的半径为5；圆心M的坐标为（（4，3）；（2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，如图，∵BC与⊙M相切，AB为直径，∴AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠CBO+∠ABO=90°，而∠BAO=∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBO，∴Rt△ABO∽Rt△BCO，∴=，即=，解得OC=，∴C点坐标为（﹣，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（0，6）、C点（﹣，0）分别代入，解得，∴直线l的解析式为y=x+6；（3）作ND⊥x轴，连结AE，如图，∵∠BOA的平分线交AB于点N，∴△NOD为等腰直角三角形，∴ND=OD，∴ND∥OB，∴△ADN∽△AOB，∴ND：OB=AD：AO，∴ND：6=（8﹣ND）：8，解得ND=，∴OD=，ON=ND=，∴N点坐标为（，）；∵△ADN∽△AOB，∴ND：OB=AN：AB，即：6=AN：10，解得AN=，∴BN=10﹣=，∵∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，∴△BON∽△EAN，∴BN：NE=ON：AN，即：NE=：，解得NE=，∴OE=ON+NE=+=7．点评：本题考查了圆的综合题：掌握切线的性质、圆周角定理及其推论；学会运用待定系数法求函数的解析式；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．考点六、圆中多解问题例7：已知横断面直径为1米的圆形下水管道的水面宽AB=0.6米，求下水管道中水的深度。

解析：当圆心O 在水面AB 上方时，如图。

根据题意，过圆心O 作OD ⊥AB ，垂足为D ，延长OD 交⊙O 于E 点，则BD=AD=21AB=0.3米，由勾股定理可求OD=0.4米，所以DE=OE-DE=0.1米。

当圆心O 在水面AB 下方时，如图。

同上可求得DE=OD+OE=0.9米。

所以水的深度为0.1米或0.9米、。