2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略 四十二 数列与函数、不等式的结合

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核心素养测评四十二
数列与函数、不等式的结合
(30分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知递增的等比数列{a n}的公比为q,其前n项和S n<0,则
( )
A.a1<0,0<q<1
B.a1<0,q>1
C.a1>0,0<q<1
D.a1>0,q>1
【解析】选A.因为S n<0,所以a1<0,又数列{a n}为递增等比数列,所以a n+1>a n,且|a n|>|a n+1|,
则-a n>-a n+1>0,则q=∈(0,1),
所以a1<0,0<q<1.
2.已知等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的
( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.由S4+S6-2S5=10a1+21d-2(5a1+10d)=d,可知当d>0时,有S4+S6-2S5>0,即S4+S6>2S5,反之,若S4+S6>2S5,则d>0,所以“d>0”是“S4
+ S6>2S5”的充分必要条件.
【名师点睛】本题考查等差数列的前n项和公式,通过套入公式与简单运算,可知S4+S6-2S5=d, 结合充分必要性的判断,若p⇒q,则p是q 的充分条件,若p⇐q,则p是q的必要条件,该题“d>0”⇔“S4+S6-2S5>0”,故互为充要条件.
3.已知数列{a n}是等比数列,数列{b n}是等差数列,若a2·a6·a10=3,b1+b6+b11=
7π,则tan 的值是( )
A.1
B.
C.-
D.-
【解析】选D.因为是等比数列,
所以a2·a6·a10==3,所以a6=.
因为{b n}是等差数列
所以b1+b6+b11=3b6=7π.所以b6=,
所以tan=tan =tan =-tan =-tan =-.
4.数列{a n}满足a n=n2+kn+2,若不等式a n≥a4恒成立,则实数k的取值范围是
( ) A.[-9,-8] B.[-9,-7]
C.(-9,-8)
D.(-9,-7)
【解析】选B.由已知得n2+kn+2≥4k+18,
即(4-n)k≤n2-16,其中n∈N*.
当n=1,2,3时,k≤(-n-4)min=-7;
当n=4时,等号成立;当n≥5时,k≥(-n-4)max=-9,所以实数k的取值范围是[-9,-7].
5.已知数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a n=n2+n(n∈N*),设数列满足:b n=,数列的前n项和为T n,若T n<λ(n∈N*)恒成立,则实数λ的取值范围为
( ) A. B.
C. D.
【解析】选D.数列{a n}满足
a1+a2+a3+…+a n=n2+n, ①
当n≥2时,a1+a2+a3+…+a n-1=(n-1)2+(n-1),②
①-②得a n=2n,故a n=2n2,
数列满足:b n===
则:T n=1-+-+…+-=,
由于T n<λ(n∈N*)恒成立,
故:<λ,整理得λ>,
因为y==在n∈N*上单调递减,故当n=1时,=,所以λ>.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知f(x)=,各项均为正数的数列{a n}满足a1=1,a n+2=f(a n).若a2
,则a20+a11的值是________.
010=a2 012
【解析】因为a n+2=f(a n)=,a1=1,所以a3=,
a5==,a7==,
a9==,a11==,又a2 010=a2 012,
即a2 010=⇒+a2 010-1=0,
所以a2 010=.
又a2 010==,
所以1+a2 008==,
即a2 008=,依次类推可得a2 006=a2 004=…=a20=,
故a20+a11=+=.
答案:
7.已知{a n}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.
(1)数列{a n}的通项公式为________.
(2)数列的前n项和为________.
【解析】(1)方程x2-5x+6=0的根为2,3.
又{a n}是递增的等差数列,故a2=2,a4=3,可得2d=1,d=,故a n=2+(n-2)×=n+1.
(2)设数列的前n项和为S n,
S n=+++…++,①
S n=+++…++,②
①-②得S n=+++…+-=+++…+-
=+-,
所以S n=+-=2-.
答案:(1)a n=n+1 (2)2-
8.(2020·成都模拟)数列是等差数列,a1=1,公差d∈,且a4+λa10 +a16=15,则实数λ的最大值为________.
【解析】因为a4+λa10+a16=15,
所以a1+3d+λ(a1+9d)+a1+15d=15,
令λ=f(d)=-2,因为d∈,所以令t=1+9d,t∈[10,19],因此λ=f(t)=-2,
当t∈[10,19]时,函数λ=f(t)是减函数,故当t=10时,实数λ有最大值,最大值为f(10)=-.
答案:-
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2018·北京高考)设{a n}是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.
(1)求{a n}的通项公式.
(2)求++…+.
【解析】(1)由已知,设{a n}的公差为d,则
a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=5ln 2,又a1=ln 2,所以d=ln 2,
所以{a n}的通项公式为a n=ln 2+(n-1)ln 2=nln 2(n∈N*).
(2)由(1)及已知,=e nln 2=(e ln 2)n=2n,
所以++…+=21+22+…+2n==2n+1-2(n∈N*).
10.(2020·武汉模拟)数列{a n}满足:++…+=n2+n,n∈N*.
(1)求{a n}的通项公式.
(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为S n,求满足S n>的最小正整数n. 【解析】(1)因为++…+=n2+n,
n=1时,可得a1=4,
n≥2时,++…+=(n-1)2+n-1.
与++…+=n2+n.
两式相减可得=(2n-1)+1=2n.
所以a n=2n(n+1),当n=1时,也满足,所以a n=2n(n+1).
(2)b n===,
所以S n=(1-+-+…+-)=.
又S n>,可得n>9,所以最小正整数n为10.
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