高中数学易错题集锦

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高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错题集锦(带答案)

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错题集锦单选题1、若ln2=a，ln3=b，则log818=（）A．a+3ba3B．a+2b3aC．a+2ba3D．a+3b3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得.log818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a3a.故选：B2、设函数f(x)=lg(x2+1)，则使得f(3x−2)>f(x−4)成立的x的取值范围为（）A．(13,1)B．(−1,32)C．(−∞,32)D．(−∞,−1)∪(32,+∞)答案：D分析：方法一 :求出f(3x−2),f(x−4)的解析式,直接带入求解.方法二 : 设t=x2+1，则y=lgt，判断出f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数,由f(3x−2)>f(x−4)得|3x−2|>|x−4|，解不等式即可求出答案.方法一 :∵f(x)=lg(x2+1)∴由f(3x−2)>f(x−4)得lg[(3x−2)2+1]>lg[(x−4)2+1]，则(3x−2)2+1>(x−4)2+1，解得x<−1或x>32.方法二 :根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)，其定义域为R，有f(−x)=lg(x2+1)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，设t=x2+1，则y=lgt，在区间[0,+∞)上，t=x2+1为增函数且t≥1，y=lgt在区间[1,+∞)上为增函数，则f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数，f(3x−2)>f(x−4)⇒f(|3x−2|)>f(|x−4|)⇒|3x−2|>|x−4|，解得x <−1或x >32，故选：D ．3、Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为（）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．69答案：C分析：将t =t ∗代入函数I (t )=K 1+e −0.23(t−53)结合I (t ∗)=0.95K 求得t ∗即可得解. ∵I (t )=K 1+e −0.23(t−53)，所以I (t ∗)=K 1+e −0.23(t ∗−53)=0.95K ，则e 0.23(t∗−53)=19，所以，0.23(t ∗−53)=ln19≈3，解得t ∗≈30.23+53≈66.故选：C. 小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.4、若x 1，x 2是二次函数y =x 2−5x +6的两个零点，则1x 1+1x 2的值为（）A ．−12B ．−13C ．−16D ．56答案：D分析：解方程可得x 1=2,x 2=3，代入运算即可得解.由题意，令x 2−5x +6=0，解得x =2或3，不妨设x 1=2,x 2=3，代入可得1x 1+1x 2=12+13=56. 故选：D.5、已知9m =10,a =10m −11,b =8m −9，则（）A ．a >0>bB ．a >b >0C ．b >a >0D ．b >0>a答案：A分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．［方法一］：（指对数函数性质）由9m =10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0.又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上，a >0>b .［方法二］：【最优解】（构造函数）由9m =10，可得m =log 910∈(1,1.5)．根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ，则f ′(x)=mx m−1−1，令f ′(x)=0，解得x 0=m 11−m ，由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) .f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a >b ，又因为f(9)=9log 910−10=0 ，所以a >0>b .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．6、若2x =3，2y =4，则2x+y 的值为（）A ．7B ．10C ．12D ．34答案：C分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可.因为2x =3，2y =4，所以2x+y =2x ⋅2y =3×4=12，故选：C7、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，90050=18，故至少需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.8、已知实数a,b∈(1,+∞)，且log2a+log b3=log2b+log a2，则（）A．a<√b<b B．√b<a<b C．b<√a<a D．√a<b<a答案：B分析：对log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，结合y=x−1x 的单调性判断b<a，同理利用换底公式得log2a−1log2a<log3b−1log3b，即log2a>log3b，再根据对数运算性质得log2a>log2√b，结合y=log2x单调性，a>√b，继而得解.由log2a+log b3=log2b+log a2，变形可知log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，由函数f(x)=x−1x在(0,+∞)上单调递增知，log2a<log2b，即a<b，排除C，D；其次，因为log2b>log3b，得log2a+log b3>log3b+log a2，即log2a−log a2>log3b−log b3，同样利用f(x)=x−1x的单调性知，log2a>log3b，又因为log3b=log√3√b>log2√b，得log2a>log2√b，即a>√b，所以√b<a<b.故选：B.多选题9、已知函数f(x)=log2x，g(x)=2x+a，若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则a的取值可以是（）A．－4B．－2C．2D．3答案：AB分析：根据条件求出两个函数的值域，结合若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合的关系进行求解即可.当1≤x≤2时，0≤log2x≤1，即0≤f(x)≤1，则f(x)的值域为[0,1]，当1≤x≤2时，2+a≤g(x)≤4+a，则g(x)的值域为[2+a,4+a]，若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则[2+a,4+a]∩[0,1]≠∅，若[2+a,4+a]∩[0,1]=∅，则2+a>1或4+a<0，解得a>−1或a<−4.所以当[2+a,4+a]∩[0,1]≠∅时，a的取值范围为−4≤a≤−1.故选：AB10、已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数，其中a>0,a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是（）A．a>1B．0<a<1C．c>1D．0<c<1答案：BD分析：根据对数函数的图象判断．由图象知0<a<1，可以看作是y=log a x向左移动c个单位得到的，因此0<c<1，故选：BD ．11、已知函数f (x )={(12)x−1,x ≤0x 12,x >0，则下列结论中错误的是（） A ．f (x )的值域为(0,+∞)B ．f (x )的图象与直线y =2有两个交点C ．f (x )是单调函数D ．f (x )是偶函数答案：ACD分析：利用指数函数、幂函数的性质画出f (x )的图象，由图象逐一判断即可.函数f (x )的图象如图所示，由图可知f (x )的值域为[0,+∞)，结论A 错误，结论C ，D 显然错误，f (x )的图象与直线y =2有两个交点，结论B 正确．故选：ACD填空题12、函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为___________.答案：(3,+∞)分析：利用对数型复合函数性质求解即可.由题知：x 2−5x +6>0，解得x >3或x <2.令t =x 2−5x +6，则y =log 12t 为减函数.所以t ∈(−∞,2)，t =x 2−5x +6为减函数，f (x )=log 12(x 2−5x +6)为增函数，t ∈(3,+∞)，t =x 2−5x +6为增函数，f (x )=log 12(x 2−5x +6)为减函数.所以函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为(3,+∞).所以答案是：(3,+∞)13、解指数方程2x+3=3x 2−9：__________.答案：x =−3或x =3+log 32分析：直接对方程两边取以3为底的对数，讨论x +3=0和x +3≠0，解出方程即可. 由2x+3=3x2−9得log 32x+3=log 33x 2−9，即(x +3)log 32=(x −3)(x +3)，当x +3=0即x =−3时，0=0显然成立；当x +3≠0时，log 32=x −3，解得x =log 32+3；故方程的解为：x =−3或x =3+log 32. 所以答案是：x =−3或x =3+log 32.14、设x 13=2，则√x 53⋅x −1=___________.答案：4分析：由根式与有理数指数幂的关系，结合指数幂的运算性质，求值即可.由√x 53⋅x −1=x 53⋅x −1=x 23=(x 13)2=22=4. 所以答案是：4.解答题15、证明：函数f (x )=log 3(1+x )的图象与g (x )=log 2x 的图象有且仅有一个公共点．答案：证明见解析分析：把要证两函数的图象有且仅有一个公共点转化为证明方程log 3(1+x )=log 2x 有且仅有一个实根.易观察出x =2为其一根，再假设(x 0,y 0)(x 0≠2)是函数图象的另一个公共点，然后得出矛盾即可. 要证明两函数f (x )和g (x )的图象有且仅有一个公共点，只需证明方程log 3(1+x )=log 2x 有且仅有一个实根，观察上述方程，显然有f (2)=g (2)，则两函数的图象必有交点(2,1)．设(x 0,y 0)(x 0≠2)是函数图象的另一个公共点．则log 3(1+x 0)=log 2x 0，1+x 0=3y 0，x 0=2y 0，∴1+2y 0=3y 0，即(13)y 0+(23)y 0=1，令M (x )=(13)x +(23)x ，易知函数M (x )=(13)x +(23)x 为指数型函数．显然M (x )在(−∞,+∞)内是减函数，且M (1)=1，故方程(13)y 0+(23)y 0=1有唯一解y 0=1，从而x 0=2，与x 0≠2矛盾，从而知两函数图象仅有一个公共点．。

高中数学易做易错题

高中数学易做易错题11 ，已知：A=求P 的取值范围。

2 ，已知：3 ，判断函数的奇偶性。

x4 ，已知：5, 求函数 y=的单调递增区间。

6 ，解方程7 ，解不等式8 ，已知：的变1化范围。

9 ，成立，求的取值范围。

10 ，已知成在，求实数x 的取值范围。

密封线内不得答题11 , x=A, 充分条件B，必要条件C，充要条件D，双非高中数学易做易错题212 ，在GP。

13 ，已知：无穷GP14 ，已知数列15 ，求函数16 ，椭圆外角平分线的垂线。

17 ，-4<k,< o, 是函数恒为负值的。

A ，充分不必要条件B ，必要不充分条件C ，充要条件D ，双非18 ，求关于的不等式的解集。

19 ，求‘20 ，求函数位和初相。

21 ，求函数。

22 ，已知二面角为120，CD异面直线CD与EF所成的角。

23求经过点P高中数学易做易错324，棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段分别为的值。

25，设正三棱锥P-ABC底面边长为a,侧棱长为2a,E,F分别为旁边，批才上的点，求的周长的最小值。

26，过圆外一点P作圆的切线，求切线方程。

27，已知P求经过直线的交点且与直线PQ垂直的直线L的方程。

28，设是方程的两实根，求函数的值域29，已知复平面内的动点Z对应复数Z满足求动点Z的关轨迹。

30，计算。

高中数学高频错题总结 (含例题答案)

高一上学期易错陷阱总结1、对数型函数中，（易忽略真数位置大于0）5．已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上为减函数，则a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[2，＋∞) 2、集合中，空集的特殊性（易忘记讨论空集）13．已知集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围． (1)A ∩B ＝∅； (2)A ⊆(A ∩B )． 3、集合中，元素的互异性（易忽略导致取值错误）[例2] 已知集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，求a 2 019＋b 2 020的值．跟踪探究 2.已知集合A ＝{2，x ，y }，B ＝{2x,2，y 2}且A ＝B ，求x ，y 的值．4、集合中，元素的特殊要求（比如：易忽略x等条件）跟踪探究 1.若集合A ＝{x |1≤x ≤3，x ∈N }，B ＝{x |x ≤2，x ∈N }，则A ∩B ＝( )A.{x |1≤x ≤2} B ．{x |x ≥1} C ．{2,3}D ．{1,2}5、抽象函数的定义域问题（定义域仅代表x ，括号内取值范围一致）14、函数的定义域为,则的定义域是___;函数的定义域为___.6、区间中默认a<b14.已知函数f （x ）=, x是偶函数，则a+b=7、换元法求值域类问题（易忽略换元后，t 的取值范围）(1)f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的值域；8、动轴定区间类问题（分类讨论不重不漏）典型案例：求函数y ＝x 2－2ax －1在[0,2]上的最值．9同增异减求单调区间问题（对数型时不能忽略真数位置大于0）（多个区间，隔开）跟踪探究 2.求函数y ＝log 2(x 2－5x ＋6)的单调区间．10、分段函数单调性问题。

（易忽略结点处）13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋4，(x ≤1)，－ax ＋3a －4，(x ＞1)且f (x )在R 上递减，则实数a 的取值范围________．11.解分式不等式。

高中数学易错题100道

高中数学易错题100道数学是一门需要逻辑思维和严密推理的学科，对于很多学生来说，高中数学是一门难以逾越的学科。

在学习过程中，我们常常会遇到一些易错题，这些题目看似简单，但却容易让我们犯错。

下面是100道高中数学易错题，希望能帮助大家更好地理解和掌握数学知识。

1. 2的平方根是多少？2. 一个等边三角形的内角是多少？3. 一个圆的直径是5cm，那么它的半径是多少？4. 一个矩形的长是3cm，宽是4cm，那么它的面积是多少？5. 一个正方形的边长是2cm，那么它的面积是多少？6. 一个长方体的长是3cm，宽是4cm，高是5cm，那么它的体积是多少？7. 一个圆的半径是3cm，那么它的周长是多少？8. 一个圆的半径是3cm，那么它的面积是多少？9. 一个圆的直径是6cm，那么它的周长是多少？10. 一个圆的直径是6cm，那么它的面积是多少？11. 一个等边三角形的外角是多少？12. 一个正方形的对角线长是多少？13. 一个长方形的对角线长是多少？14. 一个长方体的表面积是多少？15. 一个圆的周长是多少？16. 一个圆的面积是多少？17. 一个圆的直径是4cm，那么它的半径是多少？18. 一个圆的半径是4cm，那么它的直径是多少？19. 一个圆的周长是12cm，那么它的半径是多少？20. 一个圆的面积是12cm²，那么它的半径是多少？21. 一个圆的面积是12cm²，那么它的直径是多少？22. 一个圆的周长是12cm，那么它的直径是多少？23. 一个圆的周长是12cm，那么它的面积是多少？24. 一个圆的半径是12cm，那么它的周长是多少？25. 一个圆的半径是12cm，那么它的面积是多少？26. 一个圆的直径是12cm，那么它的周长是多少？27. 一个圆的直径是12cm，那么它的面积是多少？28. 一个正方形的面积是16cm²，那么它的边长是多少？29. 一个长方形的面积是16cm²，长是4cm，那么它的宽是多少？30. 一个长方形的面积是16cm²，宽是4cm，那么它的长是多少？31. 一个长方体的体积是16cm³，长是2cm，宽是4cm，那么它的高是多少？32. 一个长方体的体积是16cm³，长是2cm，高是4cm，那么它的宽是多少？33. 一个长方体的体积是16cm³，宽是2cm，高是4cm，那么它的长是多少？34. 一个等边三角形的面积是多少？35. 一个等腰三角形的面积是多少？36. 一个直角三角形的斜边长是多少？37. 一个直角三角形的直角边长是多少？38. 一个直角三角形的斜边长是5cm，直角边长是3cm，那么另一直角边长是多少？39. 一个直角三角形的斜边长是5cm，另一直角边长是4cm，那么直角边长是多少？40. 一个直角三角形的直角边长是3cm，另一直角边长是4cm，那么斜边长是多少？41. 一个等边三角形的边长是4cm，那么它的高是多少？42. 一个等边三角形的边长是4cm，那么它的面积是多少？43. 一个等腰三角形的底边长是4cm，高是3cm，那么它的面积是多少？44. 一个等腰三角形的底边长是4cm，面积是6cm²，那么它的高是多少？45. 一个等腰三角形的高是3cm，面积是6cm²，那么它的底边长是多少？46. 一个等腰三角形的高是3cm，底边长是4cm，那么它的面积是多少？47. 一个直角三角形的斜边长是5cm，那么它的面积是多少？48. 一个直角三角形的斜边长是5cm，那么它的高是多少？49. 一个直角三角形的斜边长是5cm，那么它的底边长是多少？50. 一个直角三角形的高是3cm，那么它的面积是多少？51. 一个直角三角形的高是3cm，那么它的斜边长是多少？52. 一个直角三角形的高是3cm，那么它的底边长是多少？53. 一个直角三角形的底边长是4cm，那么它的面积是多少？54. 一个直角三角形的底边长是4cm，那么它的斜边长是多少？55. 一个直角三角形的底边长是4cm，那么它的高是多少？56. 一个等边三角形的高是多少？57. 一个等边三角形的面积是多少？58. 一个等腰三角形的面积是多少？59. 一个直角三角形的面积是多少？60. 一个长方形的周长是16cm，长是4cm，那么它的宽是多少？61. 一个长方形的周长是16cm，宽是4cm，那么它的长是多少？62. 一个长方体的表面积是24cm²，长是2cm，宽是3cm，那么它的高是多少？63. 一个长方体的表面积是24cm²，长是2cm，高是3cm，那么它的宽是多少？64. 一个长方体的表面积是24cm²，宽是2cm，高是3cm，那么它的长是多少？65. 一个长方体的体积是24cm³，长是2cm，宽是3cm，那么它的高是多少？66. 一个长方体的体积是24cm³，长是2cm，高是3cm，那么它的宽是多少？67. 一个长方体的体积是24cm³，宽是2cm，高是3cm，那么它的长是多少？68. 一个等边三角形的边长是6cm，那么它的高是多少？69. 一个等边三角形的边长是6cm，那么它的面积是多少？70. 一个等腰三角形的底边长是6cm，高是4cm，那么它的面积是多少？71. 一个等腰三角形的底边长是6cm，面积是12cm²，那么它的高是多少？72. 一个等腰三角形的高是4cm，面积是12cm²，那么它的底边长是多少？73. 一个等腰三角形的高是4cm，底边长是6cm，那么它的面积是多少？74. 一个直角三角形的斜边长是10cm，那么它的面积是多少？75. 一个直角三角形的斜边长是10cm，那么它的高是多少？76. 一个直角三角形的斜边长是10cm，那么它的底边长是多少？77. 一个直角三角形的高是4cm，那么它的面积是多少？78. 一个直角三角形的高是4cm，那么它的斜边长是多少？79. 一个直角三角形的高是4cm，那么它的底边长是多少？80. 一个直角三角形的底边长是6cm，那么它的面积是多少？81. 一个直角三角形的底边长是6cm，那么它的斜边长是多少？82. 一个直角三角形的底边长是6cm，那么它的高是多少？83. 一个等边三角形的高是多少？84. 一个等边三角形的面积是多少？85. 一个等腰三角形的面积是多少？86. 一个直角三角形的面积是多少？87. 一个长方形的周长是20cm，长是5cm，那么它的宽是多少？88. 一个长方形的周长是20cm，宽是5cm，那么它的长是多少？89. 一个长方体的表面积是30cm²，长是3cm，宽是5cm，那么它的高是多少？90. 一个长方体的表面积是30cm²，长是3cm，高是5cm，那么它的宽是多少？91. 一个长方体的表面积是30cm²，宽是3cm，高是5cm，那么它的长是多少？92. 一个长方体的体积是30cm³，长是3cm，宽是5cm，那么它的高是多少？93. 一个长方体的体积是30cm³，长是3cm，高是5cm，那么它的宽是多少？94. 一个长方体的体积是30cm³，宽是3cm，高是5cm，那么它的长是多少？95. 一个等边三角形的边长是8cm，那么它的高是多少？96. 一个等边三角形的边长是8cm，那么它的面积是多少？97. 一个等腰三角形的底边长是8cm，高是6cm，那么它的面积是多少？98. 一个等腰三角形的底边长是8cm，面积是24cm²，那么它的高是多少？99. 一个等腰三角形的高是6cm，面积是24cm²，那么它的底边长是多少？100. 一个等腰三角形的高是6cm，底边长是8cm，那么它的面积是多少？以上是100道高中数学易错题，希望能帮助大家更好地理解和掌握数学知识。

高一数学易错试题及答案

高一数学易错试题及答案一、选择题1. 已知函数f(x)=2x^2+3x-5，下列说法正确的是（）A. 函数在x=-1处有最小值B. 函数在x=-1处有最大值C. 函数在x=-1处无极值D. 函数在x=-1处取得最小值答案：A2. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B等于（）A. {1,2,3}B. {2,3}C. {1,4}D. {4}答案：B二、填空题1. 若直线y=2x+1与直线y=-x+4平行，则它们的斜率之比为______。

答案：12. 函数y=x^3-3x^2+4x-5的导数是______。

答案：3x^2-6x+4三、解答题1. 已知等差数列{an}的前三项依次为a1, a2, a3，且a1+a3=10，a2=6，求数列的通项公式。

答案：设等差数列的公差为d，则有a1+a1+2d=10，a1+d=6。

解得a1=4，d=2。

因此，数列的通项公式为an=4+2(n-1)=2n+2。

2. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数在区间[1,3]上的最大值和最小值。

答案：函数f(x)=x^2-4x+3的对称轴为x=2，且函数开口向上。

在区间[1,3]上，函数在x=1处取得最小值f(1)=0，在x=3处取得最大值f(3)=2。

四、证明题1. 已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，求证：三角形ABC是直角三角形。

答案：由题意知，a^2+b^2=c^2，根据勾股定理的逆定理，若三角形的三边满足a^2+b^2=c^2，则三角形ABC是直角三角形，其中角C为直角。

因此，三角形ABC是直角三角形。

高中数学易错题整理

高中数学错题集1、“直线ax+y +1=0和直线4x+ay -2=0”平行的充要条件为”a = “.22、.已知函数f(x)是R 上的减函数，A(0,-2),B(-3,2)是其图像上的两点，那么不等式|f(x -2)|>2的解集为 .请将错误的一个改正为 .3、已知正数x,y 满足x+ty =1，其中t 是给定的正实数，若1/x +1/y 的最小值为16，则实数t 的值为 .4、已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz的最小值．34、若不等式｜3x -b ｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围。

（5，7）.5、已知正数x,y 满足4x-y=xy 则,x-y 的做小值为 .6、偶函数f(x)在[0，+∞]上是增函数，若f(ax+1)>f(x-3)在[1,2]上恒成立，则实数的取值范围为 .(a>1ora<-3)7、若数列{a n }的通项公式⋅⋅2n-2n-1n 22a =5()-4()55，数列{a n }的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x+y=_______________. 12. 38、已知a ,b 是两个互相垂直的单位向量, 且1=⋅=⋅b c a c 2=,则对0>t a t ++的最小值是。

9、定义：区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -.已知函数|log |5.0x y =定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 的长度的最大值为 10．154函数f(x)=sin(ωx+π/3)（ω>0）在[0，2]上恰有一个最大值和最小值，则ω的取值范围是 .10.设D 、P 为△ABC 内的两点，且满足,51),(41+=+=则ABCAPDS S ∆∆= .0.1 11、设D 为ABC ∆的边AB 上的点，P 为ABC ∆内一点，且满足52,43+==，则=∆∆ABCAPD S S ．10312、若函数2()x f x x a =+（0a >）在[)1,+∞上的最大值为3,则a 的值为113、已知函数M,最小值为m,则mM的值为 ___________。

(完整版)高中数学易错题

高中数学易错题数学概念的理解不透必修一（1）若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（） A.a ≤-21或a ≥21 B.a ＜21 C.-21≤a ≤21 D.a ≥ 21【错解】选A.由题意，方程ax 2+x+a=0的根的判别式20140a ∆<⇔-<⇔ a ≤-21或a ≥21，所以选A.【正确解析】D .不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，若a=0,则不等式为x<0解集不合已知条件，则a 0≠；要不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则需二次函数y=ax 2+x+a 的开口向上且与x 轴无交点，所以a>0且20140120a a a ⎧∆≤⇔-≤⇔≥⎨>⎩.必修一（2）判断函数f(x)=(x －1)xx-+11的奇偶性为____________________【错解】偶函数.f(x)=(x -===，所以()()f x f x -===，所以f （x ）为偶函数.【正解】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为：(1)(1)01011101x x xx x x +-≥⎧+≥⇔⇔-≤<⎨-≠-⎩，定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数.1) 必修二（4）1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（） (A)12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒ （B ）12l l ⊥，3//l l ⇒13l l ⊥(C)123////l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面（D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面【错解】错解一：选A.根据垂直的传递性命题A 正确；错解二：选C.平行就共面；【正确解答】选B.命题A 中两直线还有异面或者相交的位置关系；命题C 中这三条直线可以是三棱柱的三条棱，因此它们不一定共面；命题D 中的三条线可以构成三个两两相交的平面，所以它们不一定共面.必修五（5）x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【错解】C.当.x=ab 时，a 、x 、b 成等比数列成立；当a 、x 、b 成等比数列时，x=ab 成立 .【正确解析】选D.若x=a=0，x=ab 成立，但a 、x 、b 不成等比数列，所以充分性不成立；反之，若a 、x 、b成等比数列，则2x ab x =⇔=x=ab 不一定成立，必要性不成立.所以选D.排列组合（6）(1)把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率. 分析:（1）【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种，而出现两正一反是一种结果，故所求概率P=.81【正解】在所有的8种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果：正、正、反，正、反、正，反、正、正，因此所求概率,83=P 上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清，所有8种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了，应用求概率的基本公式n m P =自然就是错误的.公式理解与记忆不准（7）若1,0,0=+>>y x y x ，则yx41+的最小值为___________.【错解】 y x 41+8)2(14422=+≥≥y x xy ，错解原因是忽略等号成立条件. 【正解】yx 41+=945)(4≥++=+++yx xy yy x xy x（8）函数y=sin 4x+cos 4x －43的相位____________，初相为__________ .周期为_________，单调递增区间为____________.【错解】化简y=sin 4x+cos 4x －43=1cos 44x ，所以相位为4x ，初相为0，周期为2π，增区间为….【正确解析】y=sin 4x+cos 4x －43=11cos 4sin(4)442x x π=+.相位为42x π+，初相为2π，周期为2π，单调递增区间为21[,]()42k k k Z ππ-∈. 审题不严（1）读题不清必修五（9）已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12x f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是【错解】选B.因为1()2x y =在0x >内递减，且1()()12x f x =+过点（0，2），所以选B. 【正确解答】A .根据函数与其反函数的性质，原函数的定义域与值域同其反函数的值域、定义域相同.当10,0()1,122x x y ><<⇒<<，所以选A.或者首先由原函数过点（0，2），则其反函数过点（2，0），排除B 、C ；又根据原函数在0x >时递减，所以选A. 排列组合（10）一箱磁带最多有一盒次品.每箱装25盒磁带，而生产过程产生次品磁带的概率是0.01.则一箱磁带最多有一盒次品的概率是 .【错解】一箱磁带有一盒次品的概率240.01(10.01)⨯-，一箱磁带中无次品的概率25(10.01)-，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是240.01(10.01)⨯-+25(10.01)-.【正确解析】一箱磁带有一盒次品的概率124250.01(10.01)C ⋅⨯-，一箱磁带中无次品的概率02525(10.01)C ⋅-，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是124250.01(10.01)C ⋅⨯-+02525(10.01)C ⋅-.（2）忽视隐含条件必修一（11）设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是（）不存在)D (18)C (8)B (449)A (-【错解】利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++23494().44k =--选A.【正确解析】利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++23494().44k =--Θ 原方程有两个实根βα、，∴0)6k (4k 42≥+-=∆ ⇒.3k 2k ≥-≤或当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8；当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18.选B. 必修一(12)已知(x+2)2+ y 24=1, 求x 2+y 2的取值范围.【错解】由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+38)2+328， ∴当x=－83 时，x 2+y 2有最大值283 ，即x 2+y 2的取值范围是(－∞, 283].【正确解析】由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+38)2+328 由于(x+2)2+ y 24 =1 ⇒ (x+2)2=1－ y 24≤1 ⇒ －3≤x ≤－1，从而当x=－1时x 2+y 2有最小值1.∴ x 2+y 2的取值范围是[1, 283 ].（此题也可以利用三角函数和的平方等于一进行求解）必修一（13）方程1122log (95)log (32)20x x ------=的解集为___________________- 【错解】111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=⇔----=11111122log (95)log 4(32)954(32)(31)(33)0x x x x x x -------=-⇔-=-⇔--=1310x --=或1330x --=所以x=1或x=2.所以解集为{1，2}.【正解】111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=⇔----=111111221954(32)log (95)log 4(32)3203302950x x x x x x x x -------⎧-=-⎪-=-⇔->⇔-=⇔=⎨⎪->⎩所以解集为{2}.字母意义含混不清（14）若双曲线22221x y a b -=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为（）A.0916x y ±= B.0169x y ±= C.034x y ±= D.043x y±= 【错解】选D.22222222252593310416164443c c a b b b b x y e y x a a a a a a +==⇒===+⇒=⇒=±⇒=±⇒±=，选D. 【正确解析】2222222211x y y x a b b a-=-⇒-=，与标准方程中字母a,b 互换了.选C.4.运算错误（1）数字与代数式运算出错若)2,1(),7,5(-=-=b a ρρ，且（b a ρρλ+）b ρ⊥，则实数λ的值为____________.【错解】(5,72)a b λλλ+=--+r r ，则（b a ρρλ+）()052(72)03b a b b λλλλ⊥⇔+⋅=⇔-+-+=⇒=r r r r.【正确解析】(5,72)a b λλλ+=--+r r，（ba ρρλ+）19()052(72)05b a b b λλλλ⊥⇔+⋅=⇔-+-+=⇒=r r r r必修二18. 已知直线l 与点A （3，3）和B （5，2）的距离相等，且过二直线1l ：3x －y －1=0和2l：x+y－3=0的交点，则直线l的方程为_______________________【错解】先联立两直线求出它们交点为（1，2），设所求直线的点斜式，再利用A、B到12k=⇔=-，所以所求直线为x+2y-5=0.【正确解析】x-6y+11=0或x+2y-5=0.联立直线1l：3x－y－1=0和2l：x+y－3=0的方程得它们的交点坐标为（1，2），令过点（1，2）的直线l为：y-2=k(x-1)（由图形可看出直线l的斜率必然存在），11,62k k=⇔==-，所以直线l的方程为:x-6y+11=0或x+2y-5=0.（2）运算方法（如公式、运算程序或运算方向等）选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错必修二19. 已知圆(x－3)2+y2=4和直线y=mx的交点分别为P，Q两点，O为坐标原点，则OQOP⋅的值为.【运算繁杂的解法】联立直线方程y=mx与圆的方程(x－3)2+y2=4消y，得关于x的方程22(1)650m x x+-+=，令1122(,),(,)P x y Q x y，则12122265,11x x x xm m+=⋅=++，则221212251my y m x xm==+，由于向量OPuuu r与向量OQuuu r共线且方向相同，即它们的夹角为0，所以212122255511mOP OQ OP OQ x x y ym m⋅=⋅=+=+=++u u u r u u u r.【正确解析】根据圆的切割线定理，设过点O的圆的切线为OT（切点为T），由勾股定理，则222325OP OQ OT⋅==-=.（3）忽视数学运算的精确性，凭经验猜想得结果而出错曲线x2－122=y的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且4=AB，则这样的直线有___________条.【错解】4条.过右焦点的直线，与双曲线右支交于A、B时，满足条件的有上、下各一条（关于x轴对称）；与双曲线的左、右分别两交于A、B两点，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称），所以共4条.【正解】过右焦点且与X 轴垂直的弦AB （即通径）为222241b a ⨯==，所以过右焦点的直线，与双曲线右支交于A 、B 时，满足条件的仅一条；与双曲线的左、右分别两交于A 、B 两点，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称），所以共3条. 5.数学思维不严谨（1）数学公式或结论的条件不充分24.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y++的最小值为 .【错解一】因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y++≥4,所以z 的最小值是4.【错解二】22222()2x y xy z xy xy xy +-==+-≥21)-=，所以z 的最小值是1). 【正解】z=11()()x y x y ++=1y xxy xy x y+++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-，令t=xy, 则210()24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值334.（2）以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况必修一(1)不等式|x+1|(2x －1)≥0的解集为____________解析：（1）【错解】1[,)2+∞.因为|x+1|≥0恒成立，所以原不等式转化为2x-1≥0，所以1[,)2x ∈+∞【正确解析】}1{),21[-⋃+∞.原不等式等价于|x+1|=0或2x-1≥0，所以解集为1[,){1}2x ∈+∞⋃-.必修一(2)函数y =的定义域为 .(2) 【错解】10(1)(1)011x x x x x+≥⇒+-≥⇒≥-或1x ≤-.【正解】(1)(1)0(1)(1)010111011x x x x x x x x x+-≥+-≤⎧⎧+≥⇒⇒⇒-≤<⎨⎨-≠≠-⎩⎩（3）解题时忽视等价性变形导致出错 27.已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a【错解】 .222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 【正确解析】当1=n 时，113a S ==，n 2≥时，1111(21)(21)222nn n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=.所以13(1)2(2)n n n a n -⎧=⎪=⎨≥⎪⎩.选修实数a 为何值时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点. 【错解】将圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线 x y 212=联立，消去y ，得 ).0(01)212(22≥=-+--x a x a x ①因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-=∆.01021202a a ，解之得.817=a【正确解析】要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根.当方程①有一正根、一负根时，得⎩⎨⎧<->∆.0102a 解之，得.11<<-a因此，当817=a 或11<<-a 时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点.(1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .【错解】 ,2963S S S =+Θq q a q q a q q a --⋅=--+--∴1)1(21)1(1)1(916131， .012(363）＝整理得--q q q1q 24q ,0)1q )(1q 2(.01q q 20q 33336=-=∴=-+∴=--≠或得方程由.【正确解析】若1=q ，则有.9,6,3191613a S a S a S ===但01≠a ，即得,2963S S S ≠+与题设矛盾，故1≠q .又依题意 963S 2S S =+ ⇒ q q a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131 ⇒ 01q q 2(q 363）＝--,即,0)1)(12(33=-+q q 因为1≠q ，所以,013≠-q 所以.0123=+q 解得 .243-=q空间识图不准必修二直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面α、β内各有一条射线AB ，AC 与l 成450，AB βα⊂⊂AC ,，则∠BAC= .【错解】如右图.由最小角定理，12221cos cos cos 23BAC BAC πθθ∠=⋅=⨯=⇒∠=. 【正确解析】3π或23π.如下图.当6CAF π∠=时，由最小角定理，时，12221cos cos cos 2223BAC BAC πθθ∠=⋅=⨯=⇒∠=；当AC 在另一边DA 位置23BAC π∠=.。

高中数学易错题精选

高中数学错题精选一：三角部分1．△ABC 中，已知cosA=135，sinB=53，则cosC 的值为（） A 、6516 B 、6556 C 、6516或6556 D 、6516-2．为了得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（） A 向右平移6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3π3．若sin cos θθ+=1，则对任意实数n nn，sin cos θθ+的取值为（） A. 1B. 区间（0，1）C.121n - D. 不能确定4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是…………………( )A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππD. ],65[ππ 5．在锐角⊿ABC 中，若1tan +=t A ，1tan -=t B ，则t 的取值X 围为（）A 、),2(+∞B 、),1(+∞C 、)2,1(D 、)1,1(- 6．已知53sin +-=m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ<<2），则=θtan （C ） A 、324--m m B 、m m 243--± C 、125- D 、12543--或7．曲线y=2sin(x+)4πcos(x-4π)和直线y=21在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、P 3……，则|P 2P 4|等于（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π8．函数的图象的一条对称轴的方程是（）9．先将函数y=sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为（） A ．y=sin(－2x+π3) B ． y=sin(－2x －π3) C ．y=sin(－2x+ 2π3)D ． y=sin(－2x －2π3) 10．函数x x y cos sin =的单调减区间是（）A 、]4,4[ππππ+-k k （z k ∈） B 、)](43,4[z k k k ∈++ππππ C 、)](22,42[z k k k ∈++ππππ D 、)](2,4[z k k k ∈++ππππ11．已知奇函数()[]上为，在01-x f 单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（） A 、f(cos α)＞ f(cos β) B 、f(sin α)＞ f(sin β)C 、f(sin α)＜f(cos β)D 、f(sin α)＞ f(cos β)高中数学错题精选二：不等式部分1、若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值X 围（）A a ≤-21或a ≥21 B a ＜21 C -21≤a ≤21 D a ≥21 正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。

(精选试题附答案)高中数学选修一重点易错题

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一重点易错题单选题1、“a =1”是“直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直”的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A分析：直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直得到a ∈R ，再利用充分必要条件的定义判断得解. 因为直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直，所以1×(a)+a ×(−1)=0，所以a ∈R .所以a =1时，直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直，所以“a =1”是“直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直”的充分条件；当直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直时，a =1不一定成立，所以“a =1”是“直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直”的非必要条件.所以“a =1”是“直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直”的充分非必要条件. 故选：A小提示：方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.2、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为（） A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6答案：D分析：平移直线AD 1至BC 1，将直线PB 与AD 1所成的角转化为PB 与BC 1所成的角，解三角形即可.如图，连接BC 1,PC 1,PB ，因为AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1或其补角为直线PB 与AD 1所成的角，因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥PC 1，又PC 1⊥B 1D 1，BB 1∩B 1D 1=B 1，所以PC 1⊥平面PBB 1，所以PC 1⊥PB ，设正方体棱长为2，则BC 1=2√2,PC 1=12D 1B 1=√2，sin∠PBC 1=PC 1BC 1=12，所以∠PBC 1=π6.故选：D3、如图，ABCD －EFGH 是棱长为1的正方体，若P 在正方体内部且满足AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =34AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +23AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则P 到AB 的距离为（）A ．34B ．45C ．56D ．35答案：C分析：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由题意，计算出AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 和AP ⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式d =√|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−(|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑||AB⃑⃑⃑⃑⃑ |)2即可求解. 解：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0,0)，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,1,0)，AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,0,1)，因为AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =34AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +23AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(34,12,23)，|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑||AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=34，|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(34)2+(12)2+(23)2=181144, 所以点P 到AB 的距离d =√|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−(|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑||AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |)2=√181144−916=56．故选：C.4、已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程（）A ．x 2－y 28＝1(x ≤－1)B ．x 2－y 28＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≥1)D ．y 28－x 2＝1 答案：A分析：根据双曲线定义求解|MC 1|=r +1,|MC 2|=r +3,则|MC 2|−|MC 1|=2 根据双曲线定义知M 的轨迹为x 2−y 28=1的左半支故选：A5、已知空间向量a ，b ⃑ ，c 满足a +b ⃑ +c =0⃑ ，|a |=1，|b ⃑ |=2，|c |=√7，则a 与b ⃑ 的夹角为（） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案：C分析：将a +b ⃑ =−c ，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.设a 与b ⃑ 的夹角为θ．由a +b ⃑ +c =0，得a +b ⃑ =−c ，两边平方，得a 2+2a ⋅b ⃑ +b ⃑ 2=c 2，所以1+2×1×2cosθ+4=7，解得cosθ=12，又θ∈[0，π]，所以θ=60∘，故选：C ．6、已知点A(2,−3)，B(−3,−2)．若直线l:mx +y −m −1=0与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（） A ．(−∞,−34]∪[4,+∞)B ．[−34,4]C ．(15,+∞)D ．[−4,34] 答案：A分析：直线l 过定点P （1，1），且与线段AB 相交，利用数形结合法，求出PA 、PB 的斜率，从而得出l 的斜率−m 的取值范围,即得解设直线l 过定点P(x,y)，则直线l:mx +y −m −1=0可写成m(x −1)+y −1=0，令{x −1=0,y −1=0, 解得{x =1,y =1.∴直线l 必过定点P(1,1)．k PA =−3−12−1=−4，k PB =−2−1−3−1=34．∵直线l:mx +y −m −1=0与线段AB 相交，∴由图象知，−m ≥34或−m ≤−4，解得m ≤−34或m ≥4，则实数m 的取值范围是(−∞,−34]∪[4,+∞)．故选：A小提示：本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．7、若点P(1,1)在圆C:x 2+y 2+x −y +k =0的外部，则实数k 的取值范围是（） A ．(−2,+∞)B ．[−2,−12)C ．(−2,12)D ．(−2,2) 答案：C分析：由于点P(1,1)在圆C:x 2+y 2+x −y +k =0的外部，所以{1+1+1−1+k >01+1−4k >0，从而可求出k 的取值范围解：由题意得{1+1+1−1+k >01+1−4k >0，解得−2<k <12，故选：C ．8、设A (2,−3)，B (−3,−2)，直线l 过点P (1,2)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（） A ．k ≤−1或k ≥5B ．−5≤k ≤1 C ．−1≤k ≤5D ．k ≤−5或k ≥1 答案：D分析：如图，求出k PA,k PB可得斜率k的取值范围.由题设可得k PA=2−(−3)1−2=−5,k PB=−2−2−3−1=1，因为直线l与线段AB相交，则k≥1或k≤−5，故选：D.9、已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是（）A．(－∞，－1)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．(−32,+∞)答案：A分析：把圆的方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0化为标准型，利用r2>0，解出k的取值范围. 方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆．故选：A.10、点(1,2)关于直线x+y−2=0的对称点是（）A．(1,0)B．(0,1)C．(0,−1)D．(2,1)答案：B分析：设出对称点，根据对称关系列出式子即可求解.解：设点A(1,2)关于直线x+y−2=0的对称点是B(a,b)，则有{b−2a−1=1a+1 2+b+22−2=0，解得a=0，b=1，故点(1,2)关于直线x+y−2=0的对称点是(0,1). 故选：B.小提示：方法点睛：关于轴对称问题：（1）点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0的对称点A′(m,n)，则有{n−bm−a×(−AB)=−1A⋅a+m2+B⋅b+n2+C=0；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.填空题11、若方程4x2+ky2=4k表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于______．答案：2√−k分析：首先写出双曲线标准方程的形式，再求虚抽长.显然k≠0，将4x2+ky2=4k化为x2k +y24=1，若该方程表示双曲线，则k<0，且双曲线的标准方程为y 24−x2−k=1，即b2=−k，虚轴长2b=2√−k.所以答案是：2√−k.12、直线l1的斜率为k1=√3，直线l2的倾斜角为l1的12，则直线l1与l2的倾斜角之和为________. 答案：90°分析：由已知求得两直线的倾斜角，由此可求得答案．解：因为l1的斜率k1=√3，所以倾斜角为60°.又l1的倾斜角为l1的12，所以l2的倾斜角为30°，所以l 1与l 2的倾斜角之和为60°+30°=90°. 所以答案是：90°．13、长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =2，DD 1=4，则点B 到平面A 1C 1D 的距离为________．答案：83分析：建立空间直角坐标系，求平面A 1C 1D 的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可.解：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，因为AB =AD =2，AA 1=4，所以A(0,0,0)，B(2,0,0)， C(2,2,0)，D(0,2,0)，A 1(0,0,4)，C 1(2,2,4)，设平面A 1C 1D 的法向量为：n ⃑ =(x,y,z) A 1C 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,2,0)，A 1D⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,−4) ∴{n ⃑ ⋅A 1C 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0n ⃑ ⋅A 1D⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0⇒{2x +2y =02y −4z =0 ，令z =1得：n ⃑ =(−2,2,1)又BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,2,0) 点B 到平面A 1C 1D 的距离为：|BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ ||n ⃑ |=√(−2)2+22+12=83.所以答案是：83.14、如图所示，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O −xyz 的三条坐标轴上，OC⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,0,2)，平面ABC 的一个法向量为n ⃑ =(2,1,2)，平面ABC 与平面ABO 的夹角为θ，则cosθ=________.答案：23分析：分析可知平面ABO 的一个法向量为OC⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用空间向量法可求得cosθ的值. 由题意可知，平面ABO 的一个法向量为OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,0,2)，所以，cosθ=|OC ⃑⃑⃑⃑⃑⋅n ⃑ ||OC ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=42×3=23. 所以答案是：23.15、已知双曲线C:x 2m −y 2=1(m >0)的一条渐近线为√3x +my =0，则C 的焦距为_________．答案：4分析：将渐近线方程化成斜截式，得出a,b 的关系，再结合双曲线中a 2,b 2对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.由渐近线方程√3x +my =0化简得y =−√3m x ，即ba =√3m ，同时平方得b 2a 2=3m 2，又双曲线中a 2=m,b 2=1，故3m 2=1m，解得m =3,m =0（舍去），c 2=a 2+b 2=3+1=4⇒c =2，故焦距2c =4.所以答案是：4.小提示：本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键. 解答题16、求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点(√6,0)，(3,2)； (2)焦点为(0,−5)，(0,5)，经过点(4√33,2√3)； (3)a =b ，经过点(3,−1)；(4)经过(3,−4√2)和(94,5)两点．答案：(1)x 26−y28=1；(2)y29−x216=1；(3)x28−y28=1；(4)y216−x29=1.分析：(1)根据题意，由双曲线经过点(√6，0)，分析可得双曲线的焦点为x轴上，且a=√6，设双曲线的标准方程为：x 26−y2b2=1，将点(3,2)代入计算可得b2的值，将b2的值代入双曲线的方程，即可得答案；(2)根据题意，分析可得双曲线的焦点在y轴上，且c=5，由双曲线的定义计算可得a的值，结合双曲线的几何性质可得b2的值，将a2、b2的值代入双曲线的方程，即可得答案．(3)根据题意，设双曲线的方程为：x2−y2=t，将点(3,−1)代入其中计算可得t的值，即可得双曲线的方程，变形为标准方程即可得答案；(4)根据题意，设双曲线的方程为mx2−ny2=1，将(3,−4√2)和(94，5)两点坐标代入双曲线方程可得{9m−32n=18116m−25n=1，解可得：m、n的值，将m、n的值代入双曲线方程即可得答案．（1）根据题意，双曲线经过点(√6，0)，则双曲线的焦点在x轴上，且a=√6，设双曲线的标准方程为：x 26−y2b2=1，双曲线经过(3,2)，则有96−4b2=1，解可得b2=8，则双曲线的标准方程为：x 26−y28=1；（2）根据题意，焦点为(0,−5)，(0,5)，则双曲线的焦点在y轴上，且c=5，∵双曲线过点(4√33,2√3)，故根据双曲线的定义可知：2a =|√(4√33)2+(2√3+5)2−√(4√33)2+(2√3−5)2|=6，则a =3，则b 2=c 2−a 2=16，则双曲线的标准方程为：y 29−x 216=1；（3）根据题意，双曲线中a =b ，设双曲线的方程为：x 2−y 2=t ，又由双曲线经过点(3,−1)，则有t = 32−(−1)2=8，则双曲线的方程为x 2−y 2=8，则双曲线的标准方程为：x 28−y 28=1；（4）根据题意，设双曲线的方程为mx 2−ny 2=1(mn >0)，双曲线经过(3,−4√2)和(94，5)两点，则有{9m −32n =18116m −25n =1 ，解可得：m =−19，n =−116，则双曲线的标准方程为：y 216−x 29=1．17、设直线l 的方程为(a +1)x +y −3+a =0（a ∈R ）.(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；(2)若l 不经过第三象限，求a 的取值范围.答案：(1)0或3(2)[−1,3]分析：（1）通过讨论−3+a 是否为0，求出a 的值即可；（2）根据一次函数的性质判断a 的范围即可.（1）当直线l 过原点时，该直线l 在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝3，方程即为4x +y ＝0；若a ≠3，则3−a a+1=3−a ，即a +1＝1，∴a ＝0，方程即为x +y −3=0，∴a 的值为0或3.（2）若l 不经过第三象限，直线l 的方程化为y =−(a +1)x +3−a ，则{−(a +1)≤03−a ≥0，解得−1≤a ≤3， ∴a 的取值范围是[−1,3].18、已知圆C ：x 2+y 2−4x =0，直线l 恒过点P(4,1).(1)若直线l 与圆C 相切，求l 的方程；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB|=2√3时，求l 的方程.答案：(1)x =4或3x +4y −16=0(2)y =1或4x −3y −13=0分析：(1)分类讨论直线l 的斜率存在与不存在，利用圆心到直线l 的距离等于圆的半径计算即可；(2)由题意知直线l 的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的垂径定理计算即可.（1）由题意可知，圆C 的圆心为(2,0)，半径r =2，①当直线l 的斜率不存在时，即l 的方程为x =4时，此时直线与圆相切，符合题意；②当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，∴直线l 的方程为y −1=k(x −4)，化为一般式：kx −y +1−4k =0，若直线l 与圆相切，则d =√k 2+1=2，即1−4k +4k 2=4k 2+4，解得k =−34， ∴l ：−34x −y +4=0，即l ：3x +4y −16=0，综上，当直线l 与圆C 相切时，直线l 的方程为x =4或3x +4y −16=0；（2）由题意可知，直线l 的斜率一定存在，设斜率为k ，∴直线l 的方程为y −1=k(x −4)，即kx −y +1−4k =0，设圆心到直线l 的距离为d ，则d =√k 2+1，由垂径定理可得，d 2+(|AB|2)2=4，即(2k−1)2k 2+1+3=4，整理得，3k 2−4k =0，解得k =0或k =43，则直线l 的方程为y =1或4x −3y −13=0.19、在直角坐标系xOy 中，已知点A(−2,2)，B(2,2)，直线AD ，BD 交于D ，且它们的斜率满足：k AD −k BD =−2．(1)求点D 的轨迹C 的方程；(2)设过点(0,2)的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，直线OP 与OQ 分别交直线y =−1 于点M ，N ，是否存在常数入，使S △OPQ =λS △OMN ，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．答案：(1)x 2=2y (x ≠±2)；(2)存在，λ的值为4.分析：(1)设出点D 的坐标，根据给定条件列式、化简整理即可作答.(2)设出直线l 的方程，与轨迹C 的方程联立，借助韦达定理计算三角形面积即可判断作答.(1)设D(x,y)，而点A(−2,2)，B(2,2)，则k AD =y−2x+2，k BD =y−2x−2，又k AD −k BD =−2，于是得y−2x+2−y−2x−2=−2，化简整理得：x 2=2y (x ≠±2)，所以点D 的轨迹C 的方程是：x 2=2y (x ≠±2).(2)存在常数λ=4，使S △OPQ =λS △OMN ，如图，依题意，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l ：y =kx +2，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，由{y =kx +2x 2=2y消去y 得：x 2−2kx −4=0，则x 1+x 2=2k ，x 1x 2=−4， |x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4k 2+16=2√k 2+4，则S △OPQ =12×2×|x 1−x 2|=2√k 2+4，直线OP ：y =y 1x 1x ，取y =−1，得点M 横坐标x M =−x 1y 1，同理得点N 的横坐标x N =−x 2y 2，则|x M −x N |=|x 2y 2−x 1y 1|=|x 2y 1−x 1y 2y 1y 2|=|x 2(kx 1+2)−x 1(kx 2+2)||(kx 1+2)(kx 2+2)|=|2(x 2−x 1)||k 2⋅x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4|=4√k 2+44=√k 2+4，因此有S △OMN =12×1×|x M −x N |=√k 2+42，于是得S △OPQ =4S △OMN ，所以存在常数λ=4，使S △OPQ =λS △OMN .。

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第一章空间向量与立体几何易错点一：空间向量的加减运算1．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 1的中点为O ,则下列命题中正确的是( ) A ．OA OD +与11OB OC +是一对相等向量 B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量 C ．1OA OA -与1OC OC -是一对相等向量D ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量2．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，M 为空间任意两点，如果1111764PM PB BA AA A D =++-，那么点M 必（） A ．在平面1BAD 内 B ．在平面1BA D 内 C ．在平面11BA D 内D ．在平面11AB C 内3．已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',则下列四式中:①AB CB AC -=;②''''AC AB B C CC =++;③''AA CC =;④'''AB BB BC C C AC +++=. 其中正确的是_____.易错点二：空间向量的数量积1．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -所有棱长都为1，且1160,45,A AD A AB DAB ︒∠=∠=∠=︒则1BD =（） A ．31-B ．21-C ．32-D ．32-2．在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0),(22,0,0),(0,22,0)O E F ，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足||||3CO CB ==，若1cos ,6EF BC <>=，，则OC OF ⋅=（） A ．9B ．7C ．5D ．33．设a b c ，，是单位向量，且0⋅＝a b ，则()()a cbc -⋅-的最小值为__________．易错点三：用空间基底表示向量1．在三棱柱111A B C ABC -中，D 是四边形11BB C C 的中心，且1,,AA a AB b AC c ===，则1A D =（）A ．111222a b c ++B ．111222a b c -+C ．111222a b c +-D ．111222a b c -++2．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（）A ．1122a b c -+B ．a b c +-C ．a b c -+D ．1122a b c -+-3．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.易错点四：空间向量的坐标运算1．已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C 为线段AB 上一点,且23AC AB = ,则点C 的坐标为( ) A ． 715(,,)222-B ． 3(,3,2)8-C ． 7(,1,1)3--D ． 573(,,)222-2．已知()1,1,2P -，()23,1,0P 、()30,1,3P ，则向量12PP 与13PP 的夹角是（）A ．30B ．45C ．60D ．903．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，若以{}1,,AB AD AA 为基底，则向量AE 的坐标为___，向量AF 的坐标为___，向量1AC 的坐标为___.易错点五：空间向量运算的坐标表示1．在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，则直线AD 与BC 的位置关系是（） A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法判定2．已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA ·DB 取最小值时，点D 的坐标为A ．444,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．848,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．884,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知AB ＝(1，5，－2)，BC ＝(3，1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(1x -，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x y +=________．易错点六：空间位置关系的向量证明1．已知正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱BC 的中点，则在棱1CC 上存在点F ，使得（） A ．1//AF D E B ．1AF D E ⊥ C ．//AF 平面11C D ED ．AF ⊥平面11C D E2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M=AN=23a，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是（） A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定3．若直线l 1的方向向量为1u =(1,3,2),直线l 2上有两点A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的位置关系是_____. 易错点七：异面直线夹角的向量求法1．如图所示，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，已知PA =BC =2，AB =4，CB ⊥AB ，则异面直线PC ，AD 所成角的余弦值为A ．3010-B ．305-C ．305D ．30102．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 为11D C 的中点，则11AC →与DE →所成角的余弦值为（）A ．1010B ．13C ．24D ．553．在三棱锥O ABC -中，已知OA 、OB 、OC 两两垂直且相等，点P 、Q 分别是线段BC 和OA 上的动点，且满足12BP BC ≤，12AQ AO ≥，则PQ 和OB 所成角的余弦的取值范围是___________.易错点八：线面角的向量求法A ．6πB ．3π C ．2π D ．56π2．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（）A ．215B ．25 C ．35D ．453．在正四棱锥S -ABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是________．易错点九：面面角的向量求法1．如图，在空间直角坐标系D xyz -中，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体，12AA AB AD ==，点E ，F 分别为11C D ，1A B 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（）A ．33-B ．32-C ．33D ．322．如图，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体， 12AA AB AD ==，点E 为11C D 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（）A ．33-B ．32-C ．33D ．323．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上.若二面角1D EC D --的大小为4π，则AE =__________．第二章直线和圆的方程易错点一：两条直线平行和垂直的判定1．若过点A (2,-2)，B (5,6)的直线与过点P (2m ,1)，Q (-1,-m )的直线平行，则m 的值为（） A ．-1B ．-513C ．2D ．122．若直线a ，b 的斜率分别为方程2410x x --=的两个根，则a 与b 的位置关系为（） A ．互相平行B ．互相重合C ．互相垂直D ．无法确定3．经过点A (1,2)和点B (-3,2)的直线l 1与经过点C (4,5)和点D (a ,-7)的直线l 2垂直，则a =________. 易错点二：直线的方程1．在x 轴和y 轴上的截距分别为4-和5的直线方程是（） A ．154x y +=- B ．145x y +=- C ．145x y +=- D ．154x y +=- 2．直线()2(2)232m x m m y m ++--=在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为（）A ．65B ．6-C ．65-D ．63．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________________. 易错点三：两条直线的交点坐标1．直线x －2y ＋3＝0与2x －y ＋3＝0的交点坐标为（） A ．(－1，1) B ．(1，－1) C ．(1，1)D ．(－1，－1)2．两条直线1l ：x =2和2l ：32120x y +-=的交点坐标是 A ．(2,3)B ．(2,3)-C ．(3,2)-D ．(3,2)-3．已知直线1:l 3250x y +-=与直线2:l 4110x ay +-=，且12l l ⊥，则直线1l 与直线2l 的交点坐标是______．易错点四：两点间的距离公式1．点()2,5P -为平面直角坐标系内一点，线段PM 的中点是()1,0，那么点M 到原点O 的距离为（） A ．41B ．41C ．39D ．392．光线从点(3,5)A -射到x 轴上，经x 轴反射后经过点(2,10)B ，则光线从A 到B 的距离为 A ．52B ．25C ．510D ．1053．已知点()2,1A ，点()5,1B -，则AB =________．易错点五：圆的方程1．以()3,1A -，()2,2B -为直径的圆的方程是 A ．2280x y x y +---= B ．2290x y x y +---= C ．2280x y x y +++-=D ．2290x y x y +++-=2．圆224630x y x y ++--=的标准方程为（） A ．22(2)(3)16x y -+-= B ．22(2)(3)16x y -++= C ．22(2)(3)16x y ++-=D ．22(2)(3)16x y +++=3．圆心为直线20x y -+=与直线280x y +-=的交点，且过原点的圆的标准方程是________．易错点六：直线与圆的位置关系 1．直线y=x+1与圆x 2+y 2=1的位置关系为 A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离2．已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（） A ．12-B ．1C ．2D ．123．直线()0kx y k k R --=∈与圆222x y +=交点的个数为______. 易错点七：圆与圆的位置关系1．圆M ：x 2+y 2+4x ＝0与圆N ：(x +6)2+(y ﹣3)2＝9的位置关系是（） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离2．已知圆C 1：x 2+y 2+2x ﹣4y +4＝0，圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣1＝0，则圆C 1与圆C 2（） A ．相交B ．外切C ．内切D ．外离3．已知圆221:1C x y +=，圆222:2210C x y x y +--+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系为______.第三章圆锥曲线的方程易错点一：利用椭圆定义求方程1．椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（） A ．22+169144x y ＝1 B ．2144x +2169y ＝1C ．2169x +225y ＝1D ．2144x +225y ＝12．已知ABC 的两个顶点分别为(4,0),(4,0),A B ABC -的周长为18，则点C 的轨迹方程为（）A ．221(0)259x y y +=≠B ．221(0)259y x y +=≠C ．221(0)169x y y +=≠D ．221(0)169y x y +=≠3．已知圆221:(2)36F x y ++=，定点2(20)F ，，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是_____________. 易错点二：求椭圆的焦点1．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 等于（） A ．1B ．±1C ．－1D ．±22．已知12,F F 分别为椭圆221169x y+=的左，右焦点，A 为上顶点，则12AF F △的面积为（）A ．6B ．15C ．67D ．373．设椭圆221129x y +=的短轴端点为1B 、2B ，1F 为椭圆的一个焦点，则112B F B ∠=________.易错点三：求椭圆的长轴、短轴1．已知椭圆9x 2+4y 2＝36，则其长轴长为（） A ．2B ．4C ．6D ．92．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为（） A ．2B ．4C ．12D ．143．已知椭圆()2222:111x y C a a a +=>-的左，右焦点分别为1F ，2F ，点()0,6A ，椭圆C 短轴的一个端点恰为12AF F △的重心，则椭圆C 的长轴长为________. 易错点四：求椭圆的离心率或离心率的取值范围1．在Rt ABC 中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过A ､B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率e =（）A ．32-B ．21-C ．31-D ．63-2．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上点()00,P x y 处的曲率半径公式为3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若椭圆C 上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．22C ．32D ．1443．已知椭圆M ：2222x y a b+＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆M 与坐标轴分别交于A ，B ，C ，D 四点，且从F 1，F 2，A ，B ，C ，D 这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M 的离心率的可能取值为__． ①512-；②312-；③32；④22．易错点五：根据离心率求椭圆的标准方程 1．焦点在y 轴上的椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率为32，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为,a b ，则椭圆的面积公式为S ab π=.若椭圆C 的离心率为32，面积为8π，则椭圆的C 的标准方程为（） A ．221164x y +=或221164y x +=B ．2211612x y +=或2211612y x += C ．221124x y +=或221124y x +=D ．221169x y +=或221916x y +=3．已知焦点在x 轴上的椭圆2215x y m +=的离心率105e =，则m 的值为______．易错点六：利用定义解决双曲线中焦点三角形问题1．已知O 为坐标原点，设12,F F 分别是双曲线221x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为H ，则||OH = A ．1B ．2C ．4D ．122．已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．323．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221x y -=的左､右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|·|PF 2|等于________.易错点七：根据方程表示双曲线求参数的范围1．若方程22191x y k k +=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围为（）A ．9k >B ．1k <C ．19k <<D ．(1,5)(5,9)k ∈⋃2．已知方程2211-2x y m m +=+表示双曲线，则m 的取值范围是（）A ．(-1，+∞)B ．(2，+∞)C ．(-∞，-1)∪(2，+∞)D ．(-1，2)3．已知双曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离为，则实数的值是_______．易错点八：根据a,b,c 求双曲线的标准方程1．过双曲线2222:1x y C a b-=的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心，以2为半径的圆经过A ､O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为（） A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．22122x y -=D ．22126x y -=2．已知双曲线的渐近线方程为y=±2x,焦点坐标为(-6,0),(6,0),则双曲线方程为( ) A ．22x y 28-=1B ．22x y 82-=1C ．22x y 24-=1D ．22x y 42-=13．已知双曲线中心在原点，一个焦点为1(5,0)F -，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是________________. 易错点九：求双曲线的焦点坐标1．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（） A ．77y x =±B ．7y x =±C ．55y x =±D ．5y x =±2．过双曲线221169x y -=的一个焦点F 作弦AB ，则11||||AF BF +的值等于（） A ．92B ．89C ．49D ．293．若双曲线22154x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为________.易错点十：根据焦点或准线写出抛物线的标准方程1．已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22(3)16x y -+=相切，则p 的值为 A ．12B ．1C ．2D ．42．以坐标轴为对称轴，焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（） A ．216x y =或212y x = B ．216y x =或212x y = C ．216y x =或212x y =-D ．216x y =或212y x =-3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为____．第四章数列易错点一：判断或写出数列中的项 13,5,7,3,11,,21,n +51 ） A ．第12项B ．第13项C ．第14项D ．第25项2．已知数列{}n a 的通项公式为21nn a =+，则257是这个数列的（）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项3．已知数列210，4，…()231n -…，则8是该数列的第________项易错点二：判断等差数列1．若{}n a 是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是 A ．{}2n aB ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．{}3n aD ．{}n a2．数列{}n a 中，15a =，13n n a a +=+，那么这个数列的通项公式是（） A ．31n -B ．32n +C ．32n -D ．31n +3．给出下列命题，正确命题的是（）(多选题） A ．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； B ．数列1,23a a a a ---,,是公差为1-的等差数列；C ．等差数列的通项公式一定能写成n a kn b =+的形式(k ，b 为常数)；D ．数列{}()21n n N*+∈是等差数列．易错点三：等差数列通项公式的基本两计算1．在等差数列{a n }中，a 3＝2，d ＝6.5，则a 7＝（） A ．22B ．24C ．26D ．282．已知数列{}n a 是等差数列，若35715a a a ++=，8212a a -=，则10a 等于（） A ．10B ．12C ．15D ．183．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小16，则公差为__________．易错点四：利用等差数列的性质计算1．在等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5＝6，则a 1+a 7＝（） A ．2B ．3C ．4D ．52．在等差数列{}n a 中，2510a a +=，3614a a +=，则58a a +=（） A ．12B ．22C ．24D ．343．在等差数列{}n a 中，194a a +=，那么238a a a ++⋅⋅⋅+等于______. 易错点五：等差数列前n 项和的基本量计算1．已知等差数列{}n a 的前5项和为25，且11a =，则7a =（） A ．10B ．11C ．12D ．132．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若254a a +=，7S =21，则7a 的值为 A ．6B ．7C ．8D ．93．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若63511a a =，则115SS =__________. 易错点六：等比数列通项公式的基本量计算1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为2，若415S =，则6a 的值为（） A ．16B ．32C ．48D ．642．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1a =（） A ．2-B ．1-C ．1D ．23．设正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若423S S =，则q =_______________. 易错点七：求等比数列前n 项和1．已知数列{}n a 的通项公式212n n n a -=，则数列{}n a 的前5项和5S 等于（）A ．3132B ．2516C ．12932D ．211322．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列.若11a =，则3S =（） A ．15B ．7C ．8D ．163．对于数列{}n a ，若点()()n n a n ∈*N ,都在函数()2x f x =的图象上，则数列{}n a 的前4项和4S =___________.第五章一元函数的导数及其应用易错点一：平均变化率1．设函数2()1f x x =-，当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率是（） A ．2.1B ．0.21C ．1.21D ．0.1212．函数1y x=在1x =到3x =之间的平均变化率为（） A ．23B ．23-C ．13-D ．133．函数()ln f x x =在区间[]1,e 上的平均变化率为_________. 易错点二：瞬时变化率的概率及辨析1．如果一个物体的运动方程为()()30s t t t =>，其中s 的单位是千米，t 的单位是小时，那么物体在4小时末的瞬时速度是（） A ．12千米/小时B ．24千米/小时C ．48千米/小时D ．64千米/小时2．已知某物体的运动方程是39t s t =+，则当3t s =时的瞬时速度是A ．2/m sB ．3/m sC ．4/m sD ．5/m s3．质点M 按规律()()21s t t =-做直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ），则质点M 在3t s=时的瞬时速度为______（单位：/m s ）. 易错点三：导数定义中极限的简单计算 1．已知函数()sin f x a x =-，且0()()lim 2x f x f xππ∆→+∆-=∆，则实数a 的值为（）A ．2πB ．2π-C ．2D ．2-2．已知(1)1f '=，0(13)(1)lim x f x f x∆→+∆-∆等于（）A ．1B ．1-C ．3D ．133．已知()03f x '=，则()()0002limx x x f x f x∆→+∆-=∆______.易错点四：求曲线切线的斜率（倾斜角）1．已知函数()32f x x x =-，则()f x 在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为（）A ．34π B ．3π C ．4πD ．6π2．设()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是（）A ．4πB ．3π C ．34π D ．23π 3．已知函数()321313f x x x x =---+，则在曲线()y f x =的所有切线中，斜率的最大值为______.易错点五：基本初等函数的导数公式 1．若函数()31f x x =--，则()f x '=（） A ．0B ．3x -C ．3D ．3-2．函数()3ln 2x f x =+的导数为（） A ．3ln 3xB ．13ln 32x+C ．132x+D ．3x3．若()()23,f x x g x x ==，则满足()1()f x g x ''+=的x 值为________.易错点六：导数的运算1．已知函数2()2x f x x x xe =+-，则(0)f '=（） A ．1B ．0C ．1-D ．22．下列导数运算正确的是（） A ．()122x x x -'=⋅ B ．(sin cos 1)cos2x x x +=' C ．1(lg )x x'=D ．()12x x --'=3．已知函数2()x f x x e =，'()f x 为()f x 的导函数，则(1)f '的值为___________. 易错点七：用导数判断或证明已知函数的单调性 1．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞,＋∞)上是（） A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减D ．不确定2．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且满足()()0xf x f x '+>对任意的x ∈R 都成立，则下列选项中一定正确的是（）A ．(2)(1)2f f >B ．(1)(2)2f f > C ．(2)(1)2f f <D ．(1)(2)2f f < 3．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()f x x f x ⋅<，()30f =，则()0f x x>的解集为_________. 易错点八：求已知函数的极值1．函数y ＝x ＋1x(－2<x <0)的极大值为（）A ．－2B ．2C ．－52D ．不存在2．函数f (x )＝1－x ＋x 2的极小值为（） A ．1 B ．34C ．14D ．123．已知函数()ln f x x x =，则()y f x =的极小值为______．易错点九：由导数求函数的最值1．函数f (x )＝x 2－4x ＋1在[1，5]上的最大值和最小值分别是（） A ．f （1），f （2） B ．f （2），f （5） C ．f （1），f （5）D ．f （5），f （2）2．关于函数3()f x x x =+，下列说法正确的是（） A ．没有最小值，有最大值 B ．有最小值，没有最大值 C ．有最小值，有最大值D ．没有最小值，也没有最大值3．已知函数2 ()2ln f x x x =-，则() f x 在[1,]e 上的最大值是__________．第六章计数原理易错点1：分步标准不清致错典例甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况共有__64__种．易错点2：忽视排列数公式的隐含条件致误典例解不等式A x8<6A x －28．由排列数公式得8！(8－x )！<6×8！(10－x )！，化简得x 2－19x ＋84<0，解之得7<x <12．∵x ∈N *，∴x ＝8,9,10,11．易错点3：重复计数与遗漏计数致误典例 6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有__720__种．易错点4：混淆“排列”与“组合”的概念致错典例某单位需派人同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法共有__2_520__种(用数字作答)．易错点5：计数时重复或遗漏致错典例将4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，则恰好有1个空盒子的放法有__144__种(用数字作答)．易错点6：混淆项的系数与二项式系数典例设(x －2)n (n ∈N *)的展开式中第二项与第四项的系数之比为1∶2，求含x 2的项．易错点7：错用二项式系数的性质致误典例 (1＋2x )20的展开式中，x 的奇次项系数的和与x 的偶次项系数的和之比为__(320－1)∶(320＋1)__．第七章随机变量及其分布列易错点1：误认为条件概率P (B |A )与积事件的概率P (AB )相同典例袋中装有大小相同的6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，每次抽取一球，取后不放回，连取两次，求在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球的概率．易错点2：概率计算公式理解不清而致误典例(多选题)若0<P(A)<1,0<P(B)<1，则下列式子中成立的为__BCD__．A．P(A|B)＝P(AB) P(A)B．P(AB)＝P(A)P(B|A)C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)D．P(A|B)＝P(B)P(A|B)P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)易错点3：离散型随机变量的可能取值搞错致误典例小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复得奖)用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值．易错点4：对离散型随机变量均值的性质理解不清致误典例若X是一个离散型随机变量，则E(E(X)－X)＝(A)A．0 B．1C．2E(X) D．不确定易错点5：要准确理解随机变量取值的含义典例某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X的均值和方差．易错点6：审题不清致误典例9粒种子分别种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列．易错点7：对超几何分布的概念理解不透致错典例盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数X 的分布列．易错点8：对正态曲线的性质理解不准确致错典例设ξ～N (1,4)，那么P (5<ξ<7)＝__0.021_5__．第八章成对数据的统计分析易错点1：概念不清致误典例 (2021·陕西西安高三月考)在一组成对样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( D )A ．－1B ．0C ．12D ．1易错点2：生搬硬套求回归直线方程的步骤致错．典例在一次抽样调查中测得样本的5个样本点数值如下表：x 0.25 0.5 1 2 4 y1612521试建立y 与x 之间的经验回归方程．易错点3：没有准确掌握公式中参数的含义致误典例有甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下的列联表班级与成绩列联表试问能有多大把握认为“成绩与班级有关系”？。

高一数学易错题集

高中数学易错题集函数错题集 1．方程组11x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集是___________[错解一]{}0,1x y ==或{0,1}[错解二](){,01}x y x ory ==[错解分析]用列举法把答案写成{}0,1x y ==或{0,1}，既不是列举法也不是描述法，也就是不符合集合表示法的基本模式，而集合{0,1}(){0,1}≠．或用描述法把集合写成(){,01}x y x ory ==也是不正确的．这个集合的元素有无限多个，它表示这样的点()0,y 或(),1x [正解](){0,1} 2． "23""5"x y x y ≠≠+≠且是的____________条件[错解]充分但不必要条件 [错解分析]未能搞清原命题与逆否命题的等价关系 [正解]既不充分也不必要条件3．在R 内，下列对应是否是一对一映射？若是，说明之，若不是，能否对x 或k 加以限制，使之成为一一映射？（1）x y kx →= （2）x y x →=[错解]上述对应皆为一对一映射[错解分析]概念不清，考虑问题不严谨 [正解]（1）0k =时，不是一对一映射，0k ≠时，是一对一映射（2）不是一对一映射，当0(0)x x ≥≤或时，是一对一映射4．若函数222(3)lg 4x f x x -=-，则()f x 的定义域为[错解]{}22x x orx ><-[错解分析]()f x 与()23f x -是两个不同的函数，有不同的定义域和对应法则[正解]{}1x x >5．函数()(f x x =-的奇偶性是 ______ [错解]()f x 为偶函数[错解分析]没有考虑定义域且变形是出现了错误[正解] ()f x 为非奇非偶函数 6．函数2(1)y x x =≤-的反函数是________________[错解]0)y x =≥[错解分析]一是符合错误，二是定义域未从原函数值域去确定[正解]1)y x =≥７．当[]0,2x ∈时，函数2()4(1)3f x ax a =+--在2x =时取最大值，则实数a 的取值范围是______________[错解]203a a ora ⎧⎫≥<⎨⎬⎩⎭[错解分析]对函数的单调性的概念不清,导致错误[正解]23a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ 8．若224x y +=，那么285x y +-的最大值为__________ [错解]10、12、15[错解分析]忽略了[]2,2y ∈-的限制[正解]119．若不等式210x nx m m++>的解集为{}24x x <<，求这个不等式 [错解]不等式可设为()()240x x -->这个不等式210x nx m m ++>应与同解1681n m m-∴==m ∴=±m =n =；当m =-, n =∴所求的不等式为202x x -+>202x +-[错解分析]忽略了0m <的隐含条件 [正解]202x x +->即2680x x -+->10．设关于x 的二次方程227(13)20x k x k k -++--=的两根12,x x 满足12012x x <<<<,求k 的取值范围.[错解]12012x x <<<<12121302x x x x <+<⎧∴⎨<<⎩解:222131372027(13)28(2)0k k k k k k +⎧<<⎪⎪--⎪<<⎨⎪∆=+---≥⎪⎪⎩得(11)(2,1k ∈-⋃[错解分析]从第一步到第二步导致了范围的扩大[正解]设22()7(13)20f x x k x k k =-++--= 方程()0f x =的两个根12,x x 满足12012x x <<<<(0)0(1)1(2)0f f f >⎧⎪∴<⎨⎪>⎩2222028030k k k k k k ⎧-->⎪⇒--<⎨⎪->⎩解之得:21,34k k -<<-<< (2,1)(3,4)k ∴∈--⋃向量、三角函数1已知方程01342=+++a ax x （a 为大于1的常数）的两根为αtan ，βtan ，且α、∈β ⎝⎛-2π,⎪⎭⎫2π，则2tan βα+的值是_________________. 错误分析：忽略了隐含限制βαtan ,tan 是方程01342=+++a ax x 的两个负根，从而导致错误. 正确解法：1>a ∴a 4t a n t a n -=+βα0<，o a >+=⋅13tan tan βα ∴βαtan ,tan 是方程01342=+++a ax x 的两个负根又⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2,ππβα ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∴0,2,πβα 即⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈+0,22πβα 由tan()βα+=βαβαtan tan 1tan tan ⋅-+=()1314+--a a=34可得.22tan -=+βα 答案: -2 .2若向量a =)(x x 2,，b =)(2,3x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是______________.错误分析：只由b a ,的夹角为钝角得到,0<⋅b a 而忽视了0<⋅b a 不是b a,夹角为钝角的充要条件,因为b a ,的夹角为180时也有,0<⋅b a 从而扩大x 的范围,导致错误.正确解法: ，的夹角为钝角, ()⋅+-⋅=⋅∴x x x b a 23 04322<+-=x x解得0<x 或 34>x (1) 又由b a,共线且反向可得31-=x (2)由(1),(2)得x 的范围是 ⎝⎛⎪⎭⎫-∞-31,⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-,340,31 答案: ⎝⎛⎪⎭⎫-∞-31,⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-,340,31 . 3为了得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（） A 向右平移6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3π 错误分析:审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误.答案: B4 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2tan tan 1sin x x x y 的最小正周期为 ( )Aπ B π2 C2π D 23π错误分析:将函数解析式化为x y tan =后得到周期π=T ,而忽视了定义域的限制,导致出错. 答案: B 5已知αβαcos 4cos 4cos 522=+,则βα22cos cos +的取值范围是_______________.错误分析:由αβαcos 4cos 4cos 522=+得ααβ22cos 45cos cos -=代入βα22cos cos +中,化为关于αcos 的二次函数在[]1,1-上的范围,而忽视了αcos 的隐含限制,导致错误. 答案: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2516,0.略解: 由αβαcos 4cos 4cos 522=+得ααβ22cos 45cos cos -= ()1 []1,0c o s 2∈β⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴54,0cos α 将（1）代入βα22c o s c o s +得βα22cos cos +=()12cos 412+--α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2516,0. 6若()π,0∈A ,且137cos sin =+A A ,则=-+AA AA cos 7sin 15cos 4sin 5_______________. 错误分析:直接由137cos sin =+A A ,及1cos sin 22=+A A 求A A cos ,sin 的值代入求得两解,忽略隐含限制⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,2A 出错.答案: 438. 7在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则CA BC ⋅的值为 ( )A 20B 20-C 320D 320-错误分析:︒==60C ,从而出错.答案: B略解: ︒=120,故CA BC ⋅202185-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=. 8 关于非零向量a 和b，有下列四个命题：（1）“b a b a +=+”的充要条件是“a 和b的方向相同”；（2）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b的方向相反”；（3）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b有相等的模”；（4）“b a b a -=-” 的充要条件是“a 和b 的方向相同”；其中真命题的个数是（）A 1B 2C 3D 4错误分析:对不等式b a b a b a+≤±≤-的认识不清.答案: B.9 已知向量⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=2sin ,2cos ,23sin ,23cos x x b x x a ,且,2,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πx 求(1) b a ⋅及b a+;(2)若()b a b a x f +-⋅=λ2的最小值是23-,求实数λ的值.错误分析:(1)求出b a+=x 2cos 22+后,而不知进一步化为x cos 2,人为增加难度;(2)化为关于x cos 的二次函数在[]1,0的最值问题,不知对对称轴方程讨论.答案: (1)易求x b a 2cos =⋅, b a +=x cos 2 ;(2) ()b a b a x f +-⋅=λ2=x x cos 222cos ⋅-λ=1cos 4cos 22--x x λ=()12cos 222---λλx⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx []1,0c o s ∈∴x 从而:当0≤λ时,()1min -=x f 与题意矛盾,0≤λ 不合题意;当10<<λ时,()21,23122min =∴-=--=λλx f ; 当1≥λ时,(),2341min -=-=λx f 解得85=λ,不满足1≥λ; 综合可得: 实数λ的值为21. 10 在ABC ∆中,已知()()k ,1,3,2==,且ABC ∆的一个内角为直角,求实数k 的值.错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论. 答案: (1)若,90︒=∠BAC 即,AC AB ⊥故0=⋅AC AB ,从而,032=+k 解得32-=k ; (2)若,90︒=∠BCA 即AC BC ⊥,也就是0=⋅AC BC ,而(),3,1--=-=k 故()031=-+-k k ,解得2133±=k ; (3)若,90︒=∠ABC 即AB BC ⊥,也就是,0=⋅而()3,1--=k ,故()0332=-+-k ,解得.311=k 综合上面讨论可知,32-=k 或2133±=k 或.311=k 数列1．在等比数列{}n a 中，若379,1,a a =-=-则5a 的值为____________ [错解]3或3-[错解分析] 没有意识到所给条件隐含公比为正 [正解]3-2．实数项等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若1053132S S =，则公比q 等于________- [错解]18 [错解分析]用前n 项的和公式求解本题,计算量大,出错,应活用性质 [正解]12-3．从集合{}1,2,3,4,,20⋅⋅⋅中任取三个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列最多有-_________ [错解]90个[错解分析]没有考虑公差为负的情况,思考欠全面 [正解]180个4．设数列{}{}(),0,n n n a b b n N *>∈满足12lg lg lg nn b b b a n++⋅⋅⋅+=，则{}n a 为等差数列是{}n b 为等比数列的____________条件 [错解]充分[错解分析] 对数运算不清,判别方法没寻求到或半途而废 [正解]充要5．若数列{}n a 是等差数列，其前n 项的和为n S ，则{},,nn n S b n N b n*=∈也是等差数列，类比以上性质，等比数列{},0,n n c c n N *>∈，则n d =__________，{}n d 也是等比数列 [错解]nS n[错解分析] 没有对nS n仔细分析,其为算术平均数, [正解6．已知数列{}n a 中，12213,6,,n n n a a a a a ++===-则2003a 等于______________ [错解]6或 3或3-[错解分析] 盲目下结论,没能归纳出该数列项的特点 [正解]6-7．已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+（λ是与n 无关的实数常数），且满足1231n n a a a a a +<<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，则实数λ的取值范围是___________ [错解](),3-∞-[错解分析]审题不清,若能结合函数分析会较好 [正解]()3,-+∞8．一种产品的年产量第一年为a 件，第二年比第一年增长1p ﹪，第三年比第二年增长2p ﹪，且0,0,2p >>+=1212p p p p ，若年平均增长x ﹪，则有x ___p (填≤≥或或=)[错解]≥[错解分析]实际问题的处理较生疏,基本不等式的使用不娴熟 [正解]≤⒐设数列的前n 项和为224()n S n n n N +=++∈，求这个数列的通项公公式 [错解]()1,21n n n n a S S a n n N-*=-∴=+∈[错解分析]此题错在没有分析1n =的情况，以偏概全．误认为任何情况下都有()1n n n a S S n N *-=-∈[正解]1111,S 7,221n n n n a n a S S n -===≥=-=-时时,因此数列的通项公式是()()17221n n a n n =⎧=⎨≥+⎩ ⒑已知一个等比数列{}n a 前四项之积为116[错解]四个数成等比数列，可设其分别为33,,,,a a aq aq q q则有4116a a aq q⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1q =或1q =，故原数列的公比为23q =+23q =-[错解分析]按上述设法，等比数列公比20q >，各项一定同号，而原题中无此条件 [正解]设四个数分别为23,,,,a aq aq aq则462116a q aq aq ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，()42164q q ∴+=由0q >时，可得2610,3q q q -+=∴=± 当0q <时，可得21010,5q q q ++=∴=--不等式1、设()lg ,f x x =若0<a<b<c,且f(a)>f(b)>f(c),则下列结论中正确的是A (a-1)(c-1)>0B ac>1C ac=1D ac>1错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数()lg f x x =的图象,由图可得出选D. 2、设,,1x y R x y ∈+>则使成立的充分不必要条件是A 1x y +≥B 1122x y >>或 C 1x ≥ D x<-1 错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D 。

高中数学选修一综合测试题易错题集锦(带答案)

高中数学选修一综合测试题易错题集锦单选题1、平面α的一个法向量是n ⃗ =(12,−1,13)，平面β的一个法向量是m ⃗⃗ =(−3,6,−2)，则平面α与平面β的关系是（）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直答案：C分析：由题设知m ⃗⃗ =−6n ⃗ ，根据空间向量共线定理，即可判断平面α与平面β的位置关系. ∵平面α的一个法向量是n ⃗ =(12,−1,13)，平面β的一个法向量是m ⃗⃗ =(−3,6,−2)， ∴ m ⃗⃗ =−6n ⃗ ，∴平面α与平面β的关系是平行或重合．故选：C ．2、已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|⋅|MF 2|的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．6 答案：C分析：本题通过利用椭圆定义得到|MF 1|+|MF 2|=2a =6，借助基本不等式|MF 1|⋅|MF 2|≤(|MF 1|+|MF 2|2)2即可得到答案．由题，a 2=9,b 2=4，则|MF 1|+|MF 2|=2a =6，所以|MF 1|⋅|MF 2|≤(|MF 1|+|MF 2|2)2=9（当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时，等号成立）．故选：C ．小提示：3、已知正四面体ABCD ，M 为BC 中点，N 为AD 中点，则直线BN 与直线DM 所成角的余弦值为（） A ．16B ．23C ．√2121D ．4√2121答案：B分析：利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.设该正面体的棱长为1，因为M 为BC 中点，N 为AD 中点，所以|BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12−(12×1)2=√32，因为M 为BC 中点，N 为AD 中点，所以有BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )(−AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1×12−12×12−12×1×1×12−12×12+14×1×1×12+14×1×1×12=−12,cos〈BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−12√32×√32=−23，根据异面直线所成角的定义可知直线BN 与直线DM 所成角的余弦值为23，故选：B4、已知空间三点A (−2,0,8)，P (m,m,m )，B (4,−4,6)，若向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°，则实数m =（） A ．1B ．2C ．−1D ．−2 答案：B分析：直接由空间向量的夹角公式计算即可 ∵A (−2,0,8)，P (m,m,m )，B (4,−4,6)，∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−m,−m,8−m )，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−m,−4−m,6−m ) 由题意有cos60°=|PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3m 2−12m+68√3m 2−12m+68即3m 2−12m+682=3m 2−12m +40，整理得m 2−4m +4=0，解得m =2 故选：B5、已知空间向量a ，b ⃗ ，c 满足a +b ⃗ +c =0⃗ ，|a |=1，|b ⃗ |=2，|c |=√7，则a 与b⃗ 的夹角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案：C分析：将a +b ⃗ =−c ，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.设a 与b ⃗ 的夹角为θ．由a +b ⃗ +c =0，得a +b ⃗ =−c ，两边平方，得a 2+2a ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=c 2，所以1+2×1×2cosθ+4=7，解得cosθ=12，又θ∈[0，π]，所以θ=60∘，故选：C ．6、若圆C 1:x 2+y 2−2ay =0(a >0)与圆C 2:x 2+y 2−4x +3=0相外切，则a 的值为（） A ．12B ．23C ．1D ．32答案：D分析：确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.由x 2+y 2−2ay =0(a >0)可得x 2+(y −a )2=a 2，所以圆C 1的圆心为(0,a )，半径为a ，由x 2+y 2−4x +3=0可得(x −2)2+y 2=1，所以圆C 2的圆心为(2,0)，半径为1，因为两圆相外切，所以√4+a 2=a +1，解得a =32，故选：D7、已知⊙M ：x 2+y 2−2x −2y −2=0，直线l ：2x +y +2=0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线PA,PB ，切点为A,B ，当|PM|⋅|AB|最小时，直线AB 的方程为（）A ．2x −y −1=0B ．2x +y −1=0C ．2x −y +1=0D ．2x +y +1=0 答案：D分析：由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点A,P,B,M 共圆，且AB ⊥MP ，根据 |PM |⋅|AB |=4S △PAM =4|PA |可知，当直线MP ⊥l 时，|PM |⋅|AB |最小，求出以 MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．圆的方程可化为(x −1)2+(y −1)2=4，点 M 到直线l 的距离为d =√22+12=√5>2，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点A,P,B,M 四点共圆，且AB ⊥MP ，所以|PM |⋅|AB |=4S △PAM =4×12×|PA |×|AM |=4|PA |，而 |PA |=√|MP|2−4，当直线MP ⊥l 时，|MP |min =√5， |PA |min =1，此时|PM |⋅|AB |最小．∴MP:y−1=12(x−1)即y=12x+12，由{y=12x+122x+y+2=0解得，{x=−1y=0．所以以MP为直径的圆的方程为(x−1)(x+1)+y(y−1)=0，即x2+y2−y−1=0，两圆的方程相减可得：2x+y+1=0，即为直线AB的方程．故选：D.小提示：本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．8、已知从点(−5,3)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：(x−1)2+(y−1)2=5的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A．2x−3y+1=0B．2x−3y−1=0C．3x−2y+1=0D．3x−2y−1=0答案：A分析：根据反射性质，结合圆的性质、直线斜率公式进行求解即可.设点A的坐标为(−5,3)，圆(x−1)2+(y−1)2=5的圆心坐标为B(1,1)，设C(x,0)是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆(x−1)2+(y−1)2=5的圆周，所以反射光线经过点B(1,1)，由反射的性质可知：k AC+k BC=0⇒3−0−5−x +1−01−x=0⇒x=−12，于是k BC=1−01−(−12)=23，所以反射光线所在的直线方程为：y=23(x+12)⇒2x−3y+1=0，故选：A多选题9、（多选）对于抛物线上18x2=y，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为(0,2)B．开口向上，焦点为(0,116) C．焦点到准线的距离为4D．准线方程为y=−4答案：AC分析：写出标准形式即x 2=8y ，即可得到相关结论由抛物线18x 2=y ，即x 2=8y ，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为(0,2)，焦点到准线的距离为4，准线方程为y =−2．故选：AC10、有下列命题：其中错误的是（）A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角；D ．坐标平面上所有的直线都有斜率．答案：BD解析：任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率，即可得到答案任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率当倾斜角为90°时，斜率不存在故选：BD小提示：本题考查的是直线的倾斜角和斜率，较简单.11、在平面直角坐标系xOy 中，已知F 为抛物线y 2=x 的焦点，点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则（） A ．x 1x 2=6B ．直线AB 过点(2,0)C ．△ABO 的面积最小值是2√2D ．△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3 答案：BCD分析：设AB ：x =my +n ，联立方程后得关于y 的一元二次方程，由韦达定理写出y 1y 2=−n ，x 1x 2=y 12y 22=n 2，再由OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，即可得n 2−n =2，再结合y 1y 2<0，求解出n =2，从而判断AB ，再根据三角形面积公式表示出△ABO 与△AFO 的面积，由基本不等式可判断CD. 设AB ：x =my +n ，{x =my +n y 2=x，消x 可得y 2−my −n =0. y 1y 2=−n ，得x 1x 2=y 12y 22=n 2，∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴n 2−n =2，则n =2或−1∵y1y2<0，∴n>0，∴n=2，x1x2=4，故A错；AB：x=my+2过(2,0)，故B对；设定点P(2,0)，S△ABO=S△AOP+S△BOP=12⋅2⋅|y1|+12⋅2⋅|y2|=|y1−y2|=|y1+2y1|≥2√2，当且仅当y1=±√2时，取等号，故C对；又S△ABO+S△AFO=|y1−y2|+12⋅|y1|⋅14=|y1−y2|+18|y1|，不妨设y1>0，又F(14,0)，S△ABO+S△AFO=y1−y2+18y1=98y1−y2≥2√−98y1y2=3，当且仅当98y1=−y2时，取等号，故D对.故选：BCD.小提示：解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．填空题12、已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x1,y1)，Q(－x1,−y1)在椭圆C上，其中x1>0，y1>0，若|PQ|=2|OF2|，|QF1PF1|≥√33，则椭圆C的离心率的取值范围为_____．答案：(√22，√3−1]分析：设PF1=n，PF2=m，由已知得到mn的范围，再由椭圆的定义得到n，m间的关系，代入、换元，求出e的范围.设PF1=n，PF2=m，由x1>0，y1>0，知m<n，因为P，Q在椭圆C上，|PQ|=2|OF2|，所以四边形PF1QF2为矩形，QF1=PF2；由|QF1||PF1|≥√33，可得√33≤mn<1，由椭圆的定义可得m+n=2a，n2+m2=4c2①，平方相减可得mn=2(a2－c2)②，由①②得4c22(a2−c2)=m2+n2mn=mn+nm；令t=mn +nm，令v=mn ∈[√33，1)，所以t=v+1v ∈(2，4√33]，即2<4c22(a2−c2)≤4√33，所以a2－c2<c2≤2√33(a2－c2)，所以1－e2<e2≤2√33(1－e2)，所以12<e2≤4−2√3，解得√22<e≤√3−1.所以答案是：(√22，√3−1] .13、若曲线2x=√4+y2与直线y=m(x+1)有公共点，则实数m的取值范围是___________.答案：(−2,2)分析：由曲线2x=√4+y2，整理得x2−y24=1(x>0)表示以(√5,0)为焦点的双曲线的右支部分，利用直线y=m(x+1)与双曲线的渐近线的关系求解.如图，曲线2x=√4+y2，即为x2−y24=1(x>0)，表示以(√5,0)为焦点的双曲线的右支部分，此时该双曲线的渐近线为y=−2x与y=2x因为y=m(x+1)过定点(−1,0)，要使直线y=m(x+1)与双曲线右支有交点，则该直线的斜率一定在两渐近线之间，则−2<m<2所以答案是：(−2,2)14、从圆x2+y2−2x−2y+1=0外一点P(2,3)向圆引切线，则此切线的长为______．答案：2分析：作图，利用圆心到定点的距离、半径、切线长满足勾股定理可得.将圆化为标准方程：(x−1)2+(y−1)2=1，则圆心C(1,1)，半径1，如图，设P(2,3)，|PC|=√5，切线长|PA|=√5−1=2．所以答案是：2解答题+y2=1，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，15、已知抛物线T：y2=2px（p∈N+）和椭圆C：x25B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点.(1)若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；(2)若MN恰好被AB平分，求△OAB面积的最大值答案：(1)4(2)3√2．2分析：（1）求出椭圆焦点，得抛物线焦点，从而得p的值；（2）设直线l 方程为x =my +p2，代入抛物线方程，结合韦达定理得中点坐标，根据椭圆的弦中点性质得出一个参数值，由中点在椭圆内部得出另一个参数的范围，然后求出三角形面积，得出最大值．（1）在椭圆中，c =√a 2−b 2=2，所以p2=2，p =4；（2）设直线l 方程为x =my +p2，代入抛物线方程得y 2−2mpy −p 2=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，AB 中点为G(x 0,y 0)，则y 1+y 2=2mp ，y 1y 2=−p 2， y 0=y 1+y 22=mp ，x 0=m 2p +p2，设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4)，则{x 325+y 32=1x 425+y 42=1，两式相减得(x 3+x 4)(x 3−x 4)5+(y 3+y 4)(y 3−y 4)=0，所以2x 0(x 3−x 4)5+2y 0(y 3−y 4)=0，k MN =y 3−y 4x 3−x 4=−x 05y 0，k MN =−1m，所以−15×m 2p+p2mp=−1m ，解得m 2=18，点G 在椭圆内部，所以(m 2p+p 2)25+(mp)2<1，得p 2<6413，因为p ∈N +，所以p =1或p =2，S △OAB =12×p2|y 1−y 2|=p4√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=p4√4m 2p 2+4p 2=3√28p 2，p =1时，S △OAB =3√28，p =2时，S △OAB =3√22，所以△OAB 面积的最大值为3√22．小提示：本题考查求抛物线的方程，考查直线民椭圆、抛物线相交问题，考查圆锥曲线中的面积问题．解题方法采用设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，代入曲线方程后应用韦达定理，求得弦中点坐标，弦长等，把这个结论代入其他条件可求得参数关系，参数值，参数范围等．即设参数，利用韦达定理把目标用参数表示，进而求最值，证明一些结论．本题考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，对学生的要求较高，属于难题．。

高一数学易错题85道(经典)

则．故
44. 函数的单调减区间为
。
解答：，令，函数的定义域为函数的单调减区间为
说明：此题考查基本函数的导数及导数的运算法则
45. 一个膨胀中的球形气球，其体积的膨胀率恒为，则但其半径增至
时，半径的增长率是
.
解答：
说明：考查对导数概念的理解能力
46. 若函数在内单调递减，则实数a的范围为____________.
判断角所在的象限.
23. 已知
.
说明：本题考查了倍角公式的应用，在公式应用是注意符号的取
舍，特别关注的是角的范围.
24. 已知
.
说明：本题通过降冪联想到三角函数的基本公式和倍角公式进行化
简求值.
25. 要得到函数只需将函数的图像
.
解：，图像向右平移个单位就得到的图像.
说明：本题考查三角函数的平移变换，掌握“左加右减”法则，以及正
可取回的钱的总数（元）为
．
正确答案：] 错因：学生对存款利息的计算方法没掌握。
43. 定义一个“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的积
都是同一常数，那么这个数列叫“等积数列”，这个常数叫做这个数列的
公积．
已知数列是等积数列，且，公积为5，则这个数列的前项和的计算
公式为：
．
解：这个数列为2，，2，，2，，…，若是偶数，则，若是奇数，
余弦之间的转化是解决问题的关键.
26. 已知有最小值，无最大值，则
。
说明：本题考查正弦的对称轴及周期，以及正弦图像的知识。
27. 将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15

高中数学必修一第三章函数的概念与性质易错题集锦(带答案)

高中数学必修一第三章函数的概念与性质易错题集锦单选题1、现有下列函数：①y =x 3；②y =(12)x；③y =4x 2；④y =x 5+1；⑤y =(x −1)2；⑥y =x ；⑦y =a x (a >1)，其中幂函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B分析：根据幂函数的定义逐个辨析即可幂函数满足y =x a 形式，故y =x 3，y =x 满足条件，共2个故选：B2、若函数f (x +1x )=x 2+1x 2，且f (m )=4，则实数m 的值为（）A ．√6B ．√6或−√6C ．−√6D ．3答案：B分析：令x +1x =t ，配凑可得f (t )=t 2−2，再根据f (m )=4求解即可令x +1x =t （t ≥2或t ≤−2），x 2+1x 2=(x +1x )2−2=t 2−2，∴f (t )=t 2−2，f (m )=m 2−2=4，∴m =±√6.故选；B3、已知函数f (x )={x 2+a,x ≤0,2x ,x >0.若f[f (−1)]=4，且a >−1，则a =（） A ．−12B ．0C ．1D ．2 答案：C分析：根据函数的解析式求出f(−1)=1+a ，结合1+a >0即可求出f[f(−1)]，进而得出结果. 由题意知，f(−1)=(−1)2+a =1+a ，又a >−1，所以1+a >0，所以f[f(−1)]=f(1+a)=21+a =4，解得a =1.故选：C4、已知f(x)是一次函数，且f(x −1)=3x −5，则f(x)=（）A ．3x −2B ．2x +3C ．3x +2D ．2x −3答案：A分析：设一次函数y =ax +b(a ≠0)，代入已知式，由恒等式知识求解．设一次函数y =ax +b(a ≠0)，则f(x −1)=a(x −1)+b =ax −a +b ，由f(x −1)=3x −5得ax −a +b =3x −5，即{a =3b −a =−5 ，解得{a =3b =−2，∴f(x)=3x −2. 故选：A ．5、已知幂函数的图象经过点P (4,12)，则该幂函数的大致图象是（） A ．B ．C ．D ．答案：A 分析：设出幂函数的解析式，利用函数图象经过点求出解析式，再由定义域及单调性排除CDB 即可. 设幂函数为y =x α，因为该幂函数得图象经过点P (4,12)，所以4α=12，即22α=2−1，解得α=−12，即函数为y =x −12，则函数的定义域为(0,+∞)，所以排除CD ，因为α=−12<0，所以f(x)=x−12在(0,+∞)上为减函数，所以排除B，故选：A6、已知函数f(x)=2x2−6x+3，x∈[−1，2]，则函数的值域是（）A．[−32，11）B．[32，11）C．[ −1，11]D．[−32，11]答案：D分析：根据二次函数的对称轴和端点处的值即可求解值域.∵f(x)=2x2−6x+3=2(x−32)2-32,对称轴x=32,当x∈[−1，2],f(x)min=f(32)=−32,又因为f(−1)=11,f(2)=1,∴f(x)max=f(−1)=11,所以函数的值域为[−32，11].故选:D7、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=x2，则f(−2021)+f(2022)=（）A．−4B．4C．−1D．1答案：C分析：由已知条件可得x>1时f(x+2)=f(x)，然后利用f(−2021)+f(2022)=−f(1)+f(0)求解即可.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，所以f(0)=0，f(2−x)=−f(x)=f(−x)，即可得x>1时f(x+2)=f(x)，因为当x∈(0,1]时，f(x)=x2，所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1，故选：C8、若函数y=√ax2+4x+1的值域为[0,+∞)，则a的取值范围为（）A．(0,4)B．(4,+∞)C．[0,4]D．[4,+∞)答案：C分析：当a=0时易知满足题意；当a≠0时，根据f(x)的值域包含[0,+∞)，结合二次函数性质可得结果. 当a=0时，y=√4x+1≥0，即值域为[0,+∞)，满足题意；若a≠0，设f(x)=ax2+4x+1，则需f(x)的值域包含[0,+∞)，∴{a>0Δ=16−4a≥0，解得：0<a≤4；综上所述：a的取值范围为[0,4].故选：C.多选题9、幂函数f(x)=(m2−5m+7)x m2−6在(0,+∞)上是增函数，则以下说法正确的是（）A．m=3B．函数f(x)在(−∞,0)上单调递增C．函数f(x)是偶函数D．函数f(x)的图象关于原点对称答案：ABD分析：根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得m=3，即可得到f(x)，从而判断可得；解：因为幂函数f(x)=(m2−5m+7)x m2−6在(0,+∞)上是增函数，所以{m 2−5m+7=1m2−6>0，解得m=3，所以f(x)=x3，所以f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)，故f(x)=x3为奇函数，函数图象关于原点对称，所以f(x)在(−∞,0)上单调递增；故选：ABD10、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=−f(x)，且在[−1,0]上是增函数，则（）A．f(x)的图象关于直线x=1对称B．f(x)在[0,1]上是增函数C．f(x)在[1,2]上是减函数D．f(2)=f(0)答案：AD分析：由题可得分析可得f(x+1)=f(1−x)，进而可判断AD，利用函数的对称性结合条件可判断BC. 因为f(x+1)=−f(x)，f(x)是偶函数，所以f(−x)=−f(−x +1)=f(x)，即f(x +1)=f(1−x)，所以函数f(x)的图象关于直线x =1对称，故A 正确；由偶函数在对称区间上的单调性相反，得f(x)在[0,1]上是减函数，故B 错误；因为函数f(x)的图象关于直线x =1对称，且f(x)在[0,1]上是减函数，所以f(x)在[1,2]上是增函数，故C 错误；由f(x +1)=f(1−x)，可得f(2)=f(0)，故D 正确.故选：AD.11、设α∈{−1,1,12,3}，则使函数y =x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值有（） A ．−1B ．1C ．3D ．12 答案：BC分析：根据α的取值，结合幂函数的性质，判断选项.α=−1时，y =x −1的定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)，不正确；α=1时，函数y =x 的定义域是R ，且是奇函数，故正确；α=3是，函数y =x 3的定义域是R ，且是奇函数，故正确；α=12时，函数y =x 12的定义域是[0,+∞)，不正确.故选：BC填空题12、若函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值是________．答案：2分析：根据f (x )= f (-x )，简单计算可得结果.∵f (x )为偶函数，∴对于任意x ∈R ，有f (－x )＝f (x )，即(m －1)(－x )2＋(m －2)(－x )＋(m 2－7m ＋12)＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)， ∴2(m －2)x ＝0对任意实数x 均成立，∴m ＝2.所以答案是：2小提示：本题考查根据函数奇偶性求参数，掌握概念，细心计算，属基础题.13、（1）函数y=x45的定义域是________，值域是________；（2）函数y=x−25的定义域是________，值域是________；（3）函数y=x 32的定义域是________，值域是________；（4）函数y=x−34的定义域是________，值域是________．答案：R[0,+∞)(−∞,0)∪(0,+∞)(0,+∞)[0,+∞)[0,+∞)(0,+∞)(0,+∞)分析：画出对应幂函数的图像，结合幂函数的图像特征，写出定义域与值域（1）幂函数y=x 45图像如图所示，定义域为R，值域为[0,+∞),（2）幂函数y=x−25图像如图所示，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，值域为(0,+∞),（3）幂函数y=x 32图像如图所示，定义域为[0,+∞)，值域为[0,+∞),（4）幂函数y=x−34图像如图所示，定义域为(0,+∞)，值域为(0,+∞),所以答案是：（1）R;[0,+∞),（2）(−∞,0)∪(0,+∞);(0,+∞),（3）[0,+∞);[0,+∞),（4）(0,+∞);(0,+∞).14、若函数f(x)=(2m−1)x m是幂函数，则实数m=______.答案：1分析：根据幂函数定义列方程求解可得.因为f(x)=(2m−1)x m是幂函数，所以2m−1=1，解得m=1. 所以答案是：1解答题15、已知函数f(x)=x−1x+2，x∈[3,5].（1）判断函数f(x)的单调性，并证明；（2）求函数f(x)的值域.答案：（1）单调递增，证明见解析；（2）[25,4 7 ]分析：（1）利用函数单调性的定义即可证明函数f(x)在区间[3,5]上的单调性；（2）根据函数f(x)在区间[3,5]上的单调性即可求其值域.（1）f(x)=x−1x+2=x+2−3x+2=1−3x+2在区间[3,5]上单调递增，证明如下：任取x1,x2∈[3,5]且x1<x2，f(x1)−f(x2)=(1−3x1+2)−(1−3x2+2)=3x2+2−3x1+2=3(x1+2)−3(x2+2) (x1+2)(x2+2)=3(x1−x2)(x1+2)(x2+2)，因为3≤x1<x2≤5，所以x1−x2<0，x1+2>0，x2+2>0，所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间[3,5]上单调递增.（2）由（1）知：f(x)在区间[3,5]上单调递增，所以f(x)min=f(3)=3−13+2=25，f(x)max=f(5)=5−15+2=47，所以函数f(x)的值域是[25,4 7 ].。

高中数学一元二次函数方程和不等式易错题集锦

(每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式易错题集锦单选题1、若a>0，b>0，则下面结论正确的有（）A．2(a2+b2)≤(a+b)2B．若1a +4b=2，则a+b≥92C．若ab+b2=2，则a+b≥4D．若a+b=1，则ab有最大值12答案：B分析：对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可. 对于选项A：若a>0，b>0，由基本不等式得a2+b2≥2ab，即2(a2+b2)≥(a+b)2，当且仅当a=b时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若a>0，b>0，1 2×(1a+4b)=1，a+b=12×(1a+4b)(a+b)=12(5+ba+4ab)≥12(5+2√ba⋅4ab)=92，当且仅当1a +4b=2且ba=4ab，即a=32,b=3时取等号，所以选项B正确；对于选项C：由a>0，b>0，ab+b2=b(a+b)=2，即a +b =2b，如b =2时，a +b =22=1<4，所以选项C 不正确；对于选项D ：ab ≤(a+b 2)2=14，当且仅当a =b =12时取等则ab 有最大值14，所以选项D 不正确；故选：B2、若对任意x >0,a ≥2xx 2+x+1恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[−1,+∞)B ．[3,+∞)C ．[23,+∞)D ．(−∞,1]答案：C分析：依题意a ≥(2xx 2+x+1)max，利用基本不等式求出2xx 2+x+1的最大值，即可得解；解：因为x >0，所以2x x 2+x+1=2x+1x+1≤2√x⋅1x+1=23，当且仅当x =1x 即x =1时取等号，因为a ≥2xx 2+x+1恒成立，所以a ≥23，即a ∈[23,+∞)；故选：C3、若关于x 的不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2,5)内有解，则实数a 的取值范围是（） A ．(−2,+∞)B ．(3,+∞)C ．(6,+∞)D ．(2,+∞) 答案：D分析：设f(x)=x 2−6x +11，由题意可得a >f(x)min ，从而可求出实数a 的取值范围设f(x)=x 2−6x +11，开口向上，对称轴为直线x =3，所以要使不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2，5)内有解，只要a >f(x)min 即可，即a >f(3)=2，得a >2，所以实数a 的取值范围为(2,+∞)，故选：D4、已知集合M ={x |−4<x <2 }，N ={x |x 2−x −6 <0}，则M ∩N = A ．{x |−4<x < 3}B ．{x |−4<x < −2}C ．{x |−2<x < 2}D ．{x |2<x < 3} 答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M ={x |−4<x <2 },N ={x |−2<x <3 }，则 M ∩N ={x |−2<x <2 }．故选C ．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 5、设m ，n 为正数，且m +n =2，则4m+1+1n+1的最小值为（） A ．134B ．94C ．74D ．95 答案：B分析：将m +n =2拼凑为m+14+n+14=1，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.∵m +n =2，∴(m +1)+(n +1)=4，即m+14+n+14=1，∴4m+1+1n+1 =(4m+1+1n+1)(m+14+n+14) =n+1m+1+m+14(n+1)+54≥2√n+1m+1⋅m+14(n+1)+54 =94，当且仅当n+1m+1=m+14(n+1)，且m +n =2时，即 m =53，n =13时等号成立. 故选：B .6、下列命题正确的是（）A ．若ac >bc ，则a >bB ．若ac =bc ，则a =bC ．若a >b ，则1a<1bD ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：D分析：由不等式性质依次判断各个选项即可. 对于A ，若c <0，由ac >bc 可得：a <b ，A 错误；对于B ，若c =0，则ac =bc =0，此时a =b 未必成立，B 错误；对于C ，当a >0>b 时，1a>0>1b，C 错误；对于D ，当ac 2>bc 2时，由不等式性质知：a >b ，D 正确. 故选：D.7、设实数x 满足x >0，函数y =2+3x +4x+1的最小值为（）A ．4√3−1B ．4√3+2C ．4√2+1D ．6 答案：A解析：将函数变形为y =3(x +1)+4x+1−1，再根据基本不等式求解即可得答案. 解：由题意x >0，所以x +1>0，所以y =2+3x +4x+1=2+3(x +1)−3+4x+1=3(x +1)+4x+1−1≥2√3(x +1)⋅4x+1−1=4√3−1，当且仅当3(x +1)=4x+1，即x =2√33−1>0时等号成立，所以函数y =2+3x +4x+1的最小值为4√3−1.故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方8、已知正实数a ，b 满足a +1b=2，则2ab +1a的最小值是（）A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1答案：A分析：由已知得， a =2−1b代入得2ab +1a=2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案.解：因为a +1b =2，所以a =2−1b >0，所以0<b <2 ，所以2ab +1a =2(2−1b )b +b 2b−1=2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，则b =t +12，且−1<t <3 ，所以2ab +1a=2t +t +12t=2t +12t+12≥2√2t ⋅12t+12=52，当且仅当2t =12t，即t =12，b =34,a =23时，取等号，所以2ab +1a 的最小值是52. 故选：A.9、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0 或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3} 答案：A分析：由题知{ba =−1ca=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可.解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①．又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−b a (−1)×2=c a，即{ba =−1ca=−2②．将①两边同除以a 得：x 2+(b a −2)x +(1+c a −ba )<0③．将②代入③得：x 2−3x <0，解得0<x <3．故选：A10、已知函数y =ax 2+2bx −c(a >0)的图象与x 轴交于A (2,0)、B (6,0)两点，则不等式cx 2+2bx −a <0 的解集为（）A ．(−6,−2)B ．(−∞,16)∪(12,+∞) C ．(−12,−16)D ．(−∞,−12)∪(−16,+∞)答案：D解析：利用函数图象与x 的交点，可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，再利用根与系数的关系，转化为b =−4a ，c =−12a ，最后代入不等式cx 2+2bx −a <0，求解集. 由条件可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，则2+6=−2ba，2×6=−ca ，得b =−4a ，c =−12a ，∴cx 2+2bx −a <0⇔−12ax 2−8ax −a <0，整理为：12x 2+8x +1>0⇔(2x +1)(6x +1)>0，解得：x >−16或x <−12，所以不等式的解集是(−∞,−12)∪(−16,+∞). 故选：D小提示：思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示b =−4a ，c =−12a ，再代入不等式cx 2+2bx −a <0化简后就容易求解. 填空题11、若不等式ax 2+ax +a +3≥0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是______. 答案：{a |a ≥0 }分析：分a =0和a ≠0两种情况，结合二次函数的图像与性质，求解即可. 当a =0时，不等式为3>0，满足题意；当a ≠0，需满足{a >0Δ=a 2−4a (a +3)≤0 ，解得a >0，综上可得，a 的取值范围为{a |a ≥0 }，所以答案是：{a |a ≥0 }.12、已知a ，b ∈R ，且a >b2>0，则a 2+1(2a−b)b 的最小值是 _____．答案：2分析：两次利用基本不等式即可得出结论. ∵a >b2>0， ∴a 2+1(2a−b)b ≥a 2+1(2a−b+b 2)2=a 2+1a 2≥2 ，当且仅当a ＝1＝b 时取等号，其最小值是2，所以答案是：2．13、某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5m，各试验区之间也空0.5m.则每块试验区的面积的最大值为___________m2.答案：6分析：设矩形空地的长为x m，根据图形和矩形的面积公式表示出试验区的总面积，利用基本不等式即可求出结果.设矩形空地的长为x m，则宽为32xm，依题意可得，试验区的总面积S=(x−0.5×4)(32x −0.5×2)=34−x−64x≤34−2√x⋅64x=18，当且仅当x=64x即x=8时等号成立，所以每块试验区的面积的最大值为183=6m2.所以答案是：614、已知x>0，则2x+42x+1的最小值为__________.答案：3分析：将原式变形为2x+1+42x+1−1，然后利用基本不等式求最小值.解：2x+42x+1=2x+1+42x+1−1≥2√(2x+1)⋅42x+1−1=3，当且仅当2x+1=2，即x=12时，等号成立.所以答案是：3.15、已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，则不等式cx2+bx+a<0的解集为___________.答案：{x|x>12或x<14}分析：先由不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，判断出b=-6a,c=8a,把cx2+bx+a<0化为8x2−6x+1> 0，即可解得.因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，所以a<0且2和4是ax2+bx+c=0的两根.所以{2+4=−ba2×4=ca可得：{b=−6ac=8a，所以cx2+bx+a<0可化为：8ax2−6ax+a<0，因为a<0，所以8ax2−6ax+a<0可化为8x2−6x+1>0，即(2x−1)(4x−1)>0，解得：x>12或x<14，所以不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x>12或x<14}.所以答案是：{x|x>12或x<14}.16、已知实数x≥y>0,z>0，则2x+3y+4z2x+y +2xy+2z的最小值为_________．答案：4√33+1分析：依题意可得2x+3y+4z2x+y +2xy+2z=1+2(y+2z2x+y+xy+2z)，利用基本不等式及x与y的关系计算可得；解：因为x≥y>0,z>0，所以2x+3y+4z2x+y +2xy+2z=2x+y+2(y+2z)2x+y+2xy+2z=1+2(y+2z2x+y+xy+2z)≥1+2×2√y+2z2x+y⋅xy+2z=1+4√x2x+y=1+4√12+yx因为x≥y>0，所以yx≤1，所以原式≥1+4√12+1=1+43√3，当且仅当x=y=(√3+1)z时取等号．所以答案是：4√33+117、二次函数y=ax2+4x+c的最小值为0，则1a +1c的最小值为______．答案：1分析：根据题意可得ac=4，利用基本不等式即可求解. 由二次函数y=ax2+4x+c的最小值为0，则42−4ac=0，解得ac=4，所以1a +1c≥2√1a⋅1c=2√14=1，当且仅当a=c时取等号，所以答案是：118、设x1、x2、x3、y1、y2、y3是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：x1y1+x2y2+x3y3，x1y1+ x2y3+x3y2，x1y2+x2y3+x3y1，x1y2+x2y1+x3y3，x1y3+x2y2+x3y1，x1y3+x2y1+x3y2，能同时取到150的代数式最多有________个．答案：2分析：由作差法比较大小后判断不妨设x1<x2<x3，y1<y2<y3，记x1y1+x2y2+x3y3为①式，x1y1+x2y3+x3y2为②式，以此类推，由①−②=x2y2+x3y3−x2y3−x3y2=(x2−x3)(y2−y3)>0，故①>②，②−③=x1y1+x3y2−x1y2−x3y1=(x1−x3)(y1−y2)>0，故②>③，①−④=x1y1+x2y2−x1y2−x2y1=(x1−x2)(y1−y2)>0，故①>④，同理得，①>⑤，②>⑥，③>⑤，④>③，④>⑥，⑥>⑤，综上可知①>②>③>⑤，①>④>③>⑤，且②>⑥>⑤，④>⑥>⑤，最多有②④或③⑥两项可同时取150，令x1y1+x2y3+x3y2=x1y2+x2y1+x3y3=150，得其一组解为{x1=−1x2=0x3=1，{y1=2y2=152y3=302所以答案是：219、已知x,y为正实数，则yx +16x2x+y的最小值为__________．答案：6分析：将原式变形为yx +162+yx，结合基本不等式即可求得最值.由题得yx +16x2x+y=yx+162+yx，设yx =t(t>0)，则f(t)=t+162+t=t+2+162+t−2≥2√(t+2)⋅162+t−2=8−2=6.当且仅当t=2时取等.所以yx +16x2x+y的最小值为6.所以答案是：620、为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为___________.答案：10≤V≤40分析：根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.第一次操作后，利下的纯药液为V−10，第二次操作后，利下的纯药液为V−10−V−10V×8，由题意可知：V−10−V−10V×8≤V⋅60%⇒V2−45V+200≤0⇒5≤V≤40，因为V≥10，所以10≤V≤40，所以答案是：10≤V≤40解答题21、解关于x的不等式ax2−2≥2x−ax(a∈R)．答案：详见解析.分析：分类讨论a，求不等式的解集即可.原不等式变形为ax2+(a−2)x−2≥0．①当a=0时，x≤−1；②当a≠0时，不等式即为(ax−2)(x+1)≥0，当a>0时，x≥2a或x≤−1；由于2a −(−1)=a+2a，于是当−2<a<0时，2a≤x≤−1；当a=−2时，x=−1；当a<−2时，−1≤x≤2a．综上，当a=0时，不等式的解集为(−∞,−1]；当a>0时，不等式的解集为(−∞,−1]∪[2a,+∞)；当−2<a<0时，不等式的解集为[2a,−1]；当a=−2时，不等式的解集为{−1}；当a<−2时，不等式的解集为[−1,2a]．22、运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2+x 2360)升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.答案：(1) y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100] (或y ＝2340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2) 当x ＝18√10千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26√10元.分析：（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式，（2）利用基本不等式求最值即得结果.(1)设所用时间为t ＝130x (h)， y ＝130x ×2×(2+x 2360)＋14×130x ，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100] (或y ＝2340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥26√10，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝18√10时等号成立.故当x ＝18√10千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26√10元.小提示：本题考查函数解析式以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.。

(完整版)高中数学易错题(含答案)

高中数学易错题一．选择题（共6小题）1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．52．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）A．缺条件，不能求出B．C．D．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（）A．3＜d＜4 B．C．D．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A．B．C．D．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=06．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A．①②④B．②④C．②③D．③④二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是_________．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是_________．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是_________．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为_________．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为_________．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是_________．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为_________．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为_________．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=_________．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；（3）将以上结果填入下表．C A S情况①情况②24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB 的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．高中数学易错题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．5考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，进而求得x和y的关系式，进而表示出xy的表达式，利用二次函数的性质求得xy的最大值．解答：解：如图，设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，即=4，所以4x=12﹣3y，y=，求xy最大，也就是那个矩形面积最大．xy=x•=﹣•（x2﹣3x），∴当x=时，xy有最大值3故选B．点评：本题主要考查了三角函数的几何计算．解题的关键是通过题意建立数学模型，利用二次函数的性质求得问题的答案．2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）A．缺条件，不能求出B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：直接利用正弦定理，两角差的正弦函数，即可求出三角形的外接圆的直径即可．解答：解：由正弦定理可知：====．故选D．点评：本题是基础题，考查三角形的外接圆的直径的求法，正弦定理与两角差的正弦函数的应用，考查计算能力．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（）A．3＜d＜4 B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：数形结合；转化思想．分析：画出图形，利用点到直线的距离之间的转化，三角形两边之和大于第三边，求出最小值与最大值．解答：解：由题意△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，在图（1）中，d=CE+PE+PF＞CD==，在图（2）中，d=CE+EP+FP＜CE+EG＜AC=4；∴d的取值范围是；故选D．点评：本题是中档题，考查不等式的应用，转化思想，数形结合，逻辑推理能力，注意，P为△ABC内任一点，不包含边界．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A．B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，利用正弦定理以及双曲线的定义化简即可得到答案．解答：解：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，由双曲线的定义可知BC﹣AB=2a=10，c=6，===；故选D．点评：本题是基础题，考查双曲线的定义，正弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=0考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：通过向量求出直线的斜率，利用点斜式方程求出最新的方程即可．解答：解：过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的斜率为﹣，所以所求直线的方程为：y+2=﹣（x﹣1），即：3x+4y+5=0．故选C．点评：本题是基础题，考查直线方程的求法，注意直线的方向向量与直线的斜率的关系，考查计算能力．6．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A．①②④B．②④C．②③D．③④考点：三角形中的几何计算；恒过定点的直线．专题：应用题．分析：①由于基本不等式等号成立的条件不具备，故的最小值大于2，故①不正确．②设过定点P（2，3）的直线的方程，求出它与两坐标轴的交点，根据条件可得4k2+14k+9=0，或4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条．③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．④若△ABC中，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形．解答：解：①∵≥2=2，（当且仅当x=0时，等号成立），故当x＞0时，的最小值大于2，故①不正确．②设过定点P（2，3）的直线的方程为y﹣3=k（x﹣2），它与两坐标轴的交点分别为（2﹣，0），（0，3﹣2k），根据直线与两坐标轴围成的面积为13=，化简可得4k2+14k+9=0，或4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条，故②正确．③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=cos2（x﹣）=sin[﹣（2x﹣）]=sin（）=﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形，故④正确．故选B．点评：本题基本不等式取等号的条件，过定点的直线，三角函数的图象变换，诱导公式的应用，检验基本不等式等号成立的条件，是解题的易错点．二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是[，4]．考点：向量在几何中的应用；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：设三边分别为a，b，c，利用正弦定理和余弦定理结合向量条件利用三角形面积公式即可求出三边长．欲求x+y+z的取值范围，利用坐标法，将三角形ABC放置在直角坐标系中，通过点到直线的距离将求x+y+z的范围转化为，然后结合线性规划的思想方法求出范围即可．解答：解：△ABC为Rt△ABC，且∠C=90°，设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a，b，c，∵（1）÷（2），得，令a=4k，b=3k（k＞0）则∴三边长分别为3，4，5．以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，则A、B坐标为（3，0），（0，4），直线AB方程为4x+3y﹣12=0．设P点坐标为（m，n），则由P到三边AB、BC、AB的距离为x，y，z．可知，且，故，令d=m+2n，由线性规划知识可知，如图：当直线分别经过点A、O时，x+y+z取得最大、最小值．故0≤d≤8，故x+y+z的取值范围是．故答案为：[]．点评：本题主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量数量积的运算、简单线性规划思想方法的应用，综合性强，难度大，易出错．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=4．考点：二倍角的余弦；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：首先根据三角形的面积公式求出b的值，然后将所给的式子写成+=3进而得到acosC+ccosA+a+c=6，再根据在三角形中acosC+ccosA=b=2，即可求出答案．解答：解：∵S=absinC=asinC∴b=2∴acos2+ccos2=3∴+=3即a（cosC+1）+c（cosA+1）=6∴acosC+ccosA+a+c=6∵acosC+ccosA=b=2∴2+a+c=6∴a+c=4故答案为：4．点评：本题考查了二倍角的余弦以及三角形中的几何运算，解题的关键是巧妙的将所给的式子写成+=3的形式，属于中档题．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先根据求得sin（A+B）的值，进而求得sinC的值，根据同角三角函数的基本关系求得cosC，根据韦达定理求得a+b和ab的值，进而求得a2+b2，最后利用余弦定理求得c的值．解答：解：∵，∴sin（A+B）=∴sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=∴cosC==∵a，b是方程的两根∴a+b=2，ab=2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=8∴c===故答案为：点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，余弦定理的应用，韦达定理的应用．考查了考生综合运用基础知识的能力．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：构造以BC为正三角形的外接圆，如图满足，即可观察推出|AM|的取值范围．解答：解：构造以BC为正三角形的外接圆，如图，显然满足题意，由图可知红A处，|AM|值最大为，A与B（C）接近时|AM|最小，所以|AM|∈．故答案为：．点评：本题考查三角形中的几何计算，构造法的应用，也可以利用A的轨迹方程，两点减距离公式求解．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．考点：棱柱的结构特征；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．解答：解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，∴斜边EF的长为2．故答案为：2．点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、三角形中的几何计算等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为1或．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2；再分∠A=30°以及∠C=30°两种情况分别求出对应的面积．解答：解：因为2，转化为边长和角所以有2acosB=c可得：cosB==⇒a2=b2⇒a=b=2．当∠A=30°=∠B时，∠C=120°，此时S△ABC=×2×2×sinC=；当∠C=30°时，∠A=∠B=75°，此时S△ABC=×2×2×sinC=1．故答案为：或1．点评：本题主要考查余弦定理的应用以及三角形中的几何计算．解决本题的关键在于利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据AB=AC可推断出B=C，进而利用三角形内角和可知cosA=cos（π﹣2B）利用诱导公式和二倍角公式化简整理，把cosB的值代入即可．解答：解：∵AB=AC，∴B=C∴cosA=cos（π﹣2B）=cos2B=2cos2B﹣1=﹣1=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，二倍角公式的应用．考查了学生综合运用三角函数基础知识的能力．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为x+y+z=3．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接，进而分别表示出三角形三部分的面积，相加应等于总的面积建立等式求得x+y+z的值．解答：解：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接根据面积那么：ax+ay+az=ah所以x+y+z=h因为等边三角形的边长为2，所以高为h=3所以x．y．z所满足的关系是为：x+y+z=3故答案为：3点评：本题主要考查了三角形中的几何计算．考查了学生综合分析问题的能力和转化和化归的思想．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据已知可得△AOC是等边三角形，从而得到OA=AC=2，则可以利用勾股定理求得AD的长．解答：解：（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA=AC=2，∵∠OAD=90°，∠D=30°，∴AD=•AO=．故答案为：．点评：本题考查和圆有关的比例线段，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，本题在数据运算中主要应用含有30°角的直角三角形的性质，本题是一个基础题．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用三个内角成等差数列求得A，根据，∠B=30°求得C，然后利用tan30°=表示出a，代入三角形面积公式求得b．解答：解：三角形ABC中，三个内角A，B，C成等差数列A+B+C=3A=180°∴∠A=60°∵∠A=30°，∴C=90S=ab=∵tan30°=∴a=∴b=故答案为：点评：本题主要考查了三角形的几何计算．考查了学生基础知识综合运用的能力．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设出BD，利用余弦定理分别在△ABC，△ABD中表示出AB，进而建立等式求得b﹣x=2acosC代入四边形ABCD的面积表达式中，利用正弦函数的性质求得问题的答案．解答：解：设BD=x，则由余弦定理可知b2+a2﹣2abcosC=AB2=a2+x2+2axcosC∴b﹣x=2acosC．∵S=（absinC）﹣（axsinC）=a（b﹣x）sinC=a2•sin2C，∴当C=时，S有最大值．点评：本题主要考查了三角形的几何计算．注意灵活利用正弦定理和余弦定理以及其变形公式．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：（1）利用同角三角函数关系及三角形内角的范围可求；（2）利用正弦定理可知b=2a，再利用余弦定理，从而求出a、b的值，进而可求面积．解答：解：（1）由题意，，∴（2）由sinB=2sinA可知b=2a，又22=a2+b2﹣2abcosC，∴a=1，b=2，∴点评：此题考查学生灵活运用三角形的面积公式，灵活运用正弦、余弦定理求值，是一道基础题题．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．考点：三角形中的几何计算；正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题；综合题．分析：（1）由三角形的面积公式，结合余弦定理求出的值，进而有sinA=．（2）利用，结合正弦定理，求出b+c的值，利用三角形的面积公式和基本不等式求出面积的最大值．解答：解：（1）得进而有（2）∵，∴即所以故当b=c=8时，S最大=．点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，逻辑推理能力．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）利用余弦定理和题设等式求得cosA的值，进而求得A．（2）利用正弦定理把题设中的正弦转化成边的关系，进而求得bc的值，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：（1）因为b2+c2﹣a2=2bccosA=bc所以所以（2）因为sin2B+sin2C=2sin2A所以b2+c2=2a2=2因为b2+c2﹣a2=bc所以bc=1所以=点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．注意挖掘题设中关于边，角问题的联系．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？考点：三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（1）由题意画出简图，设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h，利用三角形相似建立方程解德；（2）由题意当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E，则DE长即为所求的影长，利用三角形相似建立方程求解即可．解答：解：如图所示，设A、B为两路灯，小迪从MN移到PQ，并设C、D分别为A、B灯的底部．由题中已知得MN=PQ=1.6m，NQ=5m，CD=10m（1）设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h∵△CMN∽△CBD，即⇒又△PQD∽△ACD即⇒由①②式得x=2.5m，h=6.4m，即路灯高为6.4m．（2）当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E．则DE长即为所求的影长．∵△DEH∽△CEA⇒⇒解得DE=m，即他在A路灯下的身影长为m．点评：此题考查了学生理解题意的能力，还考查了利用三角形相似及方程思想求解变量及学生的计算能力．22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）求AB长，关键是求sinB，sinC，利用已知条件可求；（2）根据三角形的面积公式，故关键是求sinA的值，利用sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC可求解答：解：（1）设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，，∴，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）因为．∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）故所求面积﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题的考点是三角形的几何计算，主要考查正弦定理得应用，考查三角形的面积公式，关键是正确记忆公式，合理化简．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；（3）将以上结果填入下表．C A S情况①情况②考点：三角形中的几何计算．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）先根据正弦定理以及大角对大边求出角C，再根据三角形内角和为180°即可求出角A．（2）分情况分别代入三角形的面积计算公式即可得到答案；（3）直接根据前两问的结论填写即可．解答：解：（1）∵，…（2分）∵c＞b，C＞B，∴C=60°，此时A=90°，或者C=120°，此时A=30°…（2分）（2）∵S=bcsinA∴A=90°，S=bcsinA=；A=30°，S=bcsinA=．…（2分）（3）点评：本题主要考查三角形中的几何计算．解决本题的关键在于根据正弦定理以及大角对大边求出角C．24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB 的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．考点：三角形中的几何计算；解三角形．专题：计算题；数形结合．分析：（1）由正弦定理知===2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．解答：解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°===2R⇒b=2sinA=∵A为锐角∴A=30°，B=45°∴C=75°∴AB=2Rsin75°=4sin75°=；（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1cosC=＜0∴a2+b2＜c2＜（2R）2即a2+b2＜4R2（8分）（3）a＞2R或a=b=2R时，△ABC不存在当时，A=90，△ABC存在且只有一个∴c=当时，∠A=∠B且都是锐角sinA=sinB=时，△ABC存在且只有一个∴c=2RsinC=2Rsin2AC=当时，∠B总是锐角，∠A可以是钝角，可是锐角∴△ABC存在两个∠A＜90°时，c=∠A＞90°时，c=点评：本题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据a，b两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据∥和两向量的坐标可求得，利用正弦定理把边转化成角的正弦，然后利用两角和公式化简整理求得cosA的值，进而求得A（Ⅱ）把A的值代入，利用两角和公式整理后，利用正弦函数的性质求得2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．解答：解：（Ⅰ）由得．由正弦定理得，．∴．∵A，B∈（0，π），∴sinB≠0，，∴．（Ⅱ）解：∵∴2cos2B+sin（A﹣2B）==，．2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值为点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，正弦定理的应用和两角和公式的化简求值．注意综合运用三角函数的基础公式，灵活解决三角形的计算问题．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．考点：正弦定理的应用；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）由已知结合正弦与余弦定理=化简可求b，由余弦定理可得，cosA=代入可求cosA，及A（2）代入三角形的面积公式可求解答：解：（1）∵∵∴=化简可得，b2﹣2b﹣8=0∴b=4由余弦定理可得，cosA==∴；（2）==点评：本题主要考查了解三角形的基本工具：正弦定理与余弦定理的应用，解题的关键是具备综合应用知识解决问题的能力27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简（2a+c）cosB+bcosC=0，得到三角形的角的关系，通过两角和与三角形的内角和，求出B的值；（Ⅱ）通过S=，利用B=以及a+c=4，推出△ABC面积S的表达式，通过平方法结合a的范围求出面积的最大值．解答：解（Ⅰ）由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0得2sinACcosB+sin（C+B）=0，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，得2sinAcosB+sinA=0，因为sinA≠0，所以cosB=﹣，又B为三角形的内角，所以B=．（Ⅱ）因为S=，由B=及a+c=4得S===，又0＜a＜4，所以当a=2时，S取最大值…（3分）点评：本题是中档题，考查三角形面积的最值，三角形的边角关系，三角函数的公式的灵活应用，考查计算能力．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（1）由，推出，利用坐标表示化简表达式，结合余弦定理求角C；（2）利用（1）中c2=a2+b2﹣ab，应用正弦定理和基本不等式，求三角形ABC的面积S的最大值．解答：解答：解：（1）∵∴且，由正弦定理得：化简得：c2=a2+b2﹣ab由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC∴，∵0＜C＜π，∴（2）∵a2+b2﹣ab=c2=（2RsinC）2=6，∴6=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab（当且仅当a=b时取“=”），所以，．点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．。

高考数学易错题专项训练(一)

高考数学易错题专项训练(一)一、正误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A是B的真子集；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.()2.A⊆B说明集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素.()3.若集合A中含有n个元素，则集合A的子集的个数为2n个，真子集的个数为2n－1个，非空真子集的个数为2n－2个.()4.交集的补集等于补集的并集，即∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；并集的补集等于补集的交集，即∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).()5.A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B．()6.若p⇒q且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件，綈p是綈q的必要不充分条件.()7.全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.()8.否命题是原命题的条件与结论同时否定，命题的否定是仅仅否定原命题的结论，而命题的条件不变.()9.函数y＝f(x)的零点是方程f(x)＝0的实数根，所以方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.()10.函数y＝f(x)的图象与直线x＝a(a∈R)的交点可能是0个、1个或2个.()11.f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称，f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称.存在既是奇函数又是偶函数的函数：f(x)＝0.()12.奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.()13.若满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，T＝2a；若满足f(x＋a)＝1f（x），则f(x)是周期函数，T＝2a(a≠0，a为常数).()14.若f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于x＝a对称；如果f(x)满足f(x)＝－f(2a－x)，则函数f(x)的图象关于点(a，0)对称.()15.函数y＝a x与y＝log a x(a>0，a≠1)的图象关于直线y＝x对称，且两函数在各自定义域上具有相同的单调性.()16.如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0.如果f(x)在(a，b)上单调，则y＝f(x)在(a，b)内有唯一的零点.()17.在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；如果f′(x)<0.那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减.()18.函数f(x)在x0处有f′(x0)＝0，且在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)叫做函数y＝f(x)的极大值；若在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)叫做函数y＝f(x)的极小值，函数的极大值可能会小于函数的极小值.()19.f′(x0)是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线斜率，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0).()20.f′(x)≥0是可导函数f(x)在x∈(a，b)内是增函数的充要条件；f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要条件.()二、矫正训练(一)选择题(共10小题)1.集合A＝{x||x＋1|≤3}，B＝{y|y＝x，0≤x≤4}.则下列关系正确的是()A ．A ∪B ＝R B ．A ⊆∁R BC ．B ⊆∁R AD ．∁R A ∁R B2.已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数且是(0，＋∞)上的增函数，则m 的值为( )A ．2B ．－1C ．－1或2D ．03.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x 2＋sin xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋sin 2x 4.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(13，＋∞) 5.已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a6.设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0，1] C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) 7.如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1，2) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2，3) 8.已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．－2C ．3或－2D ．129.已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤－2或a ＝1}B ．{a |a ≤－2}C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}D ．{a |－2≤a ≤1}10.已知函数y ＝f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且当x >0，f (x )＋xf ′(x )>0(其中f ′(x )是f (x )的导函数)，设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 124f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 124，b ＝2f (2)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．a >c >b(二)填空题(共6小题)11.已知命题p ：x 2－2x －3<0，命题q ：x >a ，若命题p 是命题q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________.12.如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是________.13.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧（a －2）x －1，x ≤1，log a x ，x >1.若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________.14.若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.15.若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2，(a ＞0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.16.已知f (x )＝x e x ，g (x )＝－(x ＋1)2＋a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________.参考答案一、1.√ 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.√ 8.√9.√10.×解析：不符合函数的定义，不会有2个及2个以上的交点.11.√ 12.√ 13.√ 14.√ 15.√16.×解析：不满足零点存在定理的条件，即没有明确图象是连续不断的一条曲线.17.√18.×解析：没有理解函数的极大(小)值的概念，本题把极大值与极小值定义弄反了.19.√20.×解析：错误理解函数单调性与导数的关系.二、1.解析：没有分析清楚集合中的元素导致错误.D [A ＝{x ||x ＋1|≤3}＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}＝{y |0≤y ≤2}，所以∁R B ＝{y |y >2或y <0}，∁R A ＝{x |x <－4或x >2}，所以∁R A∁R B ，选D ．] 2.解析：容易遗漏幂函数的系数是1，且当α>0时，g ＝x α在(0，＋∞)上为增函数而导致错误.B [因为函数为幂函数，所以m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.因为幂函数在(0，＋∞)上是增函数，所以－5m －3>0，即m <－35，所以m ＝－1.选B ．]3.解析：判断函数的奇偶性时，应注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，这一点易忽略.A [函数f (x )＝x 2＋sin x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (1)＝1＋sin 1，f (－1)＝1－sin 1，所以函数f (x )＝x 2＋sin x 既不是奇函数，也不是偶函数；函数f (x )＝x 2－cos x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，所以函数f (x )＝x 2－cos x 是偶函数；函数f (x )＝2x ＋12x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x ＝f (x )，所以函数f (x )＝2x ＋12x 是偶函数；函数f (x )＝x ＋sin 2x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝－x ＋sin(－2x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝x ＋sin 2x 是奇函数.故选A ．]4.解析：此类问题易于忽略的是首先判断函数的奇偶性和单调性，从而避免讨论.A [由 f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2可知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上增函数，所以f (x )＞f (2x －1)⇔f (|x |)＞f (|2x －1|)⇔|x |＞|2x －1|⇔13＜x ＜1，故选A ．]5.解析：此类问题易于忽略的是判断函数的单调性和转化到同一单调区间上讨论问题.C [因为函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，所以m ＝0，即f (x )＝2|x |－1，所以a ＝f (log 0.53)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝f (log 23) b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )＝f (0)，因为log 25＞log 23＞0，而f (x )＝2|x |－1在[0，＋∞)上为增函数，所以c ＜a ＜b ，故选C ．]6.解析：忽略了由f (f (a ))＝2f (a )直接得到f (a )≥1，从而解不等式或利用数形结合的方法解决问题.C [由f (f (a ))＝2f (a )可知f (a )≥1，则⎩⎨⎧a ≥12a ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13a －1≥1，解得a ≥23，答案选C ．] 7.解析：忽略利用函数的图象求出a ，b 的范围导致错误.C [由函数图象可知0<b <1，f (1)＝0，从而－2<a <－1，f ′(x )＝2x ＋a ，所以g (x )＝ln x ＋2x ＋a ，函数g (x )＝ln x ＋2x ＋a 在定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋1＋a <0，g (1)＝ln 1＋2＋a >0，所以函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，选C ．] 8.解析：忽略函数的定义域导致错误.A [函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数为y ′＝x 2－3x ，由y ′＝x 2－3x ＝12，得x 2－x －6＝0，解得x ＝3或x ＝－2(舍去)，选A ．]9.解析：不能分析清楚存在与恒成立的区别导致错误.A [由x 2－a ≥0，得a ≤x 2，x ∈[1，2]，所以a ≤1.要使q 成立，则有Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0，解得a ≥1或a ≤－2.因为命题“p ∧q ”是真命题，则p ，q 同时为真，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≥1或a ≤－2，即a ≤－2或a ＝1，选A ．] 10.解析：不会构造函数，不能判断函数的奇偶性导致错误.C [令函数F (x )＝xf (x )，则函数F (x )＝xf (x )为偶函数.当x >0时，F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，此时函数递增，则a ＝F (log 124)＝F (－log 24)＝F (－2)＝F (2)，b ＝F (2)，c ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15＝F (－lg 5)＝F (lg 5)，因为0<lg 5<1<2<2，所以a >b >c ，选C ．] 11.解析：忽略从集合的角度解决充要条件的应用问题而导致错误.(－∞，－1] [M ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，因为N ＝{x |x >a }且M ⊆N ，所以有a ≤－1.]12.解析：忽略倾斜角的范围以及正切函数的单调性导致错误.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2 [由题意可设f ′(x )＝a (x －1)2＋3，(a >0)，即函数切线的斜率为k ＝f ′(x )＝a (x －1)2＋3≥3，即tan α≥3，所以π3≤α<π2.]13.解析：忽略了第一段函数的最大值小于或等于第二段函数的最小值导致错误.(2，3][要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －2>0，f （1）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a －2－1≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a ≤3.解得2<a ≤3，即a 的取值范围是(2，3].]14.解析：忽略函数的f (x )极大值＝f (－1)＝2＋a >0，f (x )极小值＝f (1)＝a －2<0导致错误. (－2，2) [由f (x )＝x 3－3x ＋a ＝0，得f ′(x )＝3x 2－3，当f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，由图象可知f (x )极大值＝f (－1)＝2＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －2，要使函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则有f (x )极大值＝f (－1)＝2＋a >0，f (x )极小值＝f (1)＝a －2<0，即－2<a <2，所以实数a 的取值范围是(－2，2).]15.解析：分段函数的值域是各段函数值域的并集，应首先求出各段函数的值域，易于忽略. (1，2] [当x ≤2，故－x ＋6≥4，要使得函数f (x )的值域为[4，＋∞)，只需f 1(x )＝3＋log a x (x ＞2)的值域包含于[4，＋∞)，故a ＞1，所以f 1(x )＞3＋log a 2，所以3＋log a 2≥4，解得1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围是(1，2].]16.解析：由于是存在性的问题，易忽略g (x )的最大值大于或等于f (x )的最小值导致错误. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1e ，＋∞ [f ′(x )＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，当x >－1时，f ′(x )>0函数递增；当x <－1时，f ′(x )<0函数递减，所以当x ＝－1时f (x )取得极小值即最小值f (－1)＝－1e .函数g (x )的最大值为a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则有g (x )的最大值大于或等于f (x )的最小值，即a ≥－1e .]。

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高中数学易错题集锦指导教师：任宝安参加学生：路栋胡思敏李梅张大山?【例1②×2①×2③+b a 和993)3(f ∴33在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。

只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。

●忽视隐含条件，导致结果错误。

【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。

利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 有的学生一看到449-，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。

如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。

原方程有两个实根βα、∴0)6k (4k 42≥+-=∆?.3k 2k ≥-≤或当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8；当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。

(2)已知(x+2)2+=1,求x 2+y 2的取值范围。

错解∴当分析∴ x 2 【例3错解)2的最小值是分析21,第二原式由ab ∴原式≥2×17+4=2(当且仅当a=b=2时，等号成立)，∴(a+a 1)2+(b+b1)2的最小值是。

●不进行分类讨论，导致错误【例4】已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a 错误解法.222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a 。

错误原因：没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是。

因此在运用1--=n n n S S a 时，必须检验1=n 时的情形。

即：⎩⎨⎧∈≥==),2()1(1N n n S n S a n n 。

●以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。

【例5】(1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .错误解法,2963S S S =+ q q a q q a q q a --⋅=--+--∴1)1(21)1(1)1(916131，q ≠由1=q 的情1≠q .又依0,即2(3+q 说明(2)求过点)1,0(的直线，使它与抛物线x y 22=仅有一个交点。

错误解法设所求的过点)1,0(的直线为1+=kx y ，则它与抛物线的交点为⎩⎨⎧=+=xy kx y 212，消去y 得.02)1(2=-+x kx 整理得.01)22(22=+-+x k x k 直线与抛物线仅有一个交点，,0=∆∴解得∴=.21k 所求直线为.121+=x y 错误分析此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为1+=kx y 时，没有考虑0=k 与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。

第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。

原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。

第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即,0k而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。

≠正确解法①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点)1,0(，所以,0x即y=2=相切。

轴，它正好与抛物线xy2k∴2x1(A)23(A)－14C(（A）56(A)[－7、已知定义在实数集R上的函数()f=；当0f x<；对于任意f x满足：(1)1x<时，()0的实数x、y都有()()()f x y f x f y+=+。

证明：()f x为奇函数。

(特殊与一般关系)8、已知函数f(x)=，则函数()f x的单调区间是_____。

递减区间(－?，－1)和(－1，+?)（单调性、单调区间）9、函数y=的单调递增区间是________。

[－，－1）（定义域）10、已知函数f(x)=，f(x)的反函数f－1(x)= 。

（漏反函数定义域即原函数值域）11、函数f(x)=log(x2+ax+2)值域为R，则实数a的取值范围是D(正确使用△≥0和△<0)(A)(－2,2) (B)[－2,2](C)(－?,－2)∪(2,+?) (D)(－?,－2]∪[2,+?)12、若x ≥0，y ≥0且x +2y =1，那么2x +3y 2的最小值为B(隐含条件) （A ）2 （B ）（C ）（D ）013、函数y=63422-+++x x x x 的值域是________。

(－∞,52)∪(52,1)∪(1,+∞)（定义域）14、函数y=sin x(1+tan x tan )的最小正周期是C （定义域）(A) (B)? (C)2? (D)315、已知f (x )是周期为2的奇函数，当x ?[0,1)时，f (x )=2x ，则f (log 23)=D(对数运算) (A) (B) (C)－ (D)－16（（ 17181920a =2、=b 212223即.1|x sin |21|x tan |==且这是自相矛盾的。

.16min ≠∴y 在解法2中，261+-=y 的充要条件是,22cos 2sin cos cos 8sin sin 2222222====x x x xx x ，，即且这是不可能的。

正确解法1x x y 22sec 8csc 2+=其中，当.18y 2x cot x tan 4x cot 222===时，，即.18min =∴y 正确解法2取正常数k ，易得其中“≥”取“＝”的充要条件是因此，当,18k k 26y 21x tan 2=-⋅==时，.18min =∴y24、已知a 1=1，a n =a n －1+2n －1(n ≥2)，则a n =________。

2n －1(认清项数)25、已知－9、a 1、a 2、－1四个实数成等差数列，－9、b 1、b 2、b 3、－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)=A(符号)(A)－8 (B)8 (C)－ (D)26、已知{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，判断S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列吗？当q=－1，k 为偶数时，S k =0，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 不成等比数列；当q ≠－1或q=－1且k 为奇数时，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列。

（忽视公比q=－1）271,a a =a 为常数，k }{n a 的通28隐含条件)29、i (A)－30=∆∴由于a 31、和a =(3,－4)平行的单位向量是_________；和a =(3,－4)垂直的单位向量是_________。

(，－)或(－，)；(，)或(－，－)(漏解)32、将函数y=4x －8的图象L 按向量a 平移到L /，L /的函数表达式为y=4x ，则向量a =______。

a =(h ，4h+8)(其中h ?R)(漏解)33、已知|a |＝1，|b |＝2，若a //b ，求a ·b 。

①若a ，b 共向，则a ·b ＝|a |?|b |＝2，②若a ，b 异向，则a ·b ＝－|a |?|b |＝－2。

(漏解)34、在正三棱锥A －BCD 中，E 、F 是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，若BC=a ，则正三棱锥A －BCD的体积为____________。

,24)a 3(隐含条件)35、在直二面角?－AB －?的棱AB 上取一点P ，过P 分别在?、?两个平面内作与棱成45°的斜线PC 、PD ，那么∠CPD 的大小为D(漏解) (A)45? (B)60? (C)120? (D)60?或120?36、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F 。

（1）证明PA//平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C —PB —D 的大小。

(2004天津)(条件不充分(漏PA ?平面EDB ，⊂DE 平面PDC ，DE ∩EF=E 等)；运算错误，锐角钝角不分。

) 37、若方程+y 2=1表示椭圆，则m 的范围是_______。

(0，1)∪(1，+?)(漏解) 383940l 与x 轴相（1（3M ，证明FM =(x=ky+b)41错解1.1 错解2由于判断错误，而造成解法错误。

随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。

正解1设),(y x P 为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为4=x ，右焦点)0,10(F ，离心率2=e ，由双曲线的定义知.2|4|)10(22=-+-x y x 整理得.14816)2(22=--y x 正解2依题意，设双曲线的中心为)0,(m ,则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+.21042acm c m c a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===.284m c a ,所以,481664222=-=-=a c b42设点P 与⊙C |||=CP 43则43122222222=-=-==ab a b a ac e ，所以4122=ab ，即.2b a =设椭圆上的点),(y x 到点P 的距离为d ，则22223(-+=y x d所以当21-=y 时，2d 有最大值，从而d 也有最大值。

所以22)7(34=+b ，由此解得：.4,122==a b于是所求椭圆的方程为.1422=+y x 错解分析尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。

结果正确只是碰巧而已。

由当21-=y 时，2d 有最大值，这步推理是错误的，没有考虑y 到的取值范围。

事实上，由于点),(y x 在椭圆上，所以有b y b ≤≤-，因此在求2d 的最大值时，应分类讨论。

即：若b 于是所以12345。