第二章 静电场和稳恒磁场

球外电势为 φ =
w.
=
kh
r r p⋅r 4πε 0 r 3
1
=
课
4πR 3 r σ 0 ez 3
R 3 σ 0 cosθ 3ε 0 r2
r
ww
8．将一个半径为 R，介电常数为ε的无限长圆柱形均匀电介质放入均匀外电场 E 0 中，圆 柱轴线与 E 0 垂直。试求介质极化电荷所产生的电势和电场强度。 解：令柱外电势为 φ1 ，柱内电势为 φ 2 ，由第 5 题容易知道它们的通解分别为：
ww
3．一对电量相等的正负电荷相距为 l ，求该系统在远处的电场强度。 解：具有偶极矩 p z = ql 的电偶极子产生的电势为 φ =
w.
1
r er r ( p ⋅ ∇) 2 =− 4πε 0 r
kh
v r ql cosθ ) 4πε 0 r 2
1
r r r 1 p ⋅ er 解： E = −∇φ = −∇( ) 4πε 0 r 2
E0 R 3 E0 R 3 r r cos θ ) + ( − sin θ + sin θ )eθ e E r 0 3 3 r r
-4-
co
r
ε − ε0 R2 r r E 0 (cosθer + sin θeθ ) 2 ε + ε0 r
r 3 cosθE 0 er 2
m
电动力学习题解答参考 那么电场作用在一个半球壳上的力 F = 考虑到对称性
第二章 静电场和稳恒电磁场
φ1 | ∞ = − E 0 r cosθ
在介质的边界上 φ1 | r = R = φ 2 | r = R ， ε 0
φ 2 | r =0 有限
∂φ1 ∂φ |r =R = ε 2 |r =R ∂r ∂r
那么将通解代入边界条件当中，可以求出各个待定系数
ε − ε0 R2 ε − ε0 φ1 = E 0 cosθ ， φ 2 = E 0 r cosθ ε + ε0 r ε + ε0
π /2
第二章 静电场和稳恒电磁场
r
0< < / 2
Eσds ∫ θ π r 3 cos 2 θE 0 er 3ε 0 cosθE 0 R 2πR sin θdθ 2
r
F=
∫
0
9 = πε 0 E 02 R 2 4
14．有一个半径为 R 的薄导体球壳，带电量为 Q。壳内距中心为 a (< R ) 处有一点电荷 q.求
m =1
代入边界条件解得：
φ=
E a2 λ a ln − E 0 ρ cosθ + 0 cosθ 2πε 0 ρ ρ
kh
2
φ =0
0
−
∫ε
φ |r =a = C φ |∞ = − E 0 r cosθ
答
w.
案 网
φ2 = −
r p cos α ′ ,其中 cos α ′ = cos ϕ sin θ ′ = cos ϕ sin θ 2 4πε 0 (r − l cosθ ) r − l cosθ
解：根据高斯定理可知球外电场强度 E =
r
q+Q ，那么若确定无穷远处电势 为 0，可 4πε 0 r 2
1
得球外电势 φ1 =
对于球内的电势 φ 2 可以用电像法求得。考虑到导体球面上电势处处相等，由电像法可
课
R R2 假定球外距球心为 b = 处有一电量 q ′ = − q 的点电荷。 a a
da
da
r
后
答
r
4πa 3 r 1 r r = α 0ez r × α dS 3 2 r∫ =a
w.
案 网
20． 一半径为 a 的球壳上表面电流为
α = α 0 sin θeφ ，求它的磁偶极矩和球外的磁感应强
r
r
co
r ′ = ( ρ 2 + b 2 − 2 ρb cos θ )1 / 2 ， b = a 2 / d
2
φ =0
(r > R)
φ | r = R = a(1 + cosθ ) 2
φ |∞ = 0
n
n =0
φ=
A3 A0 A1 4R 2R 2 + 2 P1 (cosθ ) + 3 P2 (cosθ ) ，其中 A0 = a ， A1 = 2 R 2 a ， A0 = a r 3 3 r r
7．已知半径为 R 的球壳表面电荷面密度为 σ = σ 0 cos θ ，求电偶极矩及球外电势。
r
φ1 = a 0 + b0 ln r + ∑ [(a m r m + bm / r m ) cos mθ + (c m r m + d m / r m ) sin mθ ] (r > R)
m =1
∞
∞
φ 2 = a 0 + b0 ln r + ∑ [(a m r m + bm / r m ) cos mθ + (c m r m + d m / r m ) sin mθ ] (r < R)
B A
kh
球壳本身带电，其上电势并不为 0，球内电势 φ 2 | r = R = φ1 | r = R =
1 q+Q q( R − a cosθ ) Rq / a(b cosθ − R ) − 2 [ 2 − 2 2 3/ 2 4π R [a + R − 2aR cosθ ] [b + R 2 − 2bR cosθ ]3 / 2
w.
r
r
求得球壳外电势 φ = − E 0 r cos θ + 球壳上的电荷面密度为 σ = −ε 0
ww
球外的电场强度 E = −∇φ = ∇( E 0 r cos θ −
kh
φ |∞ = − E 0 r cosθ
∂φ |r =R ∂r = 3ε 0 E 0 cosθ = ( E 0 cosθ + 2
电动力学习题解答参考
第二章 静电场和稳恒电磁场
r 1．对电场强度的表示式 E =
1 4πε 0
∫
ρ (r ′)(r − r ′)
r r 3 r − r′
r
r
r
V
dV ′
进行直接微分。证明
r r ρ ∇ × E = 0及 ∇ ⋅ E =
ε0
r 证明： ∇ × E =
1 4πε 0
=0
∫v ρ (r ′)∇ × r r
ρ r (r ′) ε0
案 网
co
r r r dv r r | r − r ′ |3
m
电动力学习题解答参考
第二章 静电场和稳恒电磁场
r r 3ql cosθer − qle z = 4πε 0 r3 1
4．在原点有一个 p = pe x 的偶极子，另在 x=0,y=0,z= l 处偶极矩为 − p 的偶极子，求两个 偶极子在 r >> l 处产生的电势。 解：原点处的偶极子在场点产生的电势为
-5-
后
答
那么 φ 2 =
球壳上电荷分步 σ = ε 0 (
ww
19． 一半径为 a 的无限长接地圆柱形导体，一线电荷密度为 λ 的无限长直线放在圆柱外且 与圆柱轴线平行，带电直线与圆柱轴线的距离为 d，求圆柱外任一点的电势。 解：如图，选择 A 点的电势为 0，则直线在场点 Q 产生的电势为
w.
=
da
-1-
课
后
r r p ⋅ er 2．由 φ = ,通过梯度运算导出偶极子的电场强度公式。 4πε 0 r 2 1
答
在远场处
ql cosθ 1 1 1 − ≈ 2 l cosθ ，故要求的电势为 φ = r+ r− r 4πε 0 r 2 r
电场强度 E = −∇φ = −∇(
w.
q
4πε 0 ( 1 1 − ) r+ r−
1
co
m
p cos α ，其中 cos α = cos ϕ sin θ 4πε 0 r 2
1
电动力学习题解答参考
第二章 静电场和稳恒电磁场
2
6．在以 O 为中心，R 为半径的球面上，已知电势分布为 φ (r = R, θ ) = a (1 + cos θ ) ，其中 a 为已知正常量，θ为球坐标的极角。试求球外的电势分布。 解：要求的定解问题为 ∇
∇⋅∫
v
r r (r − r ′) dv | r − r ′ |3
r ∇⋅E =
1 4πε 0 1
ρ (r ′)(r − r ′)
v
r r r (r − r ′) = ρ (r ′)∇ ⋅ r r 3 dv 4πε 0 ∫v | r − r′| =
r r er er r v =− [ p × ∇ × 2 + ( p ⋅ ∇) 2 ] 4πε 0 r r 1
r
r
r
φ1 =
有 r >> l ，那么可以认为偶极子 − p 到场点的距离等于 r − l cosθ 偶极子 − p 在场点产生的电势为:
r
r
那么场点的电势为：
da
(r > a)
∂φ dl = λ ∂r
-2-
φ = φ1 + φ 2 =
课
后
p cos ϕ sin θ 1 r 1 3 pl sin θ cosθ cos ϕ ( 2 − )=− 3 4πε 0 4πε 0 r r3 (r − l cosθ )
r
球壳外边界 E | r = R = 3 cosθE 0 er 因为球壳内部电场强度为 0，作用在球壳上电荷的电场为 E =
da
(r > R)
课
后
答
两个（相等的）半球壳，为了使这两个半球壳不至于分开，需要加多大的外力？ 解：易知球壳内部电场强度为 0，球外电势满足的定解问题为：
E0 R 3 cosθ r2
m
r′ d λ 2 2 1/ 2 ln ，其中 r = ( ρ + d − 2 ρd cos θ ) 2πε 0 r a
r
5．半径为 a 的无限长导体圆柱，带线电荷密度为λ，置于均匀电场 E 0 中，电场和圆柱体轴 线垂直，求柱外电势。
解：要求的定解问题为 ∇
w.
r =a
ww
根据题目条件，场与 z 无关，那么 φ 的通解为：
∞
φ = a 0 + b0 ln r + ∑ [(a m r m + bm / r m ) cos mθ + (c m r m + d m / r m ) sin mθ ]
w.
q+Q 4πε 0 r
1
案 网
co
q+Q 4πε 0 R
1
Q
壳上的电荷分布。
m
电动力学习题解答参考
第二章 静电场和稳恒电磁场
a2 假定在 B 点有一电象，B 点距离轴线 ，线电荷密度为 − λ ，它在场点产生的电势为 d
ϕ2 =
λ [ ρ 2 + (a 2 / d ) 2 − 2 ρ (a 2 / d ) cos θ ]1 / 2 ， ln 2πε 0 a − a2 / d
柱外、柱内电场强度为： E1 = −∇φ1 =
r
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r ε − ε0 E 2 = −∇φ 2 = − E0 ε + ε0
12． 半径为 R 的导体球壳，放入均匀电场 E 0 中。设想这个球壳被垂直于 E 0 的平面分割成
r
w.
E0 R 3 cosθ ) r2
r
案 网
∇ 2φ = 0
φ |r =R = C
1 1 q+Q q Rq / a + − 2 2 1/ 2 2 2 4πε 0 R 4πε 0 [a + r − 2ar cosθ ] 4πε 0 [b + r − 2br cosθ ]1 / 2 1
∂φ 2 ∂φ1 ) |r =R − ∂r ∂r
ϕ1 = −
λ ( ρ 2 + d 2 − 2 ρd cos θ )1 / 2 ln 2πε 0 d −a
容易得出在圆柱面上 ϕ 2 + ϕ 2 为 0，满足原有的边界条件，可以用该电象替代圆柱的影响。 那么圆柱外任一点的电势为 ϕ =
度。 解：磁偶极矩 m =
课
磁感应强度 B = −
r
µ0 r r (m ⋅ ∇) 3 4π r
=
ww
w.
-6-
kh
3r
3
µ 0α 0 a 3
r r (2 cos θer + sin θeθ )
m =1
后
r = ∫∫ σ 0 cosθ ⋅ r r 2 sin θdθdφ
da
-3-
r =a
答
解：电偶极矩 p =
r
∫ σr dS
v
w.
案 网
co
代入边界条件解得：
m
根据题目条件，场具有轴对称性，那么 φ 的通解为 φ =
∑ (a r
∞
n
+ bn / r n +1 ) Pn (cosθ )
电动力学习题解答参考 它们还受如下边界条件的限制：