抽象函数、图像、函数零点
抽象函数是指函数的三种表示法(经典)
抽象函数是指函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法均未给出，只给出函数记号f(x)的一类函数.这类函数解决起来较抽象，但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。
因此，这类问题在高中数学的各类考试中经常出现。
下面谈谈这类问题常见的几种解法：一、赋值法先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点,从而使问题得以解决。
这类问题经常出现,要认真理解其解题的要领和方法。
例1设函数f(x)的定义域为自然数集，若f(x+y) = f(x)+f(y)+x 对任意自然数x,y恒成立，且f(1) = 1，求f(x)的解析式。
分析:当令y=1时,可得f(x＋1)=f(x)＋x＋1,这相似于数列中的递推关系,再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。
解：令y = 1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1，∴ f(1) = 1f(2)= f(1) +2f(3) = f(2) +3…f(n) = f(n－1) +n各式相加得：f(n) = 1+2+3+…+n =∴ f(x) =例2已知函数f(x)满足f(x+y)＋f(x－y) = 2 f(x) · f(y)，x∈R,y∈R,且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数。
分析: 当令 x=y=0时,可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。
证明：令x = y = 0∴ f(0) +f(0) = 2f 2 (0)∵ f(0) ≠ 0, ∴ f(0) = 1令 x = 0 , 则 f(y) + f(－y) = 2f(0) · f(y)∴ f(－y) = f(y), ∵ y∈R,∴ f(x)是偶函数例3 已知函数f(x)的定义域为(0 , + ∞ )，对任意x > 0, y> 0恒有f(xy) = f(x) + f(y)求证：当x > 0时, f( ) = －f(x)分析:当令x=y=1时,可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x·)可求得。
抽象函数
抽象函数一、概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质。
二、常用结论：（1）周期：2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= （2）对称性：（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称；2、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称；3、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数；4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称三、常见问题：（1）求定义域例1：已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求)(x f 的定义域。
7抽象函数总结
抽象函数知识精要：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
常见的特殊模型:特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )yx (f =]指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx )y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
高中数学必修一函数零点知识点总结
高中数学必修一函数零点知识点总结函数零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，也就是函数使得y=0的x值。
函数零点是函数的重要特征之一，对于数学问题的解决有着重要的意义。
本文将会对于高中数学必修一中的函数零点知识点进行总结和归纳，目的是帮助大家更好的理解和掌握这一知识点。
一、函数零点的基本概念在高中数学必修一中，我们首先需要了解函数和零点的基本概念。
1.函数函数是一种映射关系，通常用f(x)表示。
f(x)代表的是自变量x 经过一个映射后得到的因变量y。
2.零点零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，即函数使得y=0的x 值。
二、函数零点的求解方法了解了基本的概念后，下一步就是了解函数零点的求解方法。
通常用以下几种方法进行求解：1.图像法用函数的图像上的交点来确定零点的大致位置。
这是一种较为直观的方法，但是可能存在误差。
2.代数法代数法是计算函数表达式的零点。
对于一次函数，可以通过解一元一次方程的方法求解零点；对于高次函数，可以使用因式分解再使用一元高次方程求解零点。
3.牛顿迭代法牛顿迭代法是利用导数求得函数的切线，再求得切线与x轴的交点，作为函数零点的估算值，通过反复迭代不断无限接近真实的零点。
三、函数零点的意义函数零点的意义不仅仅是代表交点的横坐标，而且它还有许多重要的实际意义。
1.解方程函数零点可以帮助我们解出方程，对于很多实际问题，都可以通过建立函数模型，然后求出函数的零点来解决问题。
2.最优解函数的零点常常代表着一些最优解。
例如，在一段时间内销售收入为0的时间点可能是关键节点，需要重点关注。
3.寻找某些性质在研究函数性质的过程中，函数的零点也具有重要的作用。
比如，函数在零点处是否有极大值或者极小值等。
四、函数零点的应用函数零点在实际应用中也有着广泛的应用。
1.物理学应用物理学中的许多问题都可以通过建立函数模型求解。
例如，简谐运动的周期、波浪的速度等等，都需要求解函数的零点。
2.经济学应用函数零点可以帮助我们优化经济模型，例如，一些变量的收益和成本之间的平衡点可以通过函数零点来寻找。
第讲抽象函数-ppt精选课件
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
考点3 指数函数型抽象函数 例3：定义在 R 上的函数 y＝f(x)，f(0)≠0，当 x＞0 时，f(x)>1， 且对任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)·f(b)． (1)求证：f(0)＝1； (2)求证：对任意的 x∈R，恒有 f(x)＞0； (3)求证：f(x)是 R 上的增函数； (4)若 f(x)·f(2x－x2)＞1，求 x 的取值范围．
(2)小技巧判断单调性：设x1>x2，x1－x2>0， 则f(x1－x2)>1.f(x1)＝f(x2＋x1－x2)＝f(x2)f(x1－x2)>f(x2)， 得到函数是增函数．
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3．满足解析式f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)的指数函数型抽象函数．
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1．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则 f(x) 是( A )
D．f(x)f(－x)<0
解析：f(0)＝f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.
f(1)＝f12＋12＝f12＋f12＝2f12. f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝12f(2)．
f(x)f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故选 D.
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高中数学：函数图像及函数零点的运用
XXXX教育学科教师辅导讲义讲义编号Ⅱ、函数()y f ax=(0)a>的图像可以将函数()y f x=的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a>或压缩（01a<<）为原来的1a倍得到。
f(x)y=f(x)a x⨯→y=f(ax)★例题讲解：例1．作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x＋1)； (2)y=10|lgx|．分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，当x＜2时，即x-2＜0时，这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6)(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10|lgx|=10lgx=x；当0＜x＜1时，lgx＜0，所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出．(见图7)说明：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x ，y 的变化范围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数的图象． 例2. 函数2sin(2)14y x π=--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？答案：2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4y x π=-的图象，再向左平移8π个单位得2sin 2y x =的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象，最后将纵坐标缩小到原来的12即得sin y x =的图象）。
课堂练习：1．一次函数y=kx+2k+1(x ∈[1，2])的图象在x 轴上方，则k 的取值范围是_____________.2．利用函数图象判定方程12+x =x+a 有两个不同的实数解时，实数a 的满足的条件.★课后作业, -x101 -1-11-1-111-11-1＝x（Ａ．312y x =- (02)x ≤≤ Ｂ．33122y x =-- (02)x ≤≤ Ｃ．312y x =-- (02)x ≤≤ Ｄ．11y x =-- (02)x ≤≤6．已知函数))((R x x f y ∈=满足)1()1(-=+x f x f ，且当[]1,1-∈x 时，2)(x x f =，则)(x f y =与x y 5log =的图象的交点个数为 （ ）A 、2B 、3C 、4D 、5 7．函数||log 33x y =的图象是（ ）8．曲线y=x 2－3x 关于x 轴的对称图形所对应的函数是 （ ） A ．x=y 2－3y B ．y=x 2+3y C ．y=－x 2－3x D ．y=－x 2+3x9．将y=2x 的图象 （ ） A ．先向左平移1个单位 B ．先向右平移1个单位C ．先向上平移1个单位D ．先向下平移1个单位 再作关于直线y=x 对称的图象，可得到函数y=log 2(x+1)的图象.10．设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x －1)与y=f(1－x)的图象关于 （ ） A ．直线y=0对称 B ．直线x=0对称C ．直线y=1对称D ．直线x=1对称答案：1.B 2 .D 3.C 4.B 5.B 6.C 7.A 8.D9.D 10.D 6．由)1()1(-=+x f x f 知函数)(x f y =的周期为2，作出其图象如右，当x=5时，f(x)=1,log 5x=1; 当x>5时，f(x)=1∈[0，1]，log 5x>1, )(x f y =与x y 5log =的图象不再有交点，故选C二．函数与方程★知识梳理yxO1-1 15构造函数)31(352<<-+-=x x x y 和a y =，作出它们的图像，易知平行于x 轴的直线与抛物线的交点情况可得：①当31≤<a 或413=a 时，原方程有一解；②当4133<<a 时，原方程有两解；③当1≤a 或413>a 时，原方程无解点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。
初中数学抽象函数的几个重要结论及其应用 学法指导
初中数学抽象函数的几个重要结论及其应用我们将没有给出函数具体解析式，但给出函数某些特性或相应条件的这类函数称为抽象函数。
结论1：（一点对称）若函数y=f(x)，对任意R x ∈，满足)x a (f )x a (f --=+或)x a 2(f )x (f --=，则函数y=f(x)的图象关于（a ，0）中心对称。
推论：若函数y=f(x)对任意R x ∈满足条件)x b (f )x a (f --=+，则函数y=f(x)的图象关于（2b a +，0）中心对称。
结论2：（两点对称）若函数y=f(x)的图象既关于点（a ，0）对称，又关于点（b ，0）对称（其中a ≠b ），则y=f(x)是周期函数，周期|b a |2T -=。
证明：∵函数y=f(x)既关于点（a ，0）对称，又关于点（b ，0）对称。
∴)]a b (2x [f )]x a 2(b 2[f )x a 2(f )x (f -+=--=--=。
∴y=f(x)为周期函数，周期|a b |2T -=。
推论：函数y=f(x)是奇函数，其图象关于点（a ，0）对称（a ≠0），则函数y=f(x)是T=2|a|的周期函数。
结论3：（轴对称）若函数y=f(x)对任意R x ∈满足)x a (f )x a (f -=+或)x a 2(f )x (f -=，则函数y=f(x)关于x=a 对称。
推论：函数y=f(x)对任意x 满足条件)x b (f )x a (f -=+，则函数y=f(x)的图象关于直线2b a x +=对称。
结论4：（轴轴对称）若函数y=f(x)的图象既关于直线x=a 对称，又关于直线x=b 对称（a ≠b ），则函数y=f(x)是T=2|b －a|的周期函数。
证明：∵y=f(x)关于x=a 和x=b 对称∴)]a b (2x [f )]x a 2(b 2[f )x a 2(f )x (f -+=--=-= ∴T=2|b －a|是y=f(x)的周期结论5：（点轴对称）若函数y=f(x)的图象既关于点（a ，0）对称，又关于直线x=b 对称（其中a ≠b ），则函数y=f(x)是周期T=4|b －a|的周期函数。
高中数学.复合函数、抽象函数、函数零点
1、复合函数的性质：对于单调性，有“同步增，异步减”．对于奇偶性，若每层函数均有奇偶性，则有“全奇才奇，有偶则偶”． 对于周期性，内层函数为周期函数的复合函数仍为周期函数．2、抽象函数往往有它所对应的具体函数模型，常见的抽象函数模型有： ⑴ 正比例函数：()()()f x y f x f y +=+； ⑵ 指数函数：()()()f x y f x f y +=； ⑶ 对数函数：()()()f xy f x f y =+； ⑷ 幂函数：()()()f xy f x f y =．3、函数的零点⑴ 满足()0f a =的a 叫做函数()f x 的零点，即方程()0f x =的实数根，也即函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标．⑵ 零点定理：若函数()y f x =在闭区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即()()0f a f b ⋅<．则在区间(),a b 内，函数()y f x =至少有一个零点．特别的，如果函数在此区间上单调，则函数()y f x =在此区间上有且只有一个零点．⑶ 零点个数的判断通常借助函数图象，零点问题和交点问题往往需要通过互相转化解决．知识梳理知识结构图复合函数、 抽象函数、函数零点1、（2007北京理）对于函数①()()lg 21f x x =-+，②()()22f x x =-，③()()cos 2f x x =+，判断如下三个命题的真假： 命题甲：()2f x +是偶函数；命题乙：()f x 在(),2-∞上是减函数，在()2,+∞上是增函数； 命题丙：()()2f x f x +-在(),-∞+∞上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 ．A ．①③B ．①②C ．③D ．②【解析】 D2、 （2011北京理13）已知函数()()32212x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩，≥，，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．【解析】 ()0,1；1、()213log 54y x x =-+的单调递增区间为（ ）A ．(),1-∞B ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．5,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞ 2、设函数()xf x a -=（0a >且1a ≠），()24f =，则（ ）A ．()()21f f ->-B ．()()12f f ->-C ．()()12f f >D ．()()22f f ->3、已知()()log 2a f x ax =-是[]0,1上的减函数，则a 的值可能为（ ） A ．12 B ．32C ．2D ．3 4、已知函数()2x f x x =+，()2log g x x x =+，()2log 2h x x =-的零点分别为a 、b 、c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<5、已知函数()()()2f x x a x b =---（a b <），并且α、β是方程()0f x =的两个根（αβ<），则实数a 、b 、α、β的大小关系是（ ）A ．a b αβ<<<B ．a b αβ<<<C ．a b αβ<<<D ．a b αβ<<<6、已知函数()22f x x x c =-+，()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x -=（2n ≥，n *∈N ），若函数()n f x x -不存在零点，则c 的取值范围是（ ） A ．14c <B ．34c ≥C ．94c >D ．94c ≤ 小题热身真题再现7、下列关于函数()()log 1x a f x a =-（0a >且1a ≠）的命题： ① 无论a 取何值，()f x 均为R 上的增函数； ② 无论a 取何值，()f x 的值域均为R ； ③ 无论a 取何值，()f x 一定有零点； ④ 存在某个a ，使得()f x 恰好有两个零点．其中正确的命题个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38、若单调函数()f x （x ∈R ）满足()()()f x y f x f y +=⋅，则()f x 的值域为（ ） A ．R B ．()(),00,-∞+∞ C ．()0,+∞ D ．不能确定9、已知函数()2243f x x x -=-+-，设()()()()F x p f f x f x =⋅+，其中p 为负实数．若()F x 在区间(),3-∞-上是减函数，在区间()3,0-上是增函数，则p 的值为（ ）A ．1-B ．18-C ．116-D ．12-10、已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠），则关于x 的方程()()20m f x nf x p ++=⎡⎤⎣⎦（实数,,,,,0a b c m n p ≠）的解集不可能是（ ）A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}1,2,3,4D ．{}1,4,16,641 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AABAACCCCD考点：复合函数的定义域与值域 【例1】 ⑴函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为 ，值域为 ．⑵函数211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为 ，值域为 ．⑶函数21122log log 2y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为_________，值域为____________． 【解析】 ⑴ [)0,+∞，(]0,1；⑵ [11]-，，1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；⑶ [)1042⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，，，[0)+∞，；4.1复合函数经典精讲【例2】 ⑴已知函数()()2lg 21f x ax x =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围．⑵已知函数()()2lg 21f x axx =++的值域为R ，求实数a 的取值范围．【解析】 ⑴ ()1,+∞；⑵[]0,1；【拓1】 ⑴ 已知()32log f x x =+，[]1,9x ∈，求函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的值域．⑵ 设2,1(),1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩≥，()g x 是二次函数，若()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域是[)0,+∞，求函数()g x 的值域．⑶ 设[]2,8x ∈，函数()()21()log log 2a a f x ax a x =⋅的最大值是1，最小值是18-，求a 的值．【解析】 ⑴ []6,13⑵ [)0,+∞． ⑶ 12a =．考点：复合函数的性质初步【例3】 ⑴函数()212log 56y x x =-+的单调增区间为（ ）A ．52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．(3)+∞，C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， D ．(2)-∞，⑵函数2212x x y -++⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦⑶函数421x x y =-+的值域为_______，单调递减区间为________．【解析】 ⑴ D ；⑵ D ；⑶ 3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(),1-∞-．考点：复合函数的性质综合【例4】 ⑴函数()()212log 23f x x ax =-+，若()f x 在(],1-∞内是增函数，则a 的取值范围为________；若()f x 的单调递增区间是(],1-∞，则a 的取值范围为________． ⑵已知函数()()31axf x a -=≠，若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是 ． ⑶若函数()()2log 2a f x x x =+（0a >且1a ≠）在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭内恒有()0f x >，则()f x 的单调增区间是 ．【解析】 ⑴ [12)，；{1}．⑵()(],01,3-∞；⑶1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭考点：抽象函数的函数值问题 【例5】 ⑴若奇函数()f x （x ∈R ）满足()21f =，()()()22f x f x f +=+，则()1f = ； ⑵定义在实数R 上的函数()y f x =具有如下性质： ①对任意x ∈R ，都有()()33f x f x =⎡⎤⎣⎦；②对任意12x x ∈R ，，且12x x ≠，都有()()12f x f x ≠． 则()()()101f f f -++=________． ⑶已知函数()f x （x ∈R ）满足()12f =，()()()2f x y f x f y xy +=++，则 ()2f = ，()3f = ，()3f -= ．⑷()f x 是定义在(0)+∞，上的增函数，对正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+成立．则不等式()2log 0f x <的解集为_ ______．【解析】 ⑴12； ⑵ 0；⑶ 6，12，6； ⑷ ()1,2；【拓2】 定义在[]0,1上函数()f x 满足：① ()00f =；② ()()11f x f x +-=； ③ ()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；④ 对任意12,x x []0,1∈，若12x x <，则()()12f x f x ≤． 则()1f = ，12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【追问】12013f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【解析】 ()11f =；1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1184f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【追问】112013128f ⎛⎫=⎪⎝⎭． 4.2抽象函数考点：抽象函数的性质【例6】 ⑴若函数()f x （x ∈R ，且0x ≠）对任意的非零实数,x y 满足()()()f xy f x f y =+．求证：()f x 为偶函数．⑵定义在R 上的函数()f x 同时满足下列条件：① 对任意x ，y ∈R ，恒有()()()f x y f x f y +=+； ② 当0x >时，()0f x <，且()12f =-．判断函数()f x 的奇偶性，并求函数()f x 在区间[]2,4-上的最大值和最小值．【解析】 ⑴ 令1,1x y ==-得(1)(1)(1)f f f -=+-，于是(1)0f =；再令1x y ==-得(1)2(1)0f f =-=，于是(1)0f -=．令1y =-得()()(1)()f x f x f f x -=+-=，又()f x 的定义域关于原点对称．故()f x 为偶函数． ⑵ ()f x 在区间[]2,4-上的最大值是(2)4f -=，最小值为(4)8f =-．【备注】本题可以通过函数原型快速得到答案或得到启发．对于⑴()ln f x x =（x ∈R ）是符合函数的函数原型； 对于⑵()2f x x =-（x ∈R ）是符合函数的函数原型．【拓3】 函数()f x 的定义域为R ，且()f x 的值不恒为0，又对于任意的实数m ，n ，总有()()22n m f m f n mf nf⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立． ⑴ 求(0)f 的值；⑵ 求证：()0t f t ⋅≥对任意的t ∈R 成立； ⑶ 求所有满足条件的函数()f x ．【解析】 ⑴ (0)0f =；⑵ 对任意t ∈R ，令2m n t ==，得2(2)4()f t t f t =⋅，于是21()(2)04t f t f t ⋅=≥； ⑶ ()f x x =．考点：零点定理【例7】 ⑴函数()237x f x x =+-在区间[02]，上的零点必在下面的区间（ ）内．Ａ．102⎡⎤⎢⎥⎣⎦， Ｂ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｃ．312⎡⎤⎢⎥⎣⎦， Ｄ．322⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ⑵设函数()32log x f x a x+=-在区间()1,2内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()31,log 2-- B ．()30,log 2 C ．()3log 2,1 D ．()31,log 4 【解析】 ⑴ C ；⑵ C ；4.3函数零点考点：函数图象与零点、交点问题【例8】 ⑴方程2log (3)2x x +=的解的情况是（ ）A ．仅有一根B ．有两个正根C ．有一个正根和一个负根D ．有两个负根⑵已知()2881651x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩，≤，，()ln g x x =，则()f x 与()g x 的图象的交点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4⑶若函数()x f x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是 ． ⑷若不等式2log 0a x x -<对102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，则实数a 的取值范围是_______．【解析】 ⑴ C ；⑵ C ；⑶ (1,)+∞；⑷ 1116⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；考点：复合函数的零点问题【例9】 ⑴已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图象如下所示：-22-22y -11-11Ox-22-22y -11-11Oxf xg x 给出下列四个命题：①方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有6个根 ②方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有3个根 ③方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个根 ④方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）． ⑵设1,11()1,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦有三个不同的实数解123,,x x x ，则222123x x x ++等于 ． 【解析】 ⑴ ①③④；⑵ 5；【拓4】 已知()2f x x px q =++，关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数根，求证：p 与q 同时大于0或者p 与q 同时等于0．【解析】 关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数根，()f x 的图象只有如图两种情形（分别对应0∆>和0∆=的情形）．进而容易证明命题成立．y=x 2y=x 1x 2x 1 yOx O xy一、选择题 1、设()()23132x x f x k =-+⋅+，当0x >时()f x 恒取正值，则k 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．(),221-∞- C ．()1,221-- D ．()221,221---【解析】 B ；2、设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，【解析】 B ；3、 关于x 的方程1log (0x aa x a =>且1)a ≠（ ）A ．仅当1a >时，有唯一解B ．仅当01a <<时，有唯一解C ．有唯一解D ．无解【解析】 C ．4、 设函数()f x x x bx c =++，给出下列四个命题：①当0c =时，()y f x =是奇函数；②当00b c =>，时，方程()0f x =只有一个实根； ③函数()y f x =的图象关于点(0)c ，对称； ④方程()0f x =至多有两个实根；其中正确命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 C ；二、填空题 5、 设函数22()log log (1)f x x x =+-，则()f x 的定义域是_______；()f x 的最大值是_____．【解析】 (0,1)；2-．6、 函数22()log (3)log (1)f x x x =++-的值域是___________，单调递增区间为_______．【解析】 (,2]-∞，(3,1)--．课后习题7、 若log (2)a y ax =-在[]01，上是x 的减函数，则a 的取值范围是______． 【解析】 (12)a ∈，；三、解答题 8、已知定义域为R 的函数()f x 满足：()()()f x y f x f y +=，且()31f >． ⑴求()0f ；⑵求证：()41f -<．【解析】 ⑴ (0)1f =；⑵ 3(3)(2)(1)(1)1f f f f ==>，故(1)1f >，从而24(4)(2)(1)1f f f ==>．令4,4x y ==-得，(4)(4)(0)1f f f -==，故1(4)1(4)f f -=<．命题得证． 【备注】()()()f x y f x f y +=的函数原型是指数函数()x f x a =，由(3)1f >知，1a >． 9、函数()2x f x =和()3g x x =的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点()11,A x y 、()22,B x y ，且12x x <．x 1x 2BA C 2C 1yO x⑴ 请指出示意图中曲线1C 、2C 分别对应哪一个函数？⑵ 若[]1,1x a a ∈+，[]2,1x b b ∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出a 、b 的值，并说明理由；⑶ 结合函数图象示意图，请把()πf 、()πg 、()2013f 、()2013g 四个数从小到大顺序排列．【解析】 ⑴ 1C 对应函数()3g x x =，2C 对应函数()2x f x =；⑵ 如下表，可得1a =，9b =．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12()f x 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 ()g x1 8 27 641252163435127291000 1331 1728()()()() 10、已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=．⑴ 若方程有两根，其中一根在区间()1,0-内，另一根在区间()1,2内，求m 的范围． ⑵ 若方程两根均在区间()0,1内，求m 的范围．【解析】 ⑴5162m -<<-．⑵1122m -<-≤。
新高一抽象函数知识点归纳总结
新高一抽象函数知识点归纳总结高一是学生们接触高等数学的第一年，而在高等数学的学习中，抽象函数是一个非常重要的内容。
抽象函数在高中数学课程中出现的频率相对较高，掌握好这个知识点对于学生们打好数学基础，有着非常大的帮助。
接下来，我们将对新高一抽象函数的知识点进行归纳总结。
一、函数的概念和性质在学习抽象函数之前，首先要掌握函数的概念和基本性质。
函数是一种对应关系，它把一个集合的每个元素都对应到另一个集合的唯一元素上。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
掌握函数的概念和性质是后续学习抽象函数的基础。
二、抽象函数的定义抽象函数是指函数的定义域和值域都是集合，函数的定义可以用文字、图表、映射等方式表示。
抽象函数可以简化数学问题的表达，使问题的求解更加简单明了。
在高一的数学课程中，学生需要通过实际问题理解抽象函数的定义和意义，建立起抽象函数和具体问题之间的联系。
三、抽象函数的常见类型在高一的数学教学中，常见的抽象函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
线性函数是最简单的抽象函数，可以用一条直线表示；二次函数则是用二次方程表示的函数，图像是一个开口向上或向下的抛物线；指数函数和对数函数则是用指数和对数运算表示的函数，它们在实际中有着广泛的应用；三角函数则是以圆的角度为自变量的函数，它与几何形状、周期性等有着密切的关系。
四、抽象函数的性质和应用抽象函数具有许多重要的性质和应用。
首先，函数的图像可以通过平移、伸缩、翻转等变换得到不同的函数，这些变换对于函数的研究和应用具有重要意义。
其次，抽象函数的性质可以通过函数的解析式、图像等方式进行判断和解答。
另外，抽象函数在实际问题中的应用非常广泛，比如利用抽象函数来解决最优化问题、建模问题等。
五、抽象函数的综合应用抽象函数在高一数学中的学习不仅仅是理论的讲解和应用的演练，更重要的是培养学生的创造性思维和综合应用能力。
通过进行一些抽象函数的实际问题，可以锻炼学生的问题分析和解决能力，提高他们的数学思维能力。
高中数学专题抽象函数
高中数学专题--抽象函数抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些表达函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法〔如化归法、数形结合法等〕，这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
常见的特殊模型:特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )y x (f =]指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx)y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+目录：一.定义域问题 二、求值问题 三、值域问题 四、解析式问题 五、单调性问题 六、奇偶性问题七、周期性与对称性问题 八、综合问题一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。
例1.假设函数y = f 〔x 〕的定义域是[－2，2]，则函数y = f 〔x+1〕+f 〔x －1〕的定义域为 11≤≤-x 。
解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。
函数——抽象函数(函数类型)
函数—抽象函数（函数类型）所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。
抽象来源于具体。
抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法。
★★抽象函数常见模型:()()1()(f x f y f x f y ±)()(1f x f x f ±一．以正比例函数为模型的抽象函数正比例函数y kx =是满足函数恒等式()()()f x y f x f y ±=±的最常见的模型。
若我们能从这个具体的模型出发，根据解题目标展开联想，给解题带来了思路。
例1、已知函数()f x 对任意实数,x y ，均有()()()f x y f x f y ±=±，且当0x >时，()0f x >，(1)2f -=-，求()f x 在区间[－2，1]上的值域。
分析：由题设可知，函数()f x 是(0)y kx k =≠的抽象函数，因此求函数()f x 的值域，关键在于研究它的单调性。
二、以一次函数为模型的抽象函数一次函数y=ax+b 是满足函数恒等式f （x+y ）=f （x ）+f （y ）-b 的最常见的模型。
例2、已知函数f （x ）对任意,x y R ∈，满足条件f （x ）＋f （y ）＝2 + f （x ＋y ），且当x ＞0时，f （x ）＞2，f （3）＝5，求不等式的解。
分析：由题设条件可猜测：f （x ）是y ＝x ＋2的抽象函数，且f （x ）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。
高中数学基础之函数零点
高中数学基础之函数零点函数零点的考查往往以选择题或填空题的形式出现，在解答题中，特别是有关导数的解答题中也经常考查零点问题．根据高考试题的考查特点，建议掌握好函数零点的求法、含参数问题的解决办法以及常用的二次函数零点问题的求法．函数的零点(1)零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．注：函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数．(2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点．零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条□01连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．注：函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．一、函数零点及其所在区间的判断例1 函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)答案B解析解法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续的曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，根据零点存在定理可知，函数f (x )＝log 3x ＋x －2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．故选B.解法二(图象法)：将函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝log 3x 和h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数的图象如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1，2).故选B.例2 已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，k ＋12(k ∈Z )内，那么k ＝ ． 答案 5解析 因为x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝ln52－1＜0，f (3)＝ln 3＞0，所以f (x )的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3内，则整数k ＝5. 总结：判断函数零点所在区间的方法(1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程． (2)利用零点存在定理求解．(3)数形结合法，画出相应函数图象，观察与x 轴交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断．二、函数零点个数的判断例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎨⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.例4 若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋4)＝f (x )，且x ∈(－2，2]时，f (x )＝12|x |，则函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝lg |x |的图象的交点个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数．又x ∈(－2，2]时，f (x )＝12|x |，所以作出函数f (x )的图象如图所示．因为x ＝±10时，y ＝lg |±10|＝1，所以由数形结合可得函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝lg |x |的图象的交点个数为8.例5 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （x －1），x >1，2x －1－1，x ≤1，则f (x )的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 当x ＞1时，令f (x )＝ln (x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1，故f (x )的零点个数为2.例6 若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有( )A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个答案 B解析 分别作出y ＝f (x )与y ＝log 3|x |的图象如图所示，由图可知y ＝f (x )与y ＝log 3|x |的图象有4个交点，故函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点．总结：函数零点个数的判断方法(1)直接求零点．令f (x )＝0，有几个解就有几个零点．(2)零点存在定理．要求函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，且f (a )f (b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数．(3)利用图象交点个数判断．作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数． 三、函数零点的应用例7 已知方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的一根在区间(2，3)内，另一根在区间(3，4)内，则m 的取值范围是( )A ．(－5，－4)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－4D ．(－5，－2) 答案 C解析 令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ，由二次函数根的分布性质，若一根在区间(2，3)内，另一根在区间(3，4)内，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （2）>0，f （3）<0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2（m －2）＋5－m >0，9＋3（m －2）＋5－m <0，16＋4（m －2）＋5－m >0，解不等式组可得－133<m <－4，即m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－4.故选C. 例8 设函数f (x )＝⎩⎨⎧|ln x |，x >0，e x （x ＋1），x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0C ．{0}∪(1，＋∞)D ．(0，1]答案 D解析 函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于f (x )＝b 有三个根，当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )＜0得x ＜－2，此时f (x )为减函数，由f ′(x )＞0得－2＜x ≤0，此时f (x )为增函数，即当x ＝－2时，f (x )取得极小值f (－2)＝－1e 2，作出f (x )的图象如图，要使f (x )＝b 有三个根，则0＜b ≤1.故选D.例9 若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1，1]有零点，则实数a 的取值范围是 ． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2解析 因为函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1，1]有零点，所以方程4x －2x －a ＝0在[－1，1]上有解，即方程a ＝4x －2x 在[－1，1]上有解．方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14，令2x＝t ，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14，0≤t －12≤32，0≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122≤94，－14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14≤2，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.总结：已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．。
【包哥数学】高中数学--抽象函数专题
【包哥数学】抽象函数专题抽象函数简介抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。
抽象函数一些模型根据抽象函数的一些性质，联想到所学的基本初等函数模型，将抽象具体化，有助于分析问题。
例1：f (x)在R +上是增函数，且f (x)=f (yx )+f (y),若f (3)=1,f (x)－f (51 x )≥2，求x 的范围 。
例2：设函数f(x)的定义域为R ，对于任意实数m 、n ，总有f(m+n)=f(m)·f(n)，且x>0时，0<f(x)<1.（1）证明：f(0)=1；且x<0时，f(x)>1;（2）证明：f(x)在R 上单调递减；（3）设A=｛(x,y)│f (x 2)·f(y 2)>f(1),B=｛(x,y)│f (ax -y+2)=1,a ∈R ｝，若A∩B=∅，确定a 的范围。
抽象函数的对称性（中心对称、轴对称）和周期性①先深刻理解奇函数，偶函数概念②方法：用哪个数代替x一、 抽象函数的对称性定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (b －x)，则函数y=f (x) 的图象关于直线x= 对称。
推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x)（或f (2a －x)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。
推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x)， 又若方程f (x)=0有n 个根，则此n 个根的和为na 。
定理2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (b －x)=c ，（a,b,c 为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点 对称。
抽象函数及应用13种常考题型总结(原卷版)
抽象函数及应用13种常考题型总结题型1抽象函数的定义域问题题型2抽象函数的值域问题题型3求抽象函数的值题型4求抽象函数的解析式题型5抽象函数的奇偶性问题题型6抽象函数的单调性问题题型7抽象函数周期性问题题型8抽象函数的对称性问题题型9解抽象不等式题型10抽象函数比较大小题型11抽象函数的最值问题题型12抽象函数的零点问题题型13双函数混合型1.抽象函数概念：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2.抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用()f x 表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。
在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。
抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.3.“赋值法”求抽象函数的值赋值法就是根据题目的具体情况，合理、巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1,-1等),从而使问题获得简捷有效的解决。
注：（1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等.（2）第二层次赋值：若题中有条件0f x =t （），则再令字母取0x .（3）第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）.4.“赋值法”求抽象函数的解析式赋值法求抽象函数的解析式，首先要对题设中的有关参数进行赋值，再得到函数解析式的某种递推关系，最后求得函数的解析式。
5.“赋值法”探究抽象函数的奇偶性判断抽象函数的奇偶性的关键是得到()f x 与()f x -的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留()f x 与()f x -的关系。
抽象函数ppt课件
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
f (x) 的定义域．
例 2 已知函数 f (x2 2x 2) 的定义域为0，3，求函数 f (x) 的定义域．
解：由 0≤ x ≤3，得1≤ x2 2x 2≤5 ． 令 u x2 2x 2 ，则 f (x2 2x 2) f (u) ，1≤u ≤5 ．
故 f (x) 的定义域为1，5 ．
抽象函数专题讲解
抽象函数初步
• 抽象函数：没有给出具体解析式的函数。 • 在高考中，常以抽象函数为载体，考查函数的定义域、值域、单
调性、奇偶性、周期性及图象问题。
一、抽象函数定义域
1．已知 f (x) 的定义域，求 f g(x) 的定义域
其解法是：若 f (x) 的定义域为 a ≤ x ≤b ，则在 f g(x) 中，a ≤ g(x) ≤b ，从中解得 x
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切创伤的并非时间,而是爱.
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
谢谢！
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励志名言
The best classroom in the world is at the feet of an elderly person.
的取值范围即为 f g(x) 的定义域．
例 1.已知函数 f (x) 的定义域为1，5，求 f (3x 5) 的定义域．
第14招 抽象函数的图像和性质
【知识要点】一、抽象函数的考查常常表现在求函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等方面.二、抽象函数虽然不是具体函数，但是它的图像和性质的研究方法和具体函数仍然是一样的，只不过是函数没有解析式，比较抽象. 【方法点评】【例1】已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域.【点评】这类问题的一般形式是：已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.【反馈检测1】若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域.【例2】 设函数()f x 定义于实数集上，对于任意实数x y 、，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域.【点评】在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段.【反馈检测2】已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥；(2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-.(I)求(0)f 的值；(II)求()f x 的最大值.【例3】已知函数)0)((≠∈x R x x f ，对任意不等于零的实数21x x 、都有)()()(2121x f x f x x f +=⋅，试判断函数()f x 的奇偶性.【点评】（1）抽象函数奇偶性的判断证明和具体函数是一致的，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数. （2）要判断抽象函数的奇偶性，多用赋值法，给已知的等式中的变量取恰当的值，如,,0,1,1x x --等，有时需要多次赋值，才能达到解题目标. 学科.网【反馈检测3】定义域为R 的函数)(x f 满足：对于任意的实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且当0x >时)0f x <（恒成立.(1)判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明)(x f 为减函数；若函数)(x f 在[3,3)-上总有)6f x ≤（成立，试确定(1)f 应满足的条件.【例4】 设)(x f 定义于实数集上，当0>x 时，1)(>x f ，且对于任意实数,x y ，有)()()(y f x f y x f ⋅=+，求证：)(x f 在R 上为增函数.设+∞<<<∞-21x x ，则1)(01212>->-x x f x x ，所以1211211121()f(x )()[()]()()()f x f x f x x x f x f x f x x -=-+-=--121()(1())f x f x x =--因为121()01()0f x f x x >--< 所以12()()f x f x < 所以)(x f y =在R 上为增函数.【点评】（1）抽象函数虽然没有解析式，但是在判断证明函数的单调性的方法上是一致的，同样利用函数的单调性的定义.（2）利用单调性的定义时，关键在于分解化简，1211211121121()f(x )()[()]()()()()(1())f x f x f x x x f x f x f x x f x f x x -=-+-=--=--这是解答的关键，想方设法把变量1x 或2x ，按照已知条件拆开，并严格说明它的符号.【反馈检测4】已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=∙,且当0x >时,0()1f x <<.(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1； (2)证明: ()f x 在R 上单调递减.【反馈检测5】函数()f x 对于0x >有意义，且满足条件(2)1,f =()()(),()f xy f x f y f x =+是减函数.（1）证明：(1)0f =；（2）若()(3)2f x f x +-≥成立，求x 的取值范围.【例5】设()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且()()()xf x f f y y=+，若(2)1f =，则(8)f = .【点评】（1）抽象函数的性质往往是从常见的正比例函数、指数函数、对数函数和幂函数中抽象出来的，所以在解答抽象函数的客观题时，可以根据抽象函数的性质寻找对应的函数模型，再利用具体函数来解答.(2)常见的模型有：()()()()(0)f x y f x f y f x kx k ±=±⇒=≠正比例函数，()()()f x y f x f y +=⇒()(0,1)x f x a a a =>≠指数函数且，(xy)fa f =⇒（x)f(y)幂函数f(x)=x ，(xy)f f =（x)+f(y)()log (0,1)a f x x a a ⇒=>≠对数函数且.【反馈检测6】已知函数()f x 满足(1)2f =，且对任意,x y R ∈都有()()()f x f x y f y -=，记 101211,(6)nin i i aa a a f i ===⋅⋅-=∏∏则 .【例6】已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,且它的图象关于直线1x =对称. (1)求(0)f 的值； (2)证明: 函数()f x 是周期函数；(3)若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时,函数()f x 的解析式,并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象.(3)当[)1,3x ∈-时，(11)()2(13)x x f x x x -≤≤⎧=⎨-+<<⎩当4141k x k -≤≤+时，()4f x x k =-，k Z ∈ 当4143k x k +<<+时，()24f x x k =-+-，k Z ∈∴4(4141)(),24(4143)x k k x k f x z R x k k x k --≤≤+⎧=∈⎨-+-+<<+⎩图象如下：【点评】对于抽象函数的周期性，一般如果1不是它的周期，就猜想2是它的周期，如果2不是它的周期，就猜4是它的周期（偶数倍），再证明. 学科.网【反馈检测7】已知函数()f x 满足1()(1)1()f x f x f x ++=-，若(0)2004f =，试求(2005)f .高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第14讲： 抽象函数的图像和性质问题的处理方法参考答案【反馈检测1答案】),21(]31,(+∞--∞【反馈检测1详细解析】由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=xf y 而言，有1124x-≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x .所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞【反馈检测2答案】（1）(0)=2f ；（2）max ()(1)3f x f ==【反馈检测2详细解析】（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤ 由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥ max ()(1)3f x f ∴==【反馈检测3答案】（1）奇函数；（2）(1)2f ≥-.【反馈检测4答案】（1）见解析；（2）见解析.【反馈检测5答案】（1）见解析；（2）13x -≤≤.【反馈检测5详细解析】(1)证明：令1x y ==，则(11)(1)(1)f f f ⨯=+，故(1)0f = （2）∵(2)1f =，令2x y ==，则(22)(2)(2)2f f f ⨯=+=， ∴(4)2f =()(3)2f x f x +-≥⇒22[(3)](4)(3)(4)3414f x x f f x x f x x x -≥⇒-≥⇒-≤⇒-≤≤∴()(3)2f x f x +-≥成立的x 的取值范围是13x -≤≤. 【反馈检测6答案】32【反馈检测6详细解析】设1()(0,1)(1)22()2xx f x a a a f a a f x =>≠=∴==∴=且所以1054454341(6)222232i f i -++++-=-=⋅⋅==∏，故填32.【反馈检测7答案】(2005)f =-20052003【反馈检测7详细解析】()f x 为周期函数且周期为4×1=4∵1(1)(2)[(1)1]1(1)f x f x f x f x +++=++=-+=)(1)(11)(1)(11x f x f x f x f -+--++=-)(1x f∴1(4)[(2)2]()(2)f x f x f x f x +=++==+⇒f (x +4)=()f x∴()f x 是以4为周期的周期函数 又∵(2)2004f =∴1(2004)(2005)(20041)1(2004)f f f f +=+=-=1(0)1(0)f f +-=1200412004+-=-20052003 ∴(2005)f =-20052003。
最新抽象函数、图像、函数零点
精品资料抽象函数、图像、函数零点........................................函数基本知识抽象函数：1. 已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立.证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数；（2）函数()y f x =是奇函数.2. 已知)(x f 在（－1，1）上有定义，且满足),1()()()1,1(,xyyx f y f x f y x --=--∈有 证明：)(x f 在（－1，1）上为奇函数；3. 设)(x f 是R 上的函数，且满足1)0(=f ，并且对于任意的实数x ，y 都有)12()()(+--=-y x y x f y x f 成立，则=)(x f _____________.4. 已知定义在R +上的函数()f x 同时满足下列三个条件：① (3)1f =-;② 对任意x y R +∈、 都有()()()f xy f x f y =+；③0)(,1<>x f x 时.（1）求)9(f 、)3(f 的值； （2）证明：函数()f x 在R +上为减函数； （3）解关于x 的不等式2)1()6(--<x f x f .5.是定义在()0,+∞()f x 上的减函数,满足()()()f x f y f xy +=. (1)求证:()()x f x f y f y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭;(2)若()44f =-,解不等式()()11212f x fx -≥--.6. 设函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x 1，x 2有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)成立，且当x ＜0时，f (x )＞1．数列{a n }满足：a 1＝f (0)，11()()(2)n n f a n f a *+=∈--N ．（1）求a 2017；（2）若不等式1212(1)(1)(1)()21n n a a a t a a a n ++++≥对n *∈N 恒成立，求实数t 的最大值．7.给出下列三个等式：()()()y f x f xy f +=，()()()y f x f y x f =+，()()()y f x f y x f +=+，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ） A.()x x f 3= B. ()x x f 2lg = C. ()x x f 2log = D.()()0≠+=kb b kx x f函数图像：1.幂函数213112xy,x y ,x y ,x y --====在第一象限内的图象依次是图中的曲线（ ）A. 2134,,,C C C CB.2314C ,C ,C ,CC. 4123C ,C ,C ,CD.3241C ,C ,C ,C2. 函数xy 2log 2=的图像大致是（ ）3.函数lg xy x=的图象大致是（ ） xyA.B.C.D.o11 xyo1 1 xyo1 1 xyo1 14．函数的图象大致是（ ）A.B. C. D.5．函数1()12x y =+的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是（ ）6. 函数||22x e x y -=在[]2,2-的图像大致为（ ）A. B.C. D.7. 已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为（ ）A B C D8. 函数y ＝ln 1|2x －3|的图象为( )9．已知121()(sin )221x xf x x x -=-⋅+，则函数()y f x =的图象大致为( )10. 已知a >0且a ≠1，则在同一坐标系中，函数x a y -=和y ＝log a (－x )的图象可能是( )函数的零点：1.函数f (x )＝－1x ＋log 2x 的一个零点落在区间________． A.(0,1) B.(1,2) C. (2,3) D. (3,4)2.函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为________.3.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________.4.若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________.5.函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，则m 的取值范围________.6.函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．7. 已知函数⎩⎨⎧>+-≤=mx m mx x m x x x f ,42|,|)(2其中0>m ，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.8. 设函数)(x f 满足)()(x f x f -=且当0≥x 时，xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=41)(，又函数x x x g πsin )(=，则函数)()()(x g x f x h -=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,21上的零点个数为（ ）A3 B4 C5 D69. 已知函数x x f ln )(=，⎩⎨⎧>--≤<=1,2410,0)(2x x x x g 则方程1)()(=+x g x f 实根的个数为 ．10. 用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x ，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x ＞0)，若h (x )有3个零点，则实数a 的取值范围是 ． （导数 计算）11. 若二次函数42)(2+-=ax x x f 在()+∞,1内有两个不同零点，求实数a 的取值范围 .12．已知函数()221,0,{2,0,x x f x x x x ->=--≤若函数()()3g x f x m =+有3个零点，则实数m的取值范围是__________．13.记[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.31, 1.32=-=-．设函数()[]f x x x =-，若方程()1log a f x x -=有且仅有3个实数根，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(]3,4 B ．[)3,4 C ．[)2,3 D ．(]2,314.已知函数)(x f y =的周期为2,当[02]x ∈，时,,)1()(2-=x x f 如果|1|log )()(5--=x x f x g ，则函数的所有零点之和为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 1015. 函数)1(log )(5-=x x f 的零点是_____16. 已知函数f （x ）=|x ﹣1|﹣1，且关于x 方程02)()(2=-+x af x f 有且只有三个实数根，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 217. 已知函数⎩⎨⎧>-≤=1),1(1,)(x x f x e x f x ，g （x ）=kx+1，若方程f （x ）﹣g （x ）=0有两个不同实根，则实数k 的取值范围为________．18. 已知函数213,10()132,01x g x x x x x ⎧- -<≤⎪=+⎨⎪-+<≤⎩，若方程()0g x mx m --=有且仅有两个不等的实根，则实数m 的取值范围是( )A ．9(,2][0,2]4--B ．11(,2][0,2]4--C ．9(,2][0,2)4--D ．11(,2][0,2)4--19. 若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________.20. 直线x y =与函数⎩⎨⎧≤++>=m x x x mx x f ,24,2)(2的图象恰有三个公共点，则实数m 的取214个互异的实数根，则实数a 的取值范围为22. 对于函数()(]⎩⎨⎧∈++∞∈=2,0),2(2,2,sin )(x x g x x x g π，若关于 x 的方程)0()(>=n n x f 有且只有两个不同的实根1x ，2x ，则=+21x x _____.23. 若偶函数 )(x f y =, R x ∈,满足 )()2(x f x f -=+,且当 []2,0∈x 时, 22)(x x f -=,则方程x f sin )(=]10,10-内的根的个数为____.值范围是____.25. 函数124)(+⋅+=x x m x f 有且仅有一个零点，则m 的取值范围_________.26. 已知函数a ax x x f -++=3)(2,当]2,2[-∈x 时，函数至少有一个零点，求a 的取值范围_________．27．已知函数()ln 26f x x x =+-的零点在区间()1,22k k k Z +⎛⎫∈⎪⎝⎭内，那么k =__________．28. 函数()(1)sin π1(13)f x x x x =---<<的所有零点之和为____.29. 函数4log ,0()cos ,0x x f x x x >⎧=⎨≤⎩的图象上关于原点O 对称的点有______对.。
函数零点讲义
方程的解、函数的零点一、零点的定义：（图形角度讲）我们把函数()的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.y f x例如：试分析函数)(x f 的零点与方程0)(=x f 的根根间的关系二、函数零点与方程根间的关系1、函数()f x 图像的零点就是方程()0f x =的解2、函数的零点个数决定相应方程实数解的个数.例 如 二次函数)0(,)(2≠++=a c bx ax x f 的零点个数等同于0)(=x f 的根的个数问题。
如：2-)(2x x x f +=练 习（1）函数f(x)=x(x 2－16)的零点为（ ）A ．(0，0)，(4，0)B ．0，4C ．(–4，0)，(0，0)，(4，0)D ．–4，0,4（2）求函数()24129f x x x =-+的零点.（3）判定下列函数是否存在零点，若存在有几个三、零点存在的判定性定理若函数()y f x =在闭区间[,]a b 上满足[,]2.()()0a b f a f b ⎧⎨⋅<⎩1.图像在上是连续的曲线，则在区间(,)a b 内，()y f x =至少有一个零点，即()0f x =在区间(,)a b 内至少有一个实数解.例如：（1）已知函数2()3x f x x =-，问:方程()0f x =在区间[1,0]-内有没有实数解？（2）判定方程(2)(5)1x x --=有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2. 练 习（1）判定方程34150x x +-=在区间[1,2]内是否存在实数解，并说明理由.四、零点的判定方法（1）定义法：（2）直接法：届方程f(x)=0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；（3）图像法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x 轴的交点个数，即为函数f(x)的零点个数；（4）将函数f(x)拆成两个常见函数()0()()0()(),f x h x g x h x g x =⇔-=⇔=则函数的零点个数即为y=h(x)与y=g(x)的图象的交点个数；例如：① 函数f(x)=e x-1+4x-4在区间x ∈[0，1]内是否存在零点②试判定方程02-=-x x 根的个数（5）二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式∆来判断。
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函数基本知识抽象函数：1. 已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立.证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数；（2）函数()y f x =是奇函数.2. 已知)(x f 在（－1，1）上有定义，且满足),1()()()1,1(,xyyx f y f x f y x --=--∈有 证明：)(x f 在（－1，1）上为奇函数；3. 设)(x f 是R 上的函数，且满足1)0(=f ，并且对于任意的实数x ，y 都有)12()()(+--=-y x y x f y x f 成立，则=)(x f _____________.4. 已知定义在R +上的函数()f x 同时满足下列三个条件：① (3)1f =-; ② 对任意x y R +∈、 都有()()()f xy f x f y =+；③0)(,1<>x f x 时. （1）求)9(f 、)3(f 的值； （2）证明：函数()f x 在R +上为减函数； （3）解关于x 的不等式2)1()6(--<x f x f .5.是定义在()0,+∞()f x 上的减函数,满足()()()f x f y f xy +=. (1)求证:()()x f x f y f y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭;(2)若()44f =-,解不等式()()11212f x f x -≥--.6. 设函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x 1，x 2有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)成立，且当x ＜0时，f (x )＞1．数列{a n }满足：a 1＝f (0)，11()()(2)n n f a n f a *+=∈--N ．（1）求a 2017；（2）若不等式1212(1)(1)(1)()21n n a a a t a a a n ++++≥对n *∈N 恒成立，求实数t 的最大值．7.给出下列三个等式：()()()y f x f xy f +=，()()()y f x f y x f =+，()()()y f x f y x f +=+，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A.()xx f 3= B. ()xx f 2lg = C. ()x x f 2log = D.()()0≠+=kb b kx x f函数图像：1.幂函数213112xy,x y ,x y ,x y --====在第一象限内的图象依次是图中的曲线（ ）A. 2134,,,C C C CB. 2314C ,C ,C ,CC. 4123C ,C ,C ,CD. 3241C ,C ,C ,C2. 函数xy 2log 2=的图像大致是（ ）3.函数lg xy x=的图象大致是（ ）4．函数的图象大致是（ ）xyA.B.C.D.o11xyo1 1xyo1 1xyo1 1A. B. C. D.5．函数1()12x y =+的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是（ ）6. 函数||22x e x y -=在[]2,2-的图像大致为（ ）A. B.C. D.7. 已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为（ ）A B C D8. 函数y ＝ln 1|2x －3|的图象为( )9．已知121()(sin )221x x f x x x -=-⋅+，则函数()y f x =的图象大致为( )10. 已知a >0且a ≠1，则在同一坐标系中，函数xay -=和y ＝log a (－x )的图象可能是( )函数的零点：1.函数f (x )＝－1x ＋log 2x 的一个零点落在区间________．A.(0,1)B.(1,2)C. (2,3)D. (3,4)2.函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为________.3.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________.4.若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________.5.函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，则m 的取值范围________.6.函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．7. 已知函数⎩⎨⎧>+-≤=m x m mx x m x x x f ,42|,|)(2其中0>m ，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.8. 设函数)(x f 满足)()(x f x f -=且当0≥x 时，xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=41)(，又函数x x x g πsin )(=，则函数)()()(x g x f x h -=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,21上的零点个数为（ ） A3 B4 C5 D69. 已知函数x x f ln )(=，⎩⎨⎧>--≤<=1,2410,0)(2x x x x g 则方程1)()(=+x g x f 实根的个数为 ．10. 用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x ，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x ＞0)，若h (x )有3个零点，则实数a 的取值范围是 ． （导数 计算）11. 若二次函数42)(2+-=ax x x f 在()+∞,1内有两个不同零点，求实数a 的取值范围 .12．已知函数()221,0,{2,0,x x f x x x x ->=--≤若函数()()3g x f x m =+有3个零点，则实数m 的取值范围是__________．13.记[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.31, 1.32=-=-．设函数()[]f x x x =-，若方程()1log a f x x -=有且仅有3个实数根，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(]3,4 B ．[)3,4 C ．[)2,3 D ．(]2,314.已知函数)(x f y =的周期为2,当[02]x ∈，时,,)1()(2-=x x f 如果|1|log )()(5--=x x f x g ，则函数的所有零点之和为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 1015. 函数)1(log )(5-=x x f 的零点是_____16. 已知函数f （x ）=|x ﹣1|﹣1，且关于x 方程02)()(2=-+x af x f 有且只有三个实数根，则实数a 的值为（ ）A. 1B. -1C. 0D. 217. 已知函数⎩⎨⎧>-≤=1),1(1,)(x x f x e x f x ，g （x ）=kx+1，若方程f （x ）﹣g （x ）=0有两个不同实根，则实数k 的取值范围为________．18. 已知函数213,10()132,01x g x x x x x ⎧- -<≤⎪=+⎨⎪-+<≤⎩，若方程()0g x mx m --=有且仅有两个不等的实根，则实数m 的取值范围是( )A ．9(,2][0,2]4--B ．11(,2][0,2]4--C ．9(,2][0,2)4--D ．11(,2][0,2)4--19. 若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________.20. 直线x y =与函数⎩⎨⎧≤++>=mx x x mx x f ,24,2)(2的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值214个互异的实数根，则实数a 的取值范围为22. 对于函数()(]⎩⎨⎧∈++∞∈=2,0),2(2,2,sin )(x x g x x x g π，若关于 x 的方程)0()(>=n n x f 有且只有两个不同的实根1x ，2x ，则=+21x x _____.23. 若偶函数 )(x f y =, R x ∈,满足 )()2(x f x f -=+,且当 []2,0∈x 时, 22)(x x f -=,则方程 x x f sin )(=在[]10,10-内的根的个数为____.值范围是____.25. 函数124)(+⋅+=xxm x f 有且仅有一个零点，则m 的取值范围_________.26. 已知函数a ax x x f -++=3)(2,当]2,2[-∈x 时，函数至少有一个零点，求a 的取值范围_________．27．已知函数()ln 26f x x x =+-的零点在区间()1,22k k k Z +⎛⎫∈⎪⎝⎭内，那么k =__________．28. 函数()(1)sin π1(13)f x x x x =---<<的所有零点之和为____.29. 函数4log ,0()cos ,0x x f x x x >⎧=⎨≤⎩的图象上关于原点O 对称的点有______对.。