直线方向向量与直线的向量方程

1
2
1
2
12
[例3] 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1 中, M、N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线 AM与CN所成的角为( )
A. arccos 3 B. arccos 10
2
10
C. arccos 3 D. arccos 2
5
5
D1
A1
M
C1 B1
DN C
A
B
解： AM AA A M , CN CB BN ,
1
1
BA (1,1,2),CB (0,1,2), BA CB 3,
1
1
BA 6, CB 5..
1
1
z C1
B1
1
1
BA CB 1
A1
M
cos BA CB 1 1 30.
1 1 BA CB 10
1
1
N
(3) 依题意得C (0,0,2), M(1 , 1 ,2),
C
B
1
22
A x
1
1
AM CN ( AA A M ) (CB BN ) A1
1
1
1
AA BN .
1
2
而 AM ( AA A M ) ( AA A M ) A
1
1
1
1
2
2
AA A M
1
1
同理CN 5 ,
2
1
1 1 5. 42
则cos
AM CN AM CN
2 5
2. 5
4
D1 M
思考3：给一个定点和两个定方向（向量），能确 定一个平面在空间的位置吗？
答：空间中平面的位置可以由平面内两条相交直线 来确定。
1.用向量表示直线或点在直线上的位置
给定一个定点A和一个向量a，再给一个实数t， l
以A为起点作向量AP ta （1）
a
P
当任意t R，则P轨迹为通过点A且 . 平行于向量a的直线l；反之，在直 A
C1 B1
DN C
B
例4.如图,直三棱柱ABC A B C , 底面ABC中, 111
CA CB 1,BCA 90,棱AA 2, M、N分别
是A B、A A的中点.
11
1
1
z C1
B1
A1
M
(1) 求BN的长；
(2) 求cos BA CB 的值；
N
1
1
(3) 求证A B C M .
y
11
A B (1,1,2),C M ( , ,0)
1
1
22
A B C M 1 1 0 0，
1
1
22
AB C M.
1
1
1
1
C
B
A
x
y
解：以C为原点，CA、CB、CC 所在直线为x、y、z轴建立
1
如图空间直角坐标系O xyz.
(1) 依题意得B(0,1,0), N(1,0,1),
BN (1 0)2 (0 1)2 (1 0)2 3.
(2) 依题意有A (1,0,2), B(0,1,0),C(0,0,0), B (0,1,2),
1
2
（3）面面平行与向量的关系
已知两个不共线向量v ，v 与平面共面，
12
// 或与重合 v // 且v // .
1
2
例2．如图，已知正方体ABCD－A’B’C’D’，点M，N 分别
是面对角线A’B 与面对角线A’C’的中点，求证：MN//侧
面AD’；MN//AD’；并且MN= 1 AD.
2
A'
D'
N
B'
M
Baidu Nhomakorabea
C'
A D
B C
3.用向量方法证明两直线垂直或两直线成角的问题 设两条直线所成的角为θ(锐角)，则直线方向向量间 的夹角与θ相等或互补
（1）线线垂直、线线成角与向量的关系
设直线l 和l 的方向向量分别为v 和v ，
1
2
1
2
则l l v v ,cos | cos v ,v | .
t 1时，OP 1（OA OB）—线段AB中点的向量表达式；
2
2
例1．已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)， Q 以AB 的方向为正向，在直线AB上建立 z
一条数轴，P，Q 为轴上两点，且分别
满足条件（1）AP：PB=1：2；
B
（2）AQ：QB=－2， 求点P 和点Q 的坐标。
P
O
y
解：由已知得PB 2AP
设
直
线l
和l
的方
向
向量分别为v
和v
，v 1
1
2
1
2
l1
l2
则l // l 或l 与l 重合 v // v ，
v 2
1
2
1
2
1
2
v v (v 0)
1
22
（2）线面平行与向量的关系
已知两个不共线向量v ，v 与平面共面， 12
一直线l的一个方向向量为v，则
l //或l !实数对x, y，使v xv yv .
线l上任取一点P，必存在一个实数t，
使(1)成立.
AP ta — 称作直线l以t为参数的参数方程；
a为该直线的方向向量.
对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存 在唯一的实数t，满足等式OP OA ta（2）
P
a
B A
l
O
如果在l上取 AB a，则（2）可变形为 OP （1 t）OA tOB（3） —（1）（2）（3）都叫空间直线的向量参数方程.
A
l
OB OP 2(OP OA)
x
OP 2 OA 1 OB)
设P(x，3y，z),3则 ( x, y, z) 2 (2,4,0) 1 (1,3,3)
3 x
5
,
y
311
,
z
1
P(5 ,11 ,1)
3 同法可求得Q(0,2,6)
3
33
2.用向量方法证明空间中有关平行的问题
（1）线线平行与向量的关系
3.2 空间向量在立体几何中 的应用
3.2.1 直线的方向向量 与直线的向量方程
思考1：如何确定一个点在空间的位置？
答：空间中任意一个P的位置可以用向量OP 来表示。向量OP称为点P的位置向量。
思考2：在空间中给一个定点A和一个定方向（向量）， 能确定一条直线在空间的位置吗？
答：空间中任意一条直线l的位置可以由l上 一个定点A以及一个定方向（向量）确定。