2017_2018学年高中数学第三章指数函数和对数函数3_3指数函数学案北师大版必修1

指数函数

[核心必知]

1．指数函数的定义

函数y ＝a x

(a ＞0且a ≠1)叫作指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 2．指数函数y ＝a x

(a ＞0，a ≠1，x ∈R )的图像和性质 (1)指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图像和性质，如下表所示．

y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1

图像

性质

定义域 R 值域

(0，＋∞)

定点 恒过(0,1)点，即x ＝0时，y ＝1

函数值 的变化 x ＞0时，y ＞1；x ＜0时，0＜y ＜1 x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0

时，y ＞1； 单调性

是R 上的增函数

是R 上的减函数

(2)函数y ＝a x

与函数y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a

x (a ＞0且a

≠1)图像关于y 轴对称．

[问题思考]

1．对于指数函数y ＝a x

，为什么要规定底数a ＞0且a ≠1?

提

示

：如果a ＝0，

⎩⎪⎨⎪⎧

当x ＞0，a x

恒等于0；

当x ≤0时，a x 无意义.

如果a ＜0，如y ＝(－4)x

，当x ＝14、12等

时，在实数范围内函数值不存在．如果a ＝1，

y ＝1x ＝1，是一个常量，对它就没有研究的

必要．为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0且a ≠1.

2．在同一直角坐标系中画出y ＝3x

，y

＝2x

，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x 的图像，指出它们的

相对位置与底数大小有何关系？

提示：借助图像可得如下结论：

(1)在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小．

(2)在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．

(3)无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．

3．函数y ＝3x

的图像关于y 轴对称图像对应的函数是什么？与偶函数图像对称有什么区别？

提示：是y ＝3－x

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫13x ；

这是两个函数图像关于y 轴对称，而偶函数是一个函数的图像的两部分关于y 轴对称．

讲一讲

1．画出函数y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12|x |

的图像，并根据图

像写出函数的值域及单调区间．

[尝试解答] ∵y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12|x |

＝

⎩⎪⎨⎪⎧

⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥0，2x ，x ＜0，

∴在平面直角坐标系内画出函数y ＝

⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x (x ≥0)及y ＝2x (x ＜0)的图像．这两段图像合起来就是所求函数的图像，如图．

由图像可知所求函数的值域是(0,1]，递增区间是(－∞，0]，递减区间是[0，＋∞)．

与指数函数有关的指数型函数的图像，一般是根据其解析式的结构特征，利用函数图像的平移、对称或翻折变换得其图像，然后利用图像直观地研究其性质．

练一练

1．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭

⎪

⎫13|x ＋1|.

(1)试利用指数函数的图像作出该函数的图像；

(2)由图像指出该函数的单调区间；

(3)由图像指出当x 取何值时，函数有最值．

解：(1)y ＝⎝ ⎛⎭

⎪

⎫13|x ＋1|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧

⎝ ⎛⎭⎪⎫13

x ＋1，x ≥－1，3x ＋1，x ＜－1.

其图像由两部分组成：

①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ≥0)――→向左平移1个单位y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1(x ≥－1)； ②y ＝3x

(x ＜0)――→向左平移1个单位

y ＝3x ＋1(x ＜

－1)．

图像如图：

(2)由图像知函数在(－∞，－1]上是增函数，在(－1，＋∞)上是减函数．

(3)由图像知当x ＝－1时，函数有最大值1，无最小值．

讲一讲

2．试比较下列各组数的大小： (1)1.12.5

与；(2)－

与－

； (3)与(a ＞0且a ≠1)；(4)－

与－

. [尝试解答] (1)考查指数函数y ＝，由于底数＞1，所以函数y ＝在R 上是增函数．

∵＜3，∴1.12.5

＜.

(2)考查函数y ＝，由于底数＜1， 所以函数y ＝在R 上是减函数． ∵－＞－，∴－

＜－.

(3)当a ＞1时，函数y ＝a x

在R 上是增函数．

∵＜，∴＜.

当0＜a ＜1时，函数y ＝a x

在R 上是减函数，∴＞.

(4)∵ －

＞＝1,－＜＝1， ∴－

＞－.

对于指数幂的大小比较，一般规律为： (1)同底数指数幂大小的比较：构造指数函数，利用单调性比较大小．

(2)同指数不同底数的指数幂：在同一坐标中作出不同底数的函数的图像，利用图像比较大小．

(3)既不同底数，又不同指数指数幂：利用中间量法，常借助中间量0或1进行比较，如本讲(4)．

练一练

2．比较下列各组数的大小．

(1)与⎝ ⎛⎭⎪⎫54－；(2),

，⎝ ⎛⎭

⎪⎫12－；

(3)－2

与⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23；(4)0.30.4与解：(1)⎝ ⎛⎭⎪

⎫54－＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫45＝，

∵函数y ＝在定义域R 上是减函数，