高二数学抛物线的几何意义

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高二数学抛物线笔记

高二数学：抛物线笔记大纲一、基本定义和性质1. 抛物线定义：作为圆锥截线的抛物线，是平面上一点到一定点（焦点）和到一条不过此点（准线）的定直线之间的所有点的集合。

2. 标准方程：y^2 = 2px (开口向右), x^2 = 2py (开口向上)3. 焦距：p决定了抛物线的开口大小。

4. 顶点：对于给定的标准方程，顶点是 (0, p) 或 (p, 0)。

5. 对称性：抛物线关于其顶点对称。

二、性质与定理1. 焦点与准线性质：对于任意一点在抛物线上，该点到焦点的距离等于到准线的距离。

2. 焦点弦：通过焦点的弦称为焦点弦，其长度与弦的倾斜角有关。

3. 切线与焦点：抛物线的切线与过切点的弦垂直，且切点处的切线与焦点的连线互相垂直。

三、几何性质与证明1. 焦点三角形：通过焦点和切线的直线和通过切点的弦的垂直平分线交于焦点。

2. 切线性质：证明切线与过切点的弦垂直，并证明切点处的切线与焦点的连线互相垂直。

3. 抛物线与直线的关系：证明当直线的斜率存在时，直线与抛物线的交点必在一条直线上。

四、应用题解题策略1. 几何意义：利用抛物线的几何意义解决最值问题。

2. 数形结合：结合代数方程和几何图形解决复杂问题。

3. 方程联立：当抛物线与其他曲线有交点时，联立方程求解。

---关键点详解1. 标准方程的推导标准方程的推导涉及复杂的几何关系和代数运算。

理解这一推导过程有助于理解抛物线的本质。

2. 焦点与准线的性质这是抛物线最基础也是最重要的性质之一。

它告诉我们如何通过给定的点或条件来确定焦距和准线的位置。

3. 切线的性质与证明证明切线的性质是理解抛物线几何特性的关键步骤，这涉及到复杂的几何推理和代数运算。

4. 应用题解题策略解决抛物线应用题需要综合运用前面的知识，包括标准方程、焦点与准线、切线性质等，还需要掌握一些解题策略和技巧。

5. 数形结合的思想在解决抛物线问题时，数形结合是非常重要的思想方法。

通过将代数方程与几何图形相结合，可以更直观地理解问题并找到解决方案。

【课件】抛物线的几何性质课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

2 即p2 8p 48 0, 解得p 12或p 4, 当p 12时,抛物线的方程为y2 24x,
它的焦点坐标为6, 0,准线方程为x 6,
当p 4时,抛物线的方程为y2 8x,
它的焦点坐标为2, 0,准线方程为x 2.
标准方程
图形
y
焦点
准线范围
对称顶轴点
离心率
oF x
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题1:求证 :| AB | x1 x2 p
解 : AB AF BF
p
p
( x1
2
) ( x2
) 2
x1 x2 p
例3.(抛物线的焦点弦问题)
物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题4 : 求证 : x1
x2
p2 4 , y1
y2 p2 .
解 :由问题2的解法知:y1 y2 p2 ,
x1
y12 2p
,
x2
y22 2p
,
x1x2
( y1 y2 )2 4P2
P2 4
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
(5) AM1 2 M1B 2 AB 2 AF BF 2
AA1 BB1
2
2 MM1
2 4 MM1 2
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛
物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题9 : (1)A,O, B1三点共线;(2)B,O, A1三点共线;

关于在高二数学教案：抛物线的简单几何性质及方程

一．课题：抛物线及其标准方程（1）二．教学目标：1.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．2.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．3.通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．三．教学重、难点：1. 重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识)．2. 难点：抛物线的标准方程的推导．(解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐标系．)四、教学过程(一)导出课题：我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．请大家思考两个问题：问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．(二)抛物线的定义1．回顾：平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？2．简单实验如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A 到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．3．定义：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．(三)抛物线的标准方程设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．)以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．化简后得：y2=2px p2(p＞0)．方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板)以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．化简得：y2=2px+p2(p＞0)．方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．)取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．化简后得：y2=2px(p＞0)．比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：由学生讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．(四)四种标准方程的应用例题：(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．方程是x2=-8y．练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：(1)焦点是F(3，0)；答案是：(1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)焦点到准线的距离是2．(3)y2=4x，y2=-4x，x2=4y，x2=-4y．由三名学生演板，教师予以订正．这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．(五)小结：本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．五、作业：到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x2=2y；(2)4x2+3y=0；(3)2y2+5x=0；(4)y2-6x=0．3．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(-6，-3)．4．求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程．作业答案：3．(1)y2=24x，y2=-2x，(2)x2=-12y(图略)4．分别令x=0，y=0得两个焦点F1(0，-3)，F2(4，0)，从而可得抛物线方程为x2=-12y或y2=16x.一．课题：抛物线及其标准方程（2）二．教学目标：1.会用定义法、直译法、参数法，求与抛物线有关的动点的轨迹方程；2.会判断直线与抛物线的位置关系；3.会求解与抛物线的焦点弦有关的问题.三．教学重、难点：目标1，2，3。

第15讲抛物线(七大题型)(教师版)-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

抛物线 x2 20 y 的一次项为 20 y ，故其焦点在 y 轴上，且开口向负方向(向下)
③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的 4 倍. ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型(一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型)，然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论. ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数 p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一
解得 p 1 或 p 4 ， 2
故抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 = -8 y ，
故选：C
例 10．(2023·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中)若抛物线 y2 2 px p 0 上一点 P 2, y0 到其准线的距离
为 3，则抛物线的标准方程为( )
A． y2 4x
B． y2 6x
x p 2
|
MF
|
p 2
x0
e=1
y p 2
|
MF
|
y0
p 2
y p 2
|
MF
|
p 2
y0
知识点诠释： (1)与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；
(2)标准方程中的参数 p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0 恰恰说明定义中的焦点 F 不在准线 l 上
这一隐含条件；参数 p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于 p 的值，才
所以点 P 到抛物线焦点的距离为 y0 2 3.
故选：B

第05讲抛物线-2023年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)

第05讲抛物线【考点目录】【知识梳理】知识点1 抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．②定义的实质可归纳为“一动三定”一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．知识点2抛物线的标准方程和几何性质焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2．p的几何意义：焦点F到准线l的距离．标准方程y 2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形顶点O(0,0)知识点3 直线与抛物线的位置关系设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km －p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．知识点4 弦长问题过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.注：(1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α (α是直线AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点)．（5）求弦长问题的方法①一般弦长：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|. ②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .考点一抛物线的标准方程（一）求抛物线的标准方程1．（2022春·北京海淀·高二校考阶段练习）抛物线的焦点在x 轴正半轴上，且准线与焦点轴间的距离为3，则此抛物线的标准方程为（） A ．26y x = B ．23y x = C ．26x y = D ．23x y =【答案】A【分析】利用抛物线的性质，求出p ，然后求得抛物线方程即可.【详解】解：焦点在x 轴正半轴上的抛物线标准方程为()220y px p =>，又准线与焦点轴间的距离为3，可得3p =，所以抛物线的标准方程为26y x =.故选：A.2．（2022春·辽宁本溪·高二校考阶段练习）以坐标轴为对称轴，焦点在直线45100x y -+=上的抛物线的标准方程为（） A ．210x y =或28y x =-B ．210x y =-或28y x =【考点剖析】C ．210y x =或28x yD ．210y x =-或28x y =【答案】D【分析】直线45100x y -+=与坐标轴的交点即为焦点，根据焦点可求出p ，可得答案. 【详解】直线45100x y -+=与坐标轴的交点为()5,0,0,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，当抛物线的焦点为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭时，其标准方程为210y x =-；当抛物线的焦点为()0,2时，其标准方程为28x y =. 故选：D.3．（2022秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）过点1,2，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（） A ．24y x = B ．24y x =-C ．212=-x yD ．212x y =【答案】C【分析】设抛物线方程为2x my =，代入点的坐标，即可求出m 的值，即可得解；【详解】解：依题意设抛物线方程为2x my =，因为抛物线过点1,2，所以()212m =⨯-，解得12m =-，所以抛物线方程为212=-x y ；故选：C（二）抛物线的几何性质的应用4．（2022·全国·高二假期作业）抛物线26y x =的准线方程为（） A ．124y =-B ．112y =-C ．y =-6D ．=3y -【答案】A【分析】先把抛物线化成标准方程，求出p ，即可得到准线方程.【详解】抛物线26y x =的标准方程为：216x y =，令2126x y py ==，得112p =，于是该抛物线的准线为：124y =-.5．（2022春·山东临沂·高二临沂第四中学校考阶段练习）若抛物线22y px =的焦点与双曲线221x y -=的右焦点重合，则p =（）A ．2B ．4C ．D 【答案】C【分析】先求出双曲线221x y -=的右焦点，此焦点是抛物线22y px =的焦点，求出.p【详解】在双曲线221x y -=中，2112c =+=,所以右焦点)2F ，2F 是抛物线22y px =的焦点，2pp ∴== 故选：C6．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知圆22:(1)1C x y -+=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p =（）A ．18B ．14C ．8D ．2【答案】A【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用点到直线距离公式求解作答.【详解】圆22:(1)1C x y -+=的圆心(1,0)C ，半径1，抛物线212x y p =的准线为18y p=-，依题意，118p =，解得18p =，所以18p =. 故选：A7．（2022·全国·高二假期作业）已知抛物线()2:0C x ay a =≠，则抛物线C 的焦点坐标为（）A ．1,04a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,04a ⎛⎫± ⎪⎝⎭C ．()0,4aD ．()0,4a ±【答案】A【分析】将抛物线方程化为标准方程，判断焦点的位置，求出p ，即可得焦点坐标.【详解】已知()20x ay a =≠，则标准方程为21y x a=，焦点在x 轴上，所以1122p p a a=⇒=，所以焦点坐标为1,04a ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2022春·江苏泰州·高二统考期中）若抛物线2y mx =上一点(),2t 到其焦点的距离等于4，则（） A ．14m =B ．18m =C ．4m =D ．8m =【答案】B【分析】由抛物线的定义求解即可【详解】因为抛物线2y mx =的标准方程为21x y m=，其准线方程为14y m =-，由于抛物线上一点(),2t 到其焦点的距离等于4，由抛物线的定义可得，1244m +=，解得18m =．故选：B9．（2022秋·湖北咸宁·高二统考期末）已知O 是坐标原点，F 是抛物线C ：()220y px p =>的焦点，()0,4P x 是C 上一点，且4=PF ，则POF 的面积为（） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2【答案】C【分析】根据条件求出p 的值，然后可算出答案.【详解】由题可知0042162p x px ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得024x p =⎧⎨=⎩，所以POF 的面积为12442⨯⨯=，故选：C考点二抛物线定义的应用（一）利用抛物线的定义求距离或点的坐标10．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期末）抛物线26y x =上一点()11,M x y 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为（） A．B．CD ．2【答案】A【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，再由()11,M x y 到其焦点的距离求得M 横坐标，进一步求得M 纵坐标，则答案可求.【详解】由题意知，焦点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为32x =-，由()11,M x y 到焦点距离等于到准线距离，得13922x +=，则13x =，2118y ∴=故选：A.11．（2022·高二单元测试）已知曲线C 上任意一点P 到定点()2,0F 的距离比点P 到直线3x =-的距离小1，M ，N 是曲线C 上不同的两点，若10MF NF +=，则线段MN 的中点Q 到y 轴的距离为（） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】根据抛物线的定义求出曲线C 的方程，再根据抛物线的性质计算可得；【详解】解：依题意曲线C 上任意一点P 到定点()2,0F 的距离和点P 到直线2x =-的距离相等，由抛物线的定义可知：曲线C 是以()2,0F 为焦点，2x =-为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为28y x =．分别设点M 、N 、Q 到准线2x =-的距离分别为1d ，2d ，d ，则12522MF NFd d d ++===，所以中点Q 到y 轴的距离为3，故选：A ．12．（2022·高二课时练习）若()00,P x y 是抛物线232y x =-上一点，F 为抛物线的焦点，则PF =（）． A ．08x + B ．08x -C ．08x -D ．016x +【答案】C【分析】根据抛物线定义，得到PF 等于点00(,)P x y 到准线的距离，即PF PM =，即可求解. 【详解】由抛物线232y x =-，可得其焦点在x 轴上，且8p =，准线方程为8x =，因为点00(,)P x y 是抛物线232y x =-上一点，F 为抛物线的焦点，根据抛物线定义，可得PF 等于点00(,)P x y 到准线的距离，即PF PM =，如图所示，所以08PF x =-.故选：C13．（2022·高二课时练习）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，()00,A x y 是C 上一点，054AF x =，则0x =（） A ．1 B ．2C ．4D ．5【答案】B【分析】先求出抛物线的准线方程，进而将点到焦点的距离转化为到准线的距离即可求得答案.【详解】由抛物线C ：22y x =可得1p =，则准线方程为12x =-，于是00015224p AF x x x =+=+=，解得02x =．故选：B ．14．（2022秋·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考期中）已知A ()4,2-，F 为抛物线28y x =的焦点，点M 在抛物线上移动，当MA MF +取最小值时，点M 的坐标为（）A ．()0,0B ．(1,-C ．()2,2-D ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】过M 点作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义，知MF ME =，当M 在抛物线上移动时，当,,A M E 三点共线时，ME MA +最小，由此即可求出结果.【详解】如图所示，过M 点作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义，知MF .ME =当M 在抛物线上移动时，ME MA +的值在变化，显然M 移动到M '时，,,A M E 三点共线，ME MA +最小，此时//AM Ox '，把=2y -代入28y x =，得12x =，所以当MA MF +取最小值时，点M 的坐标为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：D.15．（2022春·湖北武汉·高二华中师大一附中阶段练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 的准线l 上，线段MF 与y 轴交于点A ，与抛物线C 交于点B ，若||3||3MA AB ==，则p =（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由题知点A 为MF 的中点，结合已知得||6,||2,||4MF BF BM ===，过点B 作BQ l ⊥，由抛物线的定义即可求解.【详解】设l 与x 轴的交点为H ，由O 为FH 中点，知点A 为MF 的中点，因为||3||3MA AB ==，所以||6,||2,||4MF BF BM ===．过点B 作BQ l ⊥，垂足为Q ，则由抛物线的定义可知||||2BQ BF ==，所以||2||BM BQ =，则||2||6MF FH ==，所以||3p FH ==．故选：C16．（2022春·福建·高二福建师大附中校考期末）如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，准线与对称轴交于点M ，若3BC BF=，且3AF =，则p 为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】分别过点A 、B 作准线的垂线，垂足分别为点E 、D ，设BF a =，根据抛物线的定义以及图象可得sin sin sin BCD ACE FCM ∠=∠=∠，结合已知条件求得,a p ，即可. 【详解】如图，分别过点A 、B 作准线的垂线，垂足分别为点E 、D ，设BF a =，则由己知得3BC a =，由抛物线的定义得BD a =，故1sin 33BD a BCD BC a ∠===，在直角三角形ACE 中，3AF =，34AC a =+，又因为31sin sin 343AE BCD ACE AC a ∠=∠===+，则349a +=，从而得32a =，又因为1sin sin 463MF p p BCD FCM FC a ∠=∠====，所以2p =. 故选：B.（二）与抛物线定义有关的最大(小)值问题17．（2022·高二单元测试）已知圆C 经过点()1,0P ，且与直线=1x -相切，则其圆心到直线30x y -+=距离的最小值为（）A ．3B ．2 CD【答案】D【分析】利用已知可推出圆心C 的轨迹为抛物线，利用抛物线的几何性质求解即可.【详解】解：依题意，设圆C 的圆心(),C x y ，动点C 到点P 的距离等于到直线=1x -的距离，根据抛物线的定义可得圆心C 的轨迹方程为24y x =，设圆心C 到直线30x y -+=距离为d，d ====当2y =时，min d ，故选：D ．18．（2022春·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考期末）已知抛物线C ：212y x =-的焦点为F ，抛物线C 上有一动点P ，()4,2Q -，则PF PQ +的最小值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C【分析】抛物线的准线l 的方程为3x =，过P 作PM l ⊥于M ，根据抛物线的定义可知PF PM =，则当,,Q P M 三点共线时，可求PM PQ +得最小值，答案可得.【详解】解：抛物线C ：212y x =-的焦点为()3,0F -，准线l 的方程为3x =，如图，过P作PM l ⊥于M ，由抛物线的定义可知PF PM =，所以PF PQ PM PQ +=+则当,,Q P M 三点共线时，PM PQ +最小为()347--=. 所以PF PQ +的最小值为7.故选：C.19．（2022秋·江西赣州·高二校联考期中）已知抛物线216y x =的焦点为F ，P 点在抛物线上，Q 点在圆()()22:624C x y -+-=上，则PQ PF +的最小值为（） A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离.【详解】如图，过点P 向准线作垂线，垂足为A ，则PF PA =，当CP 垂直于抛物线的准线时，CP PA +最小，此时线段CP 与圆C 的交点为Q ，因为准线方程为4x =-，()6,2C ，半径为2，所以PQ PF +的最小值为21028AQ CA =-=-=.故选：C20．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）设点P 是抛物线1C :24x y =上的动点,点M 是圆2C :22(5)(4)4x y -++=上的动点,d 是点P 到直线=2y -的距离,则||d PM +的最小值是（）A ．2B ．1C ．D ．1【答案】B 【分析】根据题意画出图像,将d 转化为抛物线上点到准线的距离再加1,也即是抛物线上点到焦点的距离加1,若求||d PM +的最小值,转化为抛物线上点到焦点距离和到圆上点的距离再加1即可,根据三角形两边之和大于第三边,即当112,,,F P M C 共线时,||d PM +取最小值为21FC r +-,算出结果即可.【详解】解:由题知圆2C :22(5)(4)4x y -++=,()25,4,2C r ∴-=()0,1F 为抛物线焦点,1y =-为抛物线准线,则过点P 向1y =-作垂线垂足为D ,如图所示:则1d PD =+, 根据抛物线定义可知=PD PF ,1d PF ∴=+,||d PM ∴+=1PF PM ++,若求||d PM +的最小值,只需求PF PM +的最小值即可,连接2FC 与抛物线交于点1P ,与圆交于点1M ,如图所示,此时PF PM +最小,为2FC r -,()2min 1d PM FC r +=+-,()()220,1,5,4,F C FC -∴=()2min 11d PM FC r ∴+=+-=.故选:B21．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（）A ．3716B ．115C ．2D ．74【答案】C【分析】由=1x -是抛物线24y x =的准线，推导出点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值即为点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和点P 到焦点的距离之和，利用几何法求最值．【详解】1x =-是抛物线24y x =的准线，P ∴到=1x -的距离等于PF .过P 作1PQ l ⊥于 Q ，则P 到直线1l 和直线2l 的距离之和为PF PQ +抛物线24y x =的焦点(1,0)F∴过F 作11Q F l ⊥于1Q ，和抛物线的交点就是1P ， ∴111PF PQ PF PQ +≤+（当且仅当F 、P 、Q 三点共线时等号成立）∴点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值就是(1,0)F 到直线4360x y -+=距离，∴最小值1FQ 2==．故选：C ．考点三抛物线的轨迹问题22．（2022·高二课时练习）已知点(2,2)M ，直线:10l x y --=，若动点P 到l 的距离等于PM ，则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线【答案】C【分析】由抛物线的定义求解即可.【详解】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点P 的轨迹是抛物线.故选：C23．（2022春·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）已知圆22:1O x y +=，点00(,0),(0)A x x ≥，动圆M 经过点A 且与圆O 相切，记动圆圆心M 的轨迹为E ，有下列几个命题：①00x =，则轨迹E 表示圆，②001x <<，则轨迹E 表示椭圆，③01x =，则轨迹E 表示抛物线，④01x >，则轨迹E 表示双曲线，其中，真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】设动圆M 圆心(),M x y ，半径为r ，根据圆与圆内切和外切两种情况，结合圆，抛物线，椭圆和双曲线的定义，依次判断每个选项得到答案.【详解】设动圆M 圆心(),M x y ，半径为r ，当00x =时，动圆M 与圆O 内切，故1MO r =-，即1MO MO =-，12MO =，轨迹为圆，①正确；当001x <<时，动圆M 与圆O 内切，故1MO r =-，即1MO MA AO +=>，故轨迹为椭圆，②正确；当01x =时，动圆M 与圆O 内切时，1MO r =-，1MO MA AO +==，轨迹为线段OA ；动圆M 与圆O 外切时，1MO r =+，1MO MA AO -==，轨迹为射线，③错误；当01x >时，动圆M 与圆O 外切，1MO r =+，即1MO MA AO -=<，故轨迹为双曲线，④正确. 故选：C24．（2022秋·福建福州·高二统考期中）在平面直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 到直线1x =的距离比它到定点()2,0-的距离小1，则P 的轨迹方程为（）A ．22y x =B ．24y x =C ．24y x =-D ．28y x =-【答案】D【分析】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.【详解】由题意知动点(),P x y 到直线2x =的距离与定点()2,0-的距离相等，由抛物线的定义知，P 的轨迹是以()2,0-为焦点，2x =为准线的抛物线，所以4p =，轨迹方程为28y x =-，故选：D25．（2022春·广东江门·高二新会陈经纶中学校考阶段练习）已知点()1,0F ，过直线=1x -上一动点P 作与y 轴垂直的直线，与线段PF 的中垂线交于点Q ，则Q 点的轨迹方程为（）A ．221x y +=B ．221x y -=C ．22y x =D ．24y x = 【答案】D 【分析】根据中垂线性质得到QF QP =，结合抛物线的定义判断出Q 点的轨迹是抛物线，由此求解出轨迹方程.【详解】设(),Q x y ，因为PF 的中垂线经过点Q ，所以QF QP =，又因为PQ y ⊥轴，所以QP 表示Q 到直线=1x -的距离，且QF 表示Q 点到F 点的距离，F 点不在直线=1x -上，由抛物线的定义可知：Q 点的轨迹是以F 为焦点，以直线=1x -为准线的抛物线，设轨迹方程为()220y px p =>，所以12p =，所以2p =，所以轨迹方程为24y x =.故选：D.26．（2022秋·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）已知动圆M 与直线y =2相切，且与定圆2231()C x y =：＋＋外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（）A ．212x y =-B ．212x y =C ．212y x =D ．212y x =-【答案】A 【分析】根据动圆M 与直线y =2相切，且与定圆2231()C x y =：＋＋外切，可得动点M 到C （0，-3）的距离与到直线y =3的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．【详解】设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，由题意可得M 到C (0，－3)的距离与到直线y ＝3的距离相等, 由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C (0，-3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，所以3,2122p p ==，其方程为212.x y =-，故选：A27．（2022·高二课时练习）若动点(,)M x y 满足3412x y =-+，则点M 的轨迹是（） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】D34125x y -+=，结合抛物线的定义，即可求解.【详解】由题意，动点(,)M x y 满足3412x y -+，34125x y -+=，即动点(,)M x y 到定点(1,2)的距离等于动点(,)M x y 到定直线34120x y -+=的距离，又由点(1,2)不在直线34120x y -+=上，根据抛物线的定义，可得动点M 的轨迹为以(1,2)为焦点，以34120x y -+=的抛物线.故选：D.考点四直线与抛物线的位置关系（一）直线与抛物线位置关系的判断及应用28．（2022春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）过定点()0,1P 且与抛物线28y x =有且仅有一个公共点的直线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【分析】根据题意，考虑直线斜率不存在和存在两种情况，由直线与抛物线位置关系，联立直线与抛物线方程求解，即可得出结果.【详解】当斜率不存在时，直线方程为0x =，只有一个公共点，符合题意；当斜率存在时，设为k ，则直线方程为1y kx =+，联立218y kx y x=+⎧⎨=⎩，得22(28)10k x k x +-+=， ①当0k =时，直线方程为1y =，只有一个公共点，符合题意；②当0k ≠时，令22(28)40k k ∆=--=，解得2k =，即直线与抛物线有一个公共点.所以满足题意的直线有3条.故选：C29．（2022·高二课时练习）直线()12y k x =-+与抛物线24x y =的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【答案】A【分析】直线()12y k x =-+过定点()1,2，在抛物线24x y =内部，即可得出结论．【详解】直线()12y k x =-+过定点()1,2，∴2142<⨯，∴()1,2在抛物线24x y =内部，∴直线()12y k x =-+与抛物线24x y =相交，故选：A ．30．（2022春·江苏连云港·高二期末）已知直线l 过点()1,2且与抛物线24y x =只有一个公共点，则直线l 的方程是（）A ．2y =B ．10x y -+=C ．1x =D ．2y =或10x y -+= 【答案】D【分析】先判断点()1,2在抛物线上，再分直线的斜率不存在，直线的斜率为0和直线的斜率存在且不为0，三种情况讨论求解即可.【详解】将点（1，2）的坐标代入抛物线方程得2241=⨯，即该点在抛物线上．①若直线的斜率不存在，直线l 的方程为:1l x =，当直线l 与抛物线有两个交点，不合题意； ②若直线的斜率为0，则直线:2l y =平行于x 轴，则满足题意；③若直线的斜率存在且不为0，设()():210l y k x k -=-≠，联立方程组22(1)4y k x y x -=-⎧⎨=⎩，将21y x k k =-+代入24y x =化简得24840y y k k-+-=，则248Δ()4(4)01k k k =---=⇒=，此时:2110l y x x y -=-⇒-+=．综上，直线l 的方程为2y =或10x y -+=．故选：D ．31．（2022春·江苏南京·高二校联考阶段练习）过抛物线24x y =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，且点A 在第一象限，则当2AF FB =时，直线AB 的斜率为（）AB．C．D．±【答案】A【分析】首先设直线AB ,把直线与抛物线联立,结合2AF FB =,找到12x x + 与12x x 关系式,计算即可得到斜率.【详解】由题意知()0,1F ,设直线AB :1y kx =+,()()1122,,,A x y B x y联立方程214y kx x y =+⎧⎨=⎩, 可得2440x kx --=,即得121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩ ① 又因为2AF FB =,可得122x x =-,②结合①②()212122x x x x =-+,24216k -=-⨯ 可得21=8k , 因为122x x =-,1>0x ,20x <又因12=4x x k +所以0k >即可得k 故选:A .32．（2022春·江苏连云港·高二校考期中）过抛物线2:C y x =上定点(P 作圆()22:21M x y -+=的两条切线，分别交抛物线C 于另外两点A 、B ，则直线AB 的方程为（） A．10x -+= B．10x ++= C．20x -+= D．20x ++=【答案】B【分析】设过点P 且与圆M相切的直线的方程为()2y k x =-，根据该直线与圆M 相切求出k 的值，设点()211,A y y 、()222,B y y ，求出1y 、2y 的值，求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】圆M 的圆心为()2,0M ，半径为1，易知PM x ⊥轴，所以，直线PA 、PB 的斜率必然存在，设过点P 且与圆M相切的直线的方程为()2y k x =-，即20kx y k -+=，1=，解得1k =±，设点()211,A y y 、()222,B y y ，不妨设直线PA 、PB 的斜率分别为1、1-，则11PA k ==，可得11y =同理1PB k ==-，可得21y =-直线AB的斜率为122212121AB y y k y y y y -===-+ 易知点A的坐标为(3-，所以，直线AB的方程为(13y x -=-+，即10x ++=. 故选：B.33．（2022秋·安徽·高二校联考期末）已知抛物线2:12C x y =的焦点为F ，其准线与y 轴的交点为A ，点B 为抛物线上一动点，当AB FB取得最大值时，直线AB 的倾斜角为（）A ．4π B ．3π C ．6π或56π D ．4π或34π【答案】D【分析】过点B 作抛物线C 的准线的垂线BM ，垂足为点M ，分析可得cos BF BAF AB =∠，当AB FB取得最大值时，BAF ∠最大，此时AB 与抛物线C 相切，设出直线AB 的方程，将抛物线C 的方程，由Δ0=可求得直线AB 的斜率，即可求得直线AB 的倾斜角.【详解】抛物线C 的准线为2:12l x y =，焦点为()0,3F ，易知点()0,3A -，过点B 作BM l ⊥，垂足点为M ，由抛物线的定义可得BM BF =，易知//BM y 轴，则BAF ABM ∠=∠，所以，cos cos BF BMABM BAF AB AB==∠=∠，当AB FB取得最大值时，cos BAF ∠取最小值，此时BAF ∠最大，则直线AB 与抛物线C 相切，由图可知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为3y kx =-，联立2123x yy kx ⎧=⎨=-⎩可得212360x kx -+=，则21441440k ∆=-=，解得1k =±，因此，直线AB 的倾斜角为4π或34π. 故选：D.（二）弦长问题34．（2022春·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π4的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则AB =（）．A ．8B ．C ．16D ．32【分析】根据过抛物线焦点的弦长公式求得正确答案. 【详解】焦点()2,0F ，直线l 的方程为2y x =-，由228y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 并化简得21240,144161280x x -+=∆=-=>，设()()1122,,,A x y B x y ，所以1212x x +=，所以1212416AB x x p =++=+=. 故选：C35．（2022春·湖北·高二校联考阶段练习）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线22y x =，若从点()3,2Q 发射平行于x 轴的光射向抛物线的A 点，经A 点反射后交抛物线于B 点，则AB =（） A ．258B ．2516C ．259D ．2518【答案】A【分析】由题意求出A 点的坐标，由于直线AB 过焦点，利用点斜式方程求出直线AB 为4320x y --=，联立抛物线方程，得23102y y --=，根据韦达定理求出B 点坐标，利用两点间距离公式可求出AB . 【详解】由条件可知AQ 与x 轴平行，令2y =，可得2A x =，故A 点坐标为()2,2，因为AB l 经过抛物线焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以AB l 为20101222y x -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-，整理得4320x y --=，联立224320y x x y ⎧=⎨--=⎩，得23102y y --=，()2325411024⎛⎫∆=--⨯⨯-=> ⎪⎝⎭，所以32A B y y +=，又2A y =，所以12B y =-，2111228B x ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以258AB =，36．（2022春·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知椭圆22154x y +=的右焦点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为45°的直线分别交抛物线于A ，B （A 在x 轴上方）两点，则AFBF的值为（）A．3+B ．2+C ．3D ．4【答案】A【分析】先根据椭圆方程求抛物线的方程，分别过A ，B 作准线的垂线，得到直角梯形11AA B B ，结合抛物线的定义在梯形中求2ABAP ，即得结果.【详解】依题意，()1,0F 是抛物线()220y px p =>的焦点，故12p=，则2p =，24y x =. 根据已知条件如图所示，A 在x 轴上方，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为11,A B ，过B 作1AA 的垂线，垂足为P ，设,BF x AF kx ==，根据抛物线的定义知11,BB x AA kx ==，所以直角梯形11AA B B 中1A P x =，()111AP AA A P k x =-=-，()1AB k x =+，又直线AB 的倾斜角45，故121k xk x ，解得3k =+3AFBF=+ 故选：A.37．（2022·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学学业考试）设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为（）A ．94B C ．98D【分析】联立直线与抛物线方程消去x 得1212,y y y y +， 121||||2OAB OAF OFB S S S OF y y =+=-△△△代入计算可得结果.【详解】由题意知，3(,0)4F∴过A 、B的直线方程为3)4y x =-，即：34x =+22349034y xy x ⎧=⎪⇒--=⎨+⎪⎩设1122,,()()A x y B x y ，，则121294y y y y +==-∴1212113||||||224OAB OAF OFB S S S OF y y y y =+=-=⨯-△△△3984== 故选：A.38．（2022春·河南·高二校联考期中）已知抛物线2:4C y x =的焦点为,F N 为C 上一点，且N 在第一象限，直线FN 与C 的准线交于点M ，过点M 且与x 轴平行的直线与C 交于点P ，若||2||MN NF =，则MPF △的面积为（） A ．8 B ．12C．D．【答案】C【分析】过N 作准线的垂线，垂足为Q ，准线与x 轴交于点E ，进而根据几何关系得MPF △为等边三角形，34MF NF ==，再计算面积即可.【详解】解：如图，过N 作准线的垂线，垂足为Q ，准线与x 轴交于点E ，所以，NF NQ =，2EF =．因为MQN MEF △△∽，所以23QN MN MQ EF MF ME ===，43QN NF ==，34MF NF ==．所以1cos 2EF MFE MF ∠==，60MFE PMF ∠=︒=∠．又因为PM PF =，所以60PFM PMF ∠=∠=︒，所以MPF △为等边三角形，所以2MPF S ==△ 若M 在第三象限，结果相同．故选：C39．（2022秋·河南许昌·高二统考期末）已知直线l 过点()2,0，且垂直于x 轴．若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为） A ．()1,0 B ．()0,1 C ．()1,2 D ．()2,1【答案】A【分析】将2x =代入24y ax =可得交点坐标，结合弦长为a ，进而得到抛物线的焦点坐标即可【详解】当2x =时，28y a =，显然0a >，解得y =±(-=，解得1a =，故抛物线24y x =，焦点坐标为()1,0故选：A40．（2022秋·河南·高二校联考开学考试）已知A ，B 为抛物线2:C y x =，上的两点，且2AB =，则AB 的中点横坐标的最小值为（）． A ．14B ．12C ．34D ．1【分析】根据抛物线的弦长公式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】设直线AB 的方程为()0x ky b b =+≥，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2y xx ky b ⎧=⎨=+⎩，得20y ky b --=，则12y y k +=，12y y b =-，240k b ∆=+>．因为2AB ，所以()()22144k k b ++=，得22114k b k =-+．因为()2121222x x k y y b k b +=++=+，所以AB 的中点的横坐标2221202211112241414x x k k k x b k k ++==+=+=+-++．因为2211141k k ++≥=+，当且仅当221141k k +=+，即1k =±时，等号成立，所以当1k =±时，0x 取得最小值34．故选：C41．（2022秋·广东深圳·高二深圳市罗湖外语学校校考阶段练习）已知圆()2220x y r r +=>与抛物线23y x=相交于M ，N ，且MN =r =（）A B ．2 C ．D ．4【答案】B【分析】由圆与抛物线的对称性及MN =M 点纵坐标，代入抛物线得横坐标，求出||OM 即可得解.【详解】因为圆()2220x y r r +=>与抛物线23y x =相交于M ，N ，且MN =由对称性，不妨设(M x ，代入抛物线方程，则33x =，解得1x =，所以M ，故||2r OM ==（三）焦点弦问题42．（2022春·湖南长沙·高二湘府中学校考阶段练习）设F 为抛物线2:2C y x =的焦点，点M 在C 上，点N 在准线l 上，满足//MN OF ，NF MN =，则MF =（）A ．12 B C ．2 D 【答案】C【分析】由抛物线方程可知p ，焦点坐标及准线方程，设准线l 与x 轴交点为E ，画出图象，由抛物线定义及NF MN =可知MNF 是正三角形，结合平行关系可判断60EFN ∠=︒，利用直角三角形性质即可求解. 【详解】由题，1p =，抛物线焦点F 为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线l 为12x =-，设准线l 与x 轴交点为E ，如图所示，由题知MN l ⊥，由定义可知MN MF =，因为NF MN =，所以MNF 是正三角形，则对Rt NEF ，因为//MN OF ，所以60EFN MNF ∠=∠=︒，所以222MF NF EF p ====，故选：C43．（2022·全国·高二假期作业）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，N 为C 上一点，且N 在第一象限，直线FN 与C 的准线交于点M ，过点M 且与x 轴平行的直线与C 交于点P ，若2MN NF =，则直线PF 的斜率为（） A ．1 B ．2C ．43D 【答案】D【分析】过N 作准线的垂线，垂足为Q ，根据抛物线的定义以及两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质可得30NMQ ∠=，通过直线的倾斜角为πPFM MFO -∠-∠即可得结果. 【详解】如图，过N 作准线的垂线，垂足为Q ，则||||NF NQ =．又因为||||PM PF =，所以PFM PMF MFO MNQ ∠=∠=∠=∠．因为||2||MN NF =，即||2||MN NQ = 所以30NMQ ∠=，即60MNQ ∠=︒．直线PF的斜率为tan(π)tan 60PFM MFO -∠-∠=︒= 故选：D.44．（2022春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期中）已知直线l 过抛物线2:4E y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线的准线交于C 点，若2AB BC =，则||||AF BF 等于（） A ．2 B ．3C ．12D ．13【答案】B【分析】过点A 作1AA 垂直于准线交准线于1A ，过点B 作1BB 垂直于准线交准线于1B ，根据相似得到1113BB AA =，再利用抛物线的性质得到答案. 【详解】如图所示：过点A 作1AA 垂直于准线交准线于1A ，过点B 作1BB 垂直于准线交准线于1B ，则1BF BB =，1AF AA =，2AB BC =，故1113BB AA =，即||3||AF BF =. 故选：B45．（2022春·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考阶段练习）设倾斜角为α的直线l 经过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A 、B 两点，设A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方．若2AFBF=，则cos α的值为（）A ．13B ．12C ．23D 【答案】A【分析】由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，在直角三角形中求出倾斜角为α的余弦值.【详解】过A ，B 分别作准线的垂线交准线于M ，N ，过B 作BC AM ⊥于C ，则AC AM BN =-，由抛物线的性质可得，AM AF =，BN BF =，因为||2||AF BF =，∴3AB BF =，所以1cos 3333AC AM BN AF BF BF CAB AB BF BF BF --=====∠，即1cos 3α=. 故选：A ．（四）中点弦问题。

抛物线

（4）x2 +8y =0 准线方程
焦点坐标
（1）
（2）
（ 5， 0）
1 （0，—） 4 5 （- —，0） 8
x= -5
1 y= - — 4 5 x= — 8
（3）（4）
（0，-2）
y=2
例2 求过点A（-3，2）的抛物线的
标准方程。
解：（1）当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2 =2py，得p=
p y 2
▲抛物线标准方程的四种形式的识别方法
一次变量定焦点焦点坐标四分一
准线方程相反数
开口方向看正负
三、例题精讲、巩固练习
例1（1）已知抛物线的标准方程是y2 =6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。
总结（先定型，再定量）
抛物线 y2=mx (m≠0)
两边平方,整理得
y 2 px( p 0)
这就是所求的轨迹方程.
二、抛物线的标准方程
把方程 y2 = 2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程
K
l
y
O
.F
x
p p 则焦点F ( , 0), 准线l : x = 2 2
而p 的几何意义是:
焦点到准线的距离
在学习椭圆和双曲线的时候，由于它在坐标平面内的焦点位置不同，方程也不同，同样抛物线也由于焦点的位置不同，而有不同形式的标准方程.
（2）当焦点在x轴的负半轴上时，把A（-3，2）代入y2 = -2px，
9 4
．
A
y
O
x
得p=
4 9 2 2 ∴抛物线的标准方程为x = y或y = x 3 2

高二数学抛物线及其标准方程说课稿范文

高二数学抛物线及其标准方程说课稿为大家整理的高二数学抛物线及其标准方程说课稿文章,供大家学习参考！更多最新信息请点击高二考试网课题：抛物线及其标准方程(1) (人教版高二数学(上)(实验修订本。

必修)§8.5第一课时) 解析几何是通过建立直角坐标系用代数方法解决几何问题的学科，具体的作法是建立坐标系，平面上的点与一个有序实数一一对应的关系，从而体现了形与数的统一与转化，这部分内容有极丰富的辩证关系，是对学生进行思想教育的好机会。

它主要研究两个问题：(1)已知曲线求方程；(2)已知方程画曲线。

而椭圆、双曲线、抛物线这些很重要以常见的圆锥曲线，高中解析几何主要研究它们的性质与应用，是学生掌握解析几何的关键，是领会解析法构思的途径。

教学内容及重点、难点分析：1、本节课在圆锥曲线中的地位：圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容。

本章圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三个部分。

三部分在圆锥曲线中的地位相同。

本章对抛物线的安排篇幅不多，并非其不重要，主要是因为学生对于椭圆、双曲线的基本知识和研究方法已经熟悉了，这里精简介绍，学生是完全可以接受的。

本课是高二数学§8.5的第一课时，它是学习抛物线的性质及其应用的基础。

一定要引起学生足够的重视。

2、本节课的主要教学内容：ⅰ、通过实验，结合几何画板课件，观察、发现和认识抛物线。

师生利用课件结合教具共同作与一个定点的距离等于它到定直线的距离的动点的轨迹(图形)——抛物线，培养探索精神，教给学生一个发现数学奥秘的方法——做实验。

ⅱ、坐标法求抛物线的标准方程是本节课的重点和难点。

通过几何画板动态演示建立不同的坐标系，对比所得方程的异同，使学生认识到恰当建立坐标系的重要性。

ⅲ、由抛物线的标准方程，熟练写出焦点坐标、准线方程；反之也会。

ⅳ、抛物线开口方向有左、右、上、下四种情况。

可以放手让学生类似地推导开口向左、向上、向下的情况下的标准方程。

让学生根据课件展示的图形写出焦点坐标、准线方程。

高二数学选修2-1 抛物线的简单几何性质

高二数学选修2-1抛物线的简单几何性质【基础知识精讲】抛物线的几何性质、图形、标准方程列表如下：图形标准方程 y 2=2px(p ＞0)y 2=-2px(p ＞0)x 2=2py(p ＞0)x 2=-2py(p ＞0)焦点坐标 (2p,0) (-2p,0) (0,2p ) (0，-2p ) 准线方程 x=-2px=2p y=-2py=2p X 围x ≥0x ≤0 y ≥0 y ≤0 对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴顶点(0，0)(0，0) (0，0) (0，0) 离心率 e=1 e=1e=1e=1焦半径｜PF ｜=x 0+2p ｜PF ｜=2p -x 0 ｜PF ｜=2p +y 0 ｜PF ｜=2p -y 0 参数p 的几何意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.本节学习要求：1.抛物线方程的确定，先由几何性质确定抛物线的标准方程，再用待定系数法求其方程.2.解决有抛物线的弦中点问题及弦长问题与椭圆、双曲线一样，利用弦长公式、韦达定理、中点坐标公式及判别式解决.3.抛物线中有关轨迹与证明问题也与前面内容一样.常用方法有轨迹法、代入法、定义法.参数法等.证明的方法是解析法.通过学习本节内容，更进一步培养我们学习数学的兴趣，培养良好的思维品质.运用数形结合的思想方法解决问题，提高分析问题和解决的能力.【重点难点解析】1.抛物线的几何性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心.通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.应熟练掌握抛物线的四种标准方程.本节重点是抛物线的简单几何性质，难点是几何性质的灵活应用.例1 已知抛物线顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点(x 0，-8)到焦点的距离等于17，求抛物线方程.分析设方程为y 2=2px(p ＞0)或y 2=-2px(p ＞0)则 x 0+2p =17或2p-x 0=17 即 x 0=17-2p 或x 0=2p-17将(17-2p ，-8)代入y 2=2px解得 p=2或p=32 将(2p -17，-8)代入y 2=-2px 解得 p=2或p=32∴所求抛物线方程为y 2=±4x 或y 2=±64x.例2 求抛物线y 2=4x 中斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.分析本例可设平行弦的纵截距为参数、运用判别式及韦达定理、中点坐标公式来求，也可设点参数运用点差法求解.设AB 是抛物线中斜率为2的平行弦中任一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)AB 中点M(x,y)由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=--=+=+==2224421212121222121x x y y yy y x x x x y xy 得：y=1 代入y 2=4x 得x=41 ∴轨迹方程为y=1(x ＞41)例3 设点A 和B 为抛物线y 2=4px(p ＞0)上原点以外的两个动点.已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB 于M ，求点M 的轨迹方程，并说明表示什么曲线.分析设A(4pt 21,4pt 1)，B(4pt 22,4pt 2)，OA 、OB 的斜率分别为k OA 、k OB 则 k OA =11t ,k OB =21t由OA ⊥OB ，得 k OA ·k OB =211t t =-1⇒t 1t 2=-1① ∵点A 在AB 上，得直线AB 的方程为 y-4pt 1=211t t + (x-4pt 21)② 由OM ⊥AB ，得直线OM 方程为 y=-(t 1+t 2)x ③设点M(x,y),则x,y 满足②③两式将②化为：y(t 1+t 2)=x+4pt 1t 2=x-4p ④ 由③×④得：x 2+y 2-4px=0 ∵A 、B 是原点以外的两点 ∴x ≠0∴点M 的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p 为半径的圆(去掉原点).【难题巧解点拨】例1 已知抛物线y 2=2px 上两点A 、B ，BC ⊥x 轴交抛物线于C ，AC 交x 轴于E ，BA 延长交x 轴于D ，求证：O 为DE 中点.分析只需证出D 、E 两点的横坐标互为相反数即可，设A(2pt 21,2pt 1)，B(2pt 22,2pt 2)则 C(2pt 22,-2pt 2) AC ：y-2pt 1=211t t -(x-2pt 21) 令y=0,得x D =2pt 1t 2 BA ：y-2pt 1=211t t + (x-2pt 21) 令y=0,得x E =-2pt 1t 2 ∴x D +x E =0即O 为DE 中点.例2 设抛物线过定点A(0，2)且以x 轴为准线. (Ⅰ)试求抛物线顶点M 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)如果点P(a,1)不在线段y=1(-2≤x ≤2)上，那么当a 取何值时，过P 点存在一对互相垂直的直线同时与曲线C 各有两个交点?分析 (Ⅰ)设抛物线顶点M(x,y)，y ＞0，则其焦点为F(x,2y). 据抛物线定义有22)22(-+y x =2即 42x +(y-1)2=1(y ≠0)∴抛物线顶点M 的轨迹C 的方程是42x +(y-1)2=1(y ≠0) (Ⅱ)过P 点的直线可设为l :y-1=k(x-a).由已知P(a,1)不在曲线C 上，则⎩⎨⎧=-++-=4)1(41)(22y x a x k y 消去y ，得x 2+4k 2(x-a)2=4 即(1+4k 2)x 2-8k 2ax+4(k 2a 2-1)=0 ∴△=16［k 2(4-a 2)+1］过点P 存在一对互相垂直的直线同时与曲线C 各有两个不同的交点的充要条件是关于斜率k 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+->+-01)4(101)4(2222a ka k 有解 ∵点P 不在直线y=1(-2≤x ≤2)上，∴｜a ｜＞2，4-a 2＜0.∴上不等式组可化为⎪⎩⎪⎨⎧->-<4,412222a k a k∴a 2-4<412-a 解a 2＜5又｜a ｜＞2,∴2＜｜a ｜＜5 即a ∈(-5,-2)∪(2,5)【命题趋势分析】本节与椭圆、双曲线的相同内容相似，都是高考的重要内容.圆锥曲线的基础知识；直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦及弦的中点的轨迹问题；圆锥曲线中的有关最值问题等等.本章内容为高考压轴题的高频题.【典型热点考题】例1 抛物线y=x 2的弦AB 保持与圆x 2+y 2=1相切移动，求过A 、B 的抛物线的切线交点的轨迹方程.分析一如图，设抛物线弦AB 与圆x 2+y 2=1相切于P(x 0,y 0),则过P 点的圆的切线方程为x 0x+y 0y=1.由⎩⎨⎧==+2001xy y y x x 得y 0x 2+x 0x-1=0设A 的坐标为(x 1,x 21),B(x 2,x 22)，由韦达定理，得 x 1+x 2=-00y x ,x 1·x 2=-01y又过A 、B 两点的抛物线的切线方程分别为 y+x 12=2x 1x,y+x 22=2x 2x ，则两切线交点Q(x,y)是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+xx x y x x x y 22212122②①①-②得x 21-x 22=2(x 1-x 2)x. ∴ 2x=x 1+x 2=-y x ③①×x 2-②×x 1得(x 2-x 1)y+x 1x 2(x 1-x 2)=0 ∴y=x 1x 2=-1y ④ 由③、④得x 0=y x 2,y 0=-y1∵P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上， ∴(y x 2)2+(-y1)2=1 即 y 2-4x 2=1,这是双曲线.由条件知，所求轨迹是焦点在y 轴上，a=1、b=21的双曲线的下支的一部分. 分析二设抛物线的弦AB 与圆切于点P(x 0,y 0)，则过P 点的圆的切线AB 的方程为 x 0x+y 0y=1①设过A 、B 两点的抛物线切线交点为Q(α，β)则AB 为抛物线的切点弦，其方程为 y+β=2αx ② 由①、②表示同一直线，于是有α20x =10-y =β1 ∴x 0=βα2 y 0=-β1 ∵P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上，∴(βα2)2+(-β1)2=1, 即β2-4α2=1,故 y 2-4x 2=1(x ∈R,y ＜0)例2 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用如图甲所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用如图乙所示的抛物线段表示.(1)写出如图甲所示市场售价与时间的函数关系式P ＝f(t)；写出如图乙所示种植成本与时间的函数关系式Q ＝g(t).(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大? (注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)解：(1)f(t)＝⎩⎨⎧≤<-≤≤-.300200,3002,2000,300t t t tg(t)＝2001 (t-150)2+100,0≤t ≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)＝f(t)-g(t),即h(t)＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025272001,2000,2175********t t t t t t当0≤t ≤200时，配方整理得 h(t)＝-2001(t-50)2+100, 所以，当t ＝50时，h(t)取得区间［0，200］上的最大值100；当200<t ≤300时，配方整理得 h(t)＝-2001(t-350)2+100 所以，当t ＝300时，h(t)取得区间(200，300］上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.【同步达纲练习】A 级一、选择题1.若A 是定直线l 外的一定点，则过A 且与l 相切圆的圆心轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线一支 D.抛物线2.抛物线y 2=10x 的焦点到准线的距离是( ) B.5D.103.已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是( )A.y 2=11xB.y 2=-11xC.y 2=22xD.y 2=-22x4.过抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点且垂直于x 轴的弦AB ，O 为抛物线顶点，则∠AOB( ) A.小于90°B.等于90° C.大于90°D.不能确定5.以抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为( ) A.相交B.相离C.相切D.不确定二、填空题6.圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是.7.若以曲线252x +162y =1的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于A 、B 两点，则｜AB ｜=.8.若顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为15，则此抛物线的方程是.三、解答题9.抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点(0，-1)作直线l 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FABR ，试求动点R 的轨迹方程.10.是否存在正方形ABCD ，它的对角线AC 在直线x+y-2=0上，顶点B 、D 在抛物线y 2=4x 上?若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由.AA 级一、选择题1.经过抛物线y 2=2px(p ＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( ) A.p B.2pC.4pD.不确定2.直线y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，若AB 的中点横坐标为2，则｜AB ｜为( ) A.15B.415C.215D.423.曲线2x 2-5xy+2y 2=1( ) A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称，但不关于y=x 对称D.关于直线y=x 对称也关于直线y=-x 对称4.若抛物线y 2=2px(p ＞0)的弦PQ 的中点为(x 0,y 0)(y ≠0)，则弦PQ 的斜率为( ) A.-0x p B.0y p C.px -D.-px 0 5.已知抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则2121x x y y 的值一定等于( )A.4B.-4C.p 2D.-p 2二、填空题6.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为.7.以椭圆52x +y 2=1的右焦点F 为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个公共点是A ，则｜AF ｜=.8.若△OAB 为正三角形，O 为坐标原点，A 、B 两点在抛物线y 2=2px 上，则△OAB 的周长为. 三、解答题9.抛物线y=-22x 与过点M(0，-1)的直线l 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA和OB 斜率之和为1，求直线l 的方程.10.已知半圆的直径为2r ，AB 为直径，半圆外的直线l 与BA 的延长线垂直，垂足为T ，且｜TA ｜=2a(2a ＜2r),半圆上有M 、N 两点，它们与直线l 的距离｜MP ｜、｜NQ ｜满足条件｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜，求证：｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜.【素质优化训练】一、选择题1.过点A(0，1)且与抛物线y 2=4x 有唯一公共点的直线的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.42.设抛物线y=ax 2(a ＞0)与直线y=kx+b 相交于两点，它们的横坐标为x 1,x 2,而x 3是直线与x 轴交点的横坐标，那么x 1、x 2、x 3的关系是( )A.x 3=x 1+x 2B.x 3=11x +21x C.x 1x 2=x 2x 3+x 3x 1D.x 1x 3=x 2x 3+x 1x 2 3.当0＜k ＜31时，关于x 的方程x 2=kx 的实根的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.已知点A(1，2)，过点(5，-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B 、C ，则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定5.将直线x-2y+b=0左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点，则实数b 的值等于( )A.-1B.1C.7D.9 二、填空题6.抛物线y 2=-8x 被点P(-1，1)所平分的弦所在直线方程为.7.已知抛物线y 2=2x 的弦过定点(-2，0)，则弦AB 中点的轨迹方程是. 8.已知过抛物线y 2=2px 的焦点F 的弦AB 被F 分成长度为m 、n 的两部分，则m 1+n1=. 三、解答题9.已知圆C 过定点A(0，p)(p ＞0)，圆心C 在抛物线x 2=2py 上运动，若MN 为圆C 在x 轴上截得的弦，设｜AM ｜=m,｜AN ｜=n ，∠MAN=θ.(1)当点C 运动时，｜MN ｜是否变化?写出并证明你的结论?(2)求m n +nm的最大值，并求取得最大值时θ的值和此时圆C 的方程.10.已知抛物线y 2=4ax(0＜a ＜1)的焦点为F ，以A(a+4,0)为圆心，｜AF ｜为半径在x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和N ，设P 为线段MN 的中点，(Ⅰ)求｜MF ｜+｜NF ｜的值；(Ⅱ)是否存在这样的a 值，使｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等差数列?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.【生活实际运用】1.已知点P(x 0,y 0)在抛物线含焦点的区域内，求证以点P 为中点的抛物线y 2=2px(p ＞0)的中点弦方程为yy 0-p(x+x 0)=y 20-2px 0注：运用求中点弦的方法不难求出结论，这一结论和过抛物线y 2=2px 上点的切线方程有什么联系?若P(x 0,y 0)为非对称中心，将抛物线y 2=2px 换成椭圆22a x +22b y =1或双曲线22a x -22by =1，它们的中点弦存在的话，中点弦方程又将如何?证明你的结论.中点弦方程在高考中多以选择题、填空题的形式出现.2.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA ，O 恰在圆形水面中心，OA=1.25米.安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路经落下，且在过OA 的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA 距离1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?分析根据图形的对称性，设出并求出一边的抛物线的方程，便可求出水池的半径. 以OA 所在直线为y 轴，过O 点作oy 轴的垂直线ox 轴，建立直角坐标系如图依题意A(0，1.25)，设右侧抛物线顶点为则B(1，2.25)，抛物线与x 轴正向交点为C ，OC 即圆型水池的半径.设抛物线ABC 的方程为 (x-1)2=-2p(y-2.25) 将A(0，1.25)代入求得p=21 ∴抛物线方程为(x-1)2=-(y-2.25) 令y=0，(x-1)2=1.52,x=2.5(米)即水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不致落到池外.【知识验证实验】1.求函数y=136324+--x x x -124+-x x 的最大值.解：将函数变形为y=222)2()3(---x x -222)1(-+x x ，由几何意义知，y 可以看成在抛物线f(x)=x 2上的点P(x,x 2)到两定点A(3，2)和B(0，1)的距离之差，∵｜PA ｜-｜PB ｜≤｜AB ｜，∴当P 、A 、B 三点共线，且P 在B 的左方时取等号，此时P 点为AB 与抛物线的交点，即P 为(6371-，183719-)时，y max =｜AB ｜=10. 2.参与设计小花园的喷水池活动. 要求水流形状美观，水流不落池外.【知识探究学习】1.如图，设F 是抛物线的焦点，M 是抛物线上任意一点，MT 是抛物线在M 的切线，MN 是法线，ME 是平行于抛物线的轴的直线.求证：法线MN 必平分∠FME ，即φ1=φ2.解：取坐标系如图，这时抛物线方程为y 2=2px.(p ＞0)，因为ME 平行x 轴(抛物线的轴)，∴φ1=φ2,只要证明φ1=φ3，也就是△FMN 的两边FM 和FN 相等.设点M 的坐标为(x 0,y 0)，则法线MN 的方程是y-y 0=-py 0(x-x 0),令y=0，便得到法线与x 轴的交点N 的坐标(x 0+p,0)，所以｜FN ｜=｜x 0+p-2p ｜=x 0+2p ,又由抛物线的定义可知，｜MF ｜=x 0+2p,∴｜FN ｜=｜FM ｜,由此得到φ1=φ2=φ3，若M 与顶点O 重合，则法线为x 轴，结论仍然成立.2.课本第124页阅读材料：圆锥曲线的光学性质及其应用参考答案: 【同步达纲练习】A 级1.D2.B3.D4.C5.C6.(x-21)2+(y ±1)2=17.3100 8.y 2=12x 或y 2=-4x 9.解：设R(x,y),∵F(0,1),∴平行四边形FARB 的中心为C(2x ,21+y ),l :y=kx-1,代入抛物线方程，得x 2-4kx+4=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且△=16k 2-16＞0，即|k|＞1 ①，∴y 1+y 2=42221x x +=42)(21221x x x x -+=4k 2-2,∵C为AB 的中点.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=+=1222122222121k y y y k x x x ⇒⎩⎨⎧-==3442k y k x 消去k 得x 2=4(y+3),由①得，｜x ｜＞4，故动点R 的轨迹方程为x 2=4(y+3)(｜x ｜＞4).10.解：设存在满足题意的正方形.则BD ：y=x+b,代入抛物线方程得x 2+(2b-4)x+b 2=0,∴△=(2b-4)2-4b 2=16-16b ＞0,∴b ＜1, ①，设B(x 1,y 1),D(x 2,y 2),BD 中点M(x 0,y 0),则x 1+x 2=4-2b,∴x 0=2-b,y 0=x 0+b=2,∵M 在AC 直线上，∴(2-b)+2-2=0，∴b=2与①相矛盾，故不存在满足要求的正方形.AA 级1.B2.C3.D4.B5.B6.27.95-188.123p9.解：设l :y=kx-1,代入y=-22x ,得x 2+2kx-2=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=-2k,x 1x 2=-2,又11x y +22x y =111x kx -+221x kx -=2k-2121x x x x +=2k-22--k =k=1，∴直线l 的方程为y=x-1. 10.证明：由｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜知M 、N 在以l 准，A 为焦点的抛物线上，建立直角坐标系，设抛物线方程为y 2=2px ，又｜TA ｜=2a=p,∴抛物线方程为y 2=4ax ，又圆的方程为(x-a-r)2+y 2=r 2，将两方程相减可得：x 2+2(a-r)x+a 2+2ar=0，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=2r-2a,∴｜AM ｜+｜AN ｜=｜PM ｜+｜QN ｜=x 1+x 2+2a=2r,即｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜【素质优化训练】1.C2.C3.D4.C5.C6.4x+y+3=07.y 2=x+2(在已知抛物线内部的部分) 8.2p9.解：(1)设圆心C(x 0,y 0),则x 20=2py 0，圆C 的半径｜CA ｜=2020)(p y x -+，其方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=x 20+(y 0-p)2,令y=0，并将x 20=2py 0，代入，得x 2-2x 0x+x 20-p 2=0，解得x m =x 0-p,x N =x 0+p,∴｜MN ｜=｜x N -x M ｜=2p(定值)(2)∵m=｜AM ｜=220)(p p x +-,n=｜AN ｜=220)(p p x ++,∴m 2+n 2=4p 2+2x 20,m ·n=4044x p +，∴m n +n m =mn n m 22+=40422424x p x p ++=20202)(4y p p y p p ++=220)(2y p y p ++=222021y p py ++≤22，当且仅当y 0=p 时等号成立，x 0=±2p ，此时△M 为等腰直角三角形，且∠M=90°，∴∠MAN=21∠M=45°，故当θ=45°时，圆的方程为(x-2 p)2+(y-p)2=2p 2或(x+2p)2+(y-p)2=2p 210.解：(1)由已知得F(a,0),半圆为［x-(a+4)］2+y 2=16(y ≥0)，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则｜MF ｜+｜NF ｜=x 1+x 2+2a=2(4-a)+2a=8(2)若｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等成数列，则有2｜PF ｜=｜MF ｜+｜NF ｜,另一方面，设M 、P 、N 在抛物线的准线上的射影为M ′、P ′、N ′，则在直角梯形M ′MNN ′中，P ′P 是中位线，又有2｜P ′P ｜=｜M ′M ｜+｜N ′N ｜=｜MF ｜+｜FN ｜,因而｜PF ｜=｜P ′P ｜,∴P 点应在抛物线上，但P点是线段MN的中点，即P并不在抛物线上，故不存在使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列的a值.。

抛物线知识点总结(整理19篇)

抛物线知识点总结〔整理19篇〕篇1：抛物线知识点总结抛物线知识点总结1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。

|a|越大，那么抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。

=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数(x=-bb2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a) 抛物线y = ax2 + bx + c (a≠0)就是y等于a乘以x 的平方加上 b乘以x再加上 c置于平面直角坐标系中a > 0时开口向上a 0时函数图像与y轴正方向相交c0)它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py篇2：抛物线知识点总结关于抛物线知识点总结平面内，到定点与定直线的间隔相等的点的轨迹叫做抛物线。

下面导师为大家带来的是初中数学知识点归纳之抛物线。

以下是“抛物线知识点总结”希望可以帮助的到您！抛物线y = ax2 + bx + c (a≠0)就是y等于a乘以x 的平方加上 b乘以x再加上 c置于平面直角坐标系中a > 0时开口向上a 0时函数图像与y轴正方向相交c0)它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py大家看过初中数学知识点归纳之抛物线，要知道其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。

【课件】抛物线的简单几何性质课件-2022-2023学年高二上人教A版(2019)选择性必修第一册

x≤0, y∈R
O F
x
x∈R, y≤0
关于y轴对称
关于x轴对称
顶点
焦半径
x2 = 2py
(0,0)
p
x0
2
x1 x2 p
p
x0
2
( x1 x2 ) p
2p
p
y0
2
y1 y2 p
p
y0
2
( y1 y2 ) p
如图，已知线段AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点
4
4
y
1
1
2
2
x

(0,
)
y

y

4
x
如
，即
，焦点为
，准线方程为
4
16
16
1.求抛物线标准方程
典例1
解：由已知可设抛物线的标准方程为y2=2px（p>0）
因此所求方程为：y2=4x
当焦点在x轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0),
当焦点在y轴上,开口方向不定时,设为x2=2my (m≠0),可避免讨论.
解这个方程，得 x1 3 2 2 ， x2 3 2 2 ，
将 x1 3 2 2 ， x2 3 2 2 代入方程①中，
得 y1 2 2 2 ， y2 2 2 2 ，即 A( 3 2 2 ， 2 2 2 )，B( 3 2 2 ， 2 2 2 )，
2p
O
利用抛物线的顶点、通径的两个
端点可较准确画出反映抛物线基本特
征的草图.
2p越大，抛物线张口越大
l
F
p

, p

抛物线及其标准方程课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

F (0, p ) 2
yP 2
x2=2py
F (0, p ) 2
y P 2
y
lo
x
F
y
l
o
x
F
y2=4x x轴为对称轴 ,焦点在x轴的正半轴上 x2=4y y轴为对称轴 ,焦点在y轴的负半轴上
1、一次项的变量x(y)→对称轴x(y) 焦点在对称轴x(y)轴上
2、一次项的系数符号→开口方向
系数正则正向，系数负则负向
M 的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是
x + —p 0
2 ————————————
． y M
． O F
x
练习：课本P67-3.
例4 一种卫星接受天线的轴截面是抛物线的一部分.卫
星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接受天线,经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径) 为4.8m,深度为0.5m,求抛物线的标准方程.
这就是所求的轨迹方程.
三、抛物线的标准方程
把方程 y 2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程，其中 p 为正常数，表示焦点在 x 轴正半轴上.
p的几何意义是: 焦点到准线的距离
焦点坐标是
p 2
,
0
准线方程为: x p
2
y l
Ko F
x
三三. 、不同抛位物置线的抛的物标线准方程
例4 一种卫星接受天线的轴截面是抛物线的一部分.卫
星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接受天
线,经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径) 为4.8m,深度为0.5m,求抛物线的标准方程.
解：如图建系,设抛物线的方程为y2 =2px
A(0.5,2.4)
把A点的坐标代入 y2 = 2px，得 2 p 11.52

圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结

双曲线知识点一、双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长〔＜|F 1F 2|〕的点的轨迹〔21212F F a PF PF <=-〔a 为常数〕〕这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：〔1〕距离之差的绝对值.〔2〕2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，那么焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，那么焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。

三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上220022-=1x y a b ⇔2 直线与双曲线：〔代数法〕设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，假设0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；假设2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点；假设k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 2020b x k a y >〔00y ≠〕或2020b x bk a a y << 〔00y ≠〕或b k a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时：当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =时，过点00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。

人教版数学选择性必修第一册综合复习：抛物线课件

高二选择性必修一
抛物线
新课程标准
考向预测
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线
1.抛物线的定义及应用
在刻画现实世界和解决实际问题中的命题 2.抛物线的标准方程与几何
应用．
角度性质
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准
3.直线与抛物线的位置关系
方程，以及它的简单几何性质．
3.通过抛物线的学习，进一步体会数形核心
2＝2py(p>0)
x
标准方程是____________________；
(4)焦参数为p，焦点在y轴负半轴上的抛物线的
x2＝－2py(p>0)
标准方程是____________________．
焦参数p的几何意义：焦点F到准线l的距离．
必
记
结
论
当抛物线的焦点坐标在坐标轴上确定，
而不知道开口方向时，可以设抛物线的方程
3．(202X届山东模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的
2
焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，
1

+
1

1
＝________．
考点二
抛物线的标准方程与几何性质(高考热度：)
[例2]
(全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆
2
3
＝1的一个焦点，则p＝( D )
准线
抛物线定义动态演示
2．抛物线的标准方程
(1)焦参数为p，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准
2＝2px(p>0)
y
方程是____________________；
(2)焦参数为p，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准

高二数学抛物线及其标准方程

例2、求在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2 =2py，得p=
当焦点在x轴的负半轴上时，把A（-3，2）代入y2 = -2px，
9 4
．
A
y
O
x
4 9 2 2 ∴抛物线的标准方程为x = y或y = x 3 2
2 得p= 3
y
y=ax2
y=ax2+c y=ax2+bx+c
o
x
二、标准方程
设︱KF︱= p p p 则F（ 2 ，0），l：x = 2 设点M的坐标为（x，y）， l N
y
M
由定义可知，
K o
· · F
x
p2 p ( x ) y2 x 2 2
化简得
y2 = 2px（p＞0）
2 方程 y
= 2px（p＞0）叫做
抛物线的标准方程其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
方程y2 = 2px（p＞0）表示抛物线的焦点在X轴的正半轴上
p p 则F（ 2 ，0），l：x = 2
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式，请建立不同的坐标系,求其对应的标准方程.
抛物线及其标准方程
一、定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F叫做抛物线的焦点。定直线l 叫做抛物线的准线。
N
l
M
· F ·
即:
MF ︳︳若 1, 则点 M的轨迹是抛物线。︳ MN ︳
演示
二、标准方程
想一想？？
l N
M
· · F

高二数学选修1、2-3-2抛物线的简单几何性质

＝2|EH|. 由图可知|HE|≥|GF|，当且仅当AB与x轴垂直时，|HE|＝ |GF|，即|AB| min＝2|GF|＝2p.
人教 A 版数学
第二章
圆锥曲线与方程
[点评]
解法一运用了弦长公式；解法二运用了抛物
线的几何意义，由此题我们可以得出一个结论：过抛物线焦点的所有弦中，通径最短(当过焦点的弦垂直于x轴时，此弦为抛物线的通径)，但值得注意的是，若弦长小于通径，教则此弦不可能过焦点．
由|FA|＝2得x1＋1＝2，x1＝1 所以A(1,2)，同理B(4，－4)，所以直线AB的方程为2x ＋y－4＝0.设在抛物线AOB这段曲线上任一点P(x0，y0)，
第二章
第二章
圆锥曲线与方程
[分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知抛物线
的标准方程．②求抛物线上的一点到其他元素的距离的最值，解答本题时一是可找到表示最值的目标函数；二是可分析最值对应的数学元素的意义．
人教 A 版数学
第二章
圆锥曲线与方程
[解析]
2
(1)设抛物线上任一点 P 的坐标为(x，y)，
人教 A 版数学
第二章
圆锥曲线与方程
人教 A 版数学
第二章
圆锥曲线与方程
1．范围
因为p>0，由方程y2＝2px(p>0)可知，这条抛
，这说明．
人教 A 版数学
物线上任意一点M的坐标(x，y)满足等式．所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大抛物线向右上方和右下方无限延伸，它开口越开阔 2．对称性
叫做抛物线的 e＝ . 1
人教 A 版数学
离心率，用e表示，按照抛物线的定义，

抛物线的简单几何性质(教学设计)高二数学 (人教A版2019选择性必修第一册)

3.3.2 抛物线的简单几何性质教学设计本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第三章《圆锥曲线的方程》的第三节《抛物线》。

以下是本节的课时安排：学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。

本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。

1.了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养．2.能利用性质解决与抛物线有关的问题．3.能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题,培养数学运算的核心素养.重点：抛物线的标准方程及其推导过程难点：求抛物线标准方程（一）新知导入已知抛物线y2＝8x，其轨迹如图所示．(1)观察抛物线y2＝8x轨迹可知其上的点的坐标的范围是怎样的？(2)观察抛物线y2＝8x的轨迹有什么对称性？【提示】(1)抛物线上的点的横坐标x≥0，纵坐标y∈R.(2)关于x轴对称．（二）抛物线的几何性质知识点一抛物线的几何性质◆抛物线的几何性质向右向左向上向下【点睛】1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,其共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一;次项系数的绝对值的14(4)焦点到准线的距离均为p.其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x2;2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.【思考】怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?【提示】开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.【做一做1】(教材P134例3改编)已知抛物线关于y轴对称，顶点在原点，且经过点P(23，－2 )，则抛物线的标准方程是()A．y2＝－6x B．x2＝－4yC．x2＝－6y D．x2＝6y解析：由题意，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．23，－2在抛物线上，所以12＝4p，解得p＝3.因为点P()∴抛物线的标准方程为x2＝－6y.答案：C知识点二抛物线的焦点弦长【探究2】斜率为k 的直线l 经过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，你能想到哪些求弦长|AB |的方法？【提示】法一：利用两点间的距离公式；法二：利用弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|；法三：|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . ◆焦点弦直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝x 1＋x 2＋p .【做一做2】过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案：B（三）典型例题1.利用抛物线的几何性质求标准方程例1.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．[分析] 因为圆和抛物线都关于x 轴对称，所以它们的交点也关于x 轴对称，即公共弦被x 轴垂直平分，于是由弦长等于23，可知交点纵坐标为± 3.[解析] 如图，设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，则|y 1|＋|y 2|＝23，即y 1－y 2＝2 3. 由对称性知y 2＝－y 1，∴y 1＝ 3. 将y 1＝3代入x 2＋y 2＝4得x ＝±1，∴点(1，3)，(－1，3)分别在抛物线y 2＝2px ，y 2＝－2px 上．∴3＝2p 或3＝(－2p )×(－1)，p ＝32.故所求抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .【类题通法】根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论．【巩固练习1】1.抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[解析] 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3， ∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ，其准线方程分别为x ＝－3或x ＝3.2.已知A 、B 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上两点，O 为坐标原点，若|OA |＝|OB |，且△ABO 的垂心恰是此抛物线的焦点F ，求直线AB 的方程．[解析] 抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ∵抛物线关于x 轴对称，|OA |＝|OB |，∴△ABO 为等腰三角形． ∴A 、B 两点关于x 轴对称．设A (x 0，y 0)，则B (x 0，－y 0)，∵△ABO 的垂心恰为抛物线的焦点，∴BF ⊥OA . 则k BF ·k OA ＝－1，即－y 0－0x 0－p 2·y 0x 0＝－1.又∵y 20＝2px 0，∴x 0＝52p .∴直线AB 的方程为x ＝5p2. 2.直线与抛物线的位置关系例2.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P (4，m )到焦点F 的距离为5.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 与直线y ＝x －4相交于不同的两点A 、B ，求证：OA ⊥OB .[分析] (1)可转化为点P 到准线的距离． (2)OA ⊥OB ⇔OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. [解析] (1)解：由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，其准线方程为x ＝－p2，∵P (4，m )到焦点的距离等于P 到其准线的距离， ∴4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0，Δ>0，∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A 、B ， ∴可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16， ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16 ＝16＋16－4×12＋16＝0， ∴OA→⊥OB →，即OA ⊥OB . 轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2＝－12y .【类题通法】将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．【巩固练习2】1.(多选题)过点(－2,1)作直线l ，与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则下列直线l 的方程满足条件的是( )A ．y ＝1B ．x ＋2y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －2y ＋4＝0解析：由题意知直线l 的斜率存在，设其方程为y －1＝k (x ＋2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，(*)可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，此时直线l 的方程为y ＝1.当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．当Δ＝0时，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l 与抛物线只有一个公共点．此时直线l 的方程为y －1＝－1(x ＋2)或y －1＝12(x ＋2) 即x ＋y ＋1＝0或x －2y ＋4＝0. 答案：ACD2.已知A ，B 为抛物线E 上不同的两点，若抛物线E 的焦点为(1,0)，线段AB 恰被M (2,1)所平分．(1)求抛物线E 的方程； (2)求直线AB 的方程．[解析] (1)由于抛物线的焦点为(1,0)，∴p2＝1，p ＝2，所求抛物线方程为y 2＝4x .(2)法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，由②－①得(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝4(x 2－x 1)， ∴y 2－y 1x 2－x 1＝2，所以所求直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.法二：显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y －1＝k (x －2)，k ≠0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －2)，y 2＝4x ，消去x 整理得ky 2－4y －8k ＋4＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，又M 点是AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2，故直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.3. 抛物线的焦点弦例3.抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．[解析] 如图，依题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2，即x 1＋x 2＋p ＝8.①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点，由⎩⎨⎧ y ＝－x ＋12p y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，将其代入①得p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p ＞0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x .∴抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .【类题通法】1．过抛物线焦点的直线与抛物线相交所截得的弦叫作抛物线的焦点弦．2．对于抛物线的焦点弦，利用抛物线的定义，结合平面几何知识可以得出抛物线焦点弦的许多性质，应用起来非常方便．如图，已知线段AB 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点F 是抛物线的焦点，过A ，B 两点分别作准线l 的垂线AC ，BD ，垂足分别为点C ，D ，点M 为线段AB 的中点，点M ′为线段CD 的中点．(1)几何性质①以过焦点F 的弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切于点M ′，∠AM ′B＝90°；②以线段CD 为直径的圆与弦AB 相切于点F ，∠CFD ＝90°；③通径(过抛物线的焦点且与轴垂直的弦)是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦．(2)代数性质①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)；③1|FA |＋1|FB |＝2p (定值)．【巩固练习3】如图，斜率为43的直线l 经过抛物线y 2＝2px 的焦点F (1,0)，且与抛物线相交于A 、B 两点．(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；(2)求线段AB 的长．[解析] (1)由焦点F (1,0)，得p 2＝1，解得p ＝2.所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．直线l 的方程为y ＝43(x －1)．与抛物线方程联立，得⎩⎨⎧ y ＝43(x －1)y 2＝4x ，消去y ，整理得4x 2－17x ＋4＝0，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝174＋2＝254.所以，线段AB 的长为254.（四）操作演练素养提升1.顶点在原点，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x2．边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－33xC．y2＝±36x D．y2＝±33x3．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为()A．213 B．215C．217 D．2194．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝________.答案：1.C 2.C 3.B 4. 8【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

高二数学选修2-1复习教案第7讲抛物线

高二第7讲抛物线标准方程及性质一、教学目标1. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(焦点、准线、范围、对称性、顶点、离心率)．2. 理解数形结合的思想；会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．3. 了解抛物线的简单应用，会用坐标研究直线与抛物线位置的关系．二、教学重、难点1．重点：抛物线的定义及其标准方程、抛物线性质的应用、直线与抛物线的位置关系 2．难点：焦半径、焦点弦的应用、直线与抛物线的位置关系．三、教学方法：一学、二记、三应用四、知识梳理1. 抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（1）在平面内；（2）动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等；（3）定点不在定直线上．定点F 叫做抛物线的焦点、定直线l 叫做抛物线的准线． 2.3.答：一是求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程；二是求抛物线的焦点坐标时，首先要把抛物线方程化为标准方程，再求解. 要注意标准方程中一次项变量决定焦点所在位置．y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a 4. B 、辨明两个易误点：（a ）抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．（b ）对于抛物线标准方程中参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．4、抛物线的焦点弦及其性质如图，设AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点弦，A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线l ：x ＝－p 2，AM ⊥l ，BN ⊥l ，且C ，D 分别为AB ，MN 的中点，则 ⑴ MF ⊥NF ，DF ⊥AB ，AD ⊥BD ； ⑵ y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p24；⑶ x 1＝p 2＋|AF |cosα，x 2＝p 2＋|BF |cos(α＋π)＝p2－|BF |cosα；⑷ |AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2；⑸ |AF |＝p 1－cosα，|BF |＝p1＋cosα（设α为直线AB 与对称轴的夹角，|AF |≥|BF |）；⑹ |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝|y 1－y 2|22p ＝2psin 2α（设α为直线AB 与对称轴的夹角）；⑺ 1|AF |＋1|BF |＝2p（定值）； ⑻ 直角梯形ABNM 的对角线交于顶点（原点O ），且S △AOB ＝S △MON ＝p 4|y 1－y 2|＝p 22sinα；⑼ CD 被抛物线平分，即R 为CD 的中点；⑽ 设动弦AB 两端点在准线上的摄影点分别为C 、D ，线段CD 的中的为点M ，则A 、O 、D 三点共线，B 、O 、C 三点共线；以AB 为直径的圆与准线相切于点M ；抛物线在点A 、B 处的切线相交于点M;以CD 为直径的圆与动弦恒切与焦点F,即∠CFD ＝90°．分别以AF 、BF 为直径的圆必与y 轴相切．五、课前测试1.抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－22.（2019课标全国Ⅱ卷）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp +=的一个焦点，则p =（）A ．2B ．3C ．4D ．83.已知d 为抛物线y ＝2px 2(p >0)的焦点到准线的距离，则pd 等于( )A.12p 2 B ．p 2 C.12 D.14六、典例剖析题型一抛物线定义及应用例1：判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是（a4，0），准线方程是x ＝－a4.( )(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )例2（1）(2019·河北三市联考)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( )A.53B.75C.97 D ．2(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．25－1B ．25－2 C.17－1 D.17－2(3) （选讲提升）（佛山市2019届高三教学质量检测（二））已知抛物线)0(22>=p py x 的焦点为F ，准线为l ，点),4(0y P 在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且PF PK 2=，则0y = 。