专题5 基本初等函数与函数应用
高考数学专题复习：基本初等函数
高考数学专题复习：基本初等函数知识网络目标认知考试大纲要求：1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。
2．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景．(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点．(4)知道指数函数是一类重要的函数模型．3．对数函数(1)理解对数函数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．(2)理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点．(3)知道对数函数是一类重要的函数模型；(4)了解指数函数与对数函数互为反函数．4．幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数的图象，了解它们的图象的变化情况．重点：掌握几种基本初等函数的图像和性质，二次函数的最值，二次方程实数根的分布等。
难点：指、对数函数的图像和性质，二次函数、二次方程、二次不等式等之间的关系知识要点梳理知识点一：初中学过的函数（一）函数的图象与性质常函数一次函数反比例函数二次函数表达式（）（）（）（）式子中字母的含义及X围限定图象、及其与坐标轴的关系单调性注意:1.过原点的直线的方程,图象,性质；2.函数的最高次项的系数能否为零。
（二）二次函数的最值1.二次函数有以下三种解析式：一般式：（），顶点式：（），其中顶点为，对称轴为直线，零点式：（），其中是方程的根2. 二次函数（）在区间上的最值：二次函数（）在区间上的最大值为M，最小值为m，令.（1）（2）（3）（4）（1）若，则，；（2）若，则，；（3）若，则，；（4）若，则，.注意:1．二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值；2. 求二次函数的最值一般要数形结合。
知识点二：幂、指数、对数的运算1.方根的定义、性质：(1)，，；(2)，，。
2.指数性质与运算法则：，，，，，3.对数性质：若a＞0且a≠1，则，，（3）零与负数没有对数，对数运算法则：若a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，b＞0且b≠1，则，，（4）换底公式4.指数与对数式的恒等变形：；。
高中数学【基本初等函数、函数的应用】专题练习
高中数学【基本初等函数、函数的应用】专题练习1.已知55<84，134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A.a <b <c B.b <a <c C.b <c <a D.c <a <b答案 A解析 ∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52422－1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53<log 85.∵55<84，134<85，∴5log 85<4log 88＝4＝4log 1313<5log 138， ∴log 85<log 138，∴log 53<log 85<log 138， 即a <b <c .故选A.2.若2x －2y <3－x －3－y ，则( ) A.ln(y －x ＋1)>0 B.ln(y －x ＋1)<0 C.ln|x －y |>0 D.ln|x －y |<0 答案 A解析 设函数f (x )＝2x －3－x .因为函数y ＝2x 与y ＝－3－x 在R 上均单调递增， 所以f (x )在R 上单调递增.原已知条件等价于2x －3－x <2y －3－y ，即f (x )<f (y )，所以x <y ，即y －x >0，y －x ＋1>1，所以A 正确，B 不正确. 因为|x －y |与1的大小不能确定，所以C ，D 不正确.3.设a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧cos （2πx －2πa ），x ＜a ，x 2－2（a ＋1）x ＋a 2＋5，x ≥a ，若f (x )在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，94∪⎝ ⎛⎦⎥⎤52，114 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，94∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，3 答案 A解析 因为x 2－2(a ＋1)x ＋a 2＋5＝0最多有2个根， 所以c os (2πx －2πa )＝0至少有4个根.由2πx －2πa ＝π2＋k π，k ∈Z 可得x ＝k 2＋14＋a ，k ∈Z .由0＜k 2＋14＋a ＜a 可得－2a －12＜k ＜－12.①当x ＜a 时，当－5≤－2a －12＜－4时，f (x )有4个零点，即74＜a ≤94；当－6≤－2a －12＜－5时，f (x )有5个零点， 即94＜a ≤114；当－7≤－2a －12＜－6时，f (x )有6个零点， 即114＜a ≤134；②当x ≥a 时，f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋a 2＋5， Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2＋5)＝8(a －2)， 当a ＜2时，Δ＜0，f (x )无零点；当a ＝2时，Δ＝0，f (x )有1个零点x ＝3；当a ＞2时，令f (a )＝a 2－2a (a ＋1)＋a 2＋5＝－2a ＋5≥0，则2＜a ≤52，此时f (x )有2个零点；所以当a ＞52时，f (x )有1个零点.综上，要使f (x )在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧74＜a ≤94，2＜a ≤52或⎩⎪⎨⎪⎧94＜a ≤114，a ＝2或a ＞52或⎩⎨⎧114＜a ≤134，a ＜2.则可解得a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤2，94∪⎝ ⎛⎦⎥⎤52，114.4.已知f (x )＝|lg x |－kx －2，给出下列四个结论： (1)若k ＝0，则f (x )有两个零点； (2)∃k <0，使得f (x )有一个零点； (3)∃k <0，使得f (x )有三个零点； (4)∃k >0，使得f (x )有三个零点. 以上正确结论的序号是________. 答案 (1)(2)(4)解析 令f (x )＝|lg x |－kx －2＝0，可转化成两个函数y 1＝|lg x |，y 2＝kx ＋2的图象的交点个数问题. 对于(1)，当k ＝0时，y 2＝2与y 1＝|lg x |的图象有两个交点，(1)正确； 对于(2)，存在k <0，使y 2＝kx ＋2与y 1＝|lg x |的图象相切，(2)正确；对于(3)，若k <0，则y 1＝|lg x |与y 2＝kx ＋2的图象最多有2个交点，(3)错误； 对于(4)，当k >0时，过点(0，2)存在函数g (x )＝lg x (x >1)图象的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故(4)正确.1.指数式与对数式的七个运算公式 (1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝a mn ；(3)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (4)log a MN ＝log a M －log a N ；(5)log a M n ＝n log a M ； (6)a log a N ＝N ；(7)log a N ＝log b Nlog ba (注：a ，b >0且a ，b ≠1，M >0，N >0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数. 3.函数的零点问题(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解. 4.应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.热点一 基本初等函数的图象与性质 【例1】 (1)(多选)下列命题中正确的是( ) A.∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13xB.∀x ∈(0，1)，log 12x >log 13xC.∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >x 12D.∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 13x(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x ＞0，|x ＋2|，－3≤x ≤0(a ＞0且a ≠1)，若函数f (x )的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是( )A.(0，1)B.(1，3)C.(0，1)∪(3，＋∞)D.(0，1)∪(1，3)答案 (1)ABC (2)D解析 (1)对于A ，分别作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象，如图(1)，由图可知，当x ∈(0，＋∞)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，故A 正确；对于B ，分别作出y ＝log 12x ，y ＝log 13x 的图象，如图(2)，由图可知，当x ∈(0，1)时，log 12x >log 13x ，故B 正确；对于C ，分别作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝x 12的图象，如图(3)，由图可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >x 12，故C 正确；对于D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，log 13x >log 1313＝1，所以D 错误.故选ABC.(2)y ＝log a x 的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝log a (－x )，函数f (x )的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，等价于y ＝log a (－x )与y ＝|x ＋2|，－3≤x ≤0的图象有且仅有一个交点.当0＜a ＜1时，显然符合题意(图略).当a ＞1时，只需log a 3＞1，∴1＜a ＜3. 综上所述，a 的取值范围是(0，1)∪(1，3).探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围. 2.基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化. 【训练1】 (1)函数f (x )＝x 2－1e x 的图象大致为( )(2)(多选)已知函数f (x )＝log 2(1＋4x )－x ，则下列说法正确的是( ) A.函数f (x )是偶函数 B.函数f (x )是奇函数C.函数f (x )在(－∞，0]上单调递增D.函数f (x )的值域为[1，＋∞) 答案 (1)A (2)AD解析 (1)易知f (x )在定义域R 上为非奇非偶函数，B 不合题意. 当x <0且x →－∞时，f (x )>0，且f (x )→＋∞，C 不合题意. 当x >0且x →＋∞时，f (x )→0，知D 不合题意，只有A 满足.(2)因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14x －(－x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋14x ＋x ＝log 2(4x ＋1)－log 24x ＋x ＝log 2(1＋4x )－2x ＋x ＝log 2(1＋4x )－x ＝f (x )， 所以函数f (x )为偶函数，故A 正确，B 不正确；f ′(x )＝4x ln 4（1＋4x）ln 2－1＝2×4x 4x ＋1－1＝4x －14x ＋1， 则当x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x >0时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，故C 不正确；由以上分析知，f (x )min ＝f (0)＝1，所以函数f (x )的值域为[1，＋∞)，故D 正确.综上所述，选AD. 热点二 函数的零点与方程 考向1 确定函数零点个数【例2】 (1)设函数f (x )＝2|x |＋x 2－3，则函数y ＝f (x )的零点个数是( ) A.4 B.3 C.2D.1(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ＜0，4x 3－6x 2＋1，x ≥0，其中e 为自然对数的底数，则函数g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6D.3答案 (1)C (2)A解析 (1)易知f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋x 2－3，所以x ≥0时，f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，所以x ＝1是函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上的唯一零点.根据奇偶性，知x ＝－1是y ＝f (x )在(－∞，0)内的零点， 因此y ＝f (x )有两个零点.(2)当x ≥0时，f (x )＝4x 3－6x 2＋1的导数为f ′(x )＝12x 2－12x ， 当0＜x ＜1时，f (x )单调递减，x ＞1时，f (x )单调递增，可得f (x )在x ＝1处取得最小值，最小值为－1，且f (0)＝1， 作出函数f (x )的图象，如图. g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3，可令g (x )＝0，t ＝f (x )，可得3t 2－10t ＋3＝0， 解得t ＝3或13.当t ＝13时，可得f (x )＝13有三个实根，即g (x )有三个零点； 当t ＝3时，可得f (x )＝3有一个实根，即g (x )有一个零点. 综上，g (x )共有四个零点.探究提高 判断函数零点个数的主要方法(1)解方程f (x )＝0，直接求零点；(2)利用零点存在性定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图象，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数，求其图象交点问题.【训练2】 (1)函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0，2π]的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4D.5(2)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，则关于x 的方程为f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2，6)上根的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4答案 (1)B (2)C解析 (1)令f (x )＝0，得2sin x －sin 2x ＝0， 即2sin x －2sin x cos x ＝0，∴2sin x (1－cos x )＝0，∴sin x ＝0或cos x ＝1. 又x ∈[0，2π]，∴由sin x ＝0得x ＝0，π或2π，由cos x ＝1得x ＝0或2π. 故函数f (x )的零点为0，π，2π，共3个. (2)对于任意的x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x ＋4)＝f [2＋(x ＋2)]＝f [2－(x ＋2)]＝f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4.又∵当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (6)＝f (－2)＝1，则函数y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2，6)上的图象如图所示，根据图象可得y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2，6)上有3个不同的交点，即f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2，6)上有3个根. 考向2 根据函数的零点求参数的值或范围 【例3】 (1)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A.－12B.13C.12D.1(2)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2＋ax ，x ≥0.若函数y ＝f (x )－ax －b恰有3个零点，则( ) A.a <－1，b <0 B.a <－1，b >0 C.a >－1，b <0 D.a >－1，b >0答案 (1)C (2)C解析 (1)f (x )＝(x －1)2＋a (e x －1＋e 1－x )－1， 令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t ＋e t )－1＝g (t )，且t ∈R ， ∴函数g (t )为偶函数.∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点. 又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12.(2)由题意，令y ＝f (x )－ax －b ＝0，得b ＝f (x )－ax ＝⎩⎨⎧（1－a ）x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2，x ≥0. 设y ＝b ，g (x )＝⎩⎨⎧（1－a ）x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2，x ≥0，则以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论.①当a <－1时，1－a >0，可知在x ∈(－∞，0)上，g (x )单调递增，且g (x )<0； 由g ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，a ＋1<0， 可知在x ∈[0，＋∞)上，g (x )单调递增，且g (x )≥0.此时直线y ＝b 与g (x )的图象只有1个交点，不符合题意，故排除A ，B. ②当a >－1，即a ＋1>0时.因为g ′(x )＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，所以当x ≥0时，由g ′(x )<0可得0<x <a ＋1，由g ′(x )>0可得x >a ＋1，所以当x ≥0时，g (x )在(0，a ＋1)上单调递减，g (x )在(a ＋1，＋∞)上单调递增.如图，y ＝b 与y ＝g (x )(x ≥0)的图象至多有2个交点.当1－a >0，即－1<a <1时，由图象可得，若要y ＝g (x )与y ＝b 的图象有3个交点，必有b <0；当1－a ＝0时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个、2个或无数个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去；当1－a <0，即a >1时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个或2个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去. 综上，－1<a <1，b <0.故选C.探究提高 1.求解第(1)题关键是利用函数f (x )有唯一零点找到解题思路.借助换元法，构造函数g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1，利用函数的性质求解. 2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.【训练3】 设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a (a <1)有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43e －0.5 C.(－∞，1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43e －0.5 答案 A解析 依题设，f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a 有两个零点，∴函数y ＝e x (2x －1)的图象与直线y ＝a (x －1)有两个交点. 令y ′＝[e x (2x －1)]′＝e x (2x ＋1)＝0，得x ＝－12.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12时，y ′<0，故y ＝e x(2x －1)为减函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞时，y ′>0，故y ＝e x (2x －1)为增函数，如图.设直线y ＝a (x －1)与y ＝e x (2x －1)相切于点P (x 0，y 0)， ∴y 0＝e x 0(2x 0－1). 则过点P (x 0，y 0)的切线为 y －e x 0(2x 0－1)＝e x 0(2x 0＋1)(x －x 0).将点(1，0)代入上式，得x 0＝0或x 0＝32(舍去). 此时，直线y ＝a (x －1)的斜率为1.故若直线y ＝a (x －1)与函数y ＝e x (2x －1)的图象有两个交点，应有0<a <1. 热点三 函数的实际应用【例4】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO ′为铅垂线(O ′在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离h 1(米)与D 到OO ′的距离a (米)之间满足关系式h 1＝140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离h 2(米)与F 到OO ′的距离b (米)之间满足关系式h 2＝－1800b 3＋6b .已知点B 到OO ′的距离为40米.(1)求桥AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价32k(万元)(k＞0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？解(1)如图，设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足.由条件知，当O′B＝40时，BB1＝－1800×403＋6×40＝160，则AA1＝160.由140O′A2＝160，得O′A＝80.所以AB＝O′A＋O′B＝80＋40＝120(米).(2)以O为原点，OO′所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).设F(x，y2)，x∈(0，40)，则y2＝－1800x3＋6x，EF＝160－y2＝160＋1800x3－6x.因为CE＝80，所以O′C＝80－x.设D(x－80，y1)，则y1＝140(80－x)2，所以CD ＝160－y 1＝160－140(80－x )2＝－140x 2＋4x . 记桥墩CD 和EF 的总造价为f (x )万元， 则f (x )＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫160＋1800x 3－6x ＋32k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－140x 2＋4x＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1800x 3－380x 2＋160(0＜x ＜40). f ′(x )＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3800x 2－340x ＝3k 800x (x －20)，令f ′(x )＝0，得x ＝20或x ＝0(舍去). 列表如下：所以当x ＝20时，f (x )取得最小值. 答：(1)桥AB 的长度为120米；(2)当O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.探究提高 1.解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.2.对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.【训练4】 “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e ax ＋b (a ，b 为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，且该果蔬所需物流时间为3天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过( ) A.9 ℃ B.12 ℃ C.18 ℃ D.20 ℃答案 B解析 当x ＝6时，e 6a ＋b ＝216；当x ＝24时，e 24a ＋b ＝8， ∴e 6a ＋be 24a ＋b ＝2168＝27，则e 6a ＝13. 若果蔬保鲜3天，则72＝13×216＝e 6a ·e 6a ＋b ＝e 12a ＋b ， 故物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过12 ℃.一、选择题1.设a ＝log 2 0.3，b ＝log 120.4，c ＝0.40.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜c ＜aD.a ＜c ＜b答案 D解析 ∵log 20.3＜log 21＝0，∴a ＜0.∵log 120.4＝－log 20.4＝log 252＞log 22＝1，∴b ＞1.∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c ＜1， ∴a ＜c ＜b .2.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，满足f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝cos π2x ，则函数y ＝f (x )－|x |的零点个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 A解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝f (x )，知周期T ＝2. 令f (x )－|x |＝0，得f (x )＝|x |.作出函数y ＝f (x )与g (x )＝|x |的图象如图所示.由图象知，函数y ＝f (x )－|x |有两个零点.3.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e－0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数.当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( ) A.60 B.63 C.66 D.69答案 C 解析 ∵I (t )＝K 1＋e －0.23（t －53）， ∴当I (t *)＝0.95K 时，K1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，则11＋e －0.23（t *－53）＝0.95⇒1＋e －0.23(t *－53)＝10.95⇒e －0.23(t *－53)＝10.95－1⇒e0.23(t *－53)＝19. ∴0.23(t *－53)＝ln 19，∴t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.4.已知函数f (x )＝[x ]([x ]表示不超过实数x 的最大整数)，若函数g (x )＝e x －1e x －2的零点为x 0，则g [f (x 0)]等于( ) A.1e －e －2B.－2C.e －1e －2 D.e 2－1e 2－2答案 B解析 因为g (x )＝e x －1e x －2， 所以g ′(x )＝e x ＋1e x >0在R 上恒成立， 即函数g (x )＝e x －1e x －2在R 上单调递增.又g(0)＝e0－1e0－2＝－2<0，g(1)＝e1－1e1－2>0，所以g(x)在(0，1)上必然存在零点，即x0∈(0，1)，因此f(x0)＝[x0]＝0，所以g[f(x0)]＝g(0)＝－2.5.(多选)若0<c<1，a>b>1，则()A.log a c>log b cB.ab c>ba cC.a log b c>b log a cD.a(b－c)>b(a－c) 答案AB解析对于A，因为0<c<1，a>b>1，所以log c a<log c b<0，所以log a alog a c<log b blog b c<0，即1 log a c<1log b c<0，所以0>log a c>log b c，故A正确；对于B，因为0<c<1，所以－1<c－1<0，所以当x>1时，函数y＝x c－1单调递减，所以b c－1>a c－1，又ab>0，所以由不等式的基本性质得ab c>ba c，故B正确；对于C，由A知log b c<log a c<0，又a>b>1，所以a log b c<b log b c，b log b c<b log a c，所以a log b c<b log a c，故C不正确；对于D，因为0<c<1，a>b>1，所以ac>bc，所以－ac<－bc，所以ab－ac<ab－bc，即a(b－c)<b(a－c)，故D不正确.综上所述，选AB.6.(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1＋x)＝f(1－x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则关于函数g(x)＝|f(x)|＋f(|x|)，下列说法正确的是()A.g(x)为偶函数B.g (x )在(1，2)上单调递增C.g (x )在[2 016，2 020]上恰有三个零点D.g (x )的最大值为2 答案 AD解析 易知函数g (x )的定义域为R ，且g (－x )＝|f (－x )|＋f (|－x |)＝|－f (x )|＋f (|x |)＝|f (x )|＋f (|x |)＝g (x )， 所以g (x )为偶函数，故A 正确；因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )是奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，所以f (x )是周期为4的函数，其部分图象如图所示，所以当x ≥0时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2f （x ），x ∈[4k ，2＋4k ]，0，x ∈（2＋4k ，4＋4k ]，k ∈N ，当x ∈(1，2)时，g (x )＝2f (x )，g (x )单调递减，故B 错误；g (x )在[2 016，2 020]上零点的个数等价于g (x )在[0，4]上零点的个数，而g (x )在[0，4]上有无数个零点，故C 错误；当x ≥0时，易知g (x )的最大值为2，由偶函数图象的对称性可知，当x <0时，g (x )的最大值也为2，所以g (x )在整个定义域上的最大值为2，故D 正确. 综上可知，选AD. 二、填空题7.已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________. 答案 (1，3]∪(4，＋∞)解析 令f (x )＝0，当x ≥λ时，x ＝4.当x <λ时，x 2－4x ＋3＝0，则x ＝1或x ＝3.若函数f (x )恰有2个零点，结合图1与图2知，1<λ≤3或λ>4.8.为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25 mg/m 3时，顾客方可进入商场.已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y (单位：mg/m 3)与经过的时间t (单位：min)之间的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1t ，0≤t <10，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10－a，t ≥10(a 为常数)，函数图象如图所示.如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是________.答案 9：30解析 由题图可得函数图象过点(10，1)， 代入函数的解析式，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝1，解得a ＝1，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1t ，0≤t <10，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10－1，t ≥10. 设从喷洒药物开始经过t min 顾客方可进入商场，易知t >10， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10－1≤0.25，解得t ≥30，所以如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：30.9.已知a ，b ，c 为正实数，且ln a ＝a －1，b ln b ＝1，c e c ＝1，则a ，b ，c 的大小关系是________. 答案 c ＜a ＜b解析 ln a ＝a －1，ln b ＝1b ，e c ＝1c .依次作出y ＝e x ，y ＝ln x ，y ＝x －1，y ＝1x 这四个函数的图象，如下图所示.由图象可知0＜c ＜1，a ＝1，b ＞1，∴c ＜a ＜b . 三、解答题10.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0).(1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b 且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b 的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求实数m 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的图象如图所示.(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f (x )在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ， 且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b ＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根. 故实数m 的取值范围为(0，1).11.随着中国经济的快速发展，节能减耗刻不容缓.某市环保部门为了提高对所辖水域生态环境的巡查效率，引进了一种新型生态环保探测器，该探测器消耗能量由公式E n ＝M v n T 给出，其中M 是质量(常数)，v 是设定速度(单位：km/h)，T 是行进时间(单位：h)，n 为参数.某次巡查为逆水行进，水流速度为4 km/h ，行进路程为100 km.(逆水行进中，实际速度＝设定速度－水流速度，顺水行进中，实际速度＝设定速度＋水流速度)(1)求T 关于v 的函数关系式，并指出v 的取值范围；(2)①当参数n ＝2时，求探测器最低消耗能量；②当参数n ＝3时，试确定使该探测器消耗的能量最低的设定速度.解 (1)由题意得，探测器实际速度为100T ＝v －4，则T ＝100v －4(v >4). (2)①当参数n ＝2时，E 2＝100·M ·v 2v －4＝100M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤v －4＋16v －4＋8 ≥100M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（v －4）·16v －4＋8 ＝1 600M ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当v －4＝16v －4，即v ＝8时取等号. 因此，当参数n ＝2时，该探测器最低消耗能量为1 600M .②当参数n ＝3时，E 3＝100·M ·v 3v －4(v >4). 令f (v )＝v 3v －4(v >4)，则f ′(v )＝2v 2（v －6）（v －4）2， 当4<v <6时，f ′(v )<0，f (v )单调递减，当v >6时，f ′(v )>0，f (v )单调递增.故当设定速度为6 km/h 时，该探测器消耗的能量最低.12.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案 B解析 由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6，得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I (t 2)＝2I (t 1)，即e0.38t 2＝2e0.38t 1，所以e0.38(t 2－t 1)＝2，即0.38(t 2－t 1)＝ln 2，∴t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8. 13.(多选)方程e x ＋x －2＝0的根为x 1，ln x ＋x －2＝0的根为x 2，则( ) A.x 1x 2>12 B.x 1ln x 2＋x 2ln x 1<0 C.e x 1＋e x 2<2eD.x 1x 2<e 2 答案 BD解析 令f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2，作出函数y ＝－x ＋2，y ＝e x ，y ＝ln x 的图象，其中y ＝e x 与y ＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，如图，则A (x 1，e x 1)，B (x 2，ln x 2).设直线y ＝x 与y ＝－x ＋2的交点为C ，则C (1，1)，且A ，B 关于点C 对称，∴e x 1＝x 2，x 1＋x 2＝2.∵f (0)＝－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －32>0，g (1)＝－1<0，g (2)＝ln 2>0， ∴0<x 1<12<1<x 2<2，∴x 1x 2<12，故A 错误； ∵x 1ln x 2＋x 2ln x 1<0等价于ln x 1x 1＋ln x 2x 2<0，易知h (x )＝ln x x 在(0，e)上单调递增， ∴h (x 1)<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2ln 2，h (x 2)<h (2)＝12ln 2， ∴h (x 1)＋h (x 2)<－32ln 2<0，即ln x 1x 1＋ln x 2x 2<0，故B 正确； ∵x 1＋x 2＝2且x 1≠x 2，∴e x 1＋e x 2>2e x 1＋x 2＝2e ，故C 错误；∵e x 1＝x 2，∴x 1x 2＝x 1e x 1.易知φ(x )＝x e x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增， ∴φ(x 1)<φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 即x 1e x 1<e 2，即x 1x 2<e 2，故D 正确. 故选BD.14.记f ′(x )，g ′(x )分别为函数f (x )，g (x )的导函数.若存在x 0∈R ，满足f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，则称x 0为函数f (x )与g (x )的一个“S 点”.(1)证明：函数f (x )＝x 与g (x )＝x 2＋2x －2不存在“S 点”；(2)若函数f (x )＝ax 2－1与g (x )＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值.(1)证明 函数f (x )＝x ，g (x )＝x 2＋2x －2，则f ′(x )＝1，g ′(x )＝2x ＋2.由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得⎩⎨⎧x ＝x 2＋2x －2，1＝2x ＋2，此方程组无解， 因此，f (x )与g (x )不存在“S 点”.(2)解 函数f (x )＝ax 2－1，g (x )＝ln x ，则f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝1x .设x 0为f (x )与g (x )的“S 点”， 由f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 0＝1x 0，即⎩⎨⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 20＝1， (*) 得ln x 0＝－12，即x 0＝e －12，则a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e －122＝e 2. 当a ＝e 2时，x 0＝e －12满足方程组(*)，即x 0为f (x )与g (x )的“S 点”.因此，a 的值为e 2.。
函数基本初等函数
当$n=-1$时，幂函数为$y=x^{-1}$，表示反比例函数。
当$n=0.5$时，幂函数为$y=x^{0.5}$，表示一个半次函数。
应用场景
在数学领域，幂函数广泛应用于 代数、几何和微积分等领域。
在物理领域，幂函数可以描述一 些自然现象，如电磁波的传播、
热传导等。
在工程领域，幂函数可以用于建 模和预测一些实际问题的结果，
函数基本初等函数
目录
• 常数函数 • 指数函数 • 三角函数 • 对数函数 • 幂函数 • 反三角函数
01 常数函数
定义与性质
定义
常数函数是指函数表达式中不含 有自变量，因变量始终等于某个 常数的函数。
性质
常数函数具有水平渐近线，即当 自变量趋于无穷时，因变量始终 等于该常数。
举例
常数函数y=5
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数学
在数学中，三角函数用于证明定理、 解决方程和不等式等问题，以及与 其他数学领域进行交叉研究。
04 对数函数
定义与性质
定义
对数函数是数学中的一种函数，它以 幂运算为基础，表示为 y = logₐx (a > 0, a ≠ 1)，其中 x > 0。
性质
对数函数具有反函数性质、运算性质 、换底公式等基本性质，这些性质在 数学和实际应用中具有重要意义。
在物理学中，对数函数被用于描述声 学、光学和热力学等领域的现象。
05 幂函数
定义与性质
定义
幂函数是形如$y=x^n$（$n$为实数）的函数，其中$x$是自 变量，$n$是实数指数。
性质
幂函数具有非负性、递增性、递减性、奇偶性等性质，具体 性质取决于指数$n$的取值。
专题练 第5练 基本初等函数、函数与方程
6.(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝elnx，x，x≤x>00，，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个 零点，则a的取值范围是
A.[－1,0)
B.[0，＋∞)
√C.[－1，＋∞)
D.[1，＋∞)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x). 在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图， 如图所示. 若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平 移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点， 此时1＝－0－a，a＝－1. 当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合 题意； 当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意. 综上，a的取值范围为[－1，＋∞).
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14.(2022·临汾模拟)2019年在阿塞拜疆举行的联合国教科文组织第43届世界遗
产大会上，随着木槌落定，良渚古城遗址成功列入《世界遗产名录》，这座见 证了中华五千多年文明史的古城迎来了在世界文明舞台上的“高光时刻”，标
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
10.(2022·淮安模拟)已知函数f(x)＝(3m－2)·xm＋2(m∈R)是幂函数，则函数
g(x)＝loga(x－m)＋1(a>0，且a≠1)的图象所过定点P的坐标是
√A.(2,1)
B.(0,2)
C.(1,2)
D.(－1,2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
初等函数的性质及其应用
初等函数的性质及其应用初等函数是数学中常见的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
初等函数的性质和应用广泛，不仅在数学领域有重要作用，还在物理、工程、经济等领域有广泛的应用。
本文将从初等函数的定义、性质和应用三个方面进行探讨。
一、初等函数的定义和性质初等函数的定义相对简单，可以通过有限次的加、减、乘、除、幂运算和开方运算得到。
常数函数是最简单的初等函数，它的函数值在定义域内始终保持不变。
幂函数是由一个变量的常数次幂构成，指数函数则是以常数为底的幂函数。
对数函数是指数函数的反函数，它的定义域为正实数集合。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的定义域是全体实数。
反三角函数是三角函数的反函数，它们的定义域根据具体函数而定。
初等函数具有一些共同的性质。
首先，初等函数在其定义域内是连续的，可以通过极限运算来求解其函数值。
其次，初等函数在其定义域内是可导的，可以通过导数运算来研究函数的变化趋势。
再次，初等函数的图像具有一定的对称性，如正弦函数和余弦函数的图像关于y轴对称，正切函数的图像关于原点对称。
此外，初等函数之间还存在一些特殊的关系，如指数函数和对数函数是互为反函数，正弦函数和余弦函数是互为相互关系。
二、初等函数的应用初等函数在数学领域有广泛的应用。
首先，它们可以用来描述和研究各种变化的规律。
例如，指数函数可以用来描述人口增长、物质衰变等指数增长或衰减的现象；正弦函数和余弦函数可以用来描述周期性变化的现象，如天体运动、电流变化等。
其次，初等函数可以用来求解各种数学问题。
例如，通过对数函数的运算，可以将复杂的乘法和除法运算转化为简单的加法和减法运算，从而简化计算过程。
再次，初等函数的导数可以用来研究函数的变化趋势和极值点，为优化问题的求解提供了数学工具。
除了在数学领域，初等函数还在其他学科和领域有广泛的应用。
在物理学中，初等函数可以用来描述和研究各种物理现象，如运动、力学、电磁学等。
高考数学二轮复习专题突破—基本初等函数、函数的应用(含解析)
高考数学二轮复习专题突破—基本初等函数、函数的应用一、单项选择题1.(2021·陕西西安月考)函数f (x )=xx 2-1−12的零点个数是( ) A.1 B.2C.3D.42.(2021·福建泉州一模)已知a=32,b=√3√2,c=ln3ln2,则( ) A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>bD.a>c>b3.(2021·浙江绍兴二模)函数f (x )=log a x+ax (a>1)的图象大致是( )4.(2021·湖北十堰期中)已知关于x 的方程9x -2a ·3x +4=0有一个大于2log 32的实数根,则实数a 的取值范围为( ) A.(0,52)B.(52,4)C.(52,+∞)D.(4,+∞)5.(2021·山东潍坊二模)关于函数f (x )={2x -a,0≤x <2,b-x,x ≥2,其中a ,b ∈R ,给出下列四个结论:甲:6是该函数的零点;乙:4是该函数的零点;丙:该函数的零点之积为0;丁:方程f (x )=52有两个根.若上述四个结论中有且只有一个结论错误,则该错误结论是( ) A.甲B.乙C.丙D.丁6.(2021·湖南师大附中期末)已知函数f(x)={lnx,x≥1,-ln(2-x),x<1,则方程(x-1)f(x)=1的所有实根之和为()A.2B.3C.4D.17.(2021·福建厦门期末)已知函数f(x)={|log3x|,0<x≤√3,1−log3x,x>√3,若关于x的方程f2(x)+mf(x)+112=0有6个解,则实数m的取值范围为()A.(-1,0)B.-1,-√33C.-1,-23D.-23,-√33二、多项选择题8.(2021·江苏扬州期末)17世纪初,约翰·纳皮尔为了简化计算发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件,恩格斯曾经把笛卡儿的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道,任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z)的形式,两边取常用对数,则有lg N=n+lg a,现给出部分常用对数值(如下表),则下列说法正确的有()A.310在区间(104,105)内B.250是15位数C.若2-50=a×10m(1≤a<10,m∈Z),则m=-16D.若m32(m∈N*)是一个35位正整数,则m=129.(2021·北京延庆模拟)同学们,你们是否注意到?自然下垂的铁链;空旷的田野上,两根电线杆之间的电线;峡谷的上空,横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上,这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中,这类函数的表达式可以为f(x)=a e x+b e-x(其中a,b是非零常数,无理数e=2.718 28…),对于函数f(x),下列说法正确的是()A.如果a=b,那么函数f(x)为奇函数B.如果ab<0,那么f(x)为单调函数C.如果ab>0,那么函数f(x)没有零点D.如果ab=1,那么函数f(x)的最小值为210.(2021·海南第四次模拟)已知k>0,函数f(x)={-ln(k-x),x<0,ln(k+x),x>0,则()A.f(x)是奇函数B.f(x)的值域为RC.存在k,使得f(x)在定义域上单调递增D.当k=12时,方程f(x)=1有两个实数根三、填空题11.(2021·北京通州区一模)已知函数f(x)={x2+2x,x≤t,lnx,x>t(t>0)有两个零点,且其图象过点(e,1),则常数t的一个取值为.12.(2021·山东济宁期末)已知函数f(x)=e x+x2+ln(x+a)与函数g(x)=e x+e-x+x2(x<0)的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围为.答案及解析1.B 解析 令f (x )=xx 2-1−12=0,即x 2-2x-1=0,解得x=1±√2,经检验x=1±√2是方程f (x )=0的解,故f (x )有两个零点.故选B . 2.C 解析 a=32,b=√3√2=√62,则a>b ,因为a-c=32−ln3ln2=3ln2−2ln32ln2=ln8−ln92ln2<0,所以a<c ,所以b<a<c.故选C .3.A 解析 令g (x )=x+ax ,由于a>1,所以g (x )在区间(0,√a )上单调递减,在区间(√a ,+∞)上单调递增,故f (x )在区间(0,√a )上单调递减,在区间(√a ,+∞)上单调递增,对照题中选项中的图象,知A 选项正确.4.C 解析 令t=3x ,因为方程9x -2a·3x +4=0有一个大于2log 32的实数根,即x>2log 32,则t>32log 32=4,所以函数f (t )=t 2-2at+4有一个大于4的零点,所以f (4)=42-8a+4<0,解得a>52,即实数a 的取值范围是(52,+∞).故选C .5.B 解析 若甲是错误的结论,则由乙正确可得b=4,由丙正确得a=1,此时丁不正确,不符合题意;若乙是错误的结论,则由甲正确可得b=6,由丙正确得a=1,此时丁也正确,符合题意;若丙或丁是错误的结论,则甲和乙不可能同时正确,不符合题意,故选B .6.A 解析 当x>1时,2-x<1,所以f (2-x )=-ln[2-(2-x )]=-ln x=-f (x ),当x<1时,2-x>1,所以f (2-x )=ln(2-x )=-f (x ),当x=1时,f (1)=0,所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称.显然x=1不是方程的根,当x ≠1时,原方程可变为f (x )=1x-1,画出函数y=f (x )和y=1x-1的图象(如图所示).由图知,二者仅有两个公共点,设为点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为函数y=f (x )和y=1x-1的图象都关于点(1,0)对称,所以点A ,B 关于点(1,0)对称,所以x 1+x 22=1,即x 1+x 2=2.故选A .7.D 解析 令f (x )=t ,则原方程可化为t 2+mt+112=0,画出函数f (x )的图象(如图).由图象可知,若关于x 的方程f 2(x )+mf (x )+112=0有6个解,则关于t 的方程t 2+mt+112=0必须在区间0,12上有两个不相等的实根,由二次方程根的分布得{ 112>0,Δ=m 2-13>0,14+12m +112>0,-m 2∈(0,12),解得m ∈-23,-√33.故选D . 8.ACD 解析 对A,令x=310,则lg x=lg 310=10lg 3=4.77,所以x=104.77∈(104,105),A 正确;对B,令y=250,则lg y=lg 250=50lg 2=15.05,所以y=1015.05∈(1015,1016),则250是16位数,B 错误;对C,令z=2-50,则lg z=lg 2-50=-50lg 2=-15.05,又因为2-50=a×10m (1≤a<10,m ∈Z ),所以10-15.05=a×10m ,则10-15.05-m =a ∈[100,101),所以m=-16,C 正确;对D,令k=m 32,则lg k=lg m 32=32lg m ,因为m 32(m ∈N *)是一个35位正整数,所以34<32lg m<35,则3432<lg m<3532,即1.063<lg m<1.094,所以m=12,D 正确.故选ACD .9.BC解析对A,当a=b时,f(x)=a e-x+a e x,此时f(-x)=a e x+a e-x=f(x),故f(x)为偶函数.故A 错误.对B,当ab<0时,若a>0,b<0,则函数y=a e x在其定义域上单调递增,函数y=be x在其定义域上也单调递增,故函数f(x)=a e x+be x在其定义域上单调递增;若a<0,b>0,则函数y=a e x在其定义域上单调递减,函数y=be x 在其定义域上也单调递减,故函数f(x)=a e x+be x在其定义域上单调递减.综上,如果ab<0,那么f(x)为单调函数.故B正确.对C,当a>0,b>0时,函数f(x)=a e x+b e-x≥2√ae x·be-x=2√ab>0,当a<0,b<0时,函数f(x)=-(-a e x-b e-x)≤-2√(-ae x)·(-be-x)=-2√ab<0.综上,如果ab>0,那么函数f(x)没有零点.故C正确.对D,由ab=1,得b=1a.当a<0,b<0时,函数f(x)=--a e x-1ae-x≤-2√(-ae x)·(-1ae-x)=-2;当a>0,b>0时,函数f(x)=a e x+1a e-x≥2√ae x·1ae-x=2.故ab=1时,函数f(x)没有最小值.故D错误.10.AC解析当x>0时,f(-x)=-ln(k+x)=-f(x),当x<0时,f(-x)=ln(k-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,故选项A正确;当x>0时,f(x)=ln(k+x)单调递增,且f(x)>ln k,当x<0时,f(x)=-ln(k-x)单调递增,且f(x)<-ln k,f(x)的值域为(-∞,-ln k)∪(ln k,+∞),若k≥1,ln k≥0,此时f(x)的值域不包含0,且f(x)在定义域上单调递增,故选项B错误,选项C正确;对于选项D,若k=12,ln k=-ln 2,而ln 2<1,由前面的分析可知,方程f(x)=1在区间(-∞,0)上没有实数根,在区间(0,+∞)上有一个实数根,故选项D错误.11.2(答案不唯一)解析由x2+2x=0可得x=0或x=-2,由ln x=0可得x=1,因为函数f(x)={x2+2x,x≤t,lnx,x>t(t>0)有两个零点,且其图象过点(e,1),所以e>t≥1.所以t可取2.12.(-∞,e)解析由题意得,g(-x)=f(x)在区间(0,+∞)上有解,即e-x=ln(x+a)在区间(0,+∞)上有解,所以函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上有交点.如图,函数y=ln(x+a)的图象是由函数y=ln x的图象左右平移得到的,当y=ln x的图象向左平移至使y=ln(x+a)的图象经过点(0,1)时,函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象交于点(0,1),将点(0,1)的坐标代入e-x=ln(x+a),有1=ln(0+a),得a=e,所以,若函数y=ln x的图象往左平移a个单位长度,且a≥e时,则函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上无交点.将函数y=ln x的图象向右平移时,函数y=e-x与y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上恒有交点.所以a<e,即a∈(-∞,e).。
基本初等函数、函数的应用
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(2020·陕西百校联盟第一次模拟)设 a＝log318，b＝log424，c＝ 大小关系是( D )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a
，则 a，b，c 的
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解析 c＝ ＜2，a＝log318＝1＋log36＝1＋log163，b＝log424＝1＋log46＝1＋log164. 因为 0＜log63＜log64＜1，所以log163＞log164＞1，所以 1＋log163＞1＋log164＞2，即 a＞b ＞c，故选 D.
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解析 ∵函数 f(x)＝log3x＋x 2－a 在区间(1,2)内有零点，且 f(x)在(1,2)内单调，∴ f(1)·f(2)＜0，即(1－a)·(log32－a)＜0，解得 log32＜a＜1.
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确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续， 其次看是否有 f(a)·f(b)＜0.若有，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与 x 轴在给定区间上是否有交点来判 断．
2．函数 f(x)＝2x＋ln x－1 1的零点所在的大致区间是( B ) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(1,2)与(2,3)
解析 易知 f(x)＝2x＋ln x－1 1在(1，＋∞)上为减函数， 又 f(2)＝1＞0，f(3)＝23－ln 2＝2－33ln 2＝2－3ln 8， ∵e2＜8，∴2＜ln 8，∴f(3)＜0， ∴f(x)在(2,3)上存在唯一一个零点，选 B.
基本初等函数及函数的应用
基本初等函数（Ⅰ）及函数的应用★知识网络1a > ）1(02．底数互为倒数的两个指数函数的图像关于y 轴对称.例如：指数函数的图像x a y =与)1,0(≠>=-a a a y x的图象关于y 轴对称3．指数函数的性质：定义域：R ； 值域：（0，＋∞）；过点（0，1）；即x=0时，y=1.当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数.4．利用复合函数的单调性判断形如)(x f a y =的函数的单调性：若1>a ，则)(x f y =的单调增（减）区间，就是)(x f a y =的单调增（减）区间；若10<<a ，则)(x f y =的单调增（减）区间，就是)(x f a y =的单调减（增）区间；5.指数型的方程和不等式的解法(Ⅰ)形如b a b a b a x f x f x f <>=)()()(,,的形式常用“化同底”转化为利用指数函数的单调性解决，或“取对数”等方法；(Ⅱ)形如02=++C Ba a xx 或)0(02≤≥++C Ba ax x的形式，可借助于换元法转化为二次方程或不等式求解。
考点1 指数幂的运算1． （湛江市09届统考）计算：100.256371.5()86-⨯-+ 2.=-⋅63a a ————————考点2 指数函数的图象及性质的应用 题型1：由指数函数的图象判断底数的大小 3．下图是指数函数（1）y=a x ，（2）y=b x ，（3）y=c x ，（4）y=d x 的图像，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（ ） A ．a b c d <<<<1; B ．b a d c <<<<1； C ．a b c d <<<<1；D ．b a c d <<<<1 [名师指引] 1的妙用题型2：解简单的指数方程4． 方程33131=++-xx的解是_________题型3：利用函数的性质解题5．不等式1622<-+x x的解集是___________6．（广东恩城中学09年模拟）不论a 为何正实数,函数12x y a +=-的图象一定通过一定点,则该定点的坐标是_________7．（广东广雅中学09届月考）已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是( )A ．B ．C ．D ．8．（08年安徽改编）若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e -=，则)3(f 、)0(g 、)2(f 的大小关系为——————————考点3 与指数函数有关的含参数问题9．（广州六校09届联考）已知函数()22x x af x =-, 将()y f x =的图象向右平移两个单位, 得到()y g x =的图象.(1) 求函数()y g x =的解析式;(2) 若函数()y h x =与函数()y g x =的图象关于直线1y =对称, 求函数()y h x =的解析式;二． 对数及对数函数1．对数的概念如果ab=N （a ＞0，a≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作logaN=b ab=N ⇔logaN=b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）. 2．对数的运算性质loga （MN ）=logaM+logaN. loga N M=logaM －logaN.logaM n =nlogaM.（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）3．对数换底公式：logb N =bN a a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.4．对数函数的图像及性质①函数y=loga x （a ＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下a <11))②对数函数的性质：定义域：（0，+∞）； 值域：R ； 过定点（1，0）当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数。
基本初等函数、函数与方程及函数的应用(题型归纳)
基本初等函数、函数与方程及函数的应用【考情分析】1.考查特点:基本初等函数作为高考的命题热点,多考查指数式与对数式的运算、利用函数的性质比较大小,难度中等;函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上,题目有时较难,而与实际应用问题结合考查的指数、对数函数模型也是近几年考查的热点,难度中等.2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力、创新能力.3.学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算.【题型一】基本初等函数的图象与性质【典例分析】【例1】（2021•焦作一模）若函数||(0,1)x y a a a =>≠的值域为{|1}y y ，则函数log ||a y x =的图象大致是()A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】若函数||(0,1)x y a a a =>≠的值域为{|1}y y ，则1a >，故函数log ||a y x =的图象大致是：故选：B ．【例2】（2021·陕西西安市·西安中学高三模拟）若1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2xb =，ln 2xc =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a>>【答案】D【解析】因1(,1)x e -∈，且函数ln y x =是增函数，于是10a -<<；函数2x y =是增函数，1ln 0ln 1x x -<<<-<，而ln ln 1()22xx -=，则ln 11()22x <<，ln 1212x<<，即1122c b <<<<，综上得：b c a >>故选：D【例3】（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）若函数()()4log 1,13,1x x x f x m x ⎧->=⎨--≤⎩存在2个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．[)3,0-B ．[)1,0-C ．[)0,1D ．[)3,-+∞【答案】A【解析】因函数f (x )在(1，+∞)上单调递增，且f (2)=0，即f (x )在(1，+∞)上有一个零点，函数()()4log 1,13,1x x x f x m x ⎧->=⎨--≤⎩存在2个零点，当且仅当f (x )在(-∞，1]有一个零点，x≤1时，()03x f x m =⇔=-，即函数3x y =-在(-∞，1]上的图象与直线y =m 有一个公共点，在同一坐标系内作出直线y =m 和函数3(1)x y x =-≤的图象，如图：而3x y =-在(-∞，1]上单调递减，且有330x -≤-<，则直线y =m 和函数3(1)x y x =-≤的图象有一个公共点，30m -≤<.故选：A【提分秘籍】1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响,解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a 的范围.2.研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)=ln(x 2-3x+2)的单调区间,易只考虑t=x 2-3x+2与函数y=ln t 的单调性,而忽视t>0的限制条件.3.指数、对数、幂函数值的大小比较问题的解题策略:(1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较.(2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较.(3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比较大小.【变式演练】1．【多选】（2021·山东省实验中学高三模拟）已知函数()2121x x f x -=+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为减函数C ．()f x 有且只有一个零点D ．()f x 的值域为[)1,1-【答案】AC【解析】()2121x x f x -=+ ,x ∈R ,2121x=-+2112()()2112x xx xf x f x ----∴-===-++,故()f x 为奇函数，又()21212121x x xf x -==-++ ，()f x ∴在R 上单调递增，20x> ，211x ∴+>，20221x∴<<+，22021x∴-<-<+，1()1f x ∴-<<，即函数值域为()1,1-令()21021x x f x -==+，即21x =，解得0x =，故函数有且只有一个零点0.综上可知，AC 正确，BD 错误.故选：AC2．（2021·山东潍坊市·高二一模（理））设函数()322xxf x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是【答案】(),1-∞-【解析】函数的定义域为R ，()()322xx f x x f x --=--=-，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数原不等式可化为()()213f x f -<-，∴213x -<-，解得1x <-，∴x 的取值范围是(),1-∞-．【题型二】函数与方程【典例分析】【例4】（2021·宁夏中卫市·高三其他模拟）函数3()9x f x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】由x e 为增函数，3x 为增函数，故3()9x f x e x =+-为增函数，由(1)80f e =-<，2(2)10f e =->，根据零点存在性定理可得0(1,2)x ∃∈使得0()0f x =，故选：B.【例5】（2021·北京高三一模）已知函数22,,()ln ,x x x t f x x x t⎧+=⎨>⎩(0)t >有2个零点，且过点(,1)e ，则常数t 的一个取值为______．【答案】2（不唯一）．【解析】由220x x +=可得0x =或2x =-由ln 0x =可得1x =因为函数22,,()ln ,x x x t f x x x t⎧+=⎨>⎩(0)t >有2个零点，且过点(,1)e ，所以1e t >≥，故答案为：2（不唯一）【提分秘籍】1.判断函数零点个数的方法直接法直接求零点,令f(x)=0,则方程解的个数即为函数零点的个数定理法利用零点存在性定理,利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在,必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点数形结合法对于给定的函数不能直接求解或画出图象的,常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题2.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.【变式演练】1．（2021·湖北十堰市高三模拟）函数()()()23log 111f x x x x =+->-的零点所在的大致区间是（）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】B【解析】易知()f x 在()1,+∞上是连续增函数，因为()22log 330f =-<，()33202f =->，所以()f x 的零点所在的大致区间是()2,3.故选：B2．（2021·天津高三二模）设函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩，若1a =，则()f x 的最小值为______；若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1-112a ≤<或2a ≥【解析】当1a =时，()()211()4(1)(2)1x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，1x <，()211xf x =-<，1≥x ，()()()234124112f x x x x ⎛⎫=--=--≥- ⎪⎝⎭所以()f x 的最小值为1-.设()f x 的零点为1x 、2x ，若()1,1x ∈-∞，[)21x ∈+∞,，则20012a a a a->⎧⎪>⎨⎪<≤⎩，得112a ≤<若[)12,1,x x ∈+∞，则0201a a a >⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，得2a ≥，综上:112a ≤<或2a ≥.故答案为:1-；112a ≤<或2a ≥.【题型三】函数的实际应用【典例分析】1．（2021·北京高三二模）20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅,0A 是标准地震的振幅，2008年5月12日，我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为里氏8.0级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（）A ．0.210-B ．0.210C ．40lg39D ．4039【答案】B【解析】由0lg lg M A A =-，可得01AM gA =，即10M A A =，010M A A =⋅，当8M =时，地震的最大振幅为81010A A =⋅，当7.8M =时，地震的最大振幅为7.82010A A =⋅，所以，修订后的震级与速报震级的最大振幅之比是887.80.2017.82010101010A A A A -⋅===⋅.故选：B.2．为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量(mg /L)P 与时间(h)t 的关系为0ktP P e -=.如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花的时间为（）A ．7小时B ．10小时C ．15小时D ．18小时【答案】B【解析】因为前5个小时消除了10%的污染物，所以()50010.1kP P P e -=-=，解得ln 0.95k =-，所以ln 0.950tP P e =，设污染物减少19%所用的时间为t ，则()0010.190.81P P -=()()ln 0.92ln 0.955500000.90.9t t t P P e P eP ====，所以25t=，解得10t =，故选：B 3.（2021·山东滕州一中高三模拟）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y （毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为100.1,0101,102ta t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩（a 为常数），函数图象如图所示．如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是A ．9:40B ．9:30C ．9:20D ．9:10【答案】9:30【解析】根据函数的图象，可得函数的图象过点(10,1)，代入函数的解析式，可得1121a-⎛⎫⎪⎝⎭=，解得1a =，所以1100.1,0101,102t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，令0.25y ≤，可得0.10.25t ≤或11020.251t -⎛⎝≤⎫⎪⎭，解得0 2.5t <≤或30t ≥，所以如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9:30.故选：B.【提分秘籍】1.构建函数模型解决实际问题的失分点：(1)不能选择相应变量得到函数模型；(2)构建的函数模型有误；(3)忽视函数模型中变量的实际意义.2.解决新概念信息题的关键：(1)依据新概念进行分析；(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.【变式演练】（2020·湖北黄冈市·黄冈中学高三模拟）“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间()30100t t ≤≤（单位：天），增加总分数()f t （单位：分）的函数模型：()()1lg 1kPf t t =++，k 为增分转化系数，P 为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且()1606f P =．现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（）（lg 61 1.79≈）A ．440分B ．460分C ．480分D ．500分【答案】B【解析】由题意得：()1601lg 61 2.796kP kP f P ===+， 2.790.4656k ∴≈=；∴()0.465400186186100621lg1011lg100lg1.013f ⨯==≈=+++，∴该学生在高考中可能取得的总分约为40062462460+=≈分.故选：B.1.（2021·江苏金陵中学高三模拟）函数()2ln 1xf x x =+-的零点所在的区间为（）．A ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数()2ln 1xf x x =+-为()0,∞+上的增函数，由()110f =>，1311112ln 21ln 21ln 2ln 0222222f e ⎛⎫=-<--=-<-=⎪⎝⎭，可得函数()f x 的零点所在的区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D.2.（2021·山东潍坊一中高三模拟）若函数()1af x x x =+-在(0,2)上有两个不同的零点，则a 的取值范围是（）A ．1[2,]4-B ．1(2,)4-C ．1[0,]4D ．1(0,)4【答案】D【解析】函数()1a f x x x=+-在(0,2)上有两个不同的零点等价于方程10ax x +-=在(0,2)上有两个不同的解，即2a x x =-+在(0,2)上有两个不同的解.此问题等价于y a =与2(02)y x x x =-+<<有两个不同的交点.由下图可得104a <<.故选：D.3．（2021·长沙市·湖南师大附中高三三模）已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则（）．A ．()f x 的图象关于直线3x =对称B ．()f x 的图象关于点()3,0对称C ．()f x 在()2,4上单调递增D ．()f x 在()2,4上单调递减【答案】A【解析】()f x 的定义域为()2,4x ∈，A ：因为()()()()3ln 1ln 13f x x x f x +=++-=-，所以函数()f x 的图象关于3x =对称，因此本选项正确；B ：由A 知()()33f x f x +≠--，所以()f x 的图象不关于点()3,0对称，因此本选项不正确；C ：()()()2ln 2ln 4ln(68)x x x f x x =-+-=-+-函数2268(3)1y x x x =-+-=--+在()2,3x ∈时，单调递增，在()3,4x ∈时，单调递减，因此函数()f x 在()2,3x ∈时单调递增，在()3,4x ∈时单调递减，故本选项不正确；D ：由C 的分析可知本选项不正确，故选：A4．（2021·辽宁本溪高级中学高三模拟高三模拟）设函数2ln(1)ln(1)()1x x f x x +--=-，则函数的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】2ln(1)ln(1)()1x x f x x +--=-，定义域为()1,1-，且()()f x f x -=-，故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A,B,C ，故选：D.5．（2021·新安县第一高级中学高三模拟）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中C 为最大数据传输速率，单位为bit /s ：W 为信道带宽，单位为Hz ：SN为信噪比.香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当99SN=，2000Hz W =时，最大数据传输速率记为1C ；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（）A ．2B ．99C ．101D ．9999【答案】C【解析】当99S N =，2000Hz W =时，()1222log 12000log 1994000log 10S C W N ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，由228000log 102000log 1S N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得224log 10log 1S N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以9999S N =，所以999910199=，即信噪比变为原来的101倍.故选：C .6．（2021·浙江温州市·瑞安中学高三模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则函数()3y f x x =-的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()()2f x f x +=-可得()f x 关于1x =对称，由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()[]2()(2)(2)f x f x f x f x f x +=-=-=---=-，所以()f x 的周期为4，把函数()3y f x x =-的零点问题即()30y f x x =-=的解，即函数()y f x =和3y x =的图像交点问题，根据()f x 的性质可得如图所得图形，结合3y x =的图像，由图像可得共有3个交点，故共有3个零点，故选：B.7．（2021·珠海市第二中学高三模拟）设21()log (1)f x x a=++是奇函数，若函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，则()g x 的值域为（）A ．11(,)(,)22-∞-+∞ B ．11(,22-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(2,2)-【答案】A【解析】因为21()log (1)f x x a=++，所以1110x a x a x a+++=>++可得1x a <--或x a >-，所以()f x 的定义域为{|1x x a <--或}x a >-，因为()f x 是奇函数，定义域关于原点对称，所以1a a --=，解得12a =-，所以()f x 的定义域为11(,)(,)22-∞-+∞ ，因为函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，所以()g x 与()f x 互为反函数，故()g x 的值域即为()f x 的定义域11(,)(,)22-∞-+∞ .故选：A .8．（2021·浙江杭州高级中学高三模拟）已知函数22log ,0,()44,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--+<⎩若函数()()g x f x m =-有四个不同的零点1234,,,x x x x ，则1234x x x x 的取值范围是（）A ．(0,4)B ．(4,8)C ．(0,8)D ．(0,)+∞【答案】A【解析】函数()g x 有四个不同的零点等价于函数()f x 的图象与直线y m =有四个不同的交点.画出()f x 的大致图象，如图所示.由图可知(4,8)m ∈.不妨设1234x x x x <<<，则12420x x -<<-<<，且124x x +=-.所以214x x =--，所以()()212111424(0,4)x x x x x =--=-++∈，则3401x x <<<，因为2324log log x x =，所以2324log log x x -=，所以12324log log x x -=，所以341x x ⋅=，所以123412(0,4)x x x x x x ⋅⋅⋅=∈⋅.故选：A9．（2021·天津南开中学高三模拟）若函数()1x f x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为()A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】BCD【解析】函数()1x f x e =-的导数为()x f x e '=；所以过原点的切线的斜率为1k =；则过原点的切线的方程为：y x =；所以当1a 时，函数()1x f x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点；故选BCD10．（2021·广东佛山市·高三模拟）函数()()()ln 1ln 1xxf x e e =+--，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为(0,)+∞B ．()f x 在定义域内单调递増C ．不等式(1)(2)f m f m ->的解集为(1,)-+∞D ．函数()f x 的图象关于直线y x =对称【答案】AD【解析】要使函数有意义，则10(0,)10x xe x e ⎧+>⇒∈+∞⎨->⎩，故A 正确；()()12()ln 1ln 1ln ln(111x xxx x e f x e e e e +=+--==+--，令211xy e =+-，易知其在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，故B 不正确；由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以对于(1)(2)f m f m ->，有1020(1,)12m m m m m ->⎧⎪>⇒∈+∞⎨⎪-<⎩，故C 不正确；令()ln(211x y f x e +=-=，解得11ln()11y xy y y e e e x e e ++=⇒=--，所以()f x 关于直线y x =对称，故D 正确.故选：AD11．（2021·福建厦门市高三模拟）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（）A ．3a =B ．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C ．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D ．注射一次治疗该病的有效时间长度为31532时【答案】AD【解析】由函数图象可知()4(01)112t at t y t -<⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，当1t =时，4y =，即11()42a-=，解得3a =，∴()34(01)112t t t y t -<⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，故A 正确，药物刚好起效的时间，当40.125t =，即132t =，药物刚好失效的时间31()0.1252t -=，解得6t =，故药物有效时长为131653232-=小时，药物的有效时间不到6个小时，故B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为140.58⨯=微克，故C 错误，故选：AD ．12．（2021·辽宁省实验中学高三模拟）（多选题）已知函数()f x ，()g x 的图象分别如图1，2所示，方程(())1f g x =，(())1g f x =-，1(())2g g x =-的实根个数分别为a ，b ，c ，则（）A ．a b c +=B ．b c a+=C ．b a c=D ．2b c a+=【答案】AD【解析】由图，方程(())1f g x =，1()0g x -<<，此时对应4个解，故4a =；方程(())1g f x =-，得()1f x =-或者()1f x =，此时有2个解，故2b =；方程1(())2g g x =-，()g x 取到4个值，如图所示：即2()1g x -<<-或1()0g x -<<或0()1g x <<或1()2g x <<，则对应的x 的解，有6个，故6c =.根据选项，可得A ，D 成立.故选AD ．13．（2021·山东淄博实验中学高三模拟）如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0，且a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.【答案】3或13【解析】令a x =t ，则y =a 2x +2a x -1=t 2+2t -1=(t +1)2-2.当a >1时，因为x ∈[-1，1]，所以t ∈1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，又函数y =(t +1)2-2在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以y max =(a +1)2-2=14，解得a =3(负值舍去).当0<a <1时，因为x ∈[-1，1]，所以t ∈1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，又函数y =(t +1)2-2在1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则y max =211a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-2=14，解得a =13(负值舍去).综上，a =3或a =13.14．（2021·北京高三一模）已知函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-⎩则(0)f =________；()f x 的值域为_______．【答案】1(),2-∞【解析】0(0)2=1=f ；当1x <时，()()20,2=∈xf x ，当1x ≤时，()2log 0=-≤f x x ，所以()f x 的值域为(),2-∞故答案为：1；(),2-∞．15．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知定义域为[4,4]-的函数()f x 的部分图像如图所示，且()()0f x f x --=，函数(lg )1f a ≤，则实数a 的取值范围为______．【答案】1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意知()()f x f x -=，且函数()f x 的定义域为[4,4]-，所以()f x 是偶函数．由图知()11f =，且函数()f x 在[0,4]上为增函数，则不等式(lg )1f a ≤等价于(|lg |)(1)f a f ≤，即|lg |1a ≤，所以1lg 1a -≤≤，解得11010a ≤≤．故实数a 的取值范围为1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.（2021·湖南长沙市·长沙一中高三其他模拟）设函数()222,034,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________．【答案】41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】作出函数()f x 图像如下互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==不妨设123x x x <<，则23,x x 关于1x =对称，所以232x x +=根据图像可得1213x -<≤-所以123413x x x <++≤，所以123x x x ++的取值范围为41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦。
基本初等函数(高考数学专题)
基本初等函数一、指数函数1、指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n次方根用符号表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．②式子这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mnaa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈2、指数函数及其性质（4）指数函数1、化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）;)(65312121132ba ba b a ⋅⋅⋅⋅--2、已知实数a 、b满足等式b a )31()21(=0＜b ＜a;②a ＜b＜0;③0＜a ＜b;④b ＜a ＜0;⑤a=b. （ ）A.1个B.2个C.3个D.43、求下列函数的单调递增区间：y=262--x x .二、对数函数 1、对数与对数运算 （1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即l o geN （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且2、对数函数及其性质（5）对数函数1、计算：（1）)32(log 32-+（2）21lg 4932-34lg8+lg 245.变式训练1：化简求值.（1）log 2487+log 212-21log 242-1;（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83).2、比较下列各组数的大小.（1）log 332与log 556;2）log 1.10.7与log 1.20.7;（3）已知log 1b ＜log 1a ＜log 1c,比较2b ,2a ,2c 的大小关系.变式训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log,1的大小关系是 （ ）A.log a bb bba1log log1<<B.bb b b aa1log 1log log<< C.b b b a ba1log 1log log << D.b b b a a b log 1log 1log <<三、幂函数 （1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qp y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则qp y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．1、写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：（1）3y x=（2）12y x=（3）2y x-=（4）22y x x-=+（5）1122y x x-=+（6）1124()3()f x x x=+-变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1）5y x=（2）43y x-=（3）54y x=（4）35y x-=（5）12y x-=2、比较大小：（1）1122 1.5,1.7（2）33 (1.2),(1.25) --（3）112 5.25,5.26,5.26---（4）30.53 0.5,3,log0.53、已知幂函数223m my x--=（m Z∈）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值．变式训练2：证明幂函数12()f x x=在[0,)+∞上是增函数．分析：直接根据函数单调性的定义来证明．答案： 指数：1、解：原式=.100653121612131656131212131=⋅=⋅=⋅-+-+--b a baba ba b a2、B3、令u=x 2-x-6,则y=2u ,u=x 2-x-6的对称轴是x=21,在区间［21，+∞）上u=x 2-x-6是增函数.y=2uy=262--x x 在区间［21，+∞）上是增函数故函数y=262--x x 的单调递增区间是［21，+∞）对数： 1、（1）设)32(log 32-+=x,(2+3)x =2-3=321+=（2+3）-1,∴x=-1.（2）原式=21（lg32-lg49）-34lg821+21lg245=21 (5lg2-2lg7)-34×2lg 23+21(2lg7+lg5)=25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+21lg5=21lg(2×5)= 21lg10=21.变式训练1： (1)原式=log 2487+log 212-log 242-log 22=log 2.232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.（3）原式=(.452lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++2、（1）∵log 332＜log 31=0,log 556＞log 51=0,∴log 332＜log 556.(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜ 1.2,0＞2.1log 1.1log 7.00.7>,∴2.1log 11.1log 17.07.0<,即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7.方法二 作出y=log1.1x 与y=log 1.2x 的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7.(3)∵y=x 21log 为减函数，且c a b 212121log log log<<,∴b ＞a ＞c,而y=2x 是增函数，∴2b ＞2a ＞2c .变式训练2：C 幂函数：1、（1）此函数的定义域为R ，33()()()f x x x f x -=-=-=- ∴此函数为奇函数．（2）12y x ==[0,)+∞ 此函数的定义域不关于原点对称 ∴此函数为非奇非偶函数． （3）221y x x-==∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞ 2211()()()f x f x x x-===-∴此函数为偶函数 （4）22221y x x x x-=+=+∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞ 222211()()()()f x x x f x x x -=-+=+=- ∴此函数为偶函数（5）1122y x x-=+=[0,)+∞ 此函数的定义域不关于原点对称∴此函数为非奇非偶函数（6）1124()3()f x x x =+-=0x x ≥⎧∴⎨-≥⎩ 0x ∴=∴此函数的定义域为{0} ∴此函数既是奇函数又是偶函数变式训练1、分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式． 解：（1）定义域R ，值域R ，奇函数，在R 上单调递增．（2）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(0,)+∞，偶函数，在(,0)-∞上单调递增， 在(0,)+∞ 上单调递减．（3）定义域[0,)+∞，值域[0,)+∞，偶函数，非奇非偶函数，在[0,)+∞上单调递增．（4）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(,0)(0,)-∞⋃+∞，奇函数，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递减．（5）定义域(0,)+∞，值域(0,)+∞，非奇非偶函数，在(0,)+∞上单调递减． 2、（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11221.5 1.7< （2）∵3y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->- （3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->；∵ 5.26x y =是增函数，12->-，∴125.26 5.26-->；综上，1125.25 5.26 5.26--->> （4）∵300.51<<，0.531>，3log 0.50<，∴30.53log 0.50.53<<3、分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值． 解：∵幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称，∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．变式训练2：证明：设120x x ≤<则11221212()()f x f x x x -=-==12x x <120x x ∴-<0>12()()0f x f x ∴-< 即12()()f x f x <∴此函数在[0,)+∞上是增函数。
掌握初等函数的性质与应用
掌握初等函数的性质与应用初等函数是数学中常见且重要的一类函数，它们在各个领域的问题中都有着广泛的应用。
掌握初等函数的性质和应用对于解决实际问题以及深入学习更高级的数学知识是非常关键的。
本文将介绍初等函数的常见性质，并探讨其在不同领域中的应用。
一、初等函数的常见性质初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
这些函数具有以下常见性质：1. 定义域和值域：每个初等函数都有其定义域和值域。
例如，幂函数的定义域是实数集，而对数函数的定义域是正实数集。
2. 奇偶性：初等函数可以分为奇函数和偶函数。
奇函数的函数图像关于坐标原点对称，即满足f(-x)=-f(x)；而偶函数的函数图像关于y轴对称，即满足f(-x)=f(x)。
3. 单调性：初等函数可以是递增函数或递减函数，也可以是常数函数。
通过求导可以确定初等函数的单调性。
4. 极值和拐点：初等函数的图像可能存在极值和拐点。
通过求导和求二阶导数可以确定初等函数的极值和拐点的位置。
5. 渐近线：初等函数的图像可能存在水平渐近线、垂直渐近线以及斜渐近线。
通过函数的定义和求极限可以确定初等函数的渐近线。
二、初等函数的应用1. 物理学中的应用初等函数在物理学中有着重要的应用。
以位移、速度、加速度为坐标的匀加速直线运动问题可以建立初等函数与时间的关系，通过求解方程可以确定物体在不同时间的状态。
2. 经济学中的应用经济学中的供求关系、边际效益等经济现象可以通过初等函数来描述和解决。
例如，利润函数、成本函数和收益函数都可以表示为初等函数，通过求导可以确定最大利润点。
3. 生物学中的应用生物学中的生长速度、衰变速率等也可以通过初等函数来描述。
例如，细胞的分裂速率可以用指数函数来表示，通过求导可以确定分裂速率的最大值。
4. 计算机科学中的应用在计算机科学中，初等函数的应用十分广泛。
例如，利用对数函数可以评估代码运行时间的增长率，通过三角函数可以计算图形的旋转和变形等。
基本初等函数、函数与方程及函数的应用
2<0，f(1)＝e－1>0，所以f(a)＝0时a∈(0,1)．又g(x)＝ln x＋
x2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－2<0，所以g(a)<0.
由g(2)＝ln 2＋1>0，g(b)＝0得b∈(1,2)，又f(1)＝e－1>0，且
f(x)＝ex＋x－2在R上单调递增，所以f(b)>0.综上可知，
在零点的个数进行判断，如2013年重庆T6，天津T7，湖南T5等．
4.利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或取值范围．
5.对函数实际应用问题的考查，题目大多以社会生活为背景，
函数的实际应用 设问新颖、灵活，而解决这些问题所涉及的数学知识、思想方法都
问题
是高中教材和课标中所要求掌握的概念、公式、法则、定理等.
个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
答案：A
3．(2013·天津高考)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为
A．1
B．2
()
C．3
D．4
解析：函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数即为函数y＝
|log0.5x|与y＝
1 2x
图像的交点个数．在同一直角坐标系中作出
函数y＝|log0.5x|与y＝21x的图像，易知有2个交点． 答案：B
4．(2013·湖南高考)函数f(x)＝2ln x的图像与函数g(x)＝x2－4x＋
5的图像的交点个数为
()
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)
＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图像的下
新高考数学二轮复习知识点总结与题型归纳 第5讲 基本初等函数、函数与方程(解析版)
第5讲 基本初等函数、函数与方程[考情分析] 1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现．基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质． 【知识要点】1．一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0)(1)定义域为R ，值域为R ； (2)图象如图所示，为一条直线；(3)k ＞0时，函数为增函数，k ＜0时，函数为减函数；(4)当且仅当b ＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数． (5)函数y ＝kx ＋b 的零点为⋅-kb2．二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方，函数的解析式可以变形为⋅-++=a b ac ab x a y 44)2(22 (1)定义域为R ：当a ＞0时，值域为),44[2+∞-a b ac ；当a ＜0时，值域为]44,(2ab ac --∞；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为abx 2-=，顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --．当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下． (3)当a ＞0时，]2,(a b --∞是减区间，),2[+∞-ab是增区间； 当a ＜0时，]2,(a b --∞是增区间，),2[+∞-ab是减区间． (4)当且仅当b ＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．(5)当判别式∆＝b 2－4ac ＞0时，函数有两个变号零点aacb b 242-±-；当判别式∆＝b 2－4ac ＝0时，函数有一个不变号零点ab 2-； 当判别式∆＝b 2－4ac ＜0时，函数没有零点． 3．指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1) (1)定义域为R ；值域为(0，＋∞)．(2)a ＞1时，指数函数为增函数；0＜a ＜1时，指数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．4．对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数．(1)定义域为(0，＋∞)；值域为R．(2)a＞1时，对数函数为增函数；0＜a＜1时，对数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为1．5．幂函数y＝xα(α∈R)幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴．要注意：因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，xα＞0，所以所有的幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限都有图象．根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．6．指数与对数(1)如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根． 负数没有偶次方根．),1()(+∈>=N n n a a n n ；⎩⎨⎧=为偶数时当为奇数时当n a n a a nn|,|,)( (2)分数指数幂，)0(1>=a a a n n；,0()(>==a a a a n m m n nm n ，m ∈N *，且nm为既约分数)． *N ,,0(1∈>=-m n a aanm nm ，且nm为既约分数)． (3)幂的运算性质a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，a 0＝1(a ≠0)．(4)一般地，对于指数式a b＝N ，我们把“b 叫做以a 为底N 的对数”记为log a N ， 即b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)． (5)对数恒等式：Na alog ＝N ．(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)； 底的对数是1，1的对数是0． (7)对数的运算法则及换底公式：N M NMN M MN a a aa a a log log log ;log log )(log -=+=； M M a a log log αα=； bNN a a b log log log =.(其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，M ＞0，N ＞0).【复习要求】1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，21,1x y xy ==这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．函数的图象 在函数图象上，定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性和周期性一览无遗．因此，快速准确地作出函数图象成为学习函数的一项基本功，而读图也从“形”的角度成为解决函数问题及其他相关问题的一种重要方法．【知识要点】作函数图象最基本的方法是列表描点作图法．常用的函数图象变换有：1．平移变换y＝f(x＋a)：将y＝f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移｜a｜个单位可得．y＝f(x)＋a：将y＝f(x)的图象向上(a＞0)或向下(a＜0)平移｜a｜个单位可得．2．对称变换y＝－f(x)：作y＝f(x)关于x轴的对称图形可得．y＝f(－x)：作y＝f(x)关于y轴的对称图形可得．3．翻折变换y＝｜f(x)｜：将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴的上方，其他部分不变即得．y＝f(｜x｜)：此偶函数的图象关于y轴对称，且当x≥0时图象与y＝f(x)的图象重合．【复习要求】1．能够在对函数性质作一定的讨论之后，用描点法作出函数的图象．2．能够对已知函数y＝f(x)的图象，经过适当的图象变换得到预期函数的图象．3．通过读图能够分析出图形语言所表达的相关信息(包括函数性质及实际意义)，运用数形结合的思想解决一些与函数有关的问题．考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼1．指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同．2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．【例题分析】1.＝（）A．2B．C．D．﹣2【考点】有理数指数幂及根式．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用根式与有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质求解即可．【解答】解：原式＝．故选：B．【点评】本题考查了有理数指数幂及根式的运算，主要考查了有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质，属于基础题．2.函数y＝2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【答案】C【分析】本题可利用指数函数的值域．【解答】解：∵y＝2x（x≤0）为增函数，且2x＞0，∴20＝1，∴0＜y≤1．∴函数的值域为（0，1]．故选：C．【点评】本题考查的是函数值域的求法，关键是要熟悉指数函数的单调性，本题计算量极小，属于容易题．3.如果函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（）A．b＜﹣1B．﹣1＜b＜0C．0＜b＜1D．b＞1【考点】指数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用函数图象的平移变换，得到关于b的不等式，再求出b的范围．【解答】解：∵函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，∴函数f（x）＝3x+b是由函数f（x）＝3x的图象向下平移|b|个单位长度得到，且|b|＜1，又∵图象向下平移，∴b＜0，∴﹣1＜b＜0，故选：B．【点评】本题主要考查了函数图象的平移变换，是基础题．函数的最值最大值与最小值是研究变量问题时常需要考虑的问题，也是高中数学中最重要的问题之一．函数的最大值、最小值问题常与实际问题联系在一起．函数的最值与值域在概念上是完全不同的，但对于一些简单函数，其求法是相通的． 【知识要点】本节主要讨论两类常见的函数最值的解决方法及其应用．1．基本初等函数在特定区间上的最值(或值域)问题．解决这类问题的方法是：作出函数图象，观察单调性，求出最值(或值域)．2．一些简单的复合函数的最值问题．解决这类问题的方法通常有： (1)通过作出函数图象变成第1类问题； (2)通过换元法转化成第1类问题； (3)利用平均值定理求最值；(4)通过对函数单调性进行讨论进而求出最值．其中讨论单调性的方法可以用单调性定义或导数的知识(导数的方法在后面相应章节复习)； (5)转化成几何问题来求解，如线性规划问题等． 【复习要求】从整体上把握求函数最值的方法，明确求最值的一般思路．函数与方程【知识要点】1．如果函数y ＝f (x )在实数a 处的值等于零，即f (a )＝0，则a 叫做这个函数的零点． 函数零点的几何意义：如果a 是函数y ＝f (x )的零点，则点(a ，0)一定在这个函数的函数图象上，即这个函数与x 轴的交点为(a ，0)． 2．零点的判定如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是不间断的，而且f (a )f (b )，则这个函数在区间[a ，b ]上至少有一个零点．这也是二分法的依据．注意：上述判定零点的方法只是判断零点存在的充分条件．这种判定零点方法主要适用于在无法对函数进行作图而且也不易对函数所对应的方程求根的情况下．如果可以画出函数的图象(这时判断函数零点的方法将是非常直观的)，如果函数所对应的方程可以求根，那么就可以用“作图”和“求根”的方法判断零点． 3．用二分法求函数y ＝f (x )，x ∈D 零点的一般步骤为：第一步、确定初始区间，即在D 内取一个闭区间[a ，b ]，使得f (a )f (b )＜0； 第二步、求中点及其对应的函数值，即求)(21b a x +=＜0以及f (x )的值，如果f (x )＝0，则计算终止，否则进一步确定零点所在的区间；第三步、计算精确度，即计算区间的两个端点按给定的精确度取近似值时是否相等，若相等，则计算终止，否则重复第二步．【复习要求】1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2、能够用二分法求相应方程的近似解．考点二函数的零点核心提炼判断函数零点个数的方法：(1)利用零点存在性定理判断法．(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法【例题分析】1.函数f（x）＝﹣lnx的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【答案】B【分析】由函数的解析式可得f（2）•f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．【解答】解：∵函数满足f（2）＝＞0，f（3）＝1﹣ln3＜0，∴f （2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是（2，3），故选：B ．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 2.已知函数f （x ）＝﹣log 2x ，在下列区间中，函数f （x ）有零点的是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，4）D ．（4，+∞）【考点】函数的零点．【专题】计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用． 【答案】B【分析】首先判断函数f （x ）＝﹣log 2x 在（0，+∞）上是减函数，且连续；从而由零点的判定定理判断即可．【解答】解：易知函数f （x ）＝﹣log 2x 在（0，+∞）上是减函数，且连续； f （1）＝1﹣0＝1＞0，f （2）＝﹣1＝﹣＜0； 故函数f （x ）有零点的区间是（1，2）； 故选：B ．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用及零点的判定定理的应用，注意掌握基本初等函数的性质．3.函数24,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩是奇函数，则函数()f x 的零点是 2± ．【答案】2±．【考点】函数的零点；函数奇偶性的性质与判断【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】由已知函数解析式及奇函数的对称性即可求解． 【解答】解：当0x >时，()240x f x =-=， 解得，2x =，根据奇函数的对称性可知，2x =-也是函数()f x 的零点， 故答案为：2±．【点评】本题主要考查了函数零点的求解，属于基础题．考点3 函数零点的判定定理 【例题分析】1.在下列区间中，存在函数3()2f x lnx x =-+的零点的是( )A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】AD【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据题意，求出函数的导数，分析()f x 的单调区间，由函数零点判断定理依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，3()2f x lnx x =-+，其定义域为(0,)+∞，其导数11()1xf x x x -'=-=，在区间(0,1)上，()0f x '>，()f x 为增函数， 在区间(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 为减函数， 依次分析选项：对于A ，()f x 在1(0,)2上递增，2222111311()022f ln e e e e =-+=--<，1113()12022222ef ln ln ln =-+=-=>，在()f x 在1(0,)2上存在零点，A 正确，对于B ，()f x 在1(2，1)上递增，1()1202f ln =->，f （1）3111022ln =-+=>，在()f x 在1(2，1)上不存在零点，B 错误，对于C ，()f x 在(1,2)上递减，f （1）102=>，f （2）31222022ln ln =-+=->， 在()f x 在(1,2)上不存在零点，C 错误， 对于D ，()f x 在(2,3)上递减，f （2）1202ln =->，f （3）33333022ln ln =-+=-<， 在()f x 在(2,3)上存在零点，D 正确， 故选：AD ．【点评】本题考查函数的零点判断定理，解题的关键是确定区间端点对应的函数值异号，属于基础题．2.函数2()2log f x x x =-+的零点所在的一个区间是( ) A ．(4,5) B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(1,2)【答案】D【考点】函数零点的判定定理【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】由函数解析式，判断f （1）f （2）0<，由零点的存在性定理进行分析求解即可． 【解答】解：因为2()2log f x x x =-+， 所以f （1）212log 110=-+=-<， f （2）222log 210=-+=>，所以f （1）f （2）0<，由零点的存在性定理可得，函数2()2log f x x x =-+的零点所在的一个区间是(1,2)． 故选：D ．【点评】本题考查了函数零点的问题，主要考查了函数零点的存在性定理的应用，属于基础题．3.利用二分法求方程20lnx x +-=的近似解，已求得()2f x lnx x =+-的部分函数值的数据如表：A ．1.55B ．1.62C ．1.71D ．1.76【答案】A【考点】函数零点的判定定理【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】利用表格中的数据，在结合零点的存在性定理进行分析求解即可． 【解答】解：根据表中的数据可得，(1.5)0.0945f =-，(1.5625)0.0088f =， 故函数()f x 的零点在区间(1.5,1.5625)之间， 只有1.55符合要求． 故选：A ．【点评】本题考查了函数零点的求解，涉及了零点存在性定理的应用，解题的关键是熟练掌握函数零点的存在性定理，属于基础题． 函数零点与方程根的关系 【例题分析】1.已知函数2,12()1,21log x x f x x x <⎧⎪=⎨>⎪-⎩，若方程()0f x a -=至少有两个实数根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．(0，1]C ．[0，2)D ．[0，2]【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；数形结合；转化思想；演绎法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【分析】首先将问题转化为两个函数交点个数的问题，然后数形结合即可确定实数a的取值范围．【解答】解：原问题等价于函数y a与函数()f x至少有两个交点，绘制函数图象如图所示，观察可得，实数a的取值范围是(0,1)．故选：A．【点评】本题主要考查由函数的零点个数求参数的方法，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，属于基础题．2.若方程|2x﹣2|＝b有一个零点，则实数b的取值范围是．【考点】函数的零点；函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑推理．【答案】（2，+∞）∪{0}．．【分析】根据函数与方程之间的关系，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数y＝|2x﹣2|的图象如图：要使方程|2x﹣2|＝b有一个零点，则函数y＝|2x﹣2|与y＝b有一个交点，则b＞2或b＝0，故实数b的取值范围是b＞2或b＝0，即（2，+∞）∪{0}．故答案为：（2，+∞）∪{0}．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，作出函数图象，利用数形结合是解决本题的关键，是基础题．3.已知关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，且212x x =，则实数a 的值是() A ．5 B ．6 C ．7 D ．15【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】方程思想；转化法；高考数学专题；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据条件可得3log (10)(010)x a a =±<<，然后由212x x =，得到33log (10)2log (10)a a +=-或33log (10)2log (10)a a -=+，再求出a 的值．【解答】解：关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，∴由|310|x a -=，可知010a <<，3log (10)(010)x a a ∴=±<<，关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，且212x x =， 33log (10)2log (10)a a ∴+=-或33log (10)2log (10)a a -=+ 210(10)a a ∴+=-或210(10)a a -=+，6a ∴=±或15a =±，又010a <<， 6a ∴=．故选：B ．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了方程思想和转化思想，属基础题．。
专题05函数的概念及表示--2022年(新高考)数学高频考点+重点题型(原卷版)
专题05函数的概念及表示--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型一、关键能力通过函数概念和函数解析式的学习，从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。
学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题，逐步养成学习者的数学抽象能力。
二、教学建议在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出 现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。
求简单函数的定义域中，“简单函数”指下列函数：2,,,,log (),sin ,cos x a cx dy ax b y ax bx c y y y a y mx n y x y x ax b+=+=++====+==+求简单函数的值域中，简单函数指下列函数：2,,,log ,sin ,cos x a y ax b y ax bx c y a y x y x y x =+=++====，及它们之间简单的加减组合（更复杂的组合需在导数复习结束后加入）。
函数概念需要多次接触，反复体会，螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用。
三、自主梳理1．函数的定义（☆☆☆）一般地，设A ，B 是非空数集，如果按照某种确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应；那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A ． 2．函数的定义域、值域（☆☆☆）在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，其中所有x 组成的集合A 称为函数y ＝f (x )的定义域；将所有y 组成的集合叫做函数y ＝f (x )的值域．3．函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．（☆☆☆） 4．表示函数的常用方法有：列表法、图象法和解析法．（☆☆☆） 5．分段函数（☆☆☆）在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．四、真题感悟1.(2014浙江)已知函数32()f x x ax bx c =+++，且0(1)(2)(3)3f f f -=-=-≤≤，则A ．3≤cB ．63≤<cC ．96≤<cD ．9>c2.(2014江西)已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=aA ．1B ．2C ．3D ．-1 3．（2020北京11）函数1()=ln 1f x x x ++的定义域是__________． 4.（2017新课标Ⅲ）设函数1,0()2,0xx x f x x +⎧=⎨>⎩≤，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是___．5. (2014浙江)设函数若，则实数的取值范围是___.6.（2017浙江）若函数2()f x x ax b =++在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关 7.（2017浙江）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 ．8.(2013北京)函数的值域为 ．五、高频考点+重点题型考点一、定义域 例1.（1）函数 ）A ．B ．C ．D ．（2）（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f ()()2≤a f f a 12log ,1()2,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪ <⎩1()lg(1)f x x =++[2,2]-[2,0)(0,2]-(1,0)(0,2]-⋃(-1,2][)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．对点训练1.（2021江西省临川高三押题预测卷）已知集合{A x y ==,{}24x B x =>,则A B =（ ）A ．()2,+∞B ．[)1,-+∞C ．[]2,4D ．(]2,4对点训练2.（2021湖北省荆州中学高三下学期四模）定义域是一个函数的三要素之一,已知函数()Jzzx x 定义域为[211,985],则函数 ()shuangyiliu x (2018)(2021)Jzzx x Jzzx x =+的定义域为（ ） A ．211985,20182021⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．211985,20212018⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．211985,20182018⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．211985,20212021⎡⎤⎢⎥⎣⎦对点训练3.若函数212x y x ax -=++的定义域为R ,则实数a 的取值范围为________；【答案】((),22,-∞-+∞；【解析】(1) 212x y x ax -=++的定义域为R ,则22x ax -+恒不为零,即220x ax -+=没有实数根,所以280a ∆=-<,所以实数a 的取值范围为((),22,-∞-+∞；总结：1、给定函数解析式求定义域往往转化为解不等式(组)的问题,在解不等式(组)取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍．注意定义域是一个集合,要用集合或区间表示.常见基本初等函数定义域的基本要求为：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(5)正切函数y ＝tan x ,x ≠k π＋π2(k ∈Z )；(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求2、抽象函数的定义域要求：寻找内在的隐含条件考点二、函数值域与最值例2．（2021山东省济南市高三二模）（多选题）下列函数求值域正确的是（ ）A ．()1f x x =+[2)+∞，B ．222()1x x g x x ++=+的值域为[2)+∞，C ．()h x =(0D ．()w x =[2对点训练1.（2021陕西省西安市高三下学期适应性考试）已知集合(){}2ln M y y x e ==+,集合{N t s ==,则MN =（ ）A ．{}01x x ≤≤B ．{}02x x ≤≤ C ．{}12x x ≤≤ D ．{}2x x x e ≤≥或对点训练2.函数23)y x x =->的值域为__________．考点三、解析式例1、求下列函数的解析式（1）已知f (x ＋1)＝x ＋2x ,则f (x )= ________．（2）已知()f x 是三次函数,且在0x =处的极值为0,在1x =处的极值为1,则()f x =______． （3）已知f (x )的定义域为{x |x ≠0},满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1,则函数f (x )=________． （4）已知函数()1f x +是偶函数,且1x <时()24f x x x =-,则1x >时f (x )=________．对点训练1.已知函数 f （x ）＝2x ﹣1，g （x ）={x 2，x ≥0−1，x ＜0，求f [g （x ）]和g [f （x ）]的解析式．对点训练2.（2021·云南高三二模（理））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则t 的取值范围为________.考点四、分段函数例4．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()22,023,0x x x f x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，则（ ）A ．()13f f -⎡⎤⎣=-⎦B ．若()1f a =-，则2a =C ．()f x 在R 上是减函数D ．若关于x 的方程()f x a =有两解，则(]0,3a ∈对点训练1、（2021江西省高三5月联考）已知函数()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩则不等式()()324f x f x +<-的解集为（ ）A ．(),3-∞-B ．3,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．(),1-∞-D ．(),1-∞对点训练2.（2020•河西区三模）已知实数a ≠0，函数f(x)={2x +a ，x ＜1−x −2a ，x ≥1，若f （1﹣a ）＝f （1+a ），则a 的值为（ ） A ．−34 B ．34C ．−35D ．35考点五、复合函数例5.（2021·青海西宁市·高三一模（理））函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示，函数()g x 的定义域为[]1,2-，图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==，()(){}0B x g f x ==，则A B 中有___________个元素.对点训练1.(多选题)已知定义域内的函数f (x )满足f (f (x ))-x >0恒成立,则f (x )的解析式不可能是 ( ) A.f (x )=2 019xB.f (x )=e xC.f (x )=x 2D.f (x )=lg √1+x 2对点训练2.【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩令()()()g x f f x =，则下列说法正确的是（ ）A ．()10g -=B ．方程()2g x =有3个根C ．方程()2g x =-的所有根之和为－1D ．当0x <时，()()f x g x ≤考点六、函数概念：对应法则例1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4对点训练1.（上海卷）设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是（ ） A ．√3 B ．√32C ．√33D ．0对点训练2.（多选）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的,后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地,设A ,B 是两个非空的数集,如果按某种对应法则f ,对于集合A 中的每一个元素x ,在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应,那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”,则下列对应法则f 满足函数定义的有（ ） A ．()2f x x =B ．()2f xx =C ．(cos )f x x =D ．()xf ex =巩固训练一、单选题 1.函数的值域为（ ） A ．B ．C ．D ．2.（2021·浙江高一期末）下列函数中，与函数1y x =+是相等函数的是（ ） A．2y =B．1y =C ．21x y x=+D．1y =3.已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）+2f （﹣x ）＝x 2﹣x ，则f （x ）＝（ ） A ．x 2+2x 3B ．2x 23+x C ．2x 2+2x3D ．x 23+x4．（2020秋•渝中区校级月考）对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足（ ） A ．f （cos x ）＝sin2x B ．f （sin2x ）＝sin x C ．f （sin x ）＝sin2xD ．f （sin x ）＝cos2x5（2021·河南新乡市·高三月考（理））如图，在正方形ABCD 中，2AB =点M 从点A 出发，沿A B C D A →→→→向，以每2个单位的速度在正方形ABCD 的边上运动；点N 从点B 出发，沿B C D A →→→方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD 的边上运动.点M 与点N 同时出发，运动时间为t (单位：秒)，AMN 的面积为()f t (规定,,A M N 共线时其面积为零，则点M 第一次到达点A 时，()y f t =的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．()()10f x x x x=+<[)2,+∞(][),22,-∞+∞(],2-∞-R6.(2020山东潍坊一模)函数f (x )={√x +1,-1<x <0,2x,x ≥0,若实数a 满足f (a )=f (a -1),则f (1a )=( )A.2B.4C.6D.8二、多选题7.（2021·全国高一课时练习）已知f (x )=2211x x +-，则f (x )满足的关系有（ ）A ．()()f x f x -=-B ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭= ()f x - C ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=f (x ) D ．1()()f f x x-=-8.（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为(1,)+∞，值域为R ，则（ ） A ．函数()21f x +的定义域为RB ．函数()211f x +-的值域为RC ．函数1x x e f e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的定义域和值域都是R D ．函数(())f f x 的定义域和值域都是R三、填空题 9.若函数y =R ,则实数a 的取值范围为________.10.（2021·全国高一课时练习）已知f 1-x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=x 2+21x ，则函数f (x )=_______，f （3）=_______． 四、解答题11．（2021内蒙古巴彦淖尔市高三月考）已知函数,.（1）求的解析式.（2）若方程有实数根,求实数a 的取值范围.()23log 24f x x x =-+1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ()233f x a a =-+12．某农家小院内有一块由线段OA ,OC ,CB 及曲线AB 围成的地块,已知,点A ,B 到OC 所在直线的距离分别为1 m,2 m, ,建立如图所示的平面直角坐标系xOy ,已知曲线OAB 是函数的图象,其中曲线AB 是函数图象的一部分．（1）求函数的解析式；（2）P 是函数的图象上的动点,现要在如图所示的阴影部分（即平行四边形PMCN 及其内部）种植蔬菜,求种植蔬菜区域的最大面积．12m 5OC =45,AOC ∠=︒tan OCB ∠54=-()y f x=y b =()y f x =()y f x =。
函数的概念及其表示
课前案基本知识梳理1.函数与映射的概念2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的⑦ ;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的⑧ .(2)函数的三要素:⑨ 、值域和对应关系.(3)相等函数:若两个函数的⑩ 相同,且 完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示方法: 、图象法、列表法.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 ,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.▶提醒 一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义域不可以相交.知识拓展1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(5)y=tan x的定义域为 .(6)函数f(x)=x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}.(7)y=log a x(a>0,且a≠1)的定义域为{x|x>0}.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为 ;当a<0时,值域为.(3)y= (k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.课中案一、目标导引1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用.二、牛刀小试判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数=x 0是同一个函数. ( )(2)f (x 是一个函数. ( )(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等. ( )(4)函数y =f (x )的图象与直线x =1的交点最多有1个.( )2.若函数y =f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图象可能是 ( )3.(新教材人教A 版必修第一册P65例2改编)函数f (x 21x-( )A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)4.(2020山东威海一中期中)已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x -2)的定义域为( )A.(-1,1)B. 11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.(-1,0) D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5.已知f (x )是一次函数,且f [f (x )]=x +2,则f (x )= ( )A.x +1B.2x -1C.-x +1D.x +1或-x -1三、例题讲解考点一 函数、映射概念的理解例1 (1)给出下列四个对应:①A =R,B =R,对应关系f :x →y ,y = 11x + ,x ∈A ,y ∈B ;②A = *1|N 2a a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭ ,B= *1|,N nb b n ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭,对应关系f :a →b ,b= 1a ;③A ={x |x ≥0},B =R,对应关系f :x →y ,y 2=x ,x ∈A ,y ∈B ;④A ={x |x 是平面α内的矩形},B ={y |y 是平面α内的圆},对应关系f :每一个矩形都对应它的外接圆.其中是从A 到B 的映射的为 ( )A.①③B.②④C.①④D.③④(2)下列函数中,与函数y =x +1是相等函数的是 ( )A.y 2B.y y =xx 2+1 D.y 变式练习1.下列对应关系:①A ={1,4,9},B ={-3,-2,-1,1,2,3}, f :x →x 的平方根;②A =R,B =R, f :x →x 的倒数;③A =R,B =R, f :x →x 2-2;④A ={-1,0,1},B ={-1,0,1}, f :x →x 2.其中是A 到B 的映射的是 ( )A.①③B.②④C.③④D.②③2.( )A.f (x )=|x |,g (x f (x g (x 2C.f (x )=211x x --g (x )=x +1 D.f (x g (x考点二 函数的定义域例2 (1)函数f (x x )的定义域为 ( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.[-1,2)D.[-1,2](2)函数f (x 2563x x x -+- 的定义域为 ( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6]角度二 已知函数定义域,求参数的取值范围例3 (1)(2019河北衡水联考)若函数y = 2143mx mx mx -++ 的定义域为R,则实数m 的取值范围是 ( )A. 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭(2)若函数f (x 2ax abx b ++的定义域为{x |1≤x ≤2},则a +b 的值为 角度三 抽象函数的定义域例4 已知函数f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=f 12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ +f12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域是.考点三 函数的解析式例5 (1)已知二次函数f (2x +1)=4x 2-6x +5,求f (x ).(2)已知函数f (x )满足f (-x )+2f (x )=2x ,求f (x ).变式练习(2020河北衡水中学调研)已知f (x )是二次函数,且f (0)=0, f (x +1)=f (x )+x +1.求f (x )的解析式.考点四 分段函数例6 已知函数f(x)=229,1,4,1,x ax xx a xx⎧-+≤⎪⎨++>⎪⎩ 若f(x)的最小值为f(1),则实数a的取值范围是.角度二 已知函数值,求参数的值(或取值范围)例7 设函数f(x)= 22,0,1,0,x x xx x⎧+<⎨+≥⎩则f(-1)= ; 若f(a)>f(a-1),则实数a的取值范围是 .变式练习(2018课标全国Ⅰ文,12,5分)设函数f(x)=2,0,1,0,x xx-⎧≤⎨>⎩ 则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是 ( )A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)课后案1.下面可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域,以N={x|0≤x≤1}为值域的函数图象的是( )2.(2020河北邢台模拟,理2)已知集合A={x|lg(x2-x-1)>0},B={x|0<x<3},则A∩B=( )A.{x|0<x<1}B.{x|x<-1}∪{x|x>0}C.{x|2<x<3}D.{x|0<x<1}∪{x|2<x<3}3.已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数g(x)=的定义域是( )A.[0,1]B.(0,1)C.[0,1)D.(0,1]4.下列各组函数中,表示同一函数的是( )A.f(x)=e ln x,g(x)=xB.f(x)=,g(x)=x-2C.f(x)=,g(x)=sin xD.f(x)=|x|,g(x)=5.若函数y=f(x)的值域是[1,3],则函数F(x)=1-f(x+3)的值域是( )A.[-8,-3]B.[-5,-1]C.[-2,0]D.[1,3]6.已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1]B C D7.(2020重庆模拟,理13)已知函数f(x)=ln(-x-x2),则函数f(2x+1)的定义域为 .8.(2020辽宁大连一中6月模拟,文3)设f(x)=且f(2)=4,则f(-2)= .9.设函数f(x)=若f(t+1)>f(2t-4),则实数t的取值范围是 .10.已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,则f(x)= .B组11.(2020广东华师大附中月考)已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数g(x)=的定义域是( )A.[0,1]B.(0,1)C.[0,1)D.(0,1]12.(2020河北衡水中学检测)已知函数f(x)=若实数a满足f(a)=f(a-1),则f=( )A.2B.4C.6D.813.(2020山东济南三模,5)“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值,其计算方法是将每一期增长量相加后,除以期数,即国内生产总值(GDP)被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标,下表是我国2015—2019年GDP数据:年份20202020201516171819国内生产总值/万亿68.8974.6483.291.9399.09根据表中数据,2015—2019年我国GDP的平均增长量为( ) A.5.03万亿 B.6.04万亿C.7.55万亿D.10.07万亿14.已知函数f(x)=则f= .课后案答题纸A组1234567. 8.9. 10.B组1234.。
基本初等函数讲义(全)
基本初等函数讲义(全)一、一次函数一次函数可以表示为y=kx+b（k不等于0），其中k表示斜率，b表示截距。
当k大于0时，函数图像随着x的增大而增大，当k小于0时，函数图像随着x的增大而减小。
当b大于0时，函数图像在y轴上方，当b小于0时，函数图像在y轴下方。
当b等于0时，函数图像经过原点。
二、二次函数1）二次函数有三种解析式形式：一般式、顶点式和两根式。
一般式为f(x)=ax^2+bx+c（a不等于0），顶点式为f(x)=a(x-h)^2+k（a不等于0），两根式为f(x)=a(x-x1)(x-x2)（a不等于0）。
2）求二次函数解析式的方法有三种情况：已知三个点坐标时，宜用一般式；已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式；若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便。
3）二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a。
-Δ/4a)。
当a大于0时，抛物线开口向上，函数在(-∞。
-b/2a)上递增，在[-b/2a。
+∞)上递减，最小值为f(-b/2a)；当a小于0时，抛物线开口向下，函数在(-∞。
-b/2a]上递增，在[-b/2a。
+∞)上递减，最大值为f(-b/2a)。
三、幂函数1）幂函数可以表示为y=x^α，其中x为自变量，α是常数。
2）所有的幂函数在(0.+∞)都有定义，并且图像都通过点(1,1)。
四、指数函数1）根式的概念是指，如果xn=a，a属于实数，x属于实数，n大于1，且n属于正整数，那么x叫做a的n次方根。
2）正数的正分数指数幂的意义是，a的n次方根的正分数指数幂等于a的n次方。
正数的负分数指数幂没有意义。
非奇非偶函数指的是在定义域为(0.+∞)上的减函数。
对于loga x，当x>1时，函数值递增；当x<1时，函数值递减；当x=1时，函数值为0.在第一象限内，a越大，函数图像越靠低；在第四象限内，a越大，函数图像越靠高。
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专题5 基本初等函数与函数应用
编写：邵永芝
一、知识梳理
1、如果一个实数x 满足 ，那么称x 为a 的n 次实数方根。
2、（1）n N +∈
时，n = ，（2）n
= ；当n 为正偶
= 。
3、分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：m n a = （0,1a m n N n +>∈>、，且）；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：m n a
-=
（0,1a m n N n +>∈>、，且）
4、有理数指数幂的运算性质：（1）r s a a = （2）()r s a = （3）()r ab =
5、指数函数的概念：一般地， 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为 ，值域为 。
6、对数的概念：如果a (0,1)a a >≠的b 次幂等于N ，即 ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做 ，N 叫做 。
7、对数与指数的关系：若0,1a a >≠，则x a =N ⇔log a N = 。
对数恒等式：log a N a = ；log N
a a = 。
(0,1)a a >≠ 8、对数的运算性质：如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么；
（1）log a (M ·N )＝ （2）log a
M N ＝ （3）log a M n ＝ 9、换底公式：log a N ＝log log b b N a
(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0)． 10、．对数函数的定义：一般地，我们把 叫做对数函数，自变量是x ；函数的定义域是(0，＋∞)．值域：R ．
11、幂函数的定义：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中底数x 是变量，指数α是常数．
12、幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)：
（1）定点：α＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；α≤0时，图象过只过定点(1，1)．
（2）单调性：α＞0时，在区间[0，＋∞)上是单调递增；α＜0时，在区间(0，＋∞)上是单调递减．
交点的 。
14、函数零点存在的条件：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上不间断，且f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点．
二、典例评析
例1、函数1()423x x f x +=-+的定义域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
（1） 设2x t =，求t 得取值范围；
（2） 求函数()f x 的值域。
例3、关于x 的方程22(3)2140mx m x m ++++=有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围。
三、基础训练
1、若23a <<的结果是 ；
2= （用分数指数幂表示）。
3、若0a >，且3x a =，5y a =，则22y x a
+= 。
4、函数2()(33)x f x a a a =-+是指数函数，则a 的值为 。
5、若函数(1)x
y a b =--，(0,1)a a >≠的图象不经过第二象限，则a ，b 需满足的条件
为 。
6、函数382(0)x y x -=-≥的值域为 。
7、已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a m +n = 。
9、已知lg2＝a ，lg3＝b ，用含a ，b 的代数式表示lg54= 。
10、2(lg5)lg 2lg50+= 。
11、函数log (2)1a y x =-+(0,1)a a >≠恒过定点 。
12、已知幂函数3()()m f x x
m N -*=∈为奇函数，且在区间(0,)+∞上是减函数，则()f x = 。
13、用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是 。
14、方程lg x ＝x －5的大于1的根在区间(a ，a ＋1)内，则正整数a ＝ 。