概率论与数理统计随机变量序列的收敛性

10
P
L
定理 4.3.2 如果 X n X ，则必有 X n X ．
11
证明：
设随机变量 X n 的分布函数为 Fn x ， n 1, 2, 3, ；
L
随机变量 X 的分布函数为 Fx．为证 Xn X ，只须证明：
对所有的 x ，有
F
x
0
lim
n
Fn
x
lnimFn
x
F
x
0．
因为如果上式成立，则当 x 是分布函数 Fx 的连续点时，有
对于任意的 0 ，有
lim P
n
Xn X 1，
则称随机变量序列 X n依概率收敛于随机变量 X ．
2
我们知道任何一个随机变量都有分布函数，而且分布函数全 面地描述了随机变量的统计规律．因此讨论一个分布函数序列
Fn x收敛到一个极限分布函数 Fx 是有实际意义的．现在的 问题是，如何定义分布函数序列 Fn x的收敛性？很自然，由 于 Fn x是实变量函数序列，我们的一个猜想是：对所有的 x ， 要求 Fn x F x, n ．这就是数学分析中的点点收敛．然
如下定义：
7
定义 4.3.2 设 X n是一个随机变量序列， X 是一个随机变
量， Fn x是 X n 的分布函数， Fx 是 X 的分布函数，如果对于
Fx任意连续点 x ，有
nli m Fn x Fx，
（4.3.2）
则称分布函数序列 Fn x弱收敛于分布函数 Fx，记作
W
Fn x Fx n ．
P
不能推出 X n X ．见下例．
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例 4.3.2 设随机变量 X 的分布列为
PX 1 1 , X 1 1 ．
2
2
再令 X n X ，n 1, 2, 3, ．则随机变量 X n 与
L
随机变量 X 有相同的分布函数，因此 X n X ．
17
但是对于任意的 0 2 ，由于
P Xn X P2 X 1，
Fx 0 Fx 0．因此有
W
Fn x Fx ．
12
首先令 x x ，则由
X x X x, X n x X x, X n x
Xn x Xn X x x 得 Fx PX x PXn x P Xn X x x
Fn x P Xn X x x
13
P
由于 X n X ，所以当 n 时，有
（4.3.3）
此时也称随机变量序列 X n依分布收敛于随机变量 X ，记作
L
Xn X ，
n ．
（4.3.4）8
注：以上定义的“弱收敛”是自然的，因为它
比在每一点上都收敛的要求的确“弱”了些．如
果 Fx 是 连 续 函 数 ， 则 对 于 任 意 的 x ， 有
lim
n
Fn
x
F
x
，此时分布函数序列
P Xn X x x 0，
（因为 x x 0）．所以有
再令 x x ，得
Fx lim Fn x． n
Fx 0 lim Fn x n
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同理可证，当 x x 时，有
lnimFn x Fx． 再令 x x ，得 lnimFn x Fx 0 ．
因此定理得证．
15
L
注：本定理的逆命题不成立，即如果 X n X ，
g x
0 1
x0 ． x0
但是 gx 并不是分布函数．本例告诉我们，要求分布函
数序列 Fn x点点收敛于一个分布函数 Fx 是有些太
苛刻了．
6
再仔细分析本例，我们发现 x 0 恰好是分
布函数 Fx的间断点，而除了这个间断点外， 分 布 函 数 序 列 Fn x 都 是 收 敛 于 分 布 函 数 Fx 的 ． 因 此 我 们 可 以 将 分 布 函 数 序 列 Fn x收敛于分布函数 Fx 的定义修改成为
Fn
x
点点
收敛于分布函数 Fx．
9
在上述定义中，对分布函数序列 Fn x称为弱收敛，而 对其随机变量序列 X n。则称为按分布收敛，这是在两
种不同的场合给出的两个不同的名称，但是本质含义是一
样的，都要求在 Fx的连续点上有（4.3.2）式．
下面的定理说明了依概率收敛是一种比按分布收敛更 强的收敛性．
L
要条件是 X n C ．
20
证明：
必要性已由定理 4.3.2 给出，下证充分性．
记随机变量 X n 的分布函数为 Fn x ．而常数 X C
（退化分布）的分布函数为
F
x
0 1
xC ． xC
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所以对于任意的 0 ，有
P Xn C P Xn C P Xn C
P
Xn
C
2
P
即
lim P
n
Xn X 0 ，这表明 X n 并不依
概率收敛于 X ．
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以上的例子说明，一般按分布收敛与依概 率收敛是不等价的．而下面的定理则说明： 当极限随机变量为常数（服从退化分布）时， 按分布收敛与依概率收敛是等价的．
19
P
定理 4.3.3 若 C 为常数，则 X n C 的充
而遗憾的是，这样的要求有些太严格了．
3
例 4.3.1 设 X n 服从如下的退化分布：
P
X
n
1
n
1，
n 1, 2, ．
这样的 X n n 1, 2, 3, 组成了一个随机变量序列
X n．记 Fn x为随机变量 X n 的分布函数，则有
Fn
x
0
1
x 1 n．
x 1
n
4
由于
xn
1 n
定义 4.3.1 设X n是一个随机变量序列，X 是一个随机
变量，如果对于任意的 0 ，有
lim P
n
Xn X
0，
（4.3.1）
则称随机变量序列 X n依概率收敛于随机变量 X ，记作
P
Xn X ，
n ．
1
注：依概率收敛的等价命题：
设 X n是一个随机变量序列， X 是一个随机变量，如果
Xn
C
1
FnHale Waihona Puke C2Fn C
．
由于 x C 与 x C 都是分布函数 Fx的连续点，并且由
2
W
于 Fn x Fx ，
22
所以，
lim
n
Fn
C
2
F
C
2
1
，
lim
n
Fn
C
F
C
0
．
因此，
0 lim P n
Xn C
lim 1 n
Fn
C
2
Fn
C
1
1
0
0
，
P
即
lim P
是函数
Fn x的跳跃型间断点，所以当 n
时，间断点
xn
1 n
0
x0
．那么，分布函数序列 Fn x是否会收敛于分布函
数
F
x
0 1
x0 ． x0
但是我们看到，对于任意的
n
，
Fn
0
0
，所以
lim
n
Fn
0
0
，然而
F0 1，所以，
lim
n
Fn
0
0
1
F
0
．
5
这表明，分布函数序列Fn x并不点点收敛于分布函数 Fx．事实上，分布函数序列Fn x点点收敛于 gx ：