第二章有导体时的静电场(8学时)

第二章有导体时的静电场（8学时）一、目的要求1．深刻理解导体静电平衡的条件和特点；2．了解导体平衡时的讨论方法；3．掌握电容、电容器及电容的计算方法；4．了解带电体系的静电能。

二、教学内容1．静电场中的导体（2学时）2．封闭金属壳内外的（2学时）3．电容器及其电容（2学时）4．带电体系的静电能（2学时）三、本章思路本章主要研究导体在静电场中的特性，其基本思路是：导体的电结构→ 静电平衡条件→静电场中导体的特性→静电场中导体特性的应用→电容、静电屏蔽、尖端放电。

四、重点难点重点：导体静电平衡的特性五、讲课提纲§2.1 静电场中的导体一、教学内容（1）静电平衡（2）带电受到的静电力（3）孤立导体形状对电荷分布的影响（4）导体静电平衡时的讨论方法（5）平行板导体组举例二、教学方式讲授三、讲授提纲（一）导体的静电平衡1．导体的特性导体内存在着大量的自由电荷，它们在电场作用下可以移动。

中性导体：导体若不受外场作用，又不带净电荷，则自由电子均匀地迷漫于正离子点阵ρ；间，从宏观上看，导体处处电中性，即净电荷体密度0=带电导体：净余电量不为零的导体；孤立导体：距其它物体无限远的导体。

电荷的分布和电场的分布相互影响、相互制约。

2．导体的静电平衡 （1）静电平衡的定义导体中的电荷不作宏观运动，因而电场分布不随时间而变的状态。

（2）静电平衡条件 导体内部的场强处处为零。

即所有场源（包括分布在导体上的电荷）产生的电场在导体内部处处抵消，即0=i E ϖ 。

[反证] 若导体内某点场强不为零，则该点的自由电荷将在电场力的作用下作定向运动，导体便没有达到静电平衡，与定义矛盾。

（3）导体的静电感应中性导体无外电场作用时，自由电荷只作微观热运动，无宏观电量的迁移，处于静电平衡。

当加上外电场0E ϖ（施感外场）时，0E ϖ推动导体内的自由电荷作定向运动，引起自由电荷重新分布，在导体表面出现等量异号电荷，这种现象叫静电感应，导体表面上出现的电荷称感应电荷。

这些感应电荷产生的附加场'E ϖ在导体内与外场0E ϖ反向。

当E 'ϖ <0E ϖ时，0≠E ρ，自由电荷将继续运动，导体表面的感应电荷增多，E 'ϖ增大，总有一个时候使得导体内部00='+=E E E ϖϖϖ（E 'ϖ与0 E ϖ在导体内完全抵消）时，无净电力作用于电荷，则它停止定向运动，电荷重新分布过程结束——达到新的静电平衡。

可见：导体处在电场中达静电平衡时，导体上总有一定感应电荷分布，否则无E 'ϖ；导体上感应电荷产生的场与外电场的合场强在导体内处处为零，导体内不能有电场线穿越。

[示例]：导体球置于均匀外电场0 E ϖ中。

图2-1(a)为原问题，图2-1(b)为静电平衡时的情形：导体内0 E ϖ与E 'ϖ 反方，至0 =内E ϖ止；导体外0 E ϖ与E 'ϖ叠加，场发生畸变，成为E E E '+=ϖϖϖ0。

(a) (b)图2-1（4）导体静电平衡时的性质① 导体静电平衡时，导体是等势体、导体表面是等势面。

∵ 导体内处处0=E ϖ， 设P 、Q 是导体上任意两点（包括表面）∴ 导体上任两点电势差⎰=⋅=Q PPQ l d E U 0ϖϖ，即 Q P U U = 。

②静电平衡时，导体所带电荷只能分布在导体表面上在导体内任作一个闭合曲面S ，应用高斯定理有：00==⋅∑⎰⎰εiSqS d E ρρ ∑=⇒0i q由于S 是任意的，当0→S 时仍成立，即导体内任一点均无电荷。

故导体所带电荷只能分布在导体的表面上。

③静电平衡时，导体面外附近的场强处处与表面垂直，且正比于该点的电荷面密度。

∵ E ϖ与等势面正交，且导体表面为一等势面，∴ n E E ϖϖ=（n ϖ为导体面外法向单位矢）。

作如图2-2所示高斯面:n h s ϖ,,∆∆ 由⎰=⋅S q s d E 0ε内ϖϖ， 得εσss d E s d E s d E ∆=⋅+⋅+⋅⎰⎰⎰内侧外ϖϖϖϖϖϖ 即：0εσs s E ∆=∆ 0εσ=E 或 n E ϖϖ0εσ=。

[说明](1) σ是导体表面某一面元上的电荷面密度，E 是该面元邻近一点的场强，不同的面元上电荷面密度不同，场强亦不同。

（2）导体面外邻近一点的场强并非仅仅由S ∆上的电荷激发，而是空间所有电荷共同激发的合场强，（3）若在导体附近引入另一导体,将影响导体表面的电荷分布σ（对应于已调节到使导体内0=E ϖ为终态的σ），从而影响电场分布。

但原导体表面附近的场公式形式不变。

(4) 公式与无限大均匀带电σ的平板之场公式02εσ=E ϖ差倍的解释：如图2-3所示，先在导体上取面元s ∆：因p p ',两点分居面内外,而且极接近面元，故可视s ∆为无限大，有n E p ϖϖ02εσ=、n E p ϖϖ02εσ-=' 再看其余面（s s ∆-）上电荷以及其他电荷（除s ∆外）在p p ',点之场：由于p p ',点极近，图2-2图2-3除s ∆外的所有电荷在p p ',之场设为S E ϖ。

最后，用叠加原理：0=+='''S p p E E E p ϖϖϖ合点在导体内，所以因为，即p p S E n E E ϖϖϖϖ==-='02εσ故面外p 点合场强为：n E E E E p S p p ϖϖϖϖϖ022εσ==+=合 上述可形象地理解为：场大一倍之因在于无限大平板两侧发出的电场线（两侧等量）、在导体情况下则集中于一侧（导体内0=E ϖ），使面外场强加倍，而成为0εσ。

（二）带电导体所受到的静电力静电平衡时，导体所带电荷分布在导体的表面上，在导体表面P 点处任取一个小面元S ∆，其上带有电荷 S q ∆=∆σ，它将位于其余电荷的电场之中，故受电场力为q P E F ∆'=∆)(，其中)(p E '是除S ∆以外所有电荷在P 点处产生的场强n P E ρ2)(εσ='，所以n S q P E F ρ22)(εσ∆=∆'=∆，这就是导体表面任一面元S ∆的受力公式。

推广到无限小面元有：n dS dq P E dF ρ022)(εσ='= ，整个导体所受到的力为：⎰⎰⎰⎰==S S n dS F d F ρρσ022εσ。

[例1] 如图所示，两块厚度都是δ的无限大平行平板均匀带电，电荷体密度分别为ρ± ，试求电场对每一平板单位面积的作用力，设A 板带正电，B 板带负电。

解：A 板上的电荷在B 板处产生的电场为：在B 板上取面元S ∆，S ∆上的电荷受到的电场力为：001122AB E i iσδρεε==r rr ABx图2-4i S i S E dq F AB ρρρρ∆-=⋅∆-==22002121ρδεδρερδ单位面积受到的电场力为：i E i i S F f ρρρρρ2020220212121εσερδε-=-=-=∆= [例2]一半径为R 、带电为q 的球形导体，被切为两半，如图2-5所示，求两半球的相互排斥力。

解：方向沿x 轴方向。

（三）孤立导体表面曲率对电荷分布影响导体静电平衡时，电荷分布于表面，但确定),,(z y x σ是有一定难度的。

1． 一般情况),,(z y x σ与导体⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧周围其它电荷的场带电总量形状 等因素有关。

即使周围引入不带电的其它导体也会改变),,(z y x σ分布（静电感应，达到新的平衡）。

2． 特例——孤立导体其它物体在该导体处的影响略而不计。

此时导体表面σ分布（相对分布）只与导体形状有关：凸的地方（曲率大），σ大；凹的地方（曲率小），σ小。

例如：孤立带电Q 、半径R 的导体球（壳），外表面 24R Qπσ=，电荷球面对称分布；孤立无限大导体平板带电Q 、面积S ，各面S Q2=σ。

例：相距甚远的两导体球，半径分别为 A R 、B R ，现用一根细导线将它2012ndF E dSe ε=r r ⎰=0YdF dS E dF Xθεcos 2120⎰⎰=⎰⎰⎰===ππϕθθθπε202202sin cos 16d d Rq dF F F X X 220321R q πε=ϕθθd d R dS sin 2=204Rq E πε=θFd ρdS图2-5们相连，并使它们带电，求面电荷之比=BAσσ？。

解：两球相距甚远，可将两球各自视作独立，导线相连则等势。

因电荷分 布于有限区域，故可以A A A R q U 04πε=，BBB R q U 04πε=其中A q 、B q 可作为预先假设。

由B A U U =得BAB A R R q q = ， ∴ A B A B B A BB A AB A R R R R q q R q R q =⋅==222244ππσσ 球面上的电荷面密度与球半径成反比。

大致说来，形状简单的孤立导体，表面上的面电荷密度与曲率有密切的关系，曲率大，σ大；曲率小，σ小；曲率为负的地方，σ最小。

3．尖端放电 导体尖端σ大，0εσ=E 亦大，易击穿空气而放电。

空气中存有少量电子，在E ρ中被加速，碰撞中性分子使之电离成负正离子，正、负离子可自由移动，空气击穿而成导体： ① 与尖端异号电荷被吸引至尖端而中和——尖端放电， ② 与尖端同号电荷被排斥远离——形成“电风”。

尖端放电时，其附近隐隐笼罩光晕——电晕，黑夜中高压线附近可见此景。

尖端放电之利弊：利——场致发射显微镜、范氏起电机、引雷针、静电除尘等； 弊——浪费电能、引发火灾、爆炸等。

作业：第78页 2.1.1 2.1.5 2.1.6（四）导体静电平衡问题的讨论方法当把导体引入电场后，由于电荷与电场的相互影响，相互制约，使问题变得复杂，正确的讨论必须遵从静电场两个基本方程——高斯定理和环路定理，但涉及的数学知识较多，我们将借用电场线这个工具来讨论几个静电平衡问题。

图2-6[例1] ：感应电荷的绝对值q’小于或等于施感电荷q 。

解：终止于B 左端的电场线不可能来自于B 右端的正电荷，也不可能来自无穷远，只能来自A 上的正电荷。

由高斯定理知： [例2] 中性封闭金属壳内有点电荷q ，求壳内、外壁的感应电荷。

解：从壳内电荷发出的电场线在无电荷处不中断，又不能穿过金属壳，只能全部终止在壳内表面上。

故有：q q -='由于金属壳是电中性的，所以在壳外表面上有：q q =''例3：如图2-9所示，已知R 、r 、q 及接地条件，求导体球上感应电荷?='q 。

解：选O 点进行考察。

运用电势叠加原理及接地条件，有041400='+⎰SRdsrq σπεπε而ds q S⎰'='σ∴0='+Rq r q 即： q r R q -=' ， 其中 1<rR。