沪教版九年级上册-二次函数复习 讲义
数学沪教版(上海)九年级第一学期2二次函数的概念课件
【思索归纳】
定义： 一般地,解析式形如
y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数,且 a≠ 0)
的函数叫做二次函数.
二次函数y=ax²+bx+c 的定义域为一切实数. 遇到实际问题，具角线数 d 与边数 n 有什么关系？ n边形有＿＿n 个顶点,从一
个顶点出发,连接与这点不相 邻的各顶点,可作＿＿(n－＿3) 条对 角线.因此,n边形的对角线总 数 d =＿＿＿1 n＿(n－＿3) ＿.
2
即:
➢ 通过研究函数可以帮助我们解决生活中的 问题
➢ 分享曾经用函数解决的生活问题
正比例函数 反比例函数 一次函数
函数: 在一个变化过程中,如果有两个变 量x与y, 并且对于x的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么就说y 是x的函数, x是自变量.
一次函数 y=kx+b (k≠0)
函 数
(正比例函数) y=kx (k≠0)
反比例函数
y=
k x
(k≠0)
问题1: 正方体六个面 是全等的正方形,设正 方形棱长为 x,表面积为 y ,则 y 关于x 的关系式 为＿＿＿＿. y=6x2
3、把一根 40 cm 长的铁丝分成两段，再分 别将每一段弯折成一个正方形，设其中一段 铁丝为 x cm，两个正方形的面积和为y cm 2，
则y =__4x__2_____4_0_4___x___2___y____18_x2 5x 100
4、农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三 个月的产量 y (台)与月平均增长率 x 之间的
26.1二次函数的概念
教学目标 :
对二次函数概念的理解。
由实际问题确定函数解析式和确定自变量的 取值范围。
沪教版初三上册二次函数的图像讲义
沪教版初三上册261．把握几种专门的二次函数的图像及其性质，学会用描点法画出其大致图像；2．把握顶点式2()(0)y a x m k a =++≠、一样式)0(2≠++=a c bx ax y 的图像和性质；3．把握二次函数解析式的求法，提高运算能力；4．在运用图像研究二次函数直观性质的过程中，领会数形结合的思想方法，提高观看、分析、归纳和概括的能力． 建议2分钟设置问题：xx 同学，上节课我们学习了二次函数的概念，你能举出生活中几个类似的关于二次函数的情形吗？答：花园的喷水池喷出的水，河上架起的拱桥，投篮或掷铅球时球在空中通过的路线等．情境引入：投篮或掷铅球（教师现场抛橡皮）时球在空中通过的路线都会形成一条曲线，我们称之为抛物线．这些抛物线是否能用函数关系式来表示？它们的形状是如何样画出来的？这些都将在新的一章--二次函数中学习。
采纳课堂提问的方式，提问内容涵盖本节课的差不多知识点。
建议8分钟 建议20分钟题型Ⅰ专门的二次函数的图像和性质例1： 二次函数211y x =-的开口______，对称轴是_______，顶点坐标是______;抛物线2132y x =-+的开口______，对称轴是_______，顶点坐标是______；二次函数23(2)y x =+的开口______，对称轴是______，顶点坐标是_____．（★） ．【答案】向下、y 轴、（0,0）；向下、y 轴、（0,3）；向上、直线2x =-、（-2,0）．变式：二次函数252y x =-+的开口_____，对称轴是______,顶点坐标是_______；当120x x <<时，则1y ____ 2y （填“>”、“=”或“<”）．（★ ★） ．【答案】向下、y 轴、（0,2）、> ．例2：关于抛物线22y x =与抛物线223y x =--，下列说法正确的是( ) （★★） ．① 它们的对称轴差不多上y 轴 ② 它们的顶点坐标相同 ③ 它们的形状相同，开口方向不同 ④ 它们可通过平移得到函数解析式A.①② B ．②③ C ．①③ D ．③④【分析】两函数解析式中的0b =，对称轴为y 轴. a 的绝对值相同．符号相反，因此它们的图象形状大小相同，开口方向相反．顶点坐标一为(0，0)，一为(0，－3) ．因此只有①、③正确． 【答案】C ．变式：已知二次函数2y ax c =-，下列结论中正确的个数有( ) （★★） ．① 图象的顶点在原点 ② 图象的对称轴是y 轴 ③ 图象与x 轴必有交点 ④ y ＝－c 一定是它的最小值 A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】A ．例3：要将二次函数21(2)3y x =-的图像平移成213y x =的图像，只需将图像( )A. 向上平移2个单位B. 向下平移2个单位C. 向右平移2个单位D. 向左平移2个单位 【答案】 D ．变式：把函数22(1)y x =--的图像旋转180°后，再向_____平移_____个单位就能得到顶点为原点的抛物线__________．（★★） ．【答案】 左、1、22y x = ．例4：如图所示，若0a <，则函数21(1)y a x =+与221y ax =-+在同一坐标平面中的大致图像是( ) （★★） ．A B C D【答案】 C ．变式：反比例函数k y x=和二次函数2()y k x k =+在同一坐标系中的大致图像是( )【答案】 B ．例5：已知二次函数268y x =-．求（1）那个二次函数的图像与x 轴的两个交点A 、B 之间的距离；（2）若图像上另有一点(,)3M m -，求△ABM 的面积．（★★） ．【答案】（1） 设2680x -=，则 x =∴ 点A点B ( AB （2）△ABM 的底边为AB 时高为点M 纵坐标的绝对值 ∵ M 在二次函数图象上变式：抛物线21(1)2y x =-+通过点A(－3，a)．（1）求A 点关于抛物线对称轴的对称点B 的坐标；（2）若此抛物线的顶点为C.，求ΔABC 的面积．（★★） ． 【答案】（1）21(1)2y x =-+过点A(－3，a)则a ＝－12(－3＋1)2 ＝－2 点A(－3，－2) 对称轴为直线x ＝－1 ∴ 点B 为(1，－2)（2）点C(－1，0) 点A(－3，－2) B(1，－2) ∴ AB ＝4 14242ABC S ∆=⋅⋅-=．题型Ⅱ二次函数2()(0)y a x m k a =++≠的图像和性质例1：若二次函数2()(0)y a x m k a =++≠中，0,0m k <<．则它的图像顶点落在( )第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【分析】 二次函数2()(0)y a x m k a =++≠的顶点坐标为(,)m k -，现0m <，则0m ->，又0k >. ∴ 顶点的横坐标和纵坐标均大于零，则点在第一象限．【答案】 A ．变式：在同一直角坐标平面内，二次函数21(3)12y x =+-，21(3)12y x =-++，22(3)1y x =+-图像的共同特点是( ) （★★） ．A. 抛物线的形状相同B. 抛物线的对称轴相同C. 抛物线的顶点坐标相同D. 抛物线的开口方向相同 【答案】 B ．变式：将二次函数23y x =-的图像先向下平移1个单位，再向右平移2个单位后，得到的图像解析式是( ) （★★） ．A. 23(1)2y x =--+B. 23(2)1y x =---C. 23(1)2y x =-+-D. 23(2)1y x =--+【分析】二次函数图像平移，其开口方向，大小形状均不变，唯独改变的只是顶点位置23y x =-的顶点坐标为(0，0)，向下平移1个单位，再向右平移2个单位为(2，－1)，即－m ＝2，m ＝－2，k ＝－1. 解析式为23(2)1y x =---.【答案】B ．变式：已知抛物线的顶点为(－3，1)，它是由函数21313y x x =-+-的图像平移所得，那么此抛物线的解析式为( ) （★★） ．A. 21(3)13y x =-++B. 21(3)13y x =++C. 21(3)13y x =--+D. 21(3)13y x =-+【答案】 A ．例3：用配方法将2223y x x =-++化为2()(0)y a x m k a =++≠的形式，并求出它们图像的顶点坐标和对称轴．（★★） ．【答案】 222232()3y x x x x =-++=--+2112()342x x =--+++2172()22x =--+ ∴ 图象的顶点坐标为(12，72)对称轴为直线 12x =．变式：用配方法将2112y x x =-+-化为2()y a x m k =++的形式是________．（★★） ．【答案】211(1)22y x =--- ．例4：二次函数的图像与x 轴相交于(2，0)、(－3，0)两点，与y 轴交于点(0，－3). 那么那个二次函数的解析式为( ) （★★） ．A. 223y x x =+-B. 26y x x =+-C. 211322y x x =+- D. 211322y x x =-- 【答案】 C ．变式：假如抛物线2y ax bx c =++的图像通过(0，3)、(－1，5)两点，那么代数式a b c --的值为_______．（★★） ．【答案】 -1 ．例5：若0a <，则抛物线237y x ax =+-的顶点在( ) （★★） ．A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D ．变式：已知二次函数223y x mx m =--图像的顶点在第三象限，那么m 的取值范畴__________．（★★） ．【答案】3m <- ．例6：已知抛物线22y x bx =++的顶点恰好在x 轴上，那么b 的取值能够是( ) （★★） ．A. 0B. ±2C.± D. ±4 【答案】C ．变式：抛物线222y x x m =+-+的顶点恰好在直线2y x =上，那么顶点坐标是________，m 的值为__________．（★★） ．【答案】（-1，-2）、 1 ．例7：若a>0，b<0．则二次函数2y ax bx c =++的大致图像是( ) （★★） ．A B C D【答案】 A ．变式：二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么abc ，b2－4ac ，2a ＋b ，a ＋b ＋c 这四个代数式中，值为正数的有( ) （★★） ．A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 【答案】 B ．例8：:（1）若抛物线m mx x y 22++=的顶点在y 轴右侧，求m 的取值范畴；（★★） ．【答案】0m < ．（2）已知抛物线22(1)16y x k x =-++的顶点在x 轴上，求k 的值；（★★） ．【答案】 3或-5 ．（3）若抛物线22(1)16y x k x =-++的顶点在y 轴，求k 的值；（★★） ．【答案】 -1 ．变式：已知二次函数24y ax x b =++的图像的最高点为（2，4），求a 和b 的值．（★★） ．【答案】1,4a b =-=- ．已知抛物线2221y x mx m m =-++-的顶点在第三象限，求m 的取值范畴． 【答案】0m < ． 题型Ⅲ 灵活题型例1：请你写出一个抛物线的表达式，此抛物线满足对称轴是y 轴，且在y 轴的左侧部分是上:升的，那么那个抛物线表达式能够是 ．（★★） ．【答案】形如2(0)y ax a =>，如2y x =．变式：已知一个二次函数的图像具有以下特点：（1）通过原点；（2）在直线1=x 左侧的部分，图像下降，在直线1=x 右侧的部分，图像上升．试写出一个符合要求的二次函数解析式：____________ ．（★★） ． 【答案】 答案不唯独，满足题意即可，如2(1)1y x =-- ．例2：已知抛物线x x y 62+=，点A （2，m ）与点B （n ，4）关于该抛物线的对称轴对称，那么m n +的值等于．（★★） ．【答案】 -4 ．变式：抛物线12-=ax y 上有一点)2,2(P ，平移该抛物线，使其顶点落在点)1,1(A 处，这时，点P 落在点Q 处，则点Q 的坐标为 ．（★★） ．【答案】（3,4）．例3：依照下表中关于二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判定二次函数的图像与x 轴（ ）（★★） ．（A ）只有一个交点； （B ）有两个交点，且它们分别在y 轴两侧；（C ）有两个交点，且它们均在y 轴同侧； （D ）无交点． 【答案】 B ．变式：已知c bx ax x f ++=2)(（其中c b a 、、为常数，且0≠a ），小明在用描点法画)(x f y =的图像时，列出如下表格.依照该表格，下列判定中，不正确的是（ ）（★★） ．（A ）抛物线)(x f y =开口向下；（B ） 抛物线)(x f y =的对称轴是直线1=x ；（C ）2)3(-=f ； （D ）)8()7(f f <．【答案】 D ．例4：已知抛物线22y x mx =-+-与直线2y x b =-+相交于M 、N 两点，点M 、点N 的横坐标分别是7和－2．求：(1) M 、N 两点的坐标； (2) 直线和抛物线的解析式；(3) 若坐标原点是O ，求△MON 的面积．（★★★） ． 【答案】(1) 抛物线22y x mx =-+-和直线2y x b =-+相交于点M ，N ，且点M ，N 的横坐标分别是7和－2∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－14＋b ＝－49＋7m －24＋b ＝－4－2m －2 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－16m ＝3y ＝－2x －16当x ＝7时，y ＝－30；当x ＝－2时，y ＝－12 ∴ 点M(7，－30) 点N(－2，－12) (2) ∵ m ＝3 b ＝－16∴ 直线解析式为y ＝－2x －16抛物线解析式为y ＝－x2＋3x －2(3) MON S ∆＝12(12＋30)×9－12×2×12－12×7×30＝189－12－105＝72． 变式：已知抛物线2y ax bx c =++通过(1，2)、(3，0)两点，它在x 轴上截得线段的长为6．求此抛物线的函数解析式．（★★★） ．【答案】2y ax bx c =++过点(3，0)且在x 轴上截得线段长为6 (1) 交点在点(3，0)的右侧，则交点为(9，0) 设解析式为y ＝a(x －3)(x －9)过点(1，2)2＝a ·16 a ＝18∴ y ＝18(x －3)(x －9)＝18x2－32x ＋278(2) 交点在(3，0)的左侧，则交点为(－3，0)设解析式为y ＝a(x ＋3)(x －3)过点(1，2)2＝－8a a ＝－14∴ y ＝－14(x ＋3)(x －3)＝－14x2＋94∴ 所求抛物线解析式为y ＝－14x2＋94或y ＝18x2－32x ＋278．总结：1．准确区分几种专门的二次函数的图像和性质，把握它们之间是如何进行平移变化的；2．多动手画图，结合图形分析函数的特点，即数形结合； 3．认真审题和运算，保证基础部分不出错． 课后作业：1．二次函数2(1)1y x =--的图像的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ）(A) 向上、直线1x =-、(1，1)； (B) 向上、直线1x =、(1，-1)； (C) 向下、直线1x =-、(-1，1)； (D) 向下、直线1x =、(-1，-1)． 【答案】B ．2．关于抛物线x x y 22-=，下列说法正确的是（ ）（A ）顶点是坐标原点；（B ）对称轴是直线2=x ；（C ）有最高点； （D ）通过坐标原点．【答案】 D ．3．抛物线y ＝－12(x ＋a)2的顶点坐标为(－5，0)，则图像向_____平移_____个单位就能得到解析式为y ＝－12x2的图像．【答案】 右、5 ．4．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()0,0A 、()4,0B ，则抛物线的对称轴为直线 ．【答案】2x = ．5．已知抛物线122-+-=x x y ，它的图像在对称轴 （填“左侧”或“右侧”）的部分是下降的． 【答案】 右侧 ．6．假如抛物线2)1(22+-++=k x x k y 与y 轴的交点为)1,0(，那么k 的值是 ．【答案】 1 ．7．一个二次函数具有下列性质：（1）图像通过点)3,0(A；（2）当0<x时，函数值y随自变量x的增大而增大，当0>x时，函数值y随自变量x的增大而减小. 试写出一个满足上述两条性质的函数解析式. ．【答案】答案不唯独，如23y x=-+．8．二次函数2y ax bx c=++的图像，如图所示，它的对称轴是直线x＝－1，那么下列结论中正确的个数有()①a>0，b<0 ②a－b＋c<0 ③2a－b＝0 ④b2－4ac>0A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C ．9．在同一直角坐标平面内，直线y ax b=+和抛物线2y ax bx c=++的大致图像，只可能是()【答案】B ．10．已知二次函数2231y x x=++的顶点是A，与x轴的两个交点为B、C（B点在C点的左侧)与y轴的交点为D，求四边形ABCD的面积．【答案】y＝2x2＋3x＋1＝2(x2＋32x)＋1＝2(x2＋32x＋916)－98＋1＝2(x＋34)2－18∴A(－34，－18)2x2＋3x＋1＝0 (x＋1)(2x＋1)＝0x＝－1，x＝－12∴B(－1，0)C(－12，0)又点D(0，1)∴SABCD＝S△ABC＋S△DBC＝12·12·18＋12·12·1＝132＋14＝932即四边形ABCD的面积为932．。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数复习课 教案
o
x
c 的符号。
y
巩 固 练 习 4 ： 抛 物 线 y ax2 bx c 的 大 致 图 象 如 图 所 示 ，
试确定 a、b、c 的符号。 知识应用二、 一、 已知一个二次函数的图像经过点 A（1，0），B（3，0）C（0，3） 求（1）函数解析式。
（2）顶点 D 坐标。 （3）求∠ACB 的正弦值。
y
x
C 3
AB
x
01 3
D
【课内小结】
2
1、本课主要复习了哪些内容？ 2、通过复习，你有什么体会或收获呢？ 【作业】 【基础练习 1】二次函数 y x2 2x 3
①
用配方法求其顶点 D 坐标；
② 求该二次函数与 x 轴的交点 A、B（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴的交点 C 的
坐标。
式
；
④ 将 二 次 函 数 y x2 2x 3 图 像 绕 着 顶 点 旋 转 180 ° 可 得 解 析
式
；
【提高题】题组二：二次函数图像中的特殊图形
y
① 下图是二次函数 y x2 2x 3 的有哪些特殊的 图形吗，这些特殊的图形之间有什么关系吗？
把抛物线 y ax2 bx c 化为 y a(x m)2 k
1、例题：把抛物线 y 1 x2 2x 1 化为 y a(x m)2 k 的形式，并指出它
2
2
的开口方向、顶点坐标、对称轴以及 y 随 x 的变化情况.
2、巩固练习 3：把抛物线 y 2x2 4x 3化为 y a(x m)2 k 的形式，并指出
【基础练习 2】题组一：二次函数图像变换
① 将二次函数 y x2 2x 3 图像向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，可
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数基础知识复习 教案
二次函数基础知识复习（一）教学设计本节课是二次函数的复习课，主要梳理一模试卷中出现的二次函数题型的基础知识，从二次函数的定义、二次函数的图像和性质、以及二次函数解析式的确定三方面出发，概括相关知识点，训练学生的解题思维方式，能够快速解决相关填空和选择题。
一、教学目标1、 熟练掌握二次函数的定义、图像与性质2、 能够熟练掌握二次函数的两种表示方法二、教学重点回顾二次函数的图像与性质，并运用这些知识解决一些相关问题三、教学过程 1、 知识梳理：（1） 二次函数的定义：c bx ax ++=y 2（,0≠a c b a 都是常数，且、、）条件：0≠a 、 最高次数是2、 代数式是整式练一练：1、试判断以下哪些是二次函数：（1）c bx ax ++=y 2（2）x x y +3+1=2（3）22-)1+(=x x y （4）23+2=x x y 2、已知函数3-5+)1-(=y 1+2x x m m 是二次函数，求m 的值（2） 二次函数的图像和性质练一练：1）、试在箭头上方（或下方）写出以下二次函数的平移过程22=y x 3+2=y 2x 3+3+2=y 2）（x21+2=y ）（x 5+2-2=y 2）（x 1+4-2=y 2）（x思考：1+4-2=y 2）（x 1+4+2=y 2x x 2）、已知点A （-1，a ）、B （1，b ）是二次函数22-2=y ）（x 图像上的两点， 则a___b （填“>”“<”或“=”）练一练：判断a 、b 、c 的正负性（3） 抛物线解析式的确定已知抛物线三个点的坐标：设一般式c bx ax ++=y 2（,0≠a c b a 都是常数，且、、）已知抛物线的顶点坐标：设顶点式k m x a y +)+(=2（0≠a ）练一练：根据下列条件，求二次函数的解析式 1、 图像经过（0，0），（1，-2），（2，3） 2、 图像的顶点是（2，3），且经过点（3，1） 变式练习：1）、图像对称轴为直线x=2，且经过（2，1），（3，2）2）、已知二次函数对称轴为直线x=2，且最小值为4，图像与y 轴交于（0，6）2、课堂小结3、教学反思：二次函数是描述现实世界变量之间的重要数学模型，也是某些单变量最优化问题的数学模型，还是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究学习和复习，将为学生进一步学习函数，利用函数性质解决实际应用问题奠定基础积累经验。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 二次函数复习 教案
⑴当1=x 时，cb a y ++=⑵当1-=x 时，cb a y +-=⑶当2=x 时，cb a y ++=24⑷当2-=x 时，cb a y +-=24⑸当ac b 42-=0，ac b 42-＞0和ac b 42-＜0时，图像与x 轴交点个数。
二、知识点探究：探究1：二次函数62--=x x y 的图象顶点坐标是______，对称轴是_________。
探究要求：学生分别利用配方法和顶点公式进行求解。
探究2：根据二次函数62--=x x y 的图象顶点坐标、对称轴及与x 轴y 轴交点画出函数图像草图，研究函数性质。
探究要点：1、如何画二次函数的大致图象:①画对称轴②确定顶点③确定与y 轴的交点④确定与x 轴的交点⑤连线；2、由学生亲手画出的二次函数的大致图象体会函数的增减性、最值和函数值的正负性。
探究3：将221x y =向左平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得的抛物线的关系式是。
知识点：抛物线移动规律：上加下减，左加右减探究4：抛物线2)3(212-+=x y 关于x 轴对称的抛物线解析式是。
1、要点：关于x 轴对称:1将原抛物线写成顶点式y=a(x+h)2+k学生根据二次函数和一次函数的图像性质进行讨论探究，教师根据学情进行指导。
三、探究体会：1、二次函数的定义及两个不同表达式2、二次函数图像的性质特点3、二次函数解析式系数与图像的关系4、二次函数图像平移和对称变换四、知识应用，巩固训练五、归纳总结本节课内容六、布置作业当堂巩固测试1、在①y ＝－x 2②y ＝2x 2－x 1＋3③y ＝100－5x 2④y=－2x 2＋5x 3－3中有个是二次函数。
2、函数k k k y +-=2)1(是二次函数，则k 的值是3、抛物线342+-=x y 的对称轴及顶点坐标分别是（）A、y 轴，（0，-4）B、x＝3，（0，4）C、x 轴，（0，0）D、y 轴，（0，3）4、二次函数2)1(2---=x y 图象的顶点坐标和对称轴方程为（）A、（1，-2），x＝1B、（1，2)，x＝1C、（-1，-2），x＝-1D、（-1，2），x＝-15、函数32212++=x x y 的开口方向，顶点坐标是，对称轴是当x 时.y 随x 的增大而减小。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 二次函数 复习课 教案
《二次函数》复习课教案一、复习目标：（一）知识与技能目标：1、已知二次函数的解析式，能熟练的判断抛物线开口方向，写出对称轴方程和顶点坐标，巩固二次函数的图像性质及其平移规律。
2、熟练待定系数法求二次函数解析式，并能解决简单的实际问题。
3、体验二次函数与其他数学知识之间的联系，为今后进一步掌握二次函数的综合应用做好准备。
（二）过程与方法目标：1、通过对二次函数的概念、顶点、对称轴的练习，回顾二次函数的基础知识。
2、通过对典型例题的分析解答，培养分析问题和解决问题的能力；初步掌握数形结合的思想方法。
（三）情感态度和价值观目标：通过本节课的学习，让学生学会整理所学知识，逐步学会自主学习、自主探索，并能在讨论交流中获益。
二、复习重难点：重点：根据题意求解二次函数的解析式。
难点：应用二次函数的有关知识，以及相似三角形、锐角三角比等知识解决实际问题。
复习方法：自主探究、合作交流三、复习过程：一、知识梳理（一）学生独立练习（同桌互改）1、函数+2x-5是二次函数时，m的值为。
2、①二次函数的图像开口方向，对称轴是，顶点坐标是。
②二次函数的图像开口方向，对称轴是，顶点坐标是。
③二次函数的图像开口方向，对称轴是，顶点坐标是，顶点是最点(填高,低)。
④二次函数的图像开口方向，对称轴是，顶点坐标是，对称轴侧的部分下降。
3、①把二次函数的图像向上平移3个单位，所得图像的解析式为：，再向左平移1个单位，则所得图像的解析式为：。
②将抛物线向右平移1个单位后，所得抛物线的解析式是____________．③抛物线是由抛物线向平移个单位又向平移个单位后得到的。
4、①抛物线开口方向，对称轴是，最低点坐标是，函数有最（填大，小）值是。
②抛物线的对称轴是，在对称轴右侧的部分是__________的。
（填“上升”或“下降”）5、抛物线的顶点坐标为，且经过点，则抛物线的解析式为。
（二）学生整理知识点（老师板书，投影）1、二次函数定义：形如ｙ=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
沪教版九年级二次函数知识点汇总
二次函数知识点汇总1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的一元二次函数.2.二次函数的性质(1)抛物线的顶点是原点，对称轴是轴.(2)函数的图像与的符号关系：①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.5.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；越小，抛物线的开口越大，越大，抛物线的开口越小。
②对称轴为平行于轴(或重合)的直线，记作.特别地，轴记作直线.③定点是抛物线的最值点[最大值(时)或最小值(时)]，坐标为(,)。
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★7.抛物线中，的作用(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故：①时，对称轴为轴；②时,对称轴在轴左侧；③时,对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：1，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上(轴)(0,0) ( (0,当时开口向下轴))(,0)(,)()9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系）(1)轴与抛物线得交点为()(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).(3)抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点抛物线与轴相交；②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.(4)平行于轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 复习 -二次函数 教案
第一轮复习 二次函数（1）难点：二次函数知识的实际应用 【教学流程】 1. 知识回顾2. 通过例题讲解，巩固知识的掌握3. 通过训练，对二次函数的知识熟练应用4. 总结知识要点.5. 拓展思维，锻炼能力. 【学习导航】 一、知识梳理1、二次函数的定义：形如 2y ax bx c =++（b a 、是常数，且0≠a ） （1）定义要点：①0a ≠ ②最高次数2 ③代数式一定是整式 （2）自变量取值范围2、二次函数的图像和性质3、二次函数图像的平移 图像顶点的平移 平移二次函数图像的方法概括为:左 右 、上 下4、用待定系数法求二次函数的解析式（1）已知二次函数图像上三个点的坐标，设一般式 （2）已知二次函数图像与x 轴的两个交点的坐标，设交点式 （3）已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程，设顶点式二、典型例题例1.,2)1(,523,5100,22,232222x x a y x x y x y xx y x y +-=+-=-=-=-=其中二次函数有_______个.例2.当m =_________时，函数13)1(1++-=+x x m y m 是二次函数. 例3、根据下列条件，求二次函数解析式 （1）图像经过原点，且过（2,5），（-1,3）两点； （2）图像经过点（2,0），（-1,0），与y 轴交点的纵坐标为2； （3）图像顶点在x 轴上，对称轴是直线1=x ，且经过点（2,3）.例4、如图,抛物线2y ax bx c =++,请判断下列各式的符号： ①a 0; ②c 0; ③24b ac - 0; ④b 0;小结：a 决定 ，c 决定 ，24b ac -决定 ，a 、b 结合决定 .变式1、若抛物线1322-+-=a x ax y 的图像如图所示， 则a =变式2、若抛物线342+-=x x y 的图像如图所示，则△ABC 的面积是三、巩固练习1.抛物线y=3x 2，y=-3x 2，y=31x 2+3共有的性质是（ ）A.开口向上B.对称轴是y 轴C.都有最高点D.y 随x 值的增大而增大2、二次函数21y mx x =+-的图像与x 轴有交点，则m 的取值范围是 .3、二次函数2244y x x =--+，当x 时y 随x 的增大而减小; 当x 时函数图像呈上升趋势.4、二次函数22y x =-的图像是由二次函数22(4)y x =-+的图像向 平移 ____个单位得到的.5、如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，则a 、b 、c 满足（ ） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b<0,c>0 C.a>0,b>0,c<0 D.a>0,b<0,c<0xy oxyo四、课内小结五、思维拓展如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数图像经过(1,2)A-、B-和(0,1)C三点，顶点为P．(3,2)（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点P的坐标；（2）联结PC、BC，求BCP∠的正切值；（3）能否在第一象限内找到一点Q,使得以Q、C、A三点为顶点的三角形与以C、P、B三点为顶点的三角形相似？若能，请确定符合条件的点Q共有几个，并请直接写出它们的坐标；若不能，请说明理由．。
沪教版(上海)九年级数学第一学期 26.1二次函数的概念(1)(共21张PPT)
例2：已知 y 3xm2 2
求 m 的值。
m=±2
是关于x的二次函数，试
练习：
① y (m 3)xm27 函数是关于x的二次函
数，求m的值．
m2-7=2,m=±3，因为m≠3,所以m=－3
概念解析：
1)二次函数的一般式是_____________ 2)若y (m 4)x2 3x 7是二次函数，那么m___________ 3)若y (m 2)xm2－2 x 3是二次函数，那么m＝_____
9、已知二次函数y=ax2，当x=3时，y= -5，当x= -5 时，求y的值
10、已知二次函数 y=ax2 +c ，当时x=2，y=4，当 时x=-1，y=-3，求a,c 的值 11、已知二次函数y=ax2+bx，当时x=1，y=-1，当时 x=-1，y=7，求点(a,b)关于原点对称的点。
例题解析： 例2: (1)已知函数 y (m2 9)x2 (m 3)x 2
6、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件， 每件赢利40元.，为了扩大销售，增加赢利，尽快 减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经过市 场调查发现，如果每件衬衫每降1元，商场平均每 天可多售出2件.设每件衬衫降价x元，每天的利润 为y元， ① 试写出y与x之间的函数关系式； ② 若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价 多少元？
2、二次函数的一般形式：
形如 y ax2 bx c(a、b、c是常数)
的函数就做的二次函数
二次项 一次项 常数项 a叫做 二次项系数 。 b叫做 一次项系数 。
填空：
y ax2 bx c(a、b、c是常数)
当a=0时，y= bx+c ，是 一次 函数。
沪教版九年级第一学期 二次函数复习专题
初中数学二次函数复习专题〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 〖大纲要求〗1． 理解二次函数的概念；2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3． 会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 4． 会用待定系数法求二次函数的解析式；5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
内容（1）二次函数及其图象如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0),那么，y 叫做x 的二次函数。
二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。
（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是ab x 2-=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线y=a （x+h ）2+k(a ≠0)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=-h. 〖考查重点与常见题型〗1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2－m －2额图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y ＝kx 2＋bx －1的图像大致是（ ）3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝53，求这条抛物线的解析式。
沪科版九年级上册二次函数知识归纳教学课件
顶点式： y
y
ห้องสมุดไป่ตู้
ax2
ax
k
h2
y
ax
h2
k
交点式（与x轴交点x1, x2）：y ax x1x x2 .
三、图象与性质
y ax2 图象略 a决定开口方向； 对称轴：y轴或直线x 0； 顶点坐标（0，0）； 最值为0； 增减性（常用来比较y1, y2 , y3,的大小）
y ax2 k 图象略 a决定开口方向； 对称轴：y轴或直线x 0； 顶点坐标（0，k）； 最值为k； 增减性（常用来比较y1, y2 , y3,的大小）
一般式：y ax2 bx c 图象略
a决定开口方向；
对称轴：直线x
b 2a
； 注意对应方程韦达定理x1
x2
b a
顶点坐标（ b ，4ac b2 ）； 2a 4a
最值为 4ac b2 ； 4a
增减性（常用来比较y1, y2 , y3,的大小）
交点式（与x轴交点x1, x2）：y ax x1 x x2
y ax h2
图象略 a决定开口方向； 对称轴：直线x h； 顶点坐标（ h，0）； 最值为0； 增减性（常用来比较y1, y2 , y3,的大小）
y ax h2 k
图象略 a决定开口方向； 对称轴：直线x h； 顶点坐标（ h，k）； 最值为k； 增减性（常用来比较y1, y2 , y3,的大小）
图象略
a决定开口方向；
对称轴：直线x x1 x2 ； 2
顶点坐标（x1 x2 ，）； 2
最值为； 增减性（常用来比较y1, y2 , y3,的大小）
四、图象共存
原则：不同函数的中的相同参数一定不能出现矛盾.
例：y ax2 b与y ax ba 0的图象可能是：
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教学内容—二次函数综合复习
知识精要
二次函数的概念：形如
2
(0)y ax bx c a =++≠的函数。
定义域是一切实数。
二次函数的图像
函数 对称轴
顶点 开口方向
最值 ()
20y ax a =≠ y 轴 （0，0）
a>0,图像开口向上,顶
点是最低点; a<0,图像开口向下,顶点是最高点.
()
2
0y ax c a =+≠ y 轴
)
,0(c
c
()()
2
0y a x m a =+≠
m x -= ()0,m -
)0()(2≠++=a k m x a y m x -=
),(k m -
k
()02
≠++=a c bx ax y
a
b
x 2-
=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22 a
b a
c 442
-
)0)()((1≠--=a x x x x a y x
22
1x x x +=
一、选择题典型例题
1）有关二次函数图像与系数关系
1．如果0k <（k 为常数），那么二次函数22y kx x k =-+的图像大致为 （ ）．
2. 已知二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的图像如图所示， 以下关于实数c b a ,,的符号判断中，正确的是（ ） A.0,0,0>>>c b a B.0,0,0><>c b a C.0,0,0<>>c b a D.0,0,0<<>c b a
第6题
A
B
C
D
y O x y O
x y
O
x
y
O
x
2）二次函数性质的判断：对称轴，开口方向，顶点，增减性
1． 已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线2
1y x =-上，下列说法中正确的是 （ ） A. 若12y y =，则12x x = B. 若12x x =-，则12y y =- C. 若120x x <<，则12y y > D. 若120x x <<，则12y y > 2．关于抛物线4)1(32
-+-=x y ，下列说法正确的是 （ ）
A ．抛物线的对称轴是直线1=x ；
B ．抛物线在y 轴上的截距是4-；
C ．抛物线的顶点坐标是（41--，）
； D ．抛物线的开口方向向上． 3．已知函数2
22y x x =--的图像如图所示，根据图像提供的信息，可得y ≤1时，x 的取值范围是 （ ）
A ．3x -≥
B ．31x -≤≤
C ． 13x -≤≤
D ．1x -≤或3x ≥
4．对于抛物线23y x =-，下列说法中正确的是（ ）
A ．抛物线的开口向下 ；
B ．顶点（0，－3）是抛物线的最低点 ；
C ．顶点（0，－3）是抛物线的最高点；
D ．抛物线在直线0x =右侧的部分下降的．
3）二次函数的平移问题
1．把抛物线22y x =--平移后得到抛物线2y x =-,平移的方法可以是（ ）． A. 沿y 轴向上平移2个单位； B. 沿y 轴向下平移2个单位； C. 沿x 轴向右平移2个单位； D. 沿x 轴向左平移2个单位．
2. 把抛物线()2
16+=x y 平移后得到抛物线2
6x y = ，平移的方法可以是 （ ）.
A. 沿y 轴向上平移1个单位；
B. 沿y 轴向下平移1个单位；
C. 沿x 轴向左平移1个单位；
D. 沿x 轴向右平移1个单位. 巩固练习
1．已知抛物线解析式为243y x x =--，若点P （2-，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的
坐标是__________．
2．二次函数322
+=x y 图象的顶点坐标是 .
3．如果二次函数()
()2112
2
+-++=x k x k y ，那么它的图象的开口向 .
4. 如果)8,(x A ，),2(y B -是二次函数2
2
1x y =
图像上的两个点，那么=+y x . 5．抛物线c bx x y ++=2
经过点)3,0(和)0,1(-，那么抛物线的解析式是 ． 6．如果二次函数a x x y ++=2
与x 轴有交点,那么实数a 的取值范围是 .
7. 抛物线12-=ax y 上有一点)2,2(P ，平移该抛物线，使其顶点落在点)1,1(A 处，这时，点P 落
在点Q 处，则点Q 的坐标为 ．
二、 二次函数解答题典型例题
例1.在直角坐标平面内，已知抛物线()()012
>-=a x a y 顶点为A ,与y 轴交于点C ，点B 是抛物线上另
一点，且横坐标为3，若⊿ABC 为直角三角形时，求a 的值.
例2．如图，抛物线322
++=ax ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 和点B 分别在x 轴
的正、负半轴上），3cot =∠OCA ． （1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x 轴的直线l 与抛物线交于点E 、F （点F 在点E 的左边），如果四边形OBFE 是平行四边形，
求点E 的坐标．
巩固练习
1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO =1
2
，CO =BO ，AB =3，求这条抛物线的函数解析式.
C
y
O A B
x
C
x
y o
A 1
1-4
B
三、二次函数与相似结合题
例1. 抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示，已知该抛物线与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ， （1）根据图象所给信息，求出抛物线的解析式； （2）求直线BC 与y 轴交点D 的坐标；
（3）点P 是直线BC 上的一点，且APB ∆与DOB ∆相似，求点P 的坐标.
例2．如图9，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数图像经过(1,2)A -、(3,2)B -和(0,1)C 三点，顶点为P ．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点P 的坐标； （2）联结PC 、BC ，求BCP ∠的正切值；
（3）能否在第一象限内找到一点Q ,使得以Q 、C 、A 三点为顶点的三角形与以C 、P 、B 三点为顶点的三角形相似？若能，请确定符合条件的点Q 共有几个，并请直接写出它们的坐标；若不能，请说明理由．
自我测试
1．下列抛物线中，顶点在第一象限内的是 ( ) A.2)1(21-=x y B. 3212+=x y C. 3)1(212++=x y D. 3)1(2
1
2+-=x y . 2．若A （113,4
y -
）
，B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数2
45y x x =--的图像上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是 （ ）．
A.123y y y <<
B. 321y y y <<
C. 312y y y <<
D. 132y y y << 3．将抛物线y =2x 2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是( ) A. y=2(x+1)2 +3； B. y=2(x －1)2－3； C. y=2(x+1)2－3； D. y=2(x －1)2+3．
4. 若二次函数k x x y +-=32
的图像与x 轴有公共点,则实数k 的取值范围是 。
5. 将二次函数22+=x y 的图像沿y 轴方向向下平移3个单位,则所得图像的函数解析式是_________.
6.已知抛物线c bx ax y ++=2的开口向下，对称轴为直线1=x ，若点()1,1y A -与()2,2y B -是此抛物线
上的两点，则1y ________2y .（填“>”或“<”）
7. 如果抛物线()12
+++=m m x y 的对称轴是x =2，那么它的顶点坐标是 .
8.如图，二次函数c bx ax y ++=2
的图像经过点()()()30,0,1,0,3，
C B A -. (1)求此函数的解析式；
(2)用配方法（写出配方过程）将此函数化为()k m x a y ++=2
的形式，并写出其顶点坐标；
(3)在线段AC 上是否存在点P （不含A 、C 两点），使ABP ∆与ABC ∆相似？若存在，请求出点P 的
坐标；若不存在，请说明理由.。