湖南省师大附中2013-2014学年高一下学期期中考试 数学试题(A卷)

湖南师大附中高一年级第二学期期中考试数学(A)－

湖南师大附中高一年级第二学期期中考试

数 学(A)

时量：120分钟 满分：150分

得分：____________

必考Ⅰ部分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若sin α<0且tan α>0，则α是 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角

2．已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为 A ．4 cm 2 B ．6 cm 2 C ．8 cm 2 D ．16 cm 2

3．tan 2

3π的值为

A.

33 B ．－33

C. 3 D ．－ 3 4.1＋tan15°1－tan15°＝ A ．－ 3 B ．－1 C. 3 D ．1

5．已知α是锐角，a ＝⎝⎛⎭⎫34，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，1

3，且a ∥b ，则α等于 A ．15° B ．45°

C ．75°

D ．15°或75°

6．计算2sin 15°·cos 30°＋sin 15°等于 A.22 B ．－22 C.

32 D ．－32

7．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于 A ．1 B. 2 C ．2 D ．4

8．将函数y ＝5sin 3x 的图象向左平移π

3个单位，得到的图象的解析式是

A ．y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3

B ．y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫3x －π

3

C ．y ＝5sin 3x

D ．y ＝－5sin 3x

9．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭

⎫x －π

4是

A ．周期为π的奇函数

B ．周期为π的偶函数

C ．周期为2π的奇函数

D ．周期为2π的偶函数

10．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋…＋f (11)的值等于

A ．2

B ．2＋ 2

C ．2＋2 2

D ．－2－2 2

选择题答题卡

二、大题共3小题，每小题5分，满分15分；把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

11．设a ＝(log 2x ，2)，b ＝(1，－1)，a ⊥b ，则x ＝________．

12. 已知sin x ＋cos x ＝1

2

，则sin 2x ＝________．

13．已知△ABC 中，AC ＝4，AB ＝2，若G 为△ABC 的重心，则AG →·BC →

＝_________． 三、解答题：本大题共3小题，共35分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14．(本题满分11分)

已知函数f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3

2

.

(1)求函数f (x )的最小正周期及函数f (x )的零点的集合；

(2)在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数f (x )在一个周期内的图象．

已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π

6＋cos x ＋a 的最大值为1.

(1)求常数a 的值；

(2)求使f (x )≥0成立的取值集合．

已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π

2.

(1)求sin θ和cos θ的值； (2)若sin(θ－φ)＝10

10，0<φ<π2

，求cos φ的值．

必考Ⅱ部分(共50分)

1．设α，β均为锐角，且sin α＝45，sin(α－β)＝5

13

，则cos β＝________．

2．定义两个平面向量a ，b 的一种运算a ⊗b ＝||a ||b sin θ，(其中向量a ，b 的夹角为θ)，

则以下等式中：

①若a ∥b 则a ⊗b ＝0； ②a ⊗b ＝b ⊗a ；

③λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b ；

④(a ⊗b )2

＋(a ·b )2

＝||a 2

·||b 2

.

其中恒成立的是________(填写序号)． 3．(本题满分13分)

己知向量a ＝⎝⎛⎭⎫2sin x 2，1－2cos x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，1＋2cos x 2，函数f (x )＝log 12(a·b )． (1)求函数f (x )的定义域和值域；

(2)求函数f (x )的单调区间．

如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.

(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数；

(2)若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？(精

确到0.01 m2)

已知点C (1，－2)，P (－5，－2)，动点满足|QC →

|＝3. (1)求动点Q 的轨迹方程； (2)求PC →与PQ →

夹角的取值范围；

(3)是否存在斜率为1的直线l ，l 被点Q 的轨迹所截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆过原点？若存在，求出l 的方程，若不存在，说明理由．

湖南师大附中高一年级第二学期期中考试数学(A)参考答案－(这是边文，请据需要手工

删加)

湖南师大附中高一年级第二学期期中考试

数学(A)参考答案

11．4 12.－3

4 13.4

三、解答题

14．解：(1) f (x )＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3

2

＝2cos x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋3

2cos x －32

＝12sin 2x ＋32()1＋cos 2x －3

2 ＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π3

∴函数f (x )的最小正周期为π.

令sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

3＝0，得2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z )，

所以f (x )的零点的集合为⎩⎨⎧

⎭

⎬⎫x |x ＝

k π2－π

6，k ∈Z .(5分) (2)