抽象函数、图像、函数零点

函数基本知识

抽象函数：

1. 已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立.

证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数；（2）函数()y f x =是奇函数.

2. 已知)(x f 在（－1，1）上有定义，且满足),1(

)()()1,1(,xy

y

x f y f x f y x --=--∈有 证明：)(x f 在（－1，1）上为奇函数；

3. 设)(x f 是R 上的函数，且满足1)0(=f ，并且对于任意的实数x ，y 都有

)12()()(+--=-y x y x f y x f 成立，则=)(x f _____________.

4. 已知定义在R +

上的函数()f x 同时满足下列三个条件：① (3)1f =-; ② 对任意x y R +

∈、 都有()()()f xy f x f y =+；③0)(,1<>x f x 时. （1）求)9(f 、)3(f 的值； （2）证明：函数()f x 在R +

上为减函数； （3）解关于x 的不等式2)1()6(--

5.是定义在()0,+∞()f x 上的减函数,满足()()()f x f y f xy +=. (1)求证:()()x f x f y f y ⎛⎫

-= ⎪⎝⎭;

(2)若()44f =-,解不等式()(

)

11212

f x f x -≥--.

6. 设函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x 1，x 2有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)成立，且当x ＜0时，f (x )＞1．数列{a n }满足：a 1＝f (0)，11

()()(2)

n n f a n f a *+=∈--N ．

（1）求a 2017；

（2）若不等式1212

(1)(1)(1)()21n n a a a t a a a n ++++≥对n *

∈N 恒成立，求实数t 的最

大值．

7.给出下列三个等式：

()()()y f x f xy f +=，()()()y f x f y x f =+，

()()()y f x f y x f +=+，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）

A.()x

x f 3= B. ()x

x f 2lg = C. ()x x f 2log = D.()()0≠+=kb b kx x f

函数图像：

1.幂函数2

1311

2x

y

,x y ,x y ,x y --==

==在第一象限内的图象依次是图中的曲线（ ）

A. 2134,,,C C C C

B. 2314C ,C ,C ,C

C. 4123C ,C ,C ,C

D. 3241C ,C ,C ,C

2. 函数x

y 2log 2

=的图像大致是（ ）

3.函数lg x

y x

=

的图象大致是（ ）

4．函数的图象大致是（ ）

x

y

A.

B.

C.

D.

o

1

1

x

y

o

1 1

x

y

o

1 1

x

y

o

1 1

A. B. C. D.

5．函数1

()12

x y =+的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是（ ）

6. 函数|

|2

2x e x y -=在[]2,2-的图像大致为（ ）

A. B.

C. D.

7. 已知函数1

()ln(1)f x x x

=

+-，则()y f x =的图像大致为（ ）

A B C D

8. 函数y ＝ln 1

|2x －3|

的图象为( )

9．已知121

()(sin )221

x x f x x x -=-⋅+，则函数()y f x =的图象大致为( )

10. 已知a >0且a ≠1，则在同一坐标系中，函数x

a

y -=和y ＝log a (－x )的图象可能是( )

函数的零点：

1.函数f (x )＝－1

x ＋log 2x 的一个零点落在区间________．

A.(0,1)

B.(1,2)

C. (2,3)

D. (3,4)

2.函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为________.

3.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________.

4.若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________.

5.函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，则m 的取值范围________.

6.函数f (x )＝2x －2

x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．

7. 已知函数⎩

⎨⎧

>+-≤=m x m mx x m x x x f ,42|,|)(2其中0>m ，若存在实数b ，使得关于x 的方程

f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.