等比数列优质课课件
合集下载
等比数列_优秀课件
－1，b1，b2，b3，－4
成等比数列，求a2－a1的值． b2
错解：∵－1，a1，a2，－4 成等差数列，设公差
为 d，则 a2－a1＝d＝13[(－4)－(－1)]＝－1.
∵－1，b1，b2，b3，－4 成等比数列．
∴b22＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2.
当
b2＝2
时，a2－a1＝－1＝－1，
在等比数列an中，若 am·an＝ap·aq＝ak2，不一 定有 m＋n＝p＋q＝2k，如非零常数列．
2．既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？ 如果存在，你能举出例子吗？
答案：存在．例如：an＝1，既是公差为0的等 差数列，又是公比为1的等比数列．
预习测评
1．在等比数列an中，若 a1＋a5＝34，a5－a1＝30，
答案：等比 公比
2．如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b 成等比数列，那么G叫做a与b的________．
答案：等比中项 3．等比数列的通项公式为________． 答案：an＝a1qn－1
自主探究
1．等比数列的公比能否为0，首项能否为0? 答案：等比数列的首项，公比都不为0. 2．若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？ 答案：不一定，因为若G＝0，且a，b中至少有 一个为0，使G2＝ab，根据等比数列的定义，a，G， b不成等比数列．当a，G，b全不为零时，若G2＝ab， 则a，G，b成等比数列．
答案：1510
要点阐释
1．等比数列的性质 (1)在等比数列中，我们随意取出连续的三项以 上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等 比数列． (2)在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项 以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是 等比数列，如：等比数列a1，a2，a3，… ，an，…. 那么a2，a5，a8，a11，a14，…；a3，a5，a7，a9， a11…各自仍构成等比数列．
等比数列公开课课件PPT
等比数列的应用
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
等比数列--省级优质课课件
an am (n m)d
公 比q 0
通项公式
an a1qn1
an amqn m
引申
展探练P24：
1.C 3. 2.A
作业布置： P30A组1-4题
能 力 提 升
已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1. 求证：(1)数列{an+1}是等比数列， (2)求an的表达式。
8 7 6 5 4 3 2 1
y 2 x 1
a n 2 n 1
o
1 2 3 4 5 6 x
量取正整数时得到的一些孤立的 点。
对于通项公式an a qn1来说，有a , q , an , n四个量， 1 1 可以知三求一
例1：在等比数列{an}中
(1)已知a1 2, q 3, an 162, 求n; 1 (2)已知a1 3, q ，求a5； 2 1 1 (3)已知a9 , q , 求a1； 9 3 (4)已知a1 2, a5 8, 求q
其数学表达式：
an q (n 2) an1
或
an1 * q(n N ) an
q≠0
下列数列是否是等比数列,若是公比是多少？
(1) 1，3，9，27，81，… (2)
1 , 2 1 , 4 1 , 8 1 , 16
是,公比 q=3 是,公比 q=
1 2
(3) -5，-5，-5，-5，-5，… (4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，… (6) 0，0，0，0，0，… (7) 1, x , x
n=5
a5=3/16
例2．一个等比数列的第３项和第２项．
解：用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
公 比q 0
通项公式
an a1qn1
an amqn m
引申
展探练P24：
1.C 3. 2.A
作业布置： P30A组1-4题
能 力 提 升
已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1. 求证：(1)数列{an+1}是等比数列， (2)求an的表达式。
8 7 6 5 4 3 2 1
y 2 x 1
a n 2 n 1
o
1 2 3 4 5 6 x
量取正整数时得到的一些孤立的 点。
对于通项公式an a qn1来说，有a , q , an , n四个量， 1 1 可以知三求一
例1：在等比数列{an}中
(1)已知a1 2, q 3, an 162, 求n; 1 (2)已知a1 3, q ，求a5； 2 1 1 (3)已知a9 , q , 求a1； 9 3 (4)已知a1 2, a5 8, 求q
其数学表达式：
an q (n 2) an1
或
an1 * q(n N ) an
q≠0
下列数列是否是等比数列,若是公比是多少？
(1) 1，3，9，27，81，… (2)
1 , 2 1 , 4 1 , 8 1 , 16
是,公比 q=3 是,公比 q=
1 2
(3) -5，-5，-5，-5，-5，… (4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，… (6) 0，0，0，0，0，… (7) 1, x , x
n=5
a5=3/16
例2．一个等比数列的第３项和第２项．
解：用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
人教版数学必修五2.4《等比数列》课件 (共17张PPT)
an 数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 q (q 0) ． an 1
（4） 0 q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递减； a1 0 ， {an } 递增；
q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递增； a1 0 ， {an } 递减；
例 3、等比数列 an 中， a4 , a12 是方程 x 20 x 16 0 的两个根，
2
则 a4 与 a12 的等比中项为( C ) （A） 4 （B） 4 （C） 4 （D） 16
例 4、在各项都为正数的等比数列 {an } 中， a6 a10 a3 a5 41 ，
an （5）欲证等比数列，只需证 q (n 2) ， an1
还需说明 a1 0 ， q 0 ．
二、等比数列的通项公式
an q an 1
叠乘法
a2 q a1 a3 q a2 a4 q a3
不完全归纳法
a2 a1 q
a3 a2 q a1 q2
a4 a3 q a1 q3
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an a p aq ．
四、等比数列的性质
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an bn } ， {k an } (k 0) ，
1 1 { } 仍为等比数列，公比分别为 q1 q2 ， q1 ， ． an q1
a4 a8 4 ，则 a4 a8 （ B ）
（A） 6 （B） 7 （C） 8 （D） 9
四、等比数列的性质
（1）在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列 的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项， 即 an an1 an1 (n 2) ．
等比数列(优质课PPT)
谢 谢
an a1 q
an 2
n 1
n1
a1 n q f (n) q
a1 x f ( x) q q
1 n 2 f ( n) 2
1 x f ( x) 2 2
OLeabharlann 等比数列和指数函数的关系an a1 q
n1
a1 n q f (n) q
a1 x f ( x) q q
巩固性练习
例2、一个等比数列的第二项是10，第三项是20， 求这个数列的第一项和第四项及通项。 练习：一个等比数列的第三项和第四项分别是12、 18，则数列的第一项是______，第二项是______。
4 1 练习：若{an }是等比数列，且a9 , 公比q , 9 3 求通项an
等比数列和指数函数的关系
2 (1) 2,1, ,； 2
(2) 5, 15,
形成性练习
练习：由下列等比数列的通项公式，求数列的首 项a1和公比q。 (1) an 2 ；
n
1 n (2) an 10 4
练习：培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种 子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都 可以得到下一代的120粒种子，到第五代可以得到 这个新品种的种子多少粒？
等 比 数 列
问题1：一个池塘在月初时（1号）有一片浮萍，而 一片浮萍经过一天会分成两片浮萍，且到月底（30 号）时浮萍把池塘水面全部覆盖，问何时（几号） 浮萍把水面的一半覆盖？
问题2：POLO汽车的购买价为10万元，每年的 折旧率为 10%，这辆车每年的价值分别为多少？ 问题3：某市近十年的生产总值从2000 亿元开始， 每年以 10% 的速度增长，那么这十年的生产总 值分别为多少？
等比数列优质课课件
a,2a,4a,8a,16a,...
观察数列①②，说说它们有什么共同特点？
1 ，1 ，1 ，1 ，1 ，… ①
2 4 8 16
1
数列①从第2项起,每一项与它前一项的比都等于__2__；
a,2a,4a,8a,16a,...
②
2 数列②从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____；
一、定义
名
等差数列
两种方法： 数列 an为等比数列
an q(n 2, n N ) an1
三种思想：类比的思想
五、作业
an2 an1 an1(n 2,nN)
(an 0)
函数思想 方程思想
课本p53习题2.4 1、2、7、8
如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的比等于同一
个常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数
列的公比，用q表示
q an
a n 1
(n 2, n N )
数列 an 为等比数列
可用此式来证明等比数列
通过这个式子，分析等比数列中每一项与公比是否有要求？
等比数列中 当 q 0时
(
1 2
)
n1
1
1 2
n1
②
an 2n1 a a 2n1
猜想：
以a1为首项，q为公比的等比数列的通项公式为 an=a1qn-1
探究:能否类比推导等差数列通项公式的方法来推导等比数列
通项公式呢？
方法一:(累乘法)
方法二:(迭代法)
a2 q
a1 a3 q a2
a4 q a3
(n-1)个 式子相乘 得
……
an q an1
观察数列①②，说说它们有什么共同特点？
1 ，1 ，1 ，1 ，1 ，… ①
2 4 8 16
1
数列①从第2项起,每一项与它前一项的比都等于__2__；
a,2a,4a,8a,16a,...
②
2 数列②从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____；
一、定义
名
等差数列
两种方法： 数列 an为等比数列
an q(n 2, n N ) an1
三种思想：类比的思想
五、作业
an2 an1 an1(n 2,nN)
(an 0)
函数思想 方程思想
课本p53习题2.4 1、2、7、8
如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的比等于同一
个常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数
列的公比，用q表示
q an
a n 1
(n 2, n N )
数列 an 为等比数列
可用此式来证明等比数列
通过这个式子，分析等比数列中每一项与公比是否有要求？
等比数列中 当 q 0时
(
1 2
)
n1
1
1 2
n1
②
an 2n1 a a 2n1
猜想：
以a1为首项，q为公比的等比数列的通项公式为 an=a1qn-1
探究:能否类比推导等差数列通项公式的方法来推导等比数列
通项公式呢？
方法一:(累乘法)
方法二:(迭代法)
a2 q
a1 a3 q a2
a4 q a3
(n-1)个 式子相乘 得
……
an q an1
等比数列(53张PPT)
⇐把an＋1＝2an＋1变形为an＋1＋1＝2(an＋1)
人教A版· 数学· 必修5
进入导航
第二章 2.4 第1课时
系列丛书
[解]
(1)∵an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)． an＋1＋1 ∴ ＝2. an＋1 ∴{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列． (2)由(1)知an＋1＝(a1＋1)qn－1＝2· 2n－1＝2n， ∴an＝2n－1.
Байду номын сангаас
人教A版· 数学· 必修5
进入导航
第二章 2.4 第1课时
系列丛书
[点评]
证明一个数列是等比数列的常用方法．
an＋1 an (1)定义法： a ＝q(常数)或 ＝q(常数)(n≥2)⇔{an} a n n －1 为等比数列． (2)等比中项法：a 等比数列． (3)通项法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N＋) ⇔{an}为等比数列．
n－1 a q 通项公式是an＝ 1 .
3．等比中项 (1)如果三个数x，G，y组成 等比数列 ，则G叫做x和y的 等比中项．
2 G (2)如果G是x和y的等比中项，那么 ＝xy，即G＝± xy .
人教A版· 数学· 必修5
进入导航
第二章 2.4 第1课时
系列丛书
思考感悟
1．如何理解等比数列的定义？
∴数列{an}是等比数列．
人教A版· 数学· 必修5
进入导航
第二章 2.4 第1课时
系列丛书
[错因分析] 忽略了由Sn求an需n≥2，除此之外，还要 保证从第二项起每一项与它的前一项的比都等于同一非零 常数．
人教A版· 数学· 必修5
进入导航
高中数学 等比数列课件(完整版).ppt
演示课件
数列 定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 an q
q叫公比
定义变形
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式 一般形式
an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
d an am nm
演示课件
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
因此a5 120 120 51 2.51010
答：到第5代大约可以得到
an a1 • qn1
这种新品种的种子 2.5 1010 演粒示.课件
例 :某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降
价，单价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平
均每次降价的百分率大约是多少（精确到1%）？
解：设平均每次降价的百分率是x，
或
a
d
27 4 9 2
这四个数为3，6，12，18
或 75，45，27，9 4 4 演示课件 4 4
方法三设前一个数为a,则第四个为21-a 第二个数为b,则第三个为18-b
b
a 18 b 21 a
b2 2(18
b)
a b
3或 6
a b
75 4 45 4
这四个数为3，6，12，18
n1
3
2
●
1
●
●●●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
演示课件
10
9 数列：4，4，4，4，4，4，4，…
8 7
an 4
6
5
4
● ● ●● ●●● ● ● ●
数列 定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 an q
q叫公比
定义变形
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式 一般形式
an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
d an am nm
演示课件
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
因此a5 120 120 51 2.51010
答：到第5代大约可以得到
an a1 • qn1
这种新品种的种子 2.5 1010 演粒示.课件
例 :某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降
价，单价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平
均每次降价的百分率大约是多少（精确到1%）？
解：设平均每次降价的百分率是x，
或
a
d
27 4 9 2
这四个数为3，6，12，18
或 75，45，27，9 4 4 演示课件 4 4
方法三设前一个数为a,则第四个为21-a 第二个数为b,则第三个为18-b
b
a 18 b 21 a
b2 2(18
b)
a b
3或 6
a b
75 4 45 4
这四个数为3，6，12，18
n1
3
2
●
1
●
●●●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
演示课件
10
9 数列：4，4，4，4，4，4，4，…
8 7
an 4
6
5
4
● ● ●● ●●● ● ● ●
等比数列优质课课件
x
a1 n = ⋅q ; q
an an +1 = q(n ≥ 2)或 = q. 1.等比数列的定义： a 等比数列的定义： 等比数列的定义 an n −1
小结： 小结：
2.等比数列的通项公式： 等比数列的通项公式： 等比数列的通项公式
an=a1qn-1
推导方法： 1）归纳法；（ ）累乘法 推导方法： ）归纳法；（ ；（2）累乘法. （ 公式的认识： ）方程的观点; ）函数的观点; 公式的认识： 1）方程的观点 （2）函数的观点 （ 3.函数特性： 函数特性： 函q= 2
∴ a7 = a1q = 64
6
例题3： 例题 ：在等比数列 {an }中 (1). 若 a3 a4 a5 = 8, 求 a2 a3 a4 a5 a6 求 a3 + a5
(2). 若 an > 0 , a2 a4 + 2a3 a5 + a 4 a6 = 25
例题 1：判断下列数列是否为等比数列 ：
(1).1,1,2,4,8,16； (2).a,a,a,a.a,a; ； (3).
an = 3⋅ 2
2
n
是正项等比数列,判断 (4).若数列{an } 是正项等比数列 判断 { an } 若数列 和数列 {an } 是否为等比数列
2.等比数列的通项公式 等比数列的通项公式
2
∴ a1 q (1 + 2q + q ) = [a1q (1 + q )] = 25
4 2 2
∴ a3 + a5 = a1q + a1q = a1q (1 + q ) = 5(Q an > 0)
2 4 2 2
例题4：画出下列等比数列的图象， 例题 ：画出下列等比数列的图象，并归 纳出等比数列的函数特性
a1 n = ⋅q ; q
an an +1 = q(n ≥ 2)或 = q. 1.等比数列的定义： a 等比数列的定义： 等比数列的定义 an n −1
小结： 小结：
2.等比数列的通项公式： 等比数列的通项公式： 等比数列的通项公式
an=a1qn-1
推导方法： 1）归纳法；（ ）累乘法 推导方法： ）归纳法；（ ；（2）累乘法. （ 公式的认识： ）方程的观点; ）函数的观点; 公式的认识： 1）方程的观点 （2）函数的观点 （ 3.函数特性： 函数特性： 函q= 2
∴ a7 = a1q = 64
6
例题3： 例题 ：在等比数列 {an }中 (1). 若 a3 a4 a5 = 8, 求 a2 a3 a4 a5 a6 求 a3 + a5
(2). 若 an > 0 , a2 a4 + 2a3 a5 + a 4 a6 = 25
例题 1：判断下列数列是否为等比数列 ：
(1).1,1,2,4,8,16； (2).a,a,a,a.a,a; ； (3).
an = 3⋅ 2
2
n
是正项等比数列,判断 (4).若数列{an } 是正项等比数列 判断 { an } 若数列 和数列 {an } 是否为等比数列
2.等比数列的通项公式 等比数列的通项公式
2
∴ a1 q (1 + 2q + q ) = [a1q (1 + q )] = 25
4 2 2
∴ a3 + a5 = a1q + a1q = a1q (1 + q ) = 5(Q an > 0)
2 4 2 2
例题4：画出下列等比数列的图象， 例题 ：画出下列等比数列的图象，并归 纳出等比数列的函数特性
等比数列优质课件
学习目标
1、理解等比数列的概念，认识等比数列是反 映自然规律的重要数学模型之一； 2、理解等比中项的概念； 3、探索并掌握等比数列的通项公式。
一、等比数列的定义：
. 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项
的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，即
a2 a1 a3 a2 a4 a3 an a n 1 q
若此题直接求q呢？
因此，a2
a1q
若求通项公式呢？
答：这个数列的第1项与第2项 16 与8. 分别是 3
等比数列通项公式的变形
已知等比数列的公比为q,第m项为 a m ,求
解：由等比数列的通项公式可知 a n a1 q a m a1 q
n 1 m 1
an
.
两式相除，得
对定义的理解
1、每一项与它的前一项的比是同一个常数，具 备任意性； 2、每一项与它的前一项的比是同一个常数，强 调的是同一个； 3、每一项与它的前一项的比是有序的，这种顺 序决定了q的值； 4、由定义可知，等比数列中的项不含0。
三.等比中项
观察：如下的两个数之间，插入一个什么数后，这三个数就 会成为一个等比数列： （1）1，±3 9 ， （3）-12， ，-3 ±6 （2）-1， ±2 ，-4 （4）1，±1 ，1
方案 40 2
方案 0.4 3
40
0.8
40
1.6
40
3.2
40
6.4
40
……
12.8 ……
折纸游戏
将一张白纸对折一次，就变成2小张，然 后第2次对折，就得到4小张，对折3次变成8 小张，对折4次呢（变成16小张）， ……
2,4,8,16,32,64, ……
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(n, m N )
等比中项 G ab
谢 谢 ！
例4已知 an , bn 是项数相同的等比数
判断数列 an bn a n bn 是否为等比数列
4 10 3
n 1
例 自选 1 自选 2
2 3 5 2n 1 3
n
是
从中能否得出什么结论？并证明你的结论。
an am (n m)d
(n, m N * )
试问：在等比数列 a n 中，如果知道 am 和公 比q，能否求 an ？如果能，请写出表达式。
an amq
n m
(n, m N )
*
应用示例
例1.在等比数列 an 中,
(1)a4 27, q 3, 求an ; (2)a3 12, a4 18, 求a1.
n
a1 q b1 q2 与a1 q b1 q2 n1 n a1b1 (q1q2 ) 与a1b1(q1q 2 ) 即为
n1 1
n1
n 1
n
所以 an bn 是一个以 q1q2 为公比的等比数列
五.回顾小结
等比数列 从第2项起,每一项与它前 一项的比等同一个常数 公比q( q 0 )
名称 概念
等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数
公差d可正可负,且可以为零
常数
an amq
an a1 q
n 1
通项 公式
通项 * 变形 中项 公式
n m
(n, m N )
an a1 (n 1)d an am (n m)d *
ab 等差中项 A 2
1 1 , 2 16
a1 1, 可得递推公式： 1 an an1 (n 1) 2 a 1 由于 n ， 这个数列是等比数列，
an 1 2
n>5? 是
其通项公式为:
1 n 1 an （ ） 2
结束
应用示例
例3 一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18,求它的第1项与第2项.
2.4 等比数列
学习目标：
1.理解等比数列的定义； 2.掌握等比数列的通项公式．会解决知道n, a1, an , q中的三个,求另一个的问题．
学习重点：
1.等比数列概念的理解与掌握； 2.等比数列的通项公式的推导及应用．
探究一：等比数列的定义
观察下列数列，说出它们的特点.
（1）1，2，22，23，… (2)5, 25,125, 625... 1 1 1 (3)1, , , , 2 4 8 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一
解：设这个等比数列的第1项是
那么
a
a q 12 a q 18
2 1 3 1
1
,公比是q ，
解得，
3 q 2
2 1
16 ，a 3
1
因此
16 答：这个数列的第1项与第2项分别是 与 8. 3
16 3 a aq 8 3 2
课堂互动
1 4 (1)一个等比数列的第5项是 ,公比是 ，求它的第1项； 9 3
其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1， 即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它 就是等比数列｛an｝的通项公式。
等比数列的通项公式：
an a1 q
n1
（n∈N﹡,q≠0）
探究四：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：
等比中项的定义
在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么 G叫做a与b的等比中项。
G ab
即G ab
2
探究三：通项公式
思考3：如何用a1和q表示第n项an 1.叠乘法（累乘法） 2.不完全归纳法 a2/a1=q a2=a1q a3/a2=q a3=a2q=a1q2 a4/a3=q a4=a3q=a1q3 … … an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 an=a1qn-1 所以 an=a1qn-1
an 2n -1 ＿＿＿＿＿＿
上式还可以写成
an 8
1 n an 2 2
·
7
6
5 4
可见，这个等比数列
1 的图象都在函数 2 的图象上，如右图所示。
y 2
x
3
2 1
0
· ·
1
·
2 3 4 n
结论： 等比数列an 的图象是其对应的 函数的图象上一些孤立的点
变形结论:
在等差数列 a n 中
结束
应用示例
解：若将打印出来的数依次记为 a1 (即A), a2 , a3, ......,
1 1 a2 a1 , 2 2
1 1 a4 a3 , 2 8
则：a1 1，
开始
A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否
1 1 a3 a2 , 2 4
a5 a4
变式：求出下列等比数列中的未知项： （ 1） 2,a, 8； a 4 (2)a 5 =4,a 7 =6,求a 9 . a9 9
应用示例
例2.根据右图的框图,写出所打印 数列的前5项,并建立数列的递 推公式.这个数列是等比数列吗 ?
开始
A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否
n>5? 是
项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比 数列，这个常数叫做公比，记为q(q≠0).
an * q ( n 2 且 n N ). 数学语言： a n 1 an 1 或 q an
n N *
思考1：
1.已知等比数列{ an }： (1) an 能不能是零？ 不能 能 (2)公比q能不能是1？ 2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥ . ① 1，-1，1，…，(-1)n+1 √ ； ②1，2，4，6…； ③a，a，a，…，a；
已知
an ,bn 是项数相同的等比数列， 求证 an bn 是等比数列.
证明:设数列 an 首项为a 1,公比为 q 1 ;b n 首项为b1,公比为q2 那么数列 an bn 的第n项与第n+1项 分别为：
an1 bn1 a1b1 (q1q2 ) q1q2 .它是一个与n无关的常数， n 1 an bn a1b1 (q1q2 )
×
× ④已知a1=2，an=3an+1 ； √ 2 3 ⑤ m, 2m, 4m ,8m ,... ×
⑥2a，2a，2a，…，2a. √ 3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？
非零的 常数列
探究二.等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后,这三个数就会成 为一个等比数列： （1）1，±3 ， 9 （3）-12， ±6 ，-3 （2）-1， ±2 ，-4 （4）1，±1 ，1
解：设它的第一项是
1 51 4 a1 ( ) 3 9
解得，
a1，则由题意得
a1 36
答：它的第一项是36 .
（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项 . 解：设它的第一项是 a1，公比是 q ，则由题意得 a1q 10 ， a1q 2 20 解得， a1 5 ， q 2 a4 a1q3 40 因此 答：它的第一项是5，第4项是40.