高中数学破题致胜微方法(求函数解析式)：12.利用周期性求函数解析式 Word版含解析
高中求函数解析式方法
高中求函数解析式方法
高中求函数解析式的方法有以下几种：
1. 列方程法：根据已知条件设置等式，然后解方程得到函数解析式。
这种方法适用于一些简单的函数问题，如线性函数、二次函数等。
2. 求导法：如果已知函数的导函数和一个点上的函数值，可以通过求导得到函数解析式。
这种方法适用于一些需要通过求导来确定函数解析式的问题，如最小值、最大值等。
3. 已知特殊点法：如果已知函数经过某个特殊点，可以通过该特殊点的信息来确定函数解析式。
例如，如果已知函数经过原点，则可以确定函数的截距。
4. 已知导函数法：如果已知函数的导函数，可以通过积分来确定函数解析式。
这种方法适用于一些需要通过积分来确定函数解析式的问题，如定积分、不定积分等。
总之，求函数解析式的方法取决于已知条件和问题的性质，需要根据具体情况选择合适的方法。
高中数学求函数解析式
高中数学求函数解析式【原创实用版】目录1.函数解析式的概念2.函数解析式的求法3.高中数学中的函数类型4.如何求解函数解析式5.总结正文一、函数解析式的概念函数解析式是指用一个或多个字母表示函数的公式。
在高中数学中，函数解析式通常用来描述函数和变量之间的关系。
例如，我们常见的一次函数 y=2x+1，这里的 y 和 x 就是函数的解析式。
解析式是函数的一种表达形式，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和规律。
二、函数解析式的求法求函数解析式通常有以下几个步骤：1.确定函数的类型：首先要判断给定的函数是一次函数、二次函数、指数函数、对数函数还是其他类型的函数。
2.确定函数的系数：对于一次函数 y=kx+b，k 是斜率，b 是截距。
对于二次函数 y=ax+bx+c，a、b、c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
3.利用函数的性质求解：根据函数的类型和系数，可以利用相应的性质和公式求解函数的解析式。
例如，对于一次函数，我们可以通过给定的点求解斜率和截距；对于二次函数，我们可以通过给定的点求解二次项系数、一次项系数和常数项。
三、高中数学中的函数类型在高中数学中，常见的函数类型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、反比例函数等。
每种类型的函数都有其独特的性质和求解方法。
例如，一次函数的解析式形式为 y=kx+b，二次函数的解析式形式为y=ax+bx+c。
四、如何求解函数解析式求解函数解析式的方法因函数类型而异。
对于一次函数，我们可以通过给定的点求解斜率和截距；对于二次函数，我们可以通过给定的点求解二次项系数、一次项系数和常数项；对于指数函数和对数函数，我们可以利用它们的性质和公式求解。
五、总结在高中数学中，函数解析式是描述函数和变量之间关系的重要工具。
求解函数解析式需要我们熟练掌握各种函数类型的性质和求解方法。
高考数学复习点拨 求函数解析式的几种方法.doc
求函数解析式的几种方法求()f x 解析式方法多，难度大．只有正确求出函数解析式才能进一步研究函数性质，因此本文介绍几种求()f x 解析式的方法，供同学们参考．1．配凑法例１ 已知2(1)2f x x -=+，求()f x ．解：22(1)2(1)2(1)3f x x x x -=+=-+-+，即2()23f x x x =++． 2．换元法例2 若2(1)21f x x +=+，求()f x ．解：令1t x =+，则1x t =-，22()2(1)1243f t t t t ∴=-+=-+．2()243f x x x ∴=-+． 3．解方程组法若已知()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 是未知量外，还出现其他未知量（如()f x -，1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭等）．可以利用相互代换得到方程组，消去()f x -或1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而得到()f x 的解析式．例３ 若2()()1f x f x x --=+，求()f x ．解：2()()1f x f x x --=+，用x -去替换式中的x ，得2()()1f x f x x --=-+，即有2()()12()()1f x f x x f x f x x --=+⎧⎨--=-+⎩，， 解方程组消去()f x -，得 ()13x f x =+． 4．待定系数法当题设给出函数特征，求函数的解析式时，可用此种方法，如函数为一次函数，可设()(0)f x ax b a =+≠，再利用恒等原理确定其系数．例4 设方程210x x -+=的两根为αβ，，试求满足()f αβ=，()f βα=，(1)1f = 的二次函数()f x 的解析式．解：由已知条件，可得1αβ+=，1αβ=，显然αβ≠，即0αβ-≠．设二次函数2()(1)f x a x x bx c =-+++． αβ，为方程210x x -+=的两根，210αα∴-+=且210ββ-+=．222()(1)()(1)(1)(111)1f a b c f a b c f a b c ααααβββββα⎧=-+++=⎪=-+++=⎨⎪=-+++=⎩，，， 可得1b c b c a b c αββα+=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，，， 故111a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，，22()(1)122f x x x x x x ∴=-+-+=-+．5．特值法此法适用于所给的关系式中，无论自变量在定义域内取何值，关系式均成立，通过取某些特殊值代入题设的等式中，有时能使问题具体化、简单化，顺利找出规律，求出解析式．例5 已知(0)1f =，()()(21)()f p q f p q p q p q -=--+∈R ，，求()f x ． 解法1：令0p =，得(0)(0)(1)f q f q q -=--+，即()1(1)f q q q -=--+． 又令q x -=，代入上式，得2()1()(1)1f x x x x x =--+=++， 2()1f x x x ∴=++．解法2：令p q =，得(0)()(1)f f p p p =-+，即2()1(1)1f p p p p p =++=++， 2()1f x x x ∴=++．。
高中数学破题致胜微方法(求函数解析式)：1.代入法求函数解析式 含解析
代入法求函数解析式求复合函数解析式时，我们常用代入法进行求解，今天我们通过几个例题，深入理解一下此类方法，这种方法比较直观，希望同学们能够掌握，且注意细节，在运算中避免错误。
先看例题：例：已知函数()()24,sinf x xg x x==，求()f g x⎡⎤⎣⎦和()g f x⎡⎤⎣⎦的解析式.解：将f(x）中的x都替换为sin x代入得：()()2244sinf g x g x x==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦将g(x)中的x都替换为4x2代入得:()()2sin sin(4)g f x f x x==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦注意：这两个函数是有区别的,不恒等.所以运算时要注意先后顺序.一般规律：代入法求复合函数解析式，要注意复合的顺序，区别()f g x ⎡⎤⎣⎦与()g f x ⎡⎤⎣⎦如果有分段函数，要注意分段函数的变量取值范围例:已知1(0)(),0(0)x f x x ≥⎧=⎨<⎩求()(1)(2)()0f x f x g x x x -+->=的解析式 解:先分别求出f (x -1)，和f (x -2)的函数解析式1(101)(1)0(101)x x f x x x -≥⇔≥⎧-=⎨-<⇔<⎩同理()1(202)20(202)x x f x x x -≥⇔≥⎧-=⎨-<⇔<⎩ 注意：将x -1替换x 时，自变量的取值范围也要随之改变1(1)(1)0(1)x f x x ≥⎧-=⎨<⎩ 同理()1(2)20(2)x f x x ≥⎧-=⎨<⎩ 将所求出来的函数，再代入g （x )特别注意函数的分类标准，分为3个区间分别考虑。
所以，000(10)101()(12)112(2)x x g x x xx x x x +⎧=>>⎪⎪+⎪==≤<⎨⎪+⎪=≥⎪⎩整理得：0(01)1()(12)2(2)x g x x xx x⎧⎪<<⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩总结：1.用代入法求复合函数的解析式,要注意复合的顺序。
求函数解析式的方法和例题
求函数解析式的方法和例题在数学中，我们经常会遇到需要求解函数解析式的问题。
函数解析式是描述函数规律的数学式子，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
那么，如何求函数的解析式呢？接下来，我们将介绍一些常见的方法和例题，希望能帮助你更好地理解和掌握这一内容。
一、根据函数图像求解析式。
对于一些简单的函数，我们可以通过观察其图像来推导出函数的解析式。
例如，对于一次函数y=kx+b，我们可以根据函数图像上的两个点来确定k和b的值，进而得到函数的解析式。
同样地，对于二次函数、指数函数等，也可以通过观察函数图像来求解析式。
例题1，已知一次函数的图像经过点（1，3）和（2，5），求函数的解析式。
解：设函数为y=kx+b，代入已知的两个点得到方程组：3=k1+b。
5=k2+b。
解方程组得到k=2，b=1，因此函数的解析式为y=2x+1。
二、根据函数性质求解析式。
有些函数具有特定的性质，我们可以利用这些性质来求解析式。
例如，对于指数函数y=a^x，我们知道指数函数经过点（0,1），因此可以利用这一性质求解析式。
又如，对于对数函数y=loga(x)，我们知道对数函数的定义域为正实数，可以利用这一性质来确定函数的解析式。
例题2，已知指数函数经过点（1,2），求函数的解析式。
解，设函数为y=a^x，代入已知的点（1,2）得到方程a^1=2，解得a=2，因此函数的解析式为y=2^x。
三、根据函数的变化规律求解析式。
有些函数的变化规律是已知的，我们可以根据这一规律来求解析式。
例如，对于等差数列an=a1+(n-1)d，我们知道等差数列的通项公式是已知的，可以直接利用这一公式求解析式。
同样地，对于等比数列、等差数列等，也可以根据其变化规律来求解析式。
例题3，已知等差数列的首项为3，公差为4，求第n项的表达式。
解，根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入已知的首项和公差得到an=3+(n-1)4，化简得到an=4n-1，因此第n项的表达式为4n-1。
高中生的教育：6种方法求函数解析式，高二之前必须学会
⾼中⽣的教育：6种⽅法求函数解析式，⾼⼆之前必须学会⾼中数学中，同学们的最⼤难点就是函数的学习。
在函数的考察中，函数解析式是⼀个最基本的点，所以同学们⼀定要把基础打牢，不然在之后的函数学习中，很难学好。
我建议同学们在⾼⼆之前⼀定要掌握好6种求函数解析式的⽅法，这对同学们学习⾼中数学的函数有⾮常⼤的帮助！函数解析式时函数的最关键的点，在考试中国年也是题题必考。
让同学们求函数解析式，往往是考察同学们的第⼀步，如果连解析式都求不正确，那么之后的问题是根本没有办法答对的。
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希望这些能帮助各位同学更好的学习。
函数解析式是学习函数的基础，同学们⼀定要越早掌握越好，不然到了后⾯学习函数的各种性质就会很吃⼒了。
为了帮助同学们更好的学习⾼中数学中的函数问题，我把求函数解析式的6种⽅法在这⾥进⾏简要分析，希望同学们能够通过相关概念和例题，把函数解析式这个基本问题解决清楚。
⼀、配凑法。
在⽤配凑法求函数解析式时，会常常⽤到完全平⽅公式，把⼀个函数式中的某⼀部分⾛成⼀个整体，并且将另⼀端的函数式做相应的整理，相对来说是⽐较简单的求函数解析式的⽅法了。
例如：⼆、换元法。
换元法释同学们在求函数式的时候经常⽤到的⼀种⽅法，同学们只要能够找到对的函数式做“元”，就很容易解答了，当然了，这个“元”并不难找，只要稍做分析就能发现。
例如：三、待定系数法。
待定系数法在求函数解析式中也不算是⼀个难点，只要同学们先设出函数解析式，再带⼊求解就可以了。
例如：四、⽅程组法。
相对于以上三种⽅法来说，⽅程组法相对会复杂⼀些，因为这样的解析式往往是抽象函数，需要同学们通过变换变量来构造⼀个⽅程，组成⽅程组，在利⽤消元法进⾏求解。
例如：解⽅程组法：五、赋值法。
运⽤赋值法求函数解析式，⼀般都是抽象函数，只需要同学们⽤特殊值来去掉⼀个未知数，就可以得出⼀个函数的解析式。
高中数学破题致胜微方法(求函数解析式)：2.方程组法求函数解析式 含解析
方程组法求函数解析式求解函数解析式，是研究函数中的一个重要话题。
求解解析式的方法也很多，今天我们就来学易方程组法求函数解析式,这种方法很好理解，求解也并不复杂，要特别注意的是使用条件，以及使用过程中关于函数定义域的细节处理.先看例题例：已知f （x )满足2lg ()()(1),11,f x f x x x -<-<－＝＋求f (x ) 由已知，我们知道要求的是f (x ）的解析式但题目中出现了f (-x ),我们可以通过构造方程组的方法，消去f （-x )进而求得f （x )的解析式因为11x -<<，所以11x -<-<所以用-x 代替x有2()()lg(1)f x f x x --=-+由已知2lg ()((1))f x f x x -－＝＋整理为：2lg ()(1)()f x f x x -＝－＋联立求解可得：4()2lg(1)()lg(1)f x x f x x -+-=-+整理可得:21()lg(1)lg(1),(1,1)33f x x x x =+-∈-＋一般规律：已知关于()1()f x f x与或()()f x f x 与－的表达式可根据已知条件，再构造出另外一个等式组成方程组通过解方程，求解f (x ）的解析式练：设函数f (x )满足21()3f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,求f （x )的解析式 根据上一题的思路，我们把x 用1x替换 则可得132+()f f x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭由已知21()3f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得： 12()4()6f f x x x+= 两式相减得:33()6f x x x=- , 整理得:1()2 (0)f x x x x=-≠ 注意:在运算时要注意x 的取值范围。
总结:1.明确自变量互为相反数，或互为倒数的式子可以考虑用构造方程的方法求解析式.2.通过函数自身的特点，构造方程组,进而求解。
高中数学破题致胜微方法(直线与双曲线的位置关系)：12.双曲线的焦点弦长公式推导(一)
今天我们介绍双曲线的焦点弦。
如果过双曲线焦点的直线与该双曲线相交于两点，那么这两个交点间的线段就叫做双曲线的焦点弦。
关于直线与双曲线相交求弦长，通用方法是将直线方程代入双曲线方程，消元化为一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。
但是对于过焦点的弦长计算比较特殊，利用双曲线的第一定义推导出双曲线的焦点弦长公式，在相关计算中就更为简捷。
先看例题：例：设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，其中两焦点坐标为21(),,()0,0F c F c －，经过右焦点的直线交双曲线于A 、B 两点，求弦长|AB |。
解：（1）当弦AB 所在直线的斜率k 存在时, 设直线AB 为y = k ( x- c ) ,双曲线方程22221x y a b-=可化为2222220b x a y a b --=……①， 将直线y = k ( x- c ) 代入①整理得，()22222222222()0a k b x a ck x a c k b -++-+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，22122222,a ck x x a k b +=- 当b k a>时, 弦AB 的两个端点同在右支曲线上(如图1) , 于是 ∴222212122222(1)||||||()()()2ab k AB AF BF ex a ex a e x x a a k b+=+=-+-=+-=-，图1当0b k a≤<时, 弦AB 的两个端点在左右两支曲线上(如图2) , 于是图2222221122222(1)||||||()()2()ab k AB BF AF a ex ex a a e x x b a k+=-=---=-+=- （2）当弦AB 所在直线的斜率k 不存在时, 弦AB 与x 轴垂直,222||2()a b AB c e c a=-= 当弦A B 过左焦点时,其结论与过右焦点是相同的.若直线l 的倾斜角为θ，则有：22222|cos |ab AB a c θ=-……焦点弦长公式整理：设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，其中两焦点坐标为21(),,()0,0F c F c －，经过右焦点的直线且倾斜角为θ交双曲线于A 、B 两点，则有：22222|cos |ab AB a c θ=-……焦点弦长公式 特殊情形；倾斜角为=90θ，即为双曲线的通径，22=b AB a。
求函数解析式的方法
求函数解析式的方法函数解析式是描述函数规律的数学表达式，它可以帮助我们更深入地理解函数的性质和特点。
在数学学习中，求函数解析式是一个常见的问题，下面将介绍几种方法来求函数解析式。
一、根据函数图像求解析式。
如果已知函数的图像，我们可以通过观察图像的特点来求解析式。
首先，我们可以根据图像的对称性来确定函数的奇偶性，进而确定函数中是否含有偶函数项或奇函数项。
其次，我们可以通过观察图像的零点、极值点和拐点来确定函数的根、极值和拐点的坐标，从而得到函数的具体形式。
最后，我们可以根据图像的增减性和凹凸性来确定函数的增减区间和凹凸区间，进而得到函数的解析式。
二、根据函数性质求解析式。
除了根据函数图像求解析式外，我们还可以根据函数的性质来求解析式。
例如，对于一些特殊的函数，我们可以利用函数的定义和性质来求解析式。
比如，对于指数函数和对数函数，我们可以利用指数和对数的性质来求解析式；对于三角函数，我们可以利用三角函数的周期性和对称性来求解析式；对于反三角函数，我们可以利用反三角函数的定义和性质来求解析式。
通过对函数性质的深入理解，我们可以更加灵活地求解析式。
三、根据函数的已知条件求解析式。
在实际问题中，我们经常遇到需要求解析式的情况。
例如，已知函数过某点、在某点处的导数等条件，我们可以利用这些已知条件来求解析式。
在这种情况下，我们可以利用函数的定义和导数的性质来建立方程组，进而求解析式。
通过分析已知条件，我们可以逐步确定函数的形式，最终得到函数的解析式。
四、利用数学工具求解析式。
除了以上几种方法外，我们还可以利用数学工具来求解析式。
例如，利用泰勒级数展开、利用微积分的方法等。
这些方法虽然有一定的复杂性，但在一些特殊的情况下可以更快更准确地求解析式。
总结：求函数解析式的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解析式。
在实际问题中，我们经常需要根据已知条件来求解析式，这就需要我们对函数的性质和数学工具有深入的理解。
求函数解析式的几种方法及题型
求函数解析式的几种方法及题型【最新版3篇】篇1 目录一、引言二、求函数解析式的常用方法1.待定系数法2.交点式3.顶点式4.换元法5.归纳法三、求函数解析式的题型及应用1.已知三个点求解析式2.已知顶点求解析式3.已知交点求解析式4.抽象复杂函数问题四、结论篇1正文一、引言求函数解析式是高中数学中的常见问题，也是高考的常规题型之一。
解决这类问题需要掌握一定的方法和技巧。
本文将介绍几种常用的求函数解析式的方法及题型，帮助同学们更好地理解和应用这些方法。
二、求函数解析式的常用方法1.待定系数法待定系数法是一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式。
2.交点式交点式适用于已知抛物线与 x 轴的两个交点的情况。
通过已知的交点，我们可以得到两个方程，解这两个方程可以求得抛物线的解析式。
3.顶点式顶点式适用于已知抛物线的顶点的情况。
通过已知的顶点，我们可以得到一个方程，这个方程包含了抛物线的顶点坐标和抛物线的解析式中的待定系数。
解这个方程可以求得抛物线的解析式。
4.换元法换元法是一种通用的求函数解析式的方法，适用于各种复杂的函数问题。
通过换元，我们可以将复杂的函数问题转化为简单的函数问题，从而求得函数的解析式。
5.归纳法归纳法适用于具有一定规律的函数问题。
通过观察函数的规律，我们可以猜测函数的解析式，然后通过数学归纳法证明我们的猜测是正确的。
三、求函数解析式的题型及应用1.已知三个点求解析式已知函数上的三个点，我们可以通过待定系数法求解函数的解析式。
设定函数的形式为 y=ax^2+bx+c，然后将三个点的坐标代入方程，得到三个方程组成的线性方程组，解这个方程组可以求得函数的解析式。
2.已知顶点求解析式已知抛物线的顶点，我们可以通过顶点式求解抛物线的解析式。
高中数学：求函数解析式的10种常见方法
高中数学：求函数解析式的10种常见方法一、配凑法：给定$f(x+1)=x-3x+2$，求$f(x)$。
练1：设函数$f(x)=2x+3$，$g(x+2)=f(x)$，求$g(x)$。
练2：设$f(f(x))=x^2+2$，求$f(x)$。
练3：设$f(x+2)+f(x)=x^3+x$，求$f(x)$。
二、待定系数法：例1：如果反比例函数的图像经过点$(1,-2)$，那么这个反比例函数的解析式为$\frac{-2}{x-1}$，求$f(x)$。
练1：在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像上有一点P，它的横坐标$m$与纵坐标$n$是方程$t^2-4t-2=0$的两个根，求$k$。
练2：已知二次函数$f(x)$满足$f(x+1)=f(x)+2x+8$，求$f(x)$的解析式。
练3：已知$f(x-2)=2x-9x+13$，求$f(x)$。
三、换元（或代换）法：例1：已知函数$f(\frac{1-x}{1+x})=\frac{1+x}{1-x}$，求：（1）$f(2)$的值；（2）$f(x)$的表达式。
练1：已知$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$及$f(x^2)$；练2：已知$f(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{x}$，求$f(x+1)$．四、消去法：例1：设函数$f(x)$满足$f(x)+2f(\frac{1}{x})=x$，求$f(x)$．练1：已知$f(x)-2f(-x)=3x+2$，求$f(x)$．练2：已知定义在R上的函数$f(x)$满足$f(-x)+2f(x)=x+1$，求$f(x)$．练3：已知$f(x)+3f(-x)=2x+1$，求$f(x)$.练4：设函数$f(x)$满足$af(x)+bf(\frac{1}{x})=cx$（其中$a,b,c$均不为$0$，且$a\neq\pm b$），求$f(x)$．五、反函数法：例1：已知$f(a^2-x^2)=x$，求$f(x)$。
高考数学复习点拨 求函数解析式的几种常用方法
求函数解析式的几种常用方法解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，与所选取的字母无关，是函数与自变量之间建立联系的桥梁．由已知条件求函数的解析式，是函数这部分内容的一个基本问题，它不仅能深化函数概念，还常常联系着一些重要解题思维方法和技巧，也是高考常考的题型之一．因此，对这个问题进行探讨是很有必要的．本文介绍几种求函数解析式的常用方法，供同学们学习时参考．一、换元法如果已知复合函数f [g(x)]的表达式时，常用换元法求出函数f (x)的解析式．其解题基本思路是：先令g(x) = t ，从中求出x ，再代入f [g(x)]中即得f ( x)的解析式．例1 已知f (x +x 1) = x 2+21x，求函数f (x)的解析式． 解：t = x +x 1，又x 2+21x = (x +x 1)2－2，且| x +x 1|≥2，即| t |≥2． ∴f ( t) = t 2－2 (| t |≥2)，即f ( x) = x 2－2 (| x |≥2)． 评注：在用换元法解题时，一定要注意定义域的变化，注意前边的x 与后边的x 的区别与联系．所求的函数关系要注明定义域．二、特殊值法当所给函数含有两个不同的变量时，常用特殊值代入法求f (x)的解析式，其解题基本思路是：令变量取某些特殊值，从而减少未知元，求出f (x)的解析式．例2 已知f (x)是定义在R 上的函数，且f (0) = 1，f ( y －x) =f (y)－xe y x 3 ，求函数f (x)的解析式．解：取x = y ，则由已知等式，有f (0) =f (x)－xe x 4，∵f (0) = 1，∴f (x) = 1 + xe x 4．三、构建方程法通过赋予不同变量构造一组方程，通过解新旧方程的方法求出f (x)的解析式．例3 设f (x)满足2x f (x)－3f (x 1) = x 2+ 1 ①，求函数f (x) 的解析式． 解：用x 1替换①式中的x ，得2x 1f (x 1)－3f (x) =21x + 1，即2f (x 1)－3x f (x) =x1+ x ②， ①、②两个方程联立，消去f (x 1)得：f (x) =－53－52x －x 52－253x ． 四、待定系数法如果已知函数解析式的结构时，常用待定系数法求f ( x)的解析式，其解题基本思路是：先设出f ( x)的一般表达式，再根据已知条件确定出表达式中的参数即得f ( x)的解析式．例4 设f (x)是x 的二次函数，g(x) = 2x ·f (x)，且g(x + 1)－g(x) = 21+x ·x 2，求函数f (x)和g(x)的解析式．解：设f (x) = ax 2+ bx + c (a ≠0)，则g(x) = 2x ·(ax 2+ bx + c)． 由g(x + 1)－g(x) = 21+x ·x 2得：21+x ·[a (x + 1)2+ b(x + 1) + c]－2x ·(ax 2+ bx + c) = 21+x ·x 2， 即ax 2+ (4a + b)x + (2a + 2b + c) = 2x 2．这是关于x 的恒等式，比较系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=.022,04,2c b a b a a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-==.21,8,2c b a ∴f (x) = 2x 2－8x + 12 ，g(x) = 21+x ·(x 2－4x + 6)．。
求解析式的十种方法
高中函数解析式的十种方法在高中数学学习中，会遇到求函数解析式的一类题，这里是指已知)]([x g f 或)]([x f g ，求)(x f 或)(x g ，或已知)(x f 或)(x g ，求)]([x g f 或)]([x f g 等复合函数的解析式，这些问题是学生在学习中感到棘手的问题。
解决这些问题是否有一套有效的方法可循呢？回答是肯定的。
这类题在现行的高中数学教科书中几乎没有，但在一些二类教材如《目标测试》等书中有很多类似题，它与课本上的函数这一内容关系密切，并且具有一定的规律性，故就有一些有效的解题方法，根据本人的教学心得整理如下：一、定义法：例1：设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f=6)1(5)1(2++-+x x65)(2+-=∴x x x f例2：设21)]([++=x x x f f ，求)(x f .解：设xx x x x x f f ++=+++=++=111111121)]([ xx f +=∴11)(例3：设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .解：2)(2)1(1)1(2222-=∴-+=+=+x x f x x x x x x f 又x x x g x x x x xx x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+ 故2962)3()]([24623-+-=--=x x x x x x g f例4：设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.解：)2(17cos )]2[cos()(sin x x f x f -=-=ππx x x 17sin )172cos()1728cos(=-=-+=πππ.二、待定系数法：（主要用于二次函数）例5：已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .解：显然，)(x f 是一个一元二次函数。
求函数解析式的方法和例题
求函数解析式的方法和例题在数学学习中，我们经常会遇到需要求解函数解析式的问题。
函数解析式是描述函数规律的数学式子，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
那么，如何求函数解析式呢？接下来，我将介绍一些常见的方法和例题，希望能帮助大家更好地掌握这一内容。
一、常见的求函数解析式的方法。
1. 根据函数图像求解析式，当已知函数的图像时，我们可以通过观察图像的性质来推导函数解析式。
例如，对于一元一次函数y=kx＋b，我们可以根据函数的斜率k和截距b来确定函数解析式。
同样地，对于二次函数、指数函数、对数函数等，也可以通过观察图像的特点来求解析式。
2. 根据函数性质求解析式，有些函数具有特定的性质，我们可以利用这些性质来求解析式。
例如，对于奇偶函数、周期函数、对数函数等，我们可以根据其性质来确定函数解析式。
3. 根据已知条件求解析式，有时候，我们会遇到一些特定的条件，例如函数的零点、极值点、导数等，我们可以利用这些已知条件来求解析式。
通过建立方程组，我们可以求解未知的函数解析式。
二、求函数解析式的例题。
1. 已知一元一次函数的图像经过点（2，3），斜率为4，求函数解析式。
解，根据一元一次函数的一般形式y=kx＋b，我们可以利用已知的斜率和点的坐标来求解析式。
首先，斜率为4，即k=4；其次，函数经过点（2，3），代入x=2，y=3，得到3=4×2＋b，解得b=-5。
因此，函数解析式为y=4x-5。
2. 已知函数f(x)满足f(1)=2，f'(x)=3x^2，求函数f(x)的解析式。
解，根据已知条件f(1)=2，我们可以利用这一条件来求解析式。
由导数的定义可知，f'(x)=3x^2，对f(x)进行积分得到f(x)=x^3+C，其中C为积分常数。
代入f(1)=2，得到2=1+C，解得C=1。
因此，函数f(x)的解析式为f(x)=x^3+1。
通过以上例题，我们可以看到，求解函数解析式的关键在于利用已知条件和函数的性质来建立方程，进而求得未知的函数解析式。
求函数解析式的方法和例题
求函数解析式的方法和例题一、常见的求函数解析式的方法：1. 图像法，通过观察函数的图像特点，可以推测出函数的解析式。
例如，对于一次函数y=kx＋b，可以通过观察函数的图像特点来确定k和b的值。
2. 常数法，对于一些特殊的函数，可以通过代入不同的自变量值，利用函数的性质和已知条件来求解函数的解析式。
例如，对于指数函数y=a^x，可以通过代入x=0、x=1等值来求解a的值。
3. 反函数法，对于已知函数的反函数，可以通过求解反函数来得到原函数的解析式。
例如，对于对数函数y=loga(x)，可以通过求解反函数来得到对数函数的解析式。
4. 组合函数法，对于复杂的函数，可以通过将函数进行分解，然后分别求解各个部分函数的解析式，最后组合得到原函数的解析式。
例如，对于复合函数y=f(g(x))，可以先求解g(x)和f(x)，然后将其组合得到y的解析式。
二、求函数解析式的例题：例题1，已知一次函数y=2x+3，求函数的解析式。
解，根据一次函数的一般形式y=kx+b，可以得到k=2，b=3，因此函数的解析式为y=2x+3。
例题2，已知指数函数y=2^x，且y(1)=4，求函数的解析式。
解，代入x=1，得到2^1=2，因此a=2，所以函数的解析式为y=2^x。
例题3，已知对数函数y=log2(x)，求函数的解析式。
解，对数函数的底数为2，因此函数的解析式为y=log2(x)。
例题4，已知复合函数y=(x+1)^2，求函数的解析式。
解，将函数进行分解，得到g(x)=x+1，f(x)=x^2，因此函数的解析式为y=(x+1)^2。
以上就是关于求函数解析式的方法和例题的介绍。
希望对大家有所帮助，也希望大家在学习数学的过程中能够灵活运用这些方法，提高数学解题能力。
高中数学52种快速破题方法
高中数学52种快速破题方法在高中数学学习中，有时我们会遇到一些难题需要快速破解。
这篇文章将介绍52种快速破题方法，帮助你提高数学解题的效率和准确性。
1. 简化分式：利用分子分母的公因式进行约分，简化计算过程。
2. 因式分解：将多项式进行因式分解，以简化复杂的运算。
3. 公式代入：当遇到已知条件和需要求解的变量可以通过一个已知公式联系时，直接代入计算。
4. 利用图形：如果问题涉及到几何形状，将其绘制成图形有助于解题。
5. 引入辅助线：在几何题中，通过引入辅助线能够推导出更多关系，简化解题过程。
6. 使用二次函数图像：对于最值问题，可以利用二次函数图像的开口方向来确定最值的位置。
7. 数列求和：对于数列的求和问题，可以利用数列求和公式或巧妙的变形来简化计算。
8. 分类讨论法：对于某些问题，可以将不同情况进行分类讨论来解决。
9. 倒推法：从已知结果倒推出有关条件，以确定解题的方法和步骤。
10. 利用对称性：在一些几何问题中，利用对称性可以简化证明或者找出另一方面的答案。
11. 分情况讨论：对于某些复杂问题，将其分解成几个简单情况分别讨论，最后合并结果。
12. 利用相似三角形：在几何问题中，利用相似三角形的性质可以快速求解各种长度和角度。
13. 数字根法：对于整数运算，可以利用数字根法来判断整除性质和进行简单计算。
14. 观察法：对于一些规律性问题，可以通过观察规律和找出特殊性质来解决。
15. 合并同类项：在多项式计算中，将具有相同变量幂次的项进行合并，简化运算过程。
16. 借位法：在计算过程中，若存在进位或借位，可以通过借位法进行加减运算。
17. 利用轴对称性：通过利用轴对称性，可以简化一些图形问题的证明或计算。
18. 利用余角关系：对于三角函数中的角度关系，可以利用余角关系进行简化运算。
19. 勾股定理：在解决直角三角形问题中，可以利用勾股定理确定未知边长。
20. 合理估算：对于某些题目，可以通过合理估算来获得近似的结果，以缩小解题范围。
高中数学破题致胜微方法(函数的周期性)：抽象函数周期的求法 递推法 含答案
高中阶段，经常讨论抽象函数，即只关注函数的性质.今天我们介绍利用递推法来求抽象函数的周期,同学们可以类比数列中相应的方法,深入理解，灵活应用.我们知道在数列中，有许多递推关系，比如1n n aa d +-=，说明它是一个等差数列。
如果我们再得知1a 的值,则可推导出数列的通项公式.相似地，我们通过例题来看递推法求抽象函数的周期。
先看例题例:已知函数()()f x x R ∈满足：(1)()(2)f x f x f x +=++,证明f （x )是周期函数证明(1)()(2)f x f x f x +=++令x =x +1,再次使用递推式(2)(1)(3)f x f x f x ∴+=+++两式联立可得：()(3),f x f x =-+再令x =x +3，可知(3)(6)f x f x +=-+所以(6)()f x f x +=注意:当题中给定的已知条件可以递推时，多次递推可使问题获解。
回忆：()()f x a f x +=-1()()f x a f x += 1()()f x a f x +=-都可以整理为：()=()f x f x T +的形式之前我们介绍过上述两类函数是周期函数，当递推式转化为如下形式时，可以判定原函数为周期函数.练：已知定义在R 上的函数f （x )满足11()()1)(f x f x f x ++=-，则f （x )必有一周期为（）A 。
2B 。
3 C.4 D.5解：令x =x +1，再次使用递推式1(1)(2)1(1)f x f x f x +++=-+ 将原递推式代入上式：1()11(1)1()(2)1()1(1)11()f x f x f x f x f x f x f x ++++-+==+-+-- 整理得到1(2)()f x f x +=-，根据上面复习的公式，直接可以得到(4)()f x f x +=即原函数是周期函数，且周期为T =4注意：本题不必去计算(3)f x +的值，可以直接根据周期函数的特点，选取合理的公式进行计算，降低运算量。
高中数学破题致胜微方法(求函数解析式)：12.利用周期性求函数解析式 Word版含解析
利用周期性求函数解析式周期性是函数的一种性质，当我们通过题目的已知条件，能够判断函数是周期函数时，再相关性质，求函数的解析式，就能简单一些了。
今天我们就根据实际例子，看看如何利用周期性，求函数的解析式。
先看例题例：设f (x )是定义在区间(,)-∞+∞上，且以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(21,21)k k -+，已知当0x I ∈时，2()f x x =，求f (x )在k I 上的解析式解：由已知，当k =0时，0(1,1)I =-我们利用区间转移的方法，如果k x I ∈即0(21,21)2x k k x k I ∈-+⇒-∈ 121x k ⇒-<-<则有：2(2)(2)f x k x k -=-又因为该函数以2为周期，所以有(2)(),f x k f x -=所以函数在k I 上的解析式为：2()(2)f x x k =-一般规律：区间转移：将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间。
进而求出，该区间上的函数解析式再看一个例题加深印象练：设f (x )是定义在R 上的奇函数，且其图象关于直线x =1对称，当[]2,0x ∈-时，()22.f x x x +＝当[]2,4x ∈时，求f (x )的解析式首先通过题目条件，证明函数为周期函数因为函数关于x =1对称，且函数为奇函数所以有()(2)()f x f x f x ＋＝－＝－又因为(2)()f x f x +=-所以：()()(4)(2)[]f x f x f x f x ＋＝－＋＝－－＝所以函数为周期函数，且周期T =4因为函数在[]2,0x ∈-上的解析式已知，所以由[]2,4,4[2,0],x x ∈-∈-可得：()22(4)2(4)(4)68.f x f x x x x x ----＝＝＋＝＋ 总结：1.根据题目条件，判断、证明函数为周期函数.2.将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间.3.根据题目条件，以及函数性质，确定所求区间上的解析式练习：1.设f (x )是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f (x )是偶函数，在区间2，3］上时，f (x )=－2(x －3)2+4，求当x ∈1,2］时f (x )的解析式.若矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，C 、D 在y =f (x )(0≤x ≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值.2.已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在0，1］上是一次函数，在1，4］上是二次函数，且在x =2时，函数取得最小值，最小值为－5.(1)证明:f (1)+f (4)=0;(2)试求y =f (x ),x ∈1,4］的解析式；(3)试求y =f (x )在4，9］上的解析式.答案：2. (1)证明:∵y=f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)=f(4－5)=f(－1),又y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)=－f(－1)=－f(4),∴f(1)+f(4)=0. (2)解:当x∈1,4］时，由题意，可设f(x)=a(x－2)2－5(a≠0),由f(1)+f(4)=0 得a(1－2)2－5+a(4－2)2－5=0，解得a=2,∴f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4).∴当0≤x ≤1时，f (x )=－3x ,当－1≤x ＜0时，f (x )=－3x ,当4≤x ≤6时，－1≤x －5≤1,∴f (x )=f (x －5)=－3(x －5)=－3x +15,当6＜x ≤9时，1＜x －5≤4,f (x )=f (x －5)=2(x －5)－2］2－5=2(x －7)2－5. ∴f (x )=⎩⎨⎧≤<--≤≤+-)96( 5)7(2)64( 1532x x x x .。
高中数学破题致胜微方法(函数的周期性)：抽象函数周期的求法 定义法
1抽象函数，即没有给定具体解析式的函数，我们往往直接研究函数的性质：奇偶性，单调性，周期性。
今天我们何研究，抽象函数的周期性。
因为没有解析式，所以要牢牢抓住周期函数的定义，从定义出发，合理使用题目条件，研究问题。
先看例题：例：已知定义在R 上的奇函数f (x )满足(5)()f x f x +≥，(1)()f x f x +≤，则(2015)f = 首先，对于该函数，不知道解析式，只能由奇函数的性质得知f(0)=0，这是题目唯一可知的函数值，不妨猜测，所求的(2015)f 与其有没有关系？ 我们充分利用题目给出的不等关系。
由(1)()f x f x +≤，令x =x +1，则有(1)(2)f x f x +≥+，以此类推，可知()(1)(2)(3)(4)(5)f x f x f x f x f x f x ≥+≥+≥+≥+≥+即()(5)f x f x ≥+又因为(5)()f x f x +≥所以有：()=(5)f x f x +，即函数以5为周期。
由此很容易解得(2015)(0)0f f ==2注意：1.没有明确给出解析式的函数，称为抽象函数。
2.根据已知条件，逻辑推理得到抽象函数的周期()=()f x f x T +，关键是将函数整理为周期函数的形式，找到T 的值。
练：设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且(1)0f =，()()()22f x f x f +-=，则f (x )是以2为周期的周期函数由奇函数的性质：()()f x f x -=-()()()22f x f x f +-=()()()1112,x f f f =---=令，得结合着题目条件，进行合理赋值，找到函数中的关键值。
()()()()()112,2210f f f f f +===得：()()()()22f x f x f f x +=+=则可知，原函数是以2为周期的周期函数。
注意：赋值时要合理，要注意使用题目条件，进而达到预计目标。
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利用周期性求函数解析式
周期性是函数的一种性质，当我们通过题目的已知条件，能够判断函数是周期函数时，再相关性质，求函数的解析式，就能简单一些了。
今天我们就根据实际例子，看看如何利用周期性，求函数的解析式。
先看例题
例：设f (x )是定义在区间(,)-∞+∞上，且以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(21,21)k k -+，已知当0x I ∈时，2
()f x x =，求f (x )在k I 上的解析式
解：由已知，当k =0时，0(1,1)I =-
我们利用区间转移的方法，如果k x I ∈
即0(21,21)2x k k x k I ∈-+⇒-∈ 121x k ⇒-<-<
则有：2
(2)(2)f x k x k -=-
又因为该函数以2为周期，所以有(2)(),f x k f x -=
所以函数在k I 上的解析式为：2()(2)f x x k =-
一般规律：
区间转移：
将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间。
进而求出，该区间上的函数解析式
再看一个例题加深印象
练：设f (x )是定义在R 上的奇函数，且其图象关于直线x =1对称，当[]2,0x ∈-时，()22.f x x x +＝
当[]2,4x ∈时，求f (x )的解析式
首先通过题目条件，证明函数为周期函数
因为函数关于x =1对称，且函数为奇函数
所以有()(2)()f x f x f x ＋＝－＝－
又因为(2)()f x f x +=-
所以：()()(4)(2)[]f x f x f x f x ＋＝－＋＝－－＝
所以函数为周期函数，且周期T =4
因为函数在[]2,0x ∈-上的解析式已知，所以
由[]2,4,4[2,0],x x ∈-∈-
可得：()22(4)2(4)(4)68.f x f x x x x x ----＝＝＋＝＋ 总结：
1.根据题目条件，判断、证明函数为周期函数.
2.将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间.
3.根据题目条件，以及函数性质，确定所求区间上的解析式
练习：
1.设f (x )是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f (x )是偶函数，在区间2，3］上时，f (x )=－2(x －3)2
+4，求当x ∈1,2］时f (x )的解析式.若矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，C 、D 在y =f (x )(0≤x ≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值.
2.已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在0，1］上是一次函数，在1，4］上是二次函数，且在x =2时，函数取得最小值，最小值为－5.
(1)证明:f (1)+f (4)=0;
(2)试求y =f (x ),x ∈1,4］的解析式；
(3)试求y =f (x )在4，9］上的解析式.
答案：
2. (1)证明:∵y=f(x)是以5为周期的周期函数，
∴f(4)=f(4－5)=f(－1),
又y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)=－f(－1)=－f(4),∴f(1)+f(4)=0. (2)解:当x∈1,4］时，由题意，可设f(x)=a(x－2)2－5(a≠0),由f(1)+f(4)=0 得a(1－2)2－5+a(4－2)2－5=0，
解得a=2,∴f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4).
∴当0≤x ≤1时，f (x )=－3x ,
当－1≤x ＜0时，f (x )=－3x ,
当4≤x ≤6时，－1≤x －5≤1,∴f (x )=f (x －5)=－3(x －5)=－3x +15,
当6＜x ≤9时，
1＜x －5≤4,f (x )=f (x －5)=2(x －5)－2］2－5=2(x －7)2
－5. ∴f (x )=⎩⎨
⎧≤<--≤≤+-)96( 5)7(2)64( 1532x x x x .。