偏微分方程数值解课程的思索
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由于《偏微分方程数值解》涉及较多的概念、公式和定理，大多数 老师仍以传统的课堂教学为主，而少数年轻教师则喜欢用多媒体课件 教学。 传统的教学方法，虽然受到的批评最多，但也是用得最多，最能 让大家普遍接受的一种方法，在算法推导、理论分析等方面，采用传统 的板书讲解能更好地引导学生去感受和思考数学逻辑的过程以及创 造性的思维过程，加深对数学理论的理解和认识，培养学生的逻辑和 思维能力。 而在讲述背景知识，算法的应用，算法的程序实现时候最好 用多媒体课件进行演示。 多媒体课件可以让学生更直观，更全面的理 解算法的应用， 另外使用多媒体课件还可以节省大段公式的板书时 间，图示清楚、准确。 但是如果全部使用多媒体课件上课，容易加快教 学速度，淡化数学公式的推导以及定理的证明过程，不利于培养学生 的数学思维能力。 所以，我们认为需要将传统的教学方法和现代的教 学手段结合起来，充分发挥各自的优势，在传统教学中穿插多媒体课 件，根据教学内容选择合适的教学手段。
面的抛物型方程，学生的学习热情自然就提高了。
3 教学与科研相结合
随着计算技术和计算机科学的发展，偏微分方程数值解法的内涵 也在不断扩大，我们在讲授《偏微分方程数值解》课程中引进近年来最 新的理论和最新的方法，这样可以开阔学生的视野，激发学生的学习 情趣，锻炼学生的自学能力。 例如我们除了介绍有限差分法，有限元 法，有限体积法等经典的具有一般性的方法，还介绍了多重网格法。 由 于近些年来，人们将辛方法应用于哈密顿常微分方程系统以及推广应 用于微分方程的兴趣日益增长，我们也简单介绍了这一主题，并且用 这个思想去分析逼近波动方程的交错蛙跳格式。 在讲授方法的同时， 还注意介绍这些方法的发展历史，设计思想和理论依据，并给出了相 当丰富的参考文献，让基础好的同学自己去挖掘感兴趣的问题。 承担 课题的老师，可以把自己课题中与此课程相关的小问题拿出来供有兴 趣的同学琢磨，有助于锻炼学生的科研能力。
笔者长年教授《偏微分方程数值解》课程，在该门课程的教学改革 方面做了一些思索和尝试，主要包括改革教学方法，更新教学模式，加 强介绍背景知识，融入数学建模思想，教学与科研相结合，教学与计算 软件相结合，增设实验课，改革考核方式等。
1 改革教学方法，更新教学模式
由于数学课程大多理论性较强，趣味性较弱，为了激发学生学习 兴趣，在教学过程中，我们采用启发式、讨论式等多种教学方法，营造 良好的课堂气氛，加强师生之间的交流，引导学生独立思考，强化科学 思维的训练。 在教学内容方面，不光教授公式推导，定理证明，同时注 重算法思想的讲解和程序设计的讲解， 同时安排一定课时的习题课， 讲解典型习题和对每章进行总结。
袭的现象，我们对学生进行分组实验，几个同学一组，每组同学的题目 略有不同。
吉林大学数学学院拥有自己的计算机实验室，实验教学环境和设 备能适应课程教学的要求，能够开出综合性实验，设计性实验，有充足 的计算机可以供学生上机使用，完成各项计算方法实验项目。 实验室 全天向学生开放， 学生可以在课余时间到实验室做个人感兴趣的实 验。 实验从大的方面分为两类 ：必做与选做 。 选做只针对部分优秀同学 开设，由学生视能力自主选择，引导 学 生 用 所 学 Matlab 或 C++语 言 编 写程序、调试，运行，得到结果并且分析数值结果，逐步掌握数值实验 的方法和技巧，增强学生的动手能力和解决实际问题的能力。
模型：
△△鄣u
△ △
鄣t
-△u=0，
△
△△u=100，
△
△鄣u
△
=-1， 鄣u
=0，
△△鄣n
鄣n
u|△
△ △Biblioteka Baidu
t=t0
=0.
不妨设界顶点坐标为（-0.5，-0.8），（0.5，-0.8），（0.5，0.8），（-0.5，0.8）。
内边界顶点坐标为 （-0.005，-0.4），（0.05，-0.4），（0.05，0.4），（-0.05，0.4）。
2
2
2
鄣u 鄣t
2
=a
鄣u
2
鄣x
2
+b
鄣u
2
鄣y
2
+c
鄣u
2
鄣z
2
-k u
上述方程是常系数线性抛物型方程，它就是有衰减的扩散过程的
数学模型。 有了这样的铺垫，学生知道了扩散问题的数学模型就是抛
物型方程，当然类似的环境污染，疾病流行等与扩散有关的实际问题
可以用抛物型方程来描述，很自然的，接下来的问题就是如何求解上
对于这样的一个抛物型方程，我们设计其数值计算方法，然后分别用
200
科技信息
○高校讲坛○
SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
2012 年 第 9 期
C++语言和 MATLAB 实现， 并且充分利用 MATLAB 强 大 的 图 形 展 示 功能，直观的演示温度随时间的变化情况。 如图 1 所示。
4 教学与计算软件相结合
由 Mathworks 公司推出的 MATLAB 软件，现在已经发展成功能强
大，适合科学和工程计算的软件，使用 MATLAB 编程，语言简洁，数 据
处理方便， 具有强大的数值计算功能和图形展示功能， 因此，将
MATLAB 融入偏微 分 方 程 数 值 解 的 教 学 ，更 能 与 时 俱 进 ，更 有 效 地 提
高教学质量。
MATLAB 采用有限元的方法求解各种 PDE，它提供了两种方法解
决 PDE 问题，一 是 pdepe 函 数 ，它 可 以 求 解 一 般 的 PDEs，具 有 较 大 的
通用性，但只支持命令行形式的调用。 二是 PDE 工具箱，可以求解特
殊 PDE 问题，但有较大的局限性。 只能求解二阶 PDE 问题，不能求解
6 改革考核方式
图 1 Time=5 时的解
将 Matlab 引入教学，增强了课堂教学的直观 性 ，使 得 枯 燥 乏 味 的 理论知识易于接受，优化了课堂教学，提高了学生应用数值计算方法 解决实际工程问题的能力。
5 增设实验课
考试是评估学习效果的重要手段，但闭卷考试片面的考核学生的 理论知识掌握程度，并不能很好的反映学生应用所学方法解决实际问 题的能力，因此，我们采用知识与能力相结合的综合评价方法，即平时 成绩，上机实验成绩，期末考试相结合的综合评价体系，其中平时成绩 占 10%，包 括 考 勤 率 ，作 业 ，实 验 报 告 完 成 情 况 等 ， 上 机 实 验 成 绩 占 20%，期末考试成绩占 70%。 这样的综合评价方法更能全面的反映学 生的学习效果。 科
考虑一个带有矩形孔的金属板上的热传导问题。 板的左边保持在
100℃，板 的 右 边 热 量 从 板 向 环 境 空 气 定 常 流 动 ， 其 他 边 及 内 孔 边 界 保
持绝缘。 初始 t=t0 时板的温度为 0。 对于这样的一个实际问题，我们先 应用所学的数学分析和数学建模知识，对原问题建立如下偏微分方程
2012 年 第 9 期
SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
○高校讲坛○
科技信息
偏微分方程数值解课程的思索
邹永魁 （吉林大学数学与科学学院 吉林 长春 130012）
【摘 要】探讨《偏微分方程数值解》课程教学改革的思考与体会，主要包括教学方法和教学模式的改革，加强背景知识的介绍，将科研前沿 带入课堂，将 MATLAB 融入教学以及考核方式的改革等。
【关 键 词 】偏 微 分 方 程 数 值 解 ；教 学 改 革 ；MATLAB ；综 合 评 价 体 系
偏微分方程（PDE）是众多描述物理，化学和生物现象的数学模 型 的基础，其最新应用已经扩展到经济，金融预测，图像处理等很多领 域。 要通过 PDE 模型研究这些问题，就需要求解 PDE 方程，但是绝大 多数微分方程特别是偏微分方程，很难得到其解析形式的解。 我们希 望能够借助于计算机采用数值方法求得偏微分方程的近似解，这就是 《偏微分方程数值解》课程的主要内容。
偏微分方程组。 PDE 工具箱支持命令行形式求解，但需要记住大量命
令及其调用格式。 不过好在它提供了 GUI 界面，可以把我们从复杂的
编程中解脱出来， 还有很好的动画演示功能， 尤其适合刚入门的学
生。
我们在授课过程中精选与生活，生产密切相关的应用实例，鼓励
学生自己动手建立模型，应用数学软件和所学的知识求解模型。 例如
在我国特别是南方大部分地区，渔业等养殖业比较发达。 该装置 可以用于净化养殖池中的水，并定期向水中曝气，增加水的自净能力， 降低水的更换频率，延长水的使用周期，保持池水清洁，营造适合鱼类 生长繁殖的环境，降低经营人的投资成本，避免水资源的浪费。 4．2 家庭中的使用
近几年来，随着人们生活水平的日益提高，越来越多的家庭开始 饲养观赏鱼，一方面可以装扮家居风格，另一方面陶冶情操，增加生活
例如，我们考虑有衰减的扩散问题：有一个扩散源，某物质从此扩 散源向四周扩散，沿 x,y,z 三个方向的扩散系数分别为常数 ，衰 减 使 质 量的减少与浓度成正比，扩散前周围空间此物质的浓度为 0，估计物 质的分布。 我们引导学生运用所学过的微积分的思想以及相应的物理 知识，对这一问题进行建模，可以得到如下的模型：
情趣。 但鱼缸的频繁换水，不仅对水中的鱼类有一定影响，而且操作不 便，花费时间。 该装置可以保持鱼缸中的水清澈干净，并且操作便捷， 大量节约了做清理的时间，能够更好的发挥鱼类的观赏价值，进一步 提高人们生活质量。 4．3 游泳池及水上娱乐场所
［责任编辑：曹明明］
●
（上接第 219 页）得到及时清洗，从而延长 了 净 水 材 料 的 使 用 周 期 ，降 低成本，节约资源。 3．4 该装置外壳模拟鱼体的流线造型。 一方面可减少工 作 运 动 时 摩 擦阻力，另一方面能够起到整体美观大方的效果，具有一定的观赏价 值。
4 应用前景
该装置在生产、生活中有广阔的应用前景: 4．1 养殖业领域的应用
《偏微分方程数值解》 这门课程既有数学课程的理论上的抽象性 和严谨性，又有解决实际问题的实用性和实验性。 传统的《偏微分方程 数值解》课程重理论，轻实践。 加之我院信息与计算科学专业学生毕业 之后大多数学生继续攻读计算专业硕士学位，只有小部分学生跨专业 读研和工作，所以大部分同学理论能力强，动手能力差，一直到读研或 者读博实际做项目的时候才感觉到理论和动手操作之间的差距。 针对 这 一 现 象 ，我 们 调 整 了 传 统 的 授 课 内 容 ，增 加 了 实 验 环 节 ，分 配 以 10 个课时，教师在上机课会详细讲解算法，然后留上机作业，并预留部分 时间让学生自己动手。 学生上机之后要交实验报告，为了避免相互抄
2 加强知识背景的介绍，融入数学建模思想
《偏微分方程数值解》是理论知识与实际应用之间的桥梁，为学生 使用计算机解决科学与工程中的实际问题打下良好的理论基础和应 用基础。 传统教学以分析，证明，推导为主，重理论，轻应用，缺少偏微 分方程产生的实际背景的介绍和应用数值解的方法解决实际问题的 实例。 因此，我们在教授该课程的时候，注重与数学建模思想相结合， 从实际问题出发，建立相应的偏微分方程模型，这样，学生就知道为什 么要研究偏微分方程，偏微分方程能解决什么样的实际问题。
《偏微分方程数值解》是信息与计算科学专业的一门专业课，它与 《数值代数》，《数值逼近》一起构成信息与计算科学专业信息与计算方 向的核心课程，在专业培养中占有非常重要的地位。 随着计算机技术 的飞速发展，偏微分方程数值解得到了前所未有的发展和应用，与此 同时也暴露了《偏微分方程数值解》课程传统教学中的很多不足之处， 这使得该门课程在教学上有很多地方需要调整。
● 【参考文献】
［1］李 荣 华 ，刘 播 .微 分 方 程 数 值 解 法 [M].北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，2009. ［2］K.W.Morton, D.F.Mayers Numerical solution of partial differential equations[M]. 李治平，门大力，许现民，张硕,译. 北京：人民邮电出版社，2005. ［3］杨 韧 ， 张 志 让 .微 分 方 程 数 值 解 .课 程 教 学 改 革 与 实 践 [J].大 学 数 学 ，2011,27(4): 19-22. ［4］张 韵 华 ,陈 效 群 .数 值 计 算 方 法 课 程 改 革 初 步 [J].大 学 数 学 ,2003,19(3):23-26.
面的抛物型方程，学生的学习热情自然就提高了。
3 教学与科研相结合
随着计算技术和计算机科学的发展，偏微分方程数值解法的内涵 也在不断扩大，我们在讲授《偏微分方程数值解》课程中引进近年来最 新的理论和最新的方法，这样可以开阔学生的视野，激发学生的学习 情趣，锻炼学生的自学能力。 例如我们除了介绍有限差分法，有限元 法，有限体积法等经典的具有一般性的方法，还介绍了多重网格法。 由 于近些年来，人们将辛方法应用于哈密顿常微分方程系统以及推广应 用于微分方程的兴趣日益增长，我们也简单介绍了这一主题，并且用 这个思想去分析逼近波动方程的交错蛙跳格式。 在讲授方法的同时， 还注意介绍这些方法的发展历史，设计思想和理论依据，并给出了相 当丰富的参考文献，让基础好的同学自己去挖掘感兴趣的问题。 承担 课题的老师，可以把自己课题中与此课程相关的小问题拿出来供有兴 趣的同学琢磨，有助于锻炼学生的科研能力。
笔者长年教授《偏微分方程数值解》课程，在该门课程的教学改革 方面做了一些思索和尝试，主要包括改革教学方法，更新教学模式，加 强介绍背景知识，融入数学建模思想，教学与科研相结合，教学与计算 软件相结合，增设实验课，改革考核方式等。
1 改革教学方法，更新教学模式
由于数学课程大多理论性较强，趣味性较弱，为了激发学生学习 兴趣，在教学过程中，我们采用启发式、讨论式等多种教学方法，营造 良好的课堂气氛，加强师生之间的交流，引导学生独立思考，强化科学 思维的训练。 在教学内容方面，不光教授公式推导，定理证明，同时注 重算法思想的讲解和程序设计的讲解， 同时安排一定课时的习题课， 讲解典型习题和对每章进行总结。
袭的现象，我们对学生进行分组实验，几个同学一组，每组同学的题目 略有不同。
吉林大学数学学院拥有自己的计算机实验室，实验教学环境和设 备能适应课程教学的要求，能够开出综合性实验，设计性实验，有充足 的计算机可以供学生上机使用，完成各项计算方法实验项目。 实验室 全天向学生开放， 学生可以在课余时间到实验室做个人感兴趣的实 验。 实验从大的方面分为两类 ：必做与选做 。 选做只针对部分优秀同学 开设，由学生视能力自主选择，引导 学 生 用 所 学 Matlab 或 C++语 言 编 写程序、调试，运行，得到结果并且分析数值结果，逐步掌握数值实验 的方法和技巧，增强学生的动手能力和解决实际问题的能力。
模型：
△△鄣u
△ △
鄣t
-△u=0，
△
△△u=100，
△
△鄣u
△
=-1， 鄣u
=0，
△△鄣n
鄣n
u|△
△ △Biblioteka Baidu
t=t0
=0.
不妨设界顶点坐标为（-0.5，-0.8），（0.5，-0.8），（0.5，0.8），（-0.5，0.8）。
内边界顶点坐标为 （-0.005，-0.4），（0.05，-0.4），（0.05，0.4），（-0.05，0.4）。
2
2
2
鄣u 鄣t
2
=a
鄣u
2
鄣x
2
+b
鄣u
2
鄣y
2
+c
鄣u
2
鄣z
2
-k u
上述方程是常系数线性抛物型方程，它就是有衰减的扩散过程的
数学模型。 有了这样的铺垫，学生知道了扩散问题的数学模型就是抛
物型方程，当然类似的环境污染，疾病流行等与扩散有关的实际问题
可以用抛物型方程来描述，很自然的，接下来的问题就是如何求解上
对于这样的一个抛物型方程，我们设计其数值计算方法，然后分别用
200
科技信息
○高校讲坛○
SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
2012 年 第 9 期
C++语言和 MATLAB 实现， 并且充分利用 MATLAB 强 大 的 图 形 展 示 功能，直观的演示温度随时间的变化情况。 如图 1 所示。
4 教学与计算软件相结合
由 Mathworks 公司推出的 MATLAB 软件，现在已经发展成功能强
大，适合科学和工程计算的软件，使用 MATLAB 编程，语言简洁，数 据
处理方便， 具有强大的数值计算功能和图形展示功能， 因此，将
MATLAB 融入偏微 分 方 程 数 值 解 的 教 学 ，更 能 与 时 俱 进 ，更 有 效 地 提
高教学质量。
MATLAB 采用有限元的方法求解各种 PDE，它提供了两种方法解
决 PDE 问题，一 是 pdepe 函 数 ，它 可 以 求 解 一 般 的 PDEs，具 有 较 大 的
通用性，但只支持命令行形式的调用。 二是 PDE 工具箱，可以求解特
殊 PDE 问题，但有较大的局限性。 只能求解二阶 PDE 问题，不能求解
6 改革考核方式
图 1 Time=5 时的解
将 Matlab 引入教学，增强了课堂教学的直观 性 ，使 得 枯 燥 乏 味 的 理论知识易于接受，优化了课堂教学，提高了学生应用数值计算方法 解决实际工程问题的能力。
5 增设实验课
考试是评估学习效果的重要手段，但闭卷考试片面的考核学生的 理论知识掌握程度，并不能很好的反映学生应用所学方法解决实际问 题的能力，因此，我们采用知识与能力相结合的综合评价方法，即平时 成绩，上机实验成绩，期末考试相结合的综合评价体系，其中平时成绩 占 10%，包 括 考 勤 率 ，作 业 ，实 验 报 告 完 成 情 况 等 ， 上 机 实 验 成 绩 占 20%，期末考试成绩占 70%。 这样的综合评价方法更能全面的反映学 生的学习效果。 科
考虑一个带有矩形孔的金属板上的热传导问题。 板的左边保持在
100℃，板 的 右 边 热 量 从 板 向 环 境 空 气 定 常 流 动 ， 其 他 边 及 内 孔 边 界 保
持绝缘。 初始 t=t0 时板的温度为 0。 对于这样的一个实际问题，我们先 应用所学的数学分析和数学建模知识，对原问题建立如下偏微分方程
2012 年 第 9 期
SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
○高校讲坛○
科技信息
偏微分方程数值解课程的思索
邹永魁 （吉林大学数学与科学学院 吉林 长春 130012）
【摘 要】探讨《偏微分方程数值解》课程教学改革的思考与体会，主要包括教学方法和教学模式的改革，加强背景知识的介绍，将科研前沿 带入课堂，将 MATLAB 融入教学以及考核方式的改革等。
【关 键 词 】偏 微 分 方 程 数 值 解 ；教 学 改 革 ；MATLAB ；综 合 评 价 体 系
偏微分方程（PDE）是众多描述物理，化学和生物现象的数学模 型 的基础，其最新应用已经扩展到经济，金融预测，图像处理等很多领 域。 要通过 PDE 模型研究这些问题，就需要求解 PDE 方程，但是绝大 多数微分方程特别是偏微分方程，很难得到其解析形式的解。 我们希 望能够借助于计算机采用数值方法求得偏微分方程的近似解，这就是 《偏微分方程数值解》课程的主要内容。
偏微分方程组。 PDE 工具箱支持命令行形式求解，但需要记住大量命
令及其调用格式。 不过好在它提供了 GUI 界面，可以把我们从复杂的
编程中解脱出来， 还有很好的动画演示功能， 尤其适合刚入门的学
生。
我们在授课过程中精选与生活，生产密切相关的应用实例，鼓励
学生自己动手建立模型，应用数学软件和所学的知识求解模型。 例如
在我国特别是南方大部分地区，渔业等养殖业比较发达。 该装置 可以用于净化养殖池中的水，并定期向水中曝气，增加水的自净能力， 降低水的更换频率，延长水的使用周期，保持池水清洁，营造适合鱼类 生长繁殖的环境，降低经营人的投资成本，避免水资源的浪费。 4．2 家庭中的使用
近几年来，随着人们生活水平的日益提高，越来越多的家庭开始 饲养观赏鱼，一方面可以装扮家居风格，另一方面陶冶情操，增加生活
例如，我们考虑有衰减的扩散问题：有一个扩散源，某物质从此扩 散源向四周扩散，沿 x,y,z 三个方向的扩散系数分别为常数 ，衰 减 使 质 量的减少与浓度成正比，扩散前周围空间此物质的浓度为 0，估计物 质的分布。 我们引导学生运用所学过的微积分的思想以及相应的物理 知识，对这一问题进行建模，可以得到如下的模型：
情趣。 但鱼缸的频繁换水，不仅对水中的鱼类有一定影响，而且操作不 便，花费时间。 该装置可以保持鱼缸中的水清澈干净，并且操作便捷， 大量节约了做清理的时间，能够更好的发挥鱼类的观赏价值，进一步 提高人们生活质量。 4．3 游泳池及水上娱乐场所
［责任编辑：曹明明］
●
（上接第 219 页）得到及时清洗，从而延长 了 净 水 材 料 的 使 用 周 期 ，降 低成本，节约资源。 3．4 该装置外壳模拟鱼体的流线造型。 一方面可减少工 作 运 动 时 摩 擦阻力，另一方面能够起到整体美观大方的效果，具有一定的观赏价 值。
4 应用前景
该装置在生产、生活中有广阔的应用前景: 4．1 养殖业领域的应用
《偏微分方程数值解》 这门课程既有数学课程的理论上的抽象性 和严谨性，又有解决实际问题的实用性和实验性。 传统的《偏微分方程 数值解》课程重理论，轻实践。 加之我院信息与计算科学专业学生毕业 之后大多数学生继续攻读计算专业硕士学位，只有小部分学生跨专业 读研和工作，所以大部分同学理论能力强，动手能力差，一直到读研或 者读博实际做项目的时候才感觉到理论和动手操作之间的差距。 针对 这 一 现 象 ，我 们 调 整 了 传 统 的 授 课 内 容 ，增 加 了 实 验 环 节 ，分 配 以 10 个课时，教师在上机课会详细讲解算法，然后留上机作业，并预留部分 时间让学生自己动手。 学生上机之后要交实验报告，为了避免相互抄
2 加强知识背景的介绍，融入数学建模思想
《偏微分方程数值解》是理论知识与实际应用之间的桥梁，为学生 使用计算机解决科学与工程中的实际问题打下良好的理论基础和应 用基础。 传统教学以分析，证明，推导为主，重理论，轻应用，缺少偏微 分方程产生的实际背景的介绍和应用数值解的方法解决实际问题的 实例。 因此，我们在教授该课程的时候，注重与数学建模思想相结合， 从实际问题出发，建立相应的偏微分方程模型，这样，学生就知道为什 么要研究偏微分方程，偏微分方程能解决什么样的实际问题。
《偏微分方程数值解》是信息与计算科学专业的一门专业课，它与 《数值代数》，《数值逼近》一起构成信息与计算科学专业信息与计算方 向的核心课程，在专业培养中占有非常重要的地位。 随着计算机技术 的飞速发展，偏微分方程数值解得到了前所未有的发展和应用，与此 同时也暴露了《偏微分方程数值解》课程传统教学中的很多不足之处， 这使得该门课程在教学上有很多地方需要调整。
● 【参考文献】
［1］李 荣 华 ，刘 播 .微 分 方 程 数 值 解 法 [M].北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，2009. ［2］K.W.Morton, D.F.Mayers Numerical solution of partial differential equations[M]. 李治平，门大力，许现民，张硕,译. 北京：人民邮电出版社，2005. ［3］杨 韧 ， 张 志 让 .微 分 方 程 数 值 解 .课 程 教 学 改 革 与 实 践 [J].大 学 数 学 ，2011,27(4): 19-22. ［4］张 韵 华 ,陈 效 群 .数 值 计 算 方 法 课 程 改 革 初 步 [J].大 学 数 学 ,2003,19(3):23-26.