数分试卷

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华南理工大学期末考试

《数学分析》(三)期末考试试卷

注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上； 3．考试形式：闭卷；

一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。

1. 求函数11

(,)f x y y x

=在点(0,0)处的二次极限与二重极限.

2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩

是由方程组(),

(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数,其中f 和F 分别

具有连续的导数和偏导数,求dz

dx

.

3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z z

z x x y x

∂∂∂++=∂∂∂∂。

设,,22

y x y x y

w ze μν+-===(假设出现的导数皆连续）. 4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 5. 设3

2

2()y x y y F y e dx -=⎰,计算()F y '.

6. 求曲线2

22222x y xy

a

b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所围的面积，其中常数,,0a b c >.

7. 计算曲线积分352L

zdx xdy ydz +-⎰,其中L 是圆柱面221x y +=与平面

3z y =+的交线（为一椭圆），从z 轴的正向看去，是逆时针方向.

8. 计算积分S

yzdzdx ⎰⎰,S 为椭球面222

2221x y z a b c ++=的上半部分的下侧.

二. 证明题（共3题，共28分）。

9.（9分） 讨论函数3

2224

22,0(,)0,0

xy x y x y

f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

在原点(0,0)处的连续性、

可偏导性和可微性.

10.（9分） 设(),F x y 满足： （1）在()

{}

00,,D x y x x a y y b =

-≤-≤上连续，

（2）()00,0F x y =，

（3）当x 固定时，函数(),F x y 是y 的严格单减函数。 试证：存在0δ>，使得在{

}

0x

x x δδI =-<上通过(),0F x y =定义了一个

函数()y y x =，且()y y x =在δI 上连续。

11.（10分） 讨论积分1011

sin dx x x

α⎰在02α<<上的一致收敛性。

答案:

一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。

1.

求函数11

(,)f x y y x =+在点(0,0)处的二次极限与二重极限.

解：

11

(,)f x y y x =

=+，

因此二重极限为0.……(4分)

因为011x y x →

与011

y y x

→均不存在，

故二次极限均不存在。 ……(9分)

2. 设(),()

y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数,其中f 和F 分别

具有连续的导数和偏导数,求dz

dx

.

解： 对两方程分别关于x 求偏导:

， ……(4分)

。 解此方程组并整理得()()()

()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '⋅+++-=

'++. ……(9分)

3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程

222

z z z

z x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂。 设,,22

y x y x y

w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下：

()()(1)0x y

z dz

dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ⎧'=++++⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩

,(,),,22

y w x y x y z w w e μνμν+-=

===。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得：

2222w w

w μμν

∂∂+=∂∂∂。 ……(9分)

4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中

目标函数: 222S rh r ππ=+表, 约束条件: 21r h π=。 ……(3分) 构造Lagrange 函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。

令 2

2420,20.

r h F h r rh F r r πππλππλ=++=⎧⎨=+=⎩ ……(6分) 解得2h r =

，故有r h == 由题意知问题的最小值必存在，当底面半

径为r =

高为h =时，制作圆桶用料最省。 ……(9分)

5. 设3

2

2

()y x y y F y e dx -=⎰,计算()F y '.

解：由含参积分的求导公式

33222

2

3

2

2222()32y y x y

x y x y

x

y x y

x y y y

y

F y e dx x e dx y e ye ----=='⎛⎫'==-+- ⎪⎝⎭⎰⎰ ……(5分)

3

2

7

5

22232y x y y y y x e dx y e ye ---=-+-⎰

375222751222y y y x y

y y e ye e dx y

---=--⎰。 ……(9分)

6. 求曲线2

22222x y xy

a

b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所围的面积，其中常数,,0a b c >.

解：利用坐标变换cos ,

sin .

x a y b ρθρθ=⎧⎨=⎩ 由于0xy ≥，则图象在第一三象限，从而可

以利用对称性，只需求第一象限内的面积。

(

),0,02πρθθρ⎧⎪Ω=≤≤≤≤⎨⎪⎩。 ……(3分) 则

(,)

2(,)

x y V d d ρθρθΩ

∂=∂⎰⎰

1

2

sin cos 200

2ab c d ab d π

θθθρρ

⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎰⎰

……(6分)