专题5 基本初等函数与函数应用

专题5 基本初等函数与函数应用

编写：邵永芝

一、知识梳理

1、如果一个实数x 满足 ，那么称x 为a 的n 次实数方根。

2、（1）n N +∈

时，n = ，（2）n

= ；当n 为正偶

= 。

3、分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：m n a = （0,1a m n N n +>∈>、，且）；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：m n a

-=

（0,1a m n N n +>∈>、，且）

4、有理数指数幂的运算性质：（1）r s a a = （2）()r s a = （3）()r ab =

5、指数函数的概念：一般地， 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为 ，值域为 。

6、对数的概念：如果a (0,1)a a >≠的b 次幂等于N ，即 ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做 ，N 叫做 。

7、对数与指数的关系：若0,1a a >≠，则x a =N ⇔log a N = 。 对数恒等式：log a N a = ；log N

a a = 。 (0,1)a a >≠ 8、对数的运算性质：如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么；

（1）log a (M ·N )＝ （2）log a

M N ＝ （3）log a M n ＝ 9、换底公式：log a N ＝log log b b N a

(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0)． 10、．对数函数的定义：一般地，我们把 叫做对数函数，自变量是x ；函数的定义域是(0，＋∞)．值域：R ．

11、幂函数的定义：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中底数x 是变量，指数α是常数．

12、幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)：

（1）定点：α＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；α≤0时，图象过只过定点(1，1)．

（2）单调性：α＞0时，在区间[0，＋∞)上是单调递增；α＜0时，在区间(0，＋∞)上是单调递减．

交点的 。

14、函数零点存在的条件：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上不间断，且f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点．

二、典例评析

例1、函数1()423x x f x +=-+的定义域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

。 （1） 设2x t =，求t 得取值范围；

（2） 求函数()f x 的值域。

例3、关于x 的方程22(3)2140mx m x m ++++=有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围。

三、基础训练

1、若23a <<的结果是 ；

2= （用分数指数幂表示）。

3、若0a >，且3x a =，5y a =，则22y x a

+= 。 4、函数2()(33)x f x a a a =-+是指数函数，则a 的值为 。

5、若函数(1)x

y a b =--，(0,1)a a >≠的图象不经过第二象限，则a ，b 需满足的条件

为 。

6、函数382(0)x y x -=-≥的值域为 。

7、已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a m +n = 。

9、已知lg2＝a ，lg3＝b ，用含a ，b 的代数式表示lg54= 。

10、2(lg5)lg 2lg50+= 。

11、函数log (2)1a y x =-+(0,1)a a >≠恒过定点 。

12、已知幂函数3()()m f x x

m N -*=∈为奇函数，且在区间(0,)+∞上是减函数，则()f x = 。

13、用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是 。

14、方程lg x ＝x －5的大于1的根在区间(a ，a ＋1)内，则正整数a ＝ 。