华师大版2020九年级数学上册第24章解直角三角形自主学习培优测试卷A卷(附答案详解)
第24章 解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-华师大版(含答案)
第24章解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-华师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、的值为（）A. B. C. D.2、如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为（）A. 米B. 米C.6cos50°米D. 米3、三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）A.5B.6C.11D.164、如果三条线段分别是：（1）2，2，3；（2）2，3，5；（3）1，4，6；（4）3，4，5；其中能构成三角形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5、等腰三角形两边长分别为 3，7，则它的周长为 ( )A.13B.17C.13或17D.不能确定6、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，交BA的延长线于点F，若AF＝，则BF的长为（）A. B.3 C. D.47、已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是（）A.17B.22C.17或22D.138、在中，，若已知，则（）A. B. C. D.9、如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS=60m，ST=120m，QR=80m，则河的宽度PQ为（）A.40mB.60mC.120mD.180m10、某山的山顶B处有一个观光塔，已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC为30°，山高BC为100米，点E距山脚D处150米，在点E处测得观光塔顶端A的仰角为60°，则观光塔AB的高度是（）A.50米B.100米C.125米D.150米11、在△ABC中，∠C=90°，cosA=，那么tanA等于（）A. B. C. D.12、如图，，点为上一点，以点为圆心、任意长为半径画弧，交于点，交于点．再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线，在上取点，连接，过点作，垂足为点．若，则的长可能为A.1B.2C.D.13、△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=5cm，最长边AB的长是（）A.7cmB.8cmC.9cmD.10cm14、如图，某轮船在点O处测得一个小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔A在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行（）A. 海里B. 海里C. 海里D.海里15、已知三角形的三边长分别为2，x，3，则x可以是（）A.1B.4C.5D.6二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，身高为1.6米的学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是________米．17、如图，在中，，，，是的中点，点在边上，将沿翻折，使点落在点处，连接、，当是等腰直角三角形时，的长为________.18、已知等腰三角形有两条边的长度分别是3和6，那么这个等腰三角形的周长是________．19、△ABC中，AB= ，AC=8，∠ACB=30°，则BC的长为________．20、纸片中，，将它折叠使与重合，折痕交于点，则线段的长为________．21、汽车沿着坡度为1：7的斜坡向上行驶了50米，则汽车升高了________ 米．22、如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠BCD＝120°，以点A为圆心的半圆与BC，CD相切于点E和点F，则图中用影部分的面积为________.23、矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为，那么该矩形的面积为________.24、计算：﹣（﹣）﹣2﹣2cos60°=________．25、计算：|﹣2|﹣+（）﹣1+tan45°=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：.27、如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：∵sinA= ，sinB= ，∴c= ，c= ，∴= ，根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．28、为申办冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况．在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3米远的D处，从C点测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30度．问：距离B点8米远的保护物是否在危险区内？29、如图1，一个圆球放置在V型架中．图2是它的平面示意图，CA、CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果⊙O的半径为cm，且AB＝6cm，求∠ACB．30、如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A﹣B﹣D的路线可至山顶D处．已知AB＝BD＝800米，∠α＝75°，∠β＝45°，求山高DE（结果精确到1米）．（参考数据：sin75°＝0.966，cos75°＝0.259，tan75°＝3.732，＝1.414）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A3、C4、B5、B6、C7、B8、B9、C10、A11、D12、D13、D14、A15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、30、。
华师大版2020九年级数学上册第24章解直角三角形自主学习能力达标测试卷A卷(附答案详解)
华师大版2020九年级数学上册第24章解直角三角形自主学习能力达标测试卷A 卷（附答案详解）1．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则cosA 的值是（ ）A ．35B ．45C ．34D ．432．如图，在山坡上种树，已知∠A=30°，AC=3m ，则相邻两株树的坡面距离AB=（ ）．A ．6mB ．3mC ．23mD ．22m3．在ABC 中，C 90∠=︒，AB 15=，BC 12=，则tanA 的值是( )A ．34B ．43C ．35D ．454．如图在ABC 中，AB AC =，D 为AB 边上一点，且BD 2AD =，过D 作DE //BC ，O 内切于四边形BCED ，则sinB 的值为( )A ．45 B ．12 C ．2 D ．3 5．已知ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，面积为S ；DEF 的三边长分别为d 、e 、f ，面积为M ，且a d >，b e >，c f >，则S 和M 的关系为（ ）A ．S>MB ．S<MC ．S=MD ．不确定6．如图，在△ABC 中，∠A=90°，AC=9，sinB=0.6，则AB 等于（ ）A ．10B ．12C ．15D ．187．如图，小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9.0m ，眼睛与地面的距离为1.6m ，那么这棵树的高度大约是（ ）A ．5.2mB ．6.8mC ．9.4mD ．17.2m8．如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）AC 是3米，测得斜坡的倾斜角是30，则斜坡上相邻两树间的坡面距离AB 约是（ ）（保留一位小数，3 1.732≈）A ．2.6米B ．5.2米C ．3.5米D ．5.17米9．已知α是锐角，且sin 0.75α=，则（ ）A ．030α<<B ．3045α<<C ．4560α<<D ．6090α<< 10．将一副三角板如下图摆放在一起，连接AD ，则∠ADB 的正切值为（ ）A ．31-B ．31+C ．31+D ．312- 11．如图，在四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，AC 和BD 相交于点E.若AD ∥BC ，BD ⊥AD ，2DE ＝BE ，3AD ＝BD ，则∠BAC ＋∠BCA 的度数为_______．12．如图所示方格纸中每个小正方形的边长为1，其中有三个格点A 、B 、C ，则sin∠ABC=_____．13．计算：()20333cot 6018o ---+=_____．14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，sinA ＝16，那么AB ＝__________. 15．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形，点1B 在y 轴上且坐标是()0,2，点1C ，1E ，2E ，2C ，3E ，4E ，3C 在x 轴上，1C 的坐标是()1,0，112233////B C B C B C ，以此继续下去，则点2018A 到x 轴距离是______．16．如图，电线杆AB 高10米，当太阳光线与地面夹角为60°时，其影长AC 约是____米．(3≈1.732，结果精确到0.1米)17．如图所示，运载火箭从地面L 处垂直向上发射，当火箭到达A 点时，从位于地面R 处的雷达测得AR 的距离是40km ，仰角是30°，n 秒后，火箭到达B 点，此时仰角是45°，则火箭在这n 秒中上升的高度是_____km.18．如图，传送带和地面所成斜坡AB 的坡度为13A 处送到坡顶B 处时，物体所经过的路程是12米，此时物体离地面的高度是_____米．19．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：33y x =--与x 轴交于点1B ，以1OB 为边长作等边三角形11A OB ，过点1A 作12A B 平行于x 轴，交直线l 于点2B ，以12A B 为边长作等边三角形212A A B ，过点2A 作23A B 平行于x 轴，交直线l 于点3B ，以23A B 为边长作等边三角形323A A B ，⋯，则点2018A 的坐标是______．20．晓明从自家的阳台上观测对面一幢大楼，测得楼顶的仰角为45°，楼底的俯角为30°，如果两楼之间两楼之间的水平距离为30米，那么对面大楼的高为_____米． 21．已知A ∠为锐角，根据下列锐角三角函数值，求其相应的锐角A ：sin 0.6275;cos 0.6252;tan 0.8816.A A A ===22．A 为⊙C 上一点，过点A 作弦AB ，取弦AB 上一点P ，若满足13≤AP AB<1，则称P 为点A 关于⊙C 的黄金点．已知⊙C 的半径为3，点A 的坐标为（1，0）．(1)当点C 的坐标为（4，0）时，①在点D （3，0），E （4，1），F （7，0）中，点A 关于⊙C 的黄金点是 ； ②直线33y x =-上存在点A 关于⊙C 的黄金点P ，求点P 的横坐标的取值范围； (2)若y 轴上存在．．点A 关于⊙C 的黄金点，直接写出点C 横坐标的取值范围． 23．如图，已知测速站P 到公路L 的距离PO 为40米，一辆汽车在公路L 上行驶，测得此车从点A 行驶到点B 的所用的时间为2秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=30°，计算此车从A 到B 的平均速度，并判断此车是否超过了每小时70千米的限制速度．24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，AB=3，点E，F 同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，已知点F的移动速度是点E移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG，设E点移动距离为x（0＜x＜6）．（1）∠DCB= 度，当点G在四边形ABCD的边上时，x= ；（2）在点E，F的移动过程中，点G始终在BD或BD的延长线上运动，求点G在线段BD的中点时x的值；（3）当2＜x＜6时，求△EFG与四边形ABCD重叠部分面积y与x之间的函数关系式，当x取何值时，y有最大值？并求出y的最大值．25．某数码产品专卖店的一块摄像机支架如图所示，将该支架打开立于地面MN上，主杆AC与地面垂直，调节支架使得脚架BE与主杆AC的夹角∠CBE=45°，这时支架CD与主杆AC的夹角∠BCD恰好等于60°，若主杆最高点A到调节旋钮B的距离为40cm．支架CD的长度为30cm，旋转钮D是脚架BE的中点，求脚架BE的长度和支架最高点A到地面的距离．（结果保留根号）26．高为12.6米的教学楼ED前有一棵大树AB（如图）．（1）某一时刻测得大树AB、教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC=2.4米，DF=7.2米，求大树AB的高度．（2）用皮尺、高为h米的测角仪，请你设计另一种．．．测量大树AB高度的方案，要求：①在图2上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m 、n …表示，角度用希腊字母α、β …表示）；②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB高度（用字母表示）．27．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角，AB ＝3，AC ＝5，sin C ＝，求BC 的长．28．如图，学校教学楼附近有一个斜坡，王老师发现教学楼在水平地面与斜坡处形成的投影中，在斜坡上的影子CD 6m =，坡角D 点到楼房的距离CB 8m =，在D 点处观察点A 的仰角为60，已知坡角ECD ∠为30，请帮王老师求出楼房AB 的高度．参考答案1．B【解析】【分析】根据余弦的定义计算即可．【详解】在Rt△ABC中，cosA=45 ACAB，故选B．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．2．C【解析】【分析】根据坡度角的余弦值=水平距离：坡面距离即可解答．【详解】cos30°=3 AB，∴.故选C.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是坡度角的余弦值=水平距离：坡面距离．3．B【解析】【分析】首先利用勾股定理求得AC的长度；然后利用锐角三角函数定义进行解答．【详解】∵如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=12，∴2222=15129AB BC--=，∴tanA=12493 BCAC==．故选A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理．正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A 的正切，记作tanA．4．D【解析】【分析】先由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出BC=3DE，根据同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形证明四边形BCED是等腰梯形，则BD=CE，再作等腰梯形BCED的高DF、EG，设DE=a，根据圆外切四边形及等腰梯形的性质得出BD=CE=2a，然后解Rt△BDF，即可求出sinB的值．【详解】解：∵DE∥BC，BD=2AD，∴13 DE ADBC AB==，∴BC=3DE．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE∥BC，BC≠DE，∴四边形BCED是等腰梯形，∴BD=CE．作等腰梯形BCED的高DF、EG，则四边形DEGF是矩形，BF=CG．设DE=a ，则BC=3DE=3a ，BF=CG=2BC DE -=a ． ∵⊙O 内切于四边形BCED ，BD+CE=DE+BC=a+3a=4a ，∴BD=CE=2a ．在Rt △BDF 中，∵∠BFD=90°， ∴22BD BF -224a a -3， ∴sinB=DF BD =3a 2a 3 故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，等腰梯形的判定与性质，圆外切四边形的性质，解直角三角形，综合性较强，难度适中．作出等腰梯形BCED 的高DF 、EG ，设DE=a ，用含a 的代数式表示出BD 是解题的关键．5．D【解析】【分析】根据三角形的面积公式和三边之间的关系分别举出例子，即可求出答案．【详解】解：根据题意得：S 和M 的关系不能确定；如当△ABC 三边为（10，10，16），△DEF 三边为（3，3，3），S ＞M ；当△ABC 三边为（10，10，16），△DEF 三边为（6，6，6），S=M ； 当△ABC 101101，20），△DEF 三边为（10，10，10），S=10，M=3S ＜M ；故选D ．【点睛】此题考查了解直角三角形，解题的关键是根据三角形的面积公式分别进行计算，再举出例子． 6．B【解析】根据正弦的定义得到sinB=AC BC =35，又因AC=9，可得BC=15，根据勾股定理得：AB=12． 故选：B ．7．B【解析】【分析】三角尺和树构成直角三角形，根据一直角边和三角尺的度数，可将眼睛到树尖的距离求出，加上眼睛与地面的距离即为这棵树的高度．【详解】眼睛到树尖的距离h 1=tan30°×9=，眼睛与地面之间的距离：h 2=1.6，∴这棵树的高度h =h 1+h 2 1.6≈6.8（m ）．故选B ．【点睛】本题主要是将实际问题与解直角三角形联系起来，使求解过程变得简单．8．A【解析】【分析】由题意可知∠ABC=90°，利用30°角的余弦即可求出AB 的长．【详解】∵9030ABC A ∠=∠=，，∴cos30AB AC == ∵AC =3米，∴2AB =∵3 1.732≈，∴AB =1.5×1.732≈2.6米.故选:A.【点睛】考查解直角三角形的应用-坡角问题，熟练掌握余弦的定义是解题的关键.9．C【解析】【分析】根据30°、45°、60°及90°角的正弦值逐一进行判断即可.【详解】∵sin30°=12 、sin45°=22 、sin60°=3 、sin90°=1， ∴sin30°<sin45°<sin α <sin60°<sin90°∵α是锐角，正弦值随α的增大而增大，∴4560α<<，故选C【点睛】本题考查锐角的正弦函数性质，锐角的正弦值随α的增大而增大，熟练掌握锐角的正弦函数性质及特殊角的三角函数值是解题关键.10．D【解析】【分析】过点A 构造ADB ∠所在的直角三角形，设AE 为1，得到DE 的值，相除即可.【详解】作AE BD ⊥，交DB 的延长线于点E ，由题意可得：45ABE CBD ∠=∠=︒，设1AE =，则AB =， ∴BC =Rt BCD 是等腰直角三角形，∴BD =∴1DE =∴)1tan 112ADB ∠=÷， 故选：D .【点睛】考查解直角三角形的知识，构造出所求角所在的直角三角形是解决本题的难点.11．60°【解析】解：∵BD ⊥AD ，∴∠ADB =90°=BD ，∴tan ∠ABD =3AD BD =，∴∠ABD =30°．∵AD ∥BC ，∴∠CBD =∠ADB =90°，∴∠ABC =30°+90°=120°，∴∠BAC +∠BCA =180°﹣120°=60°．故答案为：60°． 点睛：此题考查了锐角三角函数，垂直的定义和平行线的性质，三角形内角和定理，关键是求得∠ABC 的度数．12．145【解析】【分析】首先过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接AC .进而结合ABC S得出AD 的长，再利用锐角三角函数关系求出答案．【详解】解：如图所示：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接AC .∵111202524149222ABCS=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，192ABCS BC AD，=⨯⨯=∴1259 2⨯=，解得：95,5AD=故sin∠ABC9145145ADAB==9145点睛：考查锐角三角函数，涉及三角形面积和勾股定理，根据面积求出95AD=是解题的关键.13．1．【解析】【分析】按照实数的运算规则计算即可. 【详解】解：原式=133，故答案为1．【点睛】本题考查了实数的混合运算. 14．18【解析】【分析】运用三角函数定义求解．【详解】在Rt △ABC 中， ∵90C ∠=，1sin 6BC A AB ==， ∴AB =3×6=18. 故答案为18.【点睛】考查正弦的定义，根据正弦的定义列出式子是解题的关键.15．201732【解析】 【分析】根据勾股定理可得正方形1111A B C D 的边长为22215+=，根据相似三角形的性质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的12，依次得到第2018个正方形和第2018个正方形的边长，进一步得到点2018A 到x 轴的距离．【详解】如图，点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、3C 在x 轴上，112233////B C B C B C ， 11B OC ∴∽222B E C ∽343B E C ⋯，11B OC ≌111C E D ，⋯，221B E ∴=，3412B E =，4614B E =，5818B E =⋯， 20184034201612B E ∴=，作1A E x ⊥轴，延长11A D 交x 轴于F ，则11C D F ∽111C D E ，1111111D F C D DE C E ∴=，在11Rt OB C 中，12OB =，11OC =，正方形1111A B C D1D F ∴=，1A F ∴=111//A E D E ，11111A E A F D E D F∴=， 13A E ∴=，1132A EB O ∴=， ∴点2018A 到x 轴的距离是20162017133222⨯=， 故答案为：201732．【点睛】 此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形的知识，观察图形，找出规律是解题关键．16．5.8【解析】在直角三角形ABC 中，∠ACB=60°．∵tan60°=AB AC =10AC， ∴≈5.8米． 故答案为：5.8.点睛：此题抓哟考查了解直角三角形，关键是理解锐角三角函数的概念，熟记特殊角的三角函数值．17．－20【解析】分析：根据图形，直接利用锐角三角函数的定义得出LR=AR×cos∠ARL，代入数据求出LR 的长，接下来，利用锐角三角函数关系得出BL=LR×tan∠BRL，再利用AL=AR sin∠AR L，求出AL的值，进而得出答案.详解：在Rt△ALR中，AR=40km，∠ARL=30°，∵cos∠ARL=RL AR，∴LR=AR×cos∠ARL=40×cos30°≈203（km）. 在Rt△BLR中，LR=203km，∠BRL=45°，∵tan∠BRL=BL LR，∴BL=LR×tan∠BRL=203×tan45°≈203×1=203（km），又∵sin∠ARL=AL AR，∴AL=AR sin∠ARL=40×sin30°=20（km），∴AB=BL-AL=（203-20）km.故答案为（203-20）km.点睛：本题重点考查解直角三角形的应用---仰角俯角问题，解题的关键是熟熟练掌握锐角三角函数的概念.18．6【解析】如图：作BF⊥AF，垂足为F．∵tan∠BAF=BF：AF=1：3，∴∠BAF=30°，∴BF=1AB2=1122=6（米），故答案为6.19．2018201820182121A ,322⎛⎫---⨯ ⎪⎝ 【解析】【分析】根据题意可得直线l 与x 轴成30，OB 11=，可得1OA 1=，12A A 2=，32A A 4=，可推出20182017A A 的长，可求2018OA ，根据锐角三角函数可求2018A 坐标．【详解】解：如图：33y =-与x 轴交于点1B ∴当y 0=时，330= x 1=- ()1B 1,0∴-即1B O 1=33y =-与y 轴交于D 当x 0=，3y 3=-， 3D 0,⎛∴ ⎝⎭，13tan OB D ∠=1OB D 30∠∴=，等边三角形11A OB ，1A O 1∴=，1111A OB 60A B O ∠∠==211B B A 90∠∴=，11A OC 30∠=12A B //x 轴11211A B 2A B 22∴===．同理232A A 4(2)==．∴等边三角形AnAn 1Bn -的边长为n 12-．即等边三角形201820172018A A B 的边长为20172．延长21B A 交y 轴于1C ，延长21B A 交y 轴于1C ，延长21B A 交y 轴于1C ，⋯11A C y ∴⊥轴，22A C y ⊥轴，20182018A C y ⋯⊥轴23201720181122320182017OA OA A A A A A A 12222=+++⋯+=++++⋯+．232017201820182OA 22222∴=+++⋯++．20182018OA 21∴=-，11A OC 30∠=，2018201820182018OA 21A C 22-∴==，201820182018201821OC C 2-==， 2018201820182121A ,22⎛--∴- ⎝，故答案为：2018201820182121A ,22⎛--- ⎝ 【点睛】本题考查了一次函数上点的坐标特征，关键是找出点的坐标规律．20．．【解析】【分析】把所求线段分割为两个直角三角形里的边，利用所给角的相应的函数求解即可．【详解】设晓明所在的位置是C，对面的大楼用AB表示，作CE⊥AB于E．在Rt△AEC中，有AE= CE×tan45°=30．在Rt△BEC中，有BE= CE×tan30=103；则AB的高度是（30+103）m．故答案为30+103．【点睛】本题考查了俯角、仰角的定义，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．21．'''412357.511811；'''385157；'''【解析】【分析】启动开机键后，在角的度量单位是“度”的状态下，先按副功能键“2ndF”和相应三角比的名称键，再输入三角比的值，按“=”键后，即可得到以度为单位的锐角度数.【详解】∵sin A=0.6275,∴∠A=38°51′57′′；A=，∵cos0.6252∴∠A='''511811；A=，∵tan0.8816∴∠A='''412357.【点睛】本题考查了学生的操作能力及对基本概念的应用能力，熟析计算器的使用方法是解答本题的关键.22．（1）①D（3,0），E（4, 1）；②52≤x＜112；（2）-2≤x＜3.【解析】分析：（1）①如图1，根据题意画出图形，由图结合已知条件分析即可得出结论；②根据题意画出符合要求的图形如图2所示，设直线y x=与以（2,0）为圆心，1为半径的圆交于点P1，与⊙C交于点P2 .则易得121 3AP AP =，221APAP=，由此可知，求出点P1和P2的横坐标即可得到所求答案了；（2）由⊙C的半径为3可知点C在以点A为圆心，3为半径的圆上，由y轴上存在点A关于⊙C的黄金点可知，点C到y轴的距离不能超过3，由此画出符合题意的图3，根据图3即可求得点C的横坐标的取值范围了.详解：（1）①如图1，过点C作CP⊥AB于点P，∴AP=12 AB，∵AE>AP，AE<AB，∴11 3AEAB<<，∴点E是点A关于⊙C的黄金点；∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0），点F的坐标为（7，0），∴可得AF=6，AD=2，∴13ADAF=，1AFAF=，∴点D是点A关于⊙C的黄金点，点F不是点A关于⊙C的黄金点；∴D、E、F三点中点D和点E是点A关于⊙C的黄金点；②∵在直线3333y x=-中，当x=1时，y=0，∴直线33y x=过A（1,0），且与x轴正方向夹角为30°，如图时所示：设直线33y x=与以（2，0）为圆心，1为半径的圆交于点P1，与⊙C交于点P2，连接P1N，过P1作P1N⊥x轴于点E，则∠AP1N=90°，AN=2，∠NAP1=30°，∴AP1=AN·cos30°3∴AE=AP1·cos30°=32，∴OE=OA+AE=52，∴x P1=52，同理可得：x P2=11 2.∴52≤x＜112.（2）如图3所示：∵点A的坐标为（1，0），⊙C的的半径为3，且点A在⊙C上，∴点C只能在以点A为圆心，3为半径的圆上，又∵在y轴上存在点A关于⊙C的的黄金点，∴⊙C和y轴有公共点，又∵⊙C的半径为3，∴点C只能在直线x=3和直线x=-3之间（包括两条直线上），∴如下图所示，点C的横坐标的取值范围是-2≤x＜3.点睛：读懂题意，弄清“黄金点的含义”，根据各小题的条件画出符合条件的图1、图2和图3是正确解答本题的关键.23．约83千米/时超速【解析】【分析】在直角三角形POB 中，∠BPO=30°，PO=40，利用30°的正切值可得BO 长，同理可得到AO 长，减去BO 长，除以时间即为汽车速度.【详解】∵在直角三角形POB 中,∠BPO=30∘，PO=40∴BO=OP×tan30°=3同理可得那么AB=OA−OB=3米÷2≈23.09米/秒≈83千米/时. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是利用三角函数进行求解.24．(1) 30；2；（2）x=1；（3）当x=187时，y 最大； 【解析】【分析】(1)如图1中，作DH ⊥BC 于H ，则四边形ABHD 是矩形．AD=BH=3，BC=6，CH=BC ﹣BH=3，当等边三角形△EGF 的高 时，点G 在AD 上，此时x=2；（2）根据勾股定理求出BD 的长度，根据三角函数，求出∠ADB=30°，根据中点的定义得出1122BG BD ==⨯=根据等边三角形的性质得到BF ,即可求出x 的值； （3）图2，图3三种情形解决问题．①当2<x<3时，如图2中，点E 、F 在线段BC 上，△EFG 与四边形ABCD 重叠部分为四边形EFNM ；②当3≤x<6时，如图3中，点E 在线段BC 上，点F 在射线BC 上，重叠部分是△ECP ；【详解】（1）作DH ⊥BC 于H ，则四边形ABHD 是矩形．∵AD=BH=3，BC=6，∴CH=BC ﹣BH=3，在Rt △DHC 中，CH=3，3,DH AB == ∴3tan DH DCB CH ∠== 当等边三角形△EGF 3时，点G 在AD 上，此时x=2，∠DCB=30°， 故答案为30，2，（2）如图∵AD ∥BC∴∠A=180°﹣∠ABC=180°﹣90°=90° 在Rt △ABD 中，()22223323,BD AB BD =+=+=31sin ,223AB ADB BD ∠=== ∴∠ADB=30° ∵G 是BD 的中点 ∴11233,22BG BD ==⨯= ∵AD ∥BC∴∠ADB=∠DBC=30°∵△GEF 是等边三角形，∴∠GFE=60°∴∠BGF=90°在Rt△BGF中，32, cos cos30BGBFGBF===∠∴2x=2即x=1；（3）分两种情况：当2＜x＜3，如图2点E、点F在线段BC上△GEF与四边形ABCD重叠部分为四边形EFNM ∵∠FNC=∠GFE﹣∠DCB=60°﹣30°=30°∴∠FNC=∠DCB∴FN=FC=6﹣2x∴GN=x﹣（6﹣2x）=3x﹣6∵∠FNC=∠GNM=30°，∠G=60°∴∠GMN=90°在Rt△GNM中，133333tan603333, 2222MG GN x NM MG x x⎛⎫==-=⋅=-=-⎪⎝⎭∴131333333,222EFG GMNxy S S x x x⎛⎫=-=---⎪⎝⎭⎝227393937318937x x⎫==-⎪⎝⎭∴当187x=时，y最大93=当3≤x＜6时，如图3，点E 在线段BC 上，点F 在线段BC 的延长线上，△GEF 与四边形ABCD 重叠部分为△ECP∵∠PCE=30°，∠PEC=60° ∴∠EPC=90°在Rt △EPC 中EC=6﹣x ， 113,22EP EC x ==- 13tan 3tan 6033,2PC EP PEC x x ⎛⎫=⋅∠=-⋅= ⎪⎝⎭ 21133339333322y x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称轴为3336,32x ==⨯ 当x ＜6时，y 随x 的增大而减小∴当x=3时，y 最大38= 综上所述：当187x =时，y 最大37= 【点睛】 属于四边形的综合题，考查动点问题，等边三角形的性质，三角函数，二次函数的最值等，综合性比较强，难度较大.25．（3cm【解析】分析：过点D 作DG ⊥BC 于点G ，延长AC 交MN 于点H ，则AH ⊥MN ，在Rt △DCG 中，求出DG 的值，在Rt △BDG 中，求出BD 的值，在Rt △BHE 中，求出BH 的值，从而结论可求.详解：过点D作DG⊥BC于点G，延长AC交MN于点H，则AH⊥MN，在Rt△DCG中，根据sin∠GCD=，得DG=CD•sin∠GCD=，在Rt△BDG中，根据sin∠GBD=，得，∵D为BE的中点，∴BE=2BD=30，在Rt△BHE中，根据cos∠HBE=，得BH=BE•，∴AH=AB+BH=40+303，∴脚架BE的长度为30cm，支架最高点A到地面的距离为（）cm．点睛：本题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是将实际问题转化为数学问题,构造直角三角形并解直角三角形,难度适中.26．（1）4.2米；（2）AB=（m tanα＋h）米.【解析】【分析】∽，得到比例关系式，可求得AB的值；（1）首先根据平行线的性质判断出ABC EDF（2）根据题意，设计测量方法，要求符合三角函数的定义，且易于操作即可.【详解】连接AC、EF，（1）∵太阳光线是平行线，∴AC∥EF，∴∠ACB=∠EFD．∵∠ABC=∠EDF=90°，∴△ABC∽△EDF，∴∴．∴AB=4.2．答：大树AB的高是4.2米．（2）（方法一）如图，MG=BN=m，AG=mtanα∴AB=（mtanα+h）米（方法二）AG=∴AB=+h或AB=+h．【点睛】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形.27．BC=7．【解析】【分析】作AD⊥BC，在△ACD中求得AD=ACsinC=3、，再在△ABD中根据、AD=3求得BD=3，继而根据BC=BD+CD可得答案．【详解】解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵AC=5，∴AD=AC•sinC=3．∴在Rt△ACD中，∵∴在Rt△ABD中，∴BC=BD+CD=7． 【点睛】 本题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义．28．楼房AB 的高度为()1283m +．【解析】分析：作DH ⊥AB ，根据Rt △CDE 和Rt △ADH 中三角函数值得出BH 和AH 的长度，从而得出答案．详解：作DH AB ⊥于H ， 在Rt CDE 中，132DE CD ==，3332CE CD ==， 338BE ∴=+， 在Rt ADH 中，tan 983AH DH ADH =⋅∠=+，1283AB AH BH ∴=+=+，答：楼房AB 的高度为()1283m +．点睛：本题主要考查的是解直角三角形的性质，属于基础题型．作出辅助线构造出直角三角形是解决这个问题的关键．。
2020华师大版九年级数学上册第24章 解直角三角形提高性测试卷(含答案)
【文库独家】华师大版九年级上册第24章 解直角三角形提高性测试卷班级 姓名 学号 成绩一、选择题1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足．若AC ＝4，BC ＝3，则sin ∠ACD 的值为（ ）A ．34 B ．43 C ．54 D ．53 2．已知∠A ＋∠B ＝90°且cos A ＝51，则cos B 的值为（ ） A ．51 B ．54 C ．562 D ．52 3．已知tan a ＝32，则锐角a 满足（ ） A ．0°＜a ＜30° B ．30°＜a ＜45° C ．45°＜a ＜60° D ．60°＜a ＜90°4．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，则tan C ＝（ ）A ．53B ．54C ．34D ．43 5．如图，从山顶A 望到地面C ，D 两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，已知CD ＝100m ，点C 在BD 上，则山高AB 等于 （ ） A ．100 m B ．350m C ．250m D ．50（13+）m6．已知楼房AB 高50 m ，如图，铁塔塔基距楼房房基间的水平距离BD ＝50 m ，塔高DC 为31（350150+）m ，下列结论中，正确的是 （ ） A ．由楼顶望塔顶仰角为60° B ．由楼顶望塔基俯角为60°C ．由楼顶望塔顶仰角为30°D ．由楼顶望塔基俯角为30°7．如图,水库大坝的横断面积为梯形,坝顶宽6米、坝高24米、斜坡AB 的坡角为45°，斜坡CD 的坡度i ＝1∶2，则坝底AD 的长为 （ ）A ．42米B ．（32430+）米C ．78米D ．（3830+）米二、填空题1．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝135AB ，则cos B ＝ ． 2．将cos21°、cos37°、sin41°、cos46°的值按由小到大的顺序排列是 ． 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝23，则方程tan A ·x 2＋2x ＋tan B ＝0的根为 ． 4．已知等腰梯形下底长4厘米，高是2厘米，下底的内角的正弦值是54，则上底长为 厘米．5.水库的横断面是梯形，如图，坝高23m ，斜坡的坡度为，则斜坡的长为 。
第24章 解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-华师大版(含答案)
第24章解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-华师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点1000m的C地去，先沿北偏东70°方向到达B地，然后再沿北偏西20°方向走了500m到达目的地C，此时小霞在营地A的（）A.北偏东20°方向上B.北偏东30°方向上C.北偏东40°方向上 D.北偏西30°方向上2、下列各组中，能够构成三角形的是（）A.2，3，6B.2，6，8C.4，4，10D.4，5，83、如图，在单位正方形组成的网格图中标有四条线段，其中能构成一个直角三角形三的线段是（）A.CD，EF，GHB.AB，EF，GHC.AB，CD，GHD.AB，CD，EF4、如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( )A. B. C. D.5、已知一个三角形的两边长是方程x2-8x+15=0的两根，则第三边y的取值范围是（）．A.y<8B.3<y<5C.2<y<8D.无法确定6、如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A（2，4），顶点为（﹣1，0），则sinα的值是（）A. B. C. D.7、若三条线段的比是①1：4：6；②1：2：3，；③3：3：6；④6：6：10；⑤3：4：5；其中可构成三角形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个8、如图，△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=2，D是AB上的动点，将线段CD绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE，则BE的最小值是（）A. -1B.C.D.29、下列数据能够组成三角形的是（）A.1，2，3B.3，4，5C.4，4，8D.4，5，1010、长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（）A. B. C. D.11、Rt△ABC中，∠C=90°，锐角为30°，最短边长为5cm，则最长边上的中线是（）A.5cmB.15cmC.10cmD.2.5cm12、已知线段，下面有四个说法: ①线段长可能为；②线段长可能为;③线段长不可能为；④线段长可能为.所有正确说法的序号是（）A.①②B.③④C.①②④D.①②③④13、如图，已知∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=（）A.4B.3C.2D.114、某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，再往摩天轮的方向前进50m至D处，测得最高点A的仰角为60°．问摩天轮的高度AB约是（）米（结果精确到1 米，参考数据： 1.41， 1.73）A.120B.117C.118D.11915、△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（）A.bcosB=cB.csinA=aC.atanA=bD.tanB=二、填空题(共10题，共计30分)16、已知sin 33°18'≈0.549 0,则cos 56°42'≈________ .17、如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是斜边AB上的高，若∠A=30°，BD=1cm，则AD=________cm．18、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，D为BC上任意一点，过点D作DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F，且DE+DF = ，连接AD，则AB=________.19、如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为________．20、如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠A＝15º，AB＝20，点D是AB的中点，BD=CD，则AC·BC的值为________.21、如图，将△ABC沿着CE翻折，使点A落在点D处，CD与AB交于点F，恰好有CE=CF，若DF=6，AF=14，则tan∠CEF=________．22、若三角形其中两边的长是11和6，则第三边x的取值范围是________.23、如图，利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是________．24、一个平行四边形的一条对角线的长度为5，一条边为7，则它的另一条对角线α的取值范围是________．25、已知三角形的两边长为5和2，若该三角形的周长为奇数，则第三条边长为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：27、如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B 地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.73）28、已知cos45°=，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．29、近几年，我国国家海洋局高度重视海上巡逻．如图，上午9时，巡逻船位于A处，观测到某港口城市P位于巡逻船的北偏西67.5°，巡逻船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时巡逻船到达B处，这时观测到城市P位于巡逻船的南偏西36.9°方向，求此时巡逻船所在B处与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈）30、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6cm，AD是∠CAB的平分线，求DC的长。
华师大版2020九年级数学上册第24章解直角三角形自主学习基础达标测试卷A卷(附答案详解)
华师大版2020九年级数学上册第24章解直角三角形自主学习基础达标测试卷A 卷（附答案详解）1．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD 的坡度为1：1.2，斜坡BC 的坡度为1：0.8，现测得放水前的水面宽EF 为3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH 为6米．则放水后水面上升的高度是（ ）米．A ．1.2B ．1.1C ．0.8D ．2.22．如图，∠1的正切值是（ ）A ．2B ．C ．D ．3．如图，在Rt ABO ∆中，斜边1AB =.若//,36OC BA AOC ∠=︒，则( )A ．点B 到AO 的距离为sin54°B ．点B 到AO 的距离为tan36°C ．点A 到OC 的距离为sin 36°sin54°D ．点A 到OC 的距离为cos36°sin54° 4．当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是（ ） A ．正弦和余弦 B ．正弦和正切 C ．余弦和正切 D ．正弦、余弦和正切 5．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=，tan A =（ ）A ．BC AB B ．AC AB C ．BC ACD ．AC BC 6．在Rt △ABC 中，∠C=90°，tan A=3，AC 等于10，则S △ABC 等于( ) A ．3 B ．300 C ．503 D ．1507．如图，矩形纸片ABCD ，AB=4，BC=3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP=OF ，则cos ∠ADF 的值为（ ）A ．1113B ．1315C ．1517D ．17198．sin 245°﹣3tan 230°+4cos 260°的值是（ ）A ．0B ．C ．2D ．39．在Rt ABC 中，AD 是斜边BC 上的高线，若2BD =，6BC =，则AB =（ ） A ．2 B ．6 C ．23 D ．2210．如图，已知点E 是矩形ABCD 的对角线AC 上的一动点，正方形EFGH 的顶点G 、H 都在边AD 上，若AB=3，BC=4，则tan ∠AFE 的值（ ）A ．等于37B ．等于33C ．等于34D ．随点E 位置的变化而变化11．在Rt ABC 中，90A ∠=，2AB =，若1sin 5C =，则BC 的长度为________． 12．如图，BA MN ⊥，23BA =，点P 是射线AN 上的一个动点（点P 与点A 不重合），BPC BPA ∠=∠，BC BP ⊥，过点C 作CD MN ⊥，垂足为D ，在P 点运动过程中，当AP =________时，ABP 和CDP 相似．13．如图，在Rt △AOB 中，直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后，得到△A ′O ′B ，且反比例函数y ＝k x的图象恰好经过斜边A ′B 的中点C ，若S ABO ＝4，tan ∠BAO ＝2，则k ＝_____．14．如图1，在R t△ABC中，∠ACB=90°，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿折线AC﹣CB运动，到点B停止．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y（cm）与点P 的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示．当点P运动5秒时，PD的长的值为_____．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝512，△ABC的周长为18，则S△ABC＝____．16．已知：∠1=30°30′，∠2=28.5°，则sin（∠1﹣∠2）≈________ （可用计算器，精确到0.001）17．如图，已知点A(53，0)，直线y＝x＋b(b＞0)与y轴交于点B，连接AB．若∠α＝75°，则b＝________．18．在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=13， AB=6，那么BC=________19．A港在B地的正南103千米处，一艘轮船由A港开出向西航行，某人第一次在B 处望见该船在南偏西30，半小时后，又望见该船在南偏西60，则该船速度为________千米/小时．20．如图,一条铁路路基的横断面为等腰梯形,根据图示数据计算路基的下底宽AB=___________ m.21．如图，一艘船以每小时60海里的速度自A向正北方向航行，船在A处时，灯塔S 在船的北偏东30，航行1小时后到B处，此时灯塔S在船的北偏东75，（运算结果保留根号）()1求船在B处时与灯塔S的距离；()2若船从B处继续向正北方向航行，问经过多长时间船与灯塔S的距离最近．22．如图，在距离铁轨200米的A 处，观察由成都开往西安的“和谐号”动车，当动车车头到达B 处时，车头恰好位于A 处的北偏东60°方向上，10秒钟后，动车车头到达C 处，此时车头恰好位于A 处西偏北45°方向上，求这时段动车的平均速度是多少米/秒？（结果精确到个位，参考数据2≈1.414，3≈1.732）23．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i=1：3，求大楼AB 的高度是多少？(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)24122cos30︒+|﹣2|﹣（﹣13）﹣1 ． 25．（1）计算：())01231--+﹣sin30° （2）化简：2a 11a a a++-. 26．如图，某中学在主楼的顶部D 和大门A 的上方之间挂一些彩旗，经测量，大门距主楼的距离90BC m =，在大门处测得主楼顶部的仰角是30，而当时测倾器离地面 1.5.BE m =求：学校主楼CD 的高度(结果精确到0.01)m27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, △AB D是等边三角形，将四边形ACBD沿直线EF折叠，使D与C重合，CE与CF分别交AB于点G、H.（1）求证：△AEG∽△CHG；（2）△AEG与△BHF是否相似，并说明理由；（3）若BC=1，求cos∠CHG的值.28．如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1∶_______参考答案1．B【解析】解：过点E作EM⊥GH于点M，过点F作FN⊥GH于点N，可得四边形EFNM为矩形，则MN=EF，设ME=FN=x，在Rt△GME中，∵斜坡AD的坡度为1：1.2，∴ME：GM=1：1.2，∴GM=1.2x．在Rt△NHF中，∵斜坡BC的坡度为1：0.8，∴NF：NH=1：0.8，∴NH=0.8x，则GH=1.2x+0.8x+3.8=6，解得：x=1.1．故选B．点睛：此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度、矩形的性质，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形．2．B【解析】【分析】先根据圆周角定理得出∠1=∠2，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】∵∠1=∠2, ，∴∠1的正切值为.故选B.【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理, 锐角三角函数的定义，解题关键是熟记圆周率定理. 3．C【解析】【分析】根据图形得出B到AO的距离是指BO的长，过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，根据锐角三角形函数定义得出BO=ABsin36°，即可判断A、B；过A 作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，根据锐角三角形函数定义得出AD=AOsin36°，AO=AB•sin54°，求出AD，即可判断C、D．【详解】B到AO的距离是指BO的长，∵AB∥OC，∴∠BAO=∠AOC=36°，∵在Rt△BOA中，∠BOA=90°，AB=1，∴sin36°=BO AB，∴BO=ABsin36°=sin36°，故A、B选项错误；过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，∵∠BAO=36°，∠AOB=90°，∴∠ABO=54°，∵sin36°=AD AO，∴AD=AO•sin36°，∵sin54°=AO AB，∴AO=AB•sin54°，∵AB=1，∴AD=AB•sin54°•sin36°=1×sin54°•sin36°=sin54°•sin36°，故C选项正确，D选项错误，故选C．【点睛】本题考查了对解直角三角形和点到直线的距离的应用，解此题的关键是①找出点A到OC的距离和B到AO的距离，②熟练地运用锐角三角形函数的定义求出关系式，是一道容易出错的题目．4．B【解析】当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是正弦和正切．故选B．5．C【解析】【分析】根据正切的定义解答即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanA=BC AC．故选C．【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．6．D【解析】【分析】根据tan A=BCAC=3即可求得BC的长，进而求出面积．【详解】∵tan A=BCAC=3，∴BC=AC⋅tan A=10×3=30，∴S△ABC=12AC⋅BC=12×10×30=150.故选D.【点睛】本题考查了解直角三角形.掌握正切的概念是解题的关键. 7．C【解析】【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF可得出△OEF≌△OBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出OE=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，进而可得出AF=1+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出cos∠ADF的值．【详解】根据折叠，可知：△DCP≌△DEP，∴DC=DE=4，CP=EP．在△OEF和△OBP中，90EOF BOPE BOF OP∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△OEF≌△OBP（AAS），∴OE=OB，EF=BP．设EF=x，则BP=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，∴AF=AB﹣BF=1+x．在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，解得：x=35，∴DF=4﹣x=175，∴cos∠ADF=1517ADDF=，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x，求出AF的长度是解题的关键．8．B【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值计算．【详解】解：原式=，= -1+1=．故选：B ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．9．C【解析】【分析】利用射影定理可直接求解.【详解】根据射影定理,2,AB BD BC =⋅ 2BD =，6BC =，2 3.AB ∴= .故选:C.【点睛】主要考查直角三角形斜边上的高把三角形分成的两个三角形与原三角形相似.10．A【解析】【分析】根据题意推知EF ∥AD ，EH ∥CD ，由该平行线的性质推知△AEH ∽△ACD ，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．【详解】∵EF∥AD，EH∥CD，∴∠AFE=∠FAG，△AEH∽△ACD，∴34 EH CDAH AD==．设EH=3x，AH=4x，∴HG=GF=3x，∴tan∠AFE=tan∠FAG=33347 GF xAG x x==+．故选A．【点睛】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求∠AFE的正切值转化为求∠FAG的正切值来解答的．11．10【解析】【分析】根据∠A=90°，得出sinC=ABBC，再代值计算即可．【详解】如图：∵∠A=90°，∴sinC=ABBC=15，∵AB=2，∴BC=10；故答案为10．【点睛】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是锐角三角函数，关键是熟记正弦的定义．12．2或6【解析】【分析】当△BAP ∽△CDP 时，易得∠BPA=60°，AP=60BA tan ︒=233，当△BAP ∽△PDC 时，易得∠BPA=30°，AP=30BA tan ︒=6． 【详解】如图1,当△BAP ∽△CDP 时，∵∠BPC=∠BPA ，∠CPD=∠BPA ，∴∠BPA=∠BPC=∠CPD=60°，∴AP=60BA tan ︒233=2， 如图2,当△BAP ∽△PDC 时，∵∠CPB=∠BPA,∠PCD=∠BPA,∴3∠BPA=90°，∴∠BPA=30°，∴AP=30BA tan ︒=6. 所以AP=2或AP=6时，△ABP 和△CDP 相似.故答案是：2或6.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定. 13．6【解析】设点C坐标为（x，y），作CD⊥BO′交边BO′于点D，∵tan∠BAO=2，∴=2，∵S△ABO=12•AO•BO=4，∴AO=2，BO=4，∵△ABO≌△A'O'B，∴AO=A′O′=2，BO=BO′=4，∵点C为斜边A′B的中点，CD⊥BO′，∴CD=12A′O′=1，BD=12BO′=2，∴x=BO﹣CD=4﹣1=3，y=BD=2，∴k=x·y=3×2=6．故答案为6．14．2.4cm【解析】分析：根据图2可判断AC=3，BC=4，则可确定t=5时BP的值，利用sin∠B的值，可求出PD．详解：由图2可得，AC=3，BC=4，∴AB=22345+=.当t=5时，如图所示：，此时AC+CP=5，故BP=AC+BC-AC-CP=2，∵sin∠B=ACAB=35，∴PD=BP·sin∠B=2×35=65=1.2（cm）．故答案是：1.2 cm．点睛：本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，锐角三角函数等知识，解答本题的关键是根据图形得到AC、BC的长度，此题难度一般．15．54 5【解析】【分析】根据正切函数是对边比邻边，可得a、b的值，根据勾股定理，可得c根据周长公式，可得x 的值，根据三角形的面积公式，可得答案．【详解】由在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=512，得a=5x，b=12x．由勾股定理，得22a b+．由三角形的周长，得5x+12x+13x=18，解得x=35，a=3，b=365．S△ABC=12ab=12×3×365=545．故答案为：545．【点睛】本题考查了解直角三角形，利用正切函数表示出a=5x，b=12x是解题关键．16．0.035【解析】∵∠1=30°30′，∠2=28.5°，∴∠1-∠2=30°30′-28°30′=2°，∴sin(∠1-∠2)=sin2°≈0.035.17．5【解析】【分析】首先根据直线y=x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点C、点B，求出点C，点B的坐标各是多少；然后根据∠α=75°，∠BCA=45°，应用三角形的外角的性质，求出∠BAC的度数是多少，进而求出b的值是多少即可．【详解】如图1，，∵直线y=x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点C、点B，∴点C的坐标是（-b，0），点B的坐标是（0，b），∵∠α=75°，∠BCA=45°，∴∠BAC=75°-45°=30°，53＝tan30°3解得b=5．故答案为5．【点睛】（1）此题主要考查了解直角三角形问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确解直角三角形要用到的关系：①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；②三边之间的关系：a 2+b 2=c 2． （2）此题还考查了一次函数图象上点的坐标特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一次函数y=kx+b ，（k≠0，且k ，b 为常数）的图象是一条直线．它与x 轴的交点坐标是（-，0）；与y 轴的交点坐标是（0，b ）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b ． 18．2【解析】【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．【详解】sin A =13=BC AB，得 BC =AB ×13=6×13=2 ， 故答案为 2.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中， 锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.19．40【解析】【分析】根据题意画出图形，在图中两个直角三角形中，利用AB 的长以及两个已知角的正切函数，分别求出AD 和AC ，CD 即可求出，最后除以行驶时间即可.【详解】解：如图，千米，∠ABC=30°，∠ABD=60°，从C 到D 用时半小时即0.5小时， ∵在Rt △ABD 中，∠ABD=60°，∴tan ∠ABD=tan60°=AD AB∴AD=ABtan60°=103×3=30. 在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴tan∠ABC=tan30°=AC AB，∴AC=ABtan30°=103×3=10.∴CD=AD-AC=20，∵从C到D用时0.5小时，∴该船的速度为20÷0.5=40千米/小时.故答案为：40.【点睛】此题主要考查方向角的知识.20．34【解析】试题解析：作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，那么EF=CD=10.∵坡度为1:2，DE=6，∴AE=CF=12，∴AB=12+10+12=34.故答案为：34.点睛：坡度=垂直距离：水平距离，所以可根据题中坡度比以及梯形的高求出下底．21．()1302?海里；()2船的航行时间为1531531--=小时． 【解析】【分析】 （1）过点B 作BC ⊥AS ，垂足为C ，构造两个直角三角形，即可求出CS=BC 的值，再求出BS 的值；（2）根据（1）中计算，求出BE 的长，再根据船的航速，利用时间=路程÷速度即可求出船从B 处继续向正北方向航行与灯塔S 的距离最近的时间．【详解】()1过点B 作BC AS ⊥，垂足为C ．∵60AB =海里，30A ∠=，75DBS ∠=，∴105ABS ∠=，∴60ABC ∠=，45CBS ∠=，∴1302CS BC AB ===， 22302BS BC SC =+=海里；()2过点S 作ES AB ⊥，垂足为E ．则船与灯塔S 的最近距离为ES ，∵3cos3060303AC AB =⋅==30SC =， ∴30330AS =， )1531ES =，∴45AE =+，15BE AE AB =-=，= 【点睛】考查解直角三角形的应用-方向角问题，构造出两个直角三角形，利用三角函数是解题的关键.22．55米/秒【解析】分析：作AD ⊥BC 于点D ，根据Rt △ADB 和Rt △ADC 的三角函数分别求出CD 和BD 的长度，然后得出BC 的长度，从而得出速度．详解：解：作AD ⊥BC 于点D ，∴在Rt △ADB 中，∠1=60°，AD=200米，∴tan ∠1=BD AD ∴tan60°=BD 200，∴BD=200•tan60°（米） 在Rt △ADC 中，∠1=45°，AD=200米， ∴tan ∠1=CD AD ∴tan45°=CD 200，∴CD=200•tan45°=200（米） ，∴∴平均速度是÷1055（米/秒）．点睛：本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是构造出直角三角形．23．39.4米【解析】试题分析：延长AB 交DC 于H ，作EG ⊥AB 于G ，则则GH =DE =15米，EG =DH ，设BH =x米,则CH =米，在Rt △BCH 中，BC =12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH =6米,CH =,BG EG 的长度，证明AEG △是等腰直角三角形，得出20AG EG ==（米），即可得出大楼AB 的高度． 试题解析：延长AB 交DC 于H ，作EG ⊥AB 于G ，如图所示：则GH =DE =15米，EG =DH ， ∵梯坎坡度3i =，∴:3BH CH =，设BH =x 米,则3CH x =米，在Rt △BCH 中，BC =12米， 由勾股定理得：2223)12x x +=，解得：x =6，∴BH =6米,63CH =米，∴BG =GH −BH =15−6=9(米),6320EG DH CH CD ==+=(米)，∵45α∠=，∴904545EAG ∠=-=，∴△AEG 是等腰直角三角形， ∴6320AG EG == (米)， ∴6320939.4AB AG BG =+=+≈(米).故大楼AB 的高度大约是39.4米.24．11【解析】【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值化简，第三项利用绝对值的代数意义化简，第四项利用负指数幂法则计算，即可得到结果．【详解】解：原式=6+2+3=11．【点睛】此题考查了实数的运算，涉及的知识有：二次根式的化简，负指数幂，熟练掌握公式及定义是解本题的关键．25．（1）0；（2）2a1 -.【解析】【分析】（1）直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值进而化简得出答案；（2）直接利用通分运算进而得出答案．【详解】（1）原式=﹣12+1﹣12=0；（2）原式=11(1)(1)a aa a a a+-+--=2 (1)a a a-=2a1 -．【点睛】考查了分式的加减运算以及实数运算，正确掌握运算法则是解题关键．26．53.46米.【解析】【分析】根据题意过E做EN平行于BC交DC于N，利用三角函数求出CD的长．【详解】解：过E做EN平行于BC交DC于N，30DEN∠=且BC EN=，tan90tan30303DN EN DEN m=⋅∠=⋅=，303 1.553.46DC DN NC DN EB m=+=+=+≈．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．27．（1）证明见解析（2）△AEG与△BHF相似（3）1 7【解析】试题分析：（1）由于△ABD是等边三角形，那么∠D=∠EAG=60°，根据折叠的性质知：∠D=∠GCH=∠AEG=60°，再加上对顶角∠EGA=∠HGC，即可证得所求的三角形相似；（2）由△ABD是等边三角形和的性质知：∠BAD=∠GCH=∠ABD，再由三角形内角和定理可证明∠1=∠5，即可得到结论；（3）在Rt△ABC中，已知了BC的长和∠BAC的度数，即可求得AB、AC的值，由折叠的性质知：DE=CE，可设出DE、CE的长，然后表示出AE的长，进而可在Rt△AEC中，由勾股定理求得AE、CE的值，即可得到∠AEG的余弦值，而根据（1）的相似三角形知∠AEG=∠CHG，由此得解．试题解析：解：（1）∵△ABD是等边三角形，∴∠EAG=∠D=60°；根据折叠的性质知：DE=CE，∠D=∠GCH=∠EAG=60°，又∵∠EGA=∠HGC，∴△AEG∽△CHG．（2）△AEG与△BHF相似．理由如下：∵∠BAD=∠ABD=∠D，∠GCH=∠D，∴∠BAD=∠GCH=∠ABD，∴∠1+∠2=∠3+∠4．∵∠2=∠3，∠4=∠5，∴∠1=∠5，∴△AEG∽△BHF；（3）△ABC中，∠BAC=30°，BC=1，则AC=3，AB=2，故AD=AB=2．设DE=EC=x，则AE=2﹣x．在Rt△AEC中，由勾股定理，得：（2﹣x）2+3=x2，解得x=74，∴AE=14，EC=74，∴cos∠AEC=AEEC=17．由（1）的相似三角形知：∠AEG=∠CHG，故cos∠CHG=cos∠AEC=17．点睛：此题考查的知识点有：等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、图形的翻折变换以及锐角三角函数的定义等知识，难度适中．28．2.4.【解析】试题解析：如图所示：AC=130米，BC=50米，则22120AB AC BC=-=米，则坡比501:2.4.120BCAB===故答案为：2.4.。
华师大版2020九年级数学上册第24章解直角三角形自主学习优生提升测试卷A卷(附答案详解)
（2）求E、E'两点的距离.
26．如图，为了测量小山顶的铁塔AB高度，王华和杨丽在平地上的C点处测得A点的仰角为45°，向前走了18m后到达D点，测得A点的仰角为60°，B点的仰角为30°
（1）求证：AB＝BD；
（2）求证铁塔AB的高度．（结果精确到0.1米，其中 ≈1.41 ）
12．如图，Rt△ABC中，∠AOB＝90°，点A在 上，点B在 上，则tan∠OAB＝___．
13．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶12千米至B地，再沿北偏西45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B，C两地的距离为_____千米．（结果保留根号）
27．如图，AB是长为10m，倾斜角为30°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）．（参考数据：sin65°＝0.90，tan65°＝2.14）
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据对称性确定E、F、G、H都在菱形的边上，由于点P在BO上与点P在OD上求S1和S2的方法不同，因此需分情况讨论，由S1=S2和S1+S2=8 可以求出S1=S2=4 ．然后在两种情况下分别建立关于x的方程，解方程，结合不同情况下x的范围确定x的值．
【详解】
①当点P在BO上，0＜x≤2时，如图所示．
∵四边形ABCD是菱形，AC=4 ，BD=4，
∴AC⊥BD，BO= BD=2，AO= AC=2 ，
且S菱形ABCD= BD•AC=8 ．
∴tan∠ABO= = ．
∴∠ABO=60°．
华东师大版九年级上册数学《第24章解直角三角形》检测题试卷(含答案)
第24章检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、精心选一选(每小题3分，共30分)1．如图，在平面直角坐标系中，直线OA 过点(2，1)，则tan α的值是( C ) A.55 B. 5 C.12D ．2(第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图)2．河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比为1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( A )A ．53米B ．102米C ．15米D ．10米3．如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点M ，N 分别为OB ，OC 的中点，则cos ∠OMN 的值为( B ) A.12 B.22 C.32D ．1 4．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AC 的长为( C )A ．3 B.165 C.203 D.1635．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝2，CD ＝3，则AB ＝( D )A ．4B ．5C ．2 3 D.833(第5题图) (第6题图) (第9题图) (第10题图)6．如图，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( A ) A.212B ．12C ．14D ．21 7．式子2cos 30°－tan 45°－（1－tan 60°）2的值是( B )A ．23－2B ．0C ．2 3D ．28．李红同学遇到了这样一道题：3tan (α＋20°)＝1，你认为锐角α的度数应是( D )A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°9．为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC ，∠ACB ；②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC.能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有( C )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组10．如图，某人在大楼30米高(即PH ＝30米)的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，已知该山坡的坡角i 为1∶3，点P ，H ，B ，C ，A 在同一个平面上，点H ，B ，C 在同一条直线上，且PH ⊥HC.则A ，B 两点间的距离是( B )A ．15米B ．203米C ．202米D ．103米二、细心填一填(每小题3分，共24分)11．若α为锐角，cos α＝35，则sin α＝__45__，tan α＝__43__． 12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝512，△ABC 的周长为18，则S △ABC ＝__545__． 13．小志同学书桌上有一个电子相框，将其侧面抽象如图所示的几何图，已知AB ＝AC ＝15 cm ，∠BAC ＝40°，则点A 到BC 的距离为__14.1__cm.(参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)(第13题图) (第15题图) (第16题图) (第17题图)14．在△ABC 中，若|2cos A －1|＋(3－tan B)2＝0，则∠C ＝__60°__．15．如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，若过点C作CD ⊥AB 于点D ，则∠BCD ＝15°，根据图形计算tan 15°＝．16．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，迎水坡AB长13米，且tan ∠BAE ＝125，则河堤的高BE 为__12__米． 17．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且BD 平分AC.若BD ＝8，AC ＝6，∠BOC ＝120°，则四边形ABCD 的面积为__．(结果保留根号)18．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，tan A ＝43.点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，且∠EDC ＝∠A.将△ABC 沿DE 所在直线对折，若点C 恰好落在边AB 上，则DE 的长为__12548__． 三、用心做一做(共66分)19．(10分)解下列各题：(1)先化简，再求代数式(1x ＋x ＋1x )÷x ＋2x 2＋x 的值，其中x ＝3cos 30°＋12； 解：原式＝x ＋1，当x ＝2时，原式＝3(2)已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝32.计算8－4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋(13)－1的值． 解：α＝45°，原式＝320．(8分)解下列各题：(1)已知∠A ，∠B ，∠C 是锐角三角形ABC 的三个内角，且满足(2sin A －3)2＋tan B －1＝0，求∠C 的度数；解：75°(2)(原创题)已知tan α的值是方程x 2－x －2＝0的一个根，求式子3sin α－cos α2cos α＋sin α的值． 解：∵方程的根为x 1＝2，x 2＝－1.又∵tan α＞0，∴tan α＝2，∴原式＝3tan α－12＋tan α＝3×2－12＋2＝5421．(10分)如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC.(1)求证：AC ＝BD ；(2)若sin C ＝1213，BC ＝12，求AD 的长．解：(1)∵AD 是BC 上的高，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∠ADC ＝90°，在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，∵tanB ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝AD AC，又tanB ＝cos ∠DAC ，∴AD BD ＝AD AC ，∴AC ＝BD (2)在Rt △ADC 中，sinC ＝1213，故可设AD ＝12k ，AC ＝13k ，∴CD ＝AC 2－AD 2＝5k.∵BC ＝BD ＋CD ，AC＝BD ，∴BC ＝13k ＋5k ＝18k ，∴18k ＝12，∴k ＝23，∴AD ＝12k ＝12×23＝822．(8分)如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A 处，在A 处测得大树顶端B 的仰角是48°.若坡角∠FAE ＝30°，求大树的高度．(结果保留整数．参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11，3≈1.73)解：延长BD 交AE 于点G ，过点D 作DH ⊥AE 于点H.由题意知∠DAE ＝∠BGA ＝30°，DA ＝6，∴GD ＝DA ＝6，∴GH ＝AH ＝DA ·cos30°＝33，∴GA ＝6 3.设BC 的长为x 米．在Rt △GBC 中，GC ＝BC tan ∠BGC＝x tan30°＝3x.在Rt △ABC 中，AC ＝BC tan ∠BAC ＝x tan48°∵GC －AC ＝GA ，∴3x －x tan48°＝63，∴x ≈13，即大树的高度约为13米23．(8分)如图，登山缆车从点A 出发，途经点B 后到达终点C.其中AB 段与BC 段的运行路程均为200 m ，且AB 段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC 段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离．(参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)解：根据题意可知∠BAD ＝30°，∠CBE ＝42°，AB ＝BC ＝200 m ．在Rt △ABD 中，BD ＝AB ·sin30°＝200×12＝100(m )．在Rt △BCE 中，CE ＝BC ·sin42°≈200×0.67＝134(m )，∴BD ＋CE ≈100＋134＝234(m )，因此，缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离约为234 m24．(10分)如图是我国某海域内的一个小岛，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝15千米，CD ＝32千米，请据此解答如下问题：(1)求该岛的周长和面积；(结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449)(2)求∠ACD 的余弦值．解：连结AC ，∵AB ＝BC ＝15千米，∠B ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，AC ＝152千米，又∵∠D ＝90°，∴AD ＝AC 2－CD 2＝（152）2－（32）2＝123(千米)，∴周长＝AB ＋BC ＋CD ＋DA ≈55(千米)，面积＝S △ABC ＋S △ADC ≈157(平方千米)(2)cos ∠ACD ＝CD AC ＝32152＝1525．(12分)如图，甲、乙只捕捞船同时从A 港出海捕鱼，甲船以每小时15 2 km 的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15 km 的速度沿东北方向前进．甲船航行2 h 到达C 处，此时甲船发现渔具丢在了乙船上，于是甲船快速(匀速)沿北偏东75°的方向追赶乙船，结果两船在B 处相遇．问： (1)甲船从C 处出发追赶上乙船用了多少时间？(2)甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？解：过点A 作AM ⊥BC 于点M ，如图，(1)设甲船从C 处出发追赶上乙船用了x h ，则乙船从A 到B 用了(x ＋2)h.在Rt △ACM 中，AC ＝152×2＝302(km )，∴MC ＝AM ＝AC ·sin ∠ACB ＝302×22＝30(km )．在Rt △ABM 中，AM ＝12AB ，∴30＝12×15×(x ＋2)，解得x ＝2，答：甲船从C 处出发追赶上乙船用了2 h (2)在Rt △ABM 中，AM ＝30 km ，AB ＝60 km ，∴BM ＝AB 2－AM 2＝602－302＝303(km )，∴BC ＝MC ＋BM ＝30(1＋3)(km )，∴甲船追赶乙船的速度是30（1＋3）2＝15(1＋3)km/h.答：甲船追赶乙船的速度是每小时15(1＋3)千米。
华师大版2020九年级数学上册第24章解直角三角形自主学习能力达标测试卷(附答案详解)
华师大版2020九年级数学上册第24章解直角三角形自主学习能力达标测试卷（附答案详解）1．已知⊙O 的直径CD 为2，弧AC 的度数为80°，点B 是弧AC 的中点，点P 在直径CD 上移动，则BP+AP 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．23D ．32．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为n ，滑梯的倾斜角为α，那么滑梯长m 为（ ）A ．sin n αB ．n tan αC ．cos n αD ．n•sinα3．如图，正方形ABCD 中，以BC 为边向正方形内部作等边△BCE ．连接AE ．DE ，连接BD 交CE 于F ，下列结论：①∠AED ＝150°②△DEF ～△BAE ；③tan ∠ECD ＝DF FB④△BEC 的面积：△BFC 的面积（3+1）：2，其中正确的结论有（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．14．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C 处测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，再往摩天轮的方向前进50 m 至D 处，测得最高点A 的仰角为60°.问摩天轮的高度AB 约是( )(结果精确到1 米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)A ．120米B ．117米C ．118米D ．119米5．若sin 0.5α=，则锐角α等于（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°6．定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A 的正对记作sadA ，即sadA ＝底边：腰．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝4∠B ．则cos B •sadA ＝（ ）A ．1B ．32C ．32D ．34 7．如图，正方形ABCD 中，6AB =，G 是BC 的中点.将ABG ∆沿AG 对折至AFG ∆，延长GF 交DC 于点E ，连接AE 、CF ，则下列结论正确的有（ ）个.（1）2DE = （2）45EAG ∠=︒（3）EAG ∆的面积是18 （4）5cos 5FCG ∠=A ．4B ．3C ．2D ．18．如图，某数学兴趣小组为了测量树AB 的高度，他们在与树的底端B 同一水平线上的C 处，测得树顶处的仰角为α，且B 、C 之间的水平距离为a 米，则树高AB 为()A ．tan a α⋅米B ．tan a α 米C ．sin a α⋅ 米D ．cos a α⋅米 9．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，延长CA 到点D ，使AD AB =，连接BD .根据此图形可求得tan15︒的值是( )A ．23B ．23+C 3D ．3210．计算（2sin60°+1）+（﹣0.125）2006×82006的结果是（ ）A 3B 3+1C 3+2D ．011．已知∠A 是锐角，且cos A ＝513，则tan A ＝_____． 12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4，点E 、F 分别在线段AD 、AB 上，将△AEF 沿EF 翻折，使得点A 落在矩形ABCD 内部的P 点，连接PD ，当△PDE 是等边三角形时，BF 的长为_____．13．如图，小明家所在小区的前后两栋楼AB 、CD ，小明在自己所住楼AB 的底部A 处，利用对面楼CD 墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼AB 顶部B 处的仰角是α，若tanα=0.45，两楼的间距为30米，则小明家所住楼AB 的高度是____米．14．计算：16tan 452⨯-︒=_____． 15．在四边形ABCD 中，AD AB BC ==，连接AC ，且AC CD >，30ACD ∠=︒，23tan 3BAC ∠=，3CD =，则AC =__________. 16．如果α是锐角，且0cot tan 35α=，那么α=_______________度.17．如图所示，已知点A 坐标为(5，0)，直线y ＝x ＋b （b ＞0)与y 轴交于点B ，连接AB ，∠α＝75°，则b 的值为________．18．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC =，3sin 4B =，点G 是ABC ∆的重心，连接CG 并延长交AB 于点M ，则CG =__________．19．如图，AB∥DE，AE与BD相交于点C．若AC＝4，BC＝2，CD＝1，则CE的长为_____．20．已知，△ABC中，AB＝5，BC＝4，S△ABC＝8，则tanC＝______.21．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，过E作EM∥AC交AB于点M，连结MD．（1）当∠ADC=80°时，求∠CBE的度数.（2）当∠ADC=α时:①求证：BE=CE.②求证：∠ADM=∠CDM.③当α为多少度时，DM=3EM.22．如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C 与树梢D的仰角∠CAB和∠DAE分别是45°与60°，∠CAD＝60°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°．若房屋的高BC＝62米，求树高DE的长度．23．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间的水平距离AB＝4 m，斜面距离BC＝4.25 m，斜坡总长DE＝85 m.(1)求坡角∠D的度数(结果精确到1°)；(2)若这段斜坡用厚度为17 cm的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？(参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95)24．如图，直线AB 经过A(3，0)和B(0，1)，点C 在反比例函数y ＝k x的图象上，且AC ＝BC ＝AB ．(1)求直线AB 和反比例函数的解析式； (2)点D 坐标为(23，0)过点D 作PD ⊥x 轴，当△PAD 与△OAB 相似时，P 点是否在(1)中反比例函数图象上？如果在，求出P 点坐标；如果不在，请说明理由．25．如图是广场健身的三联漫步机，当然踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，漫步机踏板静止时，其侧面示意图可以抽象为如图，其中，AB =AC =120cm ，BC =80cm ，AE =90cm .（1）求点A 到地面BC 的高度；（2）如图，当踏板从点E 旋转到E '处时，测得37E AE ∠='︒，求此时点E '离地面BC 的高度（结果精确到1cm ）.（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，2 1.41≈）26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，与反比例函数()0m y m x=≠的图象交于C 、D 两点.已知点C 的坐标是（6，-1），D （n ，3）.（1）求m 的值和点D 的坐标.（2）求tan BAO ∠的值.（3）根据图象直接写出：当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？27．如图，在四边形ABCD 中，090D ∠=，AC 平分DAB ∠，且点C 在以AB 为直径的O 上．（1）求证：CD 是O 的切线； （2）点E 是O 上一点，连接BE ，CE ．若042BCE ∠=，9cos DAC 10∠=，AC m =，写出求线段CE 长的思路．28．四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．（1）如图1，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝100°，∠ADC ＝130°，BD ≠BC ，对角线BD 平分∠ABC ．求证：BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；（2）如图2，已知格点△ABC ，请你在正方形网格中画出所有的格点四边形ABCD ，使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形；（注：顶点在小正方形顶点处的多边形称为格点多边形）（3）如图3，四边形AOBC中，点A在射线OP：y （x≥0）上，点B在x轴正半轴上，对角线OC平分∠AOB，连接AB．若OC是四边形AOBC的“相似对角线”，S△AOB＝C的坐标．参考答案1．D【解析】【分析】先作B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交⊙O与点E，连接B′E，则∠AB′E=90°，然后根据对称的性质和圆周角定理求得∠B′EA＝60°，再在RT△B′EA中利用三角函数求解即可.【详解】如图所示：作B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交⊙O与点E，连接B′E，则∠AB′E=90°，∵点B与点B′关于CD对称，∴PB＝PB′，弧BC＝弧B′C ，∴当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′．∵点B是弧AC的中点，弧AC=80°，∴弧A B′＝80°+12×80°=120°．∴∠B′EA＝60°．∴AB′＝AE•sin60°＝2×323∴PB+PA有最小值，最小值为3.故本题答案为：D.【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、最短路径的问题、利用三角函数解直角三角形、圆周角定理等知识点，根据轴对称的性质找出点P是解题的关键.2．A【解析】【分析】在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出m 即可．【详解】根据图形得：sinα＝n m ， 则m ＝sin n， 故选A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡角坡度问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．3．A【解析】【分析】①利用正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，周角求得判定即可；②由①可得到∠ADE 的度数，再利用正方形的性质即可得∠DEF=∠ABE ，即可判定； ③可利用含30°的直角三角形的性质即可分别求出DF BF，再与tan ∠ECD=tan30°作比较即可； ④两个三角形的底相同，由高的比进行判定即可.【详解】∵△BEC 为等边三角形∴∠EBC ＝∠BCE ＝∠ECB ＝60°，AB ＝EB ＝EC ＝BC ＝DC∵四边形ABCD 为正方形∴∠ABE ＝∠ECD ＝90°﹣60°＝30°∴在△ABE 和△DCE 中，AB ＝DC∠ABE ＝∠ECDBE ＝EC∴△ABE ≌△DCE （SAS ）∴∠AEB ＝∠DEC ＝180-302＝75° ∴∠AED ＝360°﹣60°﹣75°×2＝150° 故①正确由①知AE ＝ED ∴∠EAD ＝∠EDA ＝15°∴∠EDF ＝45°﹣15°＝30°∴∠EDF ＝∠ABE由①知∠AEB ＝∠DEC ， ∴△DEF ～△BAE故②正确过点F 作FM ⊥DC 交于M ，如图设DM ＝x ，则FM ＝x ，DF ＝2x∵∠FCD ＝30° ∴MC 3则在Rt △DBC 中，BD ()23+1x ∴BF ＝BD ﹣DF ()23+1-2x x则()23323+11DF x BF x ==- ∵tan ∠ECD ＝tan30°3∴tan ∠ECD ＝DF BF 故③正确如图过点E 作EH ⊥BC 交于H ，过F 作FG ⊥BC 交于G ，得由③知MC，MC ＝FG∴FG∵BC ＝DC＝)x ∴BH＝2x ∵∠EBC ＝60°∴EH 3+13x∴13+133+12122BECBFC EH BC x SEH S FG FG BC ==== 故④正确故选：A ．【点睛】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，相似三角形，全等三角形的判定及含30°的直角三角形的性质．4．C【解析】【分析】在Rt △ABC 和Rt △ABD 中分别用AB 表示出BC 和BD ，利用BC 与BD 的差等于BD 的长，得到有关AB 的式子，把AB 求出来即可．【详解】 解：在Rt △ABC 中，由∠C=45°，得AB=BC ，在Rt △ABD 中，∵tan ∠ADB=tan60°=AB BD， ∴BD=60AB AB tan ==︒， 又∵CD=50m ，∴BC-BD=50，即AB-3AB=50，解得：AB≈118．即摩天轮的高度AB约是118米．故选C．【点睛】此题主要考查了仰角与俯角的问题，利用两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条公共边是解答此题的关键．概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．5．B【解析】【分析】根据sinα的值即可得出锐角α的度数．【详解】解：∵sinα=0.5=12，∠α为锐角，∴∠α=30°．故答案为30°．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟记特殊角的三角函数值．6．B【解析】【分析】根据题意可以求得∠B的度数，然后根据锐角三角函数可以表示出AB和BC的值，从而可以求得sadA和cosA的值，进而求得cosB•sadA的值．【详解】∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝4∠B，∴∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C ＝180°，∴6∠B ＝180°，解得，∠B ＝30°，作AD ⊥BC 于点D ，设AD ＝a ，则AB ＝2a ，BD ，∵BC ＝2BD ，∴BC ＝a ，∴sadA ＝BC AB ==cosB ＝BD AB ==∴cosB•sadA ＝322=， 故选：B ．【点睛】本题考查新定义、解直角三角形、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找到sadA 的计算，利用数形结合的思想解答．7．B【解析】【分析】①正确，根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt △AFE ≌Rt △ADE ；在直角△ECG 中，根据勾股定理即可求出DE 的长；②正确，根据翻折变换的性质和全等得出∠BAG=∠FAG ，∠DAE=∠FAE ，即可求出∠EAG=45°； ③错误，根据EAG 1S =EG AF 2⋅ 即可求得结果； ④正确，作FM ∥EC 交BC 于M ，根据相似三角形的判定和性质 可得FM GF GM ==EC GE GC ，求出FM 和GM ，根据勾股定理求得FC ，即可解决问题．【详解】解：①如图，连接AE ，∵AB=AD=AF，∠D=∠AFE=90°，在Rt△AFE和Rt△ADE中，∵AE=AE AF=AD⎧⎨⎩，∴Rt△AFE≌Rt△ADE，∴EF=DE，设DE=FE=x，则EC=6-x．∵G为BC中点，BC=6，∴CG=3，在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：（6-x）2+9=（x+3）2，解得x=2．故①正确；②∵△ABG沿AG折叠得到△AFG，∴△ABG≌△AFG．∴∠BAG=∠FAG．∵△ADE≌△AFE，∴∠DAE=∠FAE．∵∠BAD=90°，∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=12×90°=45°．故②正确；③∵△ABG沿AG折叠得到△AFG，∴△ABG≌△AFG．∴AF=AB=6，∠AFG=∠B=90°，GF=BG=3，∵ DE=FE=2，∴ EG= GF+ FE=5,∴EAG1S=EG AF2⋅=156=152⨯⨯，故③错误；（4）作FM∥EC交BC于M，则∠FMC=∠DCM=90°，∵FM∥EC∴△GMF∽△GCE，∴FM GF GM==EC GE GC，∵G是BC的中点，BC=AB=6，∴GC=3，∵GF=3，GE=GF+EF=5，EC=CD-DE=4，∴FM=125，GM=95，∴MC=65，22FM MC+=55，∴655cos65MCFCGCF∠===，故④正确.故选B．【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握翻折变换的性质，找出其中对应相等的线段和对应相等的角．8．A【解析】【分析】根据题意可得，tan =AB BC α,这也是最方便的解法. 【详解】 根据题意可得，tan =AB BCα,所以AB=BC∙tan α=tan a α⋅ 故选A【点睛】 考核知识点：解直角三角形的实际运用.9．A【解析】【分析】设BC=x ，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，可得，AB=2x ，，由AD AB ==2x ，可得，由AD AB =，可知，∠D=∠ABD=12∠BAC=15°，在Rt BDC ∆ 中，根据锐角正切三角函数的定义，即可求解.【详解】∵AD AB =，∴∠D=∠ABD ，∵∠BAC=∠D+∠ABD ，∴∠D=12∠BAC=15°， 设BC=x ，∵在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴AB=2x ，=，∴=(2x +，在Rt BDC ∆中，tan 2BC D DC ∠===- ，∴°tan15=2，故选A.【点睛】本题主要考查锐角正切三角函数的定义，根据图形，设BC=x ，用含x 的代数式表示相关线段的长，是解题的关键.10．C【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值化简第一个括号并用去括号法则去掉括号，后面的乘法运算利用积的乘方运算法则的逆运算变形，根据﹣1的偶次幂为1求出结果，合并后即可求出值．【详解】（2sin60°+1）+（﹣0.125）2006×82006＝（）+（﹣0.125×8）2006（﹣1）2006．故选C．【点睛】考查了实数的运算，要求学生牢记特殊角的三角函数值以及积的乘法法则：（ab）n＝a n•b n，灵活运用此法则的逆运算是解本题的关键．同时要求学生掌握﹣1的偶次幂为1，﹣1的奇次幂为﹣1．11．12 5【解析】【分析】根据cos A＝513，可设AC=5x，AB=13x，由勾股定理求出BC的长，然后根据正切函数的定义求解即可. 【详解】如图，∵cos A＝5 13，∴可设AC=5x，AB=13x，∴BC =()()2213512x x x -=，∴tan A ＝121255BC x AC x ==. 故答案为：125.【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt △ABC 中， sin A A ∠=的对边斜边， cos A A ∠=的邻边斜边， tan A A A ∠=∠的对边的邻边. 12．3【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到PE=DE ，∠DEP=60°，由折叠的性质得到AE=PE ，∠AEF=∠PEF=12（180°-60°）=60°，根据矩形的性质得到∠A=90°，解直角三角形即可得到结论．【详解】∵△PDE 是等边三角形，∴PE ＝DE ，∠DEP ＝60°，∵△AEF 沿EF 翻折，使得点A 落在矩形ABCD 内部的P 点，∴AE ＝PE ，∠AEF ＝∠PEF ＝12（180°﹣60°）＝60°， ∴DE ＝AE ，∵AD ＝4，∴AE ＝2，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，∴AF＝3AE＝23，∵AB＝8，∴BF＝AB﹣AF＝8﹣23，故答案为8﹣23．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关13．27．【解析】【分析】作PE⊥AB于点E，在直角△AEP中，利用三角函数求得AE的长，根据AB=2AE即可求解．【详解】解：作PE⊥AB于点E，∵PE⊥AB，AB⊥AC，∴PE//AC，∴∠APE=∠α，∴在直角△AEP中，AE=PE•tan∠APE=30×0.45=13.5（米），∵AP=BP，∴AB=2AE=27（米）．故答案是：27【点睛】本题考查解直角三角形、仰角、俯角的定义，熟记锐角三角函数的定义是解题关键.1431【解析】【分析】根据二次根式的乘法运算的法则和特殊角的三角函数值计算即可．【详解】116tan45613122⨯-︒=⨯-=-，故答案为31-.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟记法则是解题的关键．15．63【解析】【分析】过点D、B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E、H，设AC=x，先求得AE（用含x的式子表示）和DE的长，根据勾股定理可表示出AD2，然后根据等腰三角形三线合一的性质可知：AH=12x，然后根据锐角三角函数的定义可求得HB（用含x的式子表示）的长，根据勾股定理可表示出AB2，然后根据AB=AD，列方程求解即可．【详解】解：过点D、B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E、H，设AC=x．在Rt△CDE中，DC=3，∠DCE=30°，∴12DEDC=，3CEDC=∴DE=32，CE332，则AE=332x在Rt △AED 中，由勾股定理得：AD 2=AE 2+DE 2=(x -2+94， ∵AB =BC ，BH ⊥AC ， ∴AH =12AC =12x ，∵tan ∠BAC =BH AH ，∴BH ， 在Rt △ABH 中，由勾股定理得：AB 2=BH 2+AH 2，∴AB 2＝(12x )2+(3x )2＝712x 2． ∵AB =AD ，∴(x 2+94=712x 2，解得：x 1=x 2（舍去）．∴AC = 【点睛】本题主要考查的是勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质和一元二次方程的应用,解决本题的关键是要熟练利用锐角三角函数的定义和等腰三角形的性． 16．55 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系()cot tan 90α=-α 直接解答． 【详解】解：∵α是锐角时有()cot tan 90α=-α， ∴α=55°. 【点睛】本题考查了对同角的三角函数的关系()cot tan 90α=-α的理解．17【分析】先求出直线y＝x＋b求出与x轴的夹角（∠1）的度数，再利用外角的性质求出∠BAO的度数，利用锐角三角函数求出OB即可求出B点坐标，代入一次函数关系式即可.【详解】解：∵直线y＝x＋b中k=1∴∠1=45°又∵∠α是三角形的外角∴∠BAO=∠α－∠1=30°在Rt△AOB中OB=OA·tan∠BAO=53=3∴B点坐标为（0）将B点坐标代入y＝x＋b解得【点睛】此题考查的是锐角三角函数，待定系数法求一次函数解析式和三角形外角的性质.18．4 3【解析】【分析】根据正弦的定义求出AB，根据直角三角形的性质求出CM，根据重心的性质即可求解．解：在Rt△ACB中，sinB=ACAB=34，AC=3，∴AB=4，∵点G是△ABC的重心，∴点M是AB的中点，在Rt△ACB中，点M是AB的中点，∴CM=12AB=2，∵点M是AB的中点，∴CG=23CM=43．故答案为：43．【点睛】本题考查三角形的重心的概念和性质、直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握重心的性质即三角形三边中线的交点到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．19．2【解析】【分析】先证明△ABC∽△EDC，然后利用相似比计算CE的长．【详解】解：∵AB∥DE，∴△ABC∽△EDC，∴，即，∴CE＝2．故答案为2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活应用相似三角形相似的性质进行几何计算．也考查了解直20．4或47【解析】 【分析】先由BC ＝4，S △ABC ＝8，根据三角形的面积公式求出AD ＝4，利用勾股定理求出BD 的长，再分高AD 在△ABC 内部与高AD 在△ABC 外部两种情况，分别求出CD 的长，然后根据三角函数的定义求出tan C 的值． 【详解】解：设AD 是BC 边上的高，如图． ∵BC ＝4，S △ABC ＝8， ∴1482AD ⨯=， ∴AD ＝4， ∴2222543BD AB AD =-=-=．若高AD 在△ABC 内部，如图1， ∵CD ＝BC －BD ＝1， ∴441AD tanC CD ===；若高AD 在△ABC 外部，如图2， ∵CD ＝BC ＋BD ＝7，∴47AD tanC CD ==． 故答案为4或47．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的面积，勾股定理，锐角三角函数的定义，解题关键是进行分类讨论．21．(1)40°；（2）①见解析，②见解析，③60° 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ACD 的度数，根据∠ACB=90°可求出∠BCE 的度数，根据AD//BE 可得∠BED=∠ADC=80°，根据三角形外角性质即可求出∠CBE 的度数；（2）①由等腰三角形的性质可得∠ACD=90°-12α，根据∠ACB=90°可得∠BCE=12α，根据平行线性质可得∠BED=∠ADC=α，利用外角性质可求出∠CBE=12α，即可证明∠BCE=∠CBE ，进而可证明BE=CE ；②延长EM 交AD 于F ，由EM ∥AC 可得DFM DAC DCA DEM ∠∠∠∠===，进而可得DF=DE ，AF=EC=BE ，根据AAS 可证明△AFM ≅△BEM ，可得FM=EM.，根据等腰三角形三线合一即可证明∠ADM=∠CDM ；③由②可得DM ⊥EM ，由DMEM=tan ∠DEM=60°，即可求出∠EDM=30°，进而可得α=∠ADC=2∠EDM=60°. 【详解】（1）∵AD=CD ，∠ADC=80°， ∴∠ACD=12（180°-80°）=50°，∵∠ACB=90°， ∴∠BCE=90°-50°=40°， ∵AD//BE ，∴∠BED=∠ADC=80°，∴∠CBE=∠BED-∠BCE=80°-40°=40°. （2）①//BE AD ，ADC ∠α=，∴BED ADC ∠∠α== ∵AD=CD ，∴∠ACD=12（180°-α）=90°-α， ∵∠ACB=90°，∴∠BCE=90°-∠ACD=12 α， ∴∠CBE=∠BED-∠BCE=12α，∴∠CBE=∠BCE ， ∴BE=CE.②延长EM 交AD 于F ∵//EM AC ，∴DFM DAC DCA DEM ∠∠∠∠===， ∴DF DE =， ∴AF=EC=BE ∵BE//AD ，∴∠FAM=∠EBM ，∠AFM=∠BEM ， ∴△AFM ≅△BEM ∴FM=EM.∴根据三线合一性可得∠ADM=∠CDM③∵DF=DE ，FM=EM ， ∴DM ⊥EM ， ∵3∴tan ∠DEM=DMEM3 ∴∠DEM=60°， ∴∠EDM=30°，∴α=∠ADC=2∠EDM=60°. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判断与性质及特殊角的三角函数值，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键.22．树DE的高为.【解析】【分析】首先解直角三角形求得表示出AC，AD的长，进而利用直角三角函数，求出答案．【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝∴AC＝BCsin CAB∠＝12（m）；在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，∴AD＝121cos2ACCAD=∠＝24（m）；在Rt△DEA中，∠EAD＝60°，DE＝AD•sin60°＝答：树DE的高为米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．23．（1）∠D≈20°；（2）170．【解析】试题分析：（1）可在Rt△ABC中，根据BC、AB的长，求出∠ABC的余弦值，进而求出∠ABC的度数，也就得出了∠D的度数．（2）本题只需求出EF的长即可．在Rt△DEF中，根据DE的长和∠D的度数求得．试题解析：（1）∵AB∥DF，∴∠D=∠ABC，∴cos∠D=cos∠ABC=ABBC=44.25≈0.94，∴∠D≈20°；（2）∵sinD=EF DE，∴EF=DEsin∠D=85sin20°≈85×0.34=28.9(米)，共需台阶28.9×100÷17=170级。
九年级上册数学华师大版---第24章解直角三角形单元质检卷(A卷)(含详解)
解直角三角形一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）A.5tan 40︒B.5cos 40︒C.5sin 403.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5BC =，12AC =，则sin B 的值是( )4.如图,在Rt ABC △,90ACB ∠=︒,30A ∠=︒,D ,E ,F 分别是AB ,AC ,AD 的中点,3BC =,则EF 的长度为( )5.已知A ∠是锐角ABC △的内角，sin A ∠=A ∠的值是( )6.周末,刘老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上,忽复乘舟梦日边.”邀约好友一起去江边垂钓.如图.钓鱼竿AC 的长为4m.露在水面上的鱼线BC 的长为,刘老师想看看鱼钩上的情况.把鱼竿AC 逆时针转动15°到AC '的位置,此时露在水面上的鱼线B C ''的长度是( )A.3mB.C.D.7.如图,Rt ABC 中, 90C ∠=︒, 延长CB 到点D , 使BD AB =, 连接AD , 已知tan D =tan ABC∠的值是( )A.60︒B.75︒9.我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物1:2i =的斜坡BE ，用测角仪测得建筑物屋顶刚好到达坡底E 处，这时测到建筑物屋顶A.38.5米B.39.0米C.40.0米D.41.5米10.如图，在ABC △中，45B ∠=︒，60C ∠=︒，6BC =，点P 为AC 边上一动点，PE AB ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，连接EF ，则EF 的最小值为( )A.二、填空题（每小题4分，共20分）11.课外活动小组测量学校旗杆的高度.如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB 在地面上的投影BC 的长为24米，则旗杆AB 的高度是______米.12.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，sin A =A =_______.13.如图,从航拍无人机A 看一栋楼顶部B 的仰角α为30︒,看这栋楼底部C 的俯角β为60︒,无人机与楼的水平距离为60m ,则这栋楼的高度为________m.14.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的垂线，交CD 延长线于点E ，tan A =DBE ∠的值为______.15.如图，在ABC △中，AB BC =，tan B ∠==DE AD ⊥交AC =_________.三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）16.（8分）计算(1)22cos 45tan30sin60sin 45︒+︒⋅︒-︒tan30cos60︒︒︒⋅︒17.（8分）如图，在中，.Rt ABC △90C ∠=︒(1)已知12AB =，1sin 3A =，求BC 的长；(2)已知BC =AC =，求B ∠的度数.18.（10分）如图，在ABC △中，BD AC ⊥，垂足为D ，6AB =，AC =30A =︒.（1）求BD 和AD 的长；（2）求sin C 的值.19.（10分）图1为放在水平地面上的落地式话筒架实物图.图2为其示意图,支撑杆AB 垂直于地面,115cm AB =,斜杆CD 连接在支撑杆顶端A 处,80cm CD =,其中AC 的长度可通过斜杆的滑动来进行调节,斜杆CD 还可以绕着点A 旋转,且与支撑杆AB 的夹角为()60150BAC BAC ∠︒≤∠≤︒.(1)当50cm AC =,120BAC ∠=︒时,求话筒C 到地面的高度；(2)落地式话筒可以根据使用者的身高需要调节CA 的长度和夹角BAC ∠的度数,某运动员使用落地式话筒的适合高度是183cm ,请问该话筒的高度能否满足这名运动员的需要,并说明理1.73≈)20.（12分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后,尝试利用所学知识测量河对岸人树AB 的高度,他在点C 处测得大树顶端A 的仰角为45︒,再从C 点出发沿斜坡走到达斜坡上D 点,在点D 处测得树顶端A 的仰角为30︒,若斜坡CF 的坡比为1:3i =(点E ,C ,B 住同一水平线上).(1)求王刚同学从点C 到点D 的过程中上升的高度；(2)求大树AB 的高度(结果保留根号).21.（12分）如1图,在锐角三角形ABC 中,A ∠,B ∠,C ∠的对边分别为a ,b ,c .(1)用b ,c ,sin A 表示ABC △的面积S ；sin b B ==(3)如2图,若:3:2AC BC =,sin A =AB ⊥于点D ,2BD =,求sin ACB ∠.答案以及解析解析： 90C ∠=︒，40B ∠=︒，5AB =，cos B ∠=∴cos 40︒=∴5cos 40BC =︒.故选：B.3.答案：D解析：如图所示：，5BC =，，故选：D.4.答案：C解析：∵90ACB ∠=︒,30A ∠=︒,∴26AB BC ==,∵点D 为Rt ABC △斜边AB 的中点,∴132CD AB ==,∵E ,F 分别是AD ,AC 的中点,∴12EF CD ==90C ∠=︒ 12AC =5.答案：C解析：如图，A ∠是锐角ABC △的内角，CD AB ⊥于点D ，则5sin 3A ∠==设3CD x =，5AC x =，其中0x >，则4AD x ===，5cos 4AC x A AD x ∴∠===故选：C.6.答案：C解析：∵∴45CAB ∠=︒,∴451560C AB =︒+︒=''︒,sin 60=︒=∴)4m B C =='',故选：C.7.答案：A解析:在Rt ACD △中,tan AC D CD ==3CD AC =. 设AC a =,BC x =, 则3CD a =,3BD AB a x ∴==-.在 Rt ABC △中, 由勾股定理, 得222(3)a x a x +=-,解得43x a =,tan AC a ABC BC x ∴∠===sin CAB ∠==在Rt BHE △中，45BE = 4BH ∴=米，8EH =米，四边形AHDM 是矩形，四边形AM DH ∴=，AH DM =，在Rt CFN △中，解析：连接BP ，取BP 的中点G ，连接EG 、FG ，PE AB ⊥ ，PF BC ⊥，90BEP BFP ∴∠=∠=︒，12EG GF BG BP ∴===，BEG EBG ∴∠=∠，BFG FBG ∠=∠，()2224590EGF BEG EBG BFG FBG EBG FBG B ∴∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠=⨯︒=︒，EGF ∴△为等腰直角三角形，EF BP ∴===，∴当BP AC ⊥时，BP 取最小值，此时，EF 的值也最小，60C ∠=︒ ，sin sin 60BP C BC∴==︒，·sin 606BP BC ∴=︒==BP ∴的最小值为此时，EF =故选：C.11.答案：解析： 旗杆、地面及太阳光线恰好构成直角三角形，tan 30AB BC∴=︒tan 3024AB BC ∴=⋅︒==故答案为解析：由sin A =4x =，则5c x =，3b x =，4tan 3a x A b x ∴===.13.答案：解析：如图,作AD BC ⊥于点D ,则60m AD =,在Rt ADB △中,tan BD ADα=,∴)tan 60tan 3060m BD AD α=⋅=⨯︒==,在Rt ADC△中,tan β=∴)tan 60tan 6060m CD AD β=⋅=⨯︒==,∴,即这栋楼的高度为,故答案为：.解析：90ACB =︒∠ ，tan A=∴设3AC x =，4BC x =，5AB x ∴==， D 是AB 的中点，1522CD BD AD AB x ∴====，ECB DBC ∴∠=∠，又BE CE ⊥ ，ACBBEC ∴∠=∠，ACB BEC ∴∽△△，BC AB ∴=431255x x BE x x ⋅∴==，125cos 52x BE DBE BD x ∠===.)m BC CD BD =+=+=解析：如图，过点A 作AH CB ⊥垂足为H ，85BD DC =，AB BC =，设13AB BC x ==，∴8BD x =，5DC x =，tan B ∠=AH CB ⊥，∴512AH BH =， 13AB BC x ==，∴2222169AH BH AB x +==，解得5AH x =，12BH x =，∴1284DH x x x =-=，54HC x x x =-=，∴AD ==，AC ==，∴cos DH ADC AD ∠==过点C 作CM AD ⊥垂足为M ，∴cos DM CD ADC x =⋅∠=，AM AD DM x =-=， DE AD ⊥，CM AD ⊥，∴//MC DE ，∴CE DM AC AM ===.(2)512-解析：（1）22cos 45tan30sin60sin 45︒+︒⋅︒-︒22=+-12=tan30cos60︒︒︒⋅︒12=31146=--512=-17.答案：(1)4BC =(2)解析：(1)在中，12AB = ，4BC ∴=.(2)在中，60B ∠=︒Rt ABC △sin A =BC AB ∴=Rt ABC △BC =AC =tan B ∴==.18.答案：（1）3BD =；AD=解析：（1）BD AC ⊥ ，90ADB ∴∠=︒，在Rt ABD △中，6AB =，30A ∠=︒，sin 6sin303BD AB A ∴=⋅=︒⨯=，cos 6cos30AD AB A ⋅=⨯︒==（2）AC =AD =CD AC AD ∴=-=在Rt CBD △中，90CDB =︒∠ ，3BD=，CD =BC∴==sin BD C BC ∴===19.答案：(1)140cm(2)该话筒的高度能满足这名运动员的需要,理由见解析解析：(1)如图所示,过点C 作//CE AB ,AE CE ⊥于点E ,∵50cm AC =,120BAC ∠=︒∴30CAE ∠=︒,1sin 305025cm 2CE AC =︒⨯=⨯=又115cm AB =,∴筒C 到地面的高度为11525140cm AB CE +=+=；(2)依题意,当,点A ,D 重合时,80cm AC CD ==,C 点离地面最高,此时如图所示,过点C 作//CE AB ,AE CE⊥于点E ,60B ∴∠=︒150CAB ∠=︒∴1509060CAE ∠=︒-︒=︒∴()sin 608069.2CE AC cm =⨯︒==≈∴筒C 到地面的高度为()11569.2184.2cm AB CE +=+=∵某运动员使用落地式话筒的适合高度是183cm ,183184.2<∴该话筒的高度能满足这名运动员的需要.20.答案：(1)4米(2)米解析：(1)过D 作于H ,如图所示：在Rt DCH △中,∵斜坡CF 的坡比为1:3i =,∴3CH DH =,∵222CH DH CD +=,∴()(2223DH DH +=,解得：4DH =或4DH =-(舍去),∴王刚同学从点C 到点D 的过程中上升的高度为4米.(2)延长AD 交CE 于点G ,设AB x =米,由题意得,30AGC ∠=︒,∴tan 30DHGH ===︒(12+DH CE ⊥∵斜坡CF 的坡比为1:3i =,∴312CH DH ==,∴12CG GH CH =+=,在Rt ABC △中,∵45ACB ∠=︒,∴AB BC =,在Rt ABG △中,∴tan 30AB BG ︒===解得：12x =+故大树AB 的高度为(12+米.21.答案：(1)1sin 2S bc A =(2)证明见解析解析：(1)如图1,过点C 作CE AB ⊥于点E ,在Rt AEC △中,sin sin CE CA A b A =⋅=,111sin sin 222S AB CE c b A bc A ∴=⋅=⋅=.(2)证明：由(1)知,ABC △的面积1sin 2S bc A =,同理1sin 2S ac B =,in 12s S ab C =,111sin sin sin 222bc A ac B ab C ∴==.sin B b ==sinb B ==(3):3:2AC BC = ,设3AC x =,则2BC x =,即3b x =,2a x =.如图,在Rt ADC △中,sin 3CD CDA AC x ===CD ∴=.由勾股定理可得222AD ACCD =-,即())2223ADx =-,解得AD =.在Rt BDC △中,2BC x =,CD =,由勾股定理可得222BDCD BC +=,即222)(2)BD x +=,解得2BD x ==.2AB AD BD ∴=+=,24BC x ==.=sin sin AB A ACBBC ⋅∴∠===.。
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18．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+ ）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡到达山顶C处，则小明的行走速度是________米/秒
【详解】
解：如图所示，CD⊥AB，CD即为斜边上的高，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝ ，
∴sinA＝ ＝ ，即BC＝6，
根据勾股定理得：AC＝ ＝8，
∵S△ABC＝ AC•BC＝ CD•AB，
∴CD＝ ＝4.8，
故选：B．
【点睛】
此题属于解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
19．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，M，N分别是边AB，AD上的两个点，将△AMN沿MN翻折，使A恰好与CD上的点A′重合，此时BD⊥MA′，若折痕MN＝ ，则菱形ABCD的面积是_____．
20．如图，在锐角△ABC中，AB＝ ，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD，AB上的动点，则BM＋MN的最小值是______．
A． B． C． D．
9．计算式子：﹣32+6cos45°﹣ +| ﹣3|的结果为（ ）
A．﹣6+6 B．﹣12C．﹣12﹣ D．﹣6
10．小刚在距某电信塔10 m的地面上(人和塔底在同一水平面上)，测得塔顶的仰角是60°，则塔高（）
A．10 mB．5 mC．10 mD．20 m
11．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是_____．
(1)在图1、图2中分别找出符合要求的1个格点C，并画出相应的格点三角形，使得∠ACB＝45°．
(2)在图3中画出符合要求的1个格点D，并画出相应的格点三角形使得tan∠ADB＝ ，并求出△ABD的面积．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABC＝∠AED，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出cos∠ABC的值，即为cos∠AED的值．
【详解】
∵∠AED与∠ABC都对 ，
∴∠AED＝∠ABC，
在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝1，
根据勾股定理得：BC＝ ，
则 ．
故答案为：D.
【点睛】
本题考查了圆周角定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，解题关键是熟练掌握圆周角定理．
2．B
【解析】
【分析】
如图所示，CD⊥AB，CD即为斜边上的高，利用锐角三角函数定义求出BC的长，利用勾股定理求出AC的长，利用面积法求出CD即可．
21．（1）计算：
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
22．在 中，∠C＝90°， 、 、 分别表示 、 、 的对边．已知 ， =60°，求b、c.
23．计算：2cos245°+ ﹣tan45°．
24．（1）计算： ；（2）
25．如图，某学校甲楼的高度 是 ，在甲楼楼底 处测得乙楼楼顶 处的仰角为 ，在甲楼楼顶 处测得乙楼楼顶 的仰角为 ，求乙楼的高度 及甲乙两楼之间的距离 （结果取整数）.参考数据： ， ， ， .
3．如图，在 中， ，如果 ， ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=60米，则小岛B到公路l的距离为（）
A．30米 B．30 米C．40 米D．（30+ ）米
5．若斜坡的坡比为1： ，则斜坡的坡角等于()
A．30°B．45°C．50°D．60°
6．如图，矩形 的对角线交于点O，已知 则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB，与∠1互余的角有（ ）
A．∠BB．∠AC．∠BCD和∠AD．∠BCD
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°．若AB＝3，BC＝2，则sinA的值为（ ）
15．如图①，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若直角三角形一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”设AB＝a，则图中阴影部分面积为_____(用含a的代数式表示)
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点C的坐标是（0，4），∠COA=60°，则直线AC的解析式是_____．
12．在△ABC中，若|cosA |＋(1－tanB)2＝0，则△ABC的形状是________________．
13．如图，直线OA与x轴的夹角为α，与双曲线 (x>0)交于点A(1，m)，则tana的值为________.
14．如图，点 、 、 为正方形网格纸中的3个格点，则 的值是________.
华师大版2020九年级数学上册第24章解直角三角形自主学习培优测试卷A卷（附答案详解）
1．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是()
A． B．1C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝10，sinA＝ ，则斜边上的高等于（ ）
A．5B．4.8C．4.6D．4
26．如图1，是某人拿自拍杆用手机进行自拍的实物图，图2是由其抽象出来的几何图形， 是可以伸缩的自拍杆，其端点 离地面 的高度 为 ，当自拍杆 的长度为 ，张角 为 时，求自拍杆的另一端点 离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据： ）
图1 图2
27．（1）计算： °；
（2）解不等式：
28．如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，点A，B是格点，根据要求，选择格点，画出符合要求的图形．
3．A
【解析】
【分析】
根据余弦的定义解答，锐角 的邻边 与斜边 的比叫做 的余弦，记作 ．
【详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义，锐角 的邻边 与斜边 的比叫做 的余弦．
4．B
【解析】
【分析】
作BE⊥L于点E，易得AC=BC．那么利用60°的正弦函数可求得BE长，也就是小岛B到公路L的距离．