等比数列优质课课件
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名称 概念
等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数
公差d可正可负,且可以为零
常数
an amq
an a1 q
n 1
通项 公式
通项 * 变形 中项 公式
n m
(n, m N )
an a1 (n 1)d an am (n m)d *
ab 等差中项 A 2
变式：求出下列等比数列中的未知项： （ 1） 2,a, 8； a 4 (2)a 5 =4,a 7 =6,求a 9 . a9 9
应用示例
例2.根据右图的框图,写出所打印 数列的前5项,并建立数列的递 推公式.这个数列是等比数列吗 ?
开始
A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否
n>5? 是
等比中项的定义
在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么 G叫做a与b的等比中项。
G ab
即G ab
2
探究三：通项公式
思考3：如何用a1和q表示第n项an 1.叠乘法（累乘法） 2.不完全归纳法 a2/a1=q a2=a1q a3/a2=q a3=a2q=a1q2 a4/a3=q a4=a3q=a1q3 … … an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 an=a1qn-1 所以 an=a1qn-1
2.4 等比数列
学习目标：
1.理解等比数列的定义； 2.掌握等比数列的通项公式．会解决知道n, a1, an , q中的三个,求另一个的问题．
学习重点：
1.等比数列概念的理解与掌握； 2.等比数列的通项公式的推导及应用．
探究一：等比数列的定义
观察下列数列，说出它们的特点.
（1）1，2，22，23，… (2)5, 25,125, 625... 1 1 1 (3)1, , , , 2 4 8 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一
已知
an ,bn 是项数相同的等比数列， 求证 an bn 是等比数列.
证明:设数列 an 首项为a 1,公比为 q 1 ;b n 首项为b1,公比为q2 那么数列 an bn 的第n项与第n+1项 分别为：
an1 bn1 a1b1 (q1q2 ) q1q2 .它是一个与n无关的常数， n 1 an bn a1b1 (q1q2 )
解：设这个等比数列的第1项是
那么
a
a q 12 a q 18
2 1 3 1
1
,公比是q ，
解得，
3 q 2
2 1
16 ，a 3
1
因此
16 答：这个数列的第1项与第2项分别是 与 8. 3
16 3 a aq 8 3 2
课堂互动
1 4 (1)一个等比数列的第5项是 ,公比是 ，求它的第1项； 9 3
1 1 , 2 16
a1 1, 可得递推公式： 1 an an1 (n 1) 2 a 1 由于 n ， 这个数列是等比数列，
an 1 2
n>5? 是
其通项公式为:
1 n 1 an （ ） 2
结束
应用示例
例3 一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18,求它的第1项与第2项.
例4已知 an , bn 是项数相同的等比数列，仿 照下表中的例子填写表格。
an
bn
判断数列 an bn a n bn 是否为等比数列
4 10 3
n 1
例 自选 1 自选 2
2 3 5 2n 1 3
n
是
从中能否得出什么结论？并证明你的结论。
an am (n m)d
(n, m N * )
试问：在等比数列 a n 中，如果知道 am 和公 比q，能否求 an ？如果能，请写出表达式。
an amq
n m
(n, m N )
*
应用示例
例1.在等比数列 an 中,
(1)a4 27, q 3, 求an ; (2)a3 12, a4 18, 求a1.
(n, m N )
等比中项 G ab
谢 谢 ！
解：设它的第一项是
1 51 4 a1 ( ) 3 9
解得，
a1，则由题意得
a1 36
答：它的第一项是36 .
（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项 . 解：设它的第一项是 a1，公比是 q ，则由题意得 a1q 10 ， a1q 2 20 解得， a1 5 ， q 2 a4 a1q3 40 因此 答：它的第一项是5，第4项是40.
结束
应用示例
解：若将打印出来的数依次记为 a1 (即A), a2 , a3, ......,
1 1 a2 a1 , 2 2
1 1 a4 a3 , 2 8
则：a1 1，
开始
A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否
1 1 a3 a2 , 2 4
a5 a4
×
× ④已知a1=2，an=3an+1 ； √ 2 3 ⑤ m, 2m, 4m ,8m ,... ×
⑥2a，2a，2a，…，2a. √ 3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？
非零的 常数列
探究二.等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后,这三个数就会成 为一个等比数列： （1）1，±3 ， 9 （3）-12， ±6 ，-3 （2）-1， ±2 ，-4 （4）1，±1 ，1
项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比 数列，这个常数叫做公比，记为q(q≠0).
an * q ( n 2 且 n N ). 数学语言： a n 1 an 1 或 q an
n N *
思考1：
1.已知等比数列{ an }： (1) an 能不能是零？ 不能 能 (2)公比q能不能是1？ 2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥ . ① 1，-1，1，…，(-1)n+1 √ ； ②1，2，4，6…； ③a，a，a，…，a；
an 2n -1 ＿＿＿＿＿＿
上式还可以写成
an 8
1 n an 2 2
·
7
6
5 4
可见，这个等比数列
1 的图象都在函数 2 的图象上，如右图所示。
y 2
x
3
2 1
0
· ·
1
·
2 3 4 n
结论： 等比数列an 的图象是其对应的 函数的图象上一些孤立的点
变形结论:
在等差数列 a n 中
其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1， 即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它 就是等比数列｛an｝的通项公式。
等比数列的通项公式：
an a1 q
n1
（n∈N﹡,q≠0）
探究四：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：
n
a1 q b1 q2 与a1 q b1 q2 n1 n a1b1 (q1q2 ) 与a1b1(q1q 2 ) 即为
n1 1
n1
n 1
n
所以 an bn 是一个以 q1q2 为公比的等比数列
五.ห้องสมุดไป่ตู้顾小结
等比数列 从第2项起,每一项与它前 一项的比等同一个常数 公比q( q 0 )
等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数
公差d可正可负,且可以为零
常数
an amq
an a1 q
n 1
通项 公式
通项 * 变形 中项 公式
n m
(n, m N )
an a1 (n 1)d an am (n m)d *
ab 等差中项 A 2
变式：求出下列等比数列中的未知项： （ 1） 2,a, 8； a 4 (2)a 5 =4,a 7 =6,求a 9 . a9 9
应用示例
例2.根据右图的框图,写出所打印 数列的前5项,并建立数列的递 推公式.这个数列是等比数列吗 ?
开始
A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否
n>5? 是
等比中项的定义
在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么 G叫做a与b的等比中项。
G ab
即G ab
2
探究三：通项公式
思考3：如何用a1和q表示第n项an 1.叠乘法（累乘法） 2.不完全归纳法 a2/a1=q a2=a1q a3/a2=q a3=a2q=a1q2 a4/a3=q a4=a3q=a1q3 … … an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 an=a1qn-1 所以 an=a1qn-1
2.4 等比数列
学习目标：
1.理解等比数列的定义； 2.掌握等比数列的通项公式．会解决知道n, a1, an , q中的三个,求另一个的问题．
学习重点：
1.等比数列概念的理解与掌握； 2.等比数列的通项公式的推导及应用．
探究一：等比数列的定义
观察下列数列，说出它们的特点.
（1）1，2，22，23，… (2)5, 25,125, 625... 1 1 1 (3)1, , , , 2 4 8 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一
已知
an ,bn 是项数相同的等比数列， 求证 an bn 是等比数列.
证明:设数列 an 首项为a 1,公比为 q 1 ;b n 首项为b1,公比为q2 那么数列 an bn 的第n项与第n+1项 分别为：
an1 bn1 a1b1 (q1q2 ) q1q2 .它是一个与n无关的常数， n 1 an bn a1b1 (q1q2 )
解：设这个等比数列的第1项是
那么
a
a q 12 a q 18
2 1 3 1
1
,公比是q ，
解得，
3 q 2
2 1
16 ，a 3
1
因此
16 答：这个数列的第1项与第2项分别是 与 8. 3
16 3 a aq 8 3 2
课堂互动
1 4 (1)一个等比数列的第5项是 ,公比是 ，求它的第1项； 9 3
1 1 , 2 16
a1 1, 可得递推公式： 1 an an1 (n 1) 2 a 1 由于 n ， 这个数列是等比数列，
an 1 2
n>5? 是
其通项公式为:
1 n 1 an （ ） 2
结束
应用示例
例3 一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18,求它的第1项与第2项.
例4已知 an , bn 是项数相同的等比数列，仿 照下表中的例子填写表格。
an
bn
判断数列 an bn a n bn 是否为等比数列
4 10 3
n 1
例 自选 1 自选 2
2 3 5 2n 1 3
n
是
从中能否得出什么结论？并证明你的结论。
an am (n m)d
(n, m N * )
试问：在等比数列 a n 中，如果知道 am 和公 比q，能否求 an ？如果能，请写出表达式。
an amq
n m
(n, m N )
*
应用示例
例1.在等比数列 an 中,
(1)a4 27, q 3, 求an ; (2)a3 12, a4 18, 求a1.
(n, m N )
等比中项 G ab
谢 谢 ！
解：设它的第一项是
1 51 4 a1 ( ) 3 9
解得，
a1，则由题意得
a1 36
答：它的第一项是36 .
（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项 . 解：设它的第一项是 a1，公比是 q ，则由题意得 a1q 10 ， a1q 2 20 解得， a1 5 ， q 2 a4 a1q3 40 因此 答：它的第一项是5，第4项是40.
结束
应用示例
解：若将打印出来的数依次记为 a1 (即A), a2 , a3, ......,
1 1 a2 a1 , 2 2
1 1 a4 a3 , 2 8
则：a1 1，
开始
A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否
1 1 a3 a2 , 2 4
a5 a4
×
× ④已知a1=2，an=3an+1 ； √ 2 3 ⑤ m, 2m, 4m ,8m ,... ×
⑥2a，2a，2a，…，2a. √ 3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？
非零的 常数列
探究二.等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后,这三个数就会成 为一个等比数列： （1）1，±3 ， 9 （3）-12， ±6 ，-3 （2）-1， ±2 ，-4 （4）1，±1 ，1
项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比 数列，这个常数叫做公比，记为q(q≠0).
an * q ( n 2 且 n N ). 数学语言： a n 1 an 1 或 q an
n N *
思考1：
1.已知等比数列{ an }： (1) an 能不能是零？ 不能 能 (2)公比q能不能是1？ 2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥ . ① 1，-1，1，…，(-1)n+1 √ ； ②1，2，4，6…； ③a，a，a，…，a；
an 2n -1 ＿＿＿＿＿＿
上式还可以写成
an 8
1 n an 2 2
·
7
6
5 4
可见，这个等比数列
1 的图象都在函数 2 的图象上，如右图所示。
y 2
x
3
2 1
0
· ·
1
·
2 3 4 n
结论： 等比数列an 的图象是其对应的 函数的图象上一些孤立的点
变形结论:
在等差数列 a n 中
其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1， 即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它 就是等比数列｛an｝的通项公式。
等比数列的通项公式：
an a1 q
n1
（n∈N﹡,q≠0）
探究四：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：
n
a1 q b1 q2 与a1 q b1 q2 n1 n a1b1 (q1q2 ) 与a1b1(q1q 2 ) 即为
n1 1
n1
n 1
n
所以 an bn 是一个以 q1q2 为公比的等比数列
五.ห้องสมุดไป่ตู้顾小结
等比数列 从第2项起,每一项与它前 一项的比等同一个常数 公比q( q 0 )