给初中数学教师培训的讲义,主题：代数式

代数式问题选讲

第一部分：多项式问题

一．多项式相等：

定义1：我们把形如211210(0)n n n n n n n a x a x a x a x a a n N x ----+++++≠∈ ，，为变量的式子称为一元多项式.通常记作：211210()(0)n n n n n n n f x a x a x a x a x a a ----=+++++≠ .

例如：432()242f x x x x x =-+-+称为一元四次多项式.

定理1 如果两个多项式：

211210()(0)n n n n n n n f x a x a x a x a x a a ----=+++++≠

211210()(0)m m m m m m m f x b x b x b x b x b b ----=+++++≠

恒等，那么一定有m=n ，且(123)i i a b i n == ，，，，.

例如：22

321x x ax bx c -+≡++，则必有321a b c ==-=，，.

例1 已知多项式432222(1)(2)x x x x mx x nx +++≡++++，求m 与n 的值.

例2 已知221

231ax bx x x ++-+，两个多项式的积不含3

x ，也不含x ，求a b ，的值.

例3 已知2267314(23)(3)x xy y x y a x y b x y c --+++≡-+++，试确定a b c ，，的值.

例4 如果2570x kx -+=被52x -除后余6，求k 的值和商式.

例5 已知多项式32ax bx cx d +++能被2x p +整除，求证：ad bc =.

例6 设22222252(2)(1)2(2)1

x x B Cx D x x x x x -++≡++-+--+，求A B C D ，，，的值.

二．多项式的整除问题和分解因式问题：

定理2（余数定理） 多项式()f x 除以x a -所得的余数为()f a .

定理3 (因式定理) 如果多项式()f x 满足()0f a =，则()f x 一定有因式x a -，反之亦成立. 例7 求432

2356x x x x --++除以1x +所得的商式和余数.

例8 若多项式()f x 除以1

2x x --，的余数分别为3和5，求()f x 除以(1)(2)x x --所得的余式.

例9 如果多项式432()235f x x x ax x b =-+++能被(1)(2)x x +-整除，求实数a b ，的值.

例10 已知三次多项式()g x 满足(0)16(1)(2)(3)2g g g g =-===，，求()g x .

例11 分解因式：32256x x x +--.

定理4 韦达定理：

如果一元n 次方程2112100(0)n n n n n n n a x a x a x a x a a ----+++++=≠ 在复数集内有n 个根

123n x x x x ，，，，，那么(1)(123)i n i i n

a i n a σ-=-= ，，，，. 其中：1122121311121232123n n n n n n n n n

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x σσσσ----=+++=+++=+= ，

，

，

这里我们主要使用结论0123(1)n n n

a x x x x a =- . 例12 求所有以a

b

c ，，为有理根的三次多项式32x ax bx c +++.

例13 求所有多项式()p x ，使得对任意实数x ，都有(1)(26)()xp x x p x -=-.

定义2 如果n 元多项式()12,,,n f x x x 满足

123123()()i j n j i n f x x x x x x f x x x x x x =- ，，，，，，，，，，，，，，，， 则称n 元多项式()12,,,n f x x x 是关于i j x x ，的反对称多项式.例如：33x y -，()x y z -就是关于x y ，的反对称多项式.

如果i j ，是任意的，则称n 元多项式()12,,,n f x x x 是反对称式.

例如333()()()x y z y z x z x y -+-+-就是反对称式.

反对称多项式性质：

n 元多项式()12,,,n f x x x 是关于i j x x ，的反对称多项式，那么()12,,,n f x x x 一定有因式i j x x -. 定义3 如果n 元多项式()12,,,n f x x x 满足

123123()()i j n j i n f x x x x x x f x x x x x x = ，，，，，，，，，，，，，，，， 则称n 元多项式()12,,,n f x x x 是关于i j x x ，的对称多项式.例如：333x y z +-，222x y xy ++就是关于x y ，的反对称多项式.

如果i j ，是任意的，则称n 元多项式()12,,,n f x x x 是对称式.

1122121311121232123n n n n n n n n n

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x σσσσ----=+++=+++=+= ，

，

，

都是对称式.我们把它们成为初等对称式.

任意一个对称式都可以用初等对称式通过加、减、乘、乘方来表示.

例如：

2222()2()x y z x y z xy yz zx ++=++-++；

333313()()()322

x y z x y z x y z xy yz zx xyz ++=++-+++++. 例14分解因式：333()()()x y z y z x z x y -+-+-.

补充：已知3333()()x y z xyz x y z f x y z ++-=++，，，求()f x y z ，，