高二数学抛物线的几何意义

验证：由

y2 A 2 px A 2 yB 2 px B
得
k AB
y A yB 2p x A xB y A yB
2p 2p y A yB ( x xA ) 即 y (x ) 所以直线l的方程为 y y A y A yB y A yB 2p 2 而因为OA⊥OB ，可知 xA xB y A yB 0 推出 y A yB 4 p ，代入
O
C(2p,0) B
L:x=2p
x
y
2
=2px(p>0) 交于 A 、 B
y
A
y2=2px
O
C(2p,0)
x
y A yB 4 p 2 xA xB y A yB 0
所以OA⊥OB.
B
l
2 y 推广2： 若直线l与抛物线 =2px(p>0)交于A、B两点，且OA⊥OB ， 直线l过定点(2p,0) 则__________
p y0 2
p ( y1 y2 )
焦点弦 的长度
p x1 x2
p ( x1 x2 )
p y1 y2
例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点, 通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于 点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.
y
A
F
O D B
x
练习:P68 T3
例、正三角形的一个顶 点位于坐标原点，另外 两个顶点在抛物线 y 2 2 px（p 0 ）上，求这个 正三角形的边长 .
y A
O
B
x
解：如图，设正三角形 OAB的顶点A、B在抛物 线上，且坐标分别为（ x1，y1 ）、（x2，y2 ），则 y12 2 px1，
2 1 2 2 2 y2 2 px2 . 2 2 又 | OA || OB | ，所以：x12 y12 x2 y2 ，
2p ( x 2 p) 得到直线l 的方程为 y y A yB
所以直线过定点（2p,0).
y
A y2=2px
C(2p,0)
x
O
B
l
高考链接：过定点Q（2p,0)的直线与y2 = 2px（p＞0）交于相异两点A、B，以
线段AB为直径作圆H(H为圆心），试证明抛物线顶点在圆H上。
小结:
1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、
焦点弦的长度
练习:1.过抛物线 y2 = 8x 的焦点,作倾斜角为450
的直线,则被抛物线截得的弦长为
2.过抛物线的焦点做倾斜角为 的直线L,设 L交抛物线于A,B两点,(1)求|AB|;(2)求|AB| 的最小值.
方程
图 形 范围
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y l
x
x2 = 2py （p＞0） y
类比探索
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索 其的几何性质: (1)范围 x≥0,y∈R
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴 又叫抛物线的轴. (3)顶点
抛物线和它的轴的交点.
(4)离心率
始终为常数1 |PF|=x0+p/2
y
P
(5)焦半径
(6)通径
O
F
x
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相 交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的 通径。
y∈R
(0,0) 1 y≥0 x∈R y轴 y≤0
y
O
F
l
y
O F
= -2py F (0, p ) y p 2 x（p>0） 2
l
x∈R
例题
例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点 M(2, 2 2)的抛物线有几条,求它的标准方程, 当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为 y2=2mx(m ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论 例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
通径的长度：2P 思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？
特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线 ; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
离心率、通径;
2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、 焦点坐标及解决其它问题;
；
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犹豫豫地往院子四周围仔仔细细地观察一番；之后，就摸索着慢慢地揭开了篷布。把篷布和寿棺上面放着的全部物件轻轻地放 在地上之后，这三个黑影就开始鼓捣着想打开棺盖了。他们先在棺盖周围摸了一遍，然后又在自己的身上摸索着什么，最后就 围在棺盖周围开始翘棺盖了。没有用多长时间，棺盖就被他们合抬着轻轻地放在了地上。其中最矮小的那个黑影心急，一伸手 就把里边的模特儿给抓起来了，臭豆腐和杂七杂八调味粉参杂在一起的难闻气味儿差一点儿熏得这家伙失手扔掉手里的东西。 另一个稍微高大一些的黑影赶快和他一起将模特儿放在地上。然后，他俩就将模特儿上上下下仔细摸索了一番，大概认定这只 是一个假人，于是不再管它。另一个块头最大的黑影则一直在寿棺里边摸索着。最后，三个黑影索性将寿棺里边的东西全部拿 了出来，并且还在所有的衣物和每一条褥子上仔细摸索着„„忽然，听到一个家伙低低地说：“真他妈的骗他娘的！”另一个 低低的声音传来：“会不会是挪窝了？”第三个低低的声音传来：“不可能的，他们没有这个时间！人定之前我们不是一直轮 流观察来着嘛，这院子里不像是有过大动静的，而且看这情况，也不像是动过的样子啊！”第一个说话的家伙又低低地说： “要不咱们再找找？看样子不像是穷困潦倒回来的啊！”三个黑影开始左顾右盼观察起来„„耿正正要回身推醒爹爹，忽然感 觉自己的肩膀被推了一下。原来，耿正只顾全神贯注地观察三个窃贼的一举一动，并没有发现爹爹早就爬在窗帘中间的那一条 小缝隙那儿也在专注地观察多时了。耿老爹低声说：“俺说梦话了！”于是离开窗户略远一点儿，断断续续不高不低地说开了： “唉，俺没，没脸，回家啊！啊哈—”耿正也离开窗户略远一点儿，赶快不高不低地说：“爹，你醒醒，怎么又说梦话了？” 耿老爹换一种语气：“哦，爹又做梦了，正伤心呢。爹只想着发财呢，结果连命也差点儿给丢了，白白害俺娃娃们受苦哇！” 耿正说：“爹，你就不要再伤心了，没有发财不打紧，咱父子们能活着回来比什么都强啊！再说啦，咱们不是好歹还赚得了一 挂骡车回来了吗！而且你也看到了，这左邻右舍亲戚朋友的，没有人笑话咱们啊，对咱们还是那样好。以后啊，咱们只管安心 种地就是了。别人能活，咱也能活啊！你就放宽心哇！”耿老爹长叹一声，用特别悲苦的口气说：“唉，还能怎么着啊，只能 是这样了哇。哎呀，丢人哪，真正丢人哪！”父子俩一边说着，一边继续观察院子里三个窃贼的反应。一开始，他们只是停止 了左顾右盼，再后来就面面相觑起来。当耿老爹说完最后这几句话以后，那个高个子的黑影一挥手，转身向门道走去。剩下的 两个也不再高抬腿轻落脚，而是转身扬长往门道走去了。为了保
o
y1 3 o t an30 . x1 3 y x1 ， 2p y1 2 3 p. | AB | 2 y1 4 3 p.
2 1
等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(P>0),O 为抛物线的顶点,OA⊥OB,则ΔAOB的面积为 A. 8p2 B. 4p2 C. 2p2 D. p2
P越大,开口越开阔
图 形
y
l O F
方程
焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R x≤0 x轴
e
y2 = 2px p p F ( , 0 ) x x （p>0） 2 2
l
y
F O
Βιβλιοθήκη Baidu
y2 = -2px p p F ( ,0) x 2 x（p>0） 2 x2 = 2py p p F (0, ) y 2 2 x （p>0） x2
F x
x2 = -2py （p＞0） y
x l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
顶点
焦半径
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p y0 2
（0,0）
1、已知抛物线的顶点在原点，对称
轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那
么抛物线通径长是
16
.
2、一个正三角形的三个顶点，都在抛
物线
y 4x 上，其中一个顶点为坐标
2
原点，则这个三角形的面积为 48 3 。
例 2 、已知直线 l ： x=2p 与抛物线 y 2 =2px(p>0) 交于 A 、 B 两点， y 求证：OA⊥OB. y2=2px A 证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p) 所以 KOA =1，KOB =-1 因此OA⊥OB 推广 1 若直线 l 过定点 (2p,0) 且与抛物线 两点，求证：OA⊥OB. 证明：设l 的方程为y=k(x-2p) 或x=2p 代入y2=2px得， k 2 x 2 (4 pk2 2 p) x 4 p 2k 2 0 2 x x 4 p 可知 A B 2 2 又 yA yB 4 p 2 xA xB 16 p 2
即：x x 2 px1 2 px2 0， （x1 x2 ）（x1 x2 2 p） 0. x1 0，x2 0， 2 p 0， x1 x2 . 由此可得 | y1 || y2 | ，即线段AB关于x轴对称.
因为x轴垂直于AB，且AOx 30 ，所以
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《高中数学》
选修2-1
2.4.2《抛物线的几何意义》
教学目 标
• 1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离 心率等几何性质； • 2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程 进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛 物线图形； • 3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数 与形的结合与转化 • 教学重点：抛物线的几何性质及其运用 • 教学难点：抛物线几何性质的运用