组合变形例题

F A C b
h
0.5L
L0
d
D L
材料力学
本章结束
A
5 kN
C
B
D
2 kN 5 kN
300 500
2 kN
500
(a)
1.5 kN A m
7 kN
C
1.5 kN m
B
D
5 kN
12 kN
(b)
T
1.5 kN m
如图c、d、e、f 所示
x (c )
1.5 kN A m
7 kN
C
1.5 kN m
B
D
M C (1.5) 2 (2.1) 2 2.58 kNm
M
2.58 kNm 2.48 kNm
因此，得：
x (e)
d 72 mm
(f) x
直径为20mm的圆截面水平直角折杆，受垂直力P=0.2kN，已知［σ］=170MPa 试用第三强度理论确定ａ的许可值。
解：内力图： 危险截面：A
Tmax Pa 0.2a M max 2Pa 0.4a
所以起重机架的最大起重量取决于杆AC的强度，为
Fmax 26.7 kN
图示横梁AC~立柱CD结构，均由Q235钢制成，C、D两处均为球 铰。在跨度中点受竖向载荷F作用。已知： (1) 横梁AC的L=4000mm，b=60mm，h=120mm，材料许用应力 [ ]=160MPa。 (2) 立柱CD直径d=20mm, L0=500mm；材料参数为 E=200GPa, 许 用应力 [ ] 160MPa , p 100, s 60 , cr (3041.12 ) MPa，稳 定安全系数 nst 4 。 试确定此横梁~立柱结构的许用载荷。
6
462 kN
压杆稳定问题/压杆的稳定计算
例10-2 已知：b=40 mm, h=60 mm, l=2300 mm,Q235钢, s 235MPa , p 200MPa E＝200 GPa, FP＝150 kN, nst=1.8， 校核:稳定性是否安全。
y
x
z
x
压杆稳定问题/压杆的稳定计算

1 1截面上危险截面，其上：N 3 kN，M 8 kN m
t FN M 81.1 3 103 8 103 MPa 2 3 c A W d d 81.9 4 32
FN A
M W
M W
例
如图所示一圆轴，装有皮带轮A 和B。两轮有相同的直径D=1m 和相同的重量P=5kN。两轮上 的拉力大小和方向如图。设许 用应力[σ]=80MPa，试按第三强 度理论来求所需圆轴直径。 解： （1）分析载荷 如图b所示 （2）作内力图
I min I y
bh3 40 303 9 104 mm 4 12 12
代入欧拉公式，有
9 10 8 m 4
Pcr
2 EI y 2 206 109 9 108
l
2

1.52
81.3 103 N 81.3kN
例：长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果将 b改为 h 后仍为细长杆， 临界力Pcr是原来的多少倍？ P
解 z x
考虑xy平面失稳(绕z轴转动)
Iz bh 3 / 12 h iz A 12 bh
z l 1 2.3 z 132.8 h / 12 iz
考虑xz平面失稳(绕y轴转动)
3 b hb / 12 iy A 12 bh
柔度:
l2 1 0.6 80 d2 / 4 i2
0 < p
可用直线公式.
因此
Fcr cr A2 (a b ) A2
6
151.47 kN
2 (304 1.12 80) 10 d 2 4
Fcr 151 .47 50.5 kN FN 2 F nst 3
y l 0.5 2.3 99.6 y i y b / 12 z y p
所以压杆可能在xy平面内首 先失稳(绕z轴转动).
Iy
压杆稳定问题/压杆的稳定计算
其临界压力为
工作安全因数为
E Fcr cr A 2 bh 269kN z
2
Fcr 269 n 1.793 nst 1.8 Fp 150
轴的抗弯截面系数：
W
A B
d 3
32

0.023
32

0.023
32
7.854 107 m3
M图 2Pa T图 Pa
C
圆轴弯扭组合变形强度条件: （按第三强度理论）
1 W
1103 7.854 107
Pa
M T
2 2
0.4a 2 0.2a 2 170 106
EI Pcr 2 ( l)
2
2E
d4
为原压杆的
2 2
64 ( l) 2
1 16
（2）
Pcr正 Pcr圆
2 E I正

( l) 2
2 E I圆
( l) 2

I正 I圆
d 4 4 a 124 124 d d 64 64
3
第九章 组合变形
例：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知圆杆直径d=100mm， 试求圆杆的最大拉应力σt和最大压应力 σc
解： X 3 kN A
YA 4 kN

任意横截面x上的内力:
FN X A 3kN Fs YA 4kN M ( x ) YA x 4 x
解：
hb EI y E 12 2 Eh4 Pcr 1 2 2 2l 2l 384l 2 3 hh 2 2 EI E 12 2 Eh4 Pcr 2 2 2 2 48 l 2l 2l
2
2
3
cr
Pcr 2 Pcr 1
2 Eh4
杆中不出现拉应力时的最大偏心 距。 解： N P,
M Pe
N M P Pe t 2 0 A W bh hb 6 b e 6
第十章 压杆稳定问题
例：图示两端铰支矩形截面细长压杆，b=40mm，h=30mm，l =1.5m，材料为A3钢，E=206GPa，试按欧拉公式计算其临界压力。 解： 由于两端铰支压杆，各个方向约束相同，故 必在最小刚度平面内失稳。 由截面形状可知：
所以压杆的稳定性是不安全的.
例10-3 简易起重架由两圆钢杆组成，杆ABd ： ，杆 1 30mm
AC： d2 20mm ,两杆材料均为Q235钢, E 200GPa , s 240MPa
p 100, 0 60 ,规定的强度安全系数 ns 2，稳定安全系 数 nst 3 ，试确定起重机架的最大起重量 Fmax 。
C
2
45° B
F
1
0.6m
A
解: １、受力分析
FN 1 2F (拉)，FN 2 F (压)
2、由杆AC的强度条件确定 Fmax 。
FN 1 FN 2
A
F
FN 1 s 1 A1 ns
3、由杆AB的稳定条件确定 Fmax 。
s A1 F 26.7 KN 2ns
Fcr n nst FN 2
5 kN 1.5 kN m M B (2.25) 2 (1.05) 2 2.48 kNm T
按第三强度理论
12 kN
(b)
Mz
2.25 kNm
x (c )
(2580) 2 (1500) 2 80 106 W
得：
My
1.5 kN m 2.1kNm
x (d )
W
d 3
32
37.3 106 m3
压杆稳定问题/中、小柔度杆的临界应力
例10-1 有一千斤顶,材料为A3钢.螺纹内径d=5.2cm，最大 高度l=50cm,求临界载荷 Fcr 。(已知 s 235MPa , p 200MPa )
F
解:
惯性半径:
柔度:
I d i A 4
l 2 0 .5 77 i d /4
a 的许可值： a 29m
a 29.86m
例：图示悬臂梁的横截面为等边三角形，
C为形心，梁上作用有均布载荷ｑ，其作用方 向及位置如图所示，该梁变形有四种答案： （√ A）平面弯曲； （B）斜弯曲；
（C）纯弯曲；
（D）弯扭结合。
例：图示Z形截面杆，在自由端作用一集中
力P，该杆的变形设有四种答案： （A）平面弯曲变形； （ B）斜弯曲变形； √ （C）弯扭组合变形； （D）压弯组合变形。
p 100
A3钢:
可查得 a 304MPa , b 1.12MPa
压杆稳定问题/中、小柔度杆的临界应力
a s 0 61.6 b
0 < p
因此
可用直线公式.
Fcr cr A (a b ) A
2 (304 1.12 77) 10 d 4
例：具有切槽的正方形木杆，
受力如图。求：
（1）m-m截面上的最大拉应
力σt 和最大压应力σc；
（2）此σt是截面削弱前的σt
值的几倍？
解：(1)
Pa t N M P 4 2 a a A W c a 2 2 6 8P 2 a 4P 2 a
2
例：图示偏心受压杆。试求该
l 48 2 4 8 Eh 384l 2
2
b h y z h
例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将 压杆的直径缩小一半，则其临界压力为原压杆的＿＿＿＿＿；若 1 / 16 将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原 压杆的＿＿＿＿＿。 /3 解： （1）