理论力学13力偶与力偶矩
理论力学 期末复习知识点
第一章静力学公理与物体的受力分析§1.1 静力学公理✧公理1 二力平衡公理（条件）作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充分必要条件是：这两个力大小相等，方向相反，且在同一直线上。
✧公理2 加减平衡力系原理在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，不改变原力系对刚体的作用。
（效应不变）✧公理3 力的平行四边形法则作用在物体上的同一点的两个力，可以合成为一个合力。
合力作用点也是该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。
✧公理4 作用和反作用定律作用力与反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反、沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。
✧公理5 刚化原理变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。
✓推论1 力的可传性作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
✓推理2 三力平衡汇交定理作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三力的作用线通过汇交点。
§1.2 约束和约束力一、约束的概念•自由体：位移不受限制的物体。
•非自由体：位移受限制的物体。
•约束：对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体。
二、约束反力（约束力）•约束力：约束对物体作用的力。
•在静力学中，约束力和物体受到的其它已知力（主动力）组成平衡力系，可用平衡条件求出未知的约束力。
三、工程常见约束•光滑平面约束•柔索约束•光滑铰链约束•固定铰链支座•止推轴承径向轴承•平面固定端约束§1.3 物体的受力分析和受力图受力分析：确定构件受了几个外力，每个力的作用位置和方向的分析过程。
•步骤：1．取研究对象（画分离体：按原方位画出简图）。
2．画主动力：主动力照搬。
3．画约束反力：根据约束性质确定。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系§2–1 平面汇交力系平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。
理论力学知识点集合
平面力系1. 平面汇交力系可简化为以合力，其大小和方向等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。
2. 平面汇交力系平衡的充要条件为合力等于零，与任意力系不同，任意力系由于不能汇交，会产生力偶，必须得满足主矢主矩都等于零才平衡。
3. 平面汇交力系可以通过解析法，即将各力分解到直角坐标系上，再求合力。
4. 力对点取矩：是一个代数量，绝对值等于力的大小与力臂的乘积：Fd F Mo =)(5. 合力矩定理：平面力系的合力对于平面内任一点的矩等于所有分力对该点的矩的代数和。
6. 力偶、力偶矩：力偶由两个大小相等，方向相反，作用线不在同一直线上的平行力组成。
力偶矩等于平行力的大小乘上平行力的间距，逆时针为正，顺时针为负。
7. 力偶的等效定理：在同一平面内，只要力偶矩的大小和转向不变，力偶的作用效果就不变。
8. 平面力系的简化：平面任意力系向一点的简化结果为一合力和一合力偶，合力称为主矢，合力偶为主矩。
主矢作用线过简化中心。
9. 平面任意力系平衡的充要条件：⎩⎨⎧==00'Mo F R ，其平衡方程为∑=0x F ，∑=0y F ，∑=0)(Fi Mo ，是三个独立的方程，可以求解三个未知数。
10. 静定问题：当系统中的未知量数目等于独立平衡方程的数目，则所有未知数都能解出，这种问题称为静定问题。
反之为非静定问题。
空间力系11. 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线过汇交点。
可得合力的大小和方向余弦：()()()222∑∑∑++Fz Fy Fx R F ，()R R F Fx i F ∑=,cos ，其余类似。
12. 空间汇交力系平衡的充要条件为该力系的合力为零，或所有分力在三个坐标轴上投影的代数和为零，∑∑∑===0,0,0Fz Fy Fx ，可求三个未知数。
13. 力对点的矩矢等于该力作用点的矢径与该力的矢量积：()F r F M ⨯=o ；若k Fz j Fy i Fx F k z j y i x r ++=++=,，由行列式可得，()()()()k yFx xFy j xFz zFx i zFy yFz F Mo -+-+-=，在坐标轴上的投影为()[]yFz zFy F Mo x -=，()[]xFz zFx F Mo y -=，()[]yFx xFy F Mo z -=。
理论力学(哈工大)考试选填判断简答重点内容
1、二力杆：只在两个力作用下平衡的构件。
2、静力学公理：1）平行（力的平行四边形法则）：作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力，合力也作用于该点，合力的大小和方向，由这两个力构成的平行四边形的对角线确定。
刚体或者变形体都适用。
2）平衡（二力平衡公理）：作用于刚体上的两个力，使刚体处于平衡的必要和充分条件是这两个力的大小相等，方向相反，且在同一直线上。
只适用于刚体。
3）加减（加减平衡力系公理）：在作用于刚体上的任意力系中，加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。
只适用于刚体。
（1）可传（力的可传性原理）：作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移动到刚体上的任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
（2）三交汇（三力平衡交汇定理）：作用于刚体上三个相互平衡的力，其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在平面上，且第三个力的作用线也通过该汇交点。
4）相互（作用与反作用定律）：作用力和反作用力总是同时存在，大小相等、方向相反，沿同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。
对刚体或变形体都适用。
5）刚化（刚化原理）：变形体在某一力系作用下处于平衡，若将此变形体刚化为刚体，则平衡状态保持不变。
3、自由体和非自由体：运动不受限制的物体称为自由体；运动受到限制的物体称为非自由体。
4、两力相等和两个力等效不是一回事，力相等（大小、方向、作用点），力等效（根据力的可传递性原理，作用点可不一样，教材第7页；一个合力可以与力系等效，但合力不等于力系）。
平衡力系：物体处于平衡状态时，作用于物体上的力系。
等效力系：如果作用于物体上的力系可以用另一个力系代替，二不改变物体的原有状态。
5、约束反力，存在于相互接触之处，与约束所能限制的位移方向相反。
光滑铰链约束特点：构件只能绕销钉的轴线转动，而不能相对移动。
6、各种约束的约束特点：柔性约束：方向沿着绳索中心线而背离物体。
光滑面约束：约束反力作用在接触点，沿接触面的公法线指向被约束物体。
3 理论力学--力偶理论
3.1.3.2 力偶的可改变性 在保持力偶矩矢不变的前提下，可以任意改变力 偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体 的转动效应。可见，力偶中力的大小和力偶臂的长短 都不是决定力偶效应的独立因素。
在保持力偶矩矢不变的前提下，力偶的这些变化 都不会改变力偶对刚体的作用效应。因此，今后我们 只关心力偶的力偶矩矢，而不过问该力偶中力的大小、 方向和作用线。故在表示力偶时，只要在力偶作用面 内用一带箭头的弧线表示力偶的转向，旁边标注力偶 矩M的值即可，如图3-3所示。
M 1 F1 d1 200 42 22 400 5 kN m
d2 F1 M1 F2 O d1 2m y 3m
F2 F1
4m M2
M 2 F2 d2 100 2 200 kN m
x
图3-6
取Oxyz直角坐标系，将各力偶矩矢平移到O点，如图3-6 所示。则合力偶矩矢在三个直角坐标轴上的投影分别为
3.2 平面力偶系的合成与平衡 3.2.1 平面力偶系的合成
设作用于刚体上同一平面内的n个力偶（F1，F1′）， （F2，F2′），…，（Fn，Fn′）对刚体的作用效应与力 偶（FR，FR′）对刚体的作用效应相同，则称力偶（FR， FR′）是力偶（F1，F1′），（F2，F2′），…，（Fn， Fn′）的合力偶。一般情况下，平面力偶系可合成为一 个合力偶，合力偶矩等于原力偶系中各力偶矩的代数 和，即
Fn dn
A
Fn1
F1
d1
d2
F2
B
A
F11 F21
d
FR
B
d
图3-4
M 1 F1d1 F11d M 2 F2 d 2 F21d ，…， M n Fn dn Fn1d
理论力学13-2 基本定理综合题
解 （1）以 A 及 B 为系统，由于作用于该系统上的外力无水平分量，因此该系统在水 平方向动量守恒。即 & A + m2 x & B = 常数 m1 x 两边求导得
& &A = − x
m2 & &B x m1
（1）
（2） 以 B 为动系，分析 A 的运动。如图综-5b 所示，根据 aA = ae + ar = aB + ar
M O′ FT O
(a) 图综-1
FN
v
a
ϕ
mg
(b)
解 滑块 M 在下降至任意位置时的运动及受力分析如图综-1b 所示。滑块 M 在下降过 程中 v 与 ϕ 的关系可由动能定理确定：
mg × 2 R cos 2 ϕ +
1 1 k (2 R) 2 − (2 R sin ϕ ) 2 = mv 2 -0 2 2 kR v = 2 cos ϕ gR(1 + ) mg
t maC = ∑ Ft , n maC = ∑ Fn ,
J Cα = ∑ M C
（1） （2） （3）
得
b FBE sin 60° − FBE 2
联立解得
mg cos 60° = maC FAD + FBE − mg sin 60° = 0 b b b cos 60° − FAD sin 60° − FAD cos 60° = 0 2 2 2 g aC = = 4.9 m/s 2 2 FAD = 72 N FBE = 268 N
ρ = R - vt
ϕ=
v0 t R − vt
2 mvϕ
线的张力
&& = F = ma ρ = mρ
理论力学03力矩力偶与平面力偶系
本章讨论平面力偶系的合成与平衡问题
一、平面力偶系的合成 平面力偶系可合成为一个合力偶； 合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即
M1
M2 M3
M4
M Mi
二、平面力偶系的平衡方程
Mi 0
M
说明：根据平面力偶系的平衡方程，可解 一个未知量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[例2] 已知梁长 l = 5 m，M = 100 kN·m ；若不计梁的自重，试求 铰支座 A 、B 处的约束力。
2. 力偶中的两个力对任一点的矩的代数和 恒等于力偶矩，与矩心位置无关。
dF F
3. 作用于刚体同一平面内两个力偶等效的充要条件为其力偶矩 相等。
结论：力偶矩唯一决定了力偶对刚体的作用效应。
◆ 通常用力偶矩符号来代表力偶：
F
d
M Fd
F
M 或M
第三节 平面力偶系
平面力偶系：由位于同一平面内的一群力偶所组成的力系
构平衡。试求作用于摆杆 BO1上的力偶矩 M2 （各构件的自重不计）
解： 1）首先研究曲柄 AO与套筒A 的组合 画受力图 列平衡方程
Mi 0, M1 FA r sin 30 0
解得
FA
FO
2M1 r
M1
O
FO
FA
FA
FO
2M1 r
2）再选取摆杆 BO1 为研究对象
画受力图
列平衡方程
Mi 0, M 2 FA AO1 0
的平行力称为一个力偶，记作 F, F。
dF F
二、力偶矩 定义
M Fd
为平面内力偶 F, F 的矩，简称力偶矩。
说明： 1）平面内力偶矩为代数量，其正负号表转向，一般规定 逆时针转向为正，反之为负。
理论力学(机械工业出版社)第十三章达朗伯原理习题解答
习 题13-1 如图13-16所示，一飞机以匀加速度a 沿与水平线成仰角b 的方向作直线运动。
已知装在飞机上的单摆的悬线与铅垂线所成的偏角为f ，摆锤的质量为m 。
试求此时飞机的加速度a 和悬线中的张力F T 。
图13-16ma F =I 0cos sin 0I T =-=∑βϕF F F xϕβsin cos IT F F =0sin cos 0I T =--=∑mg F F F y βϕ0sin cos sin cos I I =--mg F F βϕϕβ0sin )cos(I=-+mg F ϕβϕ mgma=+ϕβϕsin )cos()cos(sin βϕϕ+=g amg maF F )cos(cos sin cos sin cos I T βϕβϕβϕβ+===13-2 球磨机的简图如图13-17所示，滚筒作匀速转动，内装钢球及被粉碎的原料，当钢球随滚筒转到某一角度f 时，将脱离筒壁作抛射运动，由于钢球的撞击，从而破碎与研磨原料。
已知钢球脱离筒壁的最佳位置'4054︒=ϕ，滚筒半径R =0.6m 。
试求使钢球在'4054︒=ϕ处脱离滚筒的滚筒转速。
图13-172n I ωmR ma F == 0cos 0I N n =-+=∑F mg F F ϕ)cos (cos cos 22I N ϕωϕωϕg R m mg mR mg F F -=-=-=令0N =F0cos 2=-ϕωg RR g ϕωcos =min r/35.296.00454cos 8.9π30cos π30π30='︒⨯===R g n ϕω13-3 一质量为m 的物块A 放在匀速转动的水平转台上，如图13-18所示。
已知物块的重心距转轴的距离为r ，物块与台面之间的静摩擦因数为s μ。
试求物块不致因转台旋转而滑出时水平转台的最大转速。
图13-182n I ωmr ma F == 00N =-=∑mg F F ymg F =N00I =-=∑F F F x0N s 2=-F mr μω 0s 2=-mg mr μωrgs μω=rgn s max π30π30μω==13-4 离心调速器的主轴以匀角速度w 转动，如图13-19所示。
理论力学常见问题及解答
绪论1.按照定义：“理论力学”是研究物体机械运动一般规律的科学。
定义中为何没有“力”？解答：定义中“机械运动一般规律”指物体“运动和力”的关系，“力”是隐含在定义表述中的，理论力学与力一定有关系。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004关键词：理论力学定义，运动，力2.①什么是参考系？②力与参考系有关吗？解答：①为了表述物体的运动，必须选定一个坐标系，在该坐标系中，能够用坐标唯一确定物体的位置，这样的坐标系称为运动参考系。
②力与参考系无关。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）关键词：参考系，力，运动第1单元：静力学基础1.①把人看作刚体，汽车中的人是平衡的吗？②地球同步通讯卫星是平衡的吗？解答：①如果汽车作匀速直线运动，则汽车中的人是平衡的；否则不是。
②同步卫星不是平衡的，因为将地球作为参考系，在该参考系中，虽然卫星不动，但地球这样的参考系不是惯性参考系。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）关键词：物体平衡，惯性参考系，人，汽车，同步卫星2.物体平衡与力系平衡完全等价吗？举例说明。
解答：物体平衡，其上作用的力系一定平衡；反过来，力系平衡，力学作用的物体不一定平衡，如绕对称轴匀速旋转的轮子，其上力系平衡，但物体不平衡。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995关键词：物体平衡，力系平衡，等价关系3.如何理解二力杆？解答：刚体受二力作用平衡，且重力不考虑，则该刚体是“二力杆”。
力偶系的求解
三、力对点之矩的求法
①按定义式求～这种方法的关键是求力臂d。需要特别注意的 是，力臂是矩心到力的作用线的距离，而点到线段的距离是 垂线段的长度，即力臂一定要垂直于力的作用线。 ②用合力矩定理求～有时力臂的计算较繁琐，可将力分解为两 个互相垂直的分力，分别求分力对矩心的矩，然后，应用合 力矩定理求原力对矩心的矩。
当我们用扳手拧螺母时，力F使螺母绕O点转动 的效应不仅与力F的大小有关，而且还与转动中心O 到F的作用线的距离d有关。
平面力偶系平衡问题的求解
平面力偶系平衡问题的求解
力矩～在力学中，为度量力使物体绕某点(矩心O)的转动的效 应，将力的大小(F)与矩心到力的作用线的距离(力臂d)的 乘积Fd冠以适当的正负号所得的物理量称为力F对O点之矩， 简称力矩。 记作M0(F)，即∶ M0(F)=±F· d 正负～力对点之矩是一个代数量，其正负号的规定为：力使物 体绕矩心逆时针转动时，取正号；力使物体绕矩心顺时针转 动时，取负号。 单位～牛顿米(N· m)或千牛顿米(kN· m) ， 1kN· m=1000N· m
②力偶对其作用面内任意一点之矩，恒等于其力偶矩， 而与矩心的位置无关。
③力偶的等效性～凡是三要素相同的力偶，彼此等效，
可以相互代替。
对任意一点O，力偶矩为 M(F,F )=Mo(F)+Mo(F )= –F(d+l)+Fl= –Fd
力偶等效性证明
平面力偶系平衡问题的求解
力偶两推论～ ①力偶对物体的转动效应与它在作用面内的位置无关， 力偶可以在其作用面内任意移动或转动，而不改变 它对刚体的效应。 ②在保持力偶矩的大小和转向不变的情况下，可同时 改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变它 对刚体的效应。 注意～力偶的等效性及其推论，只适用于刚体，不适 用于变形体。
《理论力学》第13章教案
四川理工学院理论力学教课设计讲课教师课程名称课程种类课程教课梁智权开课系讲课系理论力学专业及班级必修课（√）选修课（）机电工程系开课学期0708 学年第 1 学期机械设计及自动化专业20XX 级 01班机械设计及自动化专业20XX 级 02班机械设计及自动化专业20XX 级 10班机械设计及自动化专业20XX 级 11 班查核方式考试（√）考察（）总学时数学时分派教材名称参照书目章节名称讲课类型教课目标及要求72学分数 4.5理论课 70学时；实践课 2 学时作者第一版社及第一版时间理论力学哈尔滨工业大学高等教育第一版社理论力学教研室20XX 年第 6 版书名作者第一版社及第一版时间理论力学范钦珊，刘燕，王琪清华大学第一版社20XX 年第 1 版理论力学洪嘉振，杨长俊高等教育第一版社20XX 年第 2 版理论力学，上册，中册清华大学高等教育第一版社理论力学教研组1994 年第 4 版第 13章动能定理13-1力的功 / 13-2质点和质点系的动能13-3动能定理 / 13-4功率·功率方程·机械效率13-5权力场·势能·机械能守恒定律13-6广泛定理的综合应用举例理论课（√）；实验课（）教课时数6（1）能够娴熟计算重力的功、弹性力的功、定轴转动刚体上作使劲的功、平面运动刚体上力系的功。
（2）掌握计算质点的动能和质点系的动能（平移刚体的动能、定轴转动刚体的动能、平面运动刚体的动能）的方法。
（3）掌握质点的动能定理和质点系的动能定理，能够应用动能定理解题，熟习应用动能定理解题的步骤。
（4）掌握功率的观点，能够应用功率方程计算机械效率。
（5）能够计算重力场中的势能、弹性力场中的势能、万有引力场中的势能。
（6）掌握机械能守恒定律及应用机械能守恒定律解题的步骤。
（7）能够联合运用质点和质点系的广泛定理（动量定理、动量矩定理和动能定理）求解比较复杂的问题。
教课内容概要能量变换与功之间的关系是自然界中各样形式运动的广泛规律，在机械运动中则表现为动能定理。
力偶矩 平面力偶系的简化
讨论平面力偶系的简化问题 设平面力偶系由n个力偶组成，其力偶矩分别为 M1 ，M2 ， ，Mn
图2-7 平面力偶系的简化
（1）保持各力偶矩不变，同时调整其力与力偶臂，使其有共同的臂长d。
由于 M i Fidi Fpid ，所以有
Fpi
Fi
di d
(i 1，2 ， ，n)
（2）将各力偶在平面内移动和转动，使各对力的作用线分别共线。
（3）求各共线力系的代数和，每个共线力系得一合力，而这两个合力
等值、反向，相距为d，构成一个合力偶，其力偶矩为
n
n
M FRd Fpid Mi
i 1
i 1
即平面力偶系可以用一个力偶等效代替， 其力偶矩为原来各力偶矩的代数和。
图 2-8
理论力学
力ห้องสมุดไป่ตู้不能与单个力等效，也不能与单个力相平衡
力和力偶是静力学中的两个基本要素。
根据力偶的特性，可以得到一个重要的结论，即同平面内力 偶的等效定理：
同一平面内的两个力偶等效的唯一条件是其力偶矩相等。
该定理等价于下列事实： （1）力偶矩是力偶作用的唯一量度。 （2）在力偶矩不变的前提下，可以在作用面内任意移动和转动力偶。 （3）在力偶矩不变的前提下，可以同时改变力偶中力的大小和力
理论力学
力偶矩 平面力偶系的简化
力偶是由一对等值、反向、不共线的平行力组成的特殊力系。 它对物体的作用效果是使物体转动。
力偶中的两个力对其作用面内某点之矩的代数和，称为该力
偶的力偶矩，记为
，M简(F记，为F )M。
如图2-6所示：
F 与F 组成一个力偶，两力之间的距离d，称为力偶臂。
在力偶作用面内任选一点O，设点O到力 F 的距离为a； 按定义，该力偶的力偶距 M (F ，F) 为
理论力学-力偶理论
力偶的力矩计算公式
力偶的力矩可以通过力偶力的大小和力偶臂的长度来计算。力偶力和力偶臂之间的乘积可以表示力偶的 力矩。力偶力矩的计算公式为力偶力乘以力偶臂长。
力偶在力矩运算中的应用
力偶在力矩运算中有广泛的应用，可以帮助我们计算物体的平衡条件和力的 效果。通过计算力偶的力矩，我们可以确定物体在平衡时所受到的外力。
几何矢量法和辛普森法解力偶 问题
几何矢量法和辛普森法是解决力偶问题的两种常用方法。几何矢量法利用几 何图形和矢量知识进行分析，而辛普森法则通过数值计算来解决力偶问题。
力偶主要应用领域
力偶在工程力学、机械设计、结构分析等领域有着广泛的应用。它可以帮助我们分析和计算力的效果， 从而实现结构的稳定和均衡。
总结与回顾
力偶是由两个同大小、方向相反的力组成的力对，在力学中有着重要的应用。通过理解力偶的特点、表 示方法和力矩计算公式，我们可以更好地分析和解决力偶两个大小相等、方向相反的力组成的力对。力偶的力 矩计算公式可以帮助我们解决许多力矩运算中的问题。
力偶的概念介绍
力偶是由两个同大小、涉及相反的力构成的，它们的作用线并不重叠的力对。 力偶可以用于描述一对作用在线上的力的效果。
力偶的特点与表示方法
力偶的特点是力的大小相等、方向相反；力的作用线不重合。力偶可以通过表示法来描述，如表示为向 量形式或者坐标形式。这些表示方法能够帮助我们更好地分析和计算力偶。
理论力学课件 力矩、主矩、力的作用量、力偶
力对轴之矩正负由右手法则确定，从轴正向看，逆时针为正，顺时针为负。
FxFyr三、平面上力对点的矩平面上力对点的矩为代数量。
()()kF r F M xy xy O v v vv ⋅×=例1-9 已知α，AO =h ，OC =r ，求水平力F 对C 点的矩。
()ααcos sin Fh Fr r F h F F M y x C −=+−=vxFyF 解F v分解力αcos F F x =αsin F F y =板式的、均匀的，且沿翁。
绘出不倒翁的重心大体在什么范围才能保证不倒翁真正不倒？门轴略内倾。
这种柜子可以自动关门，定性说明其原因。
思考题1、如图所示的楔形块A、B自重不计，接触处光滑，则A、B的平衡情况是怎样的？不平衡2、根据力的可传性,可以将力F沿其作用线移至那里?A，B二、力偶的特征量0v v v v =′+=F F F V F r F r r OB OA v v v v v ×=×−=)()(F r F r OB OA v v v v −×+×=力偶的主矢为对任意点主矩恒等于矢量积，而与矩心的位置无关。
F r v v ×主矩与矩心无关,力偶只能使刚体转动主矢为零.力偶不能使刚体移动力偶对任意点O 的主矩为F r F r M OB OA O v v v v v ′×+×=力偶矩矢量是自由矢量（大小、方向）4.01+×−×=F F F m。
同济版_理论力学_王斌耀(同济理力最好老师)_第3章 力矩理论与 力偶理论
z
Fz B β
y=180mm
F Fy
A
Fx α Fxy
y
z=200mm
0 x x=0, =0, y=180mm, =180mm, z=200mm. =200mm.
§3-2力偶的概念
一、力偶与力偶矩
大小相等、方向相反、作用线相互平行的两个力所 大小相等、方向相反、 组成的力系称为力偶。 组成的力系称为力偶。
M O ( FR ) = M O ( F1 ) + M O( F2 ) = ∑ M O ( Fi )
合力对点(或轴) 合力对点(或轴)之矩等于各分力对 同点(或同轴)之矩的矢量和(代数和) 同点(或同轴)之矩的矢量和(代数和)。
z A
F1 F2
y
FR
r × FR = ∑ r × Fi
i =1
O
n
r
x
1、平面力偶
F
F’
1、平面力偶
F’ F
F’ F
F
A
d
rBA
B
F′
+ _
M=±Fd (Nm) ±
力偶作用平面
d：力偶臂
2、空间力偶 力偶的矢量表示
M A = rBA × F = M B = rAB × F
'
M
右手法 则为正
B
F
rBA
A
F’
力偶矩矢量垂直于力偶所在平面,其大小和方向与取矩点无关 力偶矩矢量垂直于力偶所在平面 其大小和方向与取矩点无关. 其大小和方向与取矩点无关
P力作用点的矢径 力作用点的矢径
r = xi + yj + zk ,
x = 5cm, y = 6cm, z = 0
理论力学-力偶系PPT课件
扭摆实验
扭摆实验是一种用于研究力矩和角动量守恒的经典实验。在实验 中，通过测量不同质量的物体在相同力矩作用下的转动周期，可 以验证力矩与转动惯量的关系，从而进一步理解力偶系的概念。
扭摆实验中，力偶系的作用是提供稳定的力矩，使得物体能够进 行稳定的摆动。通过调整力矩的大小，可以观察到摆动周期的变 化，从而验证力矩对转动惯量的影响。
车辆动力学中的力偶系
总结词
影响车辆性能的关键因素
详细描述
在车辆动力学中，力偶系对车辆的性 能产生重要影响。例如，在汽车悬挂 系统和转向系统中，力偶系的设计直 接关系到车辆的操控性能、行驶稳定 性以及乘坐舒适性。
04
力偶系与刚体平衡
刚体的平衡条件
刚体的平衡条件是合外力为零，即所有外力的矢量 和为零。
06
力偶系理论的发展与展望
力偶系理论的现代发展
计算机技术的引入
利用计算机进行数值模拟和计算，提高了力偶系理 论的计算效率和精度。
非线性力偶系的研究
随着对非线性现象的深入了解，非线性力偶系的研 究逐渐成为热点。
多物理场耦合的力偶系研究
考虑多个物理场之间的相互作用，研究多物理场耦 合下的力偶系特性。
03
力偶系在工程中的应用
机械系统中的力偶系
总结词
重要组成部分
详细描述
在机械系统中，力偶系是实现各种运 动和操作的关键因素。例如，在齿轮 传动、链传动等机械系统中，力偶系 的作用是实现扭矩的传递和转换。
建筑结构中的力偶系
总结词
稳定性与安全性的保障
详细描述
在建筑结构中，力偶系是维持结构稳定性和安全性的重要因 素。通过合理设计梁、柱等结构件的力偶系，可以确保建筑 在承受各种载荷时仍能保持稳定。
力偶的概念及性质
刚体静力分析基础\力偶的概念及性质
力偶的概念及性质
1.1 力偶矩的概念
由大小相等、方向相反且不共线的两个平行力组成的力系称为 力偶，记为（F，F′）。组成力偶的两力之间的距离称为力偶臂， 力偶所在的平面称为力偶的作用面 。
汽车司机用双手转动方向盘
钳工用丝锥攻螺纹
因为力偶对物体不产生移动效应，所以力偶没有合力。一个力
由于力偶使物体转动的效应，完全由力偶矩的大小、转向和力 偶的作用平面决定，所以这三者称为力偶的三要素。
力偶矩的单位与力矩的单位相同，即为N·m或kN·m。
目录
刚体静力分析基础\力偶的概念及性质
1.3 力偶的性质
如果在同一平面内的两个力偶的力偶矩彼此相等，那么它们对 刚体的转动效应完全相同，即两力偶等效。这就是同一平面内力偶 的等效定理。依据该定理，可以看出力偶具有如下性质：
偶既不能用一个力来代替，也不能和一个力平衡。因此，力偶是表
示物体间相互机械作用的另一个基本量。
目录
刚体静力分析基础\力偶的概念及性质
1.2 力偶矩及其计算
力偶是由两个力组成的特殊力 系，它对物体只产生转动效应。这 种转动效应如何度量呢？
设有力偶（F，F′），其力偶臂为d（如图）。力偶对平面内任 意一点O之矩等于力偶的两个力对点O(F)＋ MO(F )＝－F x＋F (x+d)＝Fd 由于矩心O是任意选取的，可以看出，力偶的转动效应只取决 于力的大小和力偶臂的长短，与矩心的位置无关。于是我们用力偶 的任一力的大小与力偶臂的乘积并冠以正负号作为力偶使物体转动 效应的度量，称为力偶矩，用M表示。即
M ＝±Fd
目录
刚体静力分析基础\力偶的概念及性质 式中的正负号表示力偶的转向，通常规定力偶使物体逆时针方向转 动时为正，反之为负。
力偶矩
力偶矩力偶矩简称为“力偶的力矩”，亦称“力偶的转矩”。
力偶是两个相等的平行力，它们的合力矩等于平行力中的一个力与平行力之间距离（称力偶臂）的乘积，称作“力偶矩”，力偶矩与转动轴的位置无关。
目录1力偶矩的定义2基本性质3力偶矩特性4计算方法1力偶矩的定义大小相等,方向相反.不在同一作用线上的一对平行力称为“力偶”；力偶所在的平面称为“力偶作用面”；平行的两力的作用线间的距离称为“力偶臂”；平行力中的一个力与力偶臂的乘积称作“力偶矩”。
2基本性质力偶矩的单位和力矩一样，常用“牛×米(千克×米方/秒方)”表示；力偶矩是矢量，其方向和组成力偶的两个力的方向间的关系，遵从右手螺旋法则。
对于有固定轴的物体，在力偶的作用下，物体将绕固定轴转动；没有固定轴的物体，在力偶的作用下物体将绕通过质心的轴转动。
3力偶矩特性1.力偶在力偶作用面任意一点的合力均为零；因此它不会改变物体的平动状态。
2.通常，力偶只能用力偶来平衡；但在定轴转动中，可用圆周力（即力矩）来平衡。
3.保持力偶矩的大小及转向不变，同时改变力偶中力的大小及力偶臂的长短不会改变其对刚体的作用。
4.空间合力偶矩为各力偶矩的矢量和；平面合力偶矩等于各分力偶矩的代数。
力偶矩是由两不同作用线上之力产生，两力大小相等方向相反，力偶矩会产生纯旋转效果。
力偶矩为自由向量，因此不管作用于物体任何地方会产生相同效果。
4计算方法计算两力偶产生之力矩可对任意点取力矩合，但为了方便常取力作用在线之一点以消除一力之力矩。
在三维系统中，力偶矩常以向量法计算，M=r F，其中r 为一力上任一点至另一力上任一点之位置向量。
力偶矩之合成可由力偶系中之向量和求得。
由理论力学可知N=MωN单位为KW ω单位为r/min所以得M=9549*N/n (N.M。
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习题: P.29 1-15、1-16
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19
谢谢大家!
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20
理论力学
主讲
广东海洋大学寸金学院
庞雪飞
2020/4/30
1
1.3 力偶与力偶矩
F ＝－F′
F' F
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2
F ＝－F′
■力偶的定义
F
两个大小相等、
作用线不重合的反
向平行力组成的力
系称为力偶
F′
(couple)。
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3
力偶中两个力的作
用线所确定的平面称 为力偶的作用面
(acting plane of a couple)，二力作用线 之间的垂直距离d称 为力偶臂(couple arm)。
x
黑版手书计算上例。
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练习
如图汽缸盖上4个相同的 孔，每个孔的切削力偶矩大 小为M1=M2=M3=M4=15 N.m。
求工件的总切削力偶矩
解：根据 M Mi 可得
M2
M1
M4
M3
M M 1 M 2 M 3 M 4
415 60N .m 负号表示合力偶矩的转向为顺时针方向
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8
d1 M=F0×d1=F×d
平面问题
由于力偶的作用面总是与力系所在的平面 重合，力偶矩由矢量变成代数量
M = Fd
正负号用来区别 转向，通常规定: 逆时针为正 顺时针为负
+–
这里的逆时针或顺时针转向是指物体在力偶的作用下转
动202的0/4/方30 向。
10
■力偶是最简单的力系之一
5
MO = MO (F ) MO (F ) = rOA F rOB F = (rOA rOB ) F = r F
F'
B
r
A
F
Acting plane
of the couple
rOB
rOA
M
力偶矩矢
O
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6
实际上更一般的有:当任意一个力系的主矢为 零时，其主矩均与矩心的位置无关。
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例1 长方体由两个边长为a的正方体组成，如图 所示，试求力偶(F，F')的力偶矩矢量M。
z
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F′
F
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
y
14
解：
3
3
3
Fx = 3 F ,
Fy =
F, 3
Fz =
F 3
故
F 3 F(i j k)
3
z
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F′
F
x
y
15
z F′ r F
F 3 F(i j k)
3
y
x
设由F'的作用点至F 的作用点的矢径为r, 则有
r a(i k)
因此
M = r F = 3 Fa(i + k)
3
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16
例2 长方形薄板ABCD受力如图所示，已知b，q，若 M=qb2，F1=qb，F2=qb/2，试求力系的主矢和对点B 的主矩。
y
D
C
F2
M
F1
4b
A
B
3b
Pi
Fi
rAi
rBi
A
rAB
B
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7
■力偶矩矢量
力偶矩矢量(couple-vector)，用来量度力偶对 刚体的作用效果，定义为
M = rF
◆力偶矩矢的大小为
M r F Frsin(r,F) Fd
◆力偶矩矢的方向垂直于力偶的作用面，指 向按右手定则与力偶的转向一致。
力偶矩矢量是自由矢量,只有大小和方向 两个要素。
F d
F′
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Acting plane of the couple
4
■力偶的主矢和主矩
◆ 力偶的主矢 因为力偶（F，F‘）中F ＝－F’,故FR =
F+F‘= 0, 即力偶的主矢恒等于零。
◆ 力偶对任意点O的主矩 力偶对任意点之主矩恒等于矢量积r×F,
而与矩心的位置无关。
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3.只要保持力偶矩大小不变，可任意同时 改变 力偶中力的大小和力偶臂的长短。
作用于刚体的力偶等效替换的条件是其力 偶矩矢量保持不变。
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M
M
M
问：作用在AC杆上的力偶M能否移动到BC杆上去？
C
A
M
M？
B
分析：不能。力偶
只能在同一刚体上的同 一个平面内移动。因为 三角架不是一个刚体， 所以不能。
◆尽管力偶的主矢为零，但其二力作用线不 重合，根据二力平衡定理，它不可能是一个 平衡力系；
◆步义因相简为矛化力盾为偶。一的个主力矢，量否FR则=F0R，≠ 它0，也与不力可偶能的进一定
因此，与单个的力类似，力偶也是最简 单的力系之一。
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■力偶等效变换的性质
1.力偶可在其作用面内任意转动和移动； 2.力偶的作用面可任意平行移动；