复数的三角形式和运算

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复数的三角形式和运算

与代数形式转换方法
三角形式转换为代数形式
根据三角形式的定义，将$r(costheta + isintheta)$展开得到$rcostheta + irsintheta$。
将实部和虚部分别对应到代数形式的$a$和$b$，即得到代数形式$a + bi$。
03 复数运算规则
加减法运算规则
同类项合并
在复数的加减运算中，实部与实部相加、虚部与行化简，得到最简复数表达式。
乘法运算规则
分配律
复数乘法遵循分配律，即先将一个复数与另一个复数的实部和虚部分别相乘，再将所得的积相加。
乘法公式
根据复数乘法公式，可将两个复数的乘积表示为实部和虚部的形式。
除法运算规则
共轭复数
01
在复数除法中，为了消去分母中的虚部，需要引入共轭复数的
表示其振幅和相位。
阻抗和导纳
在正弦交流电路中，阻抗和导纳是描述电路元件对交流电信号响应的重要参数，它们可以用复数表示。
复数运算
通过复数的加、减、乘、除等运算，可以方便地分析正弦交流电路中的电压、电流和功率等问题。
阻抗匹配问题
阻抗匹配概念
阻抗匹配是指使负载阻抗与源阻抗共轭相等，以实现最大功率传输或最小反射功率的电路设计方法。
在复数 $z = a + bi$ 中，$a$ 称为复数的实部，$b$ 称为复数的虚部。
复数相等
两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等。
复平面表示法
复平面
以实轴和虚轴为坐标轴的平面称为复平面，其中实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数。
复数的几何意义
复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应的点为 $(a, b)$，该点到原点的距离表示复数的模长，与正实轴的夹角表示复数的辐角。

复数的三角形式及乘除运算

复数的三角情势及乘除运算一.重要内容:复数的三角情势,模与辐角的概念及几何意义,用三角情势进行复数乘除运算及几何意义.二.进修请求:1．闇练进行复数的代数情势与三角情势的互化,会求复数的模.辐角及辐角主值.2．深刻懂得复数三角情势的构造特点,闇练应用有关三角公式化复数为三角情势.3．可以或许应用复数模及辐角主值的几何意义求它们的规模（最值）.4．应用复数三角情势闇练进行复数乘除运算,并能根据乘除运算的几何意义解决相干问题.5．留意多种解题办法的灵巧应用,领会数形联合.分类评论辩论等数学思惟办法.三.重点:复数的代数情势向三角情势的转换,复数模及复数乘除运算几何意义的分解应用.四.进修建议:1．复数的三角情势是完整解决复数乘.除.乘方和开方问题的桥梁,比拟之下,代数情势在这些方面显得有点力有未逮,是以,做好代数情势向三角情势的转化是异常有须要的.前面已经进修过了复数的另两种暗示.一是代数暗示,即Z=a+bi(a,b∈R).二是几何暗示,复数Z既可以用复平面上的点Z(a,b)暗示,也可以用复平面上的向量来暗示.如今须要进修复数的三角暗示.既用复数Z 的模和辐角来暗示,设其模为r,辐角为θ,则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0).既然这三种方法都可以暗示统一个复数,它们之间必定有内涵的接洽并可以或许进行互化.代数情势r=三角情势Z=a+bi(a,b ∈R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)复数三角情势的构造特点是:模非负,角雷同,余弦前,加号连.不然不是三角情势.三角情势中θ应是复数Z 的一个辐角,不必定是辐角主值.五.基本常识1）复数的三角情势①界说：复数z=a+bi （a,b ∈R ）暗示成r （cos θ+ i sin θ）的情势叫复数z 的三角情势.即z=r （cos θ+ i sin θ）个中z r =θ为复数z 的辐角.②非零复数z 辐角θ的多值性.以ox 轴正半轴为始边,向量oz →地点的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi 的辐角是以复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ）③辐角主值暗示法;用arg z 暗示复数z 的辐角主值.界说：合适[0,2π）的角θ叫辐角主值02≤<arg z π独一性：复数z 的辐角主值是肯定的,独一的. ④不等于零的复数的模z r =是独一的.⑤z =0时,其辐角是随意率性的.⑥复数三角情势中辐角.辐角主值的肯定.（求法）这是复数盘算中肯定要解决的问题,物别是复数三角情势的乘法.除法.乘方.开方等运算,尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角情势时才干应用.是以复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的进程中其模的求法是比较轻易的.辐角的求法,辐角主值的肯定是难点,也是症结消失,这个专题只简略归纳复数辐角及辐角主值的求法.2）复数的向量暗示在复平面内与复数z 1.z 2对应的点分离为z 1.z 2（如图）何量oz z 11→对应于何量oz z 22→对应于何量z z z z z 1221→-=对应于与复数z 2－z 1对应的向量为oz→显然oz ∥z 1z 2则arg z 1=∠xoz 1=θ1arg z 2=∠xoz 2=θ2arg z （z 2－z 1）=arg z=∠xoz=θ3）复数运算的几何意义主如果三角式乘法.除法等运算中辐角的变更如z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1）z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1·z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分离为oz oz oz12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2< 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针扭转θ2角模变成oz 1→的r 2倍所得向量等于积z 1·z 2=z 的向量oz →.< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针扭转θ2角模变成r 1·r 2所得向量等于积z 1·z 2=z 的向量oz →.为此,若已知复数z 1的辐角为α,z 2的辐角为β求α+β时即可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β如许即可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算. ②除法'=÷==-+-z z z z z r r i 1212121212[cos()sin()]θθθθ（个中z 2≠0）除法对于辐角主如果“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量扭转同乘法简述如下：< 1 >θθ210>→时顺时针旋转角２oz . < 2 >θθ２２时逆时针旋转角<→01oz .例1．下列各式是否是三角情势,若不是,化为三角情势:(1) Z 1=-2(cosθ+isinθ) (2) Z 2=cosθ-isinθ (3) Z 3=-sinθ+icosθ(4) Z 4=-sinθ-icosθ (5) Z 5=cos60°+isin30°剖析:由三角情势的构造特点,肯定断定的根据和变形的偏向.变形时,可按照如下步调进行:起首肯定复数Z 对应点地点象限（此处可假定θ为锐角）,其次断定是否要变换三角函数名称,最后肯定辐角.此步调可简称为“定点→命名→定角”.如许,使变形的偏向更具操纵性,能有用进步解决此类问题的准确率. 解:（1）由“模非负”知,不是三角情势,需做变换:Z 1=Z(-cosθ-isinθ) 复平面上Z 1(-2cosθ,-2sinθ)在第三象限（假定θ为锐角）,余弦“-cosθ”已在前,不需再变换三角函数名称,是以可用引诱公式“π+θ”将θ变换到第三象限.∴Z 1=Z(-cosθ-isinθ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)]（2）由“加号连”知,不是三角情势复平面上点Z 2(cosθ,-sinθ)在第四象限（假定θ为锐角）,不需转变三角函数名称,可用引诱公式“2π-θ”或“-θ”将θ变换到第四象限.∴ Z2=cosθ-isinθ=cos(-θ)+isin(-θ)或Z2=cosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ)斟酌到复数辐角的不独一性,复数的三角情势也不独一.（3）由“余弦前”知,不是三角情势复平面上点Z3(-sinθ,cosθ)在第二象限（假定θ为锐角）,需转变三角函数名称,可用引诱公式“+θ”将θ变换到第二象限.∴Z3(-sinθ,cosθ)=cos(+θ)+isin(+θ)同理（4）Z4=-sinθ-icosθ=cos(π-θ)+isin(π-θ)（5）Z5=cos60°+isin30°=+i=(1+i)=·(cos+isin)=(cos+isin )小结:对这类与三角情势很类似的式子,若何将之变换为三角情势,对于初学者来讲是个难点.有了“定点→命名→定角”如许一个可操纵的步调,应可以或许很好地解决此类问题.例2．求复数Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值.剖析:式子中多3个“1”,只有将“1”消去,才干更接近三角情势,是以可应用三角公式消“1”.解:Z=1+cosθ+isinθ=1+(2cos2-1)+2i.sin cos=2cos(cos+isin) (1)∵π<θ<2π∴<<π,∴cos<0∴(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2cos[cos(π+)]+isin(π+)] ∴ r=-2cos, ArgZ=π++2kπ(k∈Z)∵<<π∴π<π+<2π,∴argZ=π+.小结:（1）式右端从情势上看似乎就是三角情势.很多同窗以为r=2cos, argZ=或ArgZ=错误之处在于他们没有去斟酌θ角规模,是以必定要用“模非负,角雷同,余弦前,加号连”来断定是否为三角情势.看了这道例题,你必定能解决如Z1=1-cosθ+isinθ(π<θ<2π) ,Z2=1+cosθ-isinθ(π<θ<2π)等类似问题.例3．将Z=(π<θ<3π)化为三角情势,并求其辐角主值.剖析:三角形中只有正余弦,是以起首想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化,再向三角情势转化.解:====cos2θ+isin2θ∵π<θ<3π, ∴<2θ<6π,∴π<2θ-4π<2π,∴argZ=2θ-4π小结:控制三角变形是解决这类问题的基本.但在此之前的解题偏向必定要明白,即要剖析式子构造.比较其与三角情势的异同,从而决议变形的偏向,采取准确的办法.要肄业生做好每道例题后的反思,并能由此及彼,触类旁通,达到闇练解决一类问题的目标,如1-itgθ, tgθ+i, i-ctgθ等.2．复数Z的模|Z|的几何意义是:复平面上点Z到原点距离,复数模|Z1-Z2|的几何意义是:复平面上两点Z1,Z2之间距离.辐角几何意义是:以x轴正半轴为角始边,以向量地点射线为终边的角记为ArgZ.在[0,2π)规模内的辐角称辐角主值,记为argZ.要肄业生不但要懂得以上所说各几何意义,还要应用几何意义去解决相干问题.例4．若Z∈c,|Z-2|≤1,求｜Ｚ｜的最大,最小值和argZ规模.解:法一,数形联合由|Z-2|≤1,知Ｚ的轨迹为复平面上以（2,0）为圆心,1为半径的圆面（包含圆周）,|Z|暗示圆面上任一点到原点的距离.显然1≤|Z|≤3, ∴|Z|max=3, |Z|min=1,另设圆的两条切线为OA,OB,A,B为切点,由|CA|=1,|OC|=2知∠AOC=∠BOC=,∴argZ∈[0,]∪[π,2π)法二:用代数情势求解|Z|的最大,最小值,设Z=x+yi(x,y∈R)则由|Z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1,∴ |Z|=≤=,∵ (x-2)2+y2≤1, ∴(x-2)2≤1, ∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x≤3,∴1≤4x-3≤9, ∴1≤|Z|≤3.小结:在一题多解的基本上,剖析比较各类办法的异同,若何做好办法的选择.各类办法的本质和优势,经由过程剖析与比较都一目了然.例5．复数Z知足arg(Z+3)=π,求|z+6|+|z-3i|最小值.剖析:由两个复数模的和取最小值,联想到一个点到两个定点距离和的最小值,将之转化为几何问题来解决应比较轻便.解法一:由arg(Z+3)=π,知Z+3的轨迹是一条射线OA,∠xOA=π,而|Z+6|+|Z-3i|=|(z+3)-(-3)|+|(Z+3)-(3+3i)|将B(-3,0)与C(3,3)贯穿连接,BC连线与OA交点为D,取Z+3为D点,暗示复数时,|Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3,∴所求最小值=3.法二:由arg(Z+3)=π, 知Z+3的轨迹是射线OA,则Z轨迹应是平行于OA,且过点（-3,0）的射线BM,∴ |Z+6|+|Z-3i|就暗示射线BM上点到点P(-6,0)和点Q(0,3)距离之和,贯穿连接PQ与射线BM交于点N,取E为N点暗示复数时,|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3,∴所求最小值=3.小结:两种办法的本质雷同,都是将数学式子应用其几何意义转化成几何问题进行解决.假如纯粹用代数办法求解,难度会很大.对有关最值问题,尤其是模（距离）和辐角主值最值问题,用数形联合办法显然较为轻便.例6．已知|Z-2i|≤1,求arg(Z-4i)最大值.解：∵|Z-2i|≤1,∴点Z轨迹是以（0,2）为圆心,1为半径的圆面,在其上任取一点Z,连Z与点（0,4）得一以（0,4）为起点,Z为终点的向量,将起点平移到原点,则θ为其对应的辐角主值,显然arg(Z-4i)最大值为π.3．两个复数相乘,积的模等于模的积,辐角为两辐角之和,其几何意义是模的伸缩及对应向量的扭转.两个复数相除,商的模等于模的商（除数不为零）,辐角为两辐角之差,其几何意义同乘法.由复数三角情势乘除运算的几何意义,可解决向量或图形的扭转问题,如等腰.等边三角形.直角三角形,平行四边形极点间的几何何干系应用复数的乘除运算来暗示.复数三角情势较之代数情势,在乘除运算中异常便利,可顺遂解决多项相乘（乘方）,相除及乘除混杂运算.例7．若与分离暗示复数Z1=1+2i, Z2=7+i, 求∠Z2OZ1并断定ΔOZ1Z2的外形.解:欲求∠Z2OZ1,可盘算====∴∠Z2OZ1=且=,由余弦定理,设|OZ1|=k, |OZ2|=2k(k>0)|Z1Z2|2=k2+(2k)2-2k·2k·cos=3k2∴ |Z1Z2|=k,而k2+(k)2=(2k)2,∴ΔOZ1Z2为有一锐角为60°的直角三角形.小结:此题中应用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题,十分便利.例8．已知直线l过坐标原点,抛物线C的极点在原点,核心在x轴正半轴上,若点A(-1,0)和B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l与抛物线C的方程. 解:如图,树立复平面x0y,设向量.对应复数分离为x1+y1i, x2+y2i.由对称性,|OA'|=|OA|=1, |OB'|=|OB|=8,∴ x2+y2i=(x1+y1i)8i=-8y1+8x1i∴设抛物线方程为y2=2px(p>0)则有y12=2px1, y22=2px2,∴ x1=, y12=p2, 又|OA'|=1,∴()2+p2=1, ∴p=或-（舍）∴抛物线方程为y2=x,直线方程为:y=x.小结:对于解析几何的很多问题,若能借助于复数的向量来暗示,经常有意想不到的功能.尤其涉及到特别地位,特别关系的图形时,尤显其效.五.易错点1．其实不是每一个复数都有独一肯定的辐角主值.如复数零的模为0,辐角主值不肯定.2．留意ArgZ与argZ的差别.ArgZ暗示复数Z的辐角,而argZ暗示复数Z 的辐角主值.ArgZ=argZ+2kπ(k∈Z),argZ∈[0,2π), 辐角主值是[0,2π)内的辐角,但辐角不必定是辐角主值.3．复数三角情势的四个请求:模非负,角雷同,余弦前,加号连,缺一不成.任何一个不知足,就不是三角情势.4．留意复数三角情势的乘除运算中,向量扭转的偏向.六.演习1．写出下列复数的三角情势(1) ai(a∈R) (2) tgθ+i(<θ<π）(3) -（sinθ-icosθ)2．设Z=(-3+3i)n, n∈N,当Z∈R时,n为何值？3．在复平面上A,B暗示复数为α,β(α≠0),且β=(1+i)α,断定ΔAOB外形,并证实SΔAOB=|d|2.参考答案:1．（1）ai=（2）tgθ+i(<θ<π）=-[cos(π-θ)+isin(π-θ)]（3）-(sinθ-icosθ)=[cos(+θ)+isin(+θ)]2．n为4的正整数倍3．法一:∵α≠0,β=（1+i)α∴=1+i=(cos+isin), ∴∠AOB=,∵分离暗示复数α,β-α,由β-α=αi,得=i=cos+isin,∴∠OAB=90°,∴ΔAOB为等腰直角三角形.法二:∵||=|α|, ||=|β-α|=|αi|=|α|,∴||=||又||=|β|=|(1+i)α|=|α|,||2+||2=|α|2+|α|2=2|α|2=||2∴ΔAOB为等腰直角三角形,∴SΔAOB=||·||=|α|2.在线测试选择题1．若复数z=(a+i)2的辐角是,则实数a的值是（）A.1B.-1C.-D.-2．已知关于x的实系数方程x2+x+p=0的两虚根a, b知足|a-b|=3, 则p的值是（）A.-2B.-C.D.13．设π<θ<,则复数的辐角主值为（）A.2π-3θB.3θ-2πC.3θD.3θ-π4．复数cos+isin经由n次乘方后,所得的幂等于它的共轭复数,则n的值等于（）A.3B.12C.6k-1(k∈Z)D.6k+1(k∈Z)5．z为复数,()|z-3|=()|z+3|()-1的图形是（）A.直线B.半实轴长为1的双曲线C.核心在x轴,半实轴长为的双曲线右支D.不克不及肯定答案与解析答案：1.B 2.C 3.B 4.C 5.C解析：1．∵z=(a+i)2=(a2-1)+2ai, argz=,∴,∴a=-1,本题选B. 2．求根a,b=（Δ=1-4p<0）∵|a-b|=||=3,∴ 4p-1=9, p=,故本题应选C.3．==cos3θ+isin3θ.∵π<θ<,∴3π<3θ<,∴π<3θ-2π<,故本题应选B.4．由题意,得(cos+isin)n=cos+isin=cos-isin由复数相等的界说 ,得解得=2kπ-,(k∈Z),∴C.5．依题意,有 |z-3|=|z+3|-1,∴ |z+3|-|z-3|=1.由双曲线界说,此方程暗示核心(±3,0),2a=1, a=的双曲线右支,故本题应选C.复数三角情势的运算·疑难问题解析1．复数的模与辐角：(1)复数模的性质：｜z1·z2｜=｜z1｜·｜z2｜(2)辐角的性质：积的辐角等于各因数辐角的和．商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．一个复数n次幂(n∈N)的辐角等于这个复数辐角的n倍．留意：(1)辐角与辐角主值的差别,特别是解题进程中的不合点．如下面两个问题：若arg(2-i)=α,arg(3-i)=β,求α+β的值．(α+β∈(3π,4π))若arg(2-i)=α,arg(3-i)=β,求arg[(2-i)(3-i)]的值．(2)两个复数乘积的辐角主值不必定等于两辐角主值的和,商的辐角主值不必定等于辐角主值的差.2．关于数的开方(1)复数的开方轨则：r(cosθ+isinθ)的n次方根是几何意义：设对应于复平面上的点,则有：所以,复数z的n次方根,在复平面内暗示以原点为中间的正n边形的n个极点．(2)复数平方根的求法．求-3-4i的平方根．解法一应用复数代数情势．设-3-4i的平方根为x+yi(x,y∈R),则有(x+yi)2=-3-4i, 即(x2-y2)+2xyi=-3-4i, 由复数相等前提,得∴-3-4i的平方根是±(1-2i)．法二应用复数的三角情势．3．复数分散的方程．关于实系数的一元二次方程的解法：设ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈R,x1,x2为它的两个根)(1)当△=b2-4ac≥0时,方程有两个实数根当△=b2-4ac＜0时,方程有一对共轭虚根(4)二次三项式的因式分化：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)关于复系数的一元二次方程的解法：设ax2+bx+c=0(a≠0,a.b.c∈C,且至少有一个虚数,x1x2为它的两个根)(4)二次三项式的因式分化ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)仍然实用．关于二项方程的解法形如a n x n+a0=0(a0,a n∈C且a n≠0)的方程叫做二项方程,任何一个二项方程都可以化成x n=b(b∈C)的情势,是以都可以经由过程复数开方来求根．可以充分应用复数z的整体性质,复数z的三种暗示办法及其转换来解方程．已知方程x2-4x+p=0两虚数根为α.β,且|α-β|=2求实数p的值．解法1∵实系数一元二次方程虚根共轭设α=a+bi,β=a-bi,(a,b∈R)∴α+β=2a=4,∴a=2又∵|α-β|=2, ∴|2bi|=2得b=±1即两根为2+i,2-i由韦达定理得：p=(2+i)(2-i)=5法2由韦达定理可得：α+β=4,αβ=p于是|α-β|2=|(α-β)2|=|(α+β)2-4αβ|=|42-4p|=4, 即|4-p|=1又∵△=42-4p＜0 p＞4, ∴p-4=1, 得p=5解释留意实系数一元二次方程有两个实根与有两个虚根的差别．一等式成立．如有两个虚根则上述等式不成立．因为｜α-β｜2≠(α-β)2．是以在解题时要看重复数与实数常识点之间的差别与接洽,要防止消失混杂与干扰．已知方程2x2+3ax+a2-a=0有模为1的根,求实数a的值．剖析已知方程有模为1的根,此根可能是实数,也可能是虚数,故求实数a要留意分域评论辩论．解(1)若所给方程有实根则△=(3a)2-4×2(a2-a)=a2+8a＞0, 即a＜-8或a＞0 由前提得根必为1或-1,①将x=1代入原方程可得a2+2a+2=0a无实数解．(2)若所给方程有虚根则△=a2+8＜0, 即-8＜a＜0即a2-a-2=0, ∴a=-1或a=2(舍)已知方程x2-(2i-1)x+3m-i=0有实数根,求实数m．剖析求实数m的规模,若用判别式来断定是错误的,因为此方程的系数是复数．应用求根公式或用韦达定理或选用复数相等,解方程组来求实数m均可以．现仅介绍一种办法．解∵x,m∈R,方程变形可得,(x2+x+3m)-(2x+1)i=0复数例题讲授与剖析例1．已知x, y互为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x, y.[思绪1]：肯定一个复数即分离肯定它的实部.虚部或模与一个辐角,设z=a+bi 或三角情势,化虚为实.[解法1]：设x=a+bi(a,b∈R), 则y=a-bi, 代入原等式得：(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i.或或或,∴或或或.[思绪2]：“x, y互为共轭”寄义？→x+y∈R, xy∈R,则(x+y)2-3xyi=4-6i.[解法2]：∵x=,∴x+y∈R, xy∈R, ∴由两复数相等可得：,∴由韦达定理可知：x,y同是方程：z2+2z+2=0或z2-2z+2=0的两根, 分离解两个一元二次方程则得x,y……（略）.例2．已知z∈C,|z|=1且z2≠-1,则复数（）A.必为纯虚数B.是虚数但不必定是纯虚数C.必为实数D.可能是实数也可能是虚数[思绪剖析]：选择题,从结论的一般性斟酌,若z=±1,显然A.B选项不成立,剖析C.D选项,显然穷举验证不克不及得出一般结论只能推演解：[法1]设z=a+bi, a,b∈R, a2+b2=1,a≠0.则===∈R,故,应选C.[法2]设z=cosθ+isinθ (θ∈R,且θ≠kπ+),则===∈R.[法3]∵z·=|z|2, ∴当|z|=1时有z·=1,∴===∈R.[法4]∵当|z|=1时有z·=1,∴==∈R.[法5]∵复数z为实数的充要前提是z=,而()=, 又∵|z|=1时,=,∴==, ∴∈R.[评注]：温习中,概念必定要联合意义落实到位,一方面深化懂得（比方复数界说：“形如a+bi (a,b∈R)的数叫复数”深刻懂得就有凡是复数都能写成如许,求一个复数,应用一个复数都可经由过程这一情势将问题化虚为实;…….）同时对一些概念的等价表达式要熟知.（比方：z=a+bi∈R b=0(a,b∈R) z=z2≥0;z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0 (a,b∈R) z+=0 (z≠0) z2<0;…….)在面临具体问题时要有简捷意识（比方该例办法1,有同窗可能会在算到时不留意实时化简分母又直接按两复数相除的运算轨则进行）,多方懂得发掘标题立意.例3．求使关于x的方程x2+(m+2i)x+2+mi=0至少有一个实根的实数m.[思绪剖析]：根的判别式只实用实系数的一元二次方程,虚系数有实根用两复数相等,化虚为实.解：设x0为方程的一个实根,则有x02+mx0+2+(2x0+m)i=0 ,解得：m=±2.例4．设 z∈C, arg(z+2)=, arg(z-2)=, 求z.[思绪剖析]：通例思绪,设z=a+bi, 由已知列关于a,b的方程求解;数形联合思惟,由题设可知z+2对应的点A在射线OA上,∠AOX=,z-2对应的点B应在射线OB上,∠BOX=,z对应的点Z应在AB中点上,|AB|=4,AB//Ox轴,∠AOB=,故而易得：z=-1+i.解：（略）例5．设x,y∈R, z1=2-x+xi, z2=y-1+(-y)i,已知|z1|=|z2|,arg=, (1)求()100=? (2)设z=, 求聚集A={x|x=z2k+z-2k,k∈Z}中元素的个数.[思绪剖析]：懂得已知,|z1|=|z2|,arg=寄义？→=i, 即z1=z2i→两复数相等→x, y.(1)解：∵|z1|=|z2|, ∴||=1,又arg=, ∴=||(cos+isin)=i, 即z1=z2i,∴ 2-x+xi=[y-1+(-y)i]i即,解得 x=y=+,∴ ()100=(+i)100=(-+i)50==--i.[简评] 10本题的解法表现了等价转化和整体的思惟办法,假如把两个已知前提割裂开往来来往斟酌,则须要解关于x, y的二元二次方程组,其运算肯定很麻烦;20在盘算题中对1的立方根之一：w=-+i的特点要熟知即 w3=3=1, ==w2,1+w+w2=0,1++=0, 关于此点设计问题是命题经常参考的着眼点.(2) [思绪剖析]：由(1)知 z=+i,z的特点：z3=-1=3, |z|=1, =; z=cos+isin, z2=w, ……,z2k+z-2k可怎么懂得呢？ (z2)k+(z2)-k,z2k+2k, ……解[法1]：令w=-+i,则z2k+z-2k=w k+w-k,∵w3=1,而k∈z, ∴k=当k=3m时,z2k+z-2k=(w3)m+(w3)-m=2,当k=3m+1时,z2k+z-2k=w3m·w+w-3m·w-1=w+w-1=w+=-1,当k=3m+2时,z2k+z-2k=w3m·w2+w-3m·w-2=w2+w-2=w3·w-1+w-3·w=w-1+w=-1, 综上可知,聚集A中有2个元素.[法2]：∵|z|=1, ∴=,∴z2k+z-2k=z2k+2k=cos+isin+cos-isin=2cos=由此可剖断聚集A中有2个元素.例6．设复数z=cosθ+isinθ(0<θ<π), w=, 并且|w|=, argw<,求θ.（93年全国理）[思绪剖析]：欲用已知,需化简w,解：w====tg2θ(sin4θ+icos4θ)∴|w|=|tg2θ| 由|w|=得tg2θ=±.∵0<θ<π, 故有(i)当tg2θ=时,得θ=或θ=.此时 w=(cos+isin),∴argw=<,合适题意.(ii)当tg2θ=-时,得θ=π或θ=π,此时,w=(cosπ+isinπ).∴argw=π>, 不合题意,舍去,故分解(i), (ii)知,θ=或θ=.[简评] 10复数与三角的分解标题是命题的一个偏向,个中应用三角公式“1±cosa的升幂式”及“引诱公式”化复数代数情势为尺度三角情势应用频率较高.20此题在w的化简中亦可应用|z|=1, z·=|z|来化简：w====……以下略,如许可省去较为繁锁的三角变换.例7．已知|z|=1,且z5+z=1, 求z.[思绪剖析1]：已知含未知数的等式求未知数,方程问题,设元化虚为实,解：[法1]设z=cosθ+isinθ,则由z5+z=1可得：由(1)2+(2)2得：cos4θ=-……（以下略）.[思绪剖析2]：复数的概念,运算都有几何意义,由z5+z=1,若设z5, z,1对应点为A,B,C则四边形OACB为平行四边形.★[法2]：设z5,z,1在复平面上对应点分离为A,B,C,则由z5+z=1,可知,四边形OACB为平行四边形,又∵ |z5|=|z|5=1=|z|∴OACB为边长为1的菱形且∠AOB=120°,∴易求得：z=+i或 z=-i.可以验证当z=±i时,z5=i相符题意.[简评]：10数形联合思惟办法应是处理复数有关问题的习惯思绪,因复数中的概念,运算都有必定的几何寄义,这源于z=a+bi本身就暗示一个点,当a,b肯定,z暗示定点,当a,b不定章z就能暗示一个动点轨迹,如 z=x+i就可暗示双曲线.故在解题时变换角度从几何意义去剖析,往往会事半功倍.20 此题还可如许接洽,由z5+z=1得 z-1=-z5,双方取模|z-1|=|-z|5=|z|5=1,从而知z应是圆|z|=1与|z-1|=1的交点.。

复数的三角形式

复数的三角形式1.复数的三角形式复数的幅角指的是复数Z=a+bi所对应的向量半轴为始边，向量以x轴正方向所在的射线（起点为O）为终边的角度θ，记作ArgZ。

其中，满足0≤θ<2π的辐角θ的值称为辐角的主值，记作argZ。

需要注意的是，不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍。

复数的三角形式指的是r(cosθ+isinθ)，其中r为复数Z=a+bi的模，θ为Z的一个辐角。

任何一个复数Z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式。

2.复数的三角形式的运算设Z=r(cosθ+isinθ)，Z1=r1(cosθ1+isinθ1)，Z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则：3.应用例1：求下列复数的模和辐角主值1）1+i解：对于1+i，有a=1，b=1，点（1,1）在第一象限，所以r=sqrt(2)，tanθ=1，辐角主值为θ=π/4.2）4-3i解：对于4-3i，有a=4，b=-3，点（4，-3）在第四象限，所以r=5，tanθ=-3/4，辐角主值为θ=11π/6.想一想：如何求复数z=3-4i的辐角？解：对于3-4i，有a=3，b=-4，点（3，-4）在第四象限，所以r=5，tanθ=-4/3，辐角主值为θ=11π/6.复数的三角形式具有以下特征：形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为一个辐角。

下列各式是否为复数的三角形式：1）isinθ+cosθ2）2(cos(π/4)+isin(π/4))3）5(cos(5π/6)+isin(π/6))解：（1）不是，（2）是，（3）是。

例2：把下列复数转化为三角形式1）-1解：-1=cosπ+isinπ，所以r=1，θ=π。

2）2i解：2i=2(cosπ/2+isinπ/2)，所以r=2，θ=π/2.3）3-i解：3-i=2(cos(11π/6)+isin(π/6))，所以r=2，θ=11π/6.总结：将复数的代数形式z=a+bi转化为复数的三角形式的一般方法步骤是：①求复数的模：r=sqrt(a^2+b^2)；②由tanθ=b/a求出复数的辐角主值θ；③将复数表示为r(cosθ+isinθ)的形式。

复数的三角形式

复数的三角形式1、复数的三角形式(1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ．说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中．说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角．2、复数的三角形式的运算：设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(cosθ2＋isinθ2)．则3、应用例1求下列复数的模和辐角主值（1）i +1 （2）i -3解：（1）211122=+=+i又a b tan =θ=1，点（1,1）在第一象限。

所以41πθ=+=）（i arg（2）213322=-+=-）（）（i有31-=θtan ，点（13-，）在第四象限，所以611623πππθ=-=-=）（i arg想一想：怎样求复数i z 43-=的辐角?想一想：复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形式吗？（1）θθcos sin i + （2）[]）（）（︒-+︒-30302sin i cos（3））（6655ππsin i cos+例2 把下列复数转化为三角形式（1）-1；（2）i 2；（3） i -3解：（1）2201+-=）（r =1，辐角主值为θ=π=-）（1arg，所以-1=ππsin i cos +（2）22022=+=r 辐角主值为θ=()22π=i arg ，所以i2=）（222ππsin i cos+（3）21322=-+=）（）（r ，由3331-=-=θtan 和点），（13-在第四象限，得611623πππθ=-=-=）（i arg ，所以i -3=）（6116112ππsin i cos+总结：复数的代数形式bi a z +=化为复数的三角形式一般方法步骤是：①求复数的模：22b a r +=；②由a btan =θ及点）（b ,a 所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）；③写出复数的三角形式。

复数的三角形式与指数形式

复数的三角形式与指数形式复数是由实数和虚数组成的数，可以用不同的形式来表达。

其中，三角形式和指数形式是复数常用的两种表示方法。

本文将针对复数的三角形式与指数形式进行论述，分别从定义、转换关系以及应用方面进行探讨。

一、复数的三角形式复数的三角形式又称极坐标形式，表示为a(cosθ + isinθ)，其中a为复数的模，θ为主角，i为虚数单位。

三角形式将复数表示为一个模长为a的向量，与实轴之间的夹角为θ。

以例子说明，假设有一个复数z = 3 + 4i，其中实部为3，虚部为4。

根据勾股定理，可以计算得出模长a = √(3² + 4²) = 5。

而主角θ可以通过反正切函数得到，即θ = arctan(4/3)。

因此，复数z可以表示为5(cos(arctan(4/3)) + isin(arctan(4/3)))。

复数的三角形式除了提供复数的模和主角信息外，还能够方便地进行复数的运算。

加法、减法、乘法和除法等运算可以在三角形式下进行，并通过对应的三角函数公式实现。

二、复数的指数形式复数的指数形式是指数函数的一种特殊形式，表示为re^(iθ)，其中r为复数的模，θ为主角，e为自然对数的底。

与三角形式类似，指数形式也将复数表示为一个模长为r的向量，与实轴之间的夹角为θ。

但不同之处在于指数形式中使用了指数函数，这使得复数的运算更加简化和方便。

以例子说明，继续使用上述复数z = 3 + 4i，其模长为r = 5，主角为θ = arctan(4/3)。

根据指数函数的定义，复数z可以表示为5e^(i·arctan(4/3))。

在指数形式下，复数的加法、减法、乘法和除法操作可以通过指数幂次运算来实现，利用指数函数的性质简化计算过程。

三、三角形式与指数形式的转换关系三角形式与指数形式之间存在一定的转换关系，让我们通过简单的推导来展示其中的关联性。

首先，假设有一个复数z = a(cosθ + isinθ)，根据欧拉公式e^(iθ) = cosθ + isinθ，我们可以将复数z表示为a·e^(iθ)。

复数的三角形式与指数形式的相互转换方法应用

复数的三角形式与指数形式的相互转换方法应用复数的三角式与指数式的相互转换方法及应用复数是数学中的一个重要概念，其中涉及到了复数的三角式和指数式的相互转换。

本文将针对复数的三角式和指数式的相互转换方法进行介绍，并且探讨这些转换方法在实际中的应用。

一、复数的三角式和指数式1. 复数的三角式复数的三角式是指将一般复数 $a + bi$ 表示成 $r(\cos{\theta} +i\sin{\theta})$ 的形式，其中 $r$ 为复数的模，$\theta$ 为辐角。

其中，复数的模 $r$ 的计算方法为 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$；辐角$\theta$ 的计算方法为 $\theta = \text{arctan}(\frac{b}{a})$，当 $a <0$ 时，$\theta = \text{arctan}(\frac{b}{a}) + \pi$。

2. 复数的指数式复数的指数式是指将复数表示成 $re^{i\theta}$ 的形式，其中 $r$ 为复数的模，$\theta$ 为辐角。

二、复数的三角式和指数式的相互转换方法1. 从复数的三角式到指数式的转换将复数 $a + bi$ 的三角式 $r(\cos{\theta} + i\sin{\theta})$ 中的$\cos{\theta}$ 和$\sin{\theta}$ 分别用$e^{i\theta}$ 的实部和虚部表示，即 $\cos{\theta} = \text{Re}(e^{i\theta})$，$\sin{\theta} =\text{Im}(e^{i\theta})$，则有 $a + bi = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta}) =r\text{e}^{i\theta}$。

复数三角公式

复数三角公式摘要：一、引言二、复数三角公式定义1.余弦公式2.正弦公式3.辅助公式三、复数三角公式的应用1.解析复数2.计算复数模3.求解复数三角形式四、复数三角公式与其他公式关系1.欧拉公式2.指数和对数公式五、结论正文：复数三角公式是复分析中一种将复数表示为三角形式的重要工具。

通过复数三角公式，我们可以更直观地理解复数，并且方便地进行复数的计算和求解。

一、引言复数三角公式是复分析中的重要公式，可以将复数表示为三角形式，从而方便地进行复数的计算和求解。

二、复数三角公式定义复数三角公式包括余弦公式、正弦公式和辅助公式。

1.余弦公式余弦公式是指复数Z=x+yi（x,y∈R）的三角表示形式为：Z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|Z|，θ=arg(Z)。

2.正弦公式正弦公式是指复数Z=x+yi（x,y∈R）的三角表示形式为：Z=r(cos(θ+π/2)+isin(θ+π/2))，其中r=|Z|，θ=arg(Z)。

3.辅助公式辅助公式是指已知复数Z=x+yi（x,y∈R）的模r 和幅角θ，可以求解出复数Z 的三角表示形式。

三、复数三角公式的应用复数三角公式在解析复数、计算复数模以及求解复数三角形式等方面有着广泛的应用。

1.解析复数通过复数三角公式，可以将复数表示为三角形式，从而更直观地理解复数。

2.计算复数模通过复数三角公式，可以直接计算出复数的模，而不需要进行复杂的计算。

3.求解复数三角形式通过复数三角公式，可以直接求解出复数的三角形式，从而方便地进行复数的计算和求解。

四、复数三角公式与其他公式关系复数三角公式与其他公式，如欧拉公式、指数和对数公式等有着密切的关系。

1.欧拉公式欧拉公式是指复数e^(ix)=cos(x)+isin(x)，其中x∈R。

欧拉公式是复数三角公式的一个特例。

2.指数和对数公式指数和对数公式是指复数的指数和对数可以表示为三角形式，从而方便地进行复数的计算和求解。

五、结论复数三角公式是复分析中一种将复数表示为三角形式的重要工具。

复数的三角形式与倍角公式

复数的三角形式与倍角公式复数是数学中重要的概念之一，它由实数和虚数构成。

实数部分表示复数在数轴上的位置，虚数部分则表示复数具有的平方根。

在复数的表达中，三角形式和倍角公式是两个重要的工具，本文将重点讨论复数的三角形式与倍角公式的应用和性质。

一、复数的三角形式复数的三角形式可以将复数表示为幅角和半径的形式，即z = r(cosθ + isinθ)。

其中，r表示复数的模，也就是复数到原点的距离，θ表示复数与实轴之间的夹角。

由欧拉公式e^ix = cosx + isinx，可以得到复数的三角形式。

再将复数z写成三角形式形式时，可以利用欧拉公式求出cosθ和sinθ的值。

例如，对于复数z = 3 + 4i，我们首先计算模r和角度θ。

|r| = √(3^2 + 4^2) = 5θ = arctan(4/3)然后，将复数表示为三角形式：z = 5(cos(arctan(4/3)) + isin(arctan(4/3)))复数的三角形式可以更好地表示复数的性质和运算。

二、复数的倍角公式复数的倍角公式是用来计算复数的幂次方和角度翻倍的问题。

1. 复数的幂次方根据三角形式，我们可以方便地计算复数的幂次方。

例如，对于复数z = 3 + 4i，我们可以计算z的平方：z^2 = (3 + 4i)^2= 3^2 + 2*3*4i + 4^2 * i^2= -7 + 24i同样地，我们可以计算z的立方、四次方等。

2. 角度的翻倍复数的倍角公式也适用于角度的翻倍问题。

例如，对于复数z = cosθ + isinθ，我们可以计算它的平方：z^2 = (cosθ + isinθ)^2= cos^2θ - sin^2θ + 2i*sinθ*cosθ= cos2θ + isin2θ根据上述计算，我们可以得到复数的倍角公式cos2θ + isin2θ = (cosθ + isinθ)^2。

三、应用举例1. 复数的乘法复数的三角形式在复数的乘法中非常有用。

复数三角形式的四则运算公式

复数三角形式的四则运算公式一、复数的加法运算复数的加法运算是指将两个复数相加得到一个新的复数的计算过程。

复数的加法运算公式为：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i其中，a和c是复数的实部，b和d是复数的虚部。

例如，将复数3 + 4i和5 + 2i相加：(3 + 4i) + (5 + 2i) = (3 + 5) + (4 + 2)i = 8 + 6i因此，复数3 + 4i和5 + 2i的和为8 + 6i。

二、复数的减法运算复数的减法运算是指将两个复数相减得到一个新的复数的计算过程。

复数的减法运算公式为：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i例如，将复数3 + 4i和5 + 2i相减：(3 + 4i) - (5 + 2i) = (3 - 5) + (4 - 2)i = -2 + 2i因此，复数3 + 4i和5 + 2i的差为-2 + 2i。

三、复数的乘法运算复数的乘法运算是指将两个复数相乘得到一个新的复数的计算过程。

复数的乘法运算公式为：(a + bi) * (c + di) = (a * c - b * d) + (a * d + b * c)i例如，将复数3 + 4i和5 + 2i相乘：(3 + 4i) * (5 + 2i) = (3 * 5 - 4 * 2) + (3 * 2 + 4 * 5)i = 7 + 22i因此，复数3 + 4i和5 + 2i的积为7 + 22i。

四、复数的除法运算复数的除法运算是指将两个复数相除得到一个新的复数的计算过程。

复数的除法运算公式为：(a + bi) / (c + di) = [(a * c + b * d) / (c^2 + d^2)] + [(b * c - a * d) / (c^2 + d^2)]i其中，c和d不能同时为0。

例如，将复数3 + 4i除以5 + 2i：(3 + 4i) / (5 + 2i) = [(3 * 5 + 4 * 2) / (5^2 + 2^2)] + [(4* 5 - 3 * 2) / (5^2 + 2^2)]i = (23/29) + (14/29)i因此，复数3 + 4i除以5 + 2i的商为(23/29) + (14/29)i。

复数的三角形式与指数形式转换

复数的三角形式与指数形式转换复数的三角形式和指数形式是数学中描述复数的两种不同表示方式。

在数学和物理等领域，复数广泛应用于解析函数、电路分析、波动理论等等。

本文将介绍复数的三角形式和指数形式，并重点讨论它们之间的转换关系。

一、复数的三角形式复数的三角形式表示了复数在极坐标系下的位置，由模长和辐角两部分组成。

设复数为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部。

复数z在极坐标系下可以表示为z=r(cosθ + isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。

模长r的计算公式为r = √(a^2 + b^2)。

辐角θ的计算公式为θ = arctan(b/a)，其中arctan为反正切函数，用于计算角度。

通过三角形式，我们可以清晰地表示复数的模长和辐角，有助于进一步的计算和分析。

二、复数的指数形式复数的指数形式描述了复数与指数函数之间的紧密关系。

指数形式主要依赖于欧拉公式，即e^ix = cosx + isinx。

复数z可以表示为z=re^(iθ)，其中r为模长，θ为辐角。

指数形式的优势在于利用指数函数的性质，使复数运算变得更加简便。

例如，复数的乘法操作可以转化为乘方操作，更方便进行计算和推导。

三、复数形式之间的转换复数的三角形式和指数形式之间存在一定的转换关系，可以相互转化。

下面介绍两种常见的转换方式。

1. 从三角形式转换为指数形式根据欧拉公式，我们可以得到复数的指数形式。

假设复数为z=r(cosθ + isinθ)，则指数形式为z=re^(iθ)。

2. 从指数形式转换为三角形式根据指数函数的性质，我们可以通过对数运算将复数的指数形式转换为三角形式。

假设复数为z=re^(iθ)，则三角形式可以表示为z=r(cosθ + isinθ)。

需要注意的是，在进行指数形式和三角形式之间的转换时，我们需要注意辐角的取值范围。

根据三角函数的周期性，辐角θ可以加上2π的整数倍，得到相同的复数。

四、应用举例下面通过两个具体的例子来进一步说明复数的三角形式和指数形式之间的转换。

复数的三角形式

复数的三角形式1、复数的三角形式(1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ．说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中．说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角．2、复数的三角形式的运算：设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(co sθ2＋isinθ2)．则3、应用例1求下列复数的模和辐角主值（1）i +1 （2）i -3解：（1）211122=+=+i又a b tan =θ=1，点（1,1）在第一象限。

所以41πθ=+=）（i arg（2）213322=-+=-）（）（i有31-=θtan ，点（13-，）在第四象限，所以611623πππθ=-=-=）（i arg想一想：怎样求复数i z 43-=的辐角想一想：复数的三角形式有哪些特征下列各式是复数的三角形式吗（1）θθcos sin i + （2）[]）（）（︒-+︒-30302sin i cos（3））（6655ππsin i cos+例2 把下列复数转化为三角形式（1）-1；（2）i 2；（3）i -3解：（1）2201+-=）（r =1，辐角主值为θ=π=-）（1arg，所以-1=ππsin i cos +（2）22022=+=r 辐角主值为θ=()22π=i arg ，所以i2=）（222ππsin i cos+（3）21322=-+=）（）（r ，由3331-=-=θtan 和点），（13-在第四象限，得611623πππθ=-=-=）（i arg ，所以i -3=）（6116112ππsin i cos+总结：复数的代数形式bi a z +=化为复数的三角形式一般方法步骤是：①求复数的模：22b a r +=；②由a btan =θ及点）（b ,a 所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）；③写出复数的三角形式。

复数的三角形式及运算通用课件

加法运算实例
例如， $z_1=3(cosfrac{pi}{3}+isinfrac{pi}{3})$和 $z_2=4(cosfrac{pi}{4}+isinfrac{pi}{4})$的和为 $z_1+z_2=7(cos(frac{pi}{3}+frac{pi}{4})+ isin(frac{pi}{3}+frac{pi}{4}))$。
幅角的取值范围
幅角的取值范围是[0, 2π)，并且对于任意非实数z，其幅角是唯一的。
共轭复数的性质
共轭复数的定义
如果复数z=a+bi，那么它的共轭复数是z*=a-bi。
共轭复数的性质
共轭复数的模相等，即|z|=|z*|=sqrt(a^2+b^2)。
04
复数三角形式的实际应用
在电路分析中的应用
theta_1} + r_2^n e^{i n theta_2}$
应用
03
幂运算性质在解决复数幂运算问题中非常有用，如求解复数方
程、计算复数幂级数等。
THANKS
感谢观看
复数三角形式的加法和减法运算
加法运算规则
根据复数三角形式的定义，两个复数 $z_1=r_1(costheta_1+isintheta_1)$和 $z_2=r_2(costheta_2+isintheta_2)$的和为 $z_1+z_2=r_1(costheta_1+isintheta_1)+ r_2(costheta_2+isintheta_2)$。
VS
除法运算实例
例如， $z_1=3(cosfrac{pi}{3}+isinfrac{pi}{3})$ 和 $z_2=4(cosfrac{pi}{4}+isinfrac{pi}{4})$ 的商为$frac{z_1}{z_2}=frac{3}{4}(cos(frac{7pi}{12})+isin(-frac{7pi}{12}))$。

复数的三角形式与指数形式

其次，幅角θ应该占据
y a 中指数x的位置, x
对于虚数单位i，如果放到系数y的位置会怎样？
由于
(i ra x )2 r 2a2x
等式右边是实数，对于任意虚数而言，这是不可能的。
因此幅角θ也应该占据指数的位置。
这样第二个问题就产生了：它与幅角一起在指数的位置上是什么关系？（相加？相乘？）
4.2、复数的指数形式
3、复数的乘方。利用复数的乘法不难得到
zn r n (cos n i sin n )
这说明，复数的n次方等于它模的n次方，幅角的n倍。
4.1、复数的三角形式
二、复数三角形式的运算法则
3、复数的乘方。
zn r n (cos n • i sin n )
这个运算在几何上可以用下面的方法进行：
将向量z1的模变为原来的n次方，然后再将它绕原点逆时针旋转角nθ，就得到zn。
•
这种改变运算等级的现象在初等函数中有过体现：
对数函数与指数函数
axa y axy
loga ( xy) loga x loga y
前者将两个同底幂的乘积变成同底的指数相加；后者将两个真数积的对数变成两个同底对数的和。
从形式上看，复数的乘法与指数函数的关系更为密切些：
z1z2 r1r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
z rai
现在来审查乘法、除法和乘方法则是否吻合
4.2、复数的指数形式
z1z2 (r1ai1 )(r2ai2 ) (r1r2 )a i(12 ) z1 z2 (r1ai1 ) (r2ai2 )• (r1 r2 )ai(12 )
zn (rai )n r nai(n )
乘除法保持“模相乘除、幅角相加减”、乘方保持“模的n次方、幅角的n倍”的本质特征

4复数的三角形式与指数形式

4复数的三角形式与指数形式复数的三角形式和指数形式是描述复数的两种不同方式。

三角形式主要通过复数的模和辐角来表示，而指数形式则使用复数的指数函数形式表示。

本文将详细介绍这两种表示方法，并通过示例来说明它们的应用。

1.复数的三角形式：复数的三角形式表示为\[z = ，z，(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\]其中，$，z，$表示复数的模，$\theta$表示复数的辐角（也叫幅角或参数角），$i$为虚数单位。

复数的模表示复数的长度，或者可以认为是复数到原点的距离。

复数的辐角表示复数与正实轴之间的夹角（逆时针方向），一般用弧度来表示。

模和辐角可以由复数的实部和虚部计算得到：\[，z， = \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2}\]\[\theta = \arctan(\frac{\mathrm{Im}(z)}{\mathrm{Re}(z)})\]其中，$\mathrm{Re}(z)$表示复数的实部，$\mathrm{Im}(z)$表示复数的虚部。

复数的三角形式具有以下性质：- 相等性质：如果复数$z$和$w$的模和辐角分别相等$，z，=，w，$，$\theta = \phi$，那么$z=w$。

- 乘法性质：两个复数$z_1$和$z_2$的乘积的模等于两个复数的模的乘积，辐角等于两个复数的辐角之和：$，z_1z_2，=，z_1，z_2，$，$\theta_{z_1z_2} = \theta_{z_1}+\theta_{z_2}$。

2.复数的指数形式：复数的指数形式表示为\[z = ，z，e^{i\theta}\]其中，$，z，$和$\theta$的定义与三角形式相同。

指数形式表示复数的主要特点是使用指数函数$e^x$来表示复数。

指数函数可以使用级数展开形式\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} +\frac{x^4}{4!} + ...\]将$ix$代入级数展开式可得：\[e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} +\frac{x^4}{4!} + ...\]因此，复数$，z，(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$可以写成$，z，e^{i\theta}$的形式。

复数的三角形式及运算

r1 r2 [cos( 1 2 ) i sin(1 2 )]
即是说，两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和。简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：
模数相乘，幅角相加
复数的三角形式乘法法则有如下推论
（1）有限个复数相乘，结论亦成立。即
3 z2 2
复数三角形式的乘法
Z 2的三角形式分别是：设 Z1 、
Z1 r1 (cos1 i sin 1 ) Z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )
于是 Z1 Z 2 r1 (cos1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 )
Z1 r1 (cos1 i sin 1 ) r1 [cos( 1 2 ) i sin(1 2 )] Z 2 r2 (cos 2 i sin 2 ) r2
这就是复数三角形式的除法法则，即：
模数相除，幅角相减
例
计算下列各式
4 4 5 5 i sin ) 2(cos i sin ) 3 3 6 6
(3) 3(cos18 i sin 18 ) 2(cos54 i sin 54 ) 5(cos108 i sin 108 )
(4) [3(cos

6
i sin

6
)] 6
5
(5) [2(cos36 i sin 36 )]
复数三角形式的除法
设有复数 Z1 r1 (cos1 i sin 1 ) ，Z 2 r2 (cos 2 i sin 2 ) ，且设 Z 2 0 ，那么
Z1 Z 2 Z n r1 (cos1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 )rn (cos n i sin n ) r1 r2 rn [cos( 1 2 n ) i sin(1 2 n )]

(6)复数的三角形式及乘除运算

复数的三角形式及乘除运算一、主要内容:复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义.二、学习要求:1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值.2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式.3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）.4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题.5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法.三、重点:复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用.四、学习建议:1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,b∈R).二是几何表示，复数Z既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z的模和辐角来表示，设其模为r，辐角为θ，则Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0).既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化.代数形式r=三角形式Z=a+bi(a,b∈R) Z=r(cosθ+isinθ)(r≥0)复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数Z的一个辐角，不一定是辐角主值.例1．下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式:(1) Z1=-2(cosθ+isinθ)(2) Z2=cosθ-isinθ(3) Z3=-sinθ+icosθ(4) Z4=-sinθ-icosθ(5) Z5=cos60°+isin30°例2．求复数Z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值.例3．将Z=(π<θ<3π)化为三角形式，并求其辐角主值.2．复数Z的模|Z|的几何意义是:复平面上点Z到原点距离，复数模|Z1-Z2|的几何意义是:复平面上两点Z1，Z2之间距离.辐角几何意义是:以x轴正半轴为角始边，以向量所在射线为终边的角记为ArgZ.在[0，2π)范围内的辐角称辐角主值，记为argZ.要求学生不仅要理解以上所说各几何意义，还要运用几何意义去解决相关问题.例4．若Z∈c，|Z-2|≤1，求｜Ｚ｜的最大，最小值和argZ范围.例5．复数Z满足arg(Z+3)=π,求|z+6|+|z-3i|最小值.例6．已知|Z-2i|≤1,求arg(Z-4i)最大值.3．两个复数相乘，积的模等于模的积，辐角为两辐角之和，其几何意义是模的伸缩及对应向量的旋转.两个复数相除，商的模等于模的商（除数不为零），辐角为两辐角之差，其几何意义同乘法.由复数三角形式乘除运算的几何意义，可解决向量或图形的旋转问题，如等腰、等边三角形、直角三角形，平行四边形顶点间的几何何关系利用复数的乘除运算来表示.复数三角形式较之代数形式，在乘除运算中非常方便，可顺利解决多项相乘（乘方），相除及乘除混合运算.例7．若与分别表示复数Z1=1+2i, Z2=7+i, 求∠Z2OZ1并判断ΔOZ1Z2的形状.例8．已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1,0)和B(0,8)关于l的对称点都在C上，求直线l与抛物线C的方程.、、、五、易错点1．并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值.如复数零的模为0，辐角主值不确定.2．注意ArgZ与argZ的区别.ArgZ表示复数Z的辐角，而argZ表示复数Z的辐角主值.ArgZ=ar gZ+2kπ(k∈Z),argZ∈[0,2π), 辐角主值是[0,2π)内的辐角，但辐角不一定是辐角主值.3．复数三角形式的四个要求:模非负，角相同，余弦前，加号连，缺一不可.任何一个不满足，就不是三角形式.4．注意复数三角形式的乘除运算中，向量旋转的方向.六、练习1．写出下列复数的三角形式(1) ai(a∈R)(2) tgθ+i(<θ<π）(3) -（sinθ-icosθ)2．设Z=(-3+3i)n, n∈N，当Z∈R时，n为何值？3．在复平面上A，B表示复数为α,β(α≠0),且β=(1+i)α，判断ΔAOB形状，并证明SΔAOB=|d|2.在线测试选择题1．若复数z=(a+i)2的辐角是，则实数a的值是（）A、1B、-1C、-D、-2．已知关于x的实系数方程x2+x+p=0的两虚根a， b满足|a-b|=3，则p的值是（）A、-2B、-C、D、13．设π<θ<，则复数的辐角主值为（）A、2π-3θB、3θ-2πC、3θD、3θ-π4．复数cos+isin经过n次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n的值等于（）A、3B、12C、6k-1(k∈Z)D、6k+1(k∈Z)5．z为复数，()|z-3|=()|z+3|()-1的图形是（）A、直线B、半实轴长为1的双曲线C、焦点在x轴，半实轴长为的双曲线右支D、不能确定复数三角形式的运算·疑难问题解析1．复数的模与辐角：(1)复数模的性质：｜z1·z2｜=｜z1｜·｜z2｜(2)辐角的性质：积的辐角等于各因数辐角的和．商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．一个复数n次幂(n∈N)的辐角等于这个复数辐角的n倍．注意：(1)辐角与辐角主值的区别，特别是解题过程中的不同点．如下面两个问题：若arg(2-i)=α，arg(3-i)=β，求α+β的值．(α+β∈(3π，4π))若arg(2-i)=α，arg(3-i)=β，求arg[(2-i)(3-i)]的值．(2)两个复数乘积的辐角主值不一定等于两辐角主值的和，商的辐角主值不一定等于辐角主值的差.2．关于数的开方(1)复数的开方法则：r(cosθ+isinθ)的n次方根是几何意义：设对应于复平面上的点，则有：所以，复数z的n次方根，在复平面内表示以原点为中心的正n边形的n个顶点．(2)复数平方根的求法．求-3-4i的平方根．3．复数集中的方程．关于实系数的一元二次方程的解法：设ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c∈R，x1，x2为它的两个根)(1)当△=b2-4ac≥0时，方程有两个实数根当△=b2-4ac＜0时，方程有一对共轭虚根(4)二次三项式的因式分解：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)关于复系数的一元二次方程的解法：设ax2+bx+c=0(a≠0，a、b、c∈C，且至少有一个虚数，x1x2为它的两个根)(4)二次三项式的因式分解ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)仍然适用．关于二项方程的解法形如a n x n+a0=0(a0，a n∈C且a n≠0)的方程叫做二项方程，任何一个二项方程都可以化成x n=b(b∈C)的形式，因此都可以通过复数开方来求根．可以充分利用复数z的整体性质，复数z的三种表示方法及其转换来解方程．已知方程x2-4x+p=0两虚数根为α、β，且|α-β|=2求实数p的值．已知方程2x2+3ax+a2-a=0有模为1的根，求实数a的值．已知方程x2-(2i-1)x+3m-i=0有实数根，求实数m．复数例题讲解与分析例1．已知x, y互为共轭复数，且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x, y.例2．已知z∈C,|z|=1且z2≠-1,则复数（）例3．求使关于x的方程x2+(m+2i)x+2+mi=0至少有一个实根的实数m.[思路分析]：根的判别式只适用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两复数相等，化虚为实。