高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编及答案

【高中数学】单元《三角函数与解三角形》知识点归纳

一、选择题

1．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，2cos2sin 4παα⎛⎫

=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ）

A ．7

8

-

B ．

78

C ．18

-

D ．

18

【答案】A 【解析】 【分析】

利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】

解：因为2cos2sin 4παα⎛⎫

=-

⎪⎝⎭

所以(

)

22

2cos sin sin

cos cos

sin 4

4

π

π

αααα-=-

所以()())2cos sin cos sin cos sin 2

αααααα-+=

- ,cos sin 02

παπαα⎛⎫∈-≠ ⎪⎝

⎭

，

所以cos sin 4

αα+=

所以()2

1cos sin 8αα+=，即22

1cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28

α+= 所以7sin 28

α=- 故选：A 【点睛】

本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；

2．已知ABC 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（ ） A ．102

x << B ．

1

12

x << C ．12x << D ．01x <<

【答案】D 【解析】 【分析】

根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围. 【详解】

将ABC 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''，

设A B C '''的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则

cos 0A '∠<，

所以()()()()()2222342340x x x x x x x ⎧+++<+⎪

+++>+⎨⎪>⎩

，解得01x <<.

故选：D. 【点睛】

本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.

3．小赵开车从A 处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40︒的方向直线行驶，30分钟后到达B 处，此时，小王发来微信定位，显示他自己在A 的南偏东70︒方向的C 处，且A 与C 的距离为153千米，若此时，小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C 处接小王，则小赵到达C 处所用的时间大约为（ ）

(

)

7 2.6≈

A ．10分钟

B ．15分钟

C ．20分钟

D ．25分钟

【答案】B 【解析】 【分析】

首先根据题中所给的条件，得到30BAC ∠=︒，20AB =，153AC =，两边和夹角，之后应用余弦定理求得5713BC =≈（千米），根据题中所给的速度，进而求得时间，得到结果. 【详解】

根据条件可得30BAC ∠=︒，20AB =，153AC =， 由余弦定理可得2222cos30175BC AB AC AB AC ︒=+-⋅⋅=， 则5713BC =≈（千米），

由B 到达C 所需时间约为13

0.2552

=（时）15=分钟． 故选：B ． 【点睛】

该题是一道关于解三角形的实际应用题，解题的关键是掌握余弦定理的应用，属于简单题目.

4．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面积S C =，且

1,a b ==c =（ ）

A B

C D 【答案】B 【解析】

由题意得，三角形的面积1

sin 2

S ab C C ==，所以tan 2C =，

所以cos 5

C =

，

由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以c =，故选B.

5．已知函数sin(),0

()cos(),0

x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩的图像关于y 轴对称，则sin y x =的图像向左平移

（ ）个单位，可以得到cos()y x a b =++的图像（ ）. A ．

4

π B ．

3

π C ．

2

π D ．π

【答案】D 【解析】 【分析】

根据条件确定,a b 关系，再化简()cos y x a b =++，最后根据诱导公式确定选项. 【详解】

因为函数()()(),0

,0sin x a x f x cos x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像关于y 轴对称，所以

sin cos 22a b ππ⎛⎫⎛⎫

-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，()()sin cos a b ππ-+=+，即sin cos sin cos b a a b ，==，因此π

2π()2

a b k k Z +=

+∈， 从而()()cos sin y x a b sinx x π=++=-=+,选D. 【点睛】

本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.

6．如图所示，已知双曲线C ：()22

2210,0x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上

一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线

C 的离心率是( )

A ．

27

7

B ．

52

C ．

72

D ．7

【答案】C 【解析】 【分析】

利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可． 【详解】

解：双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于

原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，

60F BF ∠'=︒，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-︒，可得22221

4962

c a a a =+-⨯，

2247c a =，

所以双曲线的离心率为：72

e =． 故选：C ．

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．